-1-

線積分

線積分　物体に力 Fを作用させて位置ベクトル rAの点

Aから位置ベクトル rBの点 Bまで曲線 Cに沿っ

て物体を移動させたときの仕事 Wは、次式で計

算された。

W d F dx F dy F dzF r,, r

r

r

r

C

x y z

C A

B

A

B

:= = + +6 @# #

F dx F dy F dz, , ,

x

x C

x

y

y C

y

z

z C

z

0

n

0

n

0

n

= + +# # #　右辺の各項の積分は、曲線 Cに沿って Fx、Fy、

Fzを x、y、z で積分することを示している。この

ようにある関数をある曲線に沿って積分すること

を、線積分という。以下で、この線積分について

考えてみる。

　3次元空間内の 2点、A点から B点を結ぶ曲線 Cがある。この曲線状のすべての点で連続な関数を

, ,P x y z] g、 , ,Q x y z] g、 , ,R x y z] gとする。A点の座標を , ,x y z0 0 0] g、B点の座標を , ,x y zn n n] gとして、

曲線 AB を n 分割し、A点と B点の間にある n-1個の分割点の座標を A点に近い点から、 , ,x y z1 1 1] g、

, ,x y z2 2 2] g、・・・、 , ,x y zn 1 n 1 n 1- - -] gとする。また、 x x xk k k 1D = - - 、 y y yk k k 1D = - - 、 z z zk k k 1D = - -

, , , ,1 2 3k ng=] g とする。分割点 , ,x y zk 1 k 1 k 1- - -] gと , ,x y zk k k] gの間の曲線 C上の任意の点の座標を

, ,k k kp h g] gで表すことにする。このとき積和

, , , , , ,P x Q y R z1

k k k k k k k k k k k k

k

n

p h g p h g p h gD D D+ +=

] ] ]g g g6 @! 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（1）

を考え、 xkD 、 ykD 、 zkD , , , ,1 2 3k ng=] g が限りなく 0に近づくようにn"3とするとき、式（1）

がある極限値に近づくとき、その極限値を

, , , , , ,P x y z dx Q x y z dy R x y z dzC

+ +] ] ]g g g6 @#で書き表す。線積分に関する演算則を以下に示す。

演算則

（1） Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy RdzC C C C

+ + = + +6 @# # # #（2）曲線 Cが曲線 C1と C2の接合したもの、C C C1 2= + 、であるとき ,

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy RdzC C C1 2

+ + = + + + + +6 6 6@ @ @# # #（3）曲線 Cを逆向きにした曲線をCとすれば、

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy RdzC C

+ + =- + +6 6@ @# #

A

B

(x0, y0, z0)

(x1, y1, z1)

(xk-1, yk-1, zk-1)

(xk, yk, zk)

(xn-1, yn-1, zn-1)

(xn, yn, zn)

(ξ1, η1, ζ1)

(ξk, ηk, ζk)

(ξn, ηn, ζn)

C rB

rA O

図－１　A点から B点に至る積分経路 C

A

B

C1

C2

C

-2-

線積分の計算例問題 1．　経路 Cに沿った下記の積分を、図－２に

示すA点からB点に至る積分経路C1およびC2に沿っ

て求めよ。

x y dx x ydy32

C

2 2 3+< F#

解答

（1）積分経路 C1に沿って積分する場合

　C1 上に沿って積分するから、常に y x2= の関

係を満たしている。また、dxdy

x2= であるから

dy xdx2= の関係がある。したがって、

x y dx x ydy x x dx x x xdx32

32

2C

2 2 3 2 2 3 2

0

2

2

1

+ = +] ]g g< <F F# #

x dx x37

31

3128

x

x

6

0

2

7

0

2

= = ==

=

#（2）積分経路 C2に沿って積分する場合

　C2上に沿って積分するから、常に y x2= の関係が満たされる。したがって、dxdy

2= であるから、

dy dx2= の関係がある。このことから、

x y dx x ydy x x dx x x dx32

232

2 2C

2 2 3 2 2 3

0

2

2

+ = +] ]g g< <F F# #

x dx x320

34

3128

x

x

4

0

2

5

0

2

= = ==

=

#

問題 2．　経路 Cに沿った下記の積分を、図－３に

示す A点から B点に至る積分経路C C1 2+ およびC3

に沿って求めよ。

x y dx xydyC

+ +] g6 @#

解答

（1）積分経路C C1 2+ に沿った積分は、次式

C C C C1 2 1 2

= ++

# # #から、2つの積分の和で求められるから、C1上、C2上でそれぞれ積分を求め、それらの和から解を求

めることにする。

(i) C1上の積分：C1上では常に y 0= であり、yは一定値であるから、dy 0= である。したがって、

x y dx xydy xdx x21

23

C x

x

2

1

2

1

2

1

+ + = = ==

=

] g6 @# #(ii) C2上の積分：C2上では常に x 2= であり、xは一定値であるから、dx 0= である。したがって、

0.5 1 1.5 2x

1

2

3

4

y

0

B(2, 4)

y=x2

y=2x

A (0, 0)

C1

C2

4

3

2

1

y

0.5 1 1.5 2 x

図－２　積分経路

0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0.5

1

yB(2, 1)

A(1, 0)

C1

C2

C3

y=x-1

x=2

0

y

x

1

0.5

-0.5

-1

0.5 1 1.5 2

図－３　積分経路

-3-

x y dx xydy ydy y2 1C

yy2

0

1

01

2

+ + = = ===] ]g g6 @# #

以上の計算から、

x y x y dx xydy x y dx xydydx xydyC CC C 1 21 2

+ + + + ++ = ++

] ] ]g g g6 6 6@ @ @# # #

23

125

= + =

（2）積分経路C3に沿った積分

　C3上では y x 1= - が成り立つから、dxdy

1= 。したがって、dy dx= である。

x y dx xydy x x dx x x dx x x dx1 1 1C

2

1

2

1

2

3

+ + = + - + - = + -] ] ]g g g6 6 6@ @ @" ,# # #

x x x31

21

617

x

x

3 2

1

2

= + - ==

=< F

　問題１では、A点からB点に至る経路が異なるにもかかわらず、線積分の結果は同じ値を示した。一方、

問題２では積分経路が異なれば、線積分の結果は異なっていた。どのような関数なら積分経路に無関係

に線積分の結果が同じになるのであろうか？　あるいは、たまたま偶然に、線積分の結果が同じになっ

たということなのであろうか？

　ここでは証明を省くが、被積分関数に特別な関係があると、どんな積分経路を採って積分しても、必

ず同じ値を持つことが分かっている。その特別な関係は、次の通りである。

（１）3次元空間における線積分

, , , , , ,P x y z dx Q x y z dy R x y z dzC

+ +] ] ]g g g6 @#の値が、積分経路に依存しないためには、条件

, , , ,,

, , , ,,

, , , ,y

P x y zx

Q x y zz

Q x y zy

R x y zx

R x y zz

P x y z2

22

22

22

22

22

2= = =

] ] ] ] ] ]g g g g g g

　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（2）

が成り立てば良い。

（２）2次元空間における線積分

, ,P x y dx Q x y dyC

+] ]g g6 @#の値が、積分経路に依存しないためには、条件

, ,y

P x yx

Q x y2

22

2=

] ]g g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（3）

が成り立てば良い。

保存力　物体に力 Fを作用させて位置ベクトル rAの点 Aから位置ベクトル rBの点 Bまで曲線 Cに沿って物

体を移動させたときの仕事 W

F rW d,

r

r C

B

A

:= #

（注）例えば、y xV

x yV2 2

2 22

2 22

= が成り立つた

めには、y xV2

2 22 および

x yV2

2 22 が連続で

-4-

が、経路 Cとは無関係で、始点 rAと終点 rBだけで決まるとき、この力 Fを保存力という。また、積分

r F rV dr

r

0

:=-] g # 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（4）

を点 rにおける力 Fによる位置エネルギー（関数値が物体が占める位置（座標点）のみで決まるとい

う意味からの命名）あるいはポテンシャルエネルギーという。点 r r0= では rV 00 =] g であるから、r0

は位置エネルギーを測る基準点である。

力 Fが保存力のとき、仕事は積分経路に依存しないから、

F r F r F rF rd d dd,

r

rr

r

r

r

r

r

C 00A

B B A

A

B

: : ::= = -# # # #r rV V AB=- -] ]g g6 @　- - - - - - - - - - - - - - - - -（5）

図－４に示すように、点 Bを Aの近くに取り、A点の座標を

, ,x y z] g、B点の座標を , ,x x y y z zD D D+ + +] gとすれば、

r r r i j kx y zB A D D DD- = = + +

となる。ただし、 , ,i j kは、それぞれ x軸、y軸、z軸の正の向き

を向いた単位ベクトルである。したがって、積分は

F r F rd F x F y F zr

x y z

r

B

A

: : D D DD= = + +# 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（6）

と書き表すことができる。一方、多変数関数に関する Taylorの公式から、2次以上の微少量を無視すれば、

, , , ,r rV V V x x y y z z V x y zB A D D D- = + + + -] ] ] ]g g g g

xxV

yyV

zzV

22

22

22

D D D= + +

となる。したがって、この結果を式（5）に代入すれば、

F r F rV

d d yyV

zzV

xx, r

r

r

r

C A

B

A

B

: :22

22

22

D D D+= +=-< F# # 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（7）

式（6）と式（7）の比較から、保存力の x、y、z軸方向成分Fx、Fy、Fzと位置エネルギー（ポテンシャ

ルエネルギー）Vとの関係が、次のようであることがわかる。

FxV

x22

=-

FyV

y22

=- 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（8）

FzV

z22

=-

これらを次のように表現することもある。

, ,i j k i j kFxV

yV

zV

x y zV x y z

22

22

22

22

22

22

=- - - = + +-d ]n g

Vgrad=- 　　　（grad は gradient（意味は勾配）の略）

　一方、物体に作用する力の各座標軸成分が式（８）で与えられる場合、すなわち、力の各座標軸成分

がある関数 , ,V x y z] gの各座標変数の偏微分で与えられる場合、

yF

y xV

x yV

xFx y

2 2

22

2 22

2 22

22

=- =- =

zF

z yV

y zV

yFy z

2 2

22

2 22

2 22

22

=- =- =

O

ABΔr

F

rA

rB

(x,y,z)(x+Δx,y+Δy,z+Δz)

図－４　積分経路

あれば良い。ここではこの条件が成立して

いることを前提として議論している。

-5-

xF

x zV

z xV

zFz x

2 2

22

2 22

2 22

22

=- =- =

の関係が成立するから、物体に力 Fを作用させて位置ベクトル rAの点 Aから位置ベクトル rBの点 B

まで曲線 Cに沿って物体を移動させたときの仕事 W

F rW d F dx F dy F dzF dx F dy F dz, , , ,, r

r

r

r

C

x y zx y z

x C

x

y C

y

z C

z

C A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

:= = + + = + +6 @# # # # #は、積分の経路 Cに依存せず、始点 Aと終点 Bの位置のみで決まる（上の積分と式（２）の条件と比較）。

すなわち、保存力を式（８）の形で定義することもできる。

参考　多変数関数に関する Taylorの公式

, , , ,!

, ,V x x y y z z V x y z xx

yy

zzV x y z

11

22

22

22

D D D D D D+ + + = + + +] ] d ]g g n g

!, ,

!, ,x

xyy

zzV x y z

nxx

yy

zz

V x y z21

11 n2 1

22

22

22

g22

22

22

D D D D D D+ + + + +-

+ +-

d ]]

d ]n gg

n g

!, , ,

nxx

yy

zzV x x y y z z

10 1

n

22

22

22

1 1i i i iD D D D D D+ + + + + +d ]n g

　保存力は、位置エネルギー- , ,V x y z] gを座標変数で偏微分したものであった（あるいはある関数

, ,V x y z] gを座標変数で偏微分したもの）。したがって、関数 Vは x、y、zの関数である点に注目すべ

きである。座標のみの関数を座標で微分しても、座標のみの関数（あるいは定数）である。したがって、

力が速度に依存するような場合は、この条件を満たさないから保存力ではない。例えば、摩擦力の大き

さは、摩擦係数と抗力から求められるが、その向きは物体が動こうとする向き、あるいは動いている向

きによる。つまり正負を含めた力の大きさが運動の状況を考慮しなければ決まらないので、保存力では

ない。また、物体が流体中を運動する場合、速度がそれほど大きくなければ物体が受ける抵抗力は、速

度に比例する。したがって、この場合も保存力ではない。では、物体の位置だけで決まる力にはどんな

ものがあるであろうか。例えば、物体に作用する重力、ばねの力、万有引力などがそうである。質量 m

の物体が地表からある高さにあるときに作用する重力は、その点に至る経路がどうであれ、あるいはど

のような速度、加速度でその点に到達しても、その大きさは地表からの高さで決まり、その向きは鉛直

下向きである。

（1）重力

図－５に示すように地表の水平面内に xy平面を採り、鉛直上向き

に z軸を採った場合の点 , ,x y z] gにある物体に作用する力は、z軸

方向のみであり、

F 0x= 、F 0y= 、F mgz=-

となる。したがって、地表を基準としたこの点の位置エネルギー（ポ

テンシャルエネルギー）Vは、

m (x,y,z)z

y

xxy

z

o

図－５　重力

-6-

, ,V x y z F dx F dy F dzx

x

y

y

z

z

0 0 0

=- + +] g = G# # #

mgdz mgzz

0

= =# 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（9）

で与えられる。

（2）コイルばねによる力

ばね定数 kを持つコイルばねを摩擦のない水平面

上に置き、左端を剛性壁に固定し、右端を質量 m

の物体に固定する。ばねに伸び縮みがない状態を

基準点にとり、水平右方向に x軸の正の方向を採る。

物体が xだけ移動したとき物体に作用する力 Fxは、

F kxx=-

したがって、この点における位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）Vは、伸び縮みしない位置を

基準点に採れば、

V x F dx kxdx kx21

x

x x

2

0 0

=- = =] g # # 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（10）

となる。

（3）万有引力

図－７に示すように質量 Mの物体の中心に原点 Oを

持つデカルト座標系を採る。質量 mの物体が位置ベク

トル , ,r x y z= ] gにあるとき、質量 mの物体が質量 M

の物体から受ける引力 Fは、万有引力定数を Gで表

すと次式で表される。

rr

rF GrMm

GrMm

2 3=- =-

i j kGrMm

x y z3- + += ] g

（注）rr は、ベクトル r をベクトル r の大きさ

r r=] gで割っているので、ベクトル rの方向を

向いた単位ベクトルを示す。

それ故、引力 Fの各座標軸成分は、次のように書ける。

, ,F GrMm

x F GrMm

y F GrMm

zx y z3 3 3=- =- =-

したがって、位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）Vは、

, ,V x y z F dx F dy F dz GMmrxdx

rydy

rzdzx y

y

z

zx y zx

0 003 3

03

00

=- + + =- + +] g = =G G# ## # ##上式を積分するにあたり、r x y z2 2 2 2= + + の関係を代入して積分を行う必要がある。計算は煩雑なので、

結果のみ以下に示す。

k x

m

o

図－６　コイルばねによる力

O

y

x

z (x,y,z)

x

y

z

r

M

m

図－７　2物体間に作用する万有引力

なぜなら、

v vvv v

vv

vdtd

dtd

dtd

dtd

2: : ::= + =] g

-7-

, ,V x y z V r GrMm

= =-] ]g g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（11）

確認のため、逆算をやってみよう。

FxV

GMmx r

GMmdrdr x

rGrMm

xx y z

1 1x 2

2 2 221

22

22

22

22

=- = = =- + +d d ]n n g

GrMm

x y z x GrMm

rx G

rMm

x21

21

22 2 2

21

2 3$=- + + =- =--] g

エネルギー保存則質量 m が時間的に変動せず、常に一定の場合の運動方程式は、

vFm

dtd=

上式の両辺に左側から速度vを内積すると、まず左辺は、

vv

vv

v vmdtd

mdtd

mdtd

21

: : := =d ]n g< F

mdtdv

21 2=

となる。一方、右辺は次のように変形される。

v F F v Frdtd

: : := =

したがって、運動方程式の両辺に左側から速度を内積すると次式が得られる。

Fr

mdtdv

dtd

21 2

:=

上式の両辺を時間 tで t1から t2まで積分すると、左辺は

mdtdvdt m d v mv t mv t

21

21

21

21

t

t

t

t22

22 2

1

1

2

1

2

= = -] ] ]g g g# #となる。一方、右辺は、時刻 t1の時の物体の位置ベクトルを r1、時刻 t2の時の物体の位置ベクトルを

r2で表し、物体の移動経路を Cで表せば、

Fr

F rdtddt d

, ,r

r

t C

t

C1

2

1

2

: :=# #となる。したがって、上の 2式の右辺を等号で結ぶと、

F rmv t mv t d21

21

,r

r

C

22 2

1

1

2

:- =] ]g g # 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（12）

となる。 mv21 2を運動エネルギーという。したがって、上式は、「物体の運動エネルギーの変化は、物

体の作用する力 Fによってなされた仕事に等しい」ことを示している。また、物体に作用する力 Fが

保存力の場合、位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）を V(r)で表せば、式（12）の右辺は次の

ように表現される。

F r r rd V V,

r

r C

2 1

2

1

: =- -] ]g g6 @#この関係を利用して、式（12）を書き直せば次式が得られる。

r rmv t V mv t V21

21

12 2

1 2 2+ = +] ] ] ]g g g g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（13）

時刻 t1の時の運動エネルギーと位置エネルギーの和は、時刻 t2の時の運動エネルギーと位置エネルギー

-8-

の和に等しい。言い換えれば、

.mv V Const21 2+ = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（13’）

物体の運動エネルギーと位置エネルギーの和は、常に一定（時間的に変化しない）である。これを力学

的エネルギー保存則という。　　（注）この法則は、物体に作用する力が保存力の場合に限り成立する。