ランダム行列理論ランダム行列理論とと格子格子QCDQCD

Random Matrices & Lattice QCDRandom Matrices & Lattice QCD

2004. 4. 6 理研

島根大島根大・・総合理工総合理工　西垣　西垣 真祐真祐　

行列値の確率変数

LGT

€

H =

H11 L L

M O M

M L HNN

dµ(H ) = e−tr H 2

dH

€

Ux, ˆ µ =

U11 L L

M O M

M L UNcNc

x , ˆ µ

dµ(U) = eβ UUU +U +∑ det / D (U) + m( )NF dUx , ˆ µ x , ˆ µ

∏

RMT

LGT

RMT

dynamics

kinema-tics

Kinematics = Global Symmetry Breaking

カイラル対称性 と Diracスペクトル カイラル摂動理論

準位統計 ランダム行列 カイラルランダム行列

格子数値実験との比較

有限密度QCD と ランダム行列 平均場としてのランダム行列, 1ループ補正

+ Akemann G, Altland A, Berbenni-Bitsch ME, Berg BA, Bietenholz W, Bittner E, Dalmazi D, Damgaard PH, Edwards RG, Farchioni F, de Forcrand F, Fyodorov YV, Garcia-Garcia AM, Giusti L, Gockeler M, Guhr T, Halasz MA, Hehl H, Heller UM, Hilmoine C, Hip I, Iida S, Jackson AD, Janik RA, Jansen K, Jurkiewicz J, Kaiser N, Kalkreuter T, Kanzieper E, Kiskis J, Klein B, Krasniz A, Lang CB, Luscher M, Lombardo M-P, Ma J-Z, Madsen T, Magnea U, Markum H, Meyer S, Nagao T, Narayanan R, Niclasen R, Nishigaki SM, Nowak MA, Osborn JC, Papp G, Pullirsch R, Rakow PEL, Rabitsch K, Rummukainen R, Schafer A, Schnabel M, Schwenk A, Seif B, Sener MK, Schlittgen B, Simons BD, Shcheredin S, Shrock RE, Shuryak EV, Smilga AV, Stephanov MA,Splittorff K, Toublan D, Takahashi K, Vanderheyden B, Weidenmuller HA, Weitz P,Wettig T, Wilke T, Wittig H, Wohlgenannt M, Zahed I, Zirnbauer MR, + many others

RMT LGT

initiated by

Jac VerbaarschotStony Brook

カイラル対称性カイラル対称性ととDiracDiracスペクトルスペクトル

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトル

€

ψ / D ψ =ψL+Dµσ

µψL +ψR+ Dµσ µψR NF フレーバー

独立に回転不変

強結合領域(NC , NF に依存)では自発的に

€

ψL →ULψL UL ∈ SU(NF )LψR →URψR UR ∈ SU(NF )R

€

ψL →UψL , ψR →UψR U ∈ SU(NF )V に破れる

実際には mq ≠0 　→　カイラル対称性は近似的€

ψ ψ = ψR+ψL + ψL

+ψR ≠ 0

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトルBanks Casher 80カイラル凝縮カイラル凝縮

€

d 4x∫ ψ (x)ψ(x) = tr 1/ D + m

€

= dλ0

a−1

∫ ρ(λ) 2mλ2 +m2

€

m→0 → π ρ (0)

€

=1

iλn +m∑ =2m

λn2 +m2

λn >0∑

€

V→∞ → dλ0

a−1

∫ ρ (λ) 2mλ2 +m2

↓

€

a→0 → π ρ (0) (continuum)

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトル

€

Σ ≡ ψ ψ =π ρ (0)V

=π VΔ

≠ 0 Δ =O(V −1) =O(L−d )= 0 Δ =O(L−1) free

カイラル凝縮カイラル凝縮

カイラル対称性が破れるためには　微小Dirac固有値の集積が必要€

Δ : 準位間隔

SU(3), NF=0, staggered V=44 Gockeler et al 99

自発的破れ相

カイラル対称相

臨界点

€

Vπψ ψ

DiracDirac準位密度準位密度

SU(2), NF=0, staggered V=104 Berbenni et al 97

DiracDirac準位密度準位密度 ((微視的微視的))

・ ρ(0) でスケールされた微視的準位密度は結合定数 β に依らない・ゲージ群 SU, SO, Sp に応じて３種類

　微視的準位密度分布は kinematical , 対称性で決定される

SU(3), NF=0, staggered V=44 Damgaard et al 98

DiracDirac準位密度準位密度 ((微視的微視的))

Partial QuenchingPartial Quenching

Dirac準位密度　←ほぼ等価→　分配関数

€

Z({m f },m | ˜ m ) = [dA] e−SYM [ A ] det( / D + m f )f∏∫ det( / D + m)

det( / D + ˜ m )

€

∂∂m

log Z({m f },m | ˜ m )m= ˜ m

= tr 1m + / D {m f }

m→iλ , ℑm → ρ(λ)

probefermionic &bosonic quarks

微視的準位密度　 ← 　極低エネルギー領域での Zgraded

カイラル摂動理論カイラル摂動理論

カイラル摂動理論カイラル摂動理論

€

U =URUL+ の座標:

質量項　　　　　　　　がある場合も

€

ψL+MψR + c.c.

€

U→ uRUuL+

M → uLMuR+

⇒　有効理論もカイラル変換で不変：　カイラル Lagrangian NLσM

Weinberg 67

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

カイラル変換　　　　　　　　　　　の下で基本理論が不変€

SU(NF )L ×SU(NF )RSU(NF )V

€

ΛQCD−1 << L では NG π粒子のみが Z に寄与

NLNLσσMM

€

U(x) €

G /Hspacetime

NLNLσσMM

€

G /Hspacetime

vac.

L

€

mπ−1

通常のp展開

€

U(x) ≈U0 eiϕ (x)

U0 =1

€

Z = G /H DU(x)∫ e− Lkin [U ]+Lmass [U ]( )∫ dx

≈ Dϕ(x) ∫ e− (∂ϕ )2 +m2ϕ 2 +λϕ 4L( )dx∫

>>

NLNLσσMM

€

G /Hspacetime

vac.

L

€

mπ−1

ε展開

€

Z = G /H DU(x)∫ e− Lkin [U ]+Lmass [U ]( )∫ dx

≈ G /H dU0∫ e−V Lmass [U0 ]

= limN→∞

ZchRMT(N )

€

U(x) ≈U0 ∈G /H<<

0-mode only

!

" =##mlogZ

m$%

= & & quench

有限体積中で非0モード 0モード

　　⇒　　　：0モード積分　　 kinematic 領域 ‘ε 領域 ’

　　　　 　 Dirac準位統計が計算可能€

ZchPT

Leutwyler Smilga 92

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

€

fπ2L−2 Σ m

€

fπ2L−2 >> Σ m

非物理的な有限体積で測定された準位統計

€

L <<mπ−1 現象論的定数 Σ

(無限体積)⇒

hadron masslevel spacing Thouless E

準位統計準位統計

準位統計準位統計

重原子核の高励起準位 (中性子線回折)

厳密値は計算不能厳密値は計算不能　　　　　　　　　　　　　　 →　統計的に扱う→　統計的に扱う

1950s

準位間隔s

random rigid

準位配列の例準位配列の例ランダム行列

普遍性普遍性““充分充分””複雑な系では複雑な系では準位統計分布は系の詳細に依存しない準位統計分布は系の詳細に依存しない

重原子核の高励起準位 強磁場下でH原子の準位 水晶塊の弾性モード準位

s

準位間隔の分布準位間隔の分布

€

PWigner (s) = π2 s e

-π4 s2

普遍性の起源

非局在状態非局在状態のオーバーラップのオーバーラップ ⇒⇒ 縮退を避ける縮退を避ける

準位反撥準位反撥Prob(E,E’) ~|E -E’|β

　β=1,2,4 Hの対称性による

この性質を抽象した単純な模型から

普遍的統計量を導く 　　　　　　 ランダム行列模型ランダム行列模型

磁場中のH原子の準位

Hamiltonianの対称性

H : C hermitian

TT反転反転

T = K C

c.c. unitary

T 2 = CC* =±1 ⇒ symm. C = UTUantisymm. C = UTJU

TT対称性対称性

[H, T] = 0H’ : R symmH’ : H selfdual

[H, T]≠0

L・S

S・B

基底変換

ランダム行列ランダム行列

ランダム行列ランダム行列

正規分布する独立乱数の配列正規分布する独立乱数の配列

€

H =

H11 H12 H13 H14 H15 H16 L

H21 H22 H23 H24 H25 H26 L

H 31 H 32 H 33 H 34 H 35 H 36 L

H 41 H 42 H 43 H 44 H 45 H 46 L

H51 H52 H53 H54 H55 H56 L

H61 H62 H63 H64 H65 H66 L

M M M M M M O

€

H =

# # L

# ##

# # # ## #

# #M # O

→

次元による次元による, sparse, sparseな行列な行列

HamiltonianHamiltonianの集団の集団

ランダム行列ランダム行列

H = H+ = (Hij) ∈∈ R, C, HR, C, H

dµ(H) = exp(-tr H2) ΠdβHij

•不変性　 dµ(H) = dµ(UHU+)　基底の取替えで不変　⇒　固有ベクトルは非局在

•固有値分布　　　　　dµ({E}) = Πi dEi exp(-tr Ei

2) Πi>j|Ei - Ej|β

β = 1, 2, 4行列要素当りの自由度

ランダム行列から 各種の準位統計関数が計算可能

･ Loop方程式 (Schwinger-Dyson方程式 BIPZ)

･ 直交多項式法

･ SUSY (graded) 行列法

･ Replica法

･ Keldysh法　

22準位相関準位相関

β=0 相関なしβ=1β=2β=4

~ sβ ~ exp(-cβ s2)

exp(-s)

ランダム行列から 各種の準位統計関数が計算可能

準位間隔の分布準位間隔の分布

幅幅s s がが kk個の準位を含む確率　個の準位を含む確率　Eβ (k ; s)

β=2 GUE GUEβ=1 GOEGOE

ランダム行列の普遍性ランダム行列の普遍性

N有限　→　P (s), ρ(λ), …はランダム系・行列測度の詳細に依存

N=∞　→　微視的相関関数P (s), ρ(λ), …は普遍的

同一の同一の自発的自発的対称性破れ対称性破れ

exp(-tr H2) exp(-tr V(H))

exp(-tr (H+A)2)…

P∞(s)

Akemann Damgaard Magnea SN 97

カイラルランダム行列カイラルランダム行列

カイラルランダム行列カイラルランダム行列

€

/ D → 独立乱数の配列独立乱数の配列

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −tr H +H + ψ Rfψ L

f( )mf iH +

iH mf

ψL

f

ψRf

f∑

= dH∫ e−tr H +H detmf iH +

iH mf

f∏

N x (N+v) 行列

N ベクトル

€

H ψ L

f , ψLf

ψ Rf , ψR

f NF 種類N+v ベクトル

€

QCDの大域的対称性を共有

　 の要素 ∈ 　 行列要素に反映

カイラル対称性は NF によらず常に破れる　半円則　　フレーバー群 → ベクトル部分群 Vafa-Witten定理

指数定理　　ν 個の0モード

熱力学極限 N→∞ で LLS = Re tr MU に一致

€

/ D

€

C SUR Sp H SO

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −Hij*Hij + ψ R

f ,iψ Lf ,i( )

mf iH ji*

iHij m f

ψL

f ,i

ψRf ,i

f∑

= dψ dψ∫ exp −(ψ Rf ,iψL

g,i )(ψ Lg, jψR

f , j )+ mf (ψ Rf ,iψL

f ,i )+ (ψ Lf ,iψR

f ,i )( )f∑

= dQdψ dψ∫ exp −Qfg* Qfg + (iQfg +M fg )(ψ L

f ,iψRg,i )+ (iQfg

* +M fg )(ψ Rf ,iψL

f ,i ){ } = dQ∫ e-tr Q+Q detN (Q − iM )detN (Q+ − iM )

€

Q: NF_x_NF 複素行列

N→∞ では NF個の自由度がmassive → integrate out

: NF_x_NF unitary行列

€

Z = dU∫ eℜe tr UM

€

U

固有値分布固有値分布

€

dµ(H ) = dH e−tr H +H Π f det H +H +mf2( )

€

dµ(λ) =Πidλi e

−λi2Πfλi

2 +mf2( ) λiβ (ν+1)−1{ } Π

i> jλi

2 −λ j2 β

=Πidzi e

−zi Πfzi +mf

2( ) ziβ (ν+1)/2−1{ } Πi> jzi − zj

β zi ≥ 0€

EV( / D ) = ±i EV(H +H ) = ±i λ1,...,±i λN ,0,...,0{

微視的準位密度・微視的準位密度・ 　　第第1~41~4番目の準位の分布番目の準位の分布 NF=0, C hermitian

Damgaard SN 01

Damgaard SN 98

微視的準位密度微視的準位密度

最小準位分布最小準位分布

NF = 3C hermitian

quarkmass

Nagao SN 00

微視的準位密度微視的準位密度

NF = 1R symmetric

NF = 2H selfdual

格子実験による格子実験によるDiracDirac準位統計の検証準位統計の検証

Quenched

Dynamical quarks

Topology

Bulk

Finite density各格子点に NC 状態 ホッピングU : 行列値確率変数

確率分布 =

€

exp β UijU jkUklUliplaquette∑

格子ゲ格子ゲーージ理論ジ理論

SU(2), NF=4, staggered V=84

Berbenni et al 98, Akemann Kanzieper 00

Dynamical QuarksDynamical Quarks

微視的準位密度微視的準位密度

質量

€

µ ≡ mq ρ(0) /π

SU(2), NF=4, staggered, V=84

Berbenni et al 98

Dynamical QuarksDynamical Quarks

最小固有値の分布

NF=0, overlap V=44 Edwards et al 99

ν=1

ν=0

SU(2) SU(3) SU(3) adj

最小固有値の分布TopologyTopology

SU(3), NF=0, overlap V=104 Bietenholz et al 03

€

TopologyTopology

€

ψ ψ = (256 MeV)3best fit　→

€

(L =1.23 fm)

最小固有値の累積分布

€

Thousless energyThousless energy

1.23 fm 0.98 fm

一致は悪くなる

β=5.85 に対して Ec ~ 1.2 fm

largephysical

size

smallphysical

size

SU(3), NF=0, overlap V=204

Giusti Luscher et al 03

€

TopologyTopology

固有値の比

€

(L =1.49 fm)

: Damgaard-SN prediction ’00

from chRMT

parameterfree!

Bulk spectraBulk spectra

隣接準位差の分布隣接準位差の分布

NF=0, overlap V=44 Edwards et al 99

通常のランダム行列と比較

SU(3), NF=3, staggeredV=63 x 4, ma=.05

Bittner et al 00

U(1), NF=0, staggeredV=83 x 6 Bittner et al 00

隣接準位差の分布隣接準位差の分布

confineβ =5.2

deconfineβ =5.4

freeβ=∞

confineβ =0.9

Coulombβ =1.1

Bulk spectraBulk spectra

Bulk spectraはどの相でもランダム行列で記述される

有限密度有限密度QCDQCD

有限密度有限密度QCDQCD

€

µ ψ +ψ = µ ψ γ 0ψ

€

/ D → / D + µγ0

€

det( / D + µγ0 + m) が位相を持つ

→　dynamical quarkの数値実験が困難

非エルミート

化学ポテンシャル　　　　　　　　　導入

ランダム行列から知見を得られないか？

€

/ D + µγ0 の固有値分布

SU(3), quenchedβ=5.2 (confine)V=63 x 4 Berg et al 00

€

Z = dH∫ e−tr H +H detmf iH + + µ

iH + µ mf

f∏€

iH +

iH

→

iH + + µ

iH + µ

複素準位統計を解析的に扱える

非エルミ非エルミーートランダム行列トランダム行列

と置換える

Stephanov 96Splittorff Verbaarschot 03

Hanano Nelson 96

SU(3), NF=0, staggeredV=84 β=5.0 (confinement)

Akemann Wettig 03

Quenchedの場合は数値実験で検証可能

平均場としての平均場としてのランダム行列ランダム行列

平均場としてのランダム行列平均場としてのランダム行列

各flavor毎に µf 導入　→　Flavor対称性を異なる部分群に破る

各種の凝縮相

平均場近似 ＝ 対称性のみ　　 ＝ RMT

€

Z = dH∫ e−tr H +H detmf iH + + µ f

iH + µ f m f

f∏

RMTからLG potential

€

LLS 導出 →　凝縮　→　相図

G = SU, NF = 2 Klein Toublan Verbaarschot 03

1st order

2nd order

対称性で決定

€

ΩLG ({σ};m,µ,T ) = LLS ({σ};m,µ)

+ Tr log Δ({σ};m,µ)modes∑

t∈[0, 1/T ]

Splittorff Toublan Verbaarschot 02

LG potentialRMT

condensate

平均場平均場に対するに対する11ルーループ補正プ補正

QCD3 G = Sp, NF = 2

Dunne SN 03

1st order

2nd order

Dirac準位統計　　有限体積から　　 の厳密測定

€

ψ ψ

kinematics

chiralsymmetry

模式的な相構造