一般的な共変ゲージを用いた弦の場の理論の解析

浅野雅子（大阪府大）

M. Asano and M. Kato,

`New covariant gauges in string field theory,’PTP 117 (2007) 569 (hep-th/0611189)

`Level Truncated Tachyon Potential in Various Gauges,'JHEP01(2007)028 (hep-th/0611190)

`General Linear Gauges and Amplitudes in Open String Field Theory,'NPB807(2009)348 (arXiv:0807.5010)

(2009.2.27)

弦の場の理論 ・・・弦の第二量子化

開弦

閉弦

相互作用

c.f.)

１．Introduction弦理論

・ 重力を含む統一理論

・ 発散が現れない → 量子化可能プランク長さ程度 （～10－33 cm）

・ 「D-ブレイン」 → 双対性、タキオンの解釈、さまざまなモデルが可能、…

1

場の理論

場

・ スカラー場

作用

運動量表示

・ ゲージ場

運動量表示

ゲージ自由度

2

弦の場の理論

ゲージ対称性

（Ｗｉｔｔｅｎ, 1986）

・ 弦の場 (ghost # = 1)

・ 作用

場string states

3

)(σμX

・ ∞個の場、・ ゲージ自由度（∞） → ゲージ固定が必要

・ 相互作用：非局所的・ 時間座標が定まらない．→ 正準量子化が不可能

特徴

タキオン場 ゲージ場

ゲージ変換

⇒ 弦の場の理論の量子論的性質を調べたい。

ゲージ固定作用、振幅、…4

弦の場の理論によるタキオン凝縮の解析 （’99～）

Senの予想

タキオンポテンシャル

摂動的真空： 不安定

非摂動的真空: より安定

D25-brane

D25-brane

（⇔ 閉弦の真空）

⇒ SFTによる解析

１． レベル切断近似

２． 厳密解 Schnabl (2005) Schnablゲージ

Siegelゲージ、a-ゲージ

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ゲージ固定 (g=0)

一般の線形ゲージ固定条件：

１． Siegel gauge

２． a-gauge [A-K]

３． linear b-gauge [Schnabl, Kiermaier-Sen-Zwiebach]

例：

今日の話

弦の場の理論の一般的な線形ゲージ固定条件に基づき、物理的振幅のゲージ不変性を示す。

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２．弦の場の理論のゲージ固定

level :

（n: ghost # = #c - #b）

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0,},{ mnmn cb += δ

ゲージ固定作用

一般論： （ゲージ固定作用の求め方）

＋ ghost, anti-ghost, NL fields

※ S にゲージ対称性が残っている場合、さらに を加える。

‘ghost for ghost, …’

弦の場の理論の場合： ∞個のghostが必要

ゲージ固定作用

・ ゲージ対称性なし・ BRST 変換に対して不変

⇒ 弦の場をすべての ghost# に拡張

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ゲージ固定作用を求める

1. Φ を一般のghost数の場に拡張

2. 一般の線形ゲージ固定条件を与える:

※ のゲージ対称性：

3. ゲージ固定項 を加える

⇒

※ は、g=0 の場合のゲージ対称性をすべて固定するように選ぶ。

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○ は、BRST変換に対して不変。

※ ただし 、 が必要。

⇒ それぞれのゲージに対して、ゲージ固定作用の２次の項からプロパゲーターを求めることができる。

⇒ 振幅の計算

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３．さまざまなゲージ

１． Siegel gauge

２． a-gauge [A-Kato]

特徴： ・ 1-parameter: a をもつ。・ 同じレベル（質量）の場の間の関係式・ ゲージ理論の共変ゲージと対応・ a=0 のときSiegel gauge と一致。

特徴： ・ もっとも簡単なゲージ。・ すべての場が「対等」

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ゲージ固定作用 （レベルN=1、 ２次の項）

Nakanishi-Lautrup 場

FP ghost (anti-ghost) 場

Feynman ゲージ（Siegel ゲージ）

Landau ゲージ

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３． linear b-gauge [Schnabl, Kiermaier-Sen-Zwiebach]

Schnabl gauge

特徴： ・ のlinear な組み合わせ → レベルを混ぜる。・ タキオン真空解（厳密解）の解析に便利（Schnabl gauge）

nb

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・・・ ghost, ghost for ghost, …・・・ anti-ghost, …

・・・ 補助場

ゲージ固定作用 （２次の項）

※

※

ゲージ固定条件：

変形

逆行列

４．プロパゲーター

プロパゲーター

性質

※ 異なるゲージ固定によるプロパゲーター∆ と ∆' の関係は、一般に

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３． linear b-gauge

N=1, ゲージ場の部分のプロパゲーター

： 共変ゲージでのゲージ場のプロパゲーター

２． a-gauge

１． Siegel gauge

例：

16

例：・ tree, ４点

⇒

５．振幅

振幅

17

1 5

432

6

61 5

432

1

5

43

2

6

＋（cyclic perm.）

＋

＋ ＋

・ tree, 6点

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＋ perm.

・ 1-loop, １点

⇒

2-string vertex :

19

n-loopの計算

・ 一つのグラフに対して、tree グラフを与えるように、n箇所で「切断」し、と をそれぞれの端点につける。

⇒ tree グラフと同様に計算

※ 計算結果は、「切断」する箇所によらない（符号因子が重要）

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・ 1-loop, ２点

world-sheetトポロジーが異なる

振幅（1-loop, 2点）

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：外線の弦場 が、 を満たす場合の振幅

on-shell振幅

定理１

定理２

６．on-shell振幅のゲージ不変性

（on-shell 振幅はゲージによらない。）

※ 以上が、ループの数ごと、振幅のトポロジーごとに証明できる。

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証明のポイント

・異なる２つのゲージによるプロパゲーターの関係：

・ は、スター積で分配される。

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・ を用いて、プロパゲーターを「つぶす」

→ プロパゲーターがつぶれたグラフは、異なるグラフからの寄与と相殺。

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以上により、定理１、定理２が「トポロジー」ごとに証明できる。

・tadpole ループに がかかると消える。

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まとめ

・ 開弦の場の理論の一般の線形ゲージ固定条件：

に対し、BRST不変なゲージ固定作用を求め、プロパゲーターを計算した。

・ プロパゲーターの一般的性質

により、on-shell振幅のゲージ不変性を示した。

・ 振幅の一般的枠組み → 対称性、量子論・ 一般のゲージの world-sheet 的な解釈

展望

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