vorticidad y circulación

31.- Cinemática de los fluidos.

§31.1. Descripción del movimiento de un fluido (941); §31.2. Campo de velocidades.Líneas de corriente (942); §31.3. Regímenes de flujo (944); §31.4. Derivada de una funciónligada a la partícula fluida (946); §31.5. Aceleración de una partícula fluida (948);§31.6. Flujo y caudal (949); §31.7. Ecuación de continuidad (951); §31.8. Tubo de corriente(952); §31.9. Manantiales y sumideros de flujo (953); §31.10. Circulación y vorticidad(954); §31.11. Flujo rotacional (958); §31.12. Flujo irrotacional. Potencial de velocidad(959); Problemas (963)

En esta lección estudiaremos el movimiento de los fluidos sin interesarnos porlas fuerzas que entran en juego. Nuestro propósito es desarrollar un conjunto deconceptos cinemáticos útiles para introducirnos, en las tres lecciones siguientes, enuna de las ramas más complejas y fascinantes de la Mecánica: la Dinámica de losFluidos.

§31.1. Descripción del movimiento de un fluido.- Una forma de describir

Figura 31.1

el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos infinitesimales devolumen, asimilables al concepto de partícula, y que llamaremos partículas fluidas;entonces, es cuestión de seguir el movimiento de cada una de esas partículas fluidas.Para ello, debemos asignar coordenadas (x,y,z) a cada una de las partículas fluidas yespecificar dichas coordenadas en función deltiempo t. Para una partícula fluida que se encon-trase en (x0,y0,z0) en el instante t0, las coordena-das (x,y,z) en un instante t quedarán determina-das por medio de las funciones

[31.1]

⎧⎪⎨⎪⎩

x x (x0,y0,z0,t)y y (x0,y0,z0,t)z z (x0,y0,z0,t)

o bien r=r(r0,t), que describirán el movimientodel fluido (Figura 31.1). Este procedimiento es unageneralización inmediata de los conceptos de lamecánica de las partículas y, aunque debido

Manuel R. Ortega Girón 941

942 Lec. 31.- Cinemática de los fluidos.

inicialmente a Euler, fue desarrollado y aplicado por Joseph Louis LAGRANGE1

(1736-1813).Sin embargo, existe otro procedimiento que resulta más adecuado para la mayoría

Figura 31.2

de los fines, desarrollado por Leonhard EULER (1707-1783), consistente en abandonarel intento de describir la historia de cada partícula fluida y, en su lugar, especificarla densidad y la velocidad del fluido en cada punto del espacio y en cada instante del

tiempo (Figura 31.2). Este es el procedimiento queseguiremos en estas lecciones. Así,describiremos el movimiento del fluido especi-ficando la densidad ρ(x,y,z;t) y el vectorvelocidad v(x,y,z;t) en el punto de coordenadas(x,y,z) y en el instante t. Así pues, nosinteresaremos por lo que está ocurriendo en uncierto punto del espacio y en un cierto instantede tiempo, en lugar de preocuparnos por lo quele ocurra a una determinada partícula fluida.Cualquier magnitud física que utilicemos paradescribir el estado del fluido (v.g., la presión p)tendrá un valor en cada punto del espacio y encada instante de tiempo, de modo que será unafunción de x, y, z y t (v.g., p=p(x,y,z;t)).

§31.2. Campo de velocidades. Líneas de corriente.- El estudio delmovimiento de los fluidos por el método de Euler nos lleva a asignar a cada puntodel espacio ocupado por el fluido un vector velocidad que es, en general, función delas coordenadas del punto y del tiempo, esto es, v=v(x,y,z;t). De este modo quedadefinido un campo de velocidades. Obviamente, el campo de velocidades es uncampo vectorial al que podemos aplicar la teoría desarrollada en la Lección 3(Análisis Vectorial). A partir de las propiedades de dicho campo vectorial,obtendremos las propiedades del flujo.

En general, las velocidades de las partículas fluidas en dos puntos cualesquieradel espacio son diferentes en un mismo instante; y también lo son para las partículasfluidas al pasar por un punto dado en distintos instantes de tiempo. Cuando estoocurre, se dice que el campo de velocidades, y el régimen de flujo asociado, es no-uniforme y no-estacionario (variable). Decimos que el régimen de flujo esestacionario o permanente cuando la velocidad en un punto cualquiera permanececonstante al transcurrir el tiempo; i.e., la velocidad de las partículas fluidas al pasarpor un punto dado es siempre la misma. Naturalmente, en un punto distintotendremos una velocidad diferente, pero constante al transcurrir el tiempo. Lacondición de régimen estacionario significa que la velocidad de las partículas fluidas

1 Joseph Louis LAGRANGE (1736-1813); matemático y físico teórico italo-francés. Trabajó entodos los campos de las Matemáticas y en cada uno de ellos abrió nuevos caminos al saber. EnAstronomía, le debemos mucho en el dominio de la Mecánica Celeste. En la Física, dedujo losprincipales principios de la Mecánica.

§31.2.- Campo de velocidades. Líneas de corriente. 943

es tan sólo función de sus coordenadas espaciales y no del tiempo; i.e., v=v(x,y,z).Cuando la velocidad de las partículas fluidas es la misma en todos los puntos delespacio, aun cuando pueda cambiar en el transcurso del tiempo, decimos que elrégimen de flujo es uniforme; entonces, el campo de velocidades no es función delas coordenadas espaciales, sino solamente del tiempo, esto es, v=v(t).

El campo vectorial de velocidades admite, como cualquier campo vectorial, una

Figura 31.3

representación gráfica mediante las llamadas líneas vectoriales (§3.1), que ahorareciben el nombre de líneas de corriente. Una línea de corriente queda definida porser tangente en cualquiera de sus puntos a la dirección de la velocidad de la partículafluida que pasa por ese punto (Figura 31.3). En un instante dado, las líneas de corrienteson las envolventes de los vectores velocidad de las partículas fluidas en el flujo. Laslíneas de corriente satisfacen la ecuación vectorial

[31.2]v × dr 0

donde dr=dxi+dyj+dzk representa un desplaza-miento elemental a lo largo de la línea de corriente.La ec. [31.2] expresa la condición de paralelismoentre los vectores v y dr, y es equivalente a

[31.3]dxvx

dyvy

dzvz

que son las ecuaciones diferenciales de la familia de líneas de corriente.En principio, podemos hacer pasar una línea de corriente por cada punto del

Figura 31.4

espacio ocupado por el fluido. Pero la representación gráfica resultará más clara yconveniente si espaciamos las líneas de corriente de modo que el número de ellas queatraviesan la unidad de área normal a su direcciónsea proporcional al valor (medio) de la velocidad delas partículas fluidas en los puntos de dicha superfi-cie unitaria (Figura 31.4). Con este convenio obtenemosun "mapa" de líneas de corriente que es muy útilpara analizar, al menos cualitativamente, el movi-miento del fluido. En las zonas en que las líneas decorriente están muy apretadas, la velocidad serágrande; en las que están muy separadas, será peque-ña. Una propiedad inmediata de las líneas de co-rriente es que no pueden cruzarse; de no ser así, no quedaría unívocamentedeterminada la velocidad de la partícula fluida en cada instante y en cada punto delespacio.

En el régimen de flujo estacionario, el

Figura 31.5

patrón de líneas de corriente permaneceinalterado en el transcurso del tiempo.Consideremos un punto A situado sobre unalínea de corriente (Figura 31.5). Puesto que vno cambia al transcurrir el tiempo, todapartícula que llegue al punto A pasará por élcon la misma velocidad (en módulo, direc-


ción y sentido) que las que le precedieron. Lo mismo ocurrirá en los puntos B, C, ...Por consiguiente, si trazamos la trayectoria de una partícula que pasó por el puntoA, esa será la trayectoria de todas las partículas que lleguen al punto A. Estatrayectoria define una línea de corriente.

En el régimen de flujo no-estacionario, el patrón de líneas de corriente puedecambiar en el transcurso del tiempo, y las trayectorias de las partículas no coinciden,en general, con las líneas de corriente en un instante dado. Las trayectorias y laslíneas de corriente se tocan en un punto, localizando la partícula en el instante encuestión.

El conjunto de líneas de corriente que, en un instante

Figura 31.6

dado, pasan por el contorno de un elemento infinitesimalde superficie (dS) definen un tubo de corriente (Figura 31.6).De la definición de línea de corriente, es evidente que nopasa fluido a través de las paredes laterales de un tubo decorriente. En el régimen de flujo estacionario, no podránmezclarse los fluidos de diferentes tubos de corriente. Endefinitiva, un tubo de corriente se comporta como unconducto de paredes impermeables, espesor nulo y secciónrecta infinitesimal. Un número infinito de tubos de corrien-

te adyacentes, que dan lugar a un tubo de corriente de sección recta finita, recibe elnombre de vena fluida.

§31.3. Regímenes de flujo.- Consideraremos ahora algunas característicasgenerales de los diversos tipos de flujo.

(a) Flujo estacionario y flujo no-estacionario.- Como ya hemos visto

Figura 31.7

anteriormente, cuando las propiedades y características del flujo, en cada punto delespacio, permanecen invariables en el transcurso del tiempo, el flujo se llamaestacionario o permanente; en caso contrario, se llama no estacionario o variable.El campo de velocidades en un flujo estacionario es función solamente de lascoordenadas espaciales (x,y,z), no siéndolo del tiempo t; esto es, v(x,y,z).

§31.3.- Regímenes de flujo. 945

Como ya sabemos, sólo en el régimen de flujo estacionario coinciden las líneasde corriente con las trayectorias seguidas por las partículas fluidas. Las condicionesde flujo estacionario se consiguen generalmente cuando las velocidades de flujo sonpequeñas.

En ocasiones, es posible obtener un flujo estacionario a partir de otro no-estacionario por un simple cambio del referencial. Así, por ejemplo, para un aviónen vuelo, el flujo no es estacionario en absoluto si empleamos un referencial ligadoa tierra (Figura 31.7 izq.). Sin embargo, si el avión está volando con velocidad constantev0 y empleamos un referencial solidario al avión (Figura 31.7 dcha.), el flujo del aire enese referencial, en el que el avión está en reposo, será (aproximadamente)estacionario. Obsérvese que ahora el fluido que se encuentra por delante del aviónposee una velocidad -v0 respecto al sistema de ejes (ξ,η,ζ) y que el paso del flujo no-estacionario al estacionario podría haberse obtenido superponiendo una velocidad -v0

al campo de flujo completo de la Figura 31.7 izq..(b) Flujo uniforme y flujo no-uniforme.- Cuando la velocidad de las partículas

Figura 31.8

fluidas es la misma, en cada instante, en todos los puntos delespacio ocupado por el fluido, decimos que el flujo es uniforme;en caso contrario, sería no-uniforme. En el régimen de flujouniforme, el patrón de líneas de corriente está constituido, encada instante, por líneas rectas, paralelas e igualmente espaciadas(Figura 31.8).

(c) Flujo compresible y flujo incompresible.- En el régimen de flujoincompresible se supone que la densidad del fluido es constante, i.e., independientede las coordenadas espaciales y del tiempo, simplificándose así extraordinariamenteel análisis del movimiento. En caso contrario, el flujo es compresible. Ordinaria-mente, podemos considerar que los líquidos presentan regímenes de flujo incompre-sibles; sólo en situaciones tales como la propagación del sonido en líquidos esnecesario tener en cuenta la compresibilidad de éstos. Pero hasta los gases, que sonaltamente compresibles, pueden experimentar cambios tan poco importantes en sudensidad que su flujo pueda considerarse como incompresible; este es el caso de laaerodinámica subsónica, donde el aire se considera incompresible.

(d) Flujo laminar y flujo turbulento.- Utilizamos el término de flujo laminar

Figura 31.9

para indicar que el fluido fluye en láminas o capas (Figura 31.9 arriba), en oposición alde flujo turbulento, cuando la velocidad en cadapunto presenta fluctuaciones macroscópicas alazar que se imponen sobre sus valores medios(Figura 31.9 abajo). El flujo laminar es un flujobien ordenado, en el que las capas fluidasdeslizan unas respecto a otras, sin entremezclar-se; v.g., la miel espesa que se vierte de un tarro.En el flujo turbulento ocurre lo contrario. El queel flujo sea laminar o turbulento quedadeterminado por su velocidad y por la configu-ración y tamaño del conducto. A medida queaumenta la velocidad, se produce una transicióndel régimen laminar al turbulento. Un ejemplosencillo de esta transición lo tenemos si obser-


vamos el humo que se eleva de un cigarrillo. Durante un cierto tramo, el humoasciende en régimen laminar; después, casi bruscamente, el régimen se convierte enturbulento y el humo se dispersa.

(e) Flujo irrotacional y flujo rotacional.- Deci-

Figura 31.10

mos que el flujo es irrotacional cuando cualquierpartícula fluida no posee velocidad angular netarespecto al punto en que se encuentra. En caso contra-rio, el flujo es rotacional. Podemos tener una aproxi-mación intuitiva a estos dos tipos de flujo imaginandouna ruedecilla con paletas inmersa en el fluido enmovimiento. Si la ruedecilla tan sólo se traslada, elflujo es irrotacional (Figura 31.10 arriba); si gira y setraslada (o sólo gira), el flujo es rotacional. El flujorotacional incluye el movimiento de vórtice (remolinos)(Figura 31.10 abajo) y los flujos con gradiente transversal

de velocidad (Figura 31.9 arriba).(f) Flujos uni y bidimensional.- El flujo unidimensional representa una

Figura 31.11

simplificación en la que se supone que las características y propiedades del flujo sonexpresables en función de una sola coordenada espacial y del tiempo. Generalmente,la coordenada espacial se toma a lo largo de una línea de corriente o conducto(Figura 31.11). La suposición de flujo unidimensional en un conducto exige que todaslas magnitudes físicas de interés (velocidad, presión, ...) tengan un valor constante,en un instante dado, en todos los puntos de una sección recta cualquiera delconducto. En realidad, esta condición nunca se cumple rigurosamente. Sin embargo,si las diferencias no son muy grandes, o si sólo interesan los efectos medios en cada

sección recta, puede suponerse la existencia de un flujounidimensional. De forma análoga se define el flujobidimensional.

(g) Flujo interno y flujo externo.- El flujo internoes aquél en el que el fluido fluye confinado dentro deuna estructura, como el que se produce en el interiorde tuberías y canales. El flujo externo es el de unfluido alrededor de un objeto, como el que tiene lugaralrededor de un perfil de ala de avión, de un cohete, deun submarino, ...

(h) Flujo viscoso y flujo no-viscoso.- La viscosidad representa la fricción entrelas diferentes capas fluidas que se mueven con distintas velocidades. La viscosidadintroduce fuerzas tangenciales entre las capas fluidas en movimiento relativo y dalugar a la pérdida de energía mecánica. En muchos casos la viscosidad juega unpapel importante en el movimiento del fluido (flujo viscoso); en otros casos, susefectos son irrelevantes (flujo no-viscoso).

§31.4. Derivada de una función ligada a la partícula fluida.- Al utilizarseel campo de velocidades para la descripción del movimiento de los fluidos, estamosempleando el método de Euler. Entonces, tenemos que recordar que las coordenadas(x, y, z) se refieren a puntos del espacio y no denotan la localización de las partículasfluidas individuales. Aunque el método de Euler centra la atención sobre lo que

§31.4.- Derivada de una función ligada a la partícula fluida. 947

ocurre en los puntos del espacio, al transcurrir el tiempo, no podremos evitar elseguimiento de las propias partículas fluidas, aunque sólo sea durante cortosintervalos de tiempo dt, pues es a las partículas fluidas, y no a los puntos del espacio,a las que se aplican las leyes de la Mecánica. Cada partícula fluida lleva asociada unconjunto de magnitudes físicas, escalares y vectoriales, tales como la densidad,presión, velocidad, aceleración, fuerza másica, ... que son funciones, en general, delas coordenadas (x,y,z) del punto en que se encuentra en un determinado instante detiempo t.

Sea f(x,y,z;t) una función escalar ligada a la partícula fluida, donde (x,y,z) son lascoordenadas de la partícula fluida en el instante t. Como la partícula fluida está enmovimiento, serán x=x(t), y=y(t) y z=z(t), por la que f(x,y,z;t) es una función quedepende únicamente del tiempo, a través de las variables intermedias x(t), y(t) y z(t).Empleando la regla de derivación de funciones compuestas, llegamos a la relación

[31.4]dfdt

∂f∂t

∂f∂x∂x∂t

∂f∂y∂y∂t

∂f∂z∂z∂t

Como (x, y, z) son las coordenadas de la partícula fluida que estamos siguiendo,resulta evidente que dx/dt, dy/dt y dz/dt son las componentes cartesianas de lavelocidad de dicha partícula, i.e., vx, vy y vz, respectivamente, de modo que

[31.5]dfdt

∂f∂t

vx∂f∂x

vy∂f∂y

vz∂f∂z

Esta expresión puede escribirse en notación vectorial, más compacta eindependiente del sistema de coordenadas elegido, de acuerdo con el convenio deutilización del operador nabbla (§3.12), ∇ ≡ (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z), obteniéndose

[31.6]dfdt

∂f∂t

(v ∇ ) f

El término ∂f/∂t representa la variación que experimenta la función f(x,y,z;t) enla unidad de tiempo en un punto fijo del espacio, de coordenadas (x,y,z); tal variaciónunitaria se llama derivada local y es, a su vez, función de x, y, z y t. El término(v ∇)f representa la variación que experimenta la función de f(x,y,z;t) en la unidadde tiempo debida al cambio de posición que experimenta la partícula fluida; talvariación unitaria se llama derivada convectiva y también es función de x, y, z y t.Por último, el término df/dt se denomina derivada total o sustancial, por ser la sumade las derivadas local y convectiva.

Puesto que la expresión [31.6] es aplicable a cualquier función escalar o vectorialligada a la partícula fluida podemos escribir

[31.7]ddt

∂∂t

(v ∇ )

expresión simbólica en la que las derivadas total, local y convectiva tienen elsignificado explicado anteriormente.


§31.5. Aceleración de una partícula fluida.- Podemos servirnos de laexpresión [31.4] para calcular la derivada total respecto al tiempo de cada una de lascomponentes (escalares), vx, vy y vz, de la velocidad de la partícula fluida. Así,obtendremos las ecuaciones escalares siguientes:

[31.8]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

dvx

dt

∂vx

∂t

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

vx

∂vx

∂xvy

∂vx

∂yvz

∂vx

∂z

dvy

dt

∂vy

∂t

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

vx

∂vy

∂xvy

∂vy

∂yvz

∂vy

∂z

dvz

dt

∂vz

∂t

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

vx

∂vz

∂xvy

∂vz

∂yvz

∂vz

∂z

cuyos primeros miembros representan las componentes cartesianas ax, ay y az de laaceleración de la partícula fluida. En notación vectorial

[31.9]a dvdt

∂v∂t

(v ∇ ) v

Así pues, la aceleración total o sustancial de una partícula fluida, i.e., dv/dt es lasuma de dos contribuciones: la aceleración local ∂v/∂t y la aceleración convectiva(v ∇)v.

Para ilustrar el significado físico de las aceleraciones local y convectiva,

Figura 31.12

consideraremos un fluido fluyendo por una tubería que tiene un tramo convergente(Figura 31.12). El patrón de líneas de corriente es aproximadamente el indicado en

la figura, al menos para velocidades nodemasiado altas.

Supongamos que, a partir de un ciertoinstante, aumentamos gradualmente el caudal delfluido a través de la tubería. Entonces, en todopunto del interior de la tubería, como A, B, ..., laspartículas fluidas van experimentando un aumentogradual de sus velocidades, a medida que

transcurre el tiempo, lo que implica la existencia de una aceleración en cada punto. Este tipo decambio local de la velocidad en la unidad de tiempo constituye la aceleración local y se determinacomo ∂v/∂t en cada punto.

Supongamos ahora que el movimiento del fluido ocurra en régimen estacionario. Entonces, lavelocidad de las partículas fluidas tendrán un valor constante en cada punto fijo del espacio, comoA, B, ... Sin embargo, la velocidad en el punto D será mayor que en B, porque la sección recta dela tubería es menor que en D. Así pues, cuando una partícula fluida se mueve desde B hacia D,experimenta un aumento en su velocidad, lo que implica la existencia de una aceleración, debidaa la falta de uniformidad del campo de velocidades v(x,y,z). Esta aceleración es la aceleraciónconvectiva, cuya expresión es (v ∇)v.

En resumen, la aceleración local es la consecuencia de un régimen de flujo no-estacionario y la aceleración convectiva lo es de un régimen de flujo no-uniforme.

§31.5.- Aceleración de una partícula fluida. 949

En ciertos análisis resulta conveniente utilizar un sistema de coordenadas en elque las líneas de corriente formen parte del mismo. En tal sistema, cualquiermagnitud física asociada al fluido podrá expresarse en función de la coordenadaintrínseca s que mide la distancia a lo largo de cualquier línea de corriente a unpunto fijo en ella. Así, por ejemplo, serán v=v(s,t), ρ=ρ(s,t), p=p(s,t), ... Siconsideramos un desplazamiento elemental dr a lo largo de una línea de corriente(Figura 31.13), el vector tangente et a la misma en un punto genérico será

[31.10]e t

drds

dxds

i dyds

j dzds

k

y la componente de ∇ a lo largo de la línea de corriente, esto es, et ∇, vendrá dadapor

[31.11]e t ∇dxds

∂∂x

dyds

∂∂y

dzds

∂∂z

∂∂s

de modo que

[31.12]v ∇ v e t ∇ v ∂∂s

Entonces, la expresión simbólica [31.7], que relaciona las derivadas total, local y

Figura 31.13

convectiva, podrá escribirse en la siguiente forma:

[31.13]ddt

∂∂t

v ∂∂s

que puede aplicarse a cualquier función, escalaro vectorial, asociada con el fluido. Así, laaceleración total vendrá dada por

[31.14]dvdt

∂v∂t

v ∂v∂s

Si nos limitamos a considerar fluidos en régimen de flujo estacionario, entoncesserá ∂v/∂t=0, y la aceleración total es igual a la convectiva; i.e., dv/dt=v dv/ds.Entonces, la aceleración total puede descomponerse en sus componentes intrínsecas:aceleración tangencial at y aceleración normal an, cuyas expresiones son

[31.15]at

dvdt

v dvds

12

dv 2

dsan

v 2

R

donde R es el radio de curvatura de la línea de corriente en el punto genérico.

§31.6. Flujo y caudal.- Ahora nos proponemos determinar el ritmo con el quefluye la masa a través de una superficie S fija en el espacio. Comenzaremos porconsiderar un elemento de superficie dS (Figura 31.14). Durante un intervalo de tiempoinfinitesimal dt, la masa de fluido que pasa a través de dS será la contenida en elcilindro oblicuo de arista v dt, paralela a la dirección de v, como se ilustra en la


Figura 31.14. El volumen de dicho cilindro es dV =v dt dS cosθ =v dS dt y la masacontenida en él es dm = ρdV =ρv dS dt, de modo que

Figura 31.14

[31.16]dΦ dmdt

ρv dS

representa el flujo másico elemental a través del elemen-to de superficie dS en la unidad de tiempo.

El flujo másico, o simplemente flujo, a través deuna superficie S, fija en el espacio, vendrá dado por

[31.17]Φ ⌡⌠

S

ρv dS

y representa la masa de fluido que pasa a través de la superficie S en la unidad detiempo. Las unidades de flujo son kg/s, g/s, ... u otras equivalentes.

Obsérvese que ρv, que es la densidad de cantidad de movimiento, representatambién la densidad de flujo, ya que su componente en cualquier dirección delespacio nos indica el ritmo a que fluye la masa por unidad de área en dichadirección.

El flujo volúmico o caudal a través de una superficie S, fija en el espacio, sedefine por

[31.18]⌡⌠

S

v dS

y representa el volumen de fluido que pasa a través de dicha superficie en la unidadde tiempo. Sus unidades son m3/s, cm3/s, l/s, ... u otras equivalentes.

En un régimen de flujo incompresible (ρ=cte), existe una relación sencilla entreel flujo y el caudal:

Figura 31.15

[31.19]Φ ρ ⌡⌠

S

v dS ρ

El flujo a través de una superficie fija y cerrada S,que delimita un volumen V, vendrá dado por

[31.20]ΦS

ρv dS

Si el flujo es positivo habrá más flujo saliente queentrante y la masa de fluido que hay dentro de lasuperficie S deberá disminuir (si no hay manantiales en

su interior); si el flujo es negativo, aumentará la masa en el interior de la superficie(si no hay sumideros en su interior). Si el flujo es cero, significa, o bien que no hayflujo a través de S, o bien que el flujo saliente es igual al entrante, de modo que lamasa de fluido en el interior de S no aumenta ni disminuye (si no existen nimanantiales ni sumideros en su interior).

De la definición de divergencia de un campo vectorial (§3.8), se sigue que

§31.6.- Flujo y caudal. 951

[31.21]∇ (ρv) límΔV→0

1ΔV S

(ρv) dS

de modo que ∇ (ρv) en un punto del espacio representa el flujo de masa, por unidadde volumen, que pasa a través de una superficie que encierra al punto, cuando dichasuperficie se va "deshinchando", encerrando siempre al punto, hasta confundirse conél.

§31.7. Ecuación de continuidad.- Consideremos de nuevo una superficiecerrada S, fija respecto a un sistema coordenado (x,y,z) que delimita un volumen Vy que está inmersa en un flujo v(x,y,z;t) de un fluido de densidad ρ(x,y,z;t). Laexpresión [31.20] nos permite calcular el flujo de masa a través de dicha superficie.

Por otra parte, la masa de fluido que hay en un instante dado en el interior de lasuperficie S es

[31.22]m ⌡⌠

V

ρ dV

de modo que la variación de masa, por unidad de tiempo, en el interior de lasuperficie S es

[31.23]dmdt

ddt ⌡⌠

V

ρ dV ⌡⌠

V

∂ρ∂t

dV

La ecuación de continuidad debe ser la expresión del principio de conservaciónde la masa fluida (en ausencia de manantiales y sumideros). Esto quiere decir que elflujo de masa que pasa a través de la superficie cerrada S debe ser igual a ladisminución, por unidad de tiempo, de la masa de fluido contenida en su interior.Esto es,

[31.24]S

ρv dS ddt ⌡⌠

V

ρ dV

que es la forma integral de la ecuación de continuidad.Si ahora aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss (§3.9) al primer

miembro de la expresión anterior, tendremos

[31.25]⌡⌠

V

∇ (ρv) dV ⌡⌠

V

∂ρ∂t

dV

y como ambas integrales están referidas al mismo volumen V,

[31.26]⌡⌠

V

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∇ (ρv) ∂ρ∂t

dV 0

de modo que, por ser V un volumen arbitrario, se sigue que en cualquier punto delespacio ocupado por el flujo se verifica


[31.27]∂ρ∂t

∇ (ρv) 0

que es la forma diferencial de la ecuación de continuidad.El significado físico de los dos términos en la expresión anterior es el siguiente:∂ρ/∂t representa la variación de masa por unidad de tiempo y de volumen enun volumen elemental que contiene a un punto fijo en sistema coordenado.∇ (ρv) representa la masa que sale por unidad de tiempo y de volumen através de la superficie de dicho volumen elemental.Para un régimen de flujo estacionario será ∂ρ/∂t=0, de modo que la ecuación de

continuidad se transforma en

[31.28]∇ (ρv) 0

y para un flujo incompresible (ρ=cte.) tendremos

[31.29]∇ v 0

expresión válida aunque el flujo incompresible sea no-estacionario.

§31.8. Tubo de corriente.- Consideremos un régimen de flujo estacionario yapliquemos la ecuación de continuidad, en su forma integral [31.24], a una porción detubo de corriente comprendida entre dos secciones rectas fijas, dS1 y dS2. Sean v1 yv2 las velocidades y ρ1 y ρ2 las densidades del fluido en esas secciones rectas. Comoel tubo de corriente se comporta como un conducto impermeable, de modo que nohay flujo a través de sus paredes laterales, tendremos que

[31.30]S

ρv dS ρ1v1 dS1 ρ2v2 dS2 0

o sea

Figura 31.16

[31.31]ρ1v1 dS1 ρ2v2 dS2

Evidentemente la expresión ρvdS representa el flujo demasa (masa que pasa por unidad de tiempo) a través deuna sección recta del tubo; dicho flujo de masa esconstante a todo lo largo de un tubo de corriente.

Si el régimen de flujo es estacionario e incompresi-ble, entonces la expresión [31.31] se reduce a

[31.32]v1 dS1 v2 dS2

que expresa la constancia del flujo de volumen o caudal (volumen de fluido que pasapor unidad de tiempo) a través de todas las secciones rectas de un tubo de corriente.

Si consideramos un tubo de corriente de sección recta finita (vena fluida), ysuponemos un régimen de flujo unidimensional, además de estacionario, lasexpresiones [31.31] y [31.32] se escriben así:

§31.8.- Tubo de corriente. 953

[31.33]ρ1v1S1 ρ2v2S2 v1 S1 v2 S2

que son las relaciones sencillas que encontramos en los textos de física elemental.

§31.9. Manantiales y sumideros de flujo.- En el caso más general, laecuación de continuidad [31.27] deberá reescribirse de modo que tenga en cuenta laexistencia de puntos singulares en los que ∂ρ/∂t+∇ (ρv)≠0. En tales puntos,llamados manantiales y sumideros de flujo, tiene lugar la aparición y desaparición,respectivamente, de masa fluida. Entonces, la ecuación de continuidad adopta laforma general

Figura 31.17

[31.34]∂ρ∂t

∇ (ρv) Λ

donde Λ representa la masa que está apareciendo porunidad de tiempo y de volumen en un volumen elemen-tal que contiene a un punto manantial de flujo (Λ>0) oque está desapareciendo en un punto sumidero de flujo(Λ<0).

Para aclarar mejor el significado de Λ, imaginaremos un

Figura 31.18

tubo de diámetro pequeñísimo, con un extremo abierto en elpunto P, que está descargando fluido a razón de Λ unidades demasa por unidad de tiempo en el interior de una esfera de volumen unitario centrada en el puntoP (Figura 31.17). Naturalmente, este ejemplo no es más que una artimaña para aproximarnos alsignificado de un manantial de flujo (¿porqué?). Un manantial de flujo aislado no se presenta nuncaen la Naturaleza, pero necesitamos estudiar esta situación idealizada para desarrollar la teoríageneral de las corrientes fluidas.

En la Figura 31.18a hemos representado el campo de flujo de un punto manantial;las líneas de corriente están dirigidas radialmente alejándose del manantial. El campode flujo alrededor de un sumidero presenta el mismo aspecto; salvo que las líneas decorriente se dirigen radialmente hacia el sumidero. En la Figura 31.18b. representamosel campo de flujo debido a un doblete o dipolo de flujo. El doblete está constituido


por un manantial y un sumidero de la misma intensidad (Λ y -Λ) separados por unadistancia muy pequeña.

Obsérvese que las figuras citadas bien podrían corresponder a las representaciones de loscampos electrostáticos creados por una carga positiva (+Q) y por un dipolo eléctrico (+Q,-Q),respectivamente. De hecho, existe una gran analogía entre los campos de flujo y electromagnéticos,lo que nos permite, a menudo, determinar el campo de flujo, que resulta difícil abordar por elCálculo, mediante medidas experimentales efectuadas con dispositivos electromagnéticosapropiados.

§31.10. Circulación y vorticidad.- Dado un campo de velocidades v(r,t),

Figura 31.19

definimos su circulación, en un instante t, entre los puntos α y β y a lo largo de unalínea fija dada C que los une, mediante laintegral curvilínea

[31.35]⌡⌠β

αC

v dr

cuyo valor depende, en general, del camino Cseguido para unir los puntos α y β.

En particular, la integral curvilínea anteriorpuede calcularse a lo largo de una línea cerraday fija cualquiera. Designaremos por Γ la circu-lación del campo de velocidades v(r,t), en uninstante t, a lo largo de una línea cerrada y fija,esto es

[31.36]ΓC

v dr

Ejemplo I.- Flujo de rotación uniforme.- Consideremos un

Figura 31.20

flujo bidimensional en el que las líneas de corriente seancircunferencias concéntricas en el origen de coordenadas yen el que la velocidad venga dada por v=ωr (rotaciónuniforme). Un flujo de este tipo corresponde a una rotacióndel conjunto del fluido en torno a un eje que pasa por elorigen, perpendicular al plano del papel. En la Figura 31.20(arriba) representamos el patrón de líneas de corriente, conel espaciado adecuado; en la Figura 31.20 (abajo) represen-tamos el perfil de velocidades a lo largo de un eje normalal de giro.

La circulación a lo largo de una línea de corriente deradio r1 es

[31.37]Γ1C1

v dr v1C1

ds 2π ω r 21

de modo que aumenta con el cuadrado del radio.

§31.10.- Circulación y vorticidad. 955

De un modo general, la línea C no tiene por qué coincidir con una línea de corriente. Así, lacirculación a lo largo del contorno abcda, recorrido en el sentido de las letras, es

[31.38]Γabcda

v dr v1 ⌡⌠

ab

ds v2 ⌡⌠

cd

ds ω r1 α r1 ω r2 α r2 ω α (r 21 r 2

2 )

En consecuencia, en este ejemplo, la circulación de v(r) a lo largo de cualquier línea cerradaes siempre distinta de cero, con independencia de que la línea C rodee o no al origen decoordenadas.

Figura 31.21

Ejemplo II.- Consideremos ahora un flujo bidimensional enel que las líneas de corriente sean circunferencias concéntri-cas en el origen de coordenadas y en el que la velocidadvenga dada por v=K/r, siendo K una constante positiva.

La circulación a lo largo de una línea de corrientecualquiera es

[31.39]ΓC

v dr vC

ds Kr

2π r 2π K

de modo que tiene un valor constante y distinto de cero paracualquier circunferencia centrada en el origen. Este resultadotambién es válido para cualquier línea cerrada que rodee alorigen de coordenadas.

En cambio, la circulación a lo largo de cualquier líneacerrada que no rodee al origen será siempre nula, en esteejemplo, como resulta fácil de verificar calculándola a lolargo del contorno abcda; en efecto

[31.40]Γ

abcda

v dr v1 ⌡⌠

ab

ds v2 ⌡⌠

cd

ds Kr1

α r1

Kr2

α r2 0

En consecuencia, el origen de coordenadas es un punto singular.

El teorema de Stokes (§3.11) nos permite relacionar la circulación de un campovectorial a lo largo de una línea cerrada cualquiera C con una integral de superficieque representa el flujo del rotacional del campo vectorial a través de una superficiecualquiera S que tenga a la línea C como borde o contorno. Aplicándolo al campode velocidades, tenemos

[31.41]C

v dr ⌡⌠

S(∇ × v) dS

El rotacional del campo de velocidades es un concepto muy útil en el estudio delas propiedades de los campos de flujo. El rotacional del campo de velocidades recibeel nombre de vorticidad y se representa por Ω; esto es

[31.42]Ω ∇ × v


De acuerdo con la definición del rotacional (§3.11), la circulación por unidad de

Figura 31.22

área a lo largo de un circuito elemental que rodea al punto P (Figura 31.22) es igual ala componente de ∇×v en la dirección normal al elemento de superficie dS definidopor dicho circuito elemental. Esto es, la vorticidad Ω representa la circulación

alrededor de la unidad de área (perpendicular a ladirección de Ω). Así, ∇×v es una especie de medidadel ritmo de rotación del fluido por unidad de área; deahí viene su nombre.

La vorticidad Ω es siempre distinta de cero en laproximidad de un remolino o vórtice (vide Ejemplos Iy II); pero también puede ser diferente de cero en lasregiones en las que no haya remolinos con tal de queexista un gradiente transversal de velocidad, comoilustraremos en el ejemplo siguiente.

Ejemplo III.- Gradiente transversal de velocidad.- Consideremos un flujo bidimensional en ladirección del eje x, que represente un gradiente transversal de velocidad; esto es, v = Ay i.

La vorticidad en un punto genérico es

[31.43]Ω ∇ × v

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Ay

0

0

Ak

La circulación a lo largo del contorno abcda (Figura 31.23) es

[31.44]abcda

v dr ⌡⌠

x2

x1

Ay2dx ⌡⌠

x1

x2

Ay1dx A (x2 x1) (y2 y1)

o sea

Figura 31.23

Γabcda

v dr AS

donde S es el área delimitada por el contorno abcda.Este resultado es válido cualquiera que sea la formade la línea cerrada contenida en el flujo.

Podemos llegar al mismo resultado anteriorcalculando el flujo de la vorticidad Ω a través de lasuperficie S delimitada por el contorno abcda:

[31.46]

Γ ⌡⌠

Sabcda

Ω dS ⌡⌠

S

(A k ) ( dS k )

A ⌡⌠

S

dS AS

Si la vorticidad es nula en todos los puntos del espacio ocupado por elfluido, se dice que el flujo es irrotacional; en caso contrario, el flujo esrotacional.

§31.10.- Circulación y vorticidad. 957

Si en un punto cualquiera del campo de flujo es ∇×v=0, las partículas fluidas quepasan por dicho punto no tendrán velocidad angular neta alrededor de dicho punto;esto es, no poseerán momento angular intrínseco. Pero si ∇×v≠0 en un punto,entonces las partículas fluidas que pasan por él poseerán velocidad angular netaalrededor de un eje que pasa por dicho punto y un momento angular intrínseco(Figura 31.24).

Aclaremos el significado de ∇×v empleando un referencial que gire con veloci-

Figura 31.24 Figura 31.25

dad angular ω (Figura 31.25). Si designamos por v′ el campo de velocidades en esereferencial, se tiene:

[31.47]v v′ ω × r

entonces, calculando el rotacional de ambos miembros

[31.48]∇ × v ∇ × v′ ∇ × (ω × r)

y teniendo en cuenta que (vide Problema 31.17)

[31.49]∇ × (ω × r ) 2ω

resulta [31.50]∇ × v ∇ × v′ 2ω

Entonces, si hacemos [31.51]ω 12∇ × v Ω

2

tendremos que [31.52]∇ × v′ 0

En consecuencia, si es ∇×v≠0 en un punto P, será suficiente emplear un sistemacoordenado que gire con una velocidad angular ω=(∇×v)/2 para que el campo deflujo sea irrotacional en P. En definitiva, podemos interpretar la vorticidad Ω en unpunto del campo de flujo como el doble de la velocidad angular de la partícula fluidaalrededor de un eje que pasa por dicho punto. Si la vorticidad es constante, seráposible emplear un sistema coordenado giratorio en el que el flujo sea irrotacional.


§31.11. Flujo rotacional.- Lo definimos como aquél en el que Ω=∇×v≠0. Elcomienzo de una rotación en una partícula fluida que estuviese inicialmente enrégimen de flujo irrotacional exige la acción de esfuerzos cortantes sobre la superficiede la partícula fluida. La viscosidad del fluido puede proporcionar estos esfuerzoscortantes.

El rotacional del campo de velocidades

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4C.pdf 10/11/2006 20:54:02

Figura 31.26

define un nuevo campo vectorial Ω, que puederepresentarse mediante líneas y tubos vectorialesque ahora reciben los nombres de líneas y tubosde vórtice. Si calculamos la divergencia delcampo de vórtice Ω obtendremos

[31.53]∇ Ω ∇ (∇ × v) 0

ya que la divergencia de un rotacional siemprees nula (vide expr. [A12], página 965). El

campo de vórtice es solenoidal, de modo que no existen ni manantiales ni sumiderosdel vector Ω; por lo tanto, las líneas de vórtice se cierran sobre sí mismas o seprolongan hasta los límites del flujo. Si calculamos el flujo del campo de vórtice através de una superficie cerrada

[31.54]SΩ dS ⌡

⌠V

(∇ ·Ω ) dV 0

En particular, si aplicamos la expresión anterior a una porción de un tubo devórtice comprendido entre dos secciones fijas dS1 y dS2, se obtiene

[31.55]Ω1 dS1 Ω2 dS2

de modo que el flujo de la vorticidad es el mismo a través de todas las seccionesrectas de un tubo de vórtice.

Se define la intensidad de un tubo de vórtice de sección recta finita como el flujode la vorticidad Ω a través de una sección recta cualquiera del tubo de vórtice. Estoes

[31.56]⌡⌠

S

Ω dS ⌡⌠

S

(∇ × v) dSC

v dr Γ

resultando ser igual a la circulación Γ del campo de velocidades v a lo largo de unalínea cerrada cualquiera trazada sobre las paredes del tubo de vórtice. Dichaintensidad se mantiene constante a lo largo del tubo de vórtice.

Ejemplo IV.- Reconsideremos el flujo bidimensional en rotación uniforme que ya hemos tratadoen el Ejemplo I. Determinar su vorticidad.

El campo de velocidades vendrá dado por

§31.11.- Flujo rotacional. 959

[31.57]v ω × r

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

0

0

ω×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

yωxω0

de modo que

Figura 31.27

[31.58]Ω ∇ × v

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

yωxω0

2ω k

o sea [31.59]Ω ∇ × v 2ω ≠ 0

Así pues, se trata de un flujo rotacional de vorticidad constante.Las líneas de vórtice son rectas paralelas regularmente espaciadas, como se ilustra en laFigura 31.27.

§31.12. Flujo irrotacional. Potencial de velocidad.- Definimos el flujoirrotacional como aquél en el que ∇×v=0 en todos los puntos del espacio en los queestá definido; entonces, el movimiento de las partículas fluidas es una traslación pura,sin rotación interna.

Como ya sabemos, un campo vectorial irrotacional puede expresarse como elgradiente de una función escalar llamada función de potencial. En consecuencia, enel movimiento irrotacional de un fluido podemos definir una función escalar depunto, que designaremos por ϒ y que llamaremos potencial de velocidad, tal que

[31.60]v ∇ ϒ

donde el signo negativo es convencional.La circulación del campo de velocidades v(r,t), en un instante dado, entre los

puntos a y b, a lo largo de una línea inmersa en el flujo y que una ambos puntos,será

[31.61]⌡⌠

b

aC

v dr ⌡⌠

b

a

∇ϒ dr ⌡⌠

b

a

dϒ (ϒb ϒa)

y no depende del camino seguido, sino sólo de las posiciones de los puntos a y b.El potencial en un punto genérico será

[31.62]ϒ (r) ϒ (r0) ⌡⌠

r

r0

v(r) dr

y no queda definido a menos que se asigne un valor arbitrario a ϒ(r0).En particular, la circulación del campo de velocidades a lo largo de una línea

cerrada cualquiera será nula


[31.63]C

v dr 0

salvo en el caso de que la línea cerrada rodee a algún punto singular (vide EjemploII).

Podemos representar el campo escalar ϒ(r,t) mediante superficies equipotenciales(o líneas equipotenciales en los problemas bidimensionales), de acuerdo con lasnormas que ya conocemos para este tipo de representaciones. A partir del patrón desuperficies (o líneas) equipotenciales, que serán ortogonales con las líneas decorriente, podemos hacernos una idea cualitativa de algunas propiedades del flujo.Así, en las regiones donde la velocidad del flujo sea grande, las superficies (o líneas)equipotenciales estarán muy apretadas.

Si consideramos un régimen de flujo incompresible y sin manantiales nisumideros, además de irrotacional, entonces será

[31.64]∇ v ∇ ( ∇ϒ ) ∇2ϒ 0

o sea [31.65]∇2ϒ 0

que es la ecuación de Laplace, donde ∇2 es el operador laplaciano, que encoordenadas cartesianas toma la forma

[31.66]∇2ϒ ∂2ϒ∂x 2

∂2ϒ∂y 2

∂2ϒ∂z 2

En definitiva, toda función escalar que satisfaga la ecuación de Laplace puedeser considerada como un posible potencial de velocidad correspondiente a un flujoirrotacional e incompresible. Y recíprocamente, para la resolución de un problemareferente a un flujo irrotacional e incompresible hay que encontrar la solución de laecuación de Laplace bajo ciertas condiciones de contorno que dependerán de cadaproblema particular. Para ello puede ser conveniente la utilización de sistemascoordenados distintos del cartesiano.

A modo de ejemplos, analizaremos brevemente tres potenciales de velocidadsimples que dan lugar a flujos irrotacionales e incompresibles interesantes.

(a) Flujo uniforme.- El flujo irrotacional e incompresible más elemental es el

Figura 31.28

definido por el potencial de velocidad ϒ = -v0x, donde v0 es una constante positiva.Evidentemente, este potencial de velocidad satisface la ec. de Laplace; i.e., ∇2ϒ=0.

El campo de velocidades viene dado por

[31.67]v ∇ϒ v0 i

de modo que tenemos un flujo uniforme (y estaciona-rio) dirigido en el sentido positivo del eje x. Elpatrón de líneas de corriente está constituido porlíneas rectas paralelas al eje x y uniformementeespaciadas (Figura 31.28); las superficies equipotencia-les son planos perpendiculares a las líneas de co-rriente y regularmente espaciados.

§31.12.- Flujo irrotacional. Potencial de velocidad. 961

(b) Flujo de un manantial.- Consideremos el flujo representado por el potencialde velocidad ϒ=K/r, donde K es una constante positiva y r es la distancia al origende coordenadas. Puesto que la función ϒ es simétrica respecto al origen, resultaconveniente emplear coordenadas polares esféricas. Así, vemos que la ec. de Laplace(vide expr. [C12], página 965)

[31.68]∇2ϒ 1r∂2

∂r 2(rϒ ) 1

r∂2K∂r 2

0 para r ≠ 0

se satisface en todos los puntos salvo en el origen (r=0).El campo de velocidades viene dado por

[31.69]v ∇ϒ e r∂ϒ∂r

Kr 2

e r

de modo que tenemos un flujo que se origina en el origen de coordenadas y se dirigeradialmente en todas las direcciones; esto corresponde a un punto manantial aisladoen el origen (vide Figura 31.18 izq.). Obsérvese que ni ϒ ni v están definidos en elorigen; por eso no se cumplen ni la ec. de Laplace ni la ec. de continuidad en esepunto. La existencia de una velocidad infinita en el origen y la cuestión de laprocedencia del fluido que se está "produciendo" en dicho punto conducen a laconclusión de que ese punto es ficticio y carente de significado físico.

La masa de fluido que atraviesa por unidad de tiempo una superficie esféricacentrada en el origen es

[31.70]S

ρv dS ρS

Kr 2

dS ρKr 2

S

dS ρKr 2

4π r 2 4π Kρ

y representa el ritmo con que se está "produciendo" fluido en el origen decoordenadas.

Si cambiamos el signo del potencial de velocidad, i.e., ϒ = -K/r, con K>0,tendremos el flujo correspondiente a un sumidero en el origen.

(c) Vórtice irrotacional.- El flujo de vórtice irrotacional tiene como potencial develocidad ϒ = -Kθ, en coordenadas cilíndricas, donde K es una constante. Lassuperficies equipotenciales constituyen un haz de planos definido por el eje z. Es fácilcomprobar que este potencial de velocidad satisface a la ec. de Laplace (vide expr.[C08], página 965):

[31.71]∇2ϒ 1

r 2

∂2ϒ∂θ2

1

r 2

∂2

∂θ2( Kθ ) 0

para r≠0. El campo de velocidades viene dado por

[31.72]v ∇ϒ 1r∂V∂θ

eθ1r∂∂θ

( Kθ) eθKr

eθ


de modo que la velocidad sólo tiene componente transversal y no está definidafísicamente en los puntos del eje z (r=0). Las líneas de corriente son circunferenciasconcéntricas en los puntos del eje z (vide Ejemplo II).

El flujo es irrotacional por ser

[31.73]∇ × v 1r∂∂r

(r vθ) k 1r∂∂r⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r Kr

k 0 para r ≠ 0

de modo que los puntos del eje z (r=0) son singulares y deben excluirse de la región

Figura 31.29

de flujo irrotacional. En un flujo rotacional existe un conjunto infinito de líneas devórtice; en un vórtice irrotacional tridimensional existeun línea de vórtice única, definida por los centros de losvórtices irrotacionales bidimensionales.

La circulación Γ a lo largo de cualquier líneacerrada que no rodee al eje z será siempre nula; pero sila línea rodea al eje z, la circulación tendrá un valorfinito y constante, ya que

[31.74]

ΓC

v dr ⌡⌠

2π

0

vθ (r dθ)

⌡⌠

2π

0

Kr

r dθ 2π K

que, de acuerdo con la expresión [31.56], nos define la intensidad del vórtice.El flujo de vórtice irrotacional constituye una

Figura 31.30

buena aproximación del tornado y del huracántropical o tifón. Naturalmente, el vórtice no puedetener una velocidad infinita en su centro, de modoque el núcleo central gira como un sólido rígido ycorresponde a una zona de calma relativa (ojo delhuracán). Encontramos otro ejemplo interesante en elremolino que se forma mientras que se está vaciandoel agua de un lavabo; obviamente, el vórticeirrotacional contribuye sólo a una parte de estosmovimientos, ya que las partículas fluidas poseencomponentes de velocidad radial y vertical, ademásde transversal (Figura 31.30).

Problemas 963

Problemas

31.1.- Un flujo bidimensional en régimenestacionario e incompresible está confinadopor los planos coordenados x=0 e y=0 y por elcilindro hiperbólico de ecuación xy=K (K=cte).a) Obtener la ecuación general de la familia delíneas de corriente. b) Obtener la expresión delcampo de velocidades. c) Ídem del campo deaceleraciones.

31.2.- En el Problema 31.1, determinar lascomponentes intrínsecas de la aceleración enun punto genérico (x,y).

31.3.- Dado el campo de velocidades

v=x2i + 3xyj + 5tk (unidades c.g.s.)

determinar la velocidad y la aceleración de lapartícula fluida que se encuentra en el puntoP(2,1,3) en el instante t=4 s.

31.4.- En un flujo, el campo de velocidadesviene dado por

v = xyzi + xtj + zt2k (unidades c.g.s.)

a) Determinar la velocidad de la partículafluida situada en el punto P (1,2,3) en elinstante t = 5 s. b) Determinar las aceleracio-nes local, convectiva y total en ese punto endicho instante.

31.5.- Dado el campo de velocidades

v = 10i + (x2+y2)j + xyzk (unidades c.g.s.)

¿Cuál es la aceleración de la partícula fluidaen el punto (3,2,5)?

31.6.- En la figura se muestra una tubería de

Prob. 31.6

sección recta circular cuyo radio varía lineal-mente en un tramo de 1.50 m de longitud. Porla tubería circula un fluido incompresible, enrégimen que puede considerarse unidimensio-nal, con un caudal constante de 113 litros/s. Sepide calcular la velocidad y la aceleración del

fluido en los siguientes puntos situados sobreel eje de simetría de la tubería: a) al comienzode la convergencia; b) a una distancia de 0.5m del comienzo de la convergencia; c) ídem a1.0 m y d) al final de la convergencia.

31.7.- En el Problema 31.6 supongamos ahoraque el flujo no es estacionario, sino que au-mente con un ritmo constante de 10 /s2. Enestas condiciones, determinar las aceleracionesen los mismos puntos citados en el Proble-ma 31.6, en el instante en que el caudal tieneel valor de 113 /s.

31.8.- Por el

Prob. 31.8

interior deuna tuberíade 30 cm ded i á m e t r ocircula unfluido visco-so en régi-men laminar, presentando un perfil develocidades parabólico, dado por v= 45 - 0.2r2

(unid. cgs). a) Calcular el caudal a través de latubería. b) ¿Cuál es la velocidad media delfluido en el conducto de 30 cm de diámetro?c) ¿Ídem en el de 20 cm?

31.9.- a) Demostrar que la ecuación de conti-nuidad [31.27], en ausencia de manantiales ysumideros, puede expresarse en la formaalternativa dρ/dt + ρ∇ v = 0. b) Comentar elsignificado y la aplicabilidad de esta forma deexpresar la ec. de continuidad.

31.10.- a) Determinar el campo de flujoirrotacional asociado con el potencial develocidad

ϒ = 3x2 -2xt -3y2 -12zt2

b) ¿Satisface este campo de flujo la ecuaciónde continuidad para un flujo solenoidal eincompresible?

31.11.- Un flujo bidimensional e incompresibleestá definido por el campo de velocidad

v = - Ayi + Bxj

donde A y B son constantes positivas. a) Ave-riguar si este campo es solenoidal. b) Averi-guar si es irrotacional. c) Encontrar la ecuacióngeneral de las líneas de corriente. ¿Cómo son


estas líneas? d) ¿Cuál es la velocidad angularintrínseca de las partículas fluidas?e) Determinar la expresión del campo deaceleraciones. f) Demostrar que la circulacióndel campo de velocidades a lo largo de unalínea cerrada contenida en el plano xy esproporcional al área que encierra dicha línea.

31.12.- Un flujo está definido por el campo develocidades

v = (10t+x)i - yzj + 5tk

a) Determinar la velocidad angular intrínsecade la partícula fluida situada en el punto decoordenadas (5,6,2). b) ¿Sobre qué superficiees irrotacional el flujo?

31.13.- Un fluido gira en régimen estacionariocon una velocidad angular ω=ω(r)k, donde rrepresenta la distancia de una partícula fluidaal eje de rotación, que supondremos vertical.Demostrar que si el movimiento es irrotacio-nal, deberá ser ω=K/r2, donde K es unaconstante.

31.14.- Consideremos un flujo bidimensional

Prob. 31.14

y estacionario alrededor de un cilindro deradio a, como se muestra en la figura adjunta.Utilizando coordenadas cilíndricas, podemosexpresar el campo de velocidades, para unflujo en régimen incompresible y no viscoso,de la forma siguiente

v(r,θ)⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 a 2

r 2v∞cosθ er

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 a 2

r 2v∞senθ eθ

donde v∞ es una constante. a) Demostrar queel flujo es solenoidal. b) Demostrar que elflujo es irrotacional. c) Obtener la expresióndel potencial de velocidad ϒ(r,θ).

31.15.- Un flujo bidimensional está definidopor el campo de velocidades

v = 2r/(5+r)eθ (unid. mks)

en coordenadas cilíndricas. a) Demostrar queeste flujo es irrotacional. b) Expresar la velo-cidad angular intrínseca de las partículasfluidas en función de r. ¿Cuál sería la veloci-dad angular intrínseca de una ruedecilla depaletas colocada en r=0? c) Representargráficamente los perfiles de velocidad y devorticidad en función de r. d) Hacer un esque-ma aproximado del patrón de líneas de co-rriente. e) Calcular la intensidad de un tubo devórtice de sección recta circular, de radio r,cuyo eje es el eje z. f) Verificar si se cumplela ecuación de continuidad. ¿Existe algúnpunto singular?

31.16.- Un campo de flujo bidimensional eincompresible está definido por el campo develocidades siguiente:

v ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Ar

B3

r 2 senθ er Br 2 cosθ eθ

en coordenadas cilíndricas, donde A y B sonconstantes. a) Verificar si se cumple la ecua-ción de continuidad (sin manantiales ni sumi-deros). b) Demostrar que el flujo es rotacional.c) ¿En qué puntos es nula la velocidad angularintrínseca de las partículas fluidas? d) Calcularla circulación del campo de velocidades a lolargo de una circunferencia de radio Rcontenida en un plano perpendicular al eje z ycon centro en dicho eje.

31.17.- Demostrar la expresión [31.48]; i.e.,∇×(ω×r)=2ω.

El operador ∇. 965

El operador ∇

A. OPERACIONES ALGEBRAICAS.

[A01] [A02]∇(φ ψ) ∇φ ∇ψ ∇ (A B) ∇ A ∇ B

[A03] [A04]∇×(A B) ∇×A ∇×B ∇(φψ) φ∇ψ ψ∇φ

[A05] [A06]∇ (φA) φ ∇ A (∇φ) A ∇×(φA) φ ∇×A (∇φ)×A

[A07] ∇(A B) A×(∇×B) B×(∇×A) (A ∇)B (B ∇)A

[A08] ∇ (A×B) (∇×A) B A (∇×B)

[A09] ∇×(A×B) A(∇ B) B(∇ A) (B ∇)A (A ∇)B

[A10] (A ∇)A (∇×A)×A 12∇A 2

[A11] [A12]∇ (∇φ) ∇2φ ∇ (∇×A) 0

[A13] [A14]∇×(∇φ) 0 ∇×(∇×A) ∇(∇ A) ∇2A

B. TRANSFORMACIONES DE INTEGRALES.

[B01] (teorema de Stokes)C

A dr ⌡⌠⌡⌠

S

(∇×A) dS

[B02]C

φ dr ⌡⌠⌡⌠

S

dS × (∇φ)

[B03] (teorema de Gauss)S

A dS ⌡⌠⌡⌠⌡⌠

V

(∇ A) dV

[B04]S

φ dS ⌡⌠⌡⌠⌡⌠

V

(∇φ) dV

[B05]S

dS × A ⌡⌠⌡⌠⌡⌠

V

(∇×A) dV

[B06] (1ª ident. de Green)S

(φ ∇ψ) dS ⌡⌠⌡⌠⌡⌠

V

[(φ ∇2ψ) (∇φ) (∇ψ)] dV

[B07] (2ª ident. de Green)S

(φ∇ψ ψ∇φ) dS ⌡⌠⌡⌠⌡⌠

V

[(φ ∇2ψ) (ψ ∇2φ)] dV


C. SISTEMAS DE COORDENADAS.

Coordenadas cartesianas (x,y,z).

[C01] ∇Ψ i ∂Ψ∂x

j ∂Ψ∂y

k ∂Ψ∂z

[C02] ∇ A∂Ax

∂x∂Ay

∂y∂Az

∂z

[C03] ∇×A i⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Az

∂y∂Ay

∂zj⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂z∂Az

∂xk⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ay

∂x∂Ax

∂y

[C04] ∇2Ψ ∂2Ψ∂x 2

∂2Ψ∂y 2

∂2Ψ∂z 2

Coordenadas cilíndricas (r,θ,z).

[C05] ∇Ψ e r∂Ψ∂r

eθ1r∂Ψ∂θ

k ∂Ψ∂z

[C06] ∇ A 1r∂∂r

(rAr)1r

∂Aθ∂θ

∂Az

∂z

[C07] ∇×A e r

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1r

∂Az

∂θ∂Aθ∂z

eθ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ar

∂z∂Az

∂rk 1

r

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂∂r

(rAθ)∂Ar

∂θ

[C08] ∇2Ψ 1r∂∂r⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ∂Ψ∂r

1

r 2

∂2Ψ∂θ2

∂2Ψ∂z 2

Coordenadas polares esféricas (r,θ,φ).

[C09] ∇Ψ e r∂Ψ∂r

eθ1r∂Ψ∂θ

eφ1

r senθ∂Ψ∂φ

[C10] ∇ A 1

r 2

∂∂r

(r 2Ar)1

r senθ∂∂θ

(Aθ senθ) 1r senθ

∂Aφ∂φ

[C11]∇×A e r

1r senθ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂∂θ

(Aφsenθ)∂Aθ∂φ

eθ1r

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1senθ

∂Ar

∂φ∂∂r

(rAφ) eφ1r

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂∂r

(rAθ)∂Ar

∂θ

[C12] ∇2Ψ 1r∂2

∂r 2(rΨ) 1

r 2 senθ∂∂θ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

senθ ∂Ψ∂θ

1

r 2 sen2θ∂2Ψ∂φ2

Coordenadas polares planas (r,θ).Como en coordenadas cilíndricas, con Az=0 y ∂/∂z=0

vorticidad y circulación

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