Fourierova transformacija in

filtriranje v frekvenčni domeni

Interaktivni mediji 2 izr. prof. dr. Aleš Hladnik

Postopki slikovnega procesiranja

Točkovne operacije

Vrednost piksla na obdelani sliki je odvisna zgolj od

vrednosti piksla na isti lokaciji izvorne

slike

Lokalne operacije (prostorsko filtriranje)

Pri pretvorbah se upoštevajo vrednosti

sosednjih pikslov

Slikovne transformacije

Celotna slika se pretvori v drugo

obliko

odstranjevanje šuma, glajenje, ostrenje, stiskanje podatkov

Postopki obdelave slik

Slikovne transformacije

Diskretna kosinusna transformacija (DCT) izgubno stiskanje zvočnih (MP3), slikovnih (JPEG) ali video (MPEG) podatkov

Valjčna transformacija (Wavelet transform) uporabljena v standardu/formatu JPEG 2000

Fourierova transformacija

Fourierova transformacija (FT)

Slika v prostorski domeni Slika v frekvenčni domeni

(močnostni spekter)

FT

Inverzna FT

Nekateri postopki slikovnega procesiranja (npr. konvolucija) se izvedejo hitreje v frekvenčni domeni

Včasih procesiranje v prostorski domeni sploh ni možno oz. izvedljivo

Hitra FT (FFT) je učinkovit računalniški algoritem za izvedbo diskretne FT

Anatomija sinusoide

Fourierov teorem

Fourierov teorem: vsako zvezno periodično funkcijo (signal) g(x) lahko zapišemo kot uteženo vsoto primerno izbranih sinusoidnih valov – kot vsoto sinusnih in kosinusnih členov z ustrezno frekvenco, amplitudo in fazo (= Fourierova vrsta):

dxBxAxg

0

)sin()cos()( dxBxAxg

0

)sin()cos()(

Za neperiodično funkcijo velja t.i. Fourierov integral:

Aω, Bω … Fourierova koeficienta

Sinteza periodične funkcije s Fourierovo vrsto

dxBxAxg

0

)sin()cos()( dxBxAxg

0

)sin()cos()(

Matematika FT

Fourierova transformacija (FT): g(x) G(ω)

dxBxAxg

0

)sin()cos()( dxBxAxg

0

)sin()cos()(

Inverzna Fourierova transformacija (IFT): G(ω) g(x)

Matematika FT

Digitalna slika je diskretna funkcija dveh spremenljivk g(u,v)

dxBxAxg

0

)sin()cos()( dxBxAxg

0

)sin()cos()(

IFT: G(m,n) g(u,v)

FT: g(u,v) G(m,n)

2D diskretna Fourierova transformacija

Močnostni spekter

Ko digitalno sliko pretvorimo z diskretno FT, se njena prostorska informacija izrazi v obliki podatkov o frekvenci in fazi. Frekvenčno komponento lahko prikažemo kot t.i. močnostni spekter (power spectrum)

Močnostni spekter predstavlja 2D vizualizacijo kvadriranih amplitudnih vrednosti frekvenčnega spektra

DC premikFT

FT in usmerjenost vzorca

FT

FT in frekvenca vzorca

FT

Visoko- in nizkofrekvenčna področja slike

Za visokofrekvenčna področja na originalni sliki (v prostorski domeni) – npr. periodične strukture, ostri robovi, izrazit šum – je značilno močno lokalno spreminjanje intenzitete pikslov oz. signala, ustrezen položaj vrhov na FT sliki je na obrobju le-te

Nizkofrekvenčnim področjem – npr. predmeti – s šibko izraženo lokalno variabilnostjo intenzitete ustrezajo vrhovi blizu središča FT slike

Filtriranje v frekvenčni domeni

Konvolucijski teorem: konvolucija v prostorski domeni je ekvivalentna množenju v frekvenčni domeni

Filtriranje je v frekvenčni domeni dosti bolj enostavno kot v prostorski, saj imamo namesto zamudnega iterativnega postopka pomikanja filtrirne matrike po originalni sliki tu opravka le z množenjem obeh matrik v frekvenčni domeni –slike in njene filtrirne matrike

Prostorska domena Frekvenčna domena

Filtriranje v frekvenčni domeni (2)

Filtriranje z nizkoprepustnim filtrom

Uporaba nizkoprepustnega (NP) filtra odstrani visoke frekvence (daleč od središča FT slike!), zato sliko zgladi oz. zmehča

FT

Bela področja filtra 100% prepustijo ustrezne frekvence s FT slike, črna področja jih 100% zadržijo

Filtriranje z nizkoprepustnim filtrom (2)

Idealni NP filter

Filtriranje z nizkoprepustnim filtrom (3)

Filtriranje z visokoprepustnim filtrom

Če z visokoprepustnim (VP) filtrom odstranimo nizke frekvence (sredina FT slike!), sliko izostrimo

Idealni VP filter

Odstranjevanje periodičnega šuma

McAndrews, 125

ImageJ: odstranjevanje visokih frekvenc

Lincoln.tif

FT

LUT "Fire"

Močnostni spekter

Točke, ki ustrezajo visokim frekvencam

Blokiranje visokih frekvenc (delno!)

IFT

http://imagej.nih.gov/ij/docs/menus/process.html#fft

primerjaj!

Eksperimentiraj tudi s tole sliko:

ImageJ: prepuščanje nizkih frekvenc

Slika Blobs_gnoise

Pretvori sliko v frekvenčno domeno (Process-FFT-FFT)

Z ustreznim orodjem (elipsa) z belo "pobarvaj" nizke frekvence na sredini FT slike

Pretvori modificirano FT sliko nazaj v prostorsko domeno (Process-FFT-Inverse FFT)

Ponovi postopek z elipso večjih dimenzij in primerjaj obe filtrirani sliki

FT

IFT IFT

ImageJ: odstranjevanje Gaussovega šuma

Slika Blobs_gnoise

Process-Filters-Show Circular Masks

Izberi eno od 99 filtrirnih matrik (npr. r = 3) NP filter!

Jo povečaj na dimenzije slike, ki jo želiš filtrirati (Image-Scale)

Izvedi konvolucijo (filtriranje) v frekvenčnem prostoru (Process-FFT-FD math)

Bela področja na filtrirni matriki 100% prepuščajo ustrezne frekvence, črna jih 100% blokirajo!

Papir: ločitev markiranja od oblačnosti

…

…

…

FFT

• Filtriranje

• Inverzna FFT

Oblačnost + markiranje

Markiranje

Oblačnost

VP filter

NP filter

The result is an image of complex numbers that can be divided in a real part, the power spectrum and an imaginary part, the phase information. From the result the original image can be reconstructed without any loss by applying the inverse Fourier transform. Usually only the power spectrum is shown, since it contains most of the interesting information. However to reconstruct the original image, both, the power spectrum and the phase image are needed. (Baecker, 51)

Slika v frekvenčni domeni – močnostni spekter