DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA

FENOMENOS DE TRANSPORTE I

UNIDAD No. 1

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1.1introducción a la modelación matemática. Aplicaciones en la ingeniería bioquímica.1.2 Caracterización, importancia, condiciones de entorno, solución de EDP y aplicaciones. EDP elípticas, parabólicas e hiperbólicas.1.3 Métodos analíticos de solución de EDP elípticos: separación de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales ortogonales. Superposición de soluciones.1.4 Métodos analíticos de solución de EDP parabólicas: Transformada de Laplace.1.5 Soluciones de EDP en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Ecuación diferencial de Bessel, funciones de Bessel Jn (X), Yn(X) y

funciones modificadas de Bessel ln(X), Kn((X).

1.6 Métodos numéricos de solución de EDP: malleo y driscretizacion, Diferencias finitas para EDP elípticas y diferencias finitas acoplada a métodos de Rungekutta para EDP parabólicas.1.7 Ejemplos de aplicación.

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1.1 introducción a la modelación matemática. Aplicaciones en la ingeniería bioquímica.

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Modelos matemáticos:

Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

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TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS

• Modelo cuantitativo

• Modelo cualitativo

• Modelo Probabilístico

• Modelo Determinístico• • Modelo Descriptivo

• Modelo Optimizador

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Características que tienen los modelos matemáticos

La precisión de los modelos matemáticos está íntimamente ligada a su costo de explotación, por lo que deben tomarse en cuenta los siguientes factores:

a) La exactitud de los datos iniciales.

b) Tipo de fenómeno a estudiar. c) Exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno. d) Forma de aproximar las ecuaciones. e) Evolución del modelado.

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Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.

En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.

DEFINICIÓN Una ecuación diferencial parcial para una función

Con derivadas parciales

Es una relación de la forma

Donden es una función de las variables, en

Donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.

Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes.

APLICACIONES

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos.

Ecuación de la conducción del calor. La constante C, llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.

.

Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante . La constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda

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1.2Caracterización, importancia, condiciones de entorno, solución de EDP y aplicaciones. EDP elípticas, parabólicas e hiperbólicas

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Ecuación en derivadas parciales linealLa ecuación en derivadas parciales se llama lineal, si esta es lineal respectoa la función buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrariose llama no lineal.

14La EDP de segundo orden para la función de dos variables independientes(x), (e) y en el caso general tiene la forma:

Siendo A(x; y); B(x; y); C(x; y); a(x; y); b(x; y); c(x; y) funciones de las variables “x”, “e” y en unaRegion D ½ R², y la función incógnita u = u(x; y).

Clasificación de las EDP's de segundo orden de dos variables independientes

Definición: Sea la EDP de segundo orden

CondicionesI) Se puede mostrar que, observando determinadas condiciones para los coeficientes dela ecuación:

puede hacerse un cambio no singular de las variables independientes

Ecuaciones de tipo hiperbólico

Los fenómenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas, membranas,oscilaciones acústicas del gas en los tubos, oscilaciones electromagnéticas) se describen porlas ecuaciones del tipo hiperbólico.La más simple es la ecuación de vibraciones de la cuerda (ecuación ondulatoria unidimensional)

Ecuaciones de tipo parabólico

Los procesos de conductibilidad térmica y de difusión conducen a las ecuaciones de tipoparabólico. En el caso unidimensional la ecuación más simple de conductibilidad térmica tiene la forma:

Ecuaciones de tipo elíptico

Los procesos a ciclo fijo, cuando la función buscada no depende del tiempo, se determinanpor las ecuaciones de tipo elíptico, el representante típico de estas es la ecuación de Laplace.

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1.3 Métodos analíticos de solución de EDP elípticos: separación de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales ortogonales. Superposición de soluciones.

Que es una ecuación de tipo elíptico, la ecuación de Laplace, a la que habrá que añadir las condiciones de contorno adecuadas si el sistema es finito. La ecuación más frecuente de este tipo es la llamada ecuación de Laplace, la cual, en el caso bidimensional, es uxx + uyy = 0

La función u se llama armónica en la región Ω si satisface a la ecuación de Laplace en dicha región y es continua en dicha región conjuntamente con sus derivadas hasta segundo orden. La ecuación de Laplace es satisfecha también por el potencial gravitatorio o el potencial electrostático en la región Ω en tanto no haya una distribución de masa o carga (ρ = 0) en Ω

PROBLEMA DE DIRICHLET

PROBLEMA DE NEUMANN

el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste en hallar la función u(x, y) que satisface la ecuación

Las condiciones de contorno de segunda especie (fijar el valor de la derivada de la función respecto de la normal en la frontera, ∂u/∂n), junto con la edp2, definen el denominado problema de Neumann. Conviene indicar que no puede elegirse una función cualquiera para esta derivada en la frontera, se requiere el cumplimiento de la siguiente condición de coherencia:

න𝑎𝑢𝑎𝑛𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑠= 0

Separación de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales

ortogonales

El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.

El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas. El método sirve para encontrar soluciones parciales completas, no soluciones generales, dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias, lo cual permite resolver tanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas que involucran condiciones de los dos tipos

Y el caso elíptico sería de la forma:

PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLEEn matemáticas, una ecuación de Sturm-Liouville, que toma su nombre de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma

El valor de λ no se especifica en la ecuación; el encontrar los valores λ donde exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L).

INTEGRALES ORTOGONALES

•Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relación de ortogonalidad

Donde es la delta de Kronecker.•Los valores propios del problema de S-L pueden ser caracterizados por el cociente de Rayleigh

SUPERPOSICION DE SOLUCIONES

El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos.

En el teorema de superposición en teoría de circuitos se establece que la tensión entre dos nodos de un circuito o la corriente que atraviesa una rama es igual a la suma de las tensiones o de las corrientes producidas por cada uno de los generadores de tensión y de los generadores de corriente del circuito. En cada uno de los cálculos parciales, se conserva uno solo de los generadores y se remplazan los otros generadores de tensión por cortocircuitos y los otros generadores de corriente por circuitos abiertos

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1.4 Métodos analíticos de solución de EDP parabólicas: Transformada de Laplace.

Motivación:La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relaciónsalida entrada. En este tipo de enfoque no es tan importante conocerinternamente el sistema.

SistemaEntrada Salida

EntradaSalida

sistemadelaciónCaracteriz

Cuando el sistema no posee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existe dinámica pero es despreciable. La relación salida entrada es caracterizada por una expresión algebraica.

RtVti 1)()( R)(tv )(ti

Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica y consecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales.

dtdi

LtV )(?)()( tVti

L)(tv

)(ti

para caracterizar los comportamientos de los sistemas dinámicos frecuentemente se usa la transformada de Laplace. Cualquier sistema que pueda describirse por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo puede ser analizado en el método operacional de Laplace.

El método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales lineales de “difícil” solución en ecuaciones algebraicas simples.

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un operador lineal perteneciente a la familia de las integrales de transformación, es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Se puede decir que es la segunda transformación más utilizada para resolver problemas físicos, después de la transformación de Fourier. La transformada de Laplace unilateral se define como:

0)()()( dtetftfsF stL

donde:

)(sF es la transformada de Laplace de )(tf

)(tf es una función en el tiempo

es una variable compleja s

es el operador lineal de Laplace L

La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, su solución se obtiene a partir de operaciones básica de álgebra. No todas las funciones tienen transformada de Laplace. La transformadade Laplace de

)(tf existe si

0)( dtetf t

donde:

es una constante real positiva

0)( tAetf tSi la integral convergerá para . La región de

convergencia es . Y es la abscisa de convergencia. 0cteA

Todas las señales realizables físicamente tienen transformada de Laplace.

La transformada de Laplace

La transformada de LaplaceAplicando la transformada de Laplace a una ecuación diferencial, se tiene una ecuación algebraica cuya solución se obtiene a partir de operaciones básicas del álgebra. Esta solución está en función de s y para transformarla a una función en el tiempo se necesita de La Transformada inversa de Laplace.

La transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace formalmente se define por la siguiente integral de inversión:

jcjc

stdsesFj

tf )(21

)(

donde c )(sFes una constante mayor que cualquier punto singular de Esta integral de inversión rara vez se usa, ya que existen otros métodos más directos y simples. Como por ejemplo tablas de transformadas o fracciones parciales.

.

transformada inversa

0)()( '10 tfatfa n

)(tf

Ecuación diferencial Ecuación algebraica

0)()( 10 ssFasFsa n

)(sFSolución en

transformadaL

1-L

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace

Sean

tres funciones cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente

y un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades:

La transformada de LaplacePropiedades de la transformada de Laplace

Linealidad:

Diferenciación:

La transformada de LaplacePropiedades de la transformada de Laplace

Desplazamiento en la Frecuencia:

Multiplicación por :

Teorema de valor Inicial:

La transformada de LaplacePropiedades de la transformada de Laplace

Teorema de valor final:

Convolución:

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1.5_Soluciones de EDP en coordenadas cilíndricas y esféricas

Coordenadas Cilíndricas En el sistemas de coordenadas cilíndricas un

punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

rcos( Y Z Las coordenadas cilíndricas son útiles en

problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

P=

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

ejemplos Convertir el Punto a coordenadas cilíndricas.(3,-

3,-7)Encontramos :

Ahora encontramos

Ahora encontramos :Z=Z= -7ENTONSES LAS COORDENADAS SON

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =OP es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP.

P≥ 0 0≤φ≤ π El sistema de coordenadas esféricas es

especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esféricas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado donde:

1.- es la distancia de P al origen, . 2.- es el mismo Angulo utilizado en

coordenadas cilíndricas para . 3.- es el Angulo entre el semieje positivo y

el segmento recto , . Nótese que las coordenadas primeras y

terceras son siempre no negativas.

Describa la superficie cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es z=r. Solución La ecuación dice que el valor z, o altura, de cada punto sobre la superficie es igual que r, la distancia del punto al eje z. Como θ no aparece, puede variar. Por lo tanto, cualquier trazo horizontal en el plano z+ k (K>)) es un circulo de radio k. estas trazas sugieren que la superficie es un cono. Esta predicción puede confirmarse si se convierte la ecuación en coordenadas rectangulares. De la primera ecuación tenemos:

Reconocemos la ecuación como la de un cono circular cuyo eje es el eje z.

Función de Bessel En matemática, las funciones de Bessel, primero

definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

Donde es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución para no enteros es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Aplicaciones

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

Conducción del calor en objetos cilíndricos. Modos de vibración de una membrana

delgada circular (o con forma de anillo). Difusión en una red. También se usan funciones de Bessel en

otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Funciones de Bessel ordinarias

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1.6 Métodos numéricos de solución de EDP: malleo y driscretizacion, Diferencias finitas para EDP elípticas y diferencias finitas acoplada a métodos de Rungekutta para EDP parabólicas.

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Métodos numéricos de solución de EDP

Malleo Y Discretización

Discretización

-Diferencias finitas para EDP elípticas.

-Diferencias finitas acopladas a métodos de Runge-Kutta para EDP parabólicas.