２０１０物理学序論2010.6.25, 7.2

(2011.5.25改訂)

(2018.5.18改訂)

6. 波のふるまい

担当：徳永英司教科書：アドバンシング物理

質問

光はどのように伝搬するか？

なぜ反射、屈折、回折が起こるのか？

レーザー光とは？普通の発光と何が違う？

顕微鏡、目の空間分解能とは？光の波長で制限されるのはなぜ？

光子とは何か？

光が粒子である証拠？光子１個の明るさとは？

光

現代物理 光は 波 と 粒子 の二重性を持つ

電磁波 光子

sJ: 3410626.6

h

hfE

：振動数f

プランク定数

光のエネルギーの最小単位（1個の光子のエネルギー）

＝6×1014Hz @500nmf

光子のエネルギー 4×10-19J @500nm

光が波である証拠？

光が粒子である証拠？

光を理解するために

光はどのように空間を伝わっていくのか？

光はどのように生まれて、消えるのか？（光は物質とどのように相互作用するか）

これは扱わない

電磁気学3

物性論C

光の伝播

光の伝播

x

E

電場

距離

光の伝播

光の伝播

光の伝播

光の伝播

光の伝播

光の伝播

波が1波長（1周期）すすむと矢印が1回転

矢印がどの角度にあるかを“位相”と呼ぶ

θ

波長

位相とは？（国語辞典）

周期的に繰り返す現象の１周期のうち、ある特定の局面

周期関数における変数の値

波の振幅の複素表示

tEE

eEeEE tii

cosRe 0

00

部観測されるのはこの実

x

y

sincos 00 iEEiyx

0E位相

波の波数（はすう、wave number）

vk

kxtE

v

xtE

v

xtfE

xftE

xftE

EE

2

)cos(

)](cos[

)](2cos[

)](2cos[

)2

2cos(

cos

0

0

0

0

0

0

kc

cv

vk

光速　　のとき

波数2

空間周波数とも呼ばれる

可視光の波数

波長）個の波を持つ（あたり 2000020000cm1

cm102

cm10500

1

m10500

1

nm500

1

1

2

nm500

14

7

9

k

物質中と真空中の波数の間の関係

)(

2

2

:

/

00

00

nnkk

cc

k

cn

vk

n

ncv

c

　　真空中の波長真空中の波数

物質中の波数

屈折率

物質中の光速

真空中の光速　

光の干渉

教科書p.132

波の干渉

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

同位相で強め合う 逆位相で弱め合う

波の干渉

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

90度位相差

光の屈折

屈折の法則

1

22n

1n

2211 sinsin nn

光を波としてホイヘンスの原理で理解できる

教科書p.144

物質の屈折率をnとして、物質中の光速v=c/nならば

なぜ透明物質に屈折率の違いがあるのか？屈折率の起源は？なぜ光の速度が遅くなるのか？

ホイヘンスの原理

なぜ後退波が存在しないのか？

光の回折

回折格子

教科書p.148

回折格子１

1周期5.08μm

5000サイクル/インチ196.85サイクル/mm

ロンキールーリング

回折格子２

500サイクル/mm

１周期2μm

フィルム回折格子

回折格子３

750サイクル/インチ29.52サイクル/mm

33.9μm

1周期33.9μm

ロンキールーリング

円形開口からの回折

直径100μmのピンホール

なぜこのような回折パターンが生じるのか？

波の回折

波長より十分大きい開口直進性

波長程度の開口回折

粒子的振る舞い 波動的振る舞い

波源からすべての方向に伝播する

すべての波源からの寄与を加えると打ち消しあう

強め合う

小さい角度ですべての波源からの寄与を加えると打ち消しあう

4

2

4

3

0

角度θ

d

d sinθ=λ θ<<1のときビームの広がり角θ～λ/d

角度が少し大きくなると打ち消し合わないで残る成分が出てくる

4

2

4

3

4

5

2

3

0

定量的に

2

2sin

r

Nkr

r

2

2sin

2sin2

2sin2

NkNk

rK

Nkr

K

k

光の伝播 まとめ

光は自分自身と干渉して、強め合う方向に進む

推薦図書ファインマン：光と物質のふしぎな理論 私の量子電磁力学

光の屈折の他の説明

光の粒子性から説明できないか？

光の反射粒子の反射（界面と平行な運動量が保存）と同じ

)(11 真空、～空気中n1

鏡

界面に垂直な運動量は反転（保存しない）

注意

0

2

)()(

)(

)()(2

1

2

1

2

1

)(

2

1

2

1

2

1

2012

0

21

120

21

211

101102

2

10

2

12

1

2

0

2

10

2

2

12

2

11

2

01

10

2

12

2

22

2

11

2

01

221101

vvvm

vmm

mvv

mm

mmv

vvmvvm

vvm

mvv

vvm

mmvmvm

vvm

mv

vmvmvm

vmvmvm

エネルギー保存

運動量保存

弾性衝突

1m

2m0v

右の粒子間の弾性衝突で、

（壁）に相当

の粒子のみに注目するとの存在で空間の一様性

（並進対称性）がなくなり、運動量が保存しないと見なせる。

反射・屈折のとき、界面に平行な方向では空間が一様なので、運動量保存

2m

1m2m

光は圧力を持つ（輻射圧）

)( p運動量が変化する とき、

反作用として の力を及ぼす

これが光の圧力となる

t

p

水中の直径20μmのポリスチレン球をレーザー光で動かす

レーザー

３年実験 レーザー

水中の直径20μmのポリスチレン球をレーザー光で動かす

光の輻射圧による微小球のトラップと推進

a

b

Fa

Fb

X

Intensity

nsphere(1.5) > nwater(1.33)

mm/s1

law) s(Stokes’6

mW60s/mN10:

m10:

2

2

2

23-

終端速度　

レーザーパワー水の粘性

集光径ポリマー球の半径　

vrFc

Pr

cr

Pr

c

IFFF

:P

r

radrad

宇宙ヨット

2004.9.22

ソーラーセイル実証機イカロス宇宙航空開発機構（JAXA）は、2010年度に種子島宇宙センターから、小型ソーラ電力セイル実証機「IKAROS（イカロス）」を金星探査機「あかつき（PLANET-C）」と相乗りでH-IIAロケットにより打ち上げる予定です。「イカロス」は、「一辺約14.1mの大きな帆でヨットのように太陽の光を受けて，太陽系を航行する」宇宙船です。「イカロスキャンペーン」では、全世界の人々から応募いただいたお名前とメッセージをアルミプレートやDVDに収録し、「イカロス」に載せ、金星軌道に向かって宇宙の大海に旅立つというものです。また、「イカロス」と同じく2010年末に打ち上げ予定である米国惑星協会の「Light Sail-1（ライトセイル1号）」について、相互にミッション応援キャンペーンを実施します。

打ち上げ成功 2010年5月21日ソーラーセイルの展開成功 6月10日

光の運動量？光の運動量∝光の速度v ならばv=c/n n:屈折率

1

22n

1nv1

v2

v1sinθ1=v2sinθ2

(c/n1)sinθ1=(c/n2)sinθ2

n2sinθ1=n1sinθ2

界面に平行な運動量が保存

光の運動量∝光の速度v とすると、屈折の法則を説明できない

光の運動量？光の運動量∝光の波数k=2π/λ ならばλ=λ0/n n:屈折率k=2πn/λ0=nk0 k0=2π/λ0

1

22n

1nk1

k2

k1sinθ1=k2sinθ2

n1k0sinθ1=n2k0sinθ2

n1sinθ1=n2sinθ2

界面に平行な運動量が保存

光子のエネルギーと運動量

0

0

0

0

0

0

0

0

22)(

22

)(

22

knppvE

n

cnkkvvnfv

n

c

nf

cpE

cfcfck

kp

fh

hfE

物質中では

（真空中）

すなわち

運動量の単位運動量

エネルギー

]m/skg[]m)/(smkg[]s/mJ[

]sJ[

2

k

Minkowski運動量

補足：誘電媒質中でのMinkowski運動量とAbraham運動量

n

k

ncP

nccnPP

cPk

cP

cnLn

McnL

Mc

nL

zcM

T

zMP

Pz

LnMc

zLnzMc

z

E

PV

LnTn

ccT

cnLT

kc

PMcE

nML

block

0photon

photonblock0

2block

2

2

0

2

11

11)1(

)1()1(

)1(

/

,,

の保存より全運動量

を持つ。クは運動量動くためには、ブロッる間に光子がブロック中にい

より

動くことで補償される方向にブロックが光子の進行

を保つ）は心は初期移動速度ギー中心）の保存（重全重心（質量・エネル

だけ伝搬距離が短いい場合に比べ光子は通過後、ブロックがな

ブロックの通過時間

全運動量　全エネルギー　

が入射の透明ブロックに光子屈折率質量長さ

Abraham運動量

L

111 2222

2

ccv

m

cv

mcE

vp

回折格子による回折は？運動量保存？

k

k1k-1

k2k-2

k0

全反射とは？

1n

2n

21 nn

)1(1

sin

sin1sin

sinsin

2

11

21

21

2

1

1

2211

のとき

を満たすとき、全反射

が大きくて

nnn

n

n

n

nn

1

2

どんな角度で屈折しても入射光と屈折光の間で

界面に平行な方向の運動量保存を満たせない

全反射

5.1n

45

1n

全反射

5.1n

45

1n

全反射しているガラス表面を左図のように塗り、透明な面積を減らすとどうなるか？

500サイクル/mm

１周期2μm

フィルム回折格子に両面テープをつけて貼り付ける

全反射

1n

13 nの場合

図は

1321 nnn

も全反射角

のときが全反射角　

2

2

2

2211

1

11

1sin

1sinsin

1sin

n

nn

n

2n

1

2

界面に薄膜層が加わっても全反射条件を満たす

2

回折格子による回折条件

1

1n

2n2

1 d

1sind

2sind2

mdndn 2211 sinsin

12205.0sin4

6111.0sin3

25428.0sin2

48744.0sin1

633)sin414.1

5.1(2000

nm633,45,nm2000,1,5.1

)sinsin(

22

22

22

22

2

121

2211

m

m

m

m

m

dnn

mnnd

が起こるだろうか？を小さくしていくと何d

2211

2211

2211

sinsin

0

)0(sinsin

)sinsin(

nn

m

dd

mnn

mnnd

しか解がない

を大きくしても同じ

Snellの法則に帰着

もっと詳しく検討してみよう

とは何か？波数の単位を持つ d

d

d

mk

mkknkn

mkknkn

dmnn

d

mnn

mnnd

2211

2211

2211

22

11

2211

sinsin

sinsin

2sin

2sin

2

sinsin

)sinsin(

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

フーリエ級数

7sin

7

15sin

5

13sin

3

1sin

4)(f

-1

0

1

-2 20-

f()

x

dx

dx

dx

dx

df

7sin

7

15sin

5

13sin

3

1sin

4)(

d 周期 d2

物理数学２

矩形関数は高い空間周波数成分 を含むd

nkn

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

回折格子３のパターン

透明部 黒色部

,7,5,3,,0

2

2

2

)(7

1)(

5

1

)(7

1)(

5

1)(

3

1)(

2)(

7cos7

15cos

5

13cos

3

1cos

41)(

2222

2

7755

775533

0

dddd

d

xd

ixd

ixd

ixd

i

xd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixi

kkkkK

ddk

d

eeee

eeeeeeeeef

xd

f

周期

フーリエ級数

,2,1sin)(1

,2,1,0cos)(1

2

sincos2

)(1

0

ndxd

xnxf

db

ndxd

xnxf

da

d

d

xnb

d

xna

axf

d

dn

d

dn

n

nn

周期

物理数学２

フーリエ変換

,2,1sin)(1

,2,1,0cos)(1

2

sincos2

)(

]sin)(cos)([2

1)(

)(

]cos)(sin)([2

1

]sin)(cos)([2

1

)sin)](cos()([2

1)(

)()(sin)(cos)(

)sin)(cos()(

)(2

1)()()(

1

0

ndxd

xnxf

db

ndxd

xnxf

da

d

d

nk

d

xnb

d

xna

axf

dkkxkBkxkAxf

xf

dkkxkBkxkAi

dkkxkBkxkA

dkkxikxkiBkAxf

kiBkAkxdxxfikxdxxf

dxkxikxxfkF

dkekFxfdxexfkF

d

dn

d

dn

n

n

nn

ikxikx

周期

と比較せよ

が実関数ならば

物理数学２

ieiiyx sincos

も表せるだけでは表せない関数リエ展開でこうすることで、フー

を加えることに相当の位相シフトを加えることは、任意に

kx

kxkx

kxBkxA

kxbkxaR

kxkxRkxR

cos

sincos

sincos

)sincos(

)sinsincos(cos)cos(

x

y

)(sincos 直交関数　は直交と 物理数学２

フーリエ級数でパルス波を作る

)cos( t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

)1.1cos(9.0 t

)2.1cos(75.0 t

)9.0cos(9.0 t

)8.0cos(75.0 t

)3.1cos(5.0 t

)6.0cos(2.0 t

)7.0cos(5.0 t

)4.1cos(2.0 t

240

4

240

3

240

2

2400

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)cos(

240

2

t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-2

0

2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

240

4

240

3

240

2

2400

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

240

2

t

t

t

240

4

240

3

240

2

2400

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-4

-2

0

2

4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

240

2

t

t

t

t

t

240

4

240

3

240

2

2400

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)3.1cos(5.0

)7.0cos(5.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

240

2

t

t

t

t

t

t

t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)4.1cos(2.0

)6.0cos(2.0

)3.1cos(5.0

)7.0cos(5.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

240

4

240

3

240

2

2400

ピークの高さが高くなっていることに注目

Mode locking 位相同期法

一つのレーザー共振器からレーザー発振するさまざまな波長成分の光の位相をそろえる技術

超短パルスの生成

エネルギーが短い時間に集中 さまざまな利用価値がある

フェムト秒パルス

１フェムト秒（１ｆｓ）・・・１０－１５ｓ

t

t

周波数

可視光パルスでは世界最短のサブ５ｆｓの超短パルス

パルスレーザー光とは？

幾つかの周波数成分を含んだ光

それぞれの光の重ね合わせ

パルス光となる

広帯域の可視光を用いて、パルスを作る。

時間軸では、２,３周期の

振動しかパルスの中に含まない。

可視光パルスでは世界最短であるサブ５ｆｓの超短パルスを実現！

東大（電通大）小林孝研究室

位相がそろわないと？

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

-101

)cos( t

)1.1sin(9.0 t

)2.1cos(75.0 t

)9.0sin(9.0 t

)8.0cos(75.0 t

)3.1sin(5.0 t

)6.0cos(2.0 t

)7.0sin(5.0 t

)4.1cos(2.0 t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-4

-2

0

2

4-1

0

1

-1

0

1

)4.1cos(2.0

)6.0cos(2.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)cos(

t

t

t

t

t

)3.1sin(5.0

)7.0sin(5.0

)1.1sin(9.0

)9.0sin(9.0

t

t

t

t

実部A

虚部B

実関数

dtBtA

dtBtAitBtA

dtitiBAdeFtf

iBAF

ti

sin)(cos)(

cos)(sin)(sin)(cos)(

sincos)()()()(

)()()(

)4,1(2.0

)6.0(2.0

)2.1(75.0

)8.0(75.0

)()(

0

0

0

0

0

A

)3.1(5.0

)7.0(5.0

)1.1(9.0

)9.0(9.0)(

0

0

0

0

B

回折とフーリエ変換

x

)()(

sinsin

2

00x

xikx

xikx

i

x

kFdxexfdxedxe

xkxkx

xx

x

sinkkk x

x

f (x)

x

0

0 x2/

)2/sin(2/

xk

xkxe

x

xxikx

FT

デルタ関数

)()()(

1)(

)0(

)0(0)(

afdxaxxf

dxx

x

xx

x=0

物理数学２

回折格子による回折では、回折格子から横方向運動量を受け取ると見なせる

d

d

dd

mn

indk

n

ikxikx

n

mkk

dm

md

mkd

mkkd

k

md

kd

edxendxdxexfkf

ndxxf

d

sin

2sin

2

sin

)(2

)2

(2

)()()(

)()(

るの波より構成されていは、空間周波数の細い開口の回折格子周期

とすると、

の回折格子周期

回折格子から横方向運動量を受け取る

→ 回折格子を含めて運動量保存（入射光運動量＋回折格子運動量→回折光運動量）

入射光と回折光の運動量のみに注目すると、回折格子の存在で横方向の一様性がない→ 横方向運動量が保存されない とも見ることができる

だろうか？どのように解釈できる

屈折の法則に帰着したを大きく）した場合、を小さく（d

たたみこみ積分

dkekgkfxgxf

kgkf

dxdXxxXdXeXgkf

dxexxgxdexf

dxxdexxgxf

dxexdxxgxfdxexgxf

xdxxgxfxgxf

ikx

ikX

xxikxik

xxikxik

ikxikx

)()(2

1)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

])()([)]()([

)()()()(

)(

)(

物理数学２

回折格子３の回折像のフーリエ解析

δ関数のフーリエ級数

m

mdikikx

m

nn

xd

nki

ikx

n

d

xni

ikx

mn

indk

mn

d

xni

d

dn

d

dn

ikx

mn

xik

nnn

mn

d

xni

nnn

n

nn

edxemdx

d

nk

ddxe

ddxee

ddxexf

d

mke

d

ddkxmdxe

dxf

ndxd

xnx

db

nd

dxd

xnx

da

d

xdkekdk

mxked

kkkd

nd

nk

mdxed

d

xni

d

xn

dd

xn

ddd

xn

dd

d

xnb

d

xna

ax

ddxd

n

2

)(

1

11

1

0

)2(

)(2

1

2

1)(

)2

(2

,)2(2

1)(

,2,10sin)(1

,2,1,01

cos)(1

2

)(2

1)0()

2(

2

1

2

2

)2(2

1

)sin(cos1

2

1cos

21

2

1cos

1

2

1

sincos2

)(

2

とするで

周期

で繰り返す）の区間外では周期で定義された関数（こ

mn

ndki

n

ikx

ikx

md

kd

edxendx

dxexfkf

)()2(

)()(

2

0 x

)(xf

d2 d4 d6d2

n

ndxxf )2()(

20

2

dd

x

)(xg 1

2

2sin

)()(

222/

2/

2/

2/ kd

kd

dikd

eed

ik

edxe

dxexgkg

dik

dikd

d

ikxd

d

ikx

ikx

20

2

dd

x

)(xF

1

nn

ndxgxdxxgxfxgxfxF )2()()()()()(

d d

d2 d4 d6d2

nn

nd

kn

n

kd

kd

nd

kkgkfkF )(

2

2sin

2

2sin

)()()()(

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-7/d 7/d

-5/d 5/d-3/d 3/d

-/d /d

F(k

) (規

格化

)

k

の情報： )()( xgkg

観測されるのは強度

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-5/d 5/d-3/d 3/d-/d /d0

|F(k

)|2

k

回折格子１，２の回折像のフーリエ解析

開口の幅がもっと狭いと

20

2

DD

x

)(xg 1

nn

ndxgxdxxgxfxgxfxF )2()()()()()(

d2 d4 d6d2

nn

nd

k

d

nDd

nD

d

D

kD

kD

nd

kd

DkgkfkF )(

2

2sin

2

2sin

)()()()(

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 D=d/3

-5/d -3/d -/d 3/d 5/d/d0

|F(k

)|2 (

規格

化)

k

の情報： )()( xgkg

3倍に広がる

反射、屈折、回折のとき、周波数ωはなぜ変化しない？

光子のエネルギー保存（時間の一様性から）

ωが変化する場合を見れば、ωが変化しない理由がわかる

媒質が時間変化していたら

入射光

物体

出射光

t

）（たとえば、格子振動

で振動t cos10

tE cos

)](2

)([2

)](2

)[(2

)cos(cos

)()()()(10

10

10

titititititi

titititi

eeeeeeE

eeeeE

ttE

ω ω＋Ωω－Ω

ラマン散乱

入射光と散乱光のみに注目すると、

時間の一様性が満たされない

→エネルギーが保存されない

あるいは

媒質も含めて考えると、

格子振動のエネルギーを受け取って

前後の全エネルギーは保存される

Ｘ線回折

X線を結晶に照射すると、ブラッグの法則を満たした方向にのみX線が回折され、結晶構造を反映したパターンが生じる。

回折パターンから結晶構造を推定する

３年実験

可視光でなくＸ線を使う理由は？結晶の格子間隔はどのくらいだろうか？ホログラフィーとの違いは？構造因子とは？Ｘ線回折の位相問題とは？

ホログラフィー

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/y.ishii/index.html

理学部第一部応用物理学科 石井行弘先生 作成

ホログラフィーとは？写真との違いは？

ホログラフィー は ホログラム の製造技術のことで、ホログラムとは 3次元像を記録した写真のことである。

白黒の写真は光強度（単位面積あたりの光のエネルギー）が記録された点の集まりで、どの点も光強度という1つの情報しかない。しかし、ホログラムでは光の電場の振幅や波長の情報だけでなくそれに位相の情報が加わる。写真では位相の情報は失われるが、ホログラムにおいては光の電場の振幅と位相が記録される。像が再生される時にできる放射光は完全な3次元像となる。

ホログラフィーと写真の違いはここにある。

Wikipedia

振幅と位相が記録されればなぜ３次元像になるのか？？？

ホログラフィーホログラフィーを作成することで、レーザー光の位相、コヒーレンス、干渉について理解する。→レーザー光の特徴と他の光との違い

→ホログラフィーとは

光学実験系の調整技術の会得乾板現像技術

３年実験

Wikipedia

2

2211

2

22

11

)]cos()cos([)(

)cos(

)cos(

),,(),,(

rkrk

rk

rk

rk

rk

tEtEEE

tEE

tEE

zkykxk

zyxkkk

RO

R

O

zyx

zyx

参照光　

物体光　

回折格子時間平均 TeEEeEEEE

eeeeEE

eeE

eeE

eeeeEE

eeE

eeE

eeE

eeE

tEtEEE

ii

iititi

titititi

titititi

titititi

titititi

RO

)(2

1

)(22

2

)2()2

()2()2

(

))((22

2

)()2

()()2

(

)](2

)(2

[

)]cos()cos([)(

])[(

21

])[(

21

2

2

2

1

])[(])[(])(2[])(2[21

)(2)(222)(2)(221

)()()()(21

2)()(222)()(21

2)()(2)()(1

2

2211

2

2121

21212121

2211

2211

2211

2211

rkkrkk

rkkrkkrkkrkk

rkrkrkrk

rkrkrkrk

rkrkrkrk

rkrkrkrk

rkrk

が記録される波数ベクトル 21 kk

),(cos),()),()cos((),( 2121 yxyxAyxyxEE rkk

複素共役光（実像）

物体光（虚像）

再生光　

回折格子時間平均

)(22

)(22

)(2

1)(

2

)(2

)cos(

)(2

1

])2([])2([212

)()(212

])[(

21

])[(

21

2

2

2

1

)()(2

)()(222

])[(

21

])[(

21

2

2

2

1

1212

11

212122

22

2121

rkkrkk

rkrk

rkkrkkrkrk

rkrk

rkkrkk

rk

titi

titi

iititi

R

titi

R

ii

eeEEE

eeEEE

eEEeEEEEeeE

TE

eeE

tEE

TeEEeEEEE

の波が発生

)(

)(

212

212

kkk

kkk

光強度

でよいで表してしたがって複素表示

サイクル平均強度

サイクル平均光強度　

クル平均が測定される　　　　　　　　サイ

変化に追随できない振動数で変化する速い　　　　　　　　光の

ルギーを検出光検出器　　光のエネ

EEIeEE

EcEEEHE

kztHEkztHES

SI

kzt

kzti )(

0

2

0

22

000

0

0000

00

2

00

0

||]s)J/(m[||2

1

22)(

2

)(2cos1)(cos

)cos(

HESEE

干渉縞の計算

)]})cos[(1{2

))((||

)])cos[()(

)]})cos[()]2){cos[(

2

)(2cos1

2

)(2cos1)(

)cos(

)cos(

21

2

0

])[(2

0

])[(2

0

2

0

2

0

)(

0

)(

0

)(

0

)(

0

2

21

)(

02

)(

01

21

2

0

2

0

2121

2

0

22

012

0

2

21

202

101

2121

2121

21

xkk

xkk

xkkxkk

xkxk

xk

xk

xkkxkk

xkxkxkxk

xkxk

E

eEeEEE

eEeEeEeEEE

eEEeEE

EE

tE

tE

tEEE

tEE

tEE

ii

titititi

titi

複素表示を使う方法

サイクル平均

),( yxf

物体光

),( yx kkF

参照光

参照光がなければ

RyxRyxRyx

Ryx

yx

EkkFEkkFEkkF

EkkF

kkF

),(),(|||),(|

|),(|

|),(|

22

2

2

参照光があれば

記録されるのは

写真と変わらず２次元像（２次元情報）の記録なのに

なぜ３次元像が再生されるのか？

フラウンホーファ回折 ⇔ フレネル回折

スクリーンが十分遠方回折光が平面波とみなせる～フーリエ変換

スクリーンが近くて回折光が平面波でないフレネル変換

ヒント：フレネルレンズ３次元情報とは？

光学

光子のエネルギーと運動量の間の関係

mvppvm

pE

n

cvpvE

kp

E

2

1

2

2

エネルギーの関係普通の粒子の運動量と

この違いはなぜか？

光子の運動量

hhkp

2

2 1.33×10-27 kg・m/s @500nm

鏡の上の50kgの人を持ち上げるには490 kg・m/s2

=毎秒1.9×1029 個の光子(∵反射による運動量変化2p)

=7.6×1010 W

光は圧力を持つ

光の粒子性？

レーザー光の指向性（弾丸のように直進する）

光の圧力 光が運動量を持つこと

これらは光の粒子性を支持する現象といえるか？

レーザー光の指向性

月と地球の間の距離は38万4400km、地球の直径は1万2756km、月の直径は3474km

d sinθ=λ θ<<1のときビームの広がり角θ～λ/d orderの評価

λ=500nm=5×10-4mm

d=1mm θ～5×10-4rad 10mで5mm

d=10mm θ～5×10-5rad 1000mで50mm

d=100mm θ～5×10-6rad 100000mで500mm

d=1000mm θ～5×10-7rad 10000000mで5000mm

Corner Cube Prisms (retroreflectors)

Lunar Retroreflectors Apollo 11

Apollo 14

Apollo 15

A close-up of the Apollo 15 array,

which has 300 3.8 cm corner cubes

in a hexagonal array.

The Apollo 14 retroreflector array is

very much like the Apollo 11 array

in design: 100 3.8 cm reflectors

in a 10×10 square pattern.

The Apollo 11 retroreflector

array, consisting of 100

corner-cube prisms

in a 10×10 array.

Each corner cube is made

of fused silica (quartz) and

is 3.8 cm in diameter.

Location of the reflector landing sites

Laser Ranging RetroreflectorThe Laser Ranging Retroreflector experiment was deployed on Apollo 11, 14, and 15.

It consists of a series of corner-cube reflectors, which are a special type of mirror with the

property of always reflecting an incoming light beam back in the direction it came from.

These reflectors can be illuminated by laser beams aimed through large telescopes on

Earth. The reflected laser beam is also observed with the telescope,

providing a measurement of the round-trip distance between Earth and the Moon.

This is the only Apollo experiment that is still returning data from the Moon.

Laser beams are used because they remain tightly focused for large distances.

Nevertheless, there is enough dispersion of the beam that it is about 7 kilometers in

diameter when it reaches the Moon and 20 kilometers in diameter when it returns to Earth.

Because of this very weak signal, observations are made for several hours at a time.

By averaging the signal for this period, the distance to the Moon can be measured

to an accuracy of about 3 centimeters (the average distance from the Earth to the Moon is

about 385,000 kilometers).

The Laser Ranging Retroreflector experiment has produced many important

measurements.These include an improved knowledge of the Moon's orbit and

the rate at which the Moon is receding from Earth (currently 3.8 centimeters per year)

and of variations in the rotation of the Moon.

These measurements have also improved our knowledge of changes of

the Earth's rotation rate and the precession of its spin axis

and have been used to test Einstein's theory of relativity.

LIDAR (Light Detection And Ranging) is an optical remote sensing technology that measures properties of scattered light to find range and/or other inform

力学１

どちらがスポット径が小さい？

同じ焦点距離、収差のない理想的レンズ（顕微鏡対物レンズ）

空間コヒーレンスの良い単色レーザー光（理想的平面波）ビーム径が異なる

光学顕微鏡の空間分解能（回折限界）

空間分解能

NAApertureNumerical:sin

:

:1sin

resolution

開口数

水浸レンズ）媒質の屈折率（油浸、

光の波長～

n

n

An

A

対物レンズの分解能を決めるのは倍率ではなくＮＡ

分解能が、光の波長、ＮＡの逆数で制限されるのはなぜだろうか？

電子顕微鏡とは？ なぜ分解能が高いのか？

不思議なこと

光子は質量ゼロの素粒子(boson) スピン 1 or -1

光は真空中をc = 3ｘ108m/sで進む 宇宙の制限速度（1秒間に地球を7.5周できる速さ）

光速度cで走っている光子は歳をとらない（もし、宇宙誕生以来消えないで真空中を走り続けた光子がいたとしたら、その光子の年齢は0歳！）

アインシュタインの相対性理論

解釈：すべての物体は時空間を光の速度で移動している

光子1個の明るさとは？

快晴の日の地上

満月の夜

星明かりの下

1cm2あたり光子数 10μm×10μm

1018 /秒 1012 /秒

1012 /秒 106 /秒

109 /秒 103 /秒

視覚

レチナール

cis-trans異性化

ロドプシン 蛋白質立体構造の中にレチナール分子

棹体細胞錐体細胞

終わり