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Experiencias de innovación
docente en la enseñanza de
la Física Universitaria
(4ª Edición)
Albacete, abril de 2015
© De cada capítulo, sus autores. 2015. El presente trabajo se distribuye bajo licencia Reconocimiento-Compartir
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ISBN: 978-1-326-25328-8
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17
Capítulo 1: Física didáctica y vórtices
José Manuel Villalba Montoya
Alberto Nájera López
Enrique Arribas Garde
Augusto Beléndez Vázquez
Física Didáctica y Vórtices
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Física didáctica y vórtices
José Manuel Villalba Montoya§, Alberto Nájera López
Departamento de Radiología y Medicina Física, Facultad de
Medicina, Universidad de Castilla-La Mancha, Albacete
Enrique Arribas Garde
Departamento de Física Aplicada, Escuela Superior de
Ingeniería Informática, Universidad de Castilla-La Mancha,
Albacete
Augusto Beléndez Vázquez
Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la
Señal, Universidad de Alicante, Alicante
RESUMEN
Muchos de los fenómenos que se encuentran en el mundo exterior son vórtices.
Los huracanes, remolinos, firenados, incluso el sistema solar, que tenemos en
mente como los planetas que se mueven alrededor del Sol, es un vórtice. En este
capítulo se describe la clasificación de los diferentes vórtices y se realiza el estudio
del vórtice que resulta después de mover el agua contenida en un vaso con una
cuchara. Una experiencia que se puede realizar en cualquier lugar, obteniendo de
manera sencilla el perfil de la curva resultante y la velocidad angular. Se expone
una fórmula nueva para la velocidad angular del agua que se mueve en este
vórtice.
Palabras claves – vórtices, velocidad angular, mecánica de fluidos, experimentos
caseros
ABSTRACT
Many of the phenomenons that we can find in the outside are vortex. Hurricanes,
whirlpools, firenadoes, or even our Solar System that we keep in mind as the
planets moving around the sun is a vortex. In this chapter, a classification of the
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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different vortex is shown and we analyse the vortex formed in swirling water that
was stirred with a spoon in a cylindrical glass. This experiment can be done in
every place, obtaining in an easy way, the equation of the decay and the angular
velocity. A new equation of the angular velocity is shown.
Keywords – vortex, angular velocity, fluid mechanics, home experiments.
1 INTRODUCCIÓN
Existen fenómenos físicos muy comunes en la superficie terrestre: remolinos de agua marinos,
anticiclones, ciclones, tornados, firenados, huracanes, incluso el sistema solar, cuya concepción
tenemos en mente como un modelo en el que el Sol está quieto y el resto de los planetas
orbitan a su alrededor, es un vórtice, todo el sistema se desplaza a unos 70000 km/h dando
lugar a un sistema helicoidal1 (Figura 1).
Figura 1. Diferentes ejemplos de vórtices: Firenado, Huracán y Sistema
Solar.
Otro fenómeno asociado a los vórtices lo encontramos en el “cañón de vórtices”, un cañón
que genera un vórtice de aire de forma toroidal capaz de derribar objetos a grandes distancias2
(Figura 2).
Actualmente, los vórtices, tiene un gran interés para los científicos en diferentes campos como
pueden ser la mecánica de fluidos, superconductividad, superfluidez, propagación de la luz, la
condensación de Bose-Einstein, cosmología, biociencia o física del estado sólido3-7.
En este capítulo se va a exponer un desarrollo de lo que se denominan vórtices
hidrodinámicos, realizando un experimento sencillo, que se puede realizar por cualquier
persona en su casa, consistente en agitar con una cuchara el agua de un vaso de 1000 ml de
capacidad y observar el vórtice que se genera unos dos segundos después de la agitación.
Física Didáctica y Vórtices
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Estudiaremos la relación existente entre el eje de giro z y el radio r al eje de rotación de este
vórtice y calcularemos su velocidad angular.
Figura 2. Cañón de vórtices.
Un vórtice estacionario (steady vortex), se forma mientras movemos la cuchara en
círculos, con lo que el vórtice se mantiene, es decir, la diferencia en altura z de la superficie
libre del líquido para dos distancias r del eje de rotación es más o menos la misma. Cuando
paramos de remover con la cuchara, observamos que el movimiento del líquido va
disminuyendo y la altura total del vórtice decrece en función del tiempo debido la fricción
perdida de la cuchara con las partículas de líquido. Esta disipación de energía es característica
de los vórtices no estacionarios (unsteady vortex).
Figura 3. Aproximación de la forma del líquido en rotación.
2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Existen diferentes tipos de vórtices según sea la velocidad angular con la que se
mueve el fluido. Si la velocidad angular es constante la trayectoria del agua en la superficie
libre del líquido es una parábola y si la velocidad angular no es contante, la trayectoria del
agua es parecida a la que se muestra en la figura 3. En este tipo de vórtice, el movimiento del
z
r
z
r
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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agua se caracteriza por una elevada velocidad aproximadamente constante (respecto al tiempo)
en cada punto del fluido en rotación.
La ecuación del perfil de la trayectoria que sigue el vórtice, z(r), es decir, la relación
existente entre el eje de giro z y el radio r al eje de rotación, (gráfica (r,z)), se obtiene a partir
de la velocidad angular que tiene la masa de agua removida por la cuchara. Las ecuaciones
existentes en la bibliografía de la velocidad angular no describen en su totalidad esta curvatura
o perfil z(r). Además, una vez realizados los cálculos con estas velocidades angulares, se
obtiene un valor del radio del vaso utilizado que difiere del valor real, lo que nos permite
comprobar la bondad de la ecuación utilizada. Finalmente, se propone una ecuación para la
velocidad angular que describe perfectamente el perfil de la curvatura y que da un valor para
radio del vaso que se aproxima bastante al valor teórico.
La Figura 4 es una fotografía de la que se tomarán los datos, a partir de los cuales
desarrollaremos los cálculos. El vaso utilizado para realizar este estudio tiene una capacidad de
1000 ml y un radio R=5.5 cm. Según se puede apreciar en la foto, el agua gira formando una
especie de cono invertido alrededor de un eje, que llamaremos z y que está muy próximo a la
línea más oscura que se aprecia en el centro de la imagen.
Figura 4. Fotografía del vórtice objeto de estudio.
3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO Y CLASIFICACIÓN DE LOS VÓRTICES
La velocidad del fluido puede ser expresada en función de la velocidad angular,
,alrededor del eje de giro y de la distancia al eje de giro, r, en la forma rωv = (0,v,0)
tomando la base (ur,u,uz) de coordenadas cilíndricas. Tomando la variable dependiente en la
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coordenada z y aplicando la ecuación de continuidad v· = 0 obtenemos que ves solo
función de la distancia r al eje de rotación8. La velocidad vque aquí denotaremos
simplemente por v, puede ser independiente del tiempo t, en cuyo caso se habla de un vórtice estacionario (∂v/∂t = 0), o dependiente del tiempo, en cuyo caso se habla de un vórtice no
estacionario (∂v/∂t 0) (Figura 5).
Las ecuaciones en dos dimensiones del movimiento rotacional de un fluido
homogéneo e incompresible (con densidad constante), vienen dadas por las ecuaciones de
Euler (ecuaciones (1a) y 1(b)) que nos dan el gradiente de presiones en un fluido estacionario,
y por las ecuaciones de Navier-Stokes (ecuación (1c)) que nos dan la variación de la velocidad
en un fluido no estacionario bajo la acción de fuerzas de cizalla en fluidos viscosos (con
viscosidad 0)9
n2
2
arrv
rP
(1a)
gzP
(1b)
rω3
rωrκ
rv
rv
r1
rv
ρμ
tv
2
2
22
2
(1c)
donde g es la aceleración de la gravedad y es la viscosidad cinética ().
La ecuación (1c) permite establecer otra posible clasificación basada en la definición de
la vorticidad, . El vector vorticidad expresa la rotación local de una partícula de fluido
alrededor de su propio eje y es una medida de la velocidad en la que una masa de fluido
cambia de orientación en el espacio
En coordenadas cilíndricas la vorticidad viene expresada por la siguiente ecuación:
zz ur
rr
urv
rv
)(1v
2 (2)
De acuerdo con esta definición, si 0
, el vórtice será irrotacional o libre y si 0
, el
vórtice será forzado o rotacional.
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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No confundir vorticidad con rotación, ya que la rotación es la translación de la masa
del fluido a lo largo de la curva que describe su trayectoria10. Curiosamente, se puede tener
vorticidad nula en un líquido cuyas partículas sigan una trayectoria circular y una vorticidad no
nula en un líquido que siga una trayectoria lineal (Figura 8). Como se ha comentado
anteriormente, si ∂v/∂t = 0, nos da lugar a un vórtice estacionario.
En las referencias 9,11, encontramos que la solución de la ecuación (1c) para la
velocidad angular del líquido es:
222
21
2122
21
222
211
r1
rrrrrr
)r(
(3)
El primer término corresponde a una velocidad angular constante
independiente de la distancia radial r y que es debida a la formación de un vórtice forzado (o rotacional) y el segundo término corresponde a una velocidad angular que depende de la
inversa al cuadrado de la distancia r y que es debida a la formación de un vórtice libre (o
irrotacional).
Vórtice libre no estacionario
Vórtice forzado no estacionario
Vórtice forzado (o rotacional)
Vórtice libre (o irrotacional ) o Vórtice de Rankine
Rotación de un vaso cilíndrico lleno de agua
Vaciado de un recipiente o agitador magnético
Nuestro experimento
Huracanes, remolinos,… Figura 5.Clasificación de los diferentes tipos de vórtices
Física Didáctica y Vórtices
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4 VÓRTICE FORZADO (O ROTACIONAL) ESTACIONARIO
A velocidad angular constante, ω=Cte., la trayectoria del agua en la superficie libre del
líquido es una parábola (Figura 6). La fuerza de Coriolis en cada elemento del fluido se cancela
a pequeña escala en el vórtice por las pequeñas velocidades, (para más detalles se puede
consultar la Referencia [12]) y la ecuación que se obtiene para el perfil de z(r) es:
220
r
0
20
r
0
2
rg2
drg
rdrg
r)r(z
(4)
La ecuación (4) se trata en muchos textos de física general9,11-15 y es muy conocida por
muchos alumnos que estudian los efectos de la rotación de un fluido con velocidad angular
constante en los laboratorios de Física.
Figura 6. Rotación de un fluido a velocidad angular constante.
5 VÓRTICE LIBRE (O IRROTACIONAL) ESTACIONARIO O VÓRTICE DE RANKINE
Este vórtice se forma cuando el agua se vacía de un recipiente (lavabo, bañera, o
tanque) a través de un desagüe en su parte inferior formándose un remolino. Este tipo de
vórtice (Figura 7), llamado también vórtice de Rankine, puede ser producido por la rotación
a velocidad angular constante 0 de un cilindro con radio r0 lleno de fluido9, 11.
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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La ecuación de la velocidad angular viene dada por:
2
20
0 rr
(5)
En esta ecuación se puede observar que hay una discontinuidad en r=0 ya que la
ecuación (5) no describe bien la velocidad angular cerca del eje de rotación. Para profundizar
en este tema recomendamos leer la Referencia [14].
De forma similar al caso de los vórtices forzados estacionarios, se puede obtener el
perfil de z(r) de la superficie libre del líquido en el vórtice libre estacionario por integración
2
40
20
r3
40
20
r
2
gr2r
zdrgr
rdr
gr)r(z
(6)
donde z∞ es la altura del fluido cuando se aleja del eje de rotación
Figura 7. Vórtice de Rankine
6 VÓRTICE LIBRE NO ESTACIONARIO
Existen dos tipos de vórtices libres no estacionarios (Figura 9):
1) Vórtice libre no estacionario confinado
2) Vórtice libre no estacionario aislado o Vórtice de Oseen-Lamb
El primer tipo de vórtice se genera cuando el fluido está confinado en un recipiente y
el segundo tipo cuando no está confinado en un recipiente, que serían los tipos de vórtices que
se generan cuando se forma un huracán, remolino, etc.
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El vórtice libre no estacionario confinado se puede formar de tres maneras:
1) Rotando agua en un lavabo o bañera con el desagüe abierto y después tapándolo.
2) Rotando un vaso cilíndrico a velocidad angular constante y después parándolo.
3) Con un agitador magnético: Introduciendo el imán en el interior del vaso para que remueva el agua y después parando el rotor.
4)
z
r
(a)
zro
rz∞
y
x
y
x
(b)
(c) (d) Figura 8. Perfil de la altura de la superficie libre del líquido, z(r) en el vórtice forzado estacionario (a) y en el vórtice libre estacionario (b). Vorticidad en el
vórtice forzado estacionario (c) y en el vórtice libre estacionario (d). Los palillos muestran una vorticidad positiva en el vórtice forzado estacionario y
una vorticidad cero en el vórtice libre estacionario.
En el vórtice libre no estacionario confinado, Bachelor9, da la solución de la
velocidad v(r,t) de un vórtice libre no estacionario formado después de rotar un cilindro con
agua y pararlo en seco. Estas ecuaciones son muy difíciles, ya que son funciones de variable
compleja, expresadas como una integral de Fourier-Bessel que envuelve a dos tipos de
funciones de Bessel. Afortunadamente, hay una solución para el decaimiento de un vórtice
libre aislado, igual que el formado en un desagüe o el producido por un agitador magnético
(Figura 10), que es conocido desde principios del Siglo XX y que se llama vórtice de Oseen-
Lamb, aunque un artículo reciente ha discutido que el origen de la solución puede datar de la
época de Boltzmann10. En los vértices aislados no estacionarios libres, la velocidad angular
decae, y la solución puede ser aproximada para r << r0 de la forma:
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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2
0
2
020
2
2
2
2 12
exp124
exp12
)(rr
rr
rtr
rr
(7)
donde r02= 8ty0= /8t es la velocidad angular para r=0 en un tiempo dado tLa
ecuación (7) resulta adecuada para tiempos grandes.
Figura 9. Clasificación de los vórtices libres no estacionarios
Figura 10. Vórtice producido por un agitador magnético.
Con la ecuación (7), tendríamos que el perfil para z(r), vendría dado por la ecuación (8):
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r
040
6
20
42
20
2
20
220
r
0
2
rr
31
rrr
g2rdr
rr1
gdr
gr)r(z (8)
Si ajustamos los datos obtenidos con Origin, obtenemos la gráfica 1:
Gráfica 1. Representación de los datos experimentales ajustados con la ecuación (8).
Si ajustamos la curva de la gráfica 1 a una ecuación de tipo:
(9)
Identificando variables: 2
2oag
=148 6.
b= 0.030 0.015
c=0.386 0.016
A partir del valor de a, se obtiene ωo=53.85 rad·s-1.
A partir de valor de b, obtenemos ro= 0.03 m, siendo radio que tiene el vaso de
ro=R=0.055 m.
r (m) 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,0300,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Data: Data1_BModel: Ossen zr Chi^2 = 1.984E-6R^2 = 0.99373 a 148.19701 ±6.69715b 0.02985 ±0.00146c 0.38579 ±0.01636
4 62
2 4( ) * r rz r a r cb b
z (m)
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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El valor de c, tendría que haber salido más próximo a 1/3=0.333 (comparar
ecuaciones (8) y (9))
Con lo cual, y aunque las deducciones de Oseen se ajustan bastante a lo deducido en
esta práctica (ya que no dejan de ser vórtices), obtenemos un error del 40% en la medida del
radio del vaso.
7 VÓRTICE FORZADO NO ESTACIONARIO
Este vórtice es análogo al vórtice formado tras parar en seco la rotación de un cilindro
y dejar que pasen unos segundos hasta que se estabiliza8.
Para analizar este tipo de vórtice tomaremos un vaso de precipitados de 1000 ml lleno
de agua y la agitaremos con una cuchara. Una vez que se remueve con la cuchara y deja que el
agua rote, se forma un vórtice no estacionario ya que la velocidad de rotación del fluido
decrece con el tiempo (∂v/∂t<0) y en consecuencia el vórtice desaparece. La Figura 4 muestra
la fotografía de un vórtice no estacionario en un vaso cilíndrico con agua dos segundos
después de removerla con una cuchara por lo que se forma un remolino.
En la referencia [11] encontramos que la velocidad v(r,t), del decaimiento del vórtice
forzado no estacionario formado después de la agitación del agua rotando en un vaso
cilíndrico:
1k
20
2k
k0k
0
k1
00 rtκαexp
)(αJαr
rαJr2ωt)v(r, (10)
donde 0 es la velocidad angular inicial, k son los ceros de la función de Bessel J1, es la
viscosidad cinética, y r0 corresponde al radio del vaso cilíndrico de radio R si no son
satisfechas las condiciones de contorno (v(r=R)=0).
La solución de la ecuación (10) es muy compleja y para tiempos grandes sólo sobrevive
el primer término debido al incremento de la exponencial decreciente cuando k aumenta
siendo la vida media r02/(1
2). Simulando la ecuación (10) con el programa Mathematica,
Física Didáctica y Vórtices
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hemos encontrado que para tiempos mayores que la vida media, la velocidad lineal dada por
esta ecuación se puede modelar mediante un perfil parabólico en r centrado en r0/2 dado por:
0
2
0 rrr(t)ωt)v(r, (11)
donde 0(t) es la velocidad angular en r = 0 en función del tiempo y viene dada por la
ecuación:
2
002
0
21
00 rt14.67κexpω
rtκαexpω(t)ω (12)
La Figura 11 muestra la comparación de las velocidades lineales obtenidas según la
ecuación (10) para tiempos grandes (línea continua) y con la ecuación (11) (línea discontinua).
El error acumulativo total entre las dos funciones representadas por las ecuaciones (10) y (11)
entre r=0 y r=r0 es inferior al 6%. Es de destacar que el perfil v(r) de la ecuación (11) tiene una
forma parabólica con un mínimo en r=0 y r0 y un máximo en r = r0/2.
La velocidad lineal parabólica centrada en r0/2 corresponde a un decaimiento de la
velocidad angular del fluido con la distancia radial r desde su máximo valor 0 en r= 0 hasta el
valor de cero para r=r0 en cualquier instante de tiempo; es decir,
000
0 rrsi0ω(r),rrsirr1ωω(r)
(13)
De esta ecuación (13), supondremos que 0 no depende del tiempo, así al principio del
experimento, cuando la cuchara remueve el líquido del vaso cilíndrico, el agua de los bordes
desliza por lo que no se satisface la condición de contorno para r0 = R, siendo R el radio del
vaso cilíndrico. Sin embargo, pasado cierto tiempo se satisfará que el agua del borde del vaso
cilíndrico no desliza ((no gira) condición de contorno) y a partir de entonces se cumplirá que r0
= R, lo cual evidencia que debe haber una dependencia de r0 con el tiempo que habría que
considerar en el análisis temporal del vórtice forzado no estacionario.
Es decir, esta ecuación que se propone, cumple con las siguientes premisas:
⎆ La velocidad angular del agua en los puntos centrales más próximos al eje de
rotación giran más deprisa mientras que los más alejados giran más despacio.
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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⎆ El agua pegada a las paredes del vaso no gira (ω =0) debido a la fricción con las
paredes que están quietas.
⎆ ω0 es la máxima velocidad angular que se da para r=0 (eje de giro) y ω =0 se
obtiene en r= r0
r0/4
0
r/r0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Line
ar v
eloc
ity, v
Figura 11. Comparativa entre las velocidades lineales correspondientes a la solución exacta (considerando valores superiores a k=20) del decaimiento del vórtice forzado no estacionario [ec. (10)] para tiempos grandes (línea
continua) y la dependencia parabólica [ec. (11)] (línea discontinua). El error total en el perfil de v(r) es menor que el 6%.
Una vez obtenida la función de la velocidad angular según la ecuación (13) podemos
obtener la función z(r) que describe el perfil del líquido de la superficie libre que satisface
dicha distribución radial de la velocidad angular
r
020
4
0
32
20
2
0
20
r
0
2
rr
21
rr
34r
g2rdr
rr1
gdr
gr)r(z (14)
Con Mathematica el error acumulado total obtenido para el perfil de z(r) usando la
ecuación (13) es inferior al 9% del que se obtendría si z(r) se calculara a partir de la ecuación
(10).
Si simulamos con Origin, una ecuación de la forma:
2
432*)(
brd
brcrarz (15)
Física Didáctica y Vórtices
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Se obtiene la gráfica 2 con los coeficientes del ajuste
Gráfica 2. Representación de z vs r, con el ajuste tipo ecuación (15)
Igualando términos con la ecuación (14):
a=202 14.
b= 0.04066
c=1.37
d=0.53
Como 2
2oag
, tomando g=9.8 m·s-2, obtenemos 2 rad·s-1, b=ro=0.04 m; el
valor de c=1.37 sería el valor de 4/3=1.33 y el valor c=0.53 sería el valor 1/2=0.5.
El error de viene dado por:
aa
EaE absooabsorr
)(21)()(2)(
En resumen
ωo= 63 2 rad·s
-1
b=ro=0.04 m
c=1.37 frente a 4/3=1.33
d=0.53 frente a 1/2=0.5
z (m)
r (m) 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,0300,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Data: Data1_BModel: zr Chi^2 = 1.2932E-6R^2 = 0.99628 a 201.8103 ±14.35147b 0.04066 ±--c 1.3724 ±--d 0.53838 ±--
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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Entre los valores obtenidos, destaca el valor de ro=0.04 m, siendo el radio real de vaso
utilizado de 0.055 m, por tanto, el valor hallado es muy aproximado con el real, teniendo en
cuenta que es difícil mantener el remolino de agua agitando con la cuchara. El valor de
2rad·s-1.
Para comprobar el valor de 2rad·s-1, procedimos a realizar un método un
poco impreciso; pero que nos puede dar una idea de si los valores obtenidos teóricos están en
consonancia con los valores experimentales.
Este procedimiento no es lo suficientemente preciso debido a las incertidumbres de la
técnica de medida que provienen por un lado de la dificultad en formar un vórtice uniforme y
homogéneo al remover el agua con una cuchara, y por otro lado por el conocido “efecto de la
taza de té (tea cup effect)”, ya estudiado por Einstein en 192616. Este efecto refleja el hecho de
que un objeto flotante en un fluido en rotación no describe círculos concéntricos (a r
constante) debido a la existencia de una fuerza neta que tiende a empujar al objeto hacía el eje
de rotación siendo esta mayor en el eje de rotación14.
La velocidad angular o lineal en un líquido se puede medir por interferometría
Doppler o la velocimetría de imágenes de partículas (PIV). Nosotros hemos medido las
velocidades del fluido mediante el método de los fotogramas ya que éste puede realizarse con
una cámara de fotos o vídeo digital de forma relativamente sencilla en un laboratorio de Física.
Para ello filmamos con una cámara digital el proceso de agitación y después se analizó con el
programa informático Windows Movie Maker (figura 13), fotograma o fotograma, en el que se
dejó un pequeño plástico rojo por el borde y se calculó en el fotograma el ángulo recorrido
entre el tiempo que marcaba entre un fotograma y el siguiente y el radio donde se encontraba
(figura 12). La tabla I, refleja los datos obtenidos de esta manera, son unos datos poco
precisos, pero nos pueden dar una idea de los valores reales17.
Tabla I. Datos obtenidos grabando el proceso y analizándolo con Windows Movie Maker.
ω(rad·s-1) r(m)
3.49 0.029
5.23 0.019
6.98 0.016
8.72 0.013
10.47 0.0095
20.94 0.0063
52.35 0.0032
Física Didáctica y Vórtices
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Se puede observar de los valores de la tabla, que conforme nos vamos acercando al eje
de giro, la velocidad angular, ω, es próxima a unos 60 rad·s-1, valor próximo al que hemos
obtenido teóricamente de 2rad·s-1 y conforme nos vamos acercando al radio, la
velocidad angular tiende a cero.
Figura 12. Toma de radio inicial para comparativa con el análisis de los fotogramas
Figura 13. Vista del proceso de análisis de datos con Windows Movie Maker.
Representando gráficamente y ajustando a una curva, tipo ecuación (13):
bra 1 (16)
Villalba, J.M., Nájera, A., Arribas, E., Beléndez, A.
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Se obtiene la gráfica 3 con los coeficientes del ajuste
Gráfica 3. Representación de los puntos ω(r) vs r. Tabla I. Ecuación tipo (16)
Igualando términos con la ecuación (16):
(36 9) 10.024 0.005
r
La velocidad angular rad·s-1 que nos da la ecuación (17), está en
consonancia con los valores de la tabla I. Si lo comparamos con los valores obtenidos en la
gráfica 3 es lógico que el valor de la velocidad angular reducido a la mitad se corresponda con
un valor de radio reducido a la mitad (da un valor de ro=0.024 m frente al de la mitad del radio
del vaso que es 0.025 m).
8 CONCLUSIONES
Se ha realizado un simple experimento para el estudio de los vórtices forzados no
estacionarios que consiste en agitar agua en un vaso cilíndrico con una cuchara y esperar unos
dos segundos después de la agitación. El perfil que se obtiene es similar al obtenido por la
rotación a velocidad angular constante de un vaso cilíndrico lleno de agua y que se dejan pasar
unos segundos hasta que se estabiliza.
Para el estudio de este fenómeno, se tiene que encontrar, en primer lugar, la ecuación
de la velocidad angular, para después, a continuación, obtener el perfil de la curva que resulta
al pasar unos segundos después de agitar el agua con una cuchara.
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0
10
20
30
40
50
60
Data: Data1_BModel: wr Chi^2 = 161.88751R^2 = 0.54553 a 35.72586 ±9.57049b 0.02379 ±0.00531
r (m)
(r) (rad·s-1)
(17)
Física Didáctica y Vórtices
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Hasta lo que sabemos por ahora y en toda la bibliografía consultada para la realización
de este estudio, la ecuación de la velocidad angular, ecuación (13), es original de los autores
que firman el trabajo de la referencia [18], una ecuación que se puede deducir de la ecuación
(10) que se propone en la referencia [11] y en la que asumimos que la distribución radial de la
velocidad angular (r) decrece linealmente con la distancia al eje de rotación. Ecuación que
ajusta perfectamente los datos experimentales del perfil de z(r). Los valores hallados
teóricamente con estos ajustes coinciden con los valores experimentales.
También se ha hecho otro estudio, ajustando el perfil de z(r) de la fotografía con la
velocidad angular que propone la referencia [9] para el estudio del decaimiento del vórtice libre no estacionario confinado, y que se denomina vórtice de Oseen-Lamb. Los
resultados obtenidos con la ecuación que proponen para la velocidad angular, después de
realizar las aproximaciones oportunas, no concuerdan con los valores reales, como el valor del
radio del vaso y aunque el perfil de z(r) sale con una correlación muy buena (próxima a 1), los
datos se ajustan mejor con la ecuación (13) (Referencia [18]) de la velocidad angular.
Como trabajo futuro, se pretende realizar un estudio del decaimiento del vórtice
forzado no estacionario, para obtener con mayor precisión los datos experimentales y analizar
la bondad de la ecuación (13), mediante el análisis de vídeo, grabando a cámara lenta la
evolución la trayectoria de una partícula que caiga desde el borde del vaso y calculando con el
programa tracker la velocidad angular en función de la distancia r. Con estos datos
obtendremos la dependencia con 0 y r0 y estamos seguros de que coincidirán los valores
experimentales con los expuestos en este capítulo de libro.
9 BIBLIOGRAFÍA
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[18] F. J. Manjón, J. M. Villalba, E. Arribas, A. Nájera, A. Beléndez and J.A. Monsoriu, “Vórtices no estacionarios en un vaso de agua”, Revista Brasileira de Ensino de Física, 35, n.3, 3304 (2013).