Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου – Άλγεβρα

2016-17

27

2.7 Παραστάσεις με Πρόσθεση και Αφαίρεση.

Παραδείγματα – Εφαρμογές

1. Να υπολογίσεις τις παρακάτω προσθέσεις και αφαιρέσεις

α. 7-9 β. -12-15 γ. +5-14 δ. -3+7

Απάντηση

α. Η μαθηματική πρόταση 7-9 εκφράζει αφαίρεση μεταξύ των φυ-σικών αριθμών 7 και 9.

7-9= Οι αριθμοί 7 και 9 είναι θετικοί. +7-(+9)= Η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση. +7+(-9)= Πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων. -2

β. Η μαθηματική πρόταση -12-15 εκφράζει αφαίρεση μεταξύ του αρνητικού -12 και του θετικού 15.

-12-15 Ο 15 είναι θετικός . -12-(+15)= Η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση. -12+(-15)= Πρόσθεση ομόσημων ακεραίων. +3

γ. Η μαθηματική πρόταση +5-14 εκφράζει αφαίρεση μεταξύ των θε-τικών +5 και 14.

+5-14 Ο 14 είναι θετικός . +5-(+14)=

Η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση.

+5+(-14)= Πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων. -9

δ. Η μαθηματική πρόταση -3+7 εκφράζει πρόσθεση μεταξύ του αρνητικού -3 και του θετικού 7.

-3+7 Ο 7 είναι θετικός . -3+(+7)=

Πρόσθεση ετερόσημων

+4

2. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης

-3+12-23+4-7+8

Απάντηση -3+12-23+4-7+8 Θα μετατρέψουμε τις αφαιρέσεις

σε προσθέσεις ακεραίων. -3+(+12)+(-23)+(+4)+(-7)+(+8)= Με τη βοήθεια της αντιμεταθετι-

κής ιδιότητας μεταφέρουμε τους θετικούς και τους αρνητικούς μαζί.

Να προσέξω ότι…

Όταν μεταξύ δύο ακερα-ίων παρεμβάλλεται μόνο το σύμβολο + ή – τότε αυτό εκφράζει την πρόσ-θεση ή την αφαίρεση αν-τίστοιχα.

Ξέρουμε όμως ότι οι α-φαιρέσεις μπορούν να μετατραπούν σε προσ-θέσεις , προσθέτοντας τον αντίθετο του αφαι-ρετέου. Για παράδειγμα στην εφαρμογή 1, η αφαίρεση -12-15 είναι η πρόσθεση -12+(-15) . Δηλαδή ο -12 και ο -15 είναι οι όροι του αθροίσματος.

Να παρατηρήσω ότι:

Οι ακέραιοι +3 , -12, -23, +3, -7 και +12 είναι οι όροι του αθροίσματος.

Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου – Άλγεβρα

2016-17

28

(+12)+(+3)+(+8)+(-3)+(-23)+(-7) Αντικαθιστώ τους θετικούς και αρνητικούς με το άθροισμά το-υς (Προσεταιριστική ιδιότητα).

(+23)+(-33)= Πρόσθεση ετερόσημων -10

Να προσέξω ότι:

Μπορούμε να θεωρή-σουμε ότι η παράστα-

ση -5+6-9-7+3+11 είναι άθροισμα με ό-ρους -5, +6,-9,-7,+3,+11. Επομένως μπορούμε να εφαρμό-σουμε την αντιμεταθε-τική ιδιότητα της πρόσθεσης για μετα-φέρουμε τους θετικο-ύς όλους μαζί και όλο-υς τους αρνητικούς μαζί.

3. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης

-5+6-9-7+3+11.

Απάντηση

-5+6-9-7+3+11= Αντιμεταθετική ιδιότητα.

-5-9-7+6+3+11 Αντικαθιστώ τους θετικούς και αρνητικούς με το άθροισμά τους (Προσεταιριστική Ιδιότητα).

-21+20 = Πρόσθεση ετερόσημων.

-1.

Να θυμάμαι ότι:

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσημο), μπο-ρούμε να την απαλεί-ψουμε μαζί με το + (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

4. Να υπολογίσεις την τιμή των παραστάσεων

α.-5+(-7) β. (9-6+3)+(-7+10-8)

Απάντηση α. Για να απαντήσω στο ερώτημα α θα ακολουθήσω την αντίσ-τροφη πορεία από αυτή που ακολούθησα στο ερώτημα β της ε-

φαρμογής 1. α. -5+(-7) = Η πρόσθεση μπορεί να μετατραπεί σε

αφαίρεση. -5 – (+7)= Αφού ο +7 είναι θετικός μπορώ να τον

γράψω χωρίς το πρόσημό του. -5-7 = Μπορώ να το θεωρήσω ως άθροισμα με

όρους το – 5 και -7 .Επομένως πρόσθεση ομόσημων.

-12.

β. Παρατηρώ στην απάντηση του ερωτήματος α. ότι την πα-ράσταση -5+(-7) μπορώ να τη γράψω χωρίς παρενθέσεις ως εξής -5-7. Δηλαδή έβγαλα το σύμβολο + και την παρένθεση που ακολουθούσε αφήνοντας τον αριθμό που υπήρχε στην παρένθεση με το πρόσημο που είχε. Θα εφαρμόσω την ίδια τρόπο σκέψης και για την παράσταση του ερωτήματος β.

β.(9-6+3)+(-7+10-8) =

Βγάζω τις παρενθέσεις αφήνοντας τους αριθμούς με τα πρόσημά τους αφού μπροστά τους έχουν ή το σύμβολο + ή τίποτα.

Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου – Άλγεβρα

2016-17

29

9-6+3-7+10-8= Χωρίζω τους θετικούς από τους αρνητικούς .

9+10+3-6-8-7= Αντικαθιστώ τους θετικούς και τους αρνητικο-ύς με το άθροισμά τους. (Προσεταιριστική Ιδιό-τητα)

22-21=1

5. Να υπολογίσεις την τιμή των παραστάσεων

α.-5-(-7) β. -(9-6+3)-(-7+10-8)

Απάντηση α. -5-(-7) = Η αφαίρεση μπορεί να μετατραπεί σε

πρόσθεση.

-5 +(+7)= Αφού μπροστά από την παρένθεση υπάρ-χει το σύμβολο + , μπορώ να παραλείψω το σύμβολο + και την παρένθεση και να γράψω τον αριθμό με το πρόσημό του.

-5+7 = Μπορώ να το θεωρήσω ως άθροισμα με όρους το – 5 και +7 .Επομένως πρόσθεση ετερόσημων.

+2

β. Παρατηρώ στην απάντηση του ερωτήματος α. ότι την πα-ράσταση -5-(-7) μπορώ να τη γράψω χωρίς παρενθέσεις ως εξής -5+7. Δηλαδή έβγαλα το σύμβολο - και την παρένθεση που ακολουθούσε γράφοντας τον αριθμό που υπήρχε στην παρένθεση με το αντίθετο πρόσημο. Θα εφαρμόσω την ίδια τρόπο σκέψης και για την παράσταση του ερωτήματος β.

β.-(9-6+3)-(-7+10-8) =

Βγάζω τις παρενθέσεις γράφοντας το-υς αριθμούς με τα αντίθετα πρόσημά τους αφού μπροστά τους έχουν το σύμβολο -.

-9+6-3+7-10+8= Χωρίζω τους θετικούς από τους αρνητικούς . -9-10-3+6+8+7=

Προσθέτω θετικούς μαζί και αρνητικούς μαζί -22+21=1

Να θυμάμαι ότι:

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το -, μπορο-ύμε να την απαλείψουμε μαζί με το - και να γρά-ψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρό-σημα.

6. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης -3-(-5+2)-|-3-7| Απάντηση

-3- (-5+2)-|-3-7| = Βγάζω την παρένθεση και υπολογίζω την παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή.

-3+5-2-|-10|= Υπολογίζω την απόλυτη τιμή. -3+5-2-10=

Χωρίζω θετικούς από αρνητικούς -3-2-10+5=

Άθροισμα αρνητικών και θετικών. -15+5=-10

Πρόσθεση ετεροσήμων

Να θυμάμαι ότι:

Για να υπολογίσω την τιμή μίας παράστασης που πε-ριέχει απόλυτη τιμή πρέ-πει να υπολογίσω πρώτα την απόλυτη τιμή .

Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου – Άλγεβρα

2016-17

30

Μπορώ να εφαρμόσω όσα έμαθα;

1. Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις α. 3 – 7 β. 0 –6 γ. –5 – 3 δ. -13 +8 ε. –22 – 6 στ. –2 +18 ζ. –15 +15 η. 29 – 33

2. Να υπολογίσεις την τιμή των παρακάτω παραστάσεων βγάζοντας τις παρενθέσεις και χωρίζοντας του θετικούς από τους αρνητικούς. α. 9 – (–6) – 7 β. –8 – 4 + (–18) γ. 29 + (–17) – (–3) δ. –16 + 7 – (–5) ε. –2 – 12 + (–8) στ. 9 – (+12) -11

3. Να υπολογίσεις την τιμή των παρακάτω παραστάσεων βγάζοντας τις παρενθέσεις και χωρίζοντας του θετικούς από τους αρνητικούς. α. -(9+7)-(-54+1) β. -(-4-7)-(-6+8) γ. 34-(45-67+22) δ. -1+1+(-1)+1+(-1) ε. 13+(-4+7-9)

στ. -1-(34+16-5)-5 ζ. -(9-11-7)+(+15+8-7) η. -13+(-1++3-2)=

4. Να υπολογίσεις με τις λιγότερες δυνατές πράξεις τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων

α. +12-12+11-178+9-11+178-9 β. -(9+8-7)+(9+8-7) γ. -13+(-1+14)

5. Να υπολογίσεις την τιμή των παρακάτω παραστάσεων με δύο τρόπους.

Α τρόπος : Βγάλε τις παρενθέσεις και στη συνέχεια κάνε τις πράξεις.

Β τρόπος : Κάνε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και στη συνέχεια βγάλε τις παρενθέ-

σεις.

Γράψε τις παρατηρήσεις σου.

α. - (-2+5-9) +(9-6-7) β. +23 –(-4-5)+(32-45)

6. Να υπολογίσεις την τιμή των παρακάτω παραστάσεων

α. 23-[12-(-3)] β. -[-3+(-6)]-5+[-3-(-5)] γ. -(-5-19)+[-3-(-4+5)] δ. -34-[12-(-5+1)]

7. Να υπολογίσεις τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων

α. (-6)+(-6)+(-6)+(-6) β.-(-6)-(-6)-(-6)-(-6) γ. -(+6)-(+6)-(+6)-(+6) δ. +(+6)+(6)+(+6)+(+6)

Να γράψεις όλες τις παρατηρήσεις που μπορείς να κάνεις σχετικά με τις παραπάνω πα-

ραστάσεις.

8. Να υπολογίσεις την τιμή των παρακάτω παραστάσεων

α.|-5|+|-3|-|-2|+|+4| b. -|-3|-|-3|+|-6|-|+5|

9. Να υπολογίσεις τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων

a. -2+|-2|= b. |-23+3|+(-23+4) c. -45-|-23+21|+9

10.Να συμπληρώσεις τα κουτάκια με τους κατάλληλους ακέραιους αν γνωρίζεις ότι η τιμή

σε κάθε κουτάκι είναι ίση με το άθροισμα των δύο ακεραίων που βρίσκονται στα δύο

κουτάκια που είναι στην κάτω σειρά όπως στο πρώτο παράδειγμα.

11.Να τοποθετήσεις + ή - στα κενά, ώστε οι πιο κάτω παραστάσεις να παίρνουν τη μέγιστη τιμή: a. -2013......-2014 = b. -5....(-6).....(+3)....(-1)= Γράψε πως σκέφτηκες για να απαντήσεις.

Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου – Άλγεβρα

2016-17

31

12. Να συμπληρώσεις τα κενά ώστε να ισχύουν οι ισότητες

α. ……+(-12)=45 β. -12 …..(-11)=-1 γ. +5-….=-8 δ. -23 -……= +2 ε. -14….(-2)= -16

13. Βάλε μία παρένθεση ώστε να ισχύουν οι ισότητες

α. -5-8-4=-9 β. 9-13-6-5=-3 γ. -5-3-7-6=-7

14. Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεσαι στην αριθμογραμμή στο σημείο με τετμημένη +5.

α. Τι αριθμό (αρνητικό ή θετικό) πρέπει να προσθέσεις ώστε να κινηθείς ώστε να κινη-

θείς προς τη θετική κατεύθυνση.

β. Τι αριθμό (αρνητικό η θετικό) ) πρέπει να αφαιρέσεις ώστε να κινηθείς προς την θετι-

κή κατεύθυνση;

γ. Τι αριθμό (αρνητικό ή θετικό) πρέπει να προσθέσεις ώστε να κινηθείς ώστε να κινηθε-

ίς προς την αρνητική κατεύθυνση.

δ. Τι αριθμό (αρνητικό ή θετικό) πρέπει να αφαιρέσεις ώστε να κινηθείς ώστε να κινηθε-

ίς προς τη δεξιά κατεύθυνση.

15. Στο παρακάτω τετράγωνο παρατηρούμε ότι το άθρο-

ισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή , στήλη και δια-

γώνιο είναι ίση με 8. Αυτό το τετράγωνο ονομάζεται

μαγικό.

Να συμπληρώσεις τα παρακάτω μαγικά τετράγωνα.

Για να σκεφτούμε περισσότερο…

1.Πώς μπορείς να αποφασίσεις αν το άθροισμα 2 ακεραίων είναι αρνητικό , θετικό ή 0 χωρίς

να κάνεις την πρόσθεση;

2. Πώς μπορείς να αποφασίσεις αν η διαφορά 2 ακεραίων είναι αρνητική , θετική ή 0 χωρίς

να κάνεις την αφαίρεση;