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FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA FÍSICA II-2016

ESPECIALIDADES: AGRIMENSURA-CIVIL-QUÍMICA-ALIMENTOS-BIOINGENIERÍA

1

GUÍA DE PROBLEMAS PROPUESTOS Y RESUELTOS - ELECTROSTÁTICA Datos necesarios para resolver los problemas de la guía: Constante Ley de Coulomb K = 9 x 109 Nm2 /C2. Permitividad del vacío є0 =8,85x10-12 C2 /N m 2 =8,85x10-12 F/m Carga del electrón, e =- 1,6x10-19 C Masa del electrón me= 9,1 x 10 -31Kg Carga del protón =+ 1,6 x 10–19 C. Masa del protón = mP = 1,67 x 10–27 Kg. Problema Nº 1 En un sistema de coordenadas rectangulares se colocan tres cargas puntuales, q1= 2 x 10-9 C ; q2= - 2 x 10-9 C y q3= - 3 x 10-9 C en los puntos (0,0); (2,0) y (0,2) respectivamente. Si las coordenadas están dadas en metros. Calcular el módulo de la fuerza neta que actúa sobre cada una de las cargas y el ángulo que cada vector forma con la horizontal. Rta : F1 = 1,62 x 10-8 N; θ1= 56,30º F2=6,38x10-9 N; θ2= 228,40º F3=9,94x10-9N; θ3= 241,34º Problema Nº 2 Cuatro cargas puntuales idénticas de q=+10µC se colocan sobre las esquinas de un rectángulo de dimensiones 60 cm y 15 cm. Calcular la magnitud y la dirección de la fuerza neta electrostática ejercida sobre la carga de la esquina inferior izquierda del rectángulo por las otra tres cargas. Rta: 40,3 N; 263o Problema Nº 3 Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus extremos, cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los péndulos se separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q? (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía) Problema Nº 4 Tres esferas tienen igual carga y están colocadas como indica la figura. La esfera C ejerce una fuerza de 4x10-6 N sobre la esfera B. Calcular a) la fuerza que hace la esfera A sobre la B. b) el módulo y el sentido de la fuerza total sobre la esfera B. (Considerar las esferas como cargas puntuales).

Rta : FAB= 3 x10-6 N FB= 5 x10-6 N Problema Nº 5 En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto (0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros.

B

C

A

cm3

2

cm1

q q

60°

Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática

2

a) Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda carga es negativa. Rta: (b) EP = 0,6 (N/C); EQ = 0,87 (N/C). (La solución de la parte (a) de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 6 Dos cargas puntuales una de magnitud +2 µC y la otra de -3µC se localizan sobre el eje y. La primera está en y= 3m y la otra en y= 1m a) Determinar el campo eléctrico sobre el eje x, en x= 4m. b) Aplicando el concepto de campo eléctrico, determinar la magnitud de la fuerza que actuaría sobre una tercera carga de 4µC colocada sobre el eje x, en x= 4m y dibujar el vector correspondiente. Rta: a) 6,31x102 N/C; b) 2,52 x10-3 N

Problema Nº 7 Tres cargas puntuales de valores q1 = q3= 3 x 10-9 C y q2= - 6 x 10-9C se encuentran colocadas como indica la figura. Si a= 2m, Hallar el campo eléctrico resultante punto P y el ángulo que E forma con la horizontal.

Rta: E= 27 N/C = 225°

Problema Nº 8 Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud. Deducir la expresión del campo eléctrico en el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz a la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. b) Si la varilla tiene un largo l. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 9 Un electrón que se mueve con una velocidad de 5x108cm/s, se dispara paralelamente a un campo eléctrico de intensidad 1x103 N/C, colocado de modo que retarde su movimiento. a) ¿Hasta dónde llegará el electrón en el campo antes de quedar momentáneamente en reposo? b)¿Cuánto tiempo transcurrirá? Rta: a)7,1cm b)2,9x10-8s Problema Nº 10 Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 11 Se aplica un campo eléctrico de 5,0.104N/C, a lo largo del eje x. Calcular el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0,2 m de ancho y 0,8 m de largo, si: a) éste es paralelo al plano yz, b) es paralelo al plano xy y c) contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 53° con el eje x.

Rta: a) E = 8x10 3 N.m2/C b) E = 0 Nm2/C c) E =4,8x103N.m2/C Problema Nº 12

En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 3 x 10–9 C en el punto (0;0), otra de 3 x 10–9C en el punto (0;2), y una tercera de 4 x 10–9 C en el punto (0;6), estando

q1

q2

q3

P a

a


3

las coordenadas expresadas en metros. Calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica con centro en el punto (0;0) y radio: a) 1m. b) 3 m. c) 10 m.

Rta: a) E = 339 Nm2/C b) E = 0 c) E = 452 Nm2/C

Problema Nº 13 Dos esferas metálicas, huecas y concéntricas, de radios 3 cm y 6 cm, respectivamente, tienen cargas de – 3 x 10–10 C y 3 x 10–10 C. Calcular el módulo del campo eléctrico: a) A 2 cm del centro. b) A 5 cm del centro. c) A 9 cm del centro. Rta: a) E = 0; b) E = 1080 (N/C) c) E = 0 Problema Nº 14 Dos largos cilindros coaxiales, de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5cm del eje. b) A 2cm del eje. c) A 5cm del eje. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 15 Una esfera de 4 cm de radio tiene una carga neta de +39 µC .a)Si la carga está uniformemente distribuida sobre el volumen de la esfera ¿Cuál es la densidad de carga volumétrica? b) Si la carga está uniformemente distribuida sobre la superficie de la esfera ¿Cuál es la densidad superficial de carga? a)0,145 C/cm3 b)1,94x10-3 C /cm2 Problema Nº 16 Una esfera no conductora de radio R está cargada con una carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen. Deducir la expresión del módulo del campo eléctrico: a) Para puntos

interiores (r R), b) Para puntos exteriores (r R) de la esfera. c) Graficar E en función de la distancia al centro de la esfera (r). Rta: a) E = kQr/R3 b) E = kQ/r2

Problema Nº 17 Dos grandes placas metálicas, de 4 m2 de área, están una frente a la otra, separadas 1 cm. Las láminas tienen cargas iguales y de signo contrario sobre sus superficies interiores. a) Deducir la expresión del módulo del campo eléctrico entre las placas. b) Calcular la carga de las placas si el campo eléctrico entre ellas es de 6 (N/C). Despreciar los efectos de borde.

Rta: a) E = /o b) Q = 2,1 x 10-10 C

Problema Nº 18

Una esfera aislante sólida de radio a tiene una densidad de carga uniforme y una carga total Q. Concéntrica con esta esfera está otra esfera hueca conductora y descargada, cuyos radios interior y exterior son b y c, respectivamente, como se ve en la figura. a) Determinar la intensidad del campo eléctrico en las regiones : a) r < a, b) a < r < b c) b < r < c y d) r > c.

+

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

+q -q


4

Rta: a) E = Q r / 40 a3 b) E = Q / 40 r

2 c) E = 0 d) E = Q / 40 r2

PROBLEMA Nº 19 Calcular la rapidez de un protón que se acelera desde el reposo a través de una diferencia de

potencial de 120 V. b) Realizar el mismo cálculo para un electrón.

Rta:a) 1,52 x106 m/s /s b) 6,50 x106 m/s

Problema Nº 20

En la figura la carga A tiene 20C, mientras que la carga B tiene -10C. a) Calcular el potencial

en los puntos C y D. b)¿Cuánto trabajo debe hacerse para llevar una carga de 50C desde el punto C al punto D?

Rta: a) Vc = -225000 V VD = 787500 V b) W = 50,625 J Problema Nº 21 Una esfera pequeña de masa 1,5g cuelga de una cuerda entre dos placas verticales paralelas separadas por una distancia de 5cm. Las placas son aislantes y tienen densidades superficial de

carga uniformes de + y - . La carga de la esfera es q= 8,9 x10-6C. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas, que ocasionará que la cuerda forme 30° con la vertical?

Rta: V= 47,5V Problema Nº 22 Se coloca una carga puntual de – 3 x 10–10 C en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. a) Calcular el potencial eléctrico en el punto P, de coordenadas (8m; 0m). b) ¿Qué trabajo hay que hacer para colocar una carga de 5 x 10–10 C en el punto P? c) Calcular el potencial que ambas cargas crean en un punto S, de coordenadas (2m; 0m). d) ¿En qué punto del segmento que determinan ambas cargas se anula el potencial? e) Si se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto de coordenadas (0m; 4m), ¿cuál es la energía potencial eléctrica del sistema formado por las tres cargas? Rta: a) VP = – 0,34 V b) W2 = – 1,7 x 10–10 J c) VS = – 0,6 V d) (3m:0m) e) U = – 2 x 10–10 J Problema Nº 23 Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale:

a

bakV ln. ; donde:

04

1

k y

l

q

A(20C)

D C B(-10C )

20cm 60cm 20cm


5

(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 24 a) Deducir la expresión de la diferencia de potencial entre dos esferas huecas y concéntricas, de radios a y b, cargadas con cargas – Q y + Q, respectivamente. b)Calcular la diferencia de potencial entre las dos esferas si: a = 3 cm, b = 4 cm y Q = 2 x 10-9 C

Rta: a)

ab

abkQVV ab b) Vb – Va = 150 V

Problema Nº 25 Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm, cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10–7 (C/m). (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía Problema Nº 26 Cuando se aplica una diferencia de potencial de 150V a las placas de un capacitor de placas paralelas, las placas adquieren una densidad de carga de 30nC / cm2. Determinar cuál es el espaciamiento entre las placas. Rta: 4,42 x 10-6 m Problema Nº 27 Calcular la capacitancia de un capacitor esférico de radios a = 1 cm y b = 2 cm. a) Con

dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de porcelana. ( = 6,5). Rta: a) C= 2,2 pF b) C' = 14,3 pF Problema Nº 28 Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior a

= 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel ( = 3,5). (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 29 En la conexión de la figura, Ca = 2 F, Cc = 6 F, Qc = 360 C y Va = 40 V. Calcular qa, qb, V, Vb y Cb (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 30 Dos capacitores, a y b, están conectados en paralelo entre sí, y en serie con un tercero, c. Si Ca = 1 μF, Cb = 2μF, Cc = 5 μF, y se le aplica al conjunto una diferencia de potencial de 30 V, determinar: la carga y la diferencia de potencial de cada capacitor, y la energía almacenada por cada uno de ellos.

Rta: qa =18,75 C; qb = 37,5 C; qc =56,25 C ; Va =18,75 V ; Vb = 18,75 V ;

Vc = 11,25 V; Ua = 175,78 J; Ub = 351,56 J; Uc = 316, 4 J

P

b a

Cb

Cc

Ca

V


6

Problema Nº 31 En la figura se representan cuatro condensadores, de idéntica forma y dimensiones, con un valor de capacitancia de 10-9F. determinar:a)la capacitancia equivalente del conjunto, b)diferencia de potencial y la carga de cada capacitor, c) la energía almacenada en cada uno de ellos. ealizar los mismos cálculos cuando en C2 se coloca un dieléctrico de parafina(k= 2,3), a C3 uno de azufre (k= 3) y en C4 uno de mica(k= 5).

********************************************************************

Problemas Resueltos

Problema Nº 3 Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus extremos, cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los péndulos se separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q? Solución Se considerará la esfera de la derecha, ya que la situación es igual para ambas. Como se ve en la figura 1, la esfera se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: la tensión del hilo (T), el peso (mg) y la fuerza de origen eléctrico (F). Se toma un sistema de ejes coordenados con origen en el centro de la esfera y se descompone T en dos direcciones perpendiculares (figura 2). Las condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes son:

0xF y 0Fy

Aplicando las condiciones de equilibrio a este caso, se tiene:

0 TsenF y 0cos mgT

Despejando T de la segunda ecuación y reemplazando en la primera:

α T

mg

F

mg

Tsen F

Tcos

Figura 1 Figura 2

q q

60°

C2 C3

C1

V=100V

C4


7

0cos

senmgF 0. tgmgF

tgmgF . (1)

De acuerdo con la ley de Coulomb: 2

2

r

kqF (2)

De (1) y (2): 22 .. rtgmgkq

k

rtggmq

2...

(3)

kgxmgm 61055 mcml 1,010

2/8,9 smg ; 2

29109

C

Nmxk

30 5,0sen 58,0tg

De la figura, la separación r entre cargas es:

5,0.1,0.2.22 mlsenddr

mr 1,0

Reemplazando los valores en (3):

229

226

/109

1,0.58,0)./8,9(105

CNmx

msmkgxq

Cxq 91062,5

Las cargas son del mismo signo (positivas o negativas) y valen 5,62 x 109 C.

****************************************************

Problema Nº 5 En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto (0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros. a) Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda carga es negativa. Solución parte (a) Campo en el punto P (0;3) Primero se dibujan los vectores representativos del campo que cada carga crea en el punto. Para ello se imagina que se coloca en el punto una carga de prueba, que es positiva. La dirección y el sentido en que tendería a moverse la carga de prueba, por acción de la carga, dan la dirección y el sentido del campo que la carga crea en el punto.

q q

α

r

d


8

q1

P Ep1

Ep2

E p

q 2

EP1 : Campo en P debido a la carga q1. EP2 : Campo en P debido a la carga q2.

CNm

CxxCNmx

r

kqEP /2,0

)3(

102/1092

10229

2

1

11

CNEP /2,01

CNm

CxxCNmx

r

kqEP /4,0

)3(

104/109

)( 2

10229

2

2

22

CNEP /4,02

EP = EP1 + EP2 ; (Suma vectorial) Como los vectores son colineales y de sentido contrario, el vector suma tiene la misma dirección que los anteriores, módulo igual a la diferencia de los módulos y sentido el del mayor de los vectores, como se muestra en la figura. Por lo dicho anteriormente, el módulo de EP es:

CNCNEEE PPP /2,0/4,012

CNEP /2,0

Campo en el punto Q (0;8) EQ1 : Campo en Q debido a la carga q1. EQ2 : Campo en Q debido a la carga q2.

CNm

CxxCNmx

r

kqEQ /03,0

)8(

102/109

)( 2

10229

2

1

11

CNEQ /03,01

CNm

CxxCNmx

r

kqEQ /9,0

)2(

104/109

)( 2

10229

2

2

22

CNEQ /9,02

EQ = EQ1 + EQ2 ; (Suma vectorial) Como los vectores son colineales y de igual sentido, el vector suma tiene la misma dirección y sentido que los anteriores, como se muestra en la figura, y su módulo es igual a la suma de los módulos. Luego, el módulo de EQ es:

CNCNEEE QQQ /9,0/03,021

CNEQ /93,0

********************************************

EQ

q1

q 2

Q EQ1

EQ2


9

Problema Nº 8 Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud. Deducir la expresión del campo eléctrico en el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz a la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. b) Si la varilla tiene un largo l. Solución

Ed

Ed

Se toma un sistema de coordenadas en el cual el eje x coincide con el eje de la varilla, y el eje y con la bisectriz. Se considera un elemento de varilla de longitud dx, ubicado a una distancia

x del origen de coordenadas, y cuya carga es dq . Esta carga crea en el punto P un campo

Ed

, cuyo módulo es 2r

kqdE

El campo eléctrico resultante en P será dEE (Es una integral vectorial, y hay que integrar

para toda la longitud de la varilla).

Se descompone el campo Ed

en sus componentes xEd

y yEd

Como yx EdEdEd

se tiene: yx EdEdE

Considerando el elemento de varilla ubicado a una distancia x del origen, el cual es simétrico,

respecto del eje y, del primer elemento considerado, se ve que crea un campo Ed

, cuya

componente horizontal es igual y opuesta a la que crea el primer elemento, mientras que la componente vertical es la misma. Como lo anterior se cumple para cada par de elementos simétricos, la primera integral del segundo miembro es nula.

Luego: ydEE

Como todos los vectores yEd

son colineales y de igual sentido, se puede escribir:

ydEE (Integral escalar)

En la figura se ve que dEsendEy luego: 2

..

r

sendqkdE y

Llamando a la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud), se tiene que

dxdq Luego, la integral queda:

22 r

dxsenk

r

senkE

Como se tienen tres variables dentro del signo de integral (x, r y ), hay que dejar una sola para poder integrar. De la figura se tiene:

x dx

xEd

yEd

xEd

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -x

θ

a

y

x


10

gax cot. 2

2

)()(cos

sen

addecadx ;

r

asen ;

sen

ar ;

)(

22

sen

ar

Reemplazando dx y r2 en la integral:

dsen

ak

sena

sensenadkE

22

2

/

/

a) Si la varilla es infinitamente larga, varía entre 0 y .

0coscoscos. 00

a

k

a

kdsen

a

kE

b) Si la varilla tiene un largo l, varía entre y , como se ve en la figura.

coscos)cos( a

k

a

kdsen

a

kE

Como + = ; cos = cos;

a

kE

cos.2.

Como l

q y

04

1

k

al

q

al

qE

...2

cos.

...4

cos..2

.00

De la figura: cosα = 2/1222/122 42/

)2/(

la

l

la

l

luego:

aa

kE

02

2

ß α θ

І / 2

y

2/122

0 ).4.(2 laa

qE


11

Problema Nº 10 Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial. Masa del electrón me = 9,1 x 10–31 Kg. Carga del electrón e = – 1,6 x 10–19 C. Solución En este caso, como el campo eléctrico está dirigido hacia arriba, la fuerza que actúa sobre el electrón es hacia abajo. La situación es semejante a la de un proyectil lanzado con un cierto ángulo sobre la horizontal, dentro del campo gravitatorio. Se desprecia la fuerza peso, por ser mucho menor que la fuerza de origen eléctrico, y se considera que el electrón está sometido sólo a la acción de esta última. La trayectoria que describe el electrón es la indicada.

Se descompone el movimiento en dos: 1) Un movimiento vertical, uniformemente retardado y

2) Un movimiento horizontal, uniforme. Se llama H a la altura máxima que alcanza el electrón por encima de su nivel inicial y X a la distancia horizontal que recorre el electrón hasta que vuelve a su altura inicial. Se descompone la velocidad inicial en dos direcciones: una vertical, de módulo voy, y otra horizontal, de módulo vox.

smxsensmxsenVV y /10530./100,1. 67

00

smxsmxVV x /107,830cos./100,1cos. 67

00

a) Según el eje y el movimiento es uniformemente retardado. De la definición de campo eléctrico, se tiene que el módulo de la fuerza de origen eléctrico es:

eEF . (1)

Por la segunda ley de Newton: amF . (2)

De (1) y (2):

eEam .. luego; m

eEa

.

214

31

19

/108,8101,9

106,1/5000smx

kgx

CxCxNa

214 /108,8 smxa

Cuando el electrón alcanza su altura máxima, la componente vertical de la velocidad se hace

cero: 0 atvv oyy ; luego:

a

vt

y0 (tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima).

Como 2

. 2

0

tatvy

a

vava

a

vvH

yyy

y22

/2

0

2

00

0

H

X x

V0

y

α

E

F


12

mxsmxx

smx

smxx

smxH 2

214

212

214

26

1042,1/108,82

)/(1025

/108,82

)/105(

cmH 42,1

b) 2

. 2

0

tatvy Cuando el electrón vuelve a su altura inicial, y = 0, luego:

2

.0

2

0

tatv ;

a

vt

y02 (tiempo que tarda en volver a su altura inicial)

Por lo tanto, la distancia horizontal recorrida en ese tiempo es:

a

vvX

y

x

0

0 2.

mxsmx

smxxsmxX 2

214

66

109,9/108,8

)/107,82.(/105

********************************************

Problema Nº 14 Dos largos cilindros coaxiales, de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5 cm del eje. b) A 2 cm del eje. c) A 5 cm del eje. Solución Para calcular el módulo del campo eléctrico se aplicará la ley de Gauss. Como la distribución de carga tiene simetría cilíndrica, se toma como superficie gaussiana un cilindro coaxial con los anteriores, suficientemente alejado de los extremos, de largo L y radio r, siendo r la distancia genérica al eje común. Se analizará primero el punto (b), que corresponde al caso general de puntos ubicados entre

ambos cilindros, o sea para a r b.

cmX 9,9

L

dA

E

dA

r

E

a

b


13

La expresión de la ley de Gauss es: 0

.

NqAdE

Se evaluará primero la integral del primer miembro. Como se ve en la figura, los

vectores E y Ad

no forman el mismo ángulo sobre toda la superficie. Por ello se divide la

superficie gaussiana, que es cerrada, en 3 superficies abiertas: la superficie lateral (S.L.) y las dos tapas (T y T'). Entonces, se tiene:

TTSLAdEAdEAdEAdE

....

TTSLEdAEdAEdAAdE 90cos90cos180cos.

SL

EdAAdE

.

Por razones de simetría, el módulo de E es constante sobre la superficie lateral, luego se puede sacar fuera del signo de integral.

rLEAEdAAdESL

2.

(2)

Por otro lado, la carga neta encerrada dentro de la superficie gaussiana es:

LNq (3)

De las ecuaciones (1), (2) y (3):

(a r b)

CNmxmNCx

mCxE /2699

)102).(,/1085,8.(2

/10322212

9

a r b

dA

E

+ +

+ +

+ +

+

-

-

-

-

L

E

+ + + + + + +

+

+ + + + + +

+ +

- - - - - - - -

- - - - - - - -

dA

E

r

dA dA

E

0..2

rE

CNE /2699

0

..2.

LLrE


14

a) En este caso la superficie gaussiana es de radio r < a, o sea es interior al cilindro menor.

Se aplica la ley de Gauss como en el caso anterior: 0

.

NqAdE

TTSLAdEAdEAdEAdE

....

No se sabe si existe campo en el interior del cilindro menor, pero, de existir, debe ser radial, por lo tanto las dos últimas integrales del segundo miembro son nulas. Luego:

SLEdAAdE

. Es este caso qN = 0, luego: 0. SL

EdAAdE

Si existe campo, además de ser radial puede apuntar hacia el eje o hacia afuera de éste, luego:

SL

00cos EdA o SL

0180cos EdA ; así SL

0dAE o SL

0)( dAE

Como se ve, la integral es positiva o negativa, pero nunca nula. Como el producto de E por la integral es nulo, debe ser E = 0. Luego: c) En este caso se toma una superficie gaussiana de radio r > b, o sea es exterior al cilindro mayor.

+

+ - - +

- + Acá también es qn = 0, y por un razonamiento semejante al del caso anterior se llega a que

+ + + + + + + +

+ +

- - - - - - - - -

-

- - - - - - - -

- -

+ + + + + + + +

+ +

+

-

+ - - +

-

+

L

r

b

L

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - -

-

+ + + + + + + + + +

+

-

-

-

Para r < a E = 0.

E=0 para r > b.


15

Problema Nº 23 Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale:

a

LakV ln donde:

0.4

1

k y

L

Q

Solución Se divide la varilla en infinitos trozos de longitud dr y carga dq.

El potencial que una carga q crea a una distancia r es: r

kqV

Por analogía, el potencial que una carga elemental dq crea a una distancia r es: r

kdqdV

Para obtener el potencial en P debido a la varilla cargada hay que sumar los potenciales que las infinitas cargas elementales dq crean en el punto, o sea hay que integrar. Luego:

r

kdqdVV

La densidad lineal de carga, , se puede expresar así: dr

dq Luego: drdq

Reemplazando dq en la integral se tiene: r

drkdVV

.

La variable de integración es r, que es la distancia entre un elemento de carga cualquiera y el punto P. Luego, r varía entre a y a + L.

La

a r

drkV

********************************************

P

L a

P

L a

dr r

dq

a

LakV ln.


16

Problema Nº 25 Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm, cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10–

7 (C/m). Solución Como ambos cilindros son equipotenciales, se calculará la diferencia entre dos de sus puntos, B y A, siguiendo la línea radial que va de A a B.

EdlEdldlEVV ab 180cos.

El módulo del campo eléctrico entre los dos cilindros, según se vio (problema 12), vale:

0.2

rE Luego:

r

dldl

rVV ab

00 22

Como se tienen dos variables dentro del signo de integral (r y l), hay que dejar una sola para poder integrar. Para eso se busca una relación entre ambas. La variable r representa los radios, los cuales se miden desde el eje hacia afuera. La variable l representa los desplazamientos de la carga de prueba, que en este caso se realizan a lo largo de un radio, desde A a B, o sea de adentro hacia afuera. Por lo anterior, en este caso, dl = dr. Reemplazando dl por dr y colocando los límites correspondientes a r, se tiene:

b

aab

r

dlVV

02

02

/ln

abVV ab

2

212

7

.1085,8.2

)1/3(ln.102

mN

Cxx

m

CxVV ab

VVV ab 4,3953

********************************************

Q+ Q -

A b

dl

E

B

a


17

Problema Nº 28

Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior

a = 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel ( = 3,5). Solución

Por definición, la capacitancia de un condensador es: ab VV

qC

(1)

donde Vb Va es la diferencia de potencial entre las armaduras y q es la carga, en valor absoluto, de una de las armaduras. Según se vio (problema 25), la diferencia de potencial entre dos cilindros de radios a y b, largo L,

cargados con cargas de igual valor y signo contrario, y densidad lineal de carga es:

02

/ln

abVV ab =

02

)/(ln

ab

l

q (2)

De (1) y (2), la capacitancia por unidad de longitud es: abL

C

/ln

2 0 (3)

a) Con dieléctrico de aire

mJ

Cx

NmCx

L

C

.1037,1

)5,1ln(

/1085,8.2 210

2212

mFxL

C/1037,1 10

b) Con dieléctrico de papel

CC .` ;

L

C

L

C ; )/(1037,15,3 10 mFxx

L

C

)/(108,4 10 mFxL

C

********************************************

Problema Nº 29

En la conexión de la figura, FCa 2 ; FCC 6 , CQC 360 y VVa 40 . Calcular qa, qb,

V, Vb y Cb Solución

De la definición de capacitancia: aaa VCq . ; CVFqa 8040.2 Cqa 80

Como los capacitores a y b están en serie, sus cargas son iguales: Cqq ba 80

VF

C

C

qVV

C

C

C 606

360

V = 60 V

Como ba VVV ; VVVVVV ab 204060 ; VVb 20

FV

C

V

qC

b

b

b

420

80 FCb 4

********************************************

Cb

Cc

Ca

V


18

facultad de ingeniería - departamento de fí · pdf fileconstante ley de coulomb...

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