ファイナンスのための数学基礎 第1回 オリエンテー...
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構造変化の検定
講師: 長倉大輔 (慶應義塾大学経済学部)
1
今日の予定
1. Chow 検定について
2
今日の予定
1. Chow 検定について
2. Quandt – Andrews テストについて
2
今日の予定
1. Chow 検定について
2. Quandt – Andrews テストについて
3. CUSUM, CUSUMSQ 検定について
2
今日の予定
1. Chow 検定について
2. Quandt – Andrews テストについて
3. CUSUM, CUSUMSQ 検定について
4. EViews による分析例
2
3
構造変化の検定
構造変化とは?
3
構造変化の検定
構造変化とは?
計量経済モデルのパラメーターは、通常、時間を
通じて一定と仮定される。しかしながら、何らか
のショックや制度変更などによって、経済構造が
大幅に変化するような場合、それを反映して、モ
デルのパラメーター値がある時点を境に大幅に
変化している可能性がある。そのような変化を構
造変化という。
構造変化の検定
構造変化のモデル
構造変化のモデルは典型的には以下のようなモ
デルである。
4
構造変化の検定
構造変化のモデル
構造変化のモデルは典型的には以下のようなモ
デルである。
t =1, 2…, s
E(εt)= 0, var(εt) = σ2
4
,...11 tKtKtt XXY
構造変化の検定
構造変化のモデル
構造変化のモデルは典型的には以下のようなモ
デルである。
t =1, 2…, s
t =s+1, s+2,…,T.
E(εt)= 0, var(εt) = σ2
4
,...11 tKtKtt XXY
,...11 tKtKtt XXY
構造変化の検定
このモデルにおいて、第1期 (t =1,…, s) と第2
期 (t = s + 1,…,T) において切片もしくは係数の
どれか一つでも等しくなければ、つまり
のどれか1つでも成立していれば(部分的な)構
造変化が起きているという。
5
,....,,,, 2211 KK
F 検定による構造変化の検定
構造変化が起きた時点 s は(起きたならこの時点というのが)事前に分かっているとする。
構造変化の検定
6
F 検定による構造変化の検定
構造変化が起きた時点 s は(起きたならこの時点というのが)事前に分かっているとする。
変数として、
δ = α′ – α , γk = β′k – βk
を定義すると、これらを用いて、先ほどのモデルは
構造変化の検定
6
Kkkkk ,...,1,,
構造変化の検定
(第1期)
7
,...11 tKtKtt XXY
構造変化の検定
(第1期)
(第2期)
γ1
γK
と表せる。
7
,)(
...)( 11
tKtK
tt
X
XY
,...11 tKtKtt XXY
構造変化の検定
さらにダミー変数
を用いて、
8
t =1, 2…, T1
Tsst
stDt
...,,2,1,1
...,,2,1,0
構造変化の検定
さらにダミー変数
を用いて、第1期と第2期を合わせて1つの回帰式
として
8
t =1, 2…, T1
Tsst
stDt
...,,2,1,1
...,,2,1,0
構造変化の検定
さらにダミー変数
を用いて、第1期と第2期を合わせて1つの回帰式
として
γ1
γK
t = 1, …., T
と表せる。
8
,
...111
tKttKtK
ttttt
XDX
XDXDY
t =1, 2…, T1
Tsst
stDt
...,,2,1,1
...,,2,1,0
構造変化の検定
この回帰式において、「構造変化がない」という
帰無仮説は、
H0: δ = γ1= …. = γK = 0
という K+1 個の制約からなっている。
9
構造変化の検定
この回帰式において、「構造変化がない」という
帰無仮説は、
H0: δ = γ1= …. = γK = 0
という K+1 個の制約からなっている。
以後、 表記の簡単化のため M = K + 1 とする。
9
構造変化の検定
この回帰式において、「構造変化がない」という
帰無仮説は、
H0: δ = γ1= …. = γK = 0
という K+1 個の制約からなっている。
以後、 表記の簡単化のため M = K + 1 とする。
これは複数のパラメーターに関する検定である
ので F 検定を用いて検定する事ができる。
9
構造変化の検定
(構造変化の F 検定)
F値を
によって計算する。ここで SSR0 は構造変化がないモデルからの残差平方和、SSR1は構造変化があるモデルからの残差平方和である。
10
)2/(
/)(
1
10
MTSSR
MSSRSSRFT
構造変化の検定
この F 値は εtが正規分布に従っているという仮
定の下で(厳密には他にも条件がある)、第1自
由度 M, 第2自由度 T – 2M の F分布に従
う。
11
構造変化の検定
この F 値は εtが正規分布に従っているという仮
定の下で(厳密には他にも条件がある)、第1自
由度 M, 第2自由度 T – 2M の F分布に従
う。
このような構造変化の検定方法を提案したのが
Chow という人だったので、この検定を Chow 検
定と呼ぶ。
11
構造変化の検定
部分的な構造変化の検定
先程のモデルでは切片 α および全ての係数 βk
について構造変化が起こったかどうかを検定した。
12
構造変化の検定
部分的な構造変化の検定
先程のモデルでは切片 α および全ての係数 βk
について構造変化が起こったかどうかを検定した。
もしある特定の係数についてのみ構造変化が起き
たかを検定したい場合も同様に検定できる。
12
構造変化の検定
部分的な構造変化の検定
先程のモデルでは切片 α および全ての係数 βk
について構造変化が起こったかどうかを検定した。
もしある特定の係数についてのみ構造変化が起き
たかを検定したい場合も同様に検定できる。
例えば、切片 α、および最初の j 個の係数
βk, k=1,…, j のみに構造変化が起こったかどうかの
みを検定したい場合(残りの係数 βk, k=j+1,…, K
は期間を通じて一定と想定)場合を考える。
12
構造変化の検定
この場合、構造変化モデルは
β1
t = 1, 2, …., T
13
,...
......
11
1
tjttjttt
KtKjtjtt
XDXDD
XXXY
構造変化の検定
この場合、構造変化モデルは
β1
t = 1, 2, …., T
であり、構造変化なしの帰無仮説は
H0: δ = γ1= …. = γj = 0
という j+1 この制約からなっている。
13
,...
......
11
1
tjttjttt
KtKjtjtt
XDXDD
XXXY
構造変化の検定
また J = j+1 とすると、F値は
によって計算する事ができる。ここで SSR0、
SSR1 は新たな帰無仮説の下で先ほどと同様に
定義される。
14
)2/(
/)(
1
10
JTSSR
JSSRSSRFT
構造変化の検定
また J = j+1 とすると、F値は
によって計算する事ができる。ここで SSR0、
SSR1 は新たな帰無仮説の下で先ほどと同様に
定義される。この F統計量は帰無仮説のもとで
(εtが正規分布である場合) F(J, T – 2J) という
F 分布に従う。
14
)2/(
/)(
1
10
JTSSR
JSSRSSRFT
構造変化の検定
構造変化点が未知の場合
15
構造変化の検定
構造変化点が未知の場合
先ほどは構造変化点があらかじめ分かっている
という状況を考えた。しかしながら、現実にはど
の時点で構造変化が起きているのかわかって
いない場合も多い。
15
構造変化の検定
構造変化点が未知の場合
先ほどは構造変化点があらかじめ分かっている
という状況を考えた。しかしながら、現実にはど
の時点で構造変化が起きているのかわかって
いない場合も多い。
そのような場合に 構造変化があるかどうかを検
定する方法が Andrews (1993) および Andrews
and Ploberger (1994) によって提案されているの
でその方法について説明する。
15
構造変化の検定
構造変化が起こった時点を s 時点であるとして
計算した F 検定統計量を F (s) と表すとする。
16
構造変化の検定
構造変化が起こった時点を s 時点であるとして
計算した F 検定統計量を F (s) と表すとする。
今、構造変化時点 s は未知とするが、
16
構造変化の検定
構造変化が起こった時点を s 時点であるとして
計算した F 検定統計量を F (s) と表すとする。
今、構造変化時点 s は未知とするが、
M ≤ s1 ≤ s ≤ s2 ≤ T – M
を満たす時点とする。
16
構造変化の検定
構造変化が起こった時点を s 時点であるとして
計算した F 検定統計量を F (s) と表すとする。
今、構造変化時点 s は未知とするが、
M ≤ s1 ≤ s ≤ s2 ≤ T – M
を満たす時点とする。 ここで s1 と s2 は、その2
つの時点の間のどこかでは構造変化が起きた
事がわかっているとして、分析者があらかじめ
設定する値である。
16
構造変化の検定
この時、以下の3つの検定統計量を定義する。
17
構造変化の検定
この時、以下の3つの検定統計量を定義する。
(sup ワルド F 検定)
17
)(supSup21
sMFF Tsss
T
構造変化の検定
この時、以下の3つの検定統計量を定義する。
(sup ワルド F 検定)
(Exp ワルド F 検定)
s
17
)(supSup21
sMFF Tsss
T
2
1 2
)(exp
1
1logExp
12
s
sT
sMF
ssF
構造変化の検定
この時、以下の3つの検定統計量を定義する。
(sup ワルド F 検定)
(Exp ワルド F 検定)
s
(Ave ワルド F 検定)
s 17
)(supSup21
sMFF Tsss
T
2
1 2
)(exp
1
1logExp
12
s
sT
sMF
ssF
2
1
)(1
1Ave
12
s
sT sMF
ssF
構造変化の検定
Andrews (1993)、Andrews and Ploberger (1994)
はこれらの検定統計量について特定の有意水
準(および特定のM)についての臨界値を求めて
いる。
18
構造変化の検定
Andrews (1993)、Andrews and Ploberger (1994)
はこれらの検定統計量について特定の有意水
準(および特定のM)についての臨界値を求めて
いる。
Hansen (1997) はこれらの検定統計量の P 値を
(任意のMについて、近似的に)求める方法を提
案している。
18
構造変化の検定
Andrews (1993)、Andrews and Ploberger (1994)
はこれらの検定統計量について特定の有意水
準(および特定のM)についての臨界値を求めて
いる。
Hansen (1997) はこれらの検定統計量の P 値を
(任意のMについて、近似的に)求める方法を提
案している。
言うまでもなく、有意水準 100α% の検定ではP
値が α より小さければ棄却となる。
18
構造変化の検定
部分的な構造変化の検定の場合は、先ほどの統計量において、M を J に置き換えて計算すればよい。
19
EViews による分析
利用するデータはG7各国の 2003/1/2から2008/4/30までMSCI株式指数の(対数階差×100によって計算した)収益率である
msci_ret.xlsx のデータを使用
20
信用保証制度の問題点についての実証分析
データの読み込み
21
EViews による分析
日本の収益率に対して各国(および自国)の過去の収益率がどのような影響を与えているかを見る。
次のモデルを推定する。
22
EViews による分析
日本の収益率に対して各国(および自国)の過去の収益率がどのような影響を与えているかを見る。
次のモデルを推定する。
jpt = α + βjp jpt–1 + βge get–1 + βfrfrt–1 + βit itt–1
+ βukukt–1 + βcacat–1 + βus ust–1 + εt
22
EViews による分析
日本の収益率に対して各国(および自国)の過去の収益率がどのような影響を与えているかを見る。
次のモデルを推定する。
jpt = α + βjp jpt–1 + βge get–1 + βfrfrt–1 + βit itt–1
+ βukukt–1 + βcacat–1 + βus ust–1 + εt
jpt: 日本のデータ, get: ドイツのデータ
frt: フランスのデータ, itt : イタリアのデータ
ukt: イギリスのデータ, cat: カナダのデータ
ust: アメリカのデータ 22
「Quick」→「Estimate Equation」 「jp c jp(-1) ge(-1) fr(-1) it(-1) uk(-1) ca(-1) us(-1) 」 で推定。
23
推定結果は上記のようになる。 24
Quandt – Andrews 検定
次にQuandt – Andrews 検定を行う。
「View」→「Stability Diagnostics」→「Quandt-Andrews Breakpoint Test」 を選択 25
「Breakpoint variables」の部分に どの変数の係数の構
造変化を検定するか指定。最初はとりあえず全部指定してあるので、とりあえずそのまま 「OK」
26
検定結果が出力される。青丸が上から順に「Sup ワルドF」、「Exp ワルドF」、「Ave ワルドF」検定 27
「LR F statistic」というのは別の統計量。これも構造変化の検定に用いるがここでは解説しない。
28
「LR F statistic」というのは別の統計量。これも構造変化の検定に用いるがここでは解説しない。
P値が0.01以下なのでいずれの検定統計量でも有意水準1%以下で棄却。
28
「LR F statistic」というのは別の統計量。これも構造変化の検定に用いるがここでは解説しない。
P値が0.01以下なのでいずれの検定統計量でも有意水準1%以下で棄却。
にある 12/27/2005 というのは構造変化時点の推定値で、この時点で構造変化があった事を示唆。
28
「Trimming」で数値を変えれば変化時点の範囲を変えて検定。 29
「Trimming」 を 5にしてやってみたが特に結果はかわらなかった。これは前後5%のデータの内側に構造変化点あると想定したという事。
30
構造変化の検定
CUSUM 検定
他にも、構造変化によく用いられる検定の一つとして CUSUM 検定がある。
31
構造変化の検定
CUSUM 検定
他にも、構造変化によく用いられる検定の一つとして CUSUM 検定がある。
先ほどのモデルにおいて t = u 時点までのデー
タを用いて推定した切片、および係数の推定値を
とする。
31
,ˆ,...,ˆ,ˆ )()(1
)( uK
uu
構造変化の検定
CUSUM 検定
他にも、構造変化によく用いられる検定の一つとして CUSUM 検定がある。
先ほどのモデルにおいて t = u 時点までのデー
タを用いて推定した切片、および係数の推定値を
とする。これを用いて次の期 (t = u+1) の予測値を
31
,ˆ,...,ˆ,ˆ )()(1
)( uK
uu
構造変化の検定
と計算し、
32
,~
...~~~
1,)(
1,1)(
1)(
1 uKu
Kuuu
u XXY
構造変化の検定
と計算し、その予測誤差を
とする。
32
,~
...~~~
1,)(
1,1)(
1)(
1 uKu
Kuuu
u XXY
111
~~ uuu YY
構造変化の検定
と計算し、その予測誤差を
とする。同様に s = u +2, u +3, …, T についても
その1時点前までのデータ (s –1 時点までのデー
タ)で推定した予測値と予測誤差
を計算していく。
32
,~
...~~~
1,)(
1,1)(
1)(
1 uKu
Kuuu
u XXY
111
~~ uuu YY
,~
...~~~
,)1(
,1)1(
1)1(
sKs
Ksss
s XXY
sss YY~~
構造変化の検定
この時、この予測誤差は構造変化がないという帰無仮説が正しい時(および誤差項が正規分布に従う時)
に従う事を示すことができる。ここで は
説明変数 Xit , t =1,…, s の値に依存して決
まる値(関数)である。
33
),0(..~~ 22ss mNidi
2sm
構造変化の検定
ここで とする。
34
sss mw /~
構造変化の検定
ここで とする。この時、CUSUM 検定統計量は、 の推定量 で を基準化し、足し合わせることによって
34
swsss mw /~
構造変化の検定
ここで とする。この時、CUSUM 検定統計量は、 の推定量 で を基準化し、足し合わせることによって
と計算される。
34
sw
TMsw
Cs
Mu
us ....,,1,
ˆ1 ,
sss mw /~
構造変化の検定
ここで とする。この時、CUSUM 検定統計量は、 の推定量 で を基準化し、足し合わせることによって
と計算される。
Cs は s = M +1, …, T のT – M 個の求められることに注意しよう。
34
sw
TMsw
Cs
Mu
us ....,,1,
ˆ1 ,
sss mw /~
構造変化の検定
CUSUM 検定では Cs の値がある範囲を超えた
とき(この範囲は有意水準に応じて決まる)に構造変化があるとして構造変化なしの帰無仮説を棄却する。
35
構造変化の検定
CUSUMSQ 検定
CUSUM 検定に似た検定として CUSUMSQ 検
定もよく用いられる。
36
構造変化の検定
CUSUMSQ 検定
CUSUM 検定に似た検定として CUSUMSQ 検
定もよく用いられる。これは先ほど定義した変数
を用いると
と定義される。
36
TMsw
wS
T
Mu u
s
Mu u
s ....,,1,
1
2
1
2
構造変化の検定
CUSUMSQ 検定
CUSUM 検定に似た検定として CUSUMSQ 検
定もよく用いられる。これは先ほど定義した変数
を用いると
と定義される。これも CUSUMSQ 検定も
CUSUM検定同様、その値がある範囲を超えた
ときに帰無仮説が棄却される。
36
TMsw
wS
T
Mu u
s
Mu u
s ....,,1,
1
2
1
2
EViews による分析
先程と同じデータに対して CUSUM 検定と
CUSUMSQ 検定を行ってみよう。
先程のモデルの推定までは終わっているとする。
37
先程と同様に、
「View」→「Stability Diagnostic」 →「Recursive Estimation (OLS only)」
を選択。 38
「CUSUM Test」 を選んで 「OK」をクリック
39
CUSUM 検定統計量の値とその有意水準5%の臨界値の幅がプロットされる。どの値も外側にないのでこの場合構造変化は棄却されない。
40
CUSUMSQ 検定は 「CUSUM of Squares Test」を
選択し「OK」をクリック
41
検定統計量の値が赤線の外側に出ている。この場合は構造変化なしは棄却される。
42
CUSUM 検定は切片の構造変化にCUSUMSQ検
定は誤差分散の構造変化に対して検出力があるといわれる。
43
CUSUM 検定は切片の構造変化にCUSUMSQ検
定は誤差分散の構造変化に対して検出力があるといわれる。
ただし共に検出力があまり高くない事が知られている。
43
CUSUM 検定は切片の構造変化にCUSUMSQ検
定は誤差分散の構造変化に対して検出力があるといわれる。
ただし共に検出力があまり高くない事が知られている。
EViews による今回の結果もあまりはっきりした結果ではない。
43
CUSUM 検定は切片の構造変化にCUSUMSQ検
定は誤差分散の構造変化に対して検出力があるといわれる。
ただし共に検出力があまり高くない事が知られている。
EViews による今回の結果もあまりはっきりした結果ではない。
Quandt – Andrews 検定の方が望ましい。
43
本日のまとめ
1. 構想変化を検出する方法として Andrews –
Quandt, CUSUM, CUSUMSQ 検定を紹介した。
44
本日のまとめ
1. 構想変化を検出する方法として Andrews –
Quandt, CUSUM, CUSUMSQ 検定を紹介した。
2. EViews を用いてMSCI 指数の構造変化の検定
を行った。Quandt - Andrews 検定によると2005
年の終わりごろに構造変化が認められた。
44
本日のまとめ
1. 構想変化を検出する方法として Andrews –
Quandt, CUSUM, CUSUMSQ 検定を紹介した。
2. EViews を用いてMSCI 指数の構造変化の検定
を行った。Quandt - Andrews 検定によると2005
年の終わりごろに構造変化が認められた。
3. CUSUM 検定と CUSUMSQ 検定は検出力に
問題があるため、Quandt – Andrews 検定が望
ましいが、EViews の結果もそれを示唆している
44