1

ベクトル解析（４）

9.スカラーの線積分

10.ベクトルの線積分

11.スカラーの面積分

12.ベクトルの面積分

Today’s Point

Chap.10 ベクトルの線積分

C

drA C

drA

Chap. 9 スカラーの線積分

( ), ( ), ( )b

a Cx t y t z t dt dt

xy

zC

3

9. スカラーの線積分

曲線Cに沿っての スカラー場の線積分 ( ), ( ), ( )

b

a Cx t y t z t dt dt

9.1 スカラーの線積分

② 曲線Cに対し正反対の向きの曲線-C

1 2 1 2C C C Cdt dt dt

C Cdt dt

- -

1C2C

21 CC

C

C-

スカラー場（x(t), y(t), z(t))内 曲線C： r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

曲線Cの区間AB（a≦t≦b）の定積分

線積分の関係

① 2つの曲線C1，C2を連結した曲線C1+C2

4

スカラーの線積分

)10( )( : )1 tttttCdtC

kjir

であるのでＣに沿って , , tztytx

22tt

6

7

3

2

2

1)2(

1

0

322

ttdtttdt

CC

例題1 スカラー場 について線積分を求めよ． yzx 2

x

y

zC

5

)10( )( : )2 2 tttttCdsC

kjir

であるのでＣに沿って , , 2tztytx

dtdt

drdt

dt

dsdstztytx

b

a

b

a

b

a

)](),(),([

22 42)2(112 tttdt

dr kji

dtttdttttds

1

0

2

3

2

1

0

23

1

0

)21(242)2(

tdt dutu 4 21 2

322 ttyzx

xy

zC

)139(10

2

5

2

4

23

1

2

5

-

u

duu

3

1

2

3

4

2

注意

9.2 スカラーの線積分（２）

C

dtztytxf r)](),(),([kjir

kjir

dzdydxd

zyx

CC

dzdydxzyxfdzyxf ))(,,(),,( kjir

CCC

dzzyxfdyzyxfdxzyxf ),,(),,(),,( kji

ttt

dtdt

dztfdt

dt

dytfdt

dt

dxtf )()()( kji

zxyzxyzyxf ),,(

原点ｏから点Ａ(1, 2, 3) に沿った線積分

1)t(0 3,2, tztytx211))(3()3)(2()2()( ttttttttf

1

0

21

0

21

0

2 )3(11)2(11)1(11),,( dttdttdttdzyxfC

kjir

3 2 1 dt

dy

dt

dy

dt

dx

kjikji 113

22

3

11

3

113

3

112

3

11

例題2

Today’s Point

8

Chap.13発散と回転の物理的意味

Chap. 14 発散定理

Chap.15 ストークスの定理

s dSdVV

nAA

c ddSs rAnA

AA div

AA rot

単位時間・単位体積当たりに流れ出る量

ωv 2

9

10.ベクトルの線積分

sは曲線長（a≦s≦b）

( ) ( ) ( ) ( )( )

d s dx s dy s dz ss

ds ds ds ds

rt i j k

dds ds d

ds

rt r

CC

dds rAtA

ベクトル場A=Axi+Ayj+Azk内にある曲線C： r(s)=x(s)i+y(s)j+z(s)k

曲線Cの区間AB（a≦s≦b）

曲線Cに沿ってのベクトル場Aの線積分

単位接線ベクトル：

dsds

sdzA

ds

sdyA

ds

sdxA

b

a

zyx

)()()(

10.1 ベクトルの線積分(1)

10

q(r)：曲線C上の点PでA(r)とt(r)の作る角

)1|| ( cos|||| ttAtA qd

dsdCC

qcos|| ArA

11

例題1 ベクトル場 A=2yi+xj+sin2zk 曲線Cに沿う線積分

を終点を始点は )2

Q(0,1, ,P(1,0,0)C 1)

線分Cの方程式 r

kjir

2

-

dt

dbaabar tt - t)-(1 )(

kji

kjir

)2/()1(

))2/(())(1(

ttt

tt

-

-

tztytx2

, ),1(

-

xy

z

C

1

2

1

P

Q

a

br

P

Q

o

a

bikjia 00

kjkjib )2/()2/(0 tt

12

kjiA ttt2

sin)1(2 2 - dtd )2

( kjir

-

--1

0

2 )2

()2

sin)1(2( dtt

ttdC

kjikjirA

--1

0

2 )2

sin2

)1(2( dtt

tt

-

-1

0)

2

cos1

231( dt

tt

1

0

2 sin4

1

2

3)

41(

-- ttt

2

1

4-

13

は常ら線C

kjiA ttt 2sincossin2

kjir

- ttdt

dcossin

- 2

0

222 )sincossin2(

dttttdC

rA

- 2

0

2

0

2 2cos)sin21(

tdtdtt

02sin2

1 2

0

t

2) A=2yi+xj+sin2zk

t ztytx ,sin ,cos

)2

(0 sincos

t+tt+t= kjir

10.2 ベクトル線積分(2)

kjiA zyx AAA

dt

dt

dz

dt

dy

dt

dx

AAA

dzdydx

AAAdC

zyx

C

zyx

C

kjikji

rA

kjir

kjir

dzdydxd

zyx

例題2 原点oから点P(1, 2, 3) 線分C

kjiA xyzxyz

dtttttttdtC

321

)2()3()3)(2(

kji

rA

----1

0

221

0

221

0

22 )312()218()49( dtttdtttdttt kji

-1

0

21

0

21

0

2 9165 dttdttdtt kji kji 33

16

3

5-

1)t(0 3,2, tztytx

3 ,2 ,1 dt

dz

dt

dy

dt

dx x

y

zC

)1(0 32 tt+t+=t kjir

dt

dt

dz

dt

dy

dt

dx

AAAdC

zyx

C

kji

rA

Today’s Point

16

Chap. 4 dxdyyx

SD

rr

Chap. 11 スカラーの面積分

dv

d

du

d rrn

Dsdudv

vuvudS

rr),(

),,(: zyxスカラー関数

Chap.12 ベクトルの面積分

DSdudv

vud

rrnASA

11.スカラーの面積分

曲面S： r=r(u,v)

スカラー関数

Dsdudv

vuvudS

rr),(

2重積分

),,(: zyxスカラー関数

)],(),,(),,([),( vuzvuyvuxvu

kjirr ),(),(),(),( vuzvuyvuxvu

曲面 S 上でのスカラー場 の面積分

で与えられているときが曲面 ),( yxfS

221 vu ffvu

rr

D

vus

dudvffvudS 221),(uv平面上の領域D

は曲面Sに対応

),,( zyx

D u

v

S

x

y

z

u)1(2 uv -

22),( yxyx

kjikjir )2

333( vuvuzyx --

22),( vuvu

kjir

30 -

ukji

r

2

30 -

v

kji

kjirr

--

-

-

)

2

3(3

2

310

301vu

),,( zyxS上の点 yxyxfz2

333),( --

例題 )2 ,0 ,0 6236: zy(xzyxS

yvxu ,

2

71)

2

3(3 222

19

Dsdudv

vuvufdS

rr),(

--

1

0

32

2

7)1(

3

8)1(2 duuuu

x

y

z

u)1(2 uv -1

2 -

1

0

)1(2

0

22

2

7)( dvduvu

u

-1

0

)1(2

0

32

2

7

3

1duvvu

u

-

1

0

23

2

7

3

8810

3

14duuuu

2

7

6

19

2

7

3

8

2

18

3

110

4

1

3

14

-

20

12.ベクトルの面積分

曲面S： r=r(u,v) ベクトル場A=Axi+Ayj+Azk

uv平面上の領域Dは曲面Sに対応

曲面S上の各点でAを法単位ベクトルnの上に正射影An=A・n

DSdudv

vud

rrnASA

曲面 S 上でのベクトル場 A の面積分

DSdudv

vud

rrnASA

例題

kjiA )(2)( 222 xyyxyyx --

3つの平x=1,y=1,z=1で囲まれた立方体

の面積分の面でのA0)1 z

kn -

-1

0

1

0

2 )( dxdyxyydSdDS

nASA

の面積分であるのでの面では Akn 1)2 z

12

1S dSA

12

1)

2

12(

2

1 1

0

1

0

1

0

22 --

- dyyydyyxxy

)( 2 xyy --nA

)( 2 xyy -nA

x

y

z

kn -

x

y

z kn

の面0)3 x

y

z

x

y

z

in -

)( 22 yx --nA

kjiA )(2)( 222 xyyxyyx --

in

)( 22 yx -nA

の面1)4 x

3

1S dSA

3

2S dSA

23

の面0)5 y

2103

2

3

1

12

1

12

1-全表面上での面積分は

x y

z

kjiA )(2)( 222 xyyxyyx --

xy

z

jn -

02 - xynA

jn

xxy 22 nA

の面1)6 y

0S dSA 1S dSA

例題

kjiA xyzxyzxyz

3つの平x=1,y=1,z=1で囲まれた立方体

の面積分の面でのA0)1 z

kn -

1

0

1

0

21

0

21

0 4

1

22

yxxydxdy

dSdDS

nASA

の面積分であるのでの面では Akn 1)2 z

00 xynA

xyxyz nA

x

y

z

kn -

x

y

z kn

0 DSdSd nASA

の面0)3 x

y

z

in -

in の面1)4 x

kjiA xyzxyzxyz

00 yznA

0S dSA

yzxyz nA

1

0

1

0

21

0

21

0 4

1

22

zyyzdydz

dSdDS

nASA

の面0)5 y

x y

zjn -

00 zxnA

0S dSA

の面1)6 y

jn zxnA

1

0

1

0

21

0

21

0 4

1

22

xzzxdzdx

dSdDS

nASA

26

問題

よの面積分の値をもとめ各面での

を定義するときベクトル

３角錐がある。によって切り取られる

つの平面が平面

A

jiA2

0,0,036236

yx

zyxzyx

x

y

z

12

3