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Facoltà di Ingegneria Corso di Studi in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Controlli Automatici

Controllo a retroazione di stato per la robustezza di un sistema

Anno Accademico 2012/2013 Candidato: Cristiano Russo matr. N46000990

Alla mia famiglia, che ha sempre creduto in me

III

Indice

Introduzione 4

I.1 Struttura della tesi 6

Capitolo 1. Robustezza e controllo a retroazione 7

1.1 Descrizione generale di un SFC ed ambito d’utilizzo 7

1.2 Determinazione legge di controllo 8

1.2.1 Retroazione 8

1.2.2 Azione in avanti 9

1.2.3 Azione integrale 10

1.3 Robustezza 12

1.3.1 Funzioni di sensitività 12

Capitolo 2. Esempio di sintesi in frequenza 18

2.1 Ambiente MATLAB/SIMULINK 18

2.2 Descrizione del problema 19

2.2.1 Modello 19

2.2.2 Funzione di trasferimento 20

2.2.3 Specifiche richieste 21

2.2.4 Traduzione delle specifiche 22

2.2.5 Sintesi del controllore al MATLAB/SIMULINK 24

2.3 Simulazione 28

Conclusioni 32

Bibliografia 33


4

Introduzione

Dalla sua nascita fino ai giorni nostri, il controllo automatico si è affermato come disciplina il

cui scopo è quello di semplificare e rendere più agevole la sempre più complessa vita quotidiana

di noi esseri umani. In particolare con l’avvento della rivoluzione industriale si è resa

indispensabile la creazione di metodi e tecniche atte ad automatizzare e quindi velocizzare la

produzione in serie.

La disciplina del controllo ha subito una rapida evoluzione, espandendosi nei più svariati ambiti

(biologico, economico, sociale, informatico) tanto da essere considerata oggi una “hidden

technology”.

Figura 1 Passi per la sintesi di un controllore


5

Come si evince dalla Figura 1, controllare un sistema fisico significa ricavarne un modello

matematico quanto più fedele possibile alla realtà, analizzare il modello con le tecniche messe a

disposizione dalla disciplina, sintetizzare un controllore adatto alle esigenze del problema e

infine validare tale controllore ritornando alla realtà fisica. I vari passi possono essere ripetuti,

ad esempio, in caso di errori di modellazione o in generale nel momento in cui siano riscontrate

incongruenze con il sistema reale. Nella progettazione di un controllore è opportuno cercare di

centrare gli obiettivi fondamentali del controllo, che sono performance, stabilità e robustezza.

Figura 2 Controllo a retroazione di un processo

Il concetto cardine in questo senso è quello di retroazione o feedback, su cui il controllo, ma non

solo, si basa. Basti pensare a qualsiasi disciplina o teoria esistente per rendersi conto di quanto

tale concetto rivesta un’ importanza notevole per la validazione delle stesse. “Feedback is a

central feature of life” scrisse Hoagland in “The Way Life Works”.

L’obiettivo di un controllore a retroazione, di cui è fornito un esempio in Figura 2, è regolare

l’uscita di un sistema y in modo che essa segua l’ingresso di riferimento r in presenza di disturbi

e anche incertezza nella dinamica del processo. In assenza di disturbi, ci piacerebbe che il punto

di equilibrio del sistema sia asintoticamente stabile. Specifiche sulle performances più

complicate riguardano il tempo di salita, la sovraelongazione e il tempo di assestamento della

risposta al gradino.

In definitiva, abbiamo spesso a che fare con le proprietà di attenuazione dei disturbi del sistema,

ma fino a che punto possiamo avere esperienza di disturbi in ingresso e mantenere ancora

l’uscita y vicina al valore desiderato?[1].


6

L’obiettivo di quest’elaborato è evidenziare gli aspetti del controllo riguardanti la robustezza

mettendo in luce come, tramite un’azione di controllo a retroazione di stato, sia possibile

garantire ad un sistema o dispositivo fisico, di poter operare in modo autonomo, senza

l’intervento di un operatore umano, anche in presenza di disturbi provenienti dall’esterno e

quindi non manipolabili. E’ bene dunque fare chiarezza, enumerando brevemente i vari domini

nei quali è possibile eseguire la sintesi di un controllore:

ODE (Order Differential Equation) o sintesi nello spazio di stato

Laplace

Frequenza

CAD

I.1 Struttura della tesi

La trattazione che segue, sarà organizzata nel seguente modo:

Nel capitolo 1 verranno descritte le peculiarità di un controllore a retroazione dello stato, anche

conosciuto con il nome SFC (State Feedback Control), focalizzandosi sul concetto di robustezza

e su come un controllore a retroazione garantisca, a differenza di un controllo a ciclo aperto,

prestazioni robuste anche in presenza di disturbi in ingresso non manipolabili. Infine verranno

approfonditi gli aspetti relativi alla robustezza e al controllo in frequenza, particolarmente

adatto a questo tipo di problema.

Nel capitolo 2 si esaurirà la descrizione del problema, presentando un esempio rappresentativo

della tematica, con l’ausilio dell’ambiente MATLAB/SIMULINK attraverso il quale verranno

effettuate le simulazioni del caso corredate dai relativi grafici.


7

Capitolo 1

Robustezza e controllo a retroazione

Lo stato di un sistema dinamico è una collezione di variabili che permette la predizione dello

sviluppo futuro di un sistema.

Assumendo che il sistema in esame sia lineare e che ci sia un solo ingresso al sistema, l’idea che

si seguirà per lo sviluppo di una legge di controllo per la retroazione dello stato è unicamente il

“pole placement”, ovvero il posizionamento degli autovalori a ciclo chiuso nelle posizioni

desiderate.

1.1 Descrizione generale di un SFC ed ambito d’utilizzo

La retroazione dello stato di un sistema può essere usata per definire il comportamento locale di

un sistema. Il concetto di controllabilità è introdotto e usato per investigare come progettare le

dinamiche di un sistema attraverso l’assegnamento dei suoi autovalori.

Un sistema si dice controllabile se e solo se la sua matrice di controllabilità ha rango pieno.

In particolare, sarà mostrato che sotto certe condizioni è possibile assegnare autovalori al

sistema arbitrariamente tramite un’appropriata retroazione dello stato del sistema[1].

Va detto che tutti i metodi di sintesi di un controllore nello spazio di stato, compresa la tecnica

di assegnamento degli autovalori, hanno il vantaggio di essere facilmente adattabili a sistemi

multivariabili, di cui non ci occuperemo, ma non consentono con semplicità di gestire gli aspetti


8

e i requisiti legati alla robustezza e l’insensitività ai disturbi come avviene nell’analisi in

frequenza. A valle di tali considerazioni la tecnica del “pole placement” nel caso SISO, è

utilizzata principalmente per stabilizzare un sistema instabile. Infine è banale notare che è

possibile fare uno studio approfondito di un sistema nei vari domini applicativi, essendo le loro

rappresentazioni matematiche facilmente intercambiabili e ricavabili l’una dalle altre.[2]

Dato un sistema lineare tempo-invariante, rappresentato nello spazio di stato:

{

(1)

per ipotesi di semplicità controllabile, strettamente proprio ( ) e per instabile nel suo

punto di equilibrio, l’obiettivo è trovare una legge di controllo che renda il sistema stabile, in

altre parole bisogna far sì che tutti gli autovalori della matrice della dinamica A siano a parte

reale negativa. Ciò è possibile utilizzando la suddetta tecnica di assegnamento degli autovalori,

la quale, oltre a stabilizzare mediante retroazione il sistema instabile, mira a costruire un

regolatore capace di far sì che gli autovalori del sistema retroazionato abbiano valori

prestabiliti, scelti ad arbitrio. Grazie a tale operazione, detta di “tuning”, si riesce ad imporre

che il sistema abbia una dinamica assegnata e si comporti in maniera robusta quando sono

presenti nel ciclo rumore e disturbi.

1.2 Determinazione legge di controllo

Nei paragrafi seguenti sarà mostrata una legge di controllo valida per un regolatore nello spazio

di stato, utilizzando il sistema (1) che, come già detto, presenta un punto di equilibrio instabile

nell’origine.

1.2.1 Retroazione

Affinché la matrice A presenti autovalori a parte reale negativa, è possibile scegliere il seguente


9

ingresso di controllo:

(2)

Sostituendo, avremo che il nuovo sistema a ciclo chiuso è descritto da :

(3)

una scelta di K opportuna permette il raggiungimento dell’obiettivo di controllo preposto,

ovvero la stabilizzazione del sistema nel suo punto di equilibrio.

Di seguito si mostra lo schema di controllo appena descritto in cui il segnale v è da considerarsi

nullo:

Figura 3 Schema generale di controllo a retroazione dello stato

1.2.2 Azione in avanti

Il controllore appena descritto garantisce specifiche sul comportamento transitorio, ma non può

garantire nulla sul comportamento a regime del sistema. Sovente nella pratica si può volere che,

a transitorio esaurito, l’uscita del sistema non si annulli definitivamente ma segua un ingresso di

riferimento (“tracking of reference input”) r costante:

(4)


10

A tal proposito va prevista un’ulteriore azione di controllo aggiuntiva nella legge del regolatore,

denominata azione in avanti, o feedforward:

(5)

A ciclo chiuso si avrà:

(6)

Supponendo di aver scelto in modo che il sistema sia asintoticamente stabile, avremo a

regime :

Dato che vogliamo deve risultare:

⏟

Nel caso in cui il numero di uscite è pari al numero di ingressi ( ) si ha

Lo schema a blocchi arricchito dell’azione in avanti è il seguente:

Figura 4 Schema di un SFC con azione in avanti

1.2.3 Azione integrale

In generale, anche in presenza di azione in avanti, il controllore finora studiato non garantisce

alcuna specifica relativa alla precisione statica, ovvero non è possibile assicurare che l’errore a

regime, definito come la differenza tra l’uscita del sistema e l’ingresso di riferimento, sia nullo.


11

Affinché sia verificata tale proprietà, il sistema (1) deve essere modificato aggiungendo

un’azione integrale:

∫ (7)

Consideriamo il sistema esteso:

{

(8)

La nuova matrice della dinamica è:

(

) (9)

e lo stato del sistema è:

(

)

Quindi avremo che il sistema esteso sarà composto da n + 1 stati e, di conseguenza, aumenterà

l’ordine del sistema.

Progettando un controllore a retroazione di stato che renda tale sistema asintoticamente stabile,

l’evoluzione convergerà verso il punto di equilibrio tale che:

{

(11)

L’Equazione(11) conferma il raggiungimento dell’obiettivo preposto, a regime l’uscita seguirà

pedissequamente il riferimento r.

La legge di controllo comprensiva dell’azione integrale è la seguente:

(12)


12

1.3 Robustezza

Come già accennato, la robustezza è uno degli obiettivi fondamentali dei controlli automatici.

Oltre a rendere un sistema stabile in condizioni nominali infatti, è opportuno che esso resti tale

anche in presenza di variazioni e perturbazioni agenti sul sistema.

A tal proposito la robustezza di un sistema può essere valutata in base a molteplici fattori esterni

di varia natura. Ad esempio in presenza di perturbazioni della funzione d’anello o di dinamiche

non modellate, il criterio di Nyquist è uno strumento ottimo per valutare la robustezza di un

sistema, studiando “quanto” è stabile il nostro sistema tramite degli indicatori di robustezza,

detti margini di stabilità, particolarmente utili nella progettazione di un controllore. Essi sono il

margine vettoriale, il margine di guadagno e il margine di fase.

Nel caso in cui si voglia valutare la capacità di rigettare il rumore, la robustezza di un impianto è

caratterizzata rispetto a segnali di disturbo, i quali vengono classificati in disturbi in uscita come

ad esempio un errore di misurazione dei sensori, disturbi in ingresso (attuatori) e incertezze

rispetto a variazioni parametriche del modello, ad esempio la massa di un veicolo in movimento

si riduce con il passare del tempo a causa del consumo di carburante e del conseguente

svuotamento del serbatoio.

Nel seguito ci focalizzeremo sull’aspetto relativo alla robustezza di un sistema in presenza di

disturbi in ingresso e in uscita introducendo le cosiddette funzioni di sensitività.

1.3.1 Funzioni di sensitività

Idealmente vorremmo che l’effetto di disturbi in ingresso e in uscita fosse nullo in ogni istante

di tempo. In generale ciò non è possibile, quindi si cerca di richiedere che il loro effetto produca

variazioni minime dell’uscita.[2]

In questo caso l’attenuazione dei disturbi è realizzabile richiedendo il soddisfacimento di

determinate caratteristiche alle funzioni di trasferimento che legano i disturbi all’uscita.

Consideriamo il sistema di controllo raffigurato in Figura 5:


13

Figura 5 Schema di controllo a retroazione con disturbi in ingresso e in uscita

In esso sono presenti il disturbo in ingresso n(t) e quello in uscita d(t) oltre al riferimento r(t),

mentre in uscita abbiamo y(t) ed e(t). In totale quindi avremo 6 funzioni di trasferimento, dette

Gang of Six (Figura 6).

Figura 6 Gang of six

Dallo schema di Figura 5 si ricava che:

Quindi:

Con passaggi analoghi si avrà rispetto a y:


14

La funzione di trasferimento che lega si definisce funzione di sensitività

complementare:

mentre la funzione di trasferimento che lega si definisce funzione di

sensitività:

A volte si definisce anche la funzione di sensitività del controllo che lega il segnale u(t) in

ingresso al controllore con r(t), d(t), n(t).

Essa è definita come:

In generale un sistema di controllo ideale è caratterizzato da e . Ciò, oltre ad

essere irrealizzabile, dà luogo a specifiche contrastanti. Ad esempio, avere la funzione di

sensitività complementare circa pari ad 1 per avere r ed y uguali tra loro fa entrare

inevitabilmente il rumore in ingresso (n circa pari ad e).

Inoltre, dato che G(s) è una funzione strettamente propria e C(s) è al più propria, la funzione

d’anello L(s) è anch’essa strettamente propria. Si osserva, dunque, che F(s) è strettamente

propria, mentre S(s) è propria, quindi per si ha , mentre .

Per tutti questi motivi si cerca di raggiungere un trade-off tra le due funzioni di sensitività:

(16)

Si analizzano ora in dettaglio le due funzioni, partendo dalla funzione di sensitività

complementare.


15

Tipicamente, nella maggior parte dei casi pratici, i disturbi in ingresso presentano componenti

significative dello spettro solo alle alte frequenze, mentre il riferimento r è un segnale spesso

concentrato in bassa frequenza. Dunque, nel progetto di un sistema di controllo, è necessario

fare in modo che risulti:

{| | | |

Dall’Equazione 13 risulta evidente che le proprietà frequenziali di sono strettamente

legate a quelle di . Infatti, si nota che:

| | | |

| |

Ed inoltre:

| | {| |

dove rappresenta la pulsazione alla quale la funzione d’anello interseca l’asse a 0 dB.

Quindi:

| | {

| |

Figura 7 Confronto tra F(jw) e L(jw)[Bolzern]

Nel grafico in Figura 7 è mostrato il confronto tra la risposta frequenziale di ed . Si


16

nota che il comportamento delle due funzioni è molto simile, approssimabile ad un filtro passa-

basso, inoltre presentano quasi la stessa frequenza critica .

Oltre all’analisi in frequenza è possibile considerare l’analisi statica di che rappresenta la

f.d.t tra il riferimento e l’uscita. Utilizzando la generica rappresentazione per si ha:

∏ ∏ (

)

∏ ∏ (

)

e, ricordando l’Equazione (13), risulta:

quindi, a seconda del tipo di g, avremo:

{

Con procedimento analogo si studierà ora in dettaglio la funzione di sensitività S(s).

Un disturbo d in uscita è spesso caratterizzato dall’avere componenti significative dello spettro

alle basse frequenze come anche il segnale di riferimento r. Quindi sarebbe opportuno che la

risposta in frequenza della funzione di sensitività abbia un modulo sufficientemente piccolo in

tale intervallo di pulsazioni.

L’Equazione(14) mostra che la funzione di sensitività, presenta un legame con la funzione

d’anello:

In particolare, considerando l’Equazione(18) si ha:

| |

| | {

| |

(22)


17

Figura 8 Confronto tra S(jw) ed L(jw)[Bolzern]

A differenza del caso precedente si nota in Figura 8 che la funzione di sensitività si comporta

come un filtro passa-alto, ovvero rigetta le basse frequenze, che sono quelle dove sono

prevalentemente concentrati i disturbi in uscita.

Passiamo all’analisi statica, ricordando le Equazioni (13) e (19), si ha:

{

L’analisi statica è in questo caso molto utile per valutare l’errore a transitorio esaurito dovuto ad

un disturbo d, usando il teorema del valor finale[2]:

{


18

Capitolo 2

Esempio di sintesi in frequenza

In questo capitolo verrà affrontato un caso di studio in frequenza relativo ad un sistema

dinamico per analizzare come sia possibile progettare un controllore che sia in grado di rigettare

in modo robusto eventuali disturbi agenti in ingresso o in uscita al sistema.

2.1 Ambiente MATLAB/SIMULINK

MATLAB, abbreviazione di MATrix LABoratory, è un ambiente per il calcolo numerico e

l’analisi statistica, che comprende l’omonimo linguaggio di programmazione. Creato alla fine

degli anni ’70 da Cleve Moler, è divenuto ben presto l’ambiente più diffuso in ambito

industriale ed universitario e funziona su diversi sistemi operativi tra cui Windows, Mac/OS e

Linux.

MATLAB offre una miriade di funzionalità ed è un potentissimo strumento per l’analisi

numerica e la simulazione di sistemi dinamici anche con molti ingressi ed uscite.

Strettamente integrato con MATLAB è SIMULINK, un software per la modellazione,

simulazione e analisi di sistemi dinamici, sviluppato dalla stessa compagnia statunitense

MathWorks. [5]

Simulink è un ambiente grafico per la simulazione multidominio e il Model-Based Design.

Supporta la progettazione a livello di sistema, la simulazione, la generazione automatica del


19

codice, il testing e la verifica di sistemi embedded.

Simulink offre un editor grafico, librerie di blocchi personalizzabili e solutori per la

modellazione e la simulazione di sistemi dinamici. È integrato con MATLAB, consente di

incorporare gli algoritmi MATLAB nei modelli e di esportare i risultati delle simulazioni in

MATLAB per ulteriori analisi. [4]

2.2 Descrizione del problema

In questo paragrafo si analizzerà il sistema di lettura di un disco rigido, costituito

fondamentalmente da uno o più piatti, realizzati in alluminio o vetro, rivestiti di materiale

ferromagnetico, e da una testina, la quale durante il funzionamento si occupa della lettura e

scrittura dei dati, spostandosi velocemente da una traccia ad un’altra. La testina è tenuta

sollevata di pochi nanometri dall’aria mossa dalla velocità di rotazione del disco stesso. Gli

standard attuali arrivano fino a 15.000 giri al minuto.

Il funzionamento del sistema è molto semplice in quanto consiste di un motore a corrente

continua che si occupa di trasformare l’energia elettrica in energia meccanica di rotazione di un

braccio al quale è attaccata la testina, come si vede in Figura 9.

Figura 9 Sistema di azionamento del disco


20

2.2.1 Modello

Passiamo ora alla formalizzazione di un modello semplificato per il sistema in esame in cui si

trascurerà la parte di modello relativa alla corrente di eccitazione e di armatura. Tale

approssimazione risulta fattibile in quanto una modellazione più approfondita del sistema

aggiungerebbe costanti di tempo molto piccole, senza influire più di tanto sulla dinamica del

sistema.

Detta la posizione della testina e la sua velocità, dall’Equazione (25) sul bilanciamento

delle forze:

(25)

e scegliendo come variabili di stato e , si ricava il modello:

{

(26)

2.2.2 Funzione di trasferimento

Dal modello nello spazio di stato è possibile ottenere la funzione di trasferimento del sistema,

grazie alla formula riportata nell’Equazione (27):

(27)

Essendo nel nostro caso:

(

) (

)


21

si ha che la funzione di trasferimento risultante è:

I valori tipici dei parametri che compaiono nella funzione per l’azionamento di un lettore di

dischi sono descritti in Tabella 1:

Tabella 1 Parametri per lettura hard disk

sostituendo avremo :

2.2.3 Specifiche richieste

Per il sistema si vuole che siano soddisfatte le seguenti specifiche:

-errore della posizione nullo a regime a fronte di un riferimento a gradino .

-sovraelongazione percentuale:

-tempo di assestamento all’1% del valore di regime:

-attenuazione di 20db di un disturbo sinusoidale in uscita con

-attenuazione di 20db di un disturbo sinusoidale in ingresso con


22

2.2.4 Traduzione delle specifiche

Prima di procedere con la sintesi in frequenza è opportuno “convertire” alcune specifiche non

espresse esplicitamente in tale dominio. In particolare le specifiche sul transitorio relative alla

sovraelongazione percentuale ed al tempo di assestamento vanno modificate in termini di

margine di fase e di pulsazione critica

La specifica sull’errore a regime si traduce in una pendenza iniziale del grafico di | | pari

almeno a -20db/decade.

A tal proposito l’Equazione (23) ci permette di affermare che tale specifica è già soddisfatta, in

quanto è presente un polo nell’origine.

Per la specifica sulla sovraelongazione percentuale si consideri la seguente tabella:

Tabella 2 Andamento di S% al variare dello smorzamento

Come si può notare, una sovraelongazione inferiore al 5% richiede uno smorzamento ,

che si traduce in una specifica sul margine di fase tramite la relazione:

dunque avremo .

La specifica sul tempo di assestamento viene tradotta in frequenza tramite la relazione:


23

Nel nostro caso avremo ⁄ .

Infine per le specifiche sui disturbi:

| | | |

| | | |

Figura 10 Grafico decibel-frequenza in cui vengono mostrate le specifiche

Dall’analisi appena svolta sulle specifiche richieste al sistema è possibile tracciare il grafico

della regione ammissibile per il modulo della funzione d’anello. In pratica il grafico non dovrà

intersecare le regioni tratteggiate.


24

2.2.5 Sintesi del controllore al MATLAB/SIMULINK

Passiamo ora allo studio al MATLAB del sistema:

Figura 11 Comandi MATLAB per la creazione di un sistema dinamico

Nella Figura 11 sono riportati i comandi MATLAB usati per la creazione del sistema. In

particolare è stato creato un oggetto sistema(sys) a cui è stata assegnata la funzione di

trasferimento realizzata tramite il comando transfer function(tf).

L’obiettivo è quello di procedere con una sintesi per tentativi in frequenza al fine di trovare un

controllore che permetta al sistema di comportarsi nel modo desiderato, rispettando le specifiche

imposte nel Paragrafo 2.2.3.

Come primo tentativo proviamo con un controllore proporzionale unitario:

Figura 12 Definizione del controllore proporzionale unitario

La funzione d’anello in MATLAB sarà data dal semplice comando:

Figura 13 Definizione della funzione d'anello

dove si è assegnato il sistema sys alla variabile G.

A questo punto è possibile valutare se le specifiche sono rispettate con il comando margin di

MATLAB tramite il quale sono visualizzati i diagrammi di Bode del modulo e della fase della

funzione d’anello del sistema con i margini già calcolati:

Figura 14 Comando margin, visualizza i diagrammi di bode di L


25

Figura 15 Diagrammi di Bode di L(jw)

Come già detto la specifica sull’errore a regime è già verificata, la specifica sul margine di fase

anche, infatti abbiamo . Le specifiche sulla pulsazione critica e sul disturbo in uscita

alle basse frequenze non sono invece rispettate, mentre la specifica sul disturbo in ingresso alle

alte frequenze è soddisfatta. Ciò è facilmente verificabile confrontando i diagrammi di Figura 15

con la Figura 10.

Occorre un nuovo tentativo: in questo caso, dato che la specifica sul margine di fase è

soddisfatta, e dovendo alzare il diagramma del modulo della funzione d’anello, proviamo ad

utilizzare una rete correttrice di tipo lead con guadagno pari a 1500, uno zero alla pulsazione

e un polo alla pulsazione :

Figura 16 Ridefinizione del controllore

Rieseguendo i comandi MATLAB riportati in Figura 13 ed in Figura 14, otteniamo i seguenti

diagrammi di Bode per la funzione d’anello:


26

Figura 17 Diagrammi di Bode di L

Dalla Figura 17 si evince che, con l’aggiunta della rete correttrice, tutte le specifiche sono ora

rispettate ad eccezione della reiezione del disturbo in uscita alle basse frequenze, infatti il

diagramma di Bode del modulo di L è leggermente al di sotto della soglia dei 20 dB in

corrispondenza della pulsazione .

A questo punto, affinché sia soddisfatta anche la specifica sul disturbo senza influenzare le

altre specifiche, basta progettare un controllore molto simile a quello visto in precedenza,

ovvero usando una rete anticipatrice, cambiando il valore del guadagno e le posizioni dello zero

e del polo. A tal proposito, consideriamo nel terzo tentativo un guadagno per il regolatore pari a

2000, infine posizioniamo lo zero alla pulsazione ed il polo alla pulsazione :

Figura 18 Definizione del controllore che rispetta tutte le specifiche

Seguendo sempre la stessa procedura vista nei tentativi precedenti si hanno i seguenti


27

diagrammi di Bode per la funzione d’anello:

Figura 19 Diagrammi di Bode di L

In particolare, verifichiamo che la specifica sul disturbo in uscita sia soddisfatta, centrando il

diagramma intorno alle frequenze d’interesse, Figura 20:


28

Figura 20 Zoom dei diagrammi di Bode di L

2.3 Simulazione

Il passo finale è la validazione del controllore progettato attraverso una simulazione al

calcolatore.

Dalla console di MATLAB avviamo il software simulink digitando il comando simulink:

Figura 21 Comando per avviare simulink

Nella finestra che si apre, da File - New – Model, creiamo un nuovo modello utilizzando i

blocchi messi a disposizione da Simulink, Figura 22:


29

Figura 22 Modello simulink del sistema

In particolare si è scelto il blocco Step per il riferimento a gradino, due blocchi transfer function

per il controllore e il sistema, due onde sinusoidali, rispettivamente a frequenza e

per i disturbi in uscita e in ingresso:

Figura 23 Risultato simulazione

Dal grafico in Figura 23 è possibile osservare i risultati della simulazione:

in particolare i disturbi agenti sul sistema vengono fortemente attenuati non influenzando il

comportamento del sistema: per quanto riguarda l’ampiezza delle due onde sinusoidali relative


30

ai disturbi, essa è stata scelta pari a 0.1, siccome si vuole che il rumore sia attenuato di 20 dB sia

in ingresso sia in uscita, l’ampiezza dei disturbi verrà ulteriormente diminuita di un fattore 10.

E’ possibile osservare quest’ultimo aspetto nello zoom in Figura 24:

Figura 24 Zoom per osservare l'attenuazione del disturbo

In assenza di disturbi invece si ha, come atteso:


31

Figura 25 Risultato simulazione in assenza di disturbi

Dalla Figura 25 è facile verificare la validità del controllore anche per quel che riguarda le

restanti specifiche circa l’errore a regime, la sovraelongazione percentuale ed il tempo di

assestamento.


32

Conclusioni

In questa trattazione si è visto come sia importante retroazionare lo stato o l’uscita di un sistema

dinamico affinché esso si comporti in maniera desiderata e soprattutto robusta rispetto a rumore

e/o disturbi agenti sul ciclo di controllo.

La teoria dei controlli automatici permette di analizzare e sintetizzare un controllore in più

domini applicativi. In particolare si è visto come progettare un controllore a retroazione nello

spazio di stato e come esso sia robusto rispetto ad un controllore a ciclo aperto attenuando

eventuali disturbi δ.

Essendo tali disturbi molto più facilmente caratterizzabili in frequenza, uno studio in tale

dominio è più adatto per gli aspetti relativi alla robustezza ai disturbi esterni tramite le

cosiddette funzioni di sensitività, le quali rappresentano le funzioni di trasferimento che legano i

disturbi e l’uscita del sistema.

Infine si è analizzato un sistema fisico reale, il posizionamento della testina di un hard disk,

sintetizzando un regolatore in frequenza robusto a disturbi sia in ingresso sia in uscita al

sistema.

I risultati ottenuti sono stati poi verificati con l’ausilio del tool MATLAB/SIMULINK,

simulando un possibile schema di funzionamento comprensivo di disturbi.


33

Bibliografia

[1] Karl J. Åström and Richard M. Murray, 2011, “Feedback Systems: An introduction for

Scientists and Engineers”.

[2] Bolzern Paolo, Scattolini Riccardo, Schiavoni Nicola “Fondamenti di Controlli Automatici”,

McGraw-Hill 2004.

[3] “http://www.mathworks.it/products/matlab/”

[4] “http://www.mathworks.it/products/simulink/”

[5] “http://www.wikipedia.it/MATLAB”

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