ランダム行列ランダム行列とその周辺とその周辺- - 格子ゲージ理論・局在・可積分系格子ゲージ理論・局在・可積分系 - -

Random Matrices & its applicationsRandom Matrices & its applications- LGT- LGT・・LocalizationLocalization・・Integrable system -Integrable system -

2004.10.18-19 YITP 京都

島根大学 総合理工 西垣 真祐Shimane Univ. S.M. Nishigaki

Why the title?

行列値の確率変数

LGT

€

H =

H11 L L

M O M

M L HNN

dµ(H ) = e−tr H 2

dH

€

Ux, ˆ µ =

U11 L L

M O M

M L UNcNc

x , ˆ µ

dµ(U) = eβ UUU +U +∑ det / D (U) + m( )NF dUx , ˆ µ x , ˆ µ

∏

RMT

LGT

RMT

dynamics

kinema-tics

Kinematics = Global Symmetry Breaking

RMT Poisson

randomness

extended multifractal localized

MIT

Disordered System

spectrum

RMT Coulomb gas

Integrable Many-body System

replica trick

CSM

Part I: cond-mat 準位統計 と 量子カオス ランダム行列理論, 普遍性, 分類　Akemann-Damgaard-Magnea-SMN 97/98

レプリカ・超対称σ模型 Anderson局在 臨界準位統計 と 変形ランダム行列　SMN 98/99, Garcia-SMN-Verbaarschot 02

Part II: hep-th & lat カイラル対称性の破れ と Dirac準位統計 カイラル摂動理論 カイラルランダム行列　Damgaard-SMN 98-01, Nagao-SMN 00/01

数値実験によるDirac準位統計の検証

Part III: hep-ph 有限密度QCD と 平均場としてのランダム行列 相転移への有効理論的アプローチ　Dunne-SMN 03

Part IV: solv-int Calogero系の有効理論 と レプリカ法　SMN-Gandardt-Kamenev 02

準位統計準位統計

準位統計準位統計

重原子核の高励起準位 (中性子線回折)

厳密値は計算不能厳密値は計算不能　　　　　　　　　　　　　　 →　統計的に扱う→　統計的に扱う

1950s

準位間隔s

random rigid

準位配列の例準位配列の例ランダム行列

普遍性普遍性““充分充分””複雑な系では複雑な系では準位統計分布は系の詳細に依存しない準位統計分布は系の詳細に依存しない

重原子核の高励起準位 強磁場下でH原子の準位 水晶塊の弾性モード準位

s

準位間隔の分布準位間隔の分布

€

PWigner (s) = π2 s e

-π4 s2

量子カオス量子カオス

古典軌道 量子力学：¦波動関数¦2

量子カオス量子カオス

準位統計

量子カオス量子カオス

可積分 := n自由度 → n個の 1自由度　

準位間隔の分布準位間隔の分布

⇨

€

PPoisson (s) = e-s

縦/横＝無理数

V(x,y) = A x4 + B y4 + C x2 y2

古典：位相空間中の ”カオスの体積” 増加⇒　量子： Poisson-Poisson-Wigner 遷移遷移

量子カオス量子カオス

CriteriaCriteria

Berry-Tabor 77

定理「自由度2以上の力学系が古典的に完全可積分　　　　　　　　⇒　量子系の準位はPoisson」

Bohigas-Gianonni-Schmidt 86

定理 (?)「力学系が古典的にergodic　　　　　　　　⇒　量子系の準位はWigner」

半古典的証明 Müller-Heusler-Braun-Haake-Altland 04

ζ(1/2 +ζ(1/2 + i xi x)) の零点の分布の零点の分布

準位間隔の分布準位間隔の分布 22準位相関準位相関

1020 th ~ (1020 + 108 )-th zeroes

RMT(GUE) と完全に一致　⇒　背後に非可積分力学系があるはず

€

P(s)

普遍性の起源

非局在状態非局在状態のオーバーラップのオーバーラップ ⇒⇒ 縮退を避ける縮退を避ける

準位反撥準位反撥Prob(E,E’) ~|E -E’|β

　β=1,2,4 Hの対称性による

この性質を抽象した単純な模型から

普遍的統計量を導く 　　　　　　 ランダム行列模型ランダム行列模型

磁場中のH原子の準位

Hamiltonianの対称性

H : C hermitian

TT反転反転

T = K C

c.c. unitary

T 2 = CC* =±1 ⇒ symm. C = UTUantisymm. C = UTJU

TT対称性対称性

[H, T] = 0H’ : R symmH’ : H selfdual

[H, T]≠0

L・S

S・B

基底変換

Hamiltonianの対称性

反エルミート対称性は反エルミート対称性はTT反転に限らない反転に限らない

EXERCISE 1SU(2) Dirac演算子

ランダム行列理論ランダム行列理論

正規分布する独立乱数の配列正規分布する独立乱数の配列

€

H =

H11 H12 H13 H14 H15 H16 L

H21 H22 H23 H24 H25 H26 L

H 31 H 32 H 33 H 34 H 35 H 36 L

H 41 H 42 H 43 H 44 H 45 H 46 L

H51 H52 H53 H54 H55 H56 L

H61 H62 H63 H64 H65 H66 L

M M M M M M O

€

H =

# # L

# ##

# # # ## #

# #M # O

→

次元による次元による, sparse, sparseな行列な行列

HamiltonianHamiltonianの集団の集団

ランダム行列理論ランダム行列理論

H = H+ = (Hij) ∈∈ R, C, HR, C, H

dµ(H) = exp(-tr H2) ΠdβHij

•不変性　 dµ(H) = dµ(UHU+)　基底の取替えで不変　⇒　固有ベクトルは非局在

•固有値分布　　　　　dµ({E}) = Πi dEi exp(-tr Ei

2) Πi>j|Ei - Ej|β

β = 1, 2, 4行列要素当りの自由度

ランダム行列理論ランダム行列理論

準位間隔分布　　

EXERCISE 2

P(s) for GOE, N=2 (2x2実対称行列)

準位間隔分布

N=∞ Mehta/Jimbo-MiwaN=2 Wigner surmise

準位密度

EXERCISE 2

ρ(λ) for N=∞

準位密度

N=∞ Wigner半円則N=11, 21, 51

( N=50 ) x 100回

2準位相関

EXERCISE 3

R2(λ1,λ2) for GOE, N=2

2準位相関N=2

2準位相関

bulkbulkではエネルギーの差ではエネルギーの差 ¦ ¦λλ11−−λλ22¦ ¦ のみの関数のみの関数

N=2

Dirac 準位密度

EXERCISE 4

ρ(λ) for NC=1, NF=0, 1-plaquette

Dirac 準位密度

€

/ D =

1 e iθ

1 11 1e− iθ 1

€

Spec( / D ) = ±2cosθ4 , ± 2sinθ4{ }

€

ρ(λ) =dθ eβ cosθ

0

2π∫ δ λ − 2cosθ4( ) +L{ }

dθ eβ cosθ0

2π∫

=1

I0(β)eβ cos(4 arccosλ2 )

12 sin(arccos λ

2)+L

Dirac 準位密度

NC=1, NF=0, 1-plaquette

ランダム行列から 各種の準位統計関数が計算可能

･ Loop方程式 (Schwinger-Dyson方程式)

･ 直交多項式法

･ SUSY (graded) 群法

･ Replica法

･ Keldysh法　

RMT以外にも適用可能

22準位相関準位相関

β=0 相関なしβ=1β=2β=4

~ sβ ~ exp(-cβ s2)

exp(-s)

ランダム行列から 各種の準位統計関数が計算可能

準位間隔の分布準位間隔の分布

幅幅s s がが kk個の準位を個の準位を含む確率　含む確率　Eβ (k ; s)

GUEGUE

GOEGOE

PoissonPoisson

非線形σ模型非線形σ模型

ReplicaReplica・・SUSYSUSY群σ模型群σ模型

€

ρ(λ) = tr δ(λ −H) =1πℑm G(λ−) , G(z) ≡ tr 1

z −H

tr 1z −H

=1nddz

det(z −H)nn→0

=∂∂z

det(z −H)det(z'−H) z'→z

SUSY群法

€

det(z −H)n = dnψ dnψ ∫ exp iψ (z −H)ψ{ }

Replica法

€

det(z −H)det(z'−H)

= dψ dψ dφ*dφ ∫ exp iψ (z −H)ψ −φ*(z'−H)φ{ }

disorder av.

Efetov 82

Wegner 79

ReplicaReplica・・SUSYSUSY群σ模型群σ模型

€

Ψif( ) =

ψ i1

M

ψ in

or

ψ i

φi

fi

ij

€

Z(ζ ) = dΨ dΨ ∫ exp iΨ (ζ −H)Ψ{ } の計算に帰着

€

H = H0 +V , V = Vij( )fixed + random

i

fj

f ij

€

Ψ ifVijΨj

f

‘flavor’ f=1,..,n

‘color’ i=1,…,N 格子点, spin, gauge,…

ReplicaReplica・・SUSYSUSY群σ模型群σ模型

fj

fi

gj

gi€

Ψ

€

Ψ €

Ψ

€

Ψ

fj

fi

gj

gi€

Ψ

€

Ψ €

Ψ

€

Ψ

fj

fi

gj

gi

€

Ψ

€

Ψ

€

Ψ

€

Ψ€

Vij

€

Qfg

flavored auxil. field

€

dQfg e−g2tr Q 2

∫

€

= dVij e−g −2tr V 2

∫Gauss averageover disorder

ReplicaReplica・・SUSYSUSY群σ模型群σ模型

disorder平均　⇒　熱力学極限 がとれる形にした€

Z(z) = dV ∫ e−

12g 2 tr V 2

det(z −H0 −V )n = dQ ∫ e−g 2

2tr Q 2

det(z −H0 −Q)N

€

N→∞

€

2g2

NQ0 −

1H0 +Q0

= 0

€

Q = U Q0

鞍点(massive)

揺らぎ(Goldstone)

もとの乱雑系に固有な対称性の破れに伴う非線形σ模型

€

Z(z) ≈ dU ∫ e−Sz [U ]

鞍点法

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −Hij*Hij + ψ R

f ,iψ Lf ,i( )

mf iH ji*

iHij m f

ψL

f ,i

ψRf ,i

f∑

= dψ dψ∫ exp −(ψ Rf ,iψL

g,i )(ψ Lg, jψR

f , j )+ mf (ψ Rf ,iψL

f ,i )+ (ψ Lf ,iψR

f ,i )( )f∑

= dQdψ dψ∫ exp −Qfg* Qfg + (iQfg +M fg )(ψ L

f ,iψRg,i )+ (iQfg

* +M fg )(ψ Rf ,iψL

f ,i ){ } = dQ∫ e-tr Q+Q detN (Q − iM )detN (Q+ − iM )

example: RMT of type AIII (chGUE)

€

Q∈ GL(n,C)

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −Hij*Hij + ψ R

f ,iψ Lf ,i( )

mf iH ji*

iHij m f

ψL

f ,i

ψRf ,i

f∑

= dψ dψ∫ exp −(ψ Rf ,iψL

g,i )(ψ Lg, jψR

f , j )+ mf (ψ Rf ,iψL

f ,i )+ (ψ Lf ,iψR

f ,i )( )f∑

= dQdψ dψ∫ exp −Qfg* Qfg + (iQfg +M fg )(ψ L

f ,iψRg,i )+ (iQfg

* +M fg )(ψ Rf ,iψL

f ,i ){ } = dQ∫ e-tr Q+Q detN (Q − iM )detN (Q+ − iM )

n2 個の自由度: heavy →∫out by saddt pt eq.

€

Z = dU∫ eℜe tr UMresc

€

Q∈ GL(n,C)

€

U ∈ U(n)

example: RMT of type AIII (chGUE)

Replica法

Sylvester id.

€

(x∂x )2 logZn (x) = 2n x 2 Zn+1(x)Zn−1(x)

Zn (x)2

€

˜ A ij ˜ A kl − ˜ A il ˜ A kj = A ˜ ˜ A ij;kl

Toda Lattice H

€

(x∂x x)1n∂x logZn (x)

n→0= 2x 2Z1(x)Z−1(x)

€

G(x)

€

I0(x)K0(x)

€

ρ(x) =1πℑm G(x−) =

x2J0(x)2 + J1(x)2( )

Splittorf-Verbaarschot 04

€

Zn (x) = dU ex ℜe tr U

U(n )∫ = x−n(n−1) det (x∂x )

i+ j I0(x)[ ]i, j= 0

n−1

β=2 β=1

β=4

SUSY群法

parameterize

Damgaard et al 99

€

Q =es

e iφ

exp

ξ

ξ

graded群上のNLσM

€

ρ(x) =1πℑm ∂xZ(x,x') x '→x

=1

2πℜe dsdφ dξdξ ∫ cosh s 1- 1

2ξ ξ( )

× exp ix cosh s 1- 12ξ ξ( ) + cosφ 1+ 1

2ξ ξ( ){ }[ ]

=x2J0(x)2 + J1(x)2( )

€

Z(x,x ') = dQ e i Str [diag(x,x' )Q ]

GL(1|1)∫

ランダム行列の普遍性ランダム行列の普遍性

N有限　→　P (s), ρ(λ), …はランダム系・行列測度の詳細に依存

N=∞　→　微視的相関関数P (s), ρ(λ), …は普遍的

exp(-tr H2) exp(-tr V(H))

exp(-tr (H+A)2)…

AndersonGauss Anderson

P∞(s)異なる

€

H0, V

ランダム行列の普遍性ランダム行列の普遍性

N有限　→　P (s), ρ(λ), …はランダム系・行列測度の詳細に依存

N=∞　→　微視的相関関数P (s), ρ(λ), …は普遍的

exp(-tr H2) exp(-tr V(H))

exp(-tr (H+A)2)…

AndersonGauss Anderson

P∞(s)同一の同一の自発的自発的

対称性破れ対称性破れ

ランダム行列の分類ランダム行列の分類

€

G /H →GRiemann対称空間 by Cartan embedding :

€

gaU(g)

ランダム行列の分類

Riemann対称空間

ランダム行列の分類

€

U =V diag(eiθ1 ,...,eiθN ) V + とパラメトライズ

€

dµ(U ) = dU ∝ dg

€

対称空間の Cartan分類 → ランダム行列模型の分類

Zirnbauer 96

RMT := Haar測度に従って確率的に分布する行列集団

U(1) ⇦ dual ⇨ C = U(2)/U(1)xU(1)

Gauge U(N) ⇦ dual ⇨ U(2n)/U(n)xU(n) Meson Witten 79

Color-Flavor 変換

1-Link Lattice Gauge Theory with N colors & n flavors

N=n=1

any N , n

example: AIII

€

G /H =U(2N ) /U(N )×U(N )

€

n → 0

“Dirac op”

“chiral L”

“LGT”CFT€

Z(θ)

“Dirac spec.”

Cartan’s classificationof Lie groups, cosets

Color-Flavor Dual

pair of maximallycommutingsubalgebras

CFT

Cartan’s classificationof Lie groups, cosets

Color-Flavor Dual

OO/USpSp/USp/USpO/UOU/OSp/SpxSpU/SpO/OxOUU/UxUO/OxOU/SpSp/SpxSpU/OU/UxUUDual RSSRSS

Zirnbauer 96

pair of maximallycommutingsubalgebras

CFT

massive modesは元々ない

Hamiltonianの対称性

大域的対称性の破れのパターン⇦ dual ⇨

ランダム行列理論に対しては厳密に証明できた

Hamiltonianの対称性

大域的対称性の破れのパターン⇦ dual ⇨

ランダム行列理論に対しては厳密に証明できた

Dirac演算子の対称性

カイラル対称性の破れのパターン⇦ dual ⇨

Incl.

カイラル対称性の破れカイラル対称性の破れととDiracDirac準位統計準位統計

+ Akemann G, Altland A, Berbenni-Bitsch ME, Berg BA, Bietenholz W, Bittner E, Dalmazi D, Damgaard PH, Edwards RG, Farchioni F, de Forcrand F, Fyodorov YV, Garcia-Garcia AM, Giusti L, Gockeler M, Guhr T, Halasz MA, Hehl H, Heller UM, Hilmoine C, Hip I, Iida S, Jackson AD, Janik RA, Jansen K, Jurkiewicz J, Kaiser N, Kalkreuter T, Kanzieper E, Kiskis J, Klein B, Krasniz A, Lang CB, Luscher M, Lombardo M-P, Ma J-Z, Madsen T, Magnea U, Markum H, Meyer S, Nagao T, Narayanan R, Niclasen R, Nishigaki SM, Nowak MA, Osborn JC, Papp G, Pullirsch R, Rakow PEL, Rabitsch K, Rummukainen R, Schafer A, Schnabel M, Schwenk A, Seif B, Sener MK, Schlittgen B, Simons BD, Shcheredin S, Shrock RE, Shuryak EV, Smilga AV, Stephanov MA,Splittorff K, Toublan D, Takahashi K, Vanderheyden B, Weidenmuller HA, Weitz P,Wettig T, Wilke T, Wittig H, Wohlgenannt M, Zahed I, Zirnbauer MR, + many others

RMT LGT

initiated by

Jac VerbaarschotStony Brook

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトル

€

ψ / D ψ =ψL+Dµσ

µψL +ψR+ Dµσ µψR NF フレーバー

独立に回転不変

強結合領域(NC , NF に依存)では自発的に

€

ψL →ULψL UL ∈ SU(NF )LψR →URψR UR ∈ SU(NF )R

€

ψL →UψL , ψR →UψR U ∈ SU(NF )V に破れる

実際には mq ≠0 　→　カイラル対称性は近似的€

ψ ψ = ψR+ψL + ψL

+ψR ≠ 0

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトルBanks Casher 80カイラル凝縮カイラル凝縮

€

d 4x∫ ψ (x)ψ(x) = tr 1/ D + m

€

= dλ0

a−1

∫ ρ(λ) 2mλ2 +m2

€

m→0 → π ρ (0)

€

=1

iλn +m∑ =2m

λn2 +m2

λn >0∑

€

V→∞ → dλ0

a−1

∫ ρ (λ) 2mλ2 +m2

↓

€

a→0 → π ρ (0) (continuum)

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトル

€

Σ ≡ ψ ψ =π ρ (0)V

=π VΔ

≠ 0 Δ =O(V −1) =O(L−d )= 0 Δ =O(L−1) free

カイラル凝縮カイラル凝縮

カイラル対称性が破れるためには　微小Dirac固有値の集積が必要€

Δ : 準位間隔

SU(3), NF=0, staggered V=44 Gockeler et al 99

自発的破れ相

カイラル対称相

臨界点

€

Vπψ ψ

DiracDirac準位密度準位密度

SU(2), NF=0, staggered V=104

Berbenni et al 97DiracDirac準位密度準位密度 ( (微視的微視的))

€

ρs (ζ) =1ΔρζΔ

magnifyby scaling

・ ρ(0) でスケールされた微視的準位密度は結合定数 β に依らない・ゲージ群 SU, SO, Sp に応じて３種類

　微視的準位密度分布は kinematical , 対称性のみによる

SU(3), NF=0, staggered V=44 Damgaard et al 98

DiracDirac準位密度準位密度 ( (微視的微視的))

Partial QuenchingPartial Quenching

Dirac準位密度　←ほぼ等価→　分配関数

€

Z({m f },m | ˜ m ) = [dA] e−SYM [ A ] det( / D + m f )f∏∫ det( / D + m)

det( / D + ˜ m )

€

∂∂m

log Z({m f },m | ˜ m )m= ˜ m

= tr 1m + / D {m f }

m→iλ , ℑm → ρ(λ)

probefermionic &bosonic quarks

微視的準位密度　 ← 　極低エネルギー領域での Zgraded

カイラル摂動理論カイラル摂動理論

€

U =URUL+ の座標:

質量項　　　　　　　　がある場合も

€

ψL+MψR + c.c.

€

U→ uRUuL+

M → uLMuR+

⇒　有効理論もカイラル変換で不変：　カイラル Lagrangian

Weinberg 67

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

カイラル変換　　　　　　　　　　　の下で基本理論が不変€

SU(NF )L ×SU(NF )RSU(NF )V

€

ΛQCD−1 << L では NG π粒子のみが Z に寄与

カイラル摂動理論カイラル摂動理論

⇒　有効理論も然り

基本理論は質量Mとθ角を　　　　　　　　　　　　　　の形で含む

€

Z(M,θ) = e iνθ

ν

∑ DAµDψ Dψ e-S[Aµ ,ψ ,ψ ] det( / D + M)∫

= e iνθ

ν

∑ m fν λ j

2 + m f2( )

j∏

f∏ = Z(e iθ / N f M)

€

ZchPT (M,θ) = DU exp − fπ2 tr ∂µU∂µU

+ + Σ ℜe tr e iθ /N f MU +L( )SU (N f )∫ZchPT (M,ν ) = DU(detU)ν exp − fπ

2 tr ∂µU∂µU+ + Σ ℜe tr MU +L( )U (N f )∫

NLNLσσMM

€

G /Hspacetime

vac.

L

€

mπ−1

通常のp展開

€

Z = G /H DU(x)∫ e− Lkin [U ]+Lmass [U ]( )∫ dx

≈ Dϕ(x) ∫ e− (∂ϕ )2 +m2ϕ 2 +λϕ 4L( )dx∫

>>

€

U0 =1€

U(x) ≈U0 eiϕ (x)

NLNLσσMM

€

G /Hspacetime

vac.

L

€

mπ−1

ε展開

€

Z = G /H DU(x)∫ e− Lkin [U ]+Lmass [U ]( )∫ dx

≈ G /H dU0∫ e−V Lmass [U0 ]

= limN→∞

ZchRMT(N )

€

U(x) ≈U0 ∈G /H<<

0-mode only

€

Σ =∂∂mlogZ

m→∞

= ψ ψ quench

有限体積中で非0モード 0モード

　　⇒　　　：0モード積分　　 kinematic 領域 ‘ε 領域 ’

　　　　 　 Dirac準位統計が計算可能€

ZchPT

Leutwyler Smilga 92

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

€

fπ2L−2 Σ m

€

EC ≡fπ

2

ΣL2 >> m,λ

Thouless energy

非物理的な有限体積で測定された準位統計

€

L <<mπ−1 現象論的定数 Σ

(無限体積)⇒

hadron masslevel spacing Thouless E

カイラルランダム行列カイラルランダム行列

カイラルランダム行列カイラルランダム行列

€

/ D → 独立乱数の配列独立乱数の配列

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −tr H +H + ψ Rfψ L

f( )mf iH +

iH mf

ψL

f

ψRf

f∑

= dH∫ e−tr H +H detmf iH +

iH mf

f∏

N x (N+v) 行列

N ベクトル

€

H ψ L

f , ψLf

ψ Rf , ψR

f NF 種類N+v ベクトル

€

QCDの大域的対称性を共有

　 の要素 ∈ 　 行列要素に反映

カイラル対称性は NF によらず常に破れる　半円則

　　フレーバー群 → ベクトル部分群 Vafa-Witten定理

指数定理　　ν 個の0モード

熱力学極限 N→∞ で LLS = Re tr MU + ν log det U

€

/ D

€

C SUR Sp H SO

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −Hij*Hij + ψ R

f ,iψ Lf ,i( )

mf iH ji*

iHij m f

ψL

f ,i

ψRf ,i

f∑

= dψ dψ∫ exp −(ψ Rf ,iψL

g,i)(ψ Lg, jψR

f , j ) + mf (ψ Rf ,iψL

f ,i) + (ψ Lf ,iψR

f ,i)( )f∑

= dQdψ dψ∫ exp −Qfg* Qfg + (iQfg + Mfg )(ψ L

f ,iψRg,i) + (iQfg

* + Mfg )(ψ Rf ,iψL

f ,i){ } = dQ∫ e-tr Q +Q detN +ν (Q− iM)detN (Q+ − iM)

n2 個の自由度: heavy →∫out by saddt pt eq.

€

Z = dU∫ (det U)ν eℜe tr UM resc€

Q∈ GL(n,C)

€

U ∈ U(n)

example: RMT of type AIII (chGUE)

固有値分布固有値分布

€

dµ(H ) = dH e−tr H +H Π f det H +H +mf2( )

€

dµ(λ) =Πidλi e

−λi2Πfλi

2 +mf2( ) λiβ (ν+1)−1{ } Π

i> jλi

2 −λ j2 β

=Πidzi e

−zi Πfzi +mf

2( ) ziβ (ν+1)/2−1{ } Πi> jzi − zj

β zi ≥ 0€

EV( / D ) = ±i EV(H +H ) = ±i λ1,...,±i λN ,0,...,0{ }

Jacobian

chRMTにおいて (βν/2) massless flavors = ν top charge

Damgaard SN 01

€

ζ4

€

ζ1

€

ζ2

€

ζ3

微視的準位密度・微視的準位密度・ 　　第第1~41~4番目の準位の分布番目の準位の分布 NF=0, C hermitian

Damgaard SN 98

微視的準位密度微視的準位密度

最小準位分布最小準位分布

NF = 3C hermitian

quarkmass

SUSY quenching of TLH

Sylvester id.

€

˜ A ij ˜ A kl − ˜ A il ˜ A kj = A ˜ ˜ A ij;kl

Splittorf-Verbaarschot 04

€

Zn(ν )({x}) = dU detνU eℜe tr MU

U (n )∫ = det Bessels[ ]n×n

€

ρ(x;{m})

Nagao SN 00

微視的準位密度微視的準位密度

NF = 1R symmetric

NF = 2H selfdual

格子実験による格子実験によるDiracDirac準位統計の検証準位統計の検証

QuenchedQuenched

SU(2), NF=0, staggered V=84 Berbenni et al 97

22準位相関関数準位相関関数最小固有値の分布

SU(2), NF=4, staggered V=84

Berbenni et al 98, Akemann Kanzieper 00

Dynamical QuarksDynamical Quarks

微視的準位密度微視的準位密度

質量

€

µ ≡ mq ρ(0) /π

SU(2), NF=4, staggered, V=84

Berbenni et al 98

Dynamical QuarksDynamical Quarks

最小固有値の分布

NF=0, overlap V=44 Edwards et al 99

ν=1

ν=0

SU(2) SU(3) SU(3) adj

最小固有値の分布TopologyTopology

SU(3), NF=0, overlap V=104 Bietenholz et al 03

€

TopologyTopology

€

ψ ψ = (256 MeV)3best fit　→

€

(L =1.23 fm)

最小固有値の累積分布

€

Thousless energyThousless energy

1.23 fm 0.98 fm

一致は悪くなる

β=5.85 に対して Ec ~ 1.2 fm

largephysical

size

smallphysical

size

SU(3), NF=0, overlap V=204

Giusti Luscher et al 03

€

TopologyTopology

固有値の比

€

(L =1.49 fm)

: Damgaard-SN prediction ’00

from chRMT

parameterfree!

Bulk spectraBulk spectra

隣接準位差の分布隣接準位差の分布

NF=0, overlap V=44 Edwards et al 99

通常のランダム行列と比較

SU(3), NF=3, staggeredV=63 x 4, ma=.05

Bittner et al 00

U(1), NF=0, staggeredV=83 x 6 Bittner et al 00

隣接準位差の分布隣接準位差の分布

confineβ =5.2

deconfineβ =5.4

freeβ=∞

confineβ =0.9

Coulombβ =1.1

Bulk spectraBulk spectra

Bulk spectraはどの相でもランダム行列で記述される

有限密度有限密度QCDQCDへのへの有効理論的アプローチ有効理論的アプローチ

有限密度有限密度QCDQCDへのへの有効理論的有効理論的アプローチアプローチ

有限密度QCD

QCD3 : Flavor対称性

QCD3 : Flavor対称性の破れ Weinberg Lagrangian for 実表現QCD3 + µ

凝縮 : tree level

準NG粒子の質量 (µ,T)相構造 : 1-loop

Universality & Non-universality

有限密度有限密度QCDQCD

中性子星, 超新星, 初期宇宙, RHIC,...

gluon交換 instanton媒介

€

qiq j ≠ 0diquark凝縮

phonon交換

€

ee ≠ 0Cooper pair凝縮cf.

高密度でのQCD真空 = color超伝導体

€

µ ψ+ψ = µ ψ γ0ψ

€

/ D → / D + µγ0

€

det( / D + µγ0 + m)Boltzmann重み が複素数

⇒　dynamical quarkの数値実験が困難

非エルミート

バリオン数化学ポテンシャル

•虚数 µ

･reweighting

･NJL模型

･instanton 液体模型

･phase quenched

･(擬)実表現 fermion

迂回策格子

模式化

模型の変更

導入

€

[ / D + µγ0 + m,T ]= 0

Sp(NC), SO(NC)ゲージ理論

反unitary対称性

€

T =JCγ5K Cγ5K

, T 2 = ±1

€

⇒ ( / D + µγ0 + m)ab ∈RH

gauge spinor c.c.

€

⇒ det( / D + µγ0 + m)∈ R

Flavor群の拡大

€

Jσ 2ψL*

σ 2ψL*

はψRとして変換

SU(NF)L x SU(NF)R が SU(2NF) に拡大

µは拡張されたflavor対称性を破るµはflavor対称性を破らない

meson, baryon:同一のflavor multiplet

meson, baryon:異なるflavor multiplet

“baryon#-SC” : ゲージ不変

“color-SC” : ゲージ不変でない

Phase quenchedSp(NC), SO(NC)SU(NC ≥3)

€

det( / D + µγ0 + m)det( / D + µγ0 + m)*

€

det( / D + µγ0 + m)∈ R

€

det( / D + µγ0 + m)∉ R

€

qq

€

qq

有効LagrangianKogut Stephanov Toublan 99~01

QCDQCD33 : Flavor : Flavor対称性の破れ対称性の破れ

€

{ψ f ,χ f }2NF フレーバー

€

Lmass = mf ψ f+ψ f − χ f

+χ f( )f∑ P x Z2 (ψ, χ交換)-不変

€

⇒ det(− / D 2 + m f2 )∏ ≥ 0

Vafa-Witten適用可能

€

ψ f+ψ f − χ f

+χ f( )f∑ が凝縮極限で

€

mf ≡ m→ 0

SU(2NF) → SU(NF) x SU(NF)

QCDQCD33 : Flavor : Flavor対称性対称性

Spゲージ理論のFlavor群の拡大

€

はψとして変換

SU(2NF) が Sp(4NF) に拡大

€

Jσ 2ψ T

€

Lkin = 12 Ψ

T (Jσ 2 / D I )Ψ, Ψ =

ψ

χ

Jσ 2ψ T

Jσ 2χ T

SOゲージ理論では J→1, Sp(4NF)→ O(4NF)

gauge spinor flavor

QCDQCD33 : Flavor : Flavor対称性の破れ対称性の破れ

Spゲージ理論

SOゲージ理論では J→1, Sp→ O,

€

Lmass = 12 Ψ

T (Jσ 2ˆ M )Ψ, ˆ M =

−11

1−1

Sp(4NF) → Sp(2NF) x Sp(2NF)

Vafa-Witten適用⇒

€

ˆ M →

−11

−11

Weinberg Weinberg Lagrangian Lagrangian for for 実表現実表現QCDQCD

€

L = 12 Ψ

T (Jσ 2 / D I )Ψ + m2 Ψ

T (Jσ 2ˆ M )Ψ − µ

2 ΨT (iJσ1

ˆ C )Ψ

ˆ C =

11

11

Sp(NC)-QCD3を例にとる

他の３ケース Sp(NC), O(NC)-QCD4, O (NC)-QCD3 も同様

Dunne-SMN 03

€

Σ の座標

€

: Sp(4NF )Sp(2NF )×Sp(2NF )

€

ΛQCD−1 << L では NG π粒子のみが寄与

Weinberg Weinberg Lagrangian Lagrangian for for 実表現実表現QCDQCD33

⇒

€

Σ の座標

⇒　有効理論もこの変換で不変

m≠0, µ≠0 の場合も

変換　　　　　　　　　　 の下で基本理論が不変

€

: Sp(4NF )Sp(2NF )×Sp(2NF )

€

ΛQCD−1 << L では NG π粒子のみが寄与

Weinberg Weinberg Lagrangian Lagrangian for for 実表現実表現QCDQCD33

⇒Related by

local flavor symm

Weinberg Weinberg Lagrangian Lagrangian for for 実表現実表現QCDQCD33

基本理論

局所化されたflavor変換

の下で不変

⇒　有効理論も局所的に不変であるべし

Weinberg Weinberg Lagrangian Lagrangian for for 実表現実表現QCDQCD33

NG場に対するflavor共変微分

有効理論

凝縮：凝縮：tree leveltree level

ポテンシャル項 (LLS)

may/may not be saturated

凝縮：凝縮：tree leveltree levelLst =LLS を最小化

€

cosα = min 1, 4µ2

mπ2

準準NGNG粒子の質量粒子の質量

真空配位の周りでLst[Σ] を展開

この段階までは全てのゲージ群・次元

に共通

対称性Weinberg L

€

ΩLG ({σ};m,µ,T ) = LLS ({σ};m,µ)

+ Tr log Δ({σ};m,µ)modes∑

t∈[0, 1/T ]

Splittorff Toublan Verbaarschot 02

LG potential

condensate

平均場平均場に対するに対する11ループ補正ループ補正

QCD3 G = Sp, NF = 2

Dunne SMN 03

平均場平均場に対するに対する11ループ補正ループ補正

tricr1st

2nd

QCD3

QCD4

€

µ −mπ

2~ T logT

~ T 3/2

Universality & non-universalityUniversality & non-universality

• Leff[Σ;µ,m]• tree level相構造• mass spectrum

∀ゲージ群・次元に共通

• ２次相転移 　　2+1Dではartifact?

Fπ非摂動効果 →　mass ~ exp(- Fπ/T) may be generated

実際は Crossover?

kinematics

chiralsymmetry

Dirac準位統計　　有限体積から低エネルギー定数の厳密測定

相構造