MPSI2, Louis le Grand Potentiel electrostatiqueettheor`emedeGauss Semaine du 3 au 9 juinExercices dapplication: Spirecharge, sphrecharge(indispensablespourmatriserlutilisationdescoordonnessphriques) quilibres, distributionssurfaciquesuni-formes, couche sphrique,Culture en sciences physiques: interactionentrechargesidentiques,croisire, Yukawa,utilisation local de Gauss, atome de Thomson, nergie gravitationnelle.Corrigs en TD: Potentiel de la sphre charge uniformment, ligne bilaire, interactionentre charges identiques, distributions surfaciques uniformes, couche sphrique char-ge en volume, Yukawa, utilisation locale de Gauss.CalculsdepotentielsExercice1 : Potentiel dunespirechargeeDterminer le potentiel V (z) sur son axe de rvolution Oz de la spire charge de la feuille dexercice prcdente:1. partir de lexpression du champ sur laxe,2. par un calcul direct.Exercice2 : Potentiel dunesph`ereuniformementchargeeensurfaceSoit une sphre de rayon R, de centre O et de charge surfacique uniforme .1. Justierquonpeutchoisir la rfrencede potentielnullinni et calculer le potentiel en O.2. En utilisant le dcoupage suggr sur le schma, calculer lepotentiel : intrieur la sphre, extrieur la sphre.3. En dduire le champ lectrique. tudier la continuit de#Eet V la traverse de la surface charge.RxDExercice3 : Demi-sph`erechargeeensurfaceSoit une demi-sphre de centre O et de rayon R, charge uniformment en surface avec la densit surfacique>0.1. tudier les symtries de cette distribution. En dduire la direction de#Esur laxe Oz.2. Exprimer le potentiel et le champ lectrique au point O.3. Exprimer le potentiel V (z) en un point M(z) de laxe de symtrie Oz de cette demi-sphre. En dduire lechamp#E .Exercice4 : LignebilaireDeux ls rectilignes innis (ligne bilaire) parallles laxe Oz dquations x +a et x a sont chargsuniformment en longueur avec les densits liniques + et .1. Essayer de calculer directement le potentiel lectrostatique cr par un l inni charg. Pourquoi ce calculnaboutit-il pas ?2. Dterminer le champ lectrique dun l inni charg uniformment. En dduire le potentiel en un point Mde cette ligne bilaire en fonction des distances r1 et r2 du point M aux deux ls. On choisirajudicieusement la surface sur laquelle imposer V 0.3. Dterminer la nature gomtrique des courbes quipotentielles V Kdans un plan orthogonal Oz. Endduire les surfaces quipotentielles.4. Tracer alors lallure des quipotentielles dans un plan orthogonal Oz ainsi que celle des lignes de champ.5. Une charge ponctuelle +q se trouve sur laxe des x une distance OP x trs grande devant a. Dterminerson nergie potentielle lectrostatique par un dveloppement limit au terme non nul dordre le plus bas.Potentiel etenergiepotentielleExercice5 :EquilibresdunechargedanslechampdedeuxchargesxesOn place deux charges +q identiques, en a,0,0 et a,0,0 dans le plan z 0.1. Reprsenter lallure du potentiel dans le plan z 0, par reprsentation tridimensionnelle.2. En dduire lallure de lnergie potentielle dune charge Q dans le champ cr par ces deux charges,maintenues immobiles.3. tudier les ventuelles positions dquilibre et leur stabilit si Q peut se dplacer dans ce plan. On tudierales cas Qq >0 et Qq 0. On place un point matriel de charge Q en un point de potentiel V0. Dterminerson nergie cintique quand il se retrouve linni. Comparer au cas dun point matriel de masse m qui sedplacerait, dans un champ de pesanteur homogne, sans frottements sur une surface physique z f (x,y)telle que mgz(x,y) qV (x,y).Exercice6 : InteractionentrechargesidentiquesDeux particules identiques, (masse m, charge q) sont abandonnes dans le vide, sans vitesses initiales, unedistance r0 lune de lautre. On cherche dterminer les vitesses de ces particules lorsquelles seront innimentloignes lune de lautre. Dans cet exercice, on ngligera linteraction gravitationnelle entre les particules et onsupposera que les lois de llectrostatique, relatives des particules immobiles restent ici valables bien que lescharges soient en mouvement, ce qui est vrai si les vitesses sont faibles devant celle de la lumire.1. Quel est le mouvement du centre de masse de ces deux particules ? En dduire quelles auront, dans lerfrentiel du laboratoire, la mme vitesse en norme.2. Dterminer lnergie cintique nale des deux particules en fonction de lnergie potentielle dinteractionlectrostatique initiale. En dduire la vitesse v des deux particules linni.3. On reprend maintenant cette question dans le cas de trois charges identiques q de mme masse mabandonnes sans vitesse initiale aux sommets dun triangle quilatral de ct r0. On justiera aupralable quau cours du mouvement, elles occupent les sommets dun triangle quilatral homothtiquedu triangle initial.(a) On rappelle que lnergie dinteraction dun systme de n charges ponctuelles q1. . . qn places auxpoints r1. . . rn scrit : i /jqiqj40ri j

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i qiVj /i(i ), avec Vj /i(i ) le potentiel cr au point ripartoutes les charges diffrentes de i . Reproduire le raisonnement nergtique du cas deux corps pourdterminer la vitesse nale des particules.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/6 2010-2011MPSI2, Louis le Grand Potentiel electrostatiqueettheor`emedeGauss Semaine du 3 au 9 juin(b) Calculer directement le champ lectrostatique cr par deux particules sur la troisime quand letriangle dont elles occupent les sommets a pour ct r . Intgrer alors les quations du mouvement (onaura intrt multiplier par r . . . ) et retrouver lexpression prcdente de la vitesse nale.Theor`emedeGaussExercice7 : DistributionssurfaciquesuniformesDterminer et tracer lallure des variations spatiales du champ et en dduire celles du potentiel lectrostatiquecrs par: Une sphre de rayon R charge uniformment en surface avec la densit surfacique 0. Un cylindre de rvolution inni de rayon R, charg uniformment en surface avec la mme densit surfacique.On tudiera dans chacun des cas la continuit de Vet#E la traverse de la surface.Exercice8 : Couchespheriquechargeeenvolume1. Retrouver le champ et le potentiel crs, en tout point de lespace, par une sphre de rayon R chargeuniformment en volume avec la densit volumique de charge 0.2. En dduire, par application du principe de superposition, le champ et le potentiel dune distribution decharge telle que (r ) soit nul pour r