情報と物理：...
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情報と物理：単振り子と中心力場Simple Pendulum and Central Force Field只木進一
2018年後期
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座標系の選択
二次元の 𝑥𝑥,𝑦𝑦 座標デカルト(Descartes)座標(Cartesian)
他にも座標系の可能性がある
直交座標系 (Ortho-normal coordinate systems)基底ベクトルが直交し、規格化されている
局所的に直交していれば良い
極座標(polar coordinates)中心からの距離と、角度で位置を表示
©只木進一（佐賀大学）
2
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René Descartes
1596/3 – 1650/2フランス生まれの哲学者、数学者
ラテン名Renatus CartesiusからCartesianという名称
現在の数式の使い方を提唱
©只木進一（佐賀大学）
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運動の極座標表示
位置の極座標表示
時間で微分
d d dd d dd d d
cos sin
sin cod d d
s
x rt t ty rt
r
rt t
θθ θ
θθ θ
− =
= +
cossin
x ry r
θθ
= =
©只木進一（佐賀大学）
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-
cos sin
sin cos
d d dd d dd d dd d d
x y rt t tx yt
rt t
θ θ
θθ θ
+ =
=− +
( )( )( )
cos , sin
cos sin cos
sin cos sinr x y
x y
v v v
v v v
v vv v
v
θ
ϕ ϕ
θ θ ϕ θ
θ θ ϕ θ
=
= + = −
+ == − −
一般的なベクトルの変換式©只木進一（佐賀大学）
5
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加速度
22 2 2
2 2 2
22 2 2
2 2 2
dr d dsin cosd d d
d d dsin cos cos sind
d d dcos 2sind d d
d d d2d d dd d
x r rt t t
y
rt t t
r rt t t
r rt t t
θ θ θθ θ θ θ
θ θ θθ θ θ θ
−
+
= − −
+
−
=
①
②
©只木進一（佐賀大学）
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加速度
cos𝜃𝜃 ×①+sin𝜃𝜃 ×②
−sin𝜃𝜃 ×①+cos𝜃𝜃 ×②
©只木進一（佐賀大学）
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22 2 2
2 2 2cosd d d dsind d d d
x y r rt t t t
θθ θ + = −
2 2 2
2 2 2
2
d d d d d2sin cosd d d d d
1 d dd d
x y r rt t t t t
rr t t
θ θθ θ
θ
− + = +
=
-
力の座標変換
一般式から
逆に解いて
cos sinsin cos
r x y
x y
F FFF
F Fθ
θ θ
θ θ
= +
+= −
cos sinsin cos
x r
y r
F FF FF
Fθ
θ
θ θθ θ
= −+=
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8
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極座標表示による運動方程式
©只木進一（佐賀大学）
9
22
2
2
d d 1d d
1 d d 1d d
rr r F
t t m
r Fr t t m θ
θ
θ
− =
=
後述するエネルギーの表式をつかうともっと簡単に導出できる
-
応用例：単振動子
力
動径方向へは動かないことに注意
cossin
r mg TFmgFθ
θθ= −
= −
2
2
2
d cosd
sindd
Tl gt m
l gt
θ θ
θ θ
= −
−
= −
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10
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角度方向の加速度の式の両辺にd𝜃𝜃/d𝑡𝑡を乗ず
2
2
2
2
2
d dsind d
d d cos2 d d
d
dd
dd
d 2 cosd
d 2 cosd
0d
l gt
gt
g
t t
l
t
g
t t
lt
tl
θ θ θθ
θ θ
θ θ
θ θ
= −
=
−
−
=
=一定©只木進一（佐賀大学）
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初期条件：時刻𝑡𝑡 = 0で𝜃𝜃 = 𝜃𝜃0、d𝜃𝜃/d𝑡𝑡 = 0
動径方向の式に代入
2
0d 2 cos 2 cosd
gt
l gθ θ θ − −
=
( )
( )
0
0
2 cos cocos
3cos co
s
2 s
Tgm
g
T gm
θ θ θ
θ θ
− −
= −
− =
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角度が非常に小さいとして近似的に解く
sin𝜃𝜃 ≃ 𝜃𝜃 調和振動子
次元から振動数を予想できる
( ) ( )
2
2
0
2
dd
expt t
g
g
i
l
ltθ θ
θ θ ω δ
ω
= −
=
= +
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重力による円運動
太陽を回る惑星の運動は、本当は楕円
ここでは単純化して、円、つまり動径方向には動かないとする
運動方程式22
2 2
2
d dd d1 d d 0
d d
r GMrt t r
rr t t
θ
θ
− = −
=
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半径は一定値とする：𝑟𝑟 = 𝑅𝑅周期の2乗は、半径の3乗に比例する：ケプラー
の第三法則
面積速度は保存する：ケプラーの第二法則
2
3dd
GMt Rθ =
2d d 0d d
Rt t
θ =
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重力場中の楕円運動
運動方程式
面積速度一定則より
運動法則
22
2 2
2
d dd d1 d d 0
d d
r GMrt t r
rr t t
θ
θ
− = −
=
2 dd
r Htθ= =定数
2 2
2 3 2dd
r H GMt r r− = −
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従属変数の変換
𝑟𝑟を𝜃𝜃の関数と考える(軌道が閉じていると仮定)
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( ) ( )2
1/d d d dd d d d
r
Hst t
s θ θθ
θ θ
=
= =
2 2 2 2
2 22 2
2 2
d d d 1 d dd d d d dd d d dd d d d
r r s sHs Hs s Hs Ht sr s sHs H Hs
t
θ θ θ θ
θ θ θ
−= = = − = −
= − = −
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𝑠𝑠に対する方程式
𝑠𝑠の原点をずらす
位相差は、角度の原点の選び方なのでゼロとした
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2
2 2dd
s GMsHθ
= − +
2
2 2 2
2
dd
cos
GM GMs sH H
GMs AH
θ
θ
− = − −
− =
-
楕円または双曲線
惑星または彗星
2
2
cos 1
HGMr
H AGM
θ=
+
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二次曲線と極表示
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( ),P x y
( ),H x p−
( )0,0O
θ2 2 cosx y θ− +
OPePH
=
eが一定である曲線
-
二次曲線：𝑒𝑒 = 1
放物線となる
角度と動径の関係
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
21
2
x y y p
x y y py p
x pp
y
+
+ +
=
= +
= +
−
cos
1 cos
r r ppr
θ
θ
+ =
=+
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二次曲線： 0 < 𝑒𝑒 < 1の場合
楕円
( )( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
222 2 2 2
2 2
1
11
2
1ex y p
x y e y p
x y e y py p
pe ee e
+
+ = +
+ = + +
−
−=−
−
cos
1 cos
rr pe
epre
θ
θ
+ =
=+
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-
二次曲線：𝑒𝑒 > 1の場合
双曲線
( )( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
222 2 2 2
2 2
11
2
1 1ex y p
x y e y p
x y e y py p
pe ee e
− + −
+ = +
+ = + +
= −
+−
cos
1 cos
rr pe
epre
θ
θ
+ =
=+
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情報と物理：�単振り子と中心力場�Simple Pendulum and Central Force Field座標系の選択René Descartes運動の極座標表示スライド番号 5加速度加速度力の座標変換極座標表示による運動方程式応用例：単振動子スライド番号 11スライド番号 12スライド番号 13重力による円運動スライド番号 15重力場中の楕円運動従属変数の変換�𝑠に対する方程式�スライド番号 19二次曲線と極表示二次曲線：𝑒=1二次曲線： 0