fi- 1 4 termika a termodynamika i i
DESCRIPTION
FI- 1 4 Termika a termodynamika I I. Hlavní body. Ideální plyn a jeho vlastnosti Stavová rovnice ideálního plynu Kinetická teorie ideálního plynu Střední kvadratická rychlost a střední kinetická energie Tlak a celková vnitřní energie Ekvipartiční theorém Avogadrův zákon a Daltonův zákon - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
4. 4. 2007 1
FI-14 Termika a termodynamika II
4. 4. 2007 2
Hlavní body• Ideální plyn a jeho vlastnosti• Stavová rovnice ideálního plynu• Kinetická teorie ideálního plynu
• Střední kvadratická rychlost a střední kinetická energie• Tlak a celková vnitřní energie • Ekvipartiční theorém• Avogadrův zákon a Daltonův zákon• Boltzmanův zákon• Maxwellovo rozdělení rychlostí
4. 4. 2007 3
Ideální plyn a jeho vlastnosti I• V mechanice jsme vycházeli z abstraktního pojmu
hmotného bodu, na němž jsme ukázali jisté veličiny a vztahy mezi nimi. Potom jsme postupovali přes složitější pojmy blíže k realitě.
• Obdobnou funkci má v termice a termodynamice ideální plyn. Také na něm lze ukázat řadu obecných veličin a jejich vlastností a zavedením určitých korekcí můžeme přejít k reálnějším systémům, které mohou mít principiálně nové vlastnosti.
4. 4. 2007 4
Ideální plyn a jeho vlastnosti I• Ideální plyn je soubor částic (molekul), které :
• jsou nekonečně malé• mají určitou hmotnost• mají kulový tvar a hladký povrch• na sebe nepůsobí žádnými dalekodosahovými silami!• chaoticky se pohybují a pružně se sráží navzájem a se
stěnami nádoby• jejich celková energie je tedy rovná součtu jednotlivých
kinetických energií a je-li systém tepelně izolován a uzavřen, zůstává energie při určité teplotě konstantní
4. 4. 2007 5
Stavová rovnice i.p. I
• Pro ideální plyn platí přesně Gay-Lussacův zákon pro děje izobarický :
• i izochorický :T
T
VTV
0
0)(
TT
pTp
0
0)(
4. 4. 2007 6
Stavová rovnice i.p. II
• Uvažujme systém ve stavu p1, V1, T1
• přejděme izochoricky do stavu p2, V1, T
• a z něj izobaricky do stavu p2, V2, T2
2
12
V
VTT
1
12
p
TpT
4. 4. 2007 7
Stavová rovnice i. p. III
• Spojením a přeskupením dostáváme stavovou rovnici ideálního plynu :
• Pro konkrétní množství n molů ideálního plynu platí : nR
T
pV
?2
22
1
11 T
Vp
T
Vp
4. 4. 2007 8
Stavová rovnice i. p. IV• R = 8.314 J mol-1 K-1 je tzv. univerzální plynová konstanta.• n = /M je množství v molech, celková hmotnost, M
molární hmotnost (hmotnost NA částic)
• Avogadrovo číslo NA = (6.022141990.00000047).1023
• Z rovnice je například patrné, že při izotermické změně platí :
• Tomuto vztahu se říká Boyle-Marriottův zákon a je znám již od roku 1660, tedy o mnoho déle než zákon Gay Lussacův!
2211 VpVp
4. 4. 2007 9
Stavová rovnice i. p. V• Ze stavové rovnice plyne, že ze tří stavových
veličin p, V , T jsou jen dvě nezávislé.• Můžeme například chápat teplotu T(p,V) jako povrch
zvláštního ‘kopce’, který stojí v rovině p,V.• Pracujeme-li s konkrétním množstvím plynu, musíme
se vždy pohybovat na tomto povrchu. • Pokud navíc změna probíhá nějakým speciálním
způsobem, např. izotermicky, znamená to speciální cestu na tomto povrchu, např. po vrstenici.
• Na jiný povrch se dostaneme jen změníme-li množství.
4. 4. 2007 10
Základy kinetické teorie i.p. I• Předchozí dosti zajímavé a obecné závěry byly
odvozeny bez jakýchkoli předpokladů o mikrostruktuře ideálního plynu.
• Jistě ale bude zajímavé zjistit, jak souvisí makroskopické parametry ideálního plynu s dalšími vlastnostmi, které u něj předpokádáme.
• Ukazuje se, že makroskopické parametry jsou jisté střední hodnoty veličin mikroskopických.
4. 4. 2007 11
Základy kinetické teorie i.p. II• V kulové nádobě o poloměru r mějme N stejných
částic ideálního plynu o hmotnosti m . N = nNA, kde n je množství v molech a NA Avogadrovo číslo, tedy počet částic v jednom molu.
• Definujme číselnou hustotu částic N0 a pomocí ní hustotu jako :
30 4
3
r
N
V
NN
mNV
Nm0
4. 4. 2007 12
Základy kinetické teorie i.p. III• Částice se chaoticky pohybují, pružně při tom
narážejí na sebe a na vnitřní stěny nádoby.
• Každá elementární ploška kulové plochy, na které dochází k nárazu, je kolmá k radiále. Proto při nárazu dochází pouze ke změně radiální složky hybnosti.
• Kulová nádoba má ale plošky všech směrů, takže mluvíme-li o rozdělení radiálních rychlostí mluvíme současně o rozdělení všech rychlostí.
4. 4. 2007 13
Základy kinetické teorie i.p. IV
• Při nárazu i-té částice s radiální složkou rychlosti vi, trvajícím t odevzdává částice stěně impuls síly Fi :
• Vzhledem ke své rychlosti narazí tato částice ve stejném směru (na druhé straně) za dobu t :
ii mvtF 2
iv
rt
2
4. 4. 2007 14
Základy kinetické teorie i.p. V
• Za tuto dobu je střední síla, kterou působí tato částice na stěnu nádoby a které musí nádoba odolat:
• Rychlosti jednotlivých částic jsou různé. Můžeme však zavést střední kvadratickou rychlost c (RMS) :
r
mvF i
i
2
N
iiN vc
1
212
4. 4. 2007 15
Základy kinetické teorie i.p. VI• Průměrná síla, kterou způsobí nárazy jedné částice
bude :
• A celkový tlak všech částic na celou nádobu :
r
mc
r
mvF
i
iNi
221
34
34 3
2
2
2
r
Nmc
rr
Nmc
S
FNp i
4. 4. 2007 16
Základy kinetické teorie i.p. VII• S použitím hustot zavedených dříve platí :
• Porovnejme tento výsledek se stavovou rovnicí pro 1 mol plynu, kde mN = mNa = M :
333
220
2 cmcN
V
Nmcp
RTMc
pVV
Mcp M
M
33
22
4. 4. 2007 17
Základy kinetické teorie i.p. VIII• Je zřejmé, že střední kvadratická rychlost je přímo
úměrná absolutní teplotě a nepřímo úměrná hmotnosti částic :
• k = 1.38 10-23 J K-1 je v přírodě velice důležitá Boltzmanova konstanta
m
kT
mN
kTN
M
RTc
a
a 3332
4. 4. 2007 18
Základy kinetické teorie i.p. IX • Pouze na teplotě závisí střední kinetická energie
jedné částice a dokonce i energie celková, protože v ideálním plynu neexistuje energie potencialní.
2
33
22
2 kT
m
kTmmcu
2
3RTuNU aM
4. 4. 2007 19
Základy kinetické teorie i.p. X • Srovnáním se stavovou rovnicí také platí :
Pro jeden mol je totiž : NA/VM = N0
• Číselná hustota částic tedy závisí pouze na termodynamických podmínkách, ale ne na vlastnostech částic. To je empiricky známo jako Avogadrův zákon :
kTNuNp
URTpV MM
0032
32
kT
pN 0
4. 4. 2007 20
Základy kinetické teorie i.p. XI • Protože střední kinetická energie nezávisí na hmotnosti
částice, bude v případě směsi více druhů neinteragujících částic pro každý druh stejná.
• Ze skutečnosti, že celková číselná hustota musí být tzv. aditivní, čili je součtem číselných hustot jednotlivých druhů čátic, dostáváme po rozšíření 2u/3 Daltonův zákon pro parciální tlaky :
...... 210232
0132
00
ppuNuNp
NNi
i
4. 4. 2007 21
Základy kinetické teorie i.p. XII • Částice ideálního plynu, která je vlastně hmotným
bodem, má tři stupně volnosti. Uvážíme-li její střední energii, je možné přiřadit jednomu stupni volnosti střední energii :
• Předpoklad, že se střední energie rovnoměrně rozdělí mezi stupně volnosti se nazývá ekvipartiční theorém. Jeho platnost je podpořena vlastnostmi plynů, jejichž molekuly mají více stupňů volnosti.
21
kTu
4. 4. 2007 22
Základy kinetické teorie i.p. XII • Došli jsme tedy k důležitým závěrům pro i.p.:
• Tlak plynu je vyvoláván nárazy částic na stěny. Je přímo úměrný druhé mocnině rychlosti částic a také teplotě.
• Střední kvadratická rychlost u směsi závisí na typu částice, ale kinetická energie je mezi částice rozdělena rovnoměrně.
• vnitřní energie je skryta v kinetické energii chaotického pohybu částic a je přímo úměrná teplotě a množství.
• vnitřní energii lze uvažovat jako součin střední energie na jeden stupeň volnosti a počtu stupňů volnosti