МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И

НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЕЛАБУЖСКИЙ ИНСТИТУТ

КАЗАНСКОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Ганеева А.Р.

Тригонометрия

Курс лекций

Елабуга

2014

2

Элементарная математика (Тригонометрия)

Елабужский институт КФУ. Физико-математический факультет.

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии

Направление подготовки: 051000.62 «Педагогическое образование»,

профиль «Математика и информатика» (бакалавриат, 3 курс, очное

обучение)

Дисциплина: «Элементарная математика».

Количество часов: 94 ч. (в том числе: лекции – 4, практические заня-

тия – 22, самостоятельная работа – 32, экзамен - 36)

Количество часов, обеспеченных ЭОР: 26 часов (в т.ч.: – лекции, –

практические занятия, – самостоятельная работа).

Форма контроля: экзамен (6 сем.)

Аннотация:

Темы:

Глава 1.

1. Тригонометрическая окружность. 2. Радианная мера угла. 3. Опре-

деление тригонометрических функций. 4. Соотношения между триго-

нометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения.

5. Теоремы сложения для тригонометрических функций. Тригономет-

рические функции кратных аргументов. Формулы половинных аргу-

ментов. 6. Формулы преобразования произведения тригонометриче-

ских функций в сумму. Формулы преобразования суммы тригономет-

рических функций в произведение.

Глава 2.

1. Аркфункции; их определения, свойства и графики. 2. Тригономет-

рические операции над аркфункциями. 3. Соотношения между арк-

3

функциями. 4. Выполнение обратных тригонометрических операций

над тригонометрическими функциями.

Ключевые слова: тригонометрия, тригонометрическая окруж-

ность, радианная мера угла, тригонометрические функции, аркфунк-

ции, обратные тригонометрические функции.

Преподаватель, автор курса: Ганеева Айгуль Рифовна, доцент ка-

федры математического анализа, алгебры и геометрии Елабужского

института КФУ, кандидат педагогических наук, e-mail:

aigul_ganeeva@mail.ru

Дата начала эксплуатации: 15 февраля 2014 г.

Для этого курса имеется электронная версия –

http://tulpar.kpfu.ru/course/view.php?id=764

4

Содержание

Глоссарий ......................................................................................... 5 §1. Тригонометрическая окружность ............................................. 7 §2. Радианная мера угла .................................................................. 8 §3. Определение тригонометрических функций .......................... 9 §4. Соотношения между тригонометрическими функциями

одного аргумента. Формулы приведения .................................... 14 §5. Теоремы сложения для тригонометрических функций.

Тригонометрические функции кратных аргументов. Формулы

половинных аргументов. ............................................................... 18 Теоремы сложения для тригонометрических функций ............. 18 §6. Формулы преобразования произведения

тригонометрических функций в сумму. Формулы

преобразования суммы тригонометрических функций в

произведение .................................................................................. 21 §7. Аркфункции; их определения, свойства и графики ............. 23 §8. Тригонометрические операции над аркфункциями ............. 32 §9. Соотношения между аркфункциями ...................................... 35 §10. Выполнение обратных тригонометрических операций над

тригонометрическими функциями ............................................... 40 Литература ...................................................................................... 54

5

Глоссарий

Выражение Определение

Абсцисса Одна из декартовых координат точки,

обычно первая, обозначаемая буквой

x.

Арккосинус числа m Число из отрезка [0; π], косинус кото-

рого равен m.

Арксинус числа m Число из отрезка [–π/2; π/2], синус ко-

торого равен m.

Арккотангенс числа m Число из отрезка (0; π), котангенс ко-

торого равен m.

Арктангенс числа m Число из отрезка (–π/2; π/2), тангенс

которого равен m.

График функции Множество всех точек координатной

плоскости, абсциссы которых равны

значениям аргумента, а ординаты зна-

чениям функции.

Корень уравнения Значение переменной, при котором

уравнение обращается в верное равен-

ство.

Косинус угла α Отношение абсциссы точки на окруж-

ности с центром в начале координат к

длине радиуса.

Косинус числа t Абсцисса точки М числовой окружно-

сти

Котангенс угла α Отношение абсциссы точки на окруж-

ности с центром в начале координат к

ее ординате.

Котангенс числа t Отношение косинуса числа t к синусу

того же числа.

Ордината Одна из декартовых координат точки,

обычно вторая, обозначаемая буквой

y.

Равносильные уравнения Уравнения, множества корней кото-

рых совпадают.

Радиан Угол в 1радиан – это такой централь-

6

ный угол, длина дуги которого равна

радиусу окружности. Радианная и гра-

дусная меры связаны зависимостью

радиан.

Радианная мера угла Отношение длины соответствующей

дуги к радиусу окружности.

Радиус Отрезок, соединяющий центр окруж-

ности с любой точкой, лежащей на

окружности, а также длина этого от-

резка.

Синус угла α Отношение ординаты точки на окруж-

ности с центром в начале координат к

длине радиуса.

Синус числа t Ордината точки М числовой окружно-

сти.

Тангенс угла α Отношение ординаты точки на окруж-

ности с центром в начале координат к

ее абсциссе.

Тангенс числа t Отношение синуса числа t к косинусу

того же числа.

Тригонометрические

функции

Вид элементарных функций. Обычно к

ним относят синус (sin x), косинус

(cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),

секанс (sec x) и косеканс (cosec x), по-

следняя пара функций в настоящее

время сравнительно малоупотреби-

тельна.

Тригонометрия Раздел математики, в котором изуча-

ются зависимости между величинами

углов и длинами сторон треугольни-

ков, а также алгебраические тождества

тригонометрических функций.

Тригонометрическая

окружность

Окружность, радиус которой равен 1.

Нечетная функция Функция f, для которой выполняется

равенство f(–x)= –f(x) для любого х

из ее области определения. График

7

нечетной функции симметричен отно-

сительно начала координат.

Уравнение Равенство, содержащее переменную.

Решить уравнение означает найти

множество всех его решений (корней)

или доказать, что корней нет.

Функция Зависимость одной переменной вели-

чины от другой, при которой каждому

значению независимой переменной

(аргумента) соответствует единствен-

ное значение зависимой переменной

(функции).

Четная функция Функция f, для которой выполняется

равенство f(–x)= f(x) для любого х из

ее области определения. График чет-

ной функции симметричен относи-

тельно оси ординат.

§1. Тригонометрическая окружность

Тригонометрической окружно-

стью называют окружность

единичного радиуса с центром

в начале О системы координат

xOy. Будем обозначать триго-

нометрическую окружность

буквой ω (омега).

Установим отображение

множества R действительных

чисел на тригонометрическую

окружность ω следующим об-

разом (рис. 1):

1) числу t=0 на числовой оси сопоставляется точка P0 с ко-

ординатами (1;0);

cos t

sin t Pt

t

t

x

y

O 1

1

рис. 1

P0

8

2) числу t≠0 ставится в соответствие точка tP такая, что

длина дуги P0Pt равна | t | и дуга P0Pt откладывается в положи-

тельном направлении (против часовой стрелки), если t>0, и в

отрицательном направлении (по часовой стрелке), если t<0.

Смысл построенного отображения f состоит в том, что по-

ложительная полуось «наматывается» на ω в положительном

направлении, а отрицательная – в отрицательном. Поэтому в

дальнейшем будем называть его отображением наматывания.

Итак, отображение наматывания Rf : ставит в соответ-

ствие каждому действительному числу t единственную точку Pt

тригонометрической окружности ω. Обратное соответствие

неоднозначно: точке Pt соответствуют все действительные чис-

ла вида ).(2 Zkkt

§2. Радианная мера угла

Рассмотрим окружность произ-

вольного радиуса R и отметим на

ней дугу РМ, длина которой равна

R, и угол РОМ (рис. 2).

Центральный угол, опираю-

щийся на дугу, длина которой рав-

на радиусу окружности, называется

углом в 1 радиан.

Найдем градусную меру угла в

1 рад.

Т.к. дуга длиной πR (полуокружность) стягивает централь-

ный угол в 180°, то дуга длиной R стягивает угол, в π раз мень-

ший, т.е.

1801 .рад

Так как π ≈ 3,14, то 1 рад ≈ 57,3°.

R

М

Р

R

O

рис. 2

9

Если угол содержит радиан, то его градусная мера равна

180.рад

Найдем радианную меру угла в 1°. Так как угол 180° равен π

рад, то

1 рад.180

Если угол содержит градусов, то его радианная мера равна

рад.180

Приведем таблицу наиболее часто встречающихся углов в гра-

дусной и в радианной мере.

Градусы 0 30 45 60 90 180

Радианы 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование

«рад» опускают.

§3. Определение тригонометрических функций

Определение. Синусом числа t называется ордината точки Pt,

косинусом числа t называется абсцисса точки Pt, где Pt получа-

ется поворотом начальной точки P0 единичной окружности на

угол t.

Если обозначить координаты точки Pt через x и y, то мы полу-

чим x = cos t, y = sin t или Pt (cos t, sin t).

Свойства функции siny x

1.Область определения ( ; ).yD

2.Область значений [ 1;1].yE

3.Функция siny x нечётная: sin( ) sin .x x

4. Функция периодическая с основным периодом 2π.

10

5. Функция siny x

- возрастает на промежутках 2 ; 22 2

n n

,

- убывает на промежутках 3

2 ; 2 , .2 2

n n n Z

Рис. 3

Свойства функции cosy x

1.Область определения ( ; ).yD

2.Область значений [ 1;1].yE

3.Функция cosy x чётная: cos( ) cos .x x

4. Функция периодическая с основным периодом 2π.

5. Функция cosy x

- возрастает на промежутках 2 ;2k k ,

- убывает на промежутках 2 ; 2 , .k k k Z

11

Рис. 4

Определение. Тангенсом числа t называется отношение си-

нуса числа t к его косинусу, т.е. по определению

sintg .

cos

tt

t

Определение. Котангенсом числа t называется отношение

косинуса числа t к его синусу, т.е. по определению

cosctg .

sin

tt

t

Тангенс числа t определен для тех значений t, для которых

cos 0.t Котангенс числа t определен для тех значений t, для

которых sin 0.t

Функция tgy x

Свойства функции у = tg x

1. Областью определения функции sin

tgcos

xy x

x является

множество всех действительных чисел, за исключением тех, в

которых косинус обращается в нуль. Мы запишем это множе-

ство следующим образом: , .2

yD x k k

Т.е. прямые

,2

x k k

являются асимптотами графика функции y=tgx.

2. Область значений ( ; ).yE

12

3. Функция у = tg x нечётная: tg( ) tgx x .

4. Функция у = tg x периодическая с основным периодом π.

5. Функция tg y x возрастает на промежутках

; , .2 2

k k k

Рис.5

Функция ctgy x

Свойства функции ctgy x

1. Областью определения функции cos

ctgsin

xy x

x является

множество всех действительных чисел, за исключением тех,

в которых синус обращается в нуль. Мы запишем это мно-

жество следующим образом: , .yD x k k Т.е. пря-

мые ,x k k являются асимптотами графика функции

ctg .y x

2. Область значений ( ; ).yE

3. Функция у = ctg x нечётная: ctg( ) ctgx x .

4. Функция у = сtg x периодическая с основным периодом π.

y

x

y=tg x

0 3

2

3

2

2

2

13

5. Функция ctg y x убывает на промежутках

; , .k k k

Рис.6

Составим таблицу знаков синуса, косинуса, тангенса и котан-

генса по четвертям тригонометрической окружности:

Четверть I II III IV

sin x + + – –

cos x + – – +

tg x + – + –

ctg x + – + –

Запишем в виде таблице основные свойства тригонометри-

ческих функций

Функ-

ция

Область

опреде-

ления

Множе-

ство зна-

чений

Чет-

ность

Основ

период

Интервалы монотонности

nZ

sin x R 1;1 нечет-

ная 2

2 ; 2 ,2 2

x n n

32 ; 2 .

2 2x n n

cos x R 1;1 четная 2 2 ;2 2 ,x n n

2 ; 2 .x n n

y

x

y=сtg x

0 3

2

2

2

2

14

tg x \2

R n

R

нечет-

ная ; ,

2 2x n n

ctgx \R n R

нечет-

ная ; .x n n

§4. Соотношения между тригонометрическими функциями

одного аргумента. Формулы приведения

По известному значению одной из тригонометрических

функций некоторого фиксированного значения аргумента могут

быть найдены значения остальных тригонометрических функций.

При этом применяются основные тригонометрические тожде-

ства: 2 2cos sin 1;x x (1)

sin, , ;

cos 2

xtg x x n n Z

x

(2)

cos, , ;

sin

xctg x x k k Z

x (3)

1, , ;2

mtg x ctg x x m Z

(4)

2

2

11 , , ;

cos 2tg x x l l Z

x

(5)

2

2

11 , , .

sinctg x x s s Z

x (6)

Тождество (1) следует

из того, что cos x и

sin x являются абсцис-

сой и ординатой точки

tP тригонометрической

окружности (см. [7] и

рис. 7). Действительно,

так как радиус этой

окружности равен 1, то

cos t

sin t Pt

t

t

x

y

O 1

1

рис. 7

15

сумма квадратов координат точки tP равна 1.

Тождества (2) и (3) выражают определения тангенса и

котангенса. Тождество (4) получается из (2) и (3) при их

почленном перемножении.

Докажем тождество (5), при этом будем использовать

тождества (2) и (1): 2 2 2

2

2 2 2

sin cos sin 11 1

cos cos cos

x x xtg x

x x x

.

Тождество (6) доказывается аналогично.

Пример. Известно, что 12

cos13

x , причём 3

2x

.

Найти sin , ,x tg x ctg x .

Решение. Так как аргумент принадлежит промежутку

3,

2

(третьей четверти, если воспользоваться тригоно-

метрической окружностью), то из (1) получим:

2 144 5sin 1 cos 1

169 13x x

тогда из (2) и (3)

5 12,

12 5tg x ctg x .

Формулы приведения

Формулами приведения называют такие формулы, кото-

рые служат для упрощения тригонометрических функций

от аргументов вида ,2

k k Z

.

Все формулы приведения можно получить, применяя

теоремы сложения для тригонометрических функций, или

по свойствам периодичности этих функций.

16

Перечислим формулы приведения для синуса, беря

1,2,3,4k :

sin cos ; sin cos ;2 2

sin( ) sin ; sin( ) sin ;

3 3sin cos ; sin cos ;

2 2

sin(2 ) sin ; sin(2 ) sin .

Докажем, например, третью из этих формул. Для этого

используем одну из теорем сложения:

sin( ) sin cos cos sin .

sin( ) sin cos cos sin 0 cos ( 1)sin sin

Оставшиеся семь формул доказываются аналогично (при

доказательстве седьмой и восьмой можно использовать, что

2 – период синуса). Все остальные формулы приведения

для синуса сводятся к этим восьми, при этом используется

свойство периодичности синуса. Например,

5sin sin 2 sin cos

2 2 2

Аналогично обстоит дело с формулами приведения для

косинуса, тангенса и котангенса. Приведём основные из них:

cos sin ,2

cos sin ,

2

cos( ) cos , cos( ) cos ,

3cos sin ,

2

3cos sin ,

2

cos(2 ) cos , cos(2 ) cos ;

,2

tg ctg

, ,2

tg ctg k

( ) ,tg tg ( ) , ;2

tg tg k

17

,2

ctg tg

, ;2 2

ctg tg k

( ) ,ctg ctg ( ) , .ctg ctg k

Чтобы составить любую из формул приведения, нужно

иметь в виду, что упрощаемая тригонометрическая функция

2f k

приводится к тригонометрической функции от ,

перед которой ставится знак или знак ; нужно лишь знать,

каким будет название функции и какой знак перед ней поста-

вить. Это определяется при помощи мнемонического правила,

которое состоит в следующем:

1) если k четно, то название функции не меняется, если же k

нечётно, то название функции меняется на сходное (т. е. "синус"

на "косинус" и наоборот, "тангенс"– на "котангенс" и наоборот);

2) в предположении, что 02

, определяют, в какой

четверти лежит точка 2

kP

, выясняют, какой знак имеет упро-

щаемая функция f в этой четверти, и ставят этот знак перед

полученным результатом.

Пример. Упростить выражение 9

cos2

.

Решение. Так как 9k – нечётное, то название функции ме-

няется на сходное, т.е. с "косинуса" на "синус". А так как число

9

2

переходит при отображении наматывания в точку, ле-

жащую во второй координатной четверти (в предположении,

что 02

), причём знак косинуса во второй четверти отри-

цательный, то перед полученным результатом нужно поставить

знак "минус". Итак, 9

cos sin2

.

18

Ответ: sin .

§5. Теоремы сложения для тригонометрических функций.

Тригонометрические функции кратных аргументов. Фор-

мулы половинных аргументов.

Теоремы сложения для тригонометрических функций

Основными теоремами сложения являются следующие:

cos( ) cos cos sin sin (1)

cos( ) cos cos sin sin (2)

sin( ) sin cos cos sin (3)

sin( ) sin cos cos sin (4)

( )1

tg tgtg

tg tg

(5)

( )1

tg tgtg

tg tg

(6)

Докажем формулу (2). Рассмот-

рим точки 0, , ,P P P P на триго-

нометрической окружности, соот-

ветствующие при отображении

наматывания (см. [7]) числам

, , и 0; их координаты:

(cos ,sin ), (cos ,sin ),P P

0(cos( ),sin( )), (1,0)P P .

Дуги 0P P и P P равны, поэтому

равны и стягивающие их хорды.

Выразив квадраты расстояний между точками 0P и ,P P и P

и приравняв их, получим: 2 2 2 2(cos( ) 1) sin ( ) (cos cos ) (sin sin ) .

Отсюда имеем (после раскрытия скобок и применения тож-

дества 2 2cos sin 1t t ) равенство

y

x 0

P –

P

P

–

Рис. 8

19

2 2cos( ) 2 2cos cos 2sin sin , из которого

и получаем соотношение (2):

cos( ) cos cos sin sin .

Формулу (2) называют формулой косинуса разности.

С помощью формулы (2) легко получить соотношение (1) –

формулу косинуса суммы, учитывая четность косинуса и нечет-

ность синуса:

cos cos cos cos( ) sin sin( )

cos cos sin sin .

( ) ( ( ))

Для вывода формулы (3) используем соотношение (2) и

формулы приведения:

sin( ) cos ( ) cos2 2

cos cos sin sin2 2

sin cos cos sin .

Из формулы (З) получим формулу (4):

sin sin sin cos cos sin

sin cos cos sin

.

Применяя формулы (1) и (3), выведем формулу (5):

sin( ) sin cos cos sin( )

cos( ) cos cos sin sintg

a

sin cos cos sin

cos cos cos cos

cos cos sin sin 1

cos cos cos cos

tg tg

tg tg

.

Аналогично получается и формула (6) (она также может

быть получена из формулы (5) заменой на ). Заметим, что

для формул (5) и (6)

, , , , ,2 2 2

k n m k n m Z

.

20

Тригонометрические функции кратных аргументов

В формулах (1), (3), (5) положим , получим: 2 2cos2 cos sin ; (7)

sin 2 2sin cos ; (8)

2

22

1

tgtg

tg

(9)

Формулы половинных аргументов Основными формулами являются:

1 cossin ;

2 2

(10)

1 coscos ;

2 2

(11)

sin 1 cos.

2 1 cos sintg

(12)

Чтобы вывести эти формулы, воспользуемся уже известны-

ми равенствами

2 2 2 2cos sin 1; cos sin cos .2 2 2 2

Складывая и вычитая, получим соответственно:

2 22cos 1 cos , 2sin 1 cos ,2 2

откуда и получаются формулы (10) и (11).

Выведем формулы (12) для 2

tg

2

sin 2sin cossin2 2 2 ;

2 1 coscos 2cos

2 2

tg

21

2sin 2sin1 cos2 2

2 sincos 2sin cos

2 2 2

tg

.

§6. Формулы преобразования произведения тригонометри-

ческих функций в сумму. Формулы преобразования суммы

тригонометрических функций в произведение

Формулами первого типа являются

1sin cos (sin( ) sin( )), (1)

2

1cos cos (cos( ) cos( )), (2)

2

1sin sin (cos( ) cos( )) (3)

2

Выведем эти формулы. Складывая почленно равенства

sin cos cos sin sin( ) ,

sin cos cos sin sin( ) ,

получим:

2sin cos (sin( ) sin( )) ,

откуда следует (1).

Складывая и вычитая почленно равенства

cos cos sin sin cos( ) ,

cos cos sin sin cos( )

и деля полученные результаты на 2, получим соответственно

(2) и(3).

Основными формулами преобразования сумм и разно-

стей тригонометрических функций в произведения являются

sin sin 2sin cos , (4)2 2

b

sin sin 2cos sin , (5)2 2

22

cos cos 2cos cos , (6)2 2

cos cos 2sin sin (7)2 2

Вывод этих формул также основан на применении тео-

рем сложения.

Складывая и вычитая почленно равенства

sin( ) sin cos cos sinx y x y x y ,

sin( ) sin cos cos sinx y x y x y ,

получим соответственно:

sin( ) sin( ) 2sin cosx y x y x y ,

sin( ) sin( ) 2cos sinx y x y x y .

Положим ,x y x y , тогда

,2 2

x y

.

При этих обозначениях получим формулы (4) и (5).

Далее, складывая и вычитая почленно равенства

cos( ) cos cos sin sinx y x y x y ,

cos( ) cos cos sin sinx y x y x y

и изменяя обозначения ( , )x y x y , получим со-

ответственно (6) и (7).

Выведенные формулы справедливы при любых значени-

ях и , так как, каковы бы ни были числа и , можно

подобрать такие x и y , чтобы соблюдались соотношения

,

,

x y

x y

в чём легко убедиться, разрешив эту систему относи-

тельно x и y . Сумма тангенсов

sin sin sin cos cos sin

cos cos cos costg tg

,

откуда, используя формулу синуса суммы, получим:

23

sin( )

cos costg tg

.

Аналогично выводится формула разности тангенсов

sin( )

cos costg tg

.

§7. Аркфункции; их определения, свойства и графики

Функция arcsiny x (арксинус)

Для тригонометрической функции siny x , рассматривае-

мой на всей области определения ( , ) , переход к обратной

функции невозможен, так как она не является монотонной (при-

нимает всякое значение [ 1;1]y на бесконечном множестве

значений аргумента). Переход к обратной функции станет воз-

можным, если рассмотреть siny x на каком-либо промежутке

монотонности, на котором sinx принимает все свои значения.

Известно, что функция siny x монотонно возрастает от – 1 до

1 на каждом из промежутков [ 2 ; 2 ] ( )2 2

n n n Z

и мо-

нотонно убывает от 1 до – 1 на любом из промежутков

3[ 2 ; 2 ] ( )2 2

n n n Z

. На каждом из промежутков моно-

тонности функция siny x имеет обратную функцию. Остаётся

зафиксировать какой-либо из этих отрезков. В качестве такого

промежутка принято брать [ ; ]2 2

. Функцию, обратную сину-

су, взятому на указанном промежутке монотонности, называют

арксинусом и обозначают arcsin .

Определение 1. Арксинусом называется функция, обратная

функции siny x на промежутке 2 2

x

.

24

По общему правилу построения обратной функции разре-

шим равенство siny x относительно : arcsinx x y , затем

меняем местами обозначения аргумента х и функции у, получа-

ем:

arcsiny x (1)

График обратной функции симметричен графику основной

функции (для которой построена обратная) относительно пря-

мой, содержащей биссектрисы первого и третьего координат-

ных углов.

На рис. 9 изображены графики функций.

sin , [ ; ]2 2

y x x

и обратной ей arcsiny x .

Свойства функции arcsiny x

1. Область определения [ 1;1]yD (совпадает с областью

значений синуса).

2. Область значений [ ; ]2 2

yE

(совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции – синуса).

3. Функция arcsiny x нечётная: arcsin( ) arcsinx x (так

как синус – нечётная функция).

4. Функция arcsiny x монотонно возрастает (так как мо-

нотонно возрастающей на промежутке [ ; ]2 2

является исход-

ная функция siny x ).

5. График пересекает оси Ox и Oy в точке 0;0O .

6. arcsin 0x при 0 1, arcsin 0x x , arcsinx < 0 при

1 0x .

Все свойства функции arcsiny x вытекают из свойств

функции siny x на промежутке [ ; ]2 2

.

25

Рис. 9

Функция arccosy x (арккосинус)

Тригонометрическая функция cosy x , рассматриваемая на

всей области определения ( , ) , не является монотонной

(принимает всякое значение [ 1;1]y на бесконечном множе-

стве значений аргумента), поэтому переход к обратной функции

невозможен. Этот переход станет возможным, если рассмотреть

cosy x на каком-либо промежутке монотонности, на котором

cosx принимает все свои значения. Функция cosy x монотон-

но возрастает от – 1 до 1 на каждом из промежутков

[ 2 ;2 ], ( )n n n Z и монотонно убывает от 1 до – 1 на лю-

бом из промежутков [2 ; 2 ], ( )n n n Z . На любом из про-

межутков монотонности функция cosy x имеет обратную

26

функцию. В качестве промежутка, на котором рассматривается

функция cosy x и строится обратная к ней функция, обычно

берут [0; ] . Функцию, обратную косинусу, взятому на указан-

ном промежутке монотонности, называют арккосинусом и обо-

значают arccos .

Определение 2. Арккосинусом называется функция, обрат-

ная функции cosy x на промежутке 0 x .

Разрешив равенство cosy x относительно : arccosx x y ,

затем меняя местами обозначения аргумента х и функции у, по-

лучаем: arccosy x (2)

График функции arccosy x симметричен графику функции

cosy x (0 )x относительно прямой, содержащей биссек-

трисы первого и третьего координатных углов. Эти графики

изображены на рис. 10.

Свойства функции arccosy x

1. Область определения Dy = [-1:1] (совпадает с областьюз-

начений косинуса).

2. Область значений Еу = [0;π] (совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции – коси-

нуса).

3. Функция arccosy x ни чётная, ни нечётная. Для неё вы-

полняется тождество

arccos arccosx x (3)

4. Функция arccosy x монотонно убывающая.

5. График пересекает ось (Ох) в точке (1;0), а ось (Оу) – в

точке 0;2

.

6. arccos 0x на всём отрезке 1 1x .

Свойства функции arccosy x выводятся из свойств функ-

ции cosy x , взятой на промежутке [0; ] .

27

Рис. 10

Функция arctgy x (арктангенс)

Рассмотрим функцию tgy x . Областью определения этой

функции является множество действительных чисел, за исклю-

чением (2 1),2

n n Z

, область значений – множество дей-

ствительных чисел R . Функция tgy x монотонно возрастает

от до на любом интервале вида

, ,2 2

n n n Z

.

Для того чтобы получить функцию, обратную тангенсу, рас-

сматривают функцию tgy x на промежутке монотонности

28

,2 2

, на котором она монотонно возрастает, принимая все

значения от до . Функцию, обратную тангенсу, взятому

на указанном промежутке монотонности, называют арктанген-

сом и обозначают arctg .

Определение 3. Арктангенсом называется функция, обрат-

ная функции tgy x на промежутке 2 2

x

Разрешив равенство tgy x относительно : arctgx x y , за-

тем меняя взаимно обозначения х и у получаем: arctgy x (4)

График функции arctgy x симметричен графику функции

tgy x (где 2 2

x

) относительно прямой, содержащей

биссектрисы первого и третьего координатных углов. Эти гра-

фики изображены на рис. 11.

Рис. 11

29

Свойства функции у = arctg x

1. Область определения yD R (совпадает с областью зна-

чений тангенса).

2. Область значений ;2 2

yE

(совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции – тангенса).

3. Функция arctgy x нечётная (так как нечётной является

исходная функция – тангенс): arctg( ) arctgx x .

4. Функция arctgy x монотонно возрастающая.

5. График пересекает оси (Ох) и (Оу) в точке (0;0)O .

6. arctg 0x при 0 x и arctg 0x при 0x .

7. Прямые 2

y

и 2

y

горизонтальные асимптоты гра-

фика функции arctgy x .

Свойства функции arctgy x вытекают из свойств функции

tgy x , взятой на промежутке ;2 2

.

Функция arcctgy x (арккотангенс)

Функция ctgy x , рассматриваемая на всей области опре-

деления ( , ), ,x n n Z не является монотонной и при-

нимает всякое значение y R на бесконечном множестве зна-

чений аргумента, поэтому переход к обратной функции невоз-

можен. Построить обратную функцию станет возможным, если

рассмотреть ctgy x на каком-либо промежутке монотонности

на котором ctg x принимает все свои значения. Функция

ctgy x монотонно убывает от до на каждом из про-

30

межутков ( ; )( )n n n Z . На любом из промежутков моно-

тонности функция ctgy x имеет обратную функцию.

В качестве промежутка, на котором рассматривается функ-

ция ctgy x и строится обратная к ней функция, обычно берут

(0; ) 1. Функцию, обратную котангенсу, взятому на указанном

промежутке монотонности, называют арккотангенсом и обозна-

чают arcctg .

Определение 4. Арккотангенсом называется функция, об-

ратная функции ctgy x на промежутке 0 x .

Разрешая равенство ctgy x ; относительно : arcctgx x y ,

затем меняя местами обозначения аргумента х и функции у, по-

лучаем: arcctgy x (5)

График функции arcctgy x симметричен графику функции

ctg (0 )y x x относительно прямой, содержащей биссек-

трисы первого и третьего координатных углов. Эти графики

изображены на рис. 12.

Свойства функции arcctgy x

1. Область определения yD R (совпадает с областью зна-

чений котангенса).

2. Область значений (0; )yE (совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции — ко-

1 В некоторых старых учебниках и даже в новейших компьютерных

математических системах, таких как Mathematica, рекомендуется для постро-

ения функции, обратной котангенсу, брать его на промежутке

( / 2;0) ( ; / 2]o . Это мотивируется тем, что на данном промежутке

котангенс принимает любое заданное значение; кроме того, промежуток сим-

метричен относительно нуля, а поскольку котангенс – нечётная функция, то

нечётной будет и обратная к ней. Однако такой выбор был бы неудобен, так

как в точке 0 котангенс неопределён, поэтому обратная функция имела бы

разрыв. К тому же существует традиция российской математической школы,

согласно которой при построении обратной функции котангенс рассматрива-

ется на промежутке (0; ) .

31

тангенса).

3. Функция arcctgy x ни чётная, ни нечётная. Для неё вы-

полняется тождество

arcctg( ) arcctgх x (6)

4. Функция arcctgy x монотонно убывающая.

5. График пересекает ось (Оу) в точке 0;2

, а ось (Ох) не

пересекает.

6. arcctg 0x на всём интервале x .

7. Прямые 0y и y являются горизонтальными

асимптотами графика.

Рис. 12

Свойства функции arcctgy x выводятся из свойств функ-

ции ctgy x , взятой на промежутке (0; ) .

32

§8. Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента

выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в резуль-

тате выполнения какой-либо тригонометрической операции над

любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций

sin(arcsin ) , ( 1 1);x x x (1)

cos(arccos ) , ( 1 1);x x x (2)

tg(arctg ) , ( );x x x (3)

ctg(arcctg ) ( ).x x x (4)

Равенства (1) и (2) не являются справедливыми при всех

действительных значениях х. Так, при 1x выражение

arcsin x , a следовательно, и sin(arcsin )x , теряет смысл. Равен-

ства (3) и (4) справедливы при всех действительных значениях х.

Каждое из равенств (1) и (2) является тождеством в том

смысле, что оно справедливо при всех значениях x , содержа-

щихся в области определения как правой, так и левой частей.

Ниже приведены всевозможные случаи выполнения триго-

нометрических операций над аркфункциями.

1) Положив в формуле 2cos 1 sin (выражающей коси-

нус через синус) arcsin x , получим:

2 2cos(arcsin ) 1 sin (arcsin ) 1x x x .

Модуль убираем, т.к. arcsin x принадлежит промежутку

;2 2

, на котором косинус неотрицателен.

Итак, имеем:

1) 2cos(arcsin ) 1x x , где [ 1;1]x . (5)

Аналогично

2) 2sin(arccos ) 1x x , где [ 1;1].x (6)

33

3) Из тождества 1

tgctg

следует:

1 1tg(arcctg )

ctg(arcctg )x

x x .

Итак,

1tg(arcctg )x

x , где 0x . (7)

Аналогично

1ctg(arctg )x

x , где 0x (8)

4) Применяя определение тангенса, формулы (1) и (5), по-

лучим:

2

sin(arcsin )tg(arcsin )

cos(arcsin ) 1

x xx

x x

.

Итак,

2tg(arcsin )

1

xx

x

, где ( 1;1)x . (9)

Аналогично выводятся формулы 21

tg(arccos )x

xx

, где [ 1;0) (0;1]x , (10)

21ctg(arcsin )

xx

x

, где [ 1;0) (0;1]x , (11)

2ctg(arccos )

1

xx

x

, где ( 1;1)x . (12)

5) Выведем формулу для cos(arctg )x . При этом используем

тождество 2

2

11 tg

cosx

x и формулу (3); кроме того, учтём,

что поскольку arctg ;2 2

x

, то cos(arctg ) 0x . Получим:

34

2

1cos(arctg )

1x

x

(13)

Аналогично получается

2

1sin(arcc tg )

1x

x

(14)

Учитывая, что sin tg cos и применяя формулы (3) и

(13), получим формулу

2sin(arctg )

1

xx

x

(15)

Наконец, подобным же образом получится формула

2cos(arcctg )

1

xx

x

(16)

Пример. Преобразовать выражения

(2arcsisin n ,)x (2arccocos s ,)x tg(2arctg )x .

Решение. Применив формулу sin2 2sin cos , а затем

формулы (1) и (5), получим:

2sin(2arcsin ) 2sin(arcsin )cos arcsin 2 1x x x x x .

Подобным же образом получаем тождества 2 2cos(2arccos ) 2cos (arccos ) 1 2 1x x x ;

2 2

2tg(arctg ) 2tg(2arctg )

1 tg (arctg ) 1

x xx

x x

.

Пользуясь теоремами сложения для тригонометрических

функций и применяя формулы (1) - (16), можно доказать следу-

ющие тождества:

2 2sin(arcsin arcsin ) 1 1x y x y y x ;

2 2cos(arccos arccos ) 1 1x y xy x y ;

2 2sin(arcsin arccos ) 1 1x y xy x y ;

2 2cos(arcsin arccos ) 1 1x y x y x y ;

35

tg(arctg arctg )1

x yx y

xy

;

2 2

2 2

1 1tg(arcsin arcsin )

1 1

x y y xx y

x y xy

.

Теоремы сложения тригонометрии и формулы (1) – (16)

служат основой и для вывода других подобных формул. Есте-

ственно, нужно иметь в виду, что каждая из этих формул рас-

сматривается на пересечении областей определения её левой и

правой частей.

§9. Соотношения между аркфункциями

Теорема. При всех допустимых значениях х имеют место

тождества:

arcsin arccos2

x x

; (1)

arctg arcctg2

x x

. (2)

Доказательство. Перенося arccos x из левой части равен-

ства (1) в правую, получим равносильное равенству (1) соотно-

шение

arcsin arccos2

x x

. (1’)

Докажем, что оно верно при всех [ 1;1]x . Оценим проме-

жутки изменения левой и правой частей этого равенства.

arcsin2 2

x

(по определению арксинуса); 0 arccos x

(по определению арккосинуса), откуда arccos2 2 2

x

.

Итак, и левая, и правая части равенства (1') принадлежат одному

и тому же промежутку [ ; ]2 2

. Так как этот промежуток явля-

36

ется промежутком монотонности синуса, то из равенства сину-

сов от левой и правой частей можно будет сделать вывод о ра-

венстве этих выражений. Таким образом, остаётся взять синус

от обеих частей равенства (1') и убедиться, что они равны:

sin(arcsin ) ,sin arccos cos(arccos )2

x x x x x

. Тождество

(1) доказано.

Аналогично доказывается тождество (2).

Ниже приведены формулы преобразования одних аркфунк-

ций в другие, значения которых принадлежат одному и тому же

промежутку длиной (одной и той же полуокружности триго-

нометрической окружности).

1) Выражение arcsin x через арктангенс.

Поставим задачу выразить arcsin x ( ( 1;1))x через арктан-

генс: arcsin arctg( ( ))x f x . Найдём ( )f х .

Обе части предыдущего равенства при ( 1;1)x принадле-

жат промежутку ;2 2

, поэтому, беря от обеих частей одну

и ту же тригонометрическую функцию, монотонную на этом

промежутке (синус или тангенс), получим равенство, равно-

сильное предыдущему (при 1x ), из которого выразим ( )f х

через x . В нашем случае целесообразно взять тангенс от обеих

частей. Получим:

2( ) tg(arcsin )

1

xf х x

x

.

Итак,

2arcsin arctg , ( 1;1)

1

xx x

x

(3)

2) Выражение arctg x через арксинус. Так как

2sin(arctg )

1

xx

x

, то

37

2arctg arcsin , ( ; )

1

xx x

x

(4)

3) Выражение arccos x через арккотангенс. Аналогично соот-

ношению (3), из равенства 2

ctg arccos1

xx

x

следует

2arccos arcctg , ( 1;1)

1

xx x

x

(5)

Далее будем рассматривать пары аркфункций, области

изменения которых являются несовпадающими промежут-

ками (например, арксинус и арккосинус, арккосинус и арк-

тангенс). Их можно выразить одна через другую на пересе-

чении областей изменения. Если аргумент какой-либо арк-

функций (то есть значение тригонометрической функции)

положителен, то значения этой аркфункций заключены в

промежутке ,2 2

. Отсюда следует, что каждая из арк-

функций от положительного аргумента может быть выра-

жена через любую другую аркфункцию. Так. например,

3 1 1arcsin arccos arcctg 3 arcctg

3 2 2 3

.

Значение какой-либо аркфункций от отрицательного

аргумента принадлежит либо промежутку ,02

, либо

,2

и не может быть представлено в виде аркфункций,

значение которой принадлежит другому (из этих двух)

промежутку. Так. например,

3 5 1arccos arcsin

2 6 6 2

.

Ниже приведены формулы преобразований одних арк-

функций в другие, значения которых выбираются в раз-

38

личных промежутках (полуокружностях тригонометриче-

ской окружности).

4) Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть

arcsiny x . Если 0 1x , то 02

y

. Поскольку

2 2cos 1 sin 1y y x , то 2arcsin arccos 1x x . Если же

1 0x , то 0 1x , тогда

2arcsin arcsin( ) arccos 1x х x .

Таким образом, имеем окончательно:

2

2

arccos 1 , если 0 1,arcsin

arccos 1 , если 1 0.

x xx

x x

(6)

Это соотношение можно переписать следующим образом:

2arcsin , если 0 1,

arcsin 1arcsin , если 1 0.

x xx

x x

5) Выражение арккосинуса через арксинус. Аналогично

устанавливается, что при 0 1x 2arccos arcsin 1x x ,

если же 1 0x , то

2arccos arccos( ) arcsin 1x х x .

Таким образом,

2

2

arcsin 1 , если 0 1,arccos

arcsin 1 , если 1 0.

x xx

x x

(7)

6) Выражение арктангенса через арккосинус.

Из соотношения 2

1cos(arctg )

1x

x

при 0x получим:

2

1arctg arccos

1x

x

.

Если же 0x , то 2

1arctg arctg( ) arccos

1x х

x

.

39

Итак, 2

2

1arccos , если 0,

1arctg

1arccos , если 0.

1

xx

x

xx

(8)

7) Выражение арккосинуса через арктангенс.

Если 0 1x , то из соотношения 21

tg(arccos )x

xx

по-

лучим 21

arccos arctgx

xx

.

При 1 0x имеем: 2 21 1

arccos arccos( ) arctg arctgx x

x хx x

Итак,

2

2

1arctg , если 0 1,

arccos1

arctg , если 1 0.

xx

xx

xx

x

(9)

Аналогично, следуя методу, применённому в предыдущих

четырёх пунктах, можно установить справедливость следующих

равенств:

8)

1arcctg , если 0,

arctg1

arcctg , если 0.

xx

x

xx

(10)

9)

2

2

1arcctg ,если 0 1,

arcsin1

arcctg , если 1 0.

xx

xx

xx

x

(11)

40

10) 2

2

1arcsin , если 0,

1arcctg

1arcsin , если 0.

1

xx

x

xx

(12)

11)

1arctg , если 0,

arcctg1

arctg , если 0.

xx

x

xx

(13)

§10. Выполнение обратных тригонометрических операций

над тригонометрическими функциями

При взятии обратных тригонометрических функций от три-

гонометрических функций, то есть при преобразовании выра-

жений вида arcsin(sin ),arccos(cos ),arctg(tg ),arcctg(ctg )x x x x

нужно учитывать, в какой четверти находится аргумент х (если

мыслить его дугой тригонометрической окружности) и в каком

промежутке находится значение данной аркфункции.

Рассмотрим результат взятия функции arcsin от синуса, то

есть функцию arcsin(sin )y x .

По определению арксинуса, y есть число из промежутка

;2 2

(или дуга правой полуокружности), синус которого

равен sin x : sin sin ,2 2

y x y

.

Областью определения функции arcsin(sin )x является ин-

тервал x , так как при всех действительных значениях

х значение промежуточного аргумента sinu x содержится на

сегменте 1 1u . При произвольном действительном х значе-

ние у (в общем случае) отлично от значения х. Так, например,

при 3

x

имеем: 3

arcsin sin arcsin3 2 3

y x

;

41

но при 2

3x

имеем:

2 3arcsin sin arcsin

3 2 3y x

.

Так как синус – периодическая функция, то arcsin(sin )x так-

же является периодической функцией с периодом 2 , поэтому

достаточно исследовать ее на сегменте 3

;2 2

длиной 2 .

Если ;2 2

x

, то y x ; таким образом, на этом сегмен-

те график функции является отрезком биссектрисы первого и

третьего координатных углов.

Если 3

;2 2

x

, то ( ) ;2 2

x

, а так как

sin sinx x , то .y x

Далее пользуясь переодичностью, в общем случае получаем:

для 2 22 2

n x n

(то есть когда 2 ;2 2

x n

)

2 ,y x n n Z ,

Итак, имеем:

2 , если [ 2 ; 2 ],2 2

arcsin(sin )3

2 1 , если [ 2 ; 2 ].2 2

x n x n n

x

x n x n n

График функции arcsin(sin )y x изображён на рисунке 13:

42

Рассмотрим функцию arccos(cos )y x .

Областью определения этой функции является R – множе-

ство всех действительных чисел. Функция периодическая с пе-

риодом 2 . Функция чётная (так как чётной является функция

cos x ). Поэтому достаточно исследовать её на промежутке дли-

ной .

Если [0; ]x , то, поскольку cos cosy x и 0 y , полу-

чим: y x . При [ ;0]x (то есть когда [0; ]x ) будем

иметь: y x .

Вообще, при [2 ; 2 ]x n n (то есть при 0 2x n )

по предыдущему получим: 2 ,y x n n Z .

Если же ж [ 2 ;2 ]x n n (а значит 2 0x n ), то

2 ,y x n n Z .

Итак,

2 , если [2 ;(2 1) ],arccos(cos )

2 , если [(2 1) ;2 ].

x n x n nx

x n x n n

Графиком функции у = arccos(cos х) является ломаная, изо-

бражённая на рис. 14

y

x

y=arcsin(sin x)

- O

Рис. 13

43

Рассмотрим функцию arctg(tg )y x

Согласно определению арктангенса tg tgy x , где 2 2

y

.

Выражение arctg(tg )x имеет смысл при всех действитель-

ных значениях, за исключением ,2

x k k Z

. Следова-

тельно, областью определения данной функции является объ-

единение интервалов 3 3

... ; ; ; ...2 2 2 2 2 2

Данная функция периодическая с периодом , нечётная.

При ;2 2

x

в силу равенства тангенсов от у и от х получа-

ем: y x . Вообще, для ;2 2

x n n

(то есть при

( ) ;2 2

x n

) получим: y x n , где n Z . Итак:

(tg )a ,rc2

t ;g2

x x n если n x n n Z

.

График функции arctg(tg )y x состоит из бесконечного

множества параллельных между собой отрезков (см. рис. 15).

x

y

x

y=arccos(cos x)

O

Рис. 14

44

Точки 2

k

являются точками разрыва первого рода

функции arctg(tg )y x , так как в этих точках предел функции

не существует, но существуют различные между собой правые и

левые пределы.

Так, в точке 2

левый предел

02

(tg(arctg lim ,lim 2))

x

xx

а

правый предел

02

(tg ))(arctg lim( )lim 2x

xx

.

Рассмотрим функцию arcctg(ctg )y x .

Согласно определению арккотангенса ctg ctgx y , где

0 y . Аналогично предыдущей функции имеем:

arcctg(ctg )x x n , если ;n x n n Z

Точки k (где k Z ) являются точками разрыва первого

рода функции arcctg(ctg )y x . Её график изображён на рис. 16.

Исследование функций arccos(sin ), arcsin(cos ),y x y x

arctg(ctg ), arcctg(tg )y x y y не представляет затруднений.

y

x

y=arctg(tg x)

Рис. 15

O

45

x

y

x

y=arcctg(ctg x)

Рис. 16

46

Приложение 1

47

48

49

Приложение 2

Функ-

ция

Область

опреде-

ления

Множе-

ство зна-

чений

Чет-

ность

Основ

период

Интервалы монотонности

nZ

sin x R 1;1 нечет-

ная 2 2 ; 2 ,

2 2x n n

32 ; 2 .

2 2x n n

cos x R 1;1 четная 2 2 ;2 2 ,x n n

2 ; 2 .x n n

tg x \

2R n

R нечет-

ная

; ,

2 2x n n

ctgx \R n R нечет-

ная

; .x n n

Функция Область

определения

Множество зна-

чений

Четность Интервалы монотон-

ности nZ

sinarc x 1;1 ;

2 2

нечетная возрастающая

cosarc x 1;1 0; ни четная,

ни нечетная

убывающая

arctg x R ;

2 2

нечетная возрастающая

arcctgx R 0; ни четная,

ни нечетная

убывающая

Вначале перечислим наиболее употребляемые тождества и формулы.

1. 2 2

sin cos 1 .

2. sin

, , ;cos 2

tg x n n

Z .

3. cos

, , ;sin

ctg x n n

Z .

4. 1, , ;2

ntgx ctgx x n

Z

5. 1

sec , , ;cos 2

x x n nx

Z

50

6. 1

cosec , , ;sin

x x n nx

Z

7. 2

2

11 , , ;

cos 2tg x x n n

x

Z

8. 2

2

11 , , ;

sinctg x x n n

x Z

9. sin( ) sin cos cos sin .

10. cos( ) cos cos sin sin .

11. ( )1

tg tgtg

tg tg

.

12. sin 2 2sin cos .

13. 2 2 2 2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin .

14. 2

22sin

12

tg

tg

.

15.

2

2

12cos

12

tg

tg

.

16.

2

22

12

tg

tg

tg

.

17. 2 1 cos

sin2 2

.

18. 2 1 cos

cos2 2

.

19. sin 1 cos

.2 1 cos sin

x xtg

x x

20. 3sin3 3sin 4sin ;

21. 3cos3 4cos 3cos ;

51

22. sin sin 2sin cos2 2

.

23. cos cos 2cos cos2 2

.

24. cos cos 2sin sin2 2

25. sin( )

.cos cos

tg tg

26. 1

sin sin cos( ) cos( )2

.

27. 1

sin cos sin( ) sin( )2

.

28. 1

cos cos cos( ) cos( )2

.

Формулы приведения.

2

2

3

2

3

2

2

sin x cos cos sin sin cos cos sin

cos x sin sin cos cos sin sin cos

tg x ctg ctg tg tg ctg ctg tg

ctgx tg tg ctg ctg tg tg ctg

0 6

4

3

2

3

2

sin x 0 1

2 2

2 3

2 1 0 1

cos x 1 3

2 2

2 1

2 0 1 0

tg x 0 3

3 1 3 – 0 –

52

ctgx – 3 1 3

3 0 – 0

29. sin(arcsin ) , 1 1 ;x x x

30. cos(arccos ) , 1 1 ;x x x

31. (arc ) , ;tg tgx x x

32. (arc ) , ;ctg ctgx x x

33. 2cos(arcsin ) 1 , 1 1 ;x x x

34. 2sin(arccos ) 1 , 1 1 ;x x x

35. 1

(arc ) , ;tg сtgx xx

36. 1

(arc ) , ;сtg tgx xx

37. 2

(arcsin ) , 1 1 ;1

xtg x x

x

38.

21

(arccos ) , [ 1;0) (0;1];x

tg x xx

39. 2

1(arcsin ) , 1;0 0;1 ;

xctg x x

x

40. 2

(arccos ) , 1;1 ;1

xctg x x

x

41. 2

1cos( ) ;

1arctgx

x

42. 2

sin( ) ;1

xarctgx

x

43. 2

cos( ) ;1

xarcctgx

x

53

44. 2

1sin( ) ;

1arcctgx

x

45. arcsin( ) arcsin , 1;x x x

46. arccos( ) arccos , 1;x x x

47. arctg( ) arctg ;x x

48. arcctg( ) arcctg ;x x

49. arcsin arccos ;2

x x

50. .arc arc2

tgx ctgx

54

Литература

1. 3000 конкурсных задач по математике / Куланин [и др.] –

9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.

2. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции

и задачи по элементарной математике. – М: Наука, 1974.

3. Ганеев Р.М. Обзорные лекции по элементарной матема-

тике. Алгебра и тригонометрия – Елабуга.: Изд-во Ела-

бужского гос. пед. уни-та, 2004.

4. ЕГЭ-13.Математика: типовые экзаменационные вариан-

ты: 30 вариантов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

– М.: Национальное образование, 2012. – 192 с.

5. ЕГЭ-2013:Математика: самое полное издание типовых

вариантов заданий / авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоц-

кий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ:

Астрель, 2013. – 94 с.

6. Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная

математика. – М.: Наука, 1967.

7. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по реше-

нию задач школьной математики. Практикум по триго-

нометрии. – М.: «Просвещение», 1977.

8. Новосёлов С.И. Специальный курс тригонометрии. – М.:

Изд-во «Высшая школа», 1967.

9. Попырин А.В., Савина Л.Н. Задачи по элементарной ма-

тематике. Алгебра и тригонометрия – Елабуга.: Изд-во

Елабужского гос. пед. уни-та, 2005.

10. Пособие по математике для поступающих в вузы (под

редакцией М.Ф. Гильмуллина) – Елабуга.: Изд-во Ела-

бужского гос. пед. ини-та, 1999.

55