1

メゾスコピック系における量子物理学:半導体量子ドットを中心に

慶大理工 江藤 幹雄

２００６年１１月２７、２９日

首都大 集中講義

1. はじめにメゾスコピック系とは

2. ランダウアーの公式とアハロノフ・ボーム効果電子の波動性

3. 量子ドットにおけるクーロンブロッケード電子の粒子性

4. 量子ドットの示す近藤効果5. 人工的に制御された近藤効果6. 量子コンピューターをめざして

目次

1. はじめに

1.1. メゾスコピック系とは1.2. 半導体の微細加工1.3. 電気伝導における特徴的長さ1.4. Einstein の関係式

Microscopic （原子・分子; 1 A=0.1 nm）と

Macroscopic （バルク; 1 m）の中間

• 例

- 半導体微細加工: 量子ドット (0D), 量子細線 (1D)- 金属微粒子、grain- carbon nanotube, DNA

• サイズ

nm ~ submicron (0.1 µm)

1.1. メゾスコピック系 (Mesoscopic system) とは

• 輸送特性

バルク:

- 電気伝導度 (conductance) G- 電気伝導率 (conductivity) σ

メゾスコピック系:Ohm’s law が破綻、Gの重要性

• 電子の量子状態の制御

- 電子数: 単電子デバイス

- 電子スピン: 近藤効果（基礎研究）、

量子コンピューター （応用）

LWG σ= :(2D)law sOhm'

LWj

1.2. 半導体の微細加工

(1) 半導体へテロ構造

分子線エピタキシー（原子一層ごとを積み上げる）

超高真空中で1層ずつ結晶成長

人工超格子

2

(2) 2次元電子系（伝導電子の電子をドープ）

伝導電子の感じるポテンシャル

電子は、ドナーの正電荷によって界面付近に閉じ込められる→きれいな2次元電子系 (2DEG)

High mobility （移動度、易動度）

( )/Vscm 10~ :2DEG

/Vscm 10~ :cm10tor semiconducBulk 26

24317

µ

µ-dn =

E=0: random walkE=0: drift velocity vd

Ev ∝d

＊T=0 の残留抵抗（不純物散乱）

ρ

T

5T∝(phonon)

Evj ssd nene µ==

model) (Drude

1d

md me

dtdm vEv

τ−=

me

Ev

me mdm

dτ

µτ=== ,Ev

定常状態

(τm : momentum relaxation time)

電流密度 (per unit length):

men ds τσ

2

=

m: 伝導バンドの底の有効質量m=0.067m0 in GaAs

( ) ( )0,0around 21 222 =+≈ k kkm

E yxh

2次元電子ガス

( ) ( )

Ln

kLnk

kkm

EeL

yy

xx

yxkkykxki

kk yx

yx

yx

ππ

ψ

2,2

2;1 22

2

,,

==

+== + h

( )2

2

2

,electron

22

222

F

kyx

nn

kS

dkdkLNFyx

ππ

π

=

== ∫∑

<k

kx

ky

kF

L

L

フェルミ分布

2electron

21

Fs kS

Nnπ

==∴

スピン

2hπmNs =

包絡関数

＊状態密度は

(3) 微細加工: 2次元電子を横方向に閉じ込める

金属電極に負の電圧をかける→2次元電子が閉じ込められる

電子線リソグラフィーでサブミクロンの金属電極を蒸着

• 他に、エッチングなどによる加工

量子細線でつくったリング構造

量子ドット（人工原子）

２つの量子ドット（人工分子）

縦型量子ドット（樽茶、1996）

3

• 半導体以外

- 単分子デバイスカーボン・ナノチューブ、ＤＮＡなど（正確に同じ構造; “bottom-up”）

1.3. 電気伝導における特徴的長さ（2DEG）

(1) フェルミ波長

(2) 平均自由行程 (mean free path):

sFF nk

ππλ 22==

nm 35,cm105 When 211

=×=

F

-sn

λ

∼l

l

不純物、格子欠陥などとの弾性散乱

momentum relaxation(energy is conserved)

sF

F

mF

nmm

kv

vl

π

τ

2

,hh

==

=

m 30ps, 100 ,cm105 When 211

µ==×=

lτn m

-s

(3) 位相緩和長 (phase relaxation length): Lφ

RLRLBRBLB )()()( θθ ψψψψψ ii ee +=+= rrr

)cos(2)( RLRL2

R2

L2

B θθψψψψψ −++=rA

B

干渉効果

電子の波としての性質

B

A

phonon

( ) ( )( )

2R

2L

LRRL2

R2

LB

BB

01101100

ψψ

ψψψψψψψρψ

δρ

+=

+++=

=∗∗r

rrr -

10 RL ⊗+⊗= ψψψ

phonon phonon

＊磁性不純物： 局在スピンの反転も同様（電子のエネルギーは保存、干渉効果は消失）

フォノンの放出（非弾性散乱）

波としての性質（干渉効果）が消失: 位相緩和

一般に、interference amplitude φττ /te−∝(τφ : phase relaxation time / τt : transit time)

• High mobility (τm∼τφ)

• Low mobility (τm<<τφ)φφ τFvL =

Momentum is randomizedin τφ (diffusion).

( )( )

( )( )

φφ

φ

φ

ττ

τττ

τττ

mF

mFmji

jii

i

mmFii

vXL

v

YX

ivl

222

22

2222

21

,/

/,,1 ,

=≡

=⋅+=

=+=

==≈=

∑∑

∑∑

≠

rrr

rR

rrR L

== mFvDDL ττφφ

2

21

ri

系の大きさ:

メゾスコピック系: L < Lφ

(1) L << l : バリスティック (ballistic) 領域

電気伝導度の量子化

(2) l << L << Lφ: 拡散 (diffusive) 領域

普遍的電気伝導度ゆらぎ

L

4

1.4. Einstein の関係式バルクの電気伝導率の２つの導出方法

(i) Drude model または Boltzmann equation

me

Ev

me mdm

dτ

µτ=== ,Ev

µτσ

τ

sms

msds

nemen

menen

==

==

2

2

,Evj

( )mkvk ddd / h=フェルミ球の電子全体が伝導に寄与（フェルミ球の中心がシフト）

(ii) フェルミ面の電子だけの伝導への寄与を計算

µLµR

L

µ(x)

( ) ( ) Ee sxRL

sssLR

R

eNL

NxNxn −=−

−=∇=∇<<

<µµµµεµ

µε

current tooncontributi no

L

L

eV

= xL

eVe eE電子密度 DOS

電子分布:局所平衡を仮定

電子密度のgradient 拡散 (diffusion)

Ejjj

DNee

nD

sn

sn2==

∇−=

DNe s2=σ （Einstein の関係式）

(i) と (ii) より

( )( ) mF

Fm

s

sm

sms

vmk

mNn

mD

DNemen

τπ

πττ

τσ

22

2

22

21

/2/

===∴

==

h

2. ランダウアーの公式とアハロノフ・ボーム効果

2.1. ランダウアーの公式2.2. 電気伝導度の量子化2.3. アハロノフ・ボーム効果2.4. その他の干渉効果

電子の粒子性が現れる現象

( ) ( )

( )

+

=⋅=

=

∂∂

+∂∂−

222

2

2

2

22

2 ,sin21,

,,,2

kWn

mE

Wyn

We

Lyx

yxEyxyxm

ikx ππψ

ψψ

h

h

( ) ( ) ( )

( )

<<∞<<

=

=

+∆

−

yWyWy

V

EVm

,0 0 0

,2

2

r

rrr ψψh

• 0<y<Wのとき0

y

x

W

Ballistic領域の電気伝導

2.1. ランダウアーの公式

量子細線 (幅がフェルミ波長程度の細線; W~λF )

( ) ( )mkkE

Wyn

We

Lyx nn

ikx

2 ,sin21,

22h+=⋅= επψ

n=1

n=2

n=3 分散関係（サブバンド）

5

( ) ( )

( )

Mhe

dVdIG

Vhe

hed

he

kkEdkL

Lekv

LeI

n

n

n

knn

2

2

RL

2

222

12

22

L

R

==

=−==

∂∂

==

∑

∫

∫∑µ

µµµε

π h( )kE

kv nn ∂

∂=⇐h

1

電気伝導度

µLµR

L

G: 電気伝導度

G = σ W/L （σ :電気伝導率）

µL µR

k

右向き左向き

( )

( )

( )( )

( )RLRLL

RLL

RLR

RLL

MTheIIII

TMheI

MTheI

MheI

µµ

µµ

µµ

µµ

−==−=

−−=

−=

−=

+−+

−

+

+

2

,12

,2

,2

Landauer の公式 （一般に L,W<Lφ の場合）

IR+

µL µR

IL+

IL−

MTheG

22=T: 平均透過確率

∑∑= =

=M

i

M

jijT

heG

1 1

22または

( )Ωk 9.12 resistance quantum :2

econductanc quantum :2

2

2

ehhe

• バルクとの対応

• T=1 でもGは有限

“Contact resistance” を含んでいる:伝導モードの数: 左右の粒子浴では∞個

↔↔↔

=⇔=TDMNG

MTheGDNe ss

σσ 2 2

2

NheG ×=

22２次元電子系の上に３つの金属電極:Source → Gate → Drain（水源） （水門） （排水）

量子ポイントコンタクト (QPC)[B.J. van Wees et al., Phys.Rev. Lett. 60, 848 (1988).]

2.2. 電気伝導度の量子化

電子の「断熱的な」運動

( )mkkEeikx

k 2 ,

22

111,1h

+== εϕψ

x

y

( )mkkEeikx

k 2 ,

22

222,2h

+== εϕψ

n=1

n=2

横方向の運動の量子数nは保存

E1(k)=E2(k) =…=EFk はxとともに連続的に変化

3 modes 2 modes 1 mode

EF

右向き左向き

NheG

22= N: 最も細い部分での伝導モードの数

6

( ) ( ) ( )( ) 02/, with,,2

2

=±=∆− xWxyxEyxm

ψψψh

( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .1/ ,1/ if

,22

where,2

,,3,2,1 2/sin,

22

222

2

<<<<

=+=

=+

=

dxxWdxWdxxdW

xWn

mxVxVk

mE

nnxWxWyeyx

nn

ikx

π

πψ

hh

L

x

y y=W(x)

y=– W(x)

k はxとともに

連続的に変化

cf. 川畑有郷「メゾスコピック系の物理」（培風館、1997）

:Schrodinger 方程式

Hard-wall potential の場合の

断熱伝導の条件

2.3.アハロノフ・ボーム効果

Kobayashi, Aikawa, Katsumoto and Iye, JPSJ 71, 2094 (2002).

A

B

Φ

• 空間的に離れた磁場を電子が感じて位相が変化（アハロノフ・ボーム効果）

• 磁場とともに干渉パターンが周期的に変わる→電気伝導で観測

A

B

Φ

RLRLBRBLB )()()( θθ ψψψψψ ii ee +=+= rrr

)/(2drotd

)cos(2)(

RL

RLRL2

R2

L2

B

ehee Φ

=⋅=⋅=−

−++=

∫∫ πθθ

θθψψψψψ

SArA

r

hh

rArA d ,d(R)

R(L)

L ⋅=⋅= ∫∫ hh

ee θθ

eh

=Φ0＊磁束量子 (flux quantum):

磁束Φ=BSを変えると、周期 h/e で干渉パターンが変化

( )[ ] ( )rrAp Vem

H +−= 2

21

磁場中の Hamiltonian (A: vector potential, B=rot A)

( )

( ) .''exp with Then

.21 where Suppose

0

20000

⋅==

+==

∫r

rrA

rp

dieEH

Vm

HEH

hψψψψ

ψψ

＊ただし、波動関数が１価に決まる領域においてのみ成立

AAS (Altshuler-Aronov-Spivak)効果

AB (Aharonov-Bohm) 効果

R.A.Webb et al.,PRL 54, 2696 (1985).[金のリング]

2/

,22d2

0

0

Φ=∆ΦΦΦ

=⋅=∆ ∫ πθ rAh

e

＊一般に higher harmonics (∆Φ=Φ0/3, Φ0/4,…) が可能

半導体ＡＢリングでの実験（東大物性研）

Kobayashi, Aikawa, Katsumoto and Iye, JPSJ 71, 2094 (2002).

“Nonlocal” では “Local”よりも位相緩和に強い

7

2.4.その他の干渉効果

• 永久電流 (persistent current)微小な孤立したリング、

磁束があるとき電流が回り続ける

• 磁気指紋 (magneto-finger print)系固有の干渉パターン

ランダム、再現性あり

B

C.P.Umbach et al.,PRB 30, 4048 (1984).

• 普遍的電気伝導度ゆらぎ

(Universal Conductance Fluctuation, UCF)

heG

22 ~∆

[参考文献][1] 勝本信吾「メゾスコピック系」(朝倉書店、2003).[2] S. Datta, “ElectronicTransport in Mesoscopic

Systems” (Cambridge University Press, 1995).

補足マクロ系では干渉効果は見えないか？

• 常にAAS-type の干渉効果は残る

• 出発点で正の干渉 → Anderson 局在

• 磁場によって正の干渉が弱まり、局在性が小さくなる → 負の磁気抵抗

電子の粒子性が現れる現象

3.1. 微小トンネル接合3.2. クーロン島のcapacitance model3.3. 半導体量子ドット: 人工原子3.4. 量子ドットの伝導特性

3. 量子ドットにおけるクーロンブロッケード

微小なゼロ次元系

• 金属の「クーロン島」: 大きな帯電効果

• 半導体の「量子ドット」: 大きな帯電効果＋

エネルギー準位の離散性

横型量子ドット、縦型量子ドット

3.1. 微小トンネル接合

( )

( ) eV102/fF 1F10/

10/ A,10 ,nm100

42C

150

2

−

−

≈=

=≈=

≈==

CeEdSC

dS

ε

εε

Al/Al2O3

kBT<<EC のとき1個の電子のトンネルが抑制：

クーロンブロッケード

２つのトンネル接合の組み合わせ

8

単一トンネル接合の伝導特性

eQCVQ E ±→= ∆

連続変数 １電子のトンネル

( )

( )

<∆>

>∆<

±=

−

±=∆

0 2

0 2

2121 2

2

ECe

V

ECe

V

VeCEV

CeVCE c

tunnel is blocked

tunnel is allowed

V

Q −Q

C

R

Ce

V2

< でクーロンブロッケード（定電圧回路の場合）

＊定電流電圧ではSET (single electron tunneling) 振動

＊通常の回路では観測が困難トンネル接合の外部回路で大きな電気抵抗Rが必要

Q

c

RehR

EhRCt

=>∴

>≈∆

22

回路でdischargeする時間

3.2. クーロン島のcapacitance model

(I) Single electron box （単電子メモリー）

+=

−=−

GG

JJ

G

GJ

qC

qC

V

qqeN11

−qJ

VG

CGCJ

qJ −qG qG クーロン中の電子数 N

帯電エネルギー

( ) 22

22ch

21

21

21

21

GGGG

GGGG

JJ

VCVCeNC

VqqC

qC

E

−−=

−+= 電池のした仕事

( )ecapacitanc totalGJ CCC +=

LL

L

L

1 23

2

0 22

=<<

=<<−

NeQe

NeQe

G

G

QG= CGVG : gate charge

有限温度での電子数

1 and ,4.0 ,2.0 ,1.0 ,02.0 ,0

,1

B

/)( Bch

=

= ∑∞

−∞=

−

c

N

TkNE

ETk

NeZ

N

(II) Single electron transistor

( ) ( )

GGRRLLG

GRL

GGRRLLG

VCVCVCQCCCC

VCVCVCQNeC

E

++=++=

++−−= 2222ch 2

121

VL

CG

N

VR

VG

CL CR

VG

帯電エネルギー

independent of N

Source Drain

Gate

補足

VL

CG

N

VR

VG

CL CR

qＬ −qL −qR qR

−qGqG

−=−=−

−−−=−

G

GG

R

RR

L

LL

GRL

CqV

CqV

CqV

qqqeN

( ) ( )

( ) ( )2222

222ch

21

21

21

21

21

GGRRLLG

GGRRLLGG

RR

LL

VCVCVCQNeC

VqVqVqqC

qC

qC

NE

++−−=

++−++=

9

電気化学ポテンシャル (electro-chemical potential)*

( ) ( )Ce

eQNNENE G

N

2

chch 211

−−=−−=µ

e/CG

N N+1

クーロン振動(Coulomb oscillation)

＊静電ポテンシャルを含めた化学ポテンシャル

有限バイアスでのクーロンブロッケード領域

電子数がNの条件:

( )2/1

1

VVVeVeV

LR

NRN

NLN

=−=

<−<<−<

+

+

µµµµ

クーロンダイヤモンド(Coulomb diamond)

補足

<−<<−<

+

+

)2( )1(

1

1

NRN

NLN

eVeV

µµµµ

+<−<

−

+<−<

−

21

21

21

21

NeCVQNe

NeCVQNe

RG

LG

(1), (2) それぞれから

2/VVV LR =−= を代入してグラフを描く • （帯電エネルギー） > kBT, Γ• （離散準位の間隔） > kBT , Γ

3.3. 半導体量子ドット: 人工原子

半導体の微細加工: 小さなサイズ

フェルミ波長 λF~L → エネルギー準位の離散性大

量子ドット中の「離散準位」

• 電子間相互作用がないとき: 量子準位そのもの

• 電子間相互作用があるとき：

クーロン斥力が一定値 U のモデル

( )

( ) . 1 :electron th of potential micalElectroche

2

1

:electrons ofEnergy

1

1

UNEEN

UNNE

N

NNNN

N

jjN

−+=−=

−+=

−

=∑

εµ

ε( )

UU

U

UNNN

3 2

: 1

24

23

12

11

+=+=+=

=−+=

εµεµεµεµεµ

U ∆ε+U U

スピン縮退を仮定したとき

1つの量子準位を通って伝導:クーロン振動のピークの高さはまちまち: その準位のトンネル結合の大きさで決定

10

「量子準位」の線幅 (level broadening)リードとのトンネル結合による有限寿命

( ) ( )( )22

222

;,

21

2,21

RL

RLnknTkRL

VV

VVdHk

+==Γ

+=−= ∑=

πντ

νπεεδαπτ α

h

hh

（ν: リードの状態密度）

＊有限温度でのピークの幅: ~max(Γ, kBT) （後出）

人工原子

• 縦型量子ドット: Tarucha et al., PRL 77, 3613 (1996).• 薄い円盤型、N=0, 1, 2, 3, …• 離散準位間隔と電子間相互作用の大きさが同程度

２次元調和ポテンシャル

• 量子準位の「殻構造」

• 縮退準位に電子がつまるときの「フント則」:交換相互作用によって高スピン状態が出現

• 人工原子

「周期表」

Kouwenhoven and Marcus,Physics World (June, 1998).

量子ドットに垂直に磁場をかける

• Darwin-Fock diagram （量子準位の磁場依存性）

• B=0での縮退準位が分裂

• N=4: S=1 から S=0 への転移

• Zeeman 効果は無視できる（g因子小: g*~0.4 in GaAs）

数値的に電子間相互作用をとりいれて求めた基底状態

厳密対角化による数値計算

( )( )jiji

N

iiii

emeAm

Hrr

rrp−

+

++= ∑∑

<=

142

121 2

1

220

2dot πε

ω

H0

• H0の固有状態 (Darwin-Fock diagram),下から15個の固有状態を “1電子状態” の基底

• N=4, Sz=0 の “多体状態 (Slater行列式)”の数

( ) 110252215 =C

• 11025×11025 の行列を対角化

（全角運動量の保存を使うことで

次元を小さくすることが可能）

電気化学ポテンシャル: µN=EN –EN-1

数値計算の結果と実験結果

基底状態の転移→クーロン振動のピーク位置のキンク

11

Kouwenhoven et al., Science 278, 1788 (1997).

[参考] 高磁場領域• 準位間隔小、波動関数 shrink→電子間相互作用が重要

• 電子相関による基底状態の転移

M.Eto, JJAP 40, 1929 (2001);固体物理 34, 457 (1999).

Maximum Density Droplet

トンネルハミルトニアン

3.4. 量子ドットの電気伝導特性

量子ドット中の1つの準位: 不純物 Anderson モデル

以下 U=0 の場合

( ε: energy of incident electron)

Level broadening due to finite life-time:

• 電気伝導度 G

• kBT << Γ

＝

( ) ( ) ( ) 220F

2

2

2

220F

2 4242Γ+−

ΓΓ+ΓΓΓ

=Γ+−

ΓΓ=

εεεε RL

RLRL

he

heG

非対称 parameter

共鳴トンネル２重障壁が対称のとき “T=1” に相当

12

• kBT >>Γ

( ) ( )[ ]TkTkheG RL

B0F2

B

2

2/cosh1

212

εε −ΓΓΓ

=

( )( )022

0

44 εεδπεε

−Γ

ΓΓ→

Γ+−ΓΓ RLRL

• 幅: ~2kBT（exponential で減少）

• 高さ: kBT に反比例

＊ΗΤの最低次の近似＋マスター方程式からも導出可能

[参考文献][3] “Mesoscopic Electron Transport,” NATO ASI

Series E 345, eds. L.Y.Sohn, L.P.Kouwenhovenand G.Schoen (Kluwer, 1997).

[4] 江藤幹雄、物性若手夏の学校（2005）テキスト

[物性研究 85, 853 (2006)]http://www.phys.keio.ac.jp/faculty/eto/eto.htmlからdownload可能

補足• グリーン関数の計算（文献[4]参照）

(Dyson equation)

状態密度の計算

量子ドット内の局所状態密度幅 Γ のローレンツ型

• 多体のグリーン関数 (retarded Green function)

(1) 運動方程式

(2) Fourier 変換

収束因子:εω →h グリーン演算子を用いた定義に対応

＊Hが２体演算子（電子間相互作用）を含むとき、右辺に２体Green関数が現れる → decoupling 近似 (Hartree-Fock に相当)

*

近藤効果とは何か？

4. 量子ドットの示す近藤効果

4.1. クーロンブロッケード領域での伝導特性Cotunnelingと近藤効果

4.2. 近藤効果の計算4.3. スケーリング理論4.4. その他の近藤効果の計算方法

13

4.1. クーロンブロッケード領域での伝導特性:Cotunnelingと近藤効果

• 電流ピークの間、電子数 Nが確定したクーロンブロッケード領域

• “Cotunneling current” が重要• 近藤効果は “cotunneling current” を増大させる

- Nが奇数: S=1/2 (Kondo),- Nが偶数: S=0 (no Kondo)

Cotunneling― トンネル過程の高次 ―

• クーロンブロッケード領域

熱揺らぎと量子揺らぎが十分小さい

• 2nd order tunnel process through virtual state

Cotunneling: 2個以上の電子が伝導過程に寄与

• S=1/2 in the dot: Spin-flip by cotunneling

Without freedom of charge, with freedom of spin

量子ドット中の1準位

( )[ ]+

++∑ ++=

σ

σσσσ

k

kkRRkLL

Vc

dcVcVH

h.c.,,T

２つのリード→１つのモード

ユニタリ変換:→無視

• HT の2次 (Schrieffer-Wolff 変換)

• “Kondo (sd) Hamiltonian”: 量子ドット中の局在スピン S と伝導電子のスピン (s)k’,k 間の反強磁性結合

14

反強磁性結合の基底状態

• ２つのスピン (S=1/2):

• １つのスピンとフェルミの海:

( )21212

1Grd ↑↓−↓↑=

- 伝導電子は局在スピンとコヒーレントに結合- 局在スピンは完全に遮蔽

Spin-singlet state

Kondo singlet state(Many-body state)

• 近藤温度 TK: 近藤1重項状態の結合エネルギー

• T>>TK: 量子ドット中 spin S=1/2 が局在

• T<<TK: 近藤1重項状態を形成、この1重項状態を

通った共鳴トンネル

heG

22=

透過率 T=1 （ユニタリ極限）

量子ドットを通る電気伝導度

強結合領域 弱結合領域

(近藤1重項の形成; (摂動計算;フェルミ流体) logarithmic T 依存性)

量子ドットの場合、近藤共鳴によって電気伝導度が増大: “Conductance minimum”金属中の磁性不純物の場合、伝導電子の散乱が共鳴的に増大: “Resistivity minimum”

[実験] 近藤効果の観測

van der Wiel et al., Science 289, 2105 (2000).

One of the arms ispinched off.

• 有限バイアス V :微分伝導度のゼロ・バイアスのピーク

近藤共鳴ピークの “直接の” 観測

ただし、非平衡伝導についてはまだ完全には解明されていない（多体のコヒーレンス vs 位相緩和）

4.2. 近藤効果の計算

ボルン近似 （フェルミの海があるとき）

(I) 弱結合領域 (T>>TK)量子ドット中の S=1/2 による散乱問題

V についての摂動

15

2次摂動 (2nd Born近似) [1]

Two processes without change of dot spin.

(1) An electron-holepair is created.

(2) The hole disappearswith incident electron.

• フェルミ分布関数はキャンセルし合って残らない

• 量子ドット中の状態が変わらないとき「異常」は生じない （→偶数電子でS=0のとき近藤効果は起きない）

2次摂動 (2nd Born近似) [2]

• A process with change of dot stateAn electron-hole pair is created with spin-flip.

• No counterpart with propagating electron!

低エネルギーまたは低温で対数発散 (J. Kondo, 1964)

近藤一重項 （多体の基底状態） の形成の前駆現象

すべての次数での最強発散項の足し合わせ(Abrikosov, 1965)

(|ε|<<kBT) diverges at Kondo temperature

近藤温度は摂動計算が破綻するエネルギースケール

( ) [ ]2K

2

2

2

22

222

)/ln(1

16342

/ln212/22

TThe

DkTJJ

VV

VVeG

RL

RL

LR

π

ννπ

Γ+ΓΓΓ

=

+

+= L

h

( )( )[ ]2

K2

2

2

/142 TTheG

RL

RL π−Γ+ΓΓΓ

=

( ))/(42

K2

2

TTFheG

RL

RL

Γ+ΓΓΓ

=

(II) 強結合領域 (T<<TK) の場合 (フェルミ流体論)

あるuniversalな関数 F を用いて

16

• 1つの relevant なエネルギースケール TK （近藤温度）が存在し、物理量は max(T, eVbias, EZ)/TK で決定する

• TK は J, Dなどを通じてミクロな詳細に依存

近藤効果の特性

• バンド幅 Dへの対数依存性: 高エネルギー励起

の寄与を示唆

近藤効果のスケーリング理論

4.3. 近藤効果のスケーリング理論―“Poor man’s” scaling (P.W.Anderson) ―

対数発散項, ln |ε|/D, ln kBT/D:低エネルギー現象に対しても高エネルギー励起の

重要性を示唆

cf. 通常の摂動計算, 1/D, 1/D2

(1) エネルギースケールを

D から D－|δD| へ変化

(2) J をrenormalize、低エネルギー

の現象が不変になるように

2次摂動の範囲で考える

対数項を与える高エネルギー状態の数が減少、

が変わらないように J をrenormalize Scaling equation

スケール不変量

• スケーリングは１つの parameter TK で決定異なる(D,ν,J) でも、同じ TK ならば低エネルギーの物理は全く同じ

• Renormalization flow goes to a fixed point

スケーリング理論を使って

(1) 近藤温度の評価

- Jが発散（摂動が破綻）するエネルギースケール Dが TK を与える

- 2次摂動の範囲の計算で TK の指数部分は正確に評価される

(2) 有限温度 (Τ>>TK) での物理量

- スケーリングを問題となるエネルギースケールD=kBT までおこなう

( )( )[ ] 1

KB

KB

/ln2)(

2/1exp−=

=−

TkDDJ

TkJD

ν

ν

17

- J についての1次の摂動計算の結果: J → J(kBT) の

置き換えで leading order logarithmic terms の無限和の計算結果を得る

＊「厳密な」スケーリング:Wilsonの数値繰り込み群の方法

( )[ ]22222

2 2/222 JJVV

VVeG LR += νπ

h

( )[ ] 1KB /ln2)( −=→ TTTkJJ ν

Abrikosovの結果が簡単に得られる

4.4. 近藤効果の計算方法不純物Andersonモデル、または Kondo (sd)Hamiltonian に対して

• フェルミ流体論 (U についての摂動計算)• Slave boson法の平均場近似

→ 強局在領域で有効• 数値繰り込み群の方法 (NRG; Numerical

renormalization group method)→ 弱局在から強局在領域まで、

最も信頼性が高い• Non-Crossing Approximation (NCA)• グリーン関数法の運動方程式+ decoupling近似、

自己エネルギーの extrapolation

6. 量子コンピューターをめざして

6.1. 量子計算の原理6.2. 電子スピンを利用した量子計算6.3. 最近の研究から6.4. エンタングルメントに「絡んだ」現象

6.1. 量子計算の原理

• 基本ユニット: 量子ビット (qubit)

- 量子ドット中の電子スピン (spin qubit)

( )1

2sin0

2cos

1 10 21

2010

ϕθθψ

ie

CCCC

+=

=++=

↓+↑=ψ 10 CC

- ２重量子ドット中の１電子 (charge qubit)RL 10 CC +=ψ

<≤≤≤

πϕπθ20

,0

固体素子

[merit] 集積化の可能性

[demerit] 短い位相緩和 (dephasing, decoherence) 時間

他の方法と比べて

ー溶液中の分子のNMR (15=3×5の計算),光の分極、trapped ions, cavity QED, etc.ー

- 超伝導量子ドット (charge qubit, flux qubit)Y.Nakamura et al., Nature 398, 786 (1999).

- 固体中の核スピン

[Si:P] B. E. Kane, Nature 393, 133 (1998).[silicon] T. D. Ladd et al., PRL 89, 17901 (2002).

• 量子コンピューターの条件 (D. P. DiVincenzo)

cf. 川畑史郎、固体物理 38, 733 (2003).

18

C-NOT ゲート

標的ビット

制御ビット　

ba

を反転　のとき

は不変、のとき

0

0

ba

ba

=

=

|a> |b> |a’> |b’>

0 0 0 00 1 0 11 0 1 11 1 1 0

( )

( ) ( )01102

11102

1

1 ,102

1

+⇒⊗+

=+= の場合、ba

エンタングルメントの生成

Entanglement （からみ合い、もつれあい）

２粒子以上の量子相関

)0( 21 >⋅= JJH SS

( )21212

10 ↑↓−↓↑==S

(1) 2個の電子スピン、Heisenberg モデル

スピン１重項状態:

(2) 2個の光子（x偏光とy偏光の絡み合い）

光源x x

y y

[ ]121212

,,2

1 xyyx −=Ψ

Photon 1 Photon 2

EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) パラドクス

＊「量子テレポーテーション」への応用

6.2. 電子スピンを利用した量子計算

Loss and DiVincenzo, PRA 57, 120 (1998).

↓+↑=ψ 10 CCqubit:

(i) 1 qubit の操作振動磁場によるスピンの回転（ESR）*

(ii) 2 qubits の演算CNOTゲート: エンタングルメントの生成

＊磁場勾配を作り、特定のqubitのみを共鳴させる

6.2.1. 1-qubit の操作: ESR

Sµ Bµg−=

B 古典的には歳差運動 (precession)NMR: radio frequencyESR: microwave frequency

tSBgSBgHtBB

xz

xz

ωµµω

cos2cos2

1B0B

10

+=⋅−=+=Bµ

eeB0BBgµ

ω

++

−

=−

0110

21001

2 1B0B

titi eeBgBgHωω

µµ

In spinor space,

− 00

21B

ti

ti

eeBg

ω

ωµ回転波近似

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,10 , , 21

2

1

/

2

1

====∂∂

=

∑=

−

−

CCietCttHtt

i

EeeE

H

i

tiEi

ti

ti

i hh ψψψ

γγ

ω

ω

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ./4/ ,

,sin/2

/2

2221

1221

222

21

22

2

hh

h

h

γωωω

γωωγ

+−=Ω−

=

Ω+−

=

EE

ttC

Rabi 振動

γπ /h

ω=ω21のとき

( )( )zzyyxx nnnH

Bσσσ

θϕθϕθ++∆=⋅−=

==BµnnB cos,sinsin,cossin ,0

一般の方向の静磁場

↓+↑=⇔ +ϕθθψ ie

2sin

2cosn （固有値+∆の固有関数）

xy

z↑

↓( )↓+↑2

1

( )↓−↑2

1

( )↓+↑ i2

1

( )↓−↑ i2

1Bloch 球

19

<<≤≤

= ,0 0

0 )(

0

00

tttJ

tJτ

τ

6.2.2. 2-qubit の操作

( ) ( ) ( )U

tVtJtJH2

212 , ≈⋅= SS

量子ドット間のトンネル結合: ゲート電圧で操作

( ) ( ) ( )

( ) ( ) hh / where,/''exp0,

00,

00021 τθ

ψψ

θ JedttHitU

tUt

it==

−=

=

⋅−∫ SS

SWAP gatewhen πθ =

↓↓↓↑↑↓↑↑

−−

=

10000)2/cos()2/sin(00)2/sin()2/cos(00001

2/2/

2/2/

θθθθ

θθ

θθ

ii

ii

eieiee

U

ドット内のクーロン反発

C-NOT gate:1-qubit の unitary 変換 + ( )2// gate SWAP 00 πτ =hJ

cf. 川畑史郎、固体物理 38, 733 (2003).

6.2.1., 6.2.2. より原理的にはすべての

量子演算が可能

1個の電子スピンの直接の観測は困難:スピン → 電荷に変換、電気伝導で観測

6.3. 最近の研究より

(1) 1-charge qubit (2重量子ドット)T. Hayashi et al., PRL 91, 226804 (2003).

RL 10 CC +=ψ

( )( )RLH

LRRLtH

abababab ±==

+−=

21 :

,

,,,, ψψεψ

( )

( )

( ) ttR

CCL

teCeCt

ab

tiaa

tibb

ωψ

ψ

ωψψψ ωω

22sin Then

.2

1 ,0 Suppose

/,

=

===

=+= − h

coherent 振動

電圧制御パルス

t

tp

1-charge qubit の制御、観測

超伝導量子ドット: 同様のパルス実験で、coherent 振動、

Rabi 振動、2-qubit の結合の実験

Nakamuraら、 Nature 398, 786 (1999); 421, 823 (2003).

(2) 1電子スピンの“Single-shot read-out”J.M.Elzerman et al., Nature 430, 431 (2004).

量子ドット中の電子 → QPC で感度良く検出強磁場下、Zeeman分裂

(3) “Coherent Manipulation of Coupled Electron Spins”J.R.Petta et al., Science 309, 2180 (2005).

電圧制御パルスの実験

20

(4) 1電子スピンの観測: magneto-focusingR.M.Potok et al., PRL 89, 266602 (2002).