ficha para identificaÇÃo elenir terezinha paluch soares · atividades pedagógicas para o 6º ano...
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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA – PDE/2012
Título: OBMEP: UM MOMENTO PARA AVALIAÇÃO CURRICULAR DE MATEMÁTICA
Autora:
Elenir Terezinha Paluch Soares
Disciplina:
Matemática
Escola de Implementação do Projeto de Intervenção:
Colégio Estadual Visconde de Guarapuava -
Ensino Fundamental, Médio e Normal. Localização da Escola de Implementação:
Rua 15 de Novembro, no 3150, Centro, Guarapuava, PR. Fone (42) 36231338.
Núcleo Regional de Educação:
Guarapuava
Professora Orientadora:
Prof.a Me. Isabel Cristina Neves
Instituição de Ensino Superior:
UNICENTRO
Relação interdisciplinar:
Língua Portuguesa
Resumo: Entendendo-se a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP não apenas como uma forma de selecionar talentos em Matemática, mas, como investigação que leva à compreensão de uma realidade, provocando reflexões sobre a ação docente, a análise dos dados gerados pela OBMEP 2012 no Colégio Estadual Visconde de Guarapuava, permite supor a necessidade de atender determinadas fragilidades curriculares. Assim, este Caderno Pedagógico tem por objetivo, a partir das fragilidades supostamente detectadas e de suporte teórico pertinente, apresentar a análise feita com parte desses dados, bem como propor atividades pedagógicas para o 6º Ano do Ensino Fundamental que podem ser desenvolvidas pelos professores dessa disciplina, com vistas à maximização da ação docente e da aprendizagem desejada.
Palavras-chave:
Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas; fragilidades curriculares; resolução de problemas.
Formato do Material Didático: Caderno Pedagógico Público alvo: Alunos do 6º. Ano do Ensino Fundamental.
2
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................3
2 ANÁLISE DAS QUESTÕES ....................................................................................5 2.1 Questão 8 ..........................................................................................................6 2.2 Questão 11 ........................................................................................................7 2.3 Questão 16 ........................................................................................................9 2.4 Considerações preliminares ............................................................................12
3 APOIO TEÓRICO ..................................................................................................13 3.1 Explorando o cubo...........................................................................................13 3.2 Equilíbrio X Igualdade......................................................................................16 3.3 Frações............................................................................................................18 3.4 Problemas-processo ou heurísticos.................................................................20
4 METODOLOGIA ....................................................................................................21
5 SUGESTÕES DE PROBLEMAS ...........................................................................23 5.1 Explorando o cubo...........................................................................................24 5.2 Equilíbrio x Igualdade .....................................................................................29 5.3 Frações............................................................................................................33 5.4 Problemas-processo ou heurísticos.................................................................38
6 REOLUÇÃO E OBJETIVOS DOS PROBLEMAS ................................................42
REFERÊNCIAS.........................................................................................................60
3
1 INTRODUÇÃO
O presente Caderno Pedagógico é decorrente do Projeto OBMEP: um
momento para avaliação curricular de Matemática, apresentado ao Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE 2012, que tem como objetivo geral
a utilização dos dados gerados pela 8ª. Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas, realizadas em 2012, para identificar e minimizar fragilidades
curriculares de Matemática do 6º. Ano do Colégio Estadual Visconde de
Guarapuava.
Quando o professor compreende a avaliação escolar na perspectiva de
Luckesi (2005, 2006), como investigação e como intervenção, isto é, quando a
entende como uma investigação que leva à compreensão de uma realidade,
possibilitando a tomada de decisões sobre como intervir para modificá-la, quando o
professor avalia o seu trabalho através dos resultados obtidos por seus alunos, tal
como entende Neves (2008), então a OBMEP não é vista apenas como uma
classificação e seleção, mas, ganha realmente o sentido de contribuir para a
melhoria da Escola Pública, na medida em que provoca a reflexão sobre a ação
docente, sobre fragilidades curriculares, quer seja quanto aos conteúdos ou seus
encaminhamentos metodológicos.
A partir do quadro representativo do desempenho do 6º. Ano do referido
colégio nesse programa nacional, apontando que 95% dos 73 alunos apresentaram
um aproveitamento inferior a 36%, conforme gráfico na ilustração 1 buscou-se
compreender os condicionantes que podem ter contribuído para o insucesso dos
alunos.
95%
4% 1%
Ilustração 1 – Gráfico de desempenho Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.
DESEMPENHO DOS ALUNOS DO 6º ANO DO COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE GUARAPUAVA NA OBMEP 2012
4
Apesar de utilizar inicialmente dados quantitativos, a metodologia utilizada
configura uma pesquisa qualitativa, com enfoque de pesquisa-ação, na medida em
que os dados recolhidos são analisados, interpretados, gerando nova busca de
dados que expliquem melhor a realidade apreendida e orientem ações que
contribuam para uma transformação desejada.
Nessa direção, o gráfico da ilustração 2, obtido a partir dos “gabaritos” dos
alunos do grau de escolaridade e instituição investigadas, indica a quantidade de
acertos em cada uma das 20 questões propostas na prova de Nível 1, destinada a
alunos do 6º e 7º. Anos do Ensino Fundamental, pela OBMEP 2012, sinalizando as
questões que apresentaram menor porcentagem de acertos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
Número de acertos por questão - 6° Ano
Número da questão
Número de alunos que ac
ertaram
Ilustração 2: Gráfico do número de acertos por questão Fonte: SOARES, Elenir T. P. (Dados coletados no Col. Est. Visc. Gpuava - 2012.
Questão 8: 9, 6, % de acertos
Questão 11: 5,4% de acertos
Questão 16: 8,2% de acertos
Nú
mer
o d
e al
un
os
qu
e ac
erta
ram
NÚMERO DE ACERTOS POR QUESTÃO NA OBMEP 2012 – 6º. ANO
5
Embora todas as questões mereçam uma investigação que busque identificar
os obstáculos que não foram vencidos pelos educandos, são tomadas para análise,
nesse momento, apenas as três questões em que os alunos investigados
apresentaram menos de 10% de acertos, conforme destacado na ilustração 2.
Visando a uma intervenção pedagógica com o objetivo de minimizar as
dificuldades supostamente enfrentadas pelos alunos na resolução de tais questões,
talvez oriundas de fragilidades curriculares, entretanto, sem o objetivo de prepará-los
para qualquer avaliação externa, propõe-se o presente caderno pedagógico como
estratégia para ampliar a capacidade de resolver situações-problemas.
2 ANÁLISE DAS QUESTÕES
A convicção de que o principal motivo das avaliações escolares é fornecer
subsídios para orientar a ação docente em seu fazer pedagógico, tanto referentes
aos conteúdos como quanto a metodologia utilizada no processo educativo, tal como
defendem vários autores, dentre eles Hoffmann (1996) e Luckesi (2003), o presente
caderno pedagógico constitui-se em uma tentativa de minimizar problemáticas
identificadas a partir da análise do desempenho de alunos do 6º. Ano do Colégio
Estadual Visconde de Guarapuava, na 8ª. Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas – OBMEP.
Dentre as vinte questões propostas ao 6º. Ano na 8ª OBMEP, as questões 8,
11 e 16 atraíram a atenção, por apresentarem menos de 10% de acertos por parte
dos alunos do ano de escolaridade e escola já referidas, sendo que em apenas um
caderno de provas há sinais de cálculo ou estratégias de resolução de uma dessas
questões, o que pode significar que mesmo os alunos que marcaram respostas
certas podem ter chegado a elas aleatoriamente.
Para estabelecer hipóteses sobre os prováveis condicionantes do
desempenho apresentado, entende-se a necessidade de se colocar no lugar do
aluno e resolver tais questões, conforme descrição a seguir:
6
2.1 Questão 8
Ilustração 3 – Questão 8 da prova da 1ª fase, Nível 1, da OBMEP 2012.
Fonte: disponível em: http://www.obmep, org.br/provas.html. Acesso em 11 Ago. 2012.
Para perceber quais são as faces que têm uma resta comum com a face de
número 1, há pelo menos dois caminhos: um deles é montar o cubo de acordo com
a planificação dada para visualizar as faces que têm uma aresta comum com a de
número 1, ou seja, todas menos a face a ela oposta, que é a 3. ·.
Ilustração 4 - cubo transparente. Fonte: Soares, E. T. P., 2012.
Ou, observando a planificação dada, apresentada na ilustração 3, percebe-se
que a face 3 é a única que não admite relações de vizinhança com a face de número
1, não possuindo arestas comuns com ela, e, portanto, sendo a sua face oposta.
Logo o produto das faces que têm uma aresta comum com a face de numero 1 é: 2
x 4 x 5 x 6 = 240, e a alternativa correta é a letra “e”.
O desempenho dos alunos do já referido colégio, correspondente a apenas
9,6 % de acertos na questão 8, permite formular as seguintes hipóteses:
4
3
5
6 2
1
7
• Os alunos têm dificuldades para interpretar o enunciado da questão;
• o cubo é um objeto matemático, que necessita ser mais explorado nas
práticas pedagógicas de Matemática;
• a percepção espacial dos alunos é pouco desenvolvida;
• há dificuldades em visualizar um sólido a partir de sua planificação;
• falta domínio da nomenclatura associada aos elementos do cubo, tais como
face e aresta, e aos termos e resultados das operações fundamentais, tal
como a palavra produto.
2.2 Questão 11
Ilustração 5 – Questão 11 da prova da 1ª fase, Nível 1, da OBMEP 2012. Fonte: disponível em: http://www.obmep, org.br/provas.html. Acesso em 11 Ago. 2012.
A informação de que o total de farinha é 1400 g permite calcular quanto
de farinha há em um copo e em metade de um copo. Isso pode ser feito pelo menos
de dois modos: utilizando frações ou decimais.
Adicionando 2 porções inteiras de farinha (prato da esquerda) às 3 metades
de porções (prato da direita) obtém-se 3 porções e meia de farinha, (2 + =++
2
1
2
1
2
1
32
1 ou
2
7 copos de farinha).
8
Se sete metades de copo contêm 1400g de farinha, uma metade contém
1400: 7 que é igual a 200 g de farinha (Ou, um copo inteiro contém 400 g).
Com o uso de decimais, o total de farinha pode ser representado por
2+0,5+0,5+0,5 = 3,5 porções de farinha. Ora, se 3,5 porções de farinha valem
1400g, então uma porção inteira (o conteúdo de um copo cheio) é 1400 : 3,5 = 400 g
(caminho perigoso quando não há o domínio sobre divisão com decimais).
Sabendo então a quantidade de farinha que há em cada copo, volta-se à
balança, substituindo o primeiro prato por 2 copos vazios + 800 g de farinha que
será igual a três copos vazios + 600g de farinha, obtendo-se a seguinte situação:
Ilustração 6 - Balança equilibrada. Fonte: Soares, E. T. P., 2012.
Pela lógica da balança em equilíbrio, retirando-se 2 copos vazios e 600 g de
farinha de cada prato da balança, ela permanecerá em equilíbrio, e o peso que ficar
no prato da esquerda será igual ao peso que ficar no prato da direita, obtendo-se a
igualdade desejada.
200g
Ilustração 7: Balança equilibrada.
Fonte: Soares, E. T. P., 2012
Assim, um copo vazio pesa 200g, e a alternativa correta é a letra “d”.
O desempenho correspondente a apenas 5,4 % de acertos na questão 11,
permite formular as seguintes hipóteses:
• os alunos não relacionam, logicamente, o equilíbrio da balança de dois pratos
ou de Roberval com a igualdade entre os pesos colocados nos dois pratos;
600g 800g
9
• há dificuldades para expressar matematicamente uma balança em equilíbrio;
• as palavras ou expressões: equilibrada, idênticos, ao todo e capacidade, não
são traduzidas ou interpretadas adequadamente pelos alunos;
• os alunos não associam metade a 2
1 ou 0,5;
• há dificuldades para adicionar inteiros com fracionários ou decimais (2 +
=++
2
1
2
1
2
1 ou 2 + 0,5 +0,5+05);
• conhecido uma parte do inteiro, na forma fracionária ou decimal, o aluno não
obtém o valor do inteiro, e vice-versa;
• os alunos não percebem as possibilidades da substituição de objetos por
valores ou outros objetos a eles associados.
2.3 Questão 16
Ilustração 8 – Questão 16 do da prova da 1ª fase, Nível 1, da OBMEP 2012.
Fonte: disponível em: http://www.obmep,org.br/provas.html. Acesso em 11 Ago. 2012.
Esta situação-problema poderá ficar mais clara com auxílio de tabela de
suposições ou com uma simples figura que permita esboçar o movimento das
crianças, e a leitura atenta do enunciado indica que se deve operar com um número
mínimo delas.
10
Assim, para que 7 crianças corram da varanda para a cozinha, 5 corram da
cozinha para a sala e 4 da sala para a varanda, pressupõe-se que deve haver pelo
menos 7 delas na varanda, 5 na cozinha e 4 na sala, o que resulta na tabela abaixo.
Varanda Cozinha Sala
7 5 4
No entanto, ao saírem as 7 da varanda, e recebendo as 4 que vieram da sala,
na varanda ficam 4 crianças; ao saírem 5 da cozinha e recebendo as 7 que vieram
da varanda, na cozinha ficam 7 crianças; ao saírem as 4 da sala e recebendo as 5
que vieram da cozinha, na sala ficam 5 crianças. Logo, no 2º momento, após a
correria, temos:
Varanda Cozinha Sala
4 7 5
Porém, isso não satisfaz o enunciado do problema, quando diz que ao final da
correria, a quantidade de crianças em cada aposento ficou igual.
Considerando que na cozinha não pode haver menos que 7 (as que vieram
da varanda), este é o menor número possível de crianças em cada aposento, depois
da correria. Para tanto, deve haver 3 crianças a mais do que se supôs inicialmente
(7) na varanda e que não correram, que acrescidas das 4 que vieram da sala
totalizam no 2º momento, 7 crianças na varanda.
Deve haver 2 crianças a mais do que se supôs inicialmente na sala e que não
correram, que acrescidas das 5 que vieram da cozinha totalizam no 2º. momento, 7
crianças, também, na sala.
Varanda Cozinha Sala
3 + 4(vieram da sala) =7 7(vieram da varanda) 2 + 5 (vieram da
cozinha) = 7
Assim, depois da correria, têm-se 7 crianças em cada um dos 3 aposentos,
totalizando 3 x 7 = 21 crianças.
Veja a tabela inicial que atende os condicionantes do problema:
11
Varanda Cozinha Sala
3 crianças não correram
e 7 correram para a
cozinha. Total inicial= 10
Todas as 5 cças
correram para a sala.
Total inicial = 5
2 cças não correram e 4
correram para a
varanda. Total inicial= 6
Adicionando as quantidades iniciais em cada aposento, tem-se o número
mínimo de crianças que havia inicialmente na casa de Cláudia. Ou seja:
10 + 5 + 6 = 21 crianças.
Ou, pela figura:
Suposição no momento da correria
V C
7 S
A interrogação representa o número de crianças que permaneceram onde
estavam no momento da correria.
2º. Momento: quantidades iguais na V, C e S.
V C
S
5 +
Resta responder a pergunta: qual o menor número que devemos colocar no
lugar de cada interrogação do 2º. Momento, para ficar com a menor quantidade
possível e igual nos três aposentos?
Respondendo: 3 na varanda, zero na cozinha e 2 na sala (esses números
representam o número de crianças que não correram), todos os aposentos ficam
igualmente com 7, o que totaliza 21 crianças.
Logo, havia, inicialmente, na casa de Cláudia, 21 crianças e a alternativa
correta é a letra “d”.
Descartando-se as dificuldades com os cálculos, pois estes são
extremamente simples, ou com o vocabulário empregado no enunciado, pois este
? + 7 ? + 5
? + 4
5 + ?
4 + ? 7 + ?
12
apresenta redação clara, utilizando conceitos perfeitamente compatíveis com o grau
de escolaridade dos alunos, e a falta de algum conteúdo específico, pois a questão
não faz tal exigência, o desempenho correspondente a apenas 8,2 % de acertos na
questão 16, permite formular as seguintes hipóteses:
• não houve uma leitura e interpretação atenta do texto;
• os alunos não conseguem estabelecer estratégias de resolução de problemas
em que os dados não indicam claramente o ou os algoritmos que podem ser
utilizados na resolução;
• não se formou o hábito de utilizar representações pictóricas ou tabelas para
orientar a elaboração de planos de resolução de problemas.
2.4 Considerações preliminares
A análise das resoluções das questões 8, 11 e 16, feita por esta autora e um
conjunto de professores de Matemática1, permite supor, de um modo geral, que os
principais fatores determinantes do desempenho insatisfatório, apresentado pelos
referidos alunos, correspondem à falta de leitura atenta das situações-problemas
associada à fragilidade do raciocínio lógico, deficiência vocabular específica da
matemática e a não abstração de determinados objetos matemáticos, conceitos,
propriedades e princípios a eles correspondentes, dentre eles o cubo, relações de
equivalência e frações.
Especificamente, em relação à questão 16, tratando-se de um desafio que
solicita, antes de qualquer ação, uma leitura atenta e a aplicação de princípios
lógicos, é possível acreditar que tenha sido a ausência desses fatores, o
condicionante do desempenho insatisfatório dos alunos, nessa questão. Supõem-se
ainda, que uma estratégia útil para a resolução bem sucedida desse tipo de situação
problema, seja a utilização pelo aluno, de representações pictóricas que possam
auxiliar a compreensão da problematização apresentada.
No que diz respeito à utilização autônoma de estratégias de compreensão da
leitura pelos alunos, Sole (1998) traz uma grande contribuição ao explicar como
1 Nesse texto, utiliza-se maiúsculo para se referir à disciplina (Matemática) e minúsculo para a ciência
(matemática).
13
extrair as informações importantes de um texto, o que é, segundo Polya (1978),
essencial para a compreensão e resolução de uma situação problema.
Para aquela autora, “formular e responder perguntas sobre um texto é uma
estratégia essencial para uma leitura ativa” (SOLÉ, 1998, p. 155). Nesse sentido,
quando o aluno aprende a fazer perguntas pertinentes ao enunciado de uma
situação-problema, estará mais capacitado para extrair os dados que necessita para
elaborar seu plano de resolução.
Assim visto, estimular o aluno para que explore o texto/ enunciado de um
problema com “perguntas pertinentes”, como diz Sole, é o primeiro compromisso do
professor de Matemática que busca o norte para a sua ação pedagógica na
metodologia da Resolução de Problemas.
Buscando minimizar as supostas fragilidades específicas dos conteúdos
matemáticos solicitados nas questões analisadas, buscou-se aporte teórico
fornecido por estudiosos da Educação Matemática.
3 APOIO TEÓRICO
Para melhor organização das contribuições teóricas que possam iluminar
ações futuras, optou-se em subdividi-las de acordo com as necessidades
interventivas relativas às questões em foco.
3.1 Explorando o cubo
Segundo Pavanello (1998), não é de estranhar o fraco desempenho dos
alunos nas avaliações que envolvam noções/conceitos geométricos. Explica essa
estudiosa da geometria escolar, que suas pesquisas têm mostrado que “o trabalho
com a geometria não está atingindo objetivos que são reconhecidos pelos próprios
professores como essenciais para a formação integral do aluno” (p. 31). A partir,
também, de outros educadores matemáticos, essa autora considera que:
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Certa familiaridade com as figuras geométricas e o desenvolvimento de habilidades ligadas á percepção espacial são essenciais em várias situações escolares (entre as quais a leitura e a escrita), no dia-a-dia das pessoas, no exercício das mais variadas profissões. Oferecer aos alunos uma boa educação matemática significa realizar uma abordagem pedagógica para a geometria que concorra efetivamente para o desenvolvimento dessas habilidades (PAVANELLO, 1998, p.28).
Nessa mesma direção, Lorenzato (2005) justifica a necessidade de ter
geometria na escola, pois “sem estudar Geometria, as pessoas não desenvolvem o
pensar geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente
conseguirão resolver situações de vida que forem geometrizadas” (p. 5).
Na perspectiva de Kaufman (2005, p. 48-50), a planificação de sólidos e a
construção de poliedros regulares a partir de planificações auxilia o aluno a
visualizar as faces de um sólido, identificar as superfícies planas, estabelecer a
diferença entre um sólido e uma figura plana, adquirir noções de paralelismo e
perpendicularismo, e outros conhecimentos. Recomenda essa autora que o estudo
da geometria para os mais jovens seja feito de forma intuitiva e experimental,
fazendo com que o aluno, “através da visualização e do fazer, estabeleça
comparações e construa os conceitos” (p. 49-50).
Nesse sentido, acredita-se como Kaufman, que propor para os alunos
“desmontar caixas” (p. 47) visando à planificação do sólido e, numa segunda etapa,
fornecer-lhes desenhos planificados de sólidos para que, numa operação inversa à
anterior, construam sua representação espacial, favorece a descoberta de seus
elementos e propriedades a eles intrínsecas.
Vale lembrar que atualmente existem softwares com recursos especiais para
explorações experimentais, que favorecem o estudo da Geometria, possibilitando
que os objetos do mundo físico possam ser mais facilmente abstraídos.
Outro aspecto a ponderar, relativo à questão 8, é que apesar de muito
frequente e orgulhosamente ser defendido e apregoado nas propostas curriculares
que o valor educativo da matemática é o desenvolvimento do pensamento lógico e a
resolução de problemas, situações avaliativas internas e externas à escola apontam
para resultados que parecem contradizer os entusiasmados discursos.
O que se pretende colocar em discussão é que a previsão apontada, por
muitas vezes, não se cumpre, pois não há como negar as dificuldades que os
estudantes continuam apresentando em relação à articulação da lógica e dos
15
conteúdos matemáticos veiculados pela escola, quando são desafiados a resolver
situações problemas que os requerem.
Embora a resolução de problemas venha sendo apontada como o
encaminhamento metodológico priorizado em muitas propostas pedagógicas
curriculares, o efeito prático desta opção não parece ainda ter causado um dos
impactos desejados, ou seja, um melhor desempenho dos alunos nesse campo.
Polya (1978) defende que a resolução de problemas, didaticamente, deve ser
abordada através de quatro etapas: a compreensão do problema, o estabelecimento
de um plano de resolução, a execução do plano e o retrospecto, ou seja, a
verificação da resposta obtida.
Quanto à compreensão do problema, dentre as orientações sugeridas, esse
autor deixa claro que “primeiro que tudo, o enunciado verbal do problema precisa
ficar bem entendido” (POLYA, 1978, p. 4). Entende-se que, para tanto, uma das
condições a serem atendidas seja o domínio do vocabulário empregado no texto, ou
seja, o vocabulário utilizado no enunciado tanto pode colaborar para a compreensão
do problema como pode tornar-se um elemento complicador quando o aluno não o
domina.
Nessa mesma direção, Dante (1989, p. 48-49) considera que a linguagem
utilizada na redação do problema pode constituir-se em um fator que dificulta a sua
resolução, na medida em que o estudante “faz confusão” se não dominar o
vocabulário matemático específico, fator esse também abordado por Dienes (1974),
explicando que a descrição de uma abstração requer a utilização de uma linguagem
específica, ou seja, nomes para as diversas partes que compõe o objeto abstraído e
as relações lógicas a ele inerentes.
Esse pesquisador defende, dentre outros princípios, para fazer face às
diferenças individuais existentes para enfrentar a formação de um mesmo conceito
matemático, o princípio da “variabilidade perceptiva”, ou seja, para que ocorra a
abstração de um conceito são necessárias várias experiências, e sugere que um
modo de fazer isso é “conseguir tantas variações quanto possível, com diferentes
meios, em relação ao mesmo tema conceptual. Isso é possível com o
estabelecimento de tarefas que pareçam muito diferentes, mas que têm a mesma
estrutura conceptual” (DIENES, 1974, p. 41), explicando que podemos variar a
representação perceptiva, mantendo constante a estrutura conceitual.
16
A partir dos aportes teóricos apresentados e indícios apontados pelo
desempenho insatisfatório de alunos do 6º. Ano, em situações problemas que
envolvem o cubo e seus elementos, bem como a sua planificação, assim como o
vocabulário específico referente aos seus componentes e aos termos e resultados
das operações fundamentais, busca-se minimizar tal problemática através de melhor
abstração desse objeto matemático e da apropriação do vocabulário pertinente, que
pode ter sido um dos condicionantes interferentes no citado desempenho dos
alunos, interferindo na compreensão do problema proposto e consequentemente na
sua resolução.
Para tanto, na sequência desse caderno pedagógico, propõe-se uma série de
situações problemas envolvendo o objeto matemático cubo, a abstração desse
conceito, a passagem da sua planificação para o tridimensional e vice-versa e que
incluam, no respectivo texto, a nomenclatura referente aos seus elementos, tais
como face, aresta, aresta comum a duas faces, planificação, bem como, a
nomenclatura correspondente aos termos e resultado das operações adição,
subtração, multiplicação e divisão.
3.2 Equilíbrio X Igualdade
Provavelmente, um dos recursos mais utilizados pelos professores de
Matemática ao trabalhar com os alunos as equações do 1º. Grau e os princípios
aditivo e multiplicativo de igualdades seja a balança de dois pratos. Entretanto a
utilização desse recurso não necessita esperar por esse momento para ser
explorado didaticamente, visto o seu grande potencial para que o aluno perceba a
lógica existente entre o equilíbrio da balança e a “igualdade”, que é uma relação de
equivalência, por suas propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Considerando que “as relações, e particularmente as de equivalência, são
fundamentais na matemática” (DIENES, 1974, p. 133), há que se admitir o pouco
que é normalmente feito para dar aos alunos uma prática suficiente para entender
como essas relações são básicas para a articulação da lógica e os conteúdos
matemáticos.
Muitas vezes, ofuscados pelas novas tecnologias, esquece-se de outros
recursos que podem ser utilizados para desenvolver o pensamento lógico e a
17
abstração dos objetos matemáticos nos alunos. Em décadas passadas, enquanto a
balança digital não havia se popularizado, a balança de dois pratos fazia parte da
paisagem socioeconômica cotidiana e pelo menos uma parcela dos educandos
conheciam na prática a lógica do seu funcionamento.
Atualmente, se for entendido que “nos alunos jovens a ação sobre os objetos
torna-se totalmente indispensável para a compreensão” (PIAGET, 1973, apud
PARRA & SAIZ, 2001, p. 244), o instrumento balança necessita ser apresentado aos
alunos e por eles manipulado, para que percebam a relação existente entre o seu
equilíbrio e a relação matemática de igualdade que pode ser estabelecida, até para
que possam abstrair sequencialmente com maior prontidão a sua representação
algebrizada.
Para tanto, sugere-se a construção pelos próprios alunos, de balanças de
dois pratos, a partir de cabides, barbantes ou arames e sacolas plásticos, bem como
de pacotes com diferentes valores de peso, para realizar experimentações.
O baixo desempenho dos alunos na questão 11 da OBMEP 2012, conforme
indicado anteriormente na ilustração 2, parece servir, também, para reinserir nas
discussões curriculares a preocupação com a lógica, que vem sendo objeto de
grande atenção dos pesquisadores sobre o desenvolvimento matemático.
Considera-se, que:
O estado das habilidades lógicas de uma criança às vezes detém a aprendizagem de um sistema convencional: se a criança não desenvolveu uma compreensão dessa ou daquela relação lógica, é às vezes impossível para ela aprender um sistema convencional específico. Nosso exemplo principal disso foi sobre as dificuldades das crianças com o sistema de numeração escrito (NUNES; BRYANT, 1997, p. 227-228).
Direcionando à resolução de problemas essa preocupação com a lógica,
entende-se que os problemas não convencionais, identificados por Smole e Diniz
(2001) como aqueles que não são resolvidos pelo uso direto de um algoritmo, que
exigem que o aluno faça uma leitura mais cuidadosa do texto, selecione e interprete
as informações, estimulando o desenvolvimento de estratégias variadas de
resolução, “favorece os diferentes modos de pensar além da aritmética, estimulando
o pensamento divergente, indutivo e lógico-dedutivo nas aulas de matemática”
(SMOLE; DINIZ, 2001, p. 105).
18
De acordo com essas autoras, “planejando o que fazer, como fazer,
encontrando uma resposta e testando para verificar se ela faz sentido (...) gera uma
atitude que não é passiva e requer uma postura diferenciada frente à resolução de
problemas (SMOLE e DINIZ, 2001 , p. 107)”. Essa perspectiva expressa com muita
proximidade, o que parece ter faltado aos alunos em relação ao problema 11, objeto
de análise neste caderno pedagógico.
3.3 Frações
Outro fator que pode ter sido um complicador do problema 11, para o aluno,
foi o desafio de encontrar a quantidade de farinha correspondente ao conteúdo de
um copo inteiro ou de meio copo, sabendo quanto pesam três copos e meio.
Apesar de parecer bastante elementar a idéia de que duas metades de um
inteiro são equivalentes a um o inteiro, é recomendável lembrar das dificuldades que
os alunos apresentam no trabalho com frações e decimais. Dessa forma, defende-se
a idéia de que, pelo menos, as frações e os números decimais mais comumente
utilizadas sejam sempre explorados nas situações problemas propostas nas aulas
de matemática, abordando os dois aspectos: dado o valor do inteiro, calcular a
fração e dado o valor da fração, calcular o inteiro, como também, propor problemas
que solicitem operações fundamentais com inteiros e frações e ou decimais.
Ë oportuno lembrar que o trabalho com frações e decimais na faixa etária
correspondente ao ano de escolaridade em foco, não pode abrir mão do recurso aos
materiais didáticos estruturados, tais como o Material Cuisenaire para o estudo de
frações e o, Material Dourado de Montessori para o trabalho com decimais, além de
outros materiais, tal como propõe Rosa Neto (1987 p. 68-69). Esse autor sugere que
as atividades com esses materiais podem ser repetidas através de desenhos em
caderno quadriculado.
Queixam-se os professore de Matemática a partir do 6º Ano e até mesmo os
do Ensino Médio, a respeito do “terror” dos alunos quando as situações-problemas
apresentadas envolvem racionais não inteiros, criando-se um clima desconfortável
para os professores dos anos anteriores. Não se resolverá a contento essa questão,
enquanto buscar-se outrem para ser responsabilizado por esse prejuízo, cujas
verdadeiras vítimas são os próprios alunos.
19
Dessa forma, seja em qual for o nível ou estágio de escolaridade, o professor
que desejar reverter essa situação dispõe de diversos materiais, a exemplo dos já
citados, que podem ser facilmente utilizadas em sala de aula, levando seus alunos,
passo a passo, rumo à abstração desejada e ao domínio dessa dificuldade.
Inspirando-se no Material Cuisenaire, sugere-se, que seja montado e
manipulado pelos alunos, o quadro conforme ilustração 9, cabendo ao professor
instigar os estudantes a visualizar, a partir desse material, as diversas possibilidades
que ele oferece quanto à equivalência e operações com frações.
2
1 2
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
4
1
4
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,5
0,5
Ilustração 9 – Material para o estudo das frações
Fonte: SOARES, E.T.P., 2012.
Cita-se como exemplo de atividade com esse material, como também com o
Material Dourado, que o aluno visualize a equivalência entre 2
1 e 0,5;
10
1 e 0, 1, e
outras relações, pois há indícios de que o trânsito do aluno entre as diversas formas
de representar um número racional, é também um sério complicador para a sua
autonomia na resolução de problemas.
UM INTEIRO
20
3.4 Problemas-processo ou heurísticos
Como já foi abordado anteriormente, os problemas não convencionais,
também denominados por Dante (1989, p. 17) de ‘problemas-processo ou
heurísticos’, são problemas que:
Em geral não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que poderá levá-lo à solução (...) Os problemas-processo aguçam a curiosidade do aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e seu espírito explorador. E, principalmente, iniciam o aluno no desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolver situações-problema, o que em muitos casos, é mais importante que encontrar a resposta certa (DANTE, 1989, p. 18).
Na perspectiva de Polya (1978), a Heurística era o nome de certo ramo de
estudo, não bem delimitado, pertencente á Lógica, à Filosofia ou à Psicologia, que
teria como objetivo ”o estudo dos métodos e das regras da descoberta e da
invenção” (p. 86), sendo que as mais famosas tentativas de sistematização devem-
se a Descartes e Leibnitz, ambos grandes matemáticos e filósofos. Ainda esse autor,
entende que “a heurística moderna procura compreender o processo solucionador
de problemas, particularmente, as ‘operações mentais’, típicas desse processo” (p.
87). Daí, talvez, a denominação atribuída por Dante.
Segundo Polya (1978), “a Heurística visa à generalidade, ao estudo de
procedimentos que independem do assunto em questão e são aplicáveis a
problemas de toda sorte” (p. 89), e, o “raciocínio heurístico, que é provisório e
apenas plausível, é importante na descoberta da solução” (p. 88). Destaca esse
autor, que “todos os tipos de problemas, especialmente ‘ problemas práticos’ e até
mesmo ‘enigmas’ situam-se no campo da Heurística”.
Nessa direção, Smole e Diniz (2011), complementam tais pressupostos,
quando abordam os “problemas de lógica”, explicando-os como aqueles cuja
proposta de resolução exigem raciocínio dedutivo e que propiciam uma experiência
rica para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão e
checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e
classificação. Segundo estas as autoras:
21
O método de tentativa e erro, o uso de tabelas, diagramas e listas são estratégias importantes para a resolução de problemas de lógica. Além da exigência de usar uma destas estratégias não-convencionais para sua resolução, os problemas de lógica, pelo inusitado das histórias e pela sua estrutura, estimulam mais a análise dos dados, favorece a leitura e interpretação do texto e, por serem motivadores, atenuam a pressão para obter-se a resposta correta imediatamente (SMOLE; DINIZ, 2001, p. 114).
A partir de tais pressupostos e do desempenho insatisfatório de 92% dos
alunos de 6º. Ano no problema 16 da OBMEP 2012, já apresentado na ilustração2
3, entende-se a necessidade de que o uso de estratégias, das quais falam essas
autoras, seja mais estimulado durante as aulas e que a resolução desse tipo de
situações-problemas passe a fazer parte, explicitamente, das propostas curriculares
de Matemática, não apenas no 6º. Ano, que é o alvo desse estudo, mas das
propostas pedagógicas curriculares de Matemática de todo o Ensino Fundamental e
Médio do Colégio Estadual Visconde de Guarapuava ou da escola que achar
conveniente fazer uso deste caderno pedagógico.
4 METODOLOGIA
A metodologia apontada na Proposta Pedagógica Curricular de Matemática
do Colégio Estadual Visconde de Guarapuava é a Resolução de Problemas. Mas,
considerando as contribuições de Chervel (1990), sobre a história das disciplinas
escolares, e Julia (2001), em seus estudos sobre a cultura escolar como objeto
histórico, há que ser lembrado que nem tudo que está escrito nos documentos
oficiais é o que realmente acontece na realidade.
Quando essa metodologia é adotada, há que se ter em mente que “o ensino-
aprendizagem de um tópico matemático deve sempre começar com uma situação
problema que expressa aspectos-chave desse tópico” (ONUCHIC; ALLEAVATO,
2004, p. 222).
Porém, isso não significa que o problema formulado deva ser convencional ou
padrão, ou seja, daqueles que envolvem a aplicação direta de um ou mais
algoritmos, não exigindo qualquer estratégia do aluno; ao contrário, cabe ao
professor criar um clima de busca, exploração e descoberta, propondo problemas
22
que representem um desafio e que os alunos sintam desejo de resolvê-lo.
Concordamos com a perspectiva de Smole e Diniz (2001), de que a
resolução de problemas “deve estar presente ao longo de todo o curso de maneira
diversificada e pertinente”( p. 120). Também, que:
Cada momento na resolução dos problemas deve ser de investigação, descoberta, prazer e aprendizagem. A cada proposta de resolução os alunos devem ser encorajados a refletir e analisar detalhadamente o texto, estabelecendo relações entre os dados numéricos e os outros elementos que os constituem e também com a resposta obtida, percebendo se esta é ou não coerente com a pergunta e o próprio texto (SMOLE; DINIZ, 2001, p. 120).
A etapa do retrospecto, ou da análise da resposta obtida, recomendado por
Polya (1978) e bem lembrado pelas autoras, é fundamental, pois é nesse momento
que o aluno verifica se o plano de resolução que elaborou e executou foi coerente e
suficiente para obter a resposta ao problema proposto. É um momento especial para
desenvolver o senso crítico, a lógica, a argumentação e a adequação da resposta à
pergunta formulada.
Entende-se que uma estratégia adequada para resolver problemas em sala
de aula, além de seguir as quatro etapas sugeridas por Polya (1978), ou seja:
compreender o problema, elaborar um plano, executar o plano e fazer o retrospecto
ou verificação, seja o professor apresentar o problema individualmente para os
alunos, estimular a utilização de desenhos, esquemas, tabelas que possam auxiliar
a compreensão da problematização apresentada, dando-lhes tempo para pensar;
em seguida, reuni-los em duplas ou pequenos grupos para a troca de idéias. Na
seqüência, após passar nos grupos, fazendo perguntas pertinentes e orientadoras,
estimulando as diversas representações possíveis do enunciado, solicitar que um
aluno venha ao quadro de giz para mostrar como encaminhou a resolução do
problema. Em seguida convidar para vir ao quadro, os alunos que desenvolveram e
executaram planos de resolução diferentes do que foi apresentado.
Essa sequência de ações favorece, dentre outras coisas, a percepção de que
há mais de uma maneira de encaminhar um raciocínio e que onde há um maior
número de pessoas pensando, circula uma quantidade maior de conhecimentos.
Isso também estimula o aluno a embrenhar-se por sua própria conta, assumindo
riscos, na descoberta de novas estratégias.
23
Os problemas propostos deste caderno, embora planejados para tentar
minimizar fragilidades curriculares do 6º. Ano, supostamente identificadas a partir
dos dados fornecidos pela realização da OBMEP 2012, e para serem aplicados
segundo um cronograma específico, de acordo com as normas do Projeto de
Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE 2012, podem ser utilizados para a
introdução de conteúdos, para “sessões especiais de problemas”, ou outro objetivo a
que o professor, desse ou outro nível de aprendizagem, se proponha.
Esses problemas foram extraídos, adaptados ou inspirados em diversas
fontes que serão identificadas, e outros criados pela autora2 do trabalho ora
apresentado, a partir de uma prática docente em Matemática, no Ensino
Fundamental e Médio, que já completou 40 anos.
5 SUGESTÕES DE PROBLEMAS
Todos os problemas aqui apresentados buscam atingir objetivos
determinados, os quais serão explicitados junto com a resolução das atividades
propostas neste caderno pedagógico e, por vezes, comentários que forem julgados
oportunos.
A utilização, pela autora, deste material no 1º. Semestre de 2013, no Colégio
Visconde de Guarapuava, respeitando a normatização do PDE 2012, certamente,
trará novas contribuições que serão expressas em artigo científico a ser publicado
no Portal Diaadiaeducacao do Estado do Paraná.
Objetivando uma maior visibilidade das intenções subjacentes a esse
material, as situações-problemas sugeridas foram divididas em quatro seções:
Explorando o cubo, Equilíbrio x Igualdade, Frações e Problemas Processo ou
Heurísticos.
2 Elenir Terezinha Paluch Soares, Mestra e doutoranda em Educação pela Pontifícia Universidade Católica do
Paraná e Professora QPM de Matemática, da SEED; PR, com atuação no Ensino Fundamental e Médio do
Colégio Estadual Visconde de Guarapuava, em Guarapuava, PR.
24
5.1 Explorando o cubo Problema 1 Dado o desenho de uma das planificações possíveis do cubo, recorte-a, dobre-a e
decore todas as faces, de acordo com a sua criatividade; porém, não cole as abas,
para que você possa visualizar, sempre que quiser, um cubo em sua apresentação
tridimensional e planificado.
Fonte: GIOVANNI JUNIOR, J.R.; CASTRUCCI, B., (2009, p. 120 - Orientações para o professor).
25
Problema 2
Observe a figura do cubo planificado e marque a alternativa errada.
a) As faces verde e preta são opostas.
b) As faces azul e vermelha são opostas.
c) As faces cinza e amarelo são opostas.
d) As faces vermelha e preta são opostas. Fonte: DANTE, L. R., (2004, p. 14).
Problema 3
Quais dessas figuras representam a planificação de um cubo (hexaedro)?
a) b) c) d) e) f) g)
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
Problema 4
Qual dos seis cubos corresponde à planificação dada?
a) a, b, c, d b) b, c, d, e c) c, d, e, f d) d, e, f, g e) b, d, f, g
Fonte: GIOVANNI JUNIOR, J.R.; CASTRUCCI, B. (2009, p. 137 – Manual do professor).
26
Problema 5
Construí um cubo e decorei as suas faces com as seguintes figuras:
No primeiro e segundo lançamentos foi possível visualizar as seguintes imagens:
Vistas essas duas posições, marque qual é a decoração da face oposta à. face . a) b) c) d) e)
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
Problema 6
Considere o cubo abaixo e indique qual é a sua planificação.
e) As planificações apresentadas não correspondem a esse cubo.
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
27
Problema 7.
Qual dessas planificações não corresponde a um cubo?
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
Problema 8
Você está vendo a planificação de um cubo. Imagine-o tridimensionalmente
(montado) e escolha qual das quatro figuras pode corresponder a ele.
a) b) c) d)
Fonte: SOARES, E. T. P., 2012, a partir de BATLLORI, J., 2006, p. 23.
b) c)
d) e)
a)
28
Problema 9
Qual é o valor do quociente entre o número de quadradinhos que decoram todas as
faces do cubo abaixo e o número que representa a diferença entre o número de
arestas e o número de vértices desse cubo?
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012. Problema 10
Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais ele consegue indicar os
dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e
podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 6 também é usada para
mostrar o 9. Na figura ao lado, os cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos
números das quatro faces não visíveis no cubo da esquerda?
A) 15 A)
a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20
a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20
Fonte: disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1- Acesso em 21 Set. 2012.
a) 8
b) 12
c) 16
d) 24
e) 48
29
5.2 Equilíbrio x Igualdade Problema 11
Considerando que a balança está equilibrada, e que todas as laranjas têm o mesmo
peso, quanto pesa meia dúzia dessas laranjas?
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
Problema 12
Dois garotos, um de 35 kg e outro de 39kg, equilibram 3 irmãos em uma gangorra.
Um dos irmãos pesa 30 kg e os outros dois são gêmeos idênticos, que têm pesos
iguais. Quanto pesa cada um dos gêmeos?
Fonte: ALEXANDER & WAGNER (Ilustr.). In: SOUZA, M. H. S. de; SPINELLI, W., (2002, p. 191).
Problema 13
Sabendo que cada manga da balança abaixo pesa 300g, calcule quantos gramas
pesa uma dessas laranjas.
Fonte: MATSUDA, N. (Ilustr.) In: BIANCHINI, E., (2008, p. 124).
a) 150g
b) 250g
c) 600g
d) 900g
e) 1200g
a) 250g b) 200g c) 300g d) 350g e) 150g
a) 16 kg
b) 18 kg
c) 20 kg
d) 22 kg
e) 24 kg
30
Problema 14
A balança da figura está equilibrada. Os dois cilindros têm a mesma massa, cada
cone tem massa de 75g e o cubo tem massa de 63g. Qual é a medida da massa de
cada cilindro?
Fonte: DANTE, L. R., 2004, p. 81.
Problema 15
De acordo com o que as balanças indicam, qual é o peso de uma destas pêras?
Fonte: MATSUDA, N. (Ilustr.) In: BIANCHINI, E., (2008, p. 114).
a) 100g b) 150g c) 200g d) 250g e) 300g
a) 162
b) 81
c) 138
d) 288
e) 12
31
Problema 16
Observe bem a figura seguinte e considere que as balanças estão equilibradas. A
partir desse reconhecimento e considerando que as frutas que aparecem nas
balanças têm o mesmo peso, podemos afirmar que uma maçã pesa quanto?
Fonte: MATSUDA, N. (Ilustr.) In: BIANCHINI, E., (2008, p. 151).
Problema 17
As balanças abaixo estão em equilíbrio. Nelas, caixas da mesma cor têm pesos
iguais. Qual é o peso da caixa azul?
Fonte: Machado, Gustavo/Beto (Ilustr.). In: RIBEIRO, J; SOARES, E., (2006, p. 173).
a) 270g
b) 170g
c) 70g
d) 240g
e) 120g
a) 250g
b) 2,5kg
c) 2500g
d) 3 kg
e) as opções b
e c estão
corretas.
32
Problema 18
Sabendo que todas as esferas têm a mesma massa, quanto pesa o cubo?
Fonte: GIOVANNI JUNIOR, J.R.; CASTRUCCI, B., (2009, p. 127 - Orientações para o professor).
Problema 19
Considerando todas as balanças em equilíbrio, qual é o peso da interrogação no
prato da direita da terceira balança?
a) b) c)
d) e) Nenhuma resposta anterior está correta.
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
?
a)432g
b)72g
c) 472g
d) 18g
e) 108g
33
Problema 20
Usando uma balança de dois pratos, verificamos que 4 abacates pesam o
mesmo que 9 bananas e que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se
colocarmos 9 laranjas num prato da balança, quantos abacates teremos que
colocar no outro prato, para equilibrar a balança?
Fonte: < http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2005.pdf>. Acesso em: 19 Set. 2012.
5.3 Frações
Problema 21
Observe os três copos com capacidade de 250ml cada um, contendo quantidades
diferentes de café.
Qual é a alternativa que mais se aproxima dos números que expressam essas
porções de copo de café?
a) 4
3
7
5,
3
2e c)
6
3
5
2,
4
1e e)
2
1
3
2,
4
1e
b) 7
5
3
2,
4
1e d)
4
2
2
1,
3
1e
Fonte: SOARES, E. T. P., 2012.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
34
Problema 22
A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras
mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da
chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou
nesta viagem?
Fonte: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2005.pdf. Acesso em 19 Set. 2012.
Problema 23
Quem esteve em Portugal, certamente, percebeu que naquele país, diferentemente
do Brasil, é comum a utilização de frações para expressar a variável tempo. Certa
ocasião, necessitando utilizar um táxi para chegar a um determinado local e com
interesse em conhecer o tempo que levaria nesse deslocamento, busquei
informações com três taxistas, O primeiro afirmou que o tempo aproximado para
chegar ao tal local seria de “4
3 de hora”; o 2º. Taxista informou que gastaria “uma
hora menos 4
1”. O terceiro disse que levaríamos “
3
2 de hora” para realizar o
percurso.
Decidi analisar as três respostas antes de fazer a escolha. Desse modo, conto
com a sua ajuda para descobrir qual deles gastaria menos tampo para fazer o
percurso, e, também, qual o tempo previsto.
a) O terceiro, 30 minutos.
b) O segundo, 45 minutos.
c) O terceiro, 40 minutos.
d) O primeiro ou o 2º, pois ambos gastariam, igualmente, 45 minutos.
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta. Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012
a) 10 b) 15 c) 18 d) 25 e) 30
35
Problema 24
Em uma prova de Matemática, dentre as questões propostas, estava esta:
Qual dos números abaixo representa a metade de 4
1? Você escaparia desta
armadilha? Então, marque a resposta certa.
a) 2
1 b)
8
2 c) 0,25 d) 0,125
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.
Problema 25
Priscila conhece uma receita especial de vitamina que dá para 10 pessoas, sendo
um copo para cada. Quantos copos de água ela deve acrescentar para conseguir os
10 copos de vitamina, se a lista de ingredientes é a seguinte:
a) 3 b) 32
1 c) 4 d) 4
2
1 e) 5
Fonte: SOUZA E SPINELLI (2002, p.186).
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36
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Problema 26
A professora de Matemática da Ana é muito divertida e gosta de propor charadas
envolvendo números. Certa vez, Ana lhe perguntou que nota tinha obtido numa
prova e a Professora respondeu que lhe daria algumas pistas, para que ela mesma
descobrisse o que desejava saber. As pistas foram as seguintes:
• A prova toda tinha 20 questões;
• cada questão valia 12
1 ;
• Você acertou apenas oito décimos das questões.
Qual foi a nota de Ana?
a) 16 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32
Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.
Problema 27
Ontem, eu e Flávio jogamos uma partida de xadrez que começou exatamente às
13h15min e durou 4
33 de hora. Qual foi o horário em que terminamos nosso jogo?
a) 16h40min
b) 16h50min
c) 15h45min
d) 16h45min
e) 17h
Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.
Problema 28
Entre quais números inteiros está a fração resultante da adição 5
4
10
7+ ?
0 1 2 3 4
___________________ _________ _________
a) Entre zero e 1 b) Entre 1 e 2 c) Entre 2 e 3 d) Entre 3 e 4
Fonte: SOARES, E.T.P., 2012.
37
Problema 29
Minha mãe prometeu dar-me uma mesada, contanto que eu reservasse 2
1 para
pagar a cantina da escola e 5
2 para ajudar a pagar a locadora de vídeo. Fiz o que
ela pediu e ainda me sobraram R$ 12,00. Você já descobriu qual é o valor da minha
Mesada?
a) R$60,00 b) R$ 80,00 c) R$ 100,00 d) R$ 120,00 e) R$ 150,00
Fonte: SOARES, Elenir T.P., 2012.
Problema 30
Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga apenas
futebol, 300 praticam os dois esportes e 12
1 nenhum deles. Quantos alunos tem
essa escola?
Fonte da Ilustração: DANTE, 2004, p. 243 e 280.
a)1000 b) 900 c) 800 d) 700 e) nenhuma das respostas anteriores está correta.
Fonte (enunciado): Banco de questões da OBMEP 2008, p. 2.
38
5.4 Problemas-processo ou heurísticos
Problema 31
Os números abaixo seguem uma lógica. De acordo com ela, o número que
corresponde à interrogação na sequência abaixo é:
7 4 13 7 37 1 3 2? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
Fonte: ROSA NETO, E., (1987, p.175).
Problema 32
Ganhei um cofrinho com uma moeda. Meu pai prometeu que se eu fizesse minhas
obrigações caseiras, tal como arrumar minha cama, limpar meu tênis todo dia, não
deixar toalha molhada sobre a cama, guardar a louça do escorredor e depositar o
lixo na lixeira da rua, ele colocaria diariamente no meu cofrinho tantas moedas
daquele mesmo valor, quantas lá já estivessem. No décimo dia, cumprido o trato que
fizemos, o cofrinho estava cheio, não cabendo nem mais uma moeda. Fiquei muito
alegre, pois meu pai calculou que com um cofrinho cheio mais a metade do cofrinho
dessas moedas, haveria dinheiro suficiente para comprar aquele game que eu vinha
pedindo. Em quantos dias, nas mesmas condições anteriores, ou seja, eu colocando
uma moeda igual à primeira, e ele colocando, já no primeiro dia, a mesma
quantidade de moedas que nele já estavam, o novo cofrinho estará pela metade?
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012.
1 3 4
a) 19 b) 15 c) 9 d) 10 e) 11
39
Problema 33
Para emendar os cinco pedaços da corrente abaixo, o número mínimo de elos que
precisam ser abertos é:
a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) Nenhuma resposta anterior está correta.
Fonte: ROSA NETO, E., (1987, p. 171).
Problema 34
Você sabia que o Tangram é um antigo jogo chinês, conhecido por esse povo por
que “Tch’i Tch’iao pan”, que significa “As sete tábuas da argúcia (habilidade,
destreza)”? Esse jogo é utilizado a partir de certas regras. No entanto, o desafio que
estamos propondo tem uma única regra: descobrir todos os triângulos e todos os
trapézios que podem ser visualizados a partir de um olhar bastante atencioso sobre
ele. Qual é sua resposta? (O verdadeiro não é numerado)
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012
a) 7 triângulos e 6 trapézios.
b) 6 triângulos e 7
trapézios. c) 7 triângulos e 5 Trapézios. d) 5 triângulos e 4
trapézios. e) nenhuma
resposta anterior está correta.
2 3
1
6
4
5
7
40
Ilust
. Alc
y LI
NA
RE
S. I
n: D
AN
TE
, L.
R..
, 200
2
Problema 35
Fonte: DANTE, L. R. 2004, p.
15
Problema 36
Numa estante existem 10 livros de cem folhas cada. Uma traça estraçalhou desse a
primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro. Quantas folhas a
traça danificou?
a) 1000 folhas
b) 991 folhas
c) 901 folhas.
d) 802 folhas
e) Nenhuma resposta anterior está correta. Fonte: ROSA NETO, E. 1987, p. 178.
Problema 37
João, Pedro e Marcos eram três amigos muito solidários e resolveram repartir
igualmente as figurinhas que tinham. Em dado momento, ao mesmo tempo, João
deu 8 de suas figurinhas para Pedro, que deu 6 figurinhas para Marcos, e este deu 3
figurinhas para João, ficando todos com a mesma quantidade. Quantas figurinhas,
no mínimo, tinham os três juntos no primeiro instante,
antes da repartição?
a) 24 b) 27 c) 21 d) 17
e) Nenhuma resposta anterior está correta.
Ilust. Marcos Guilherme. In: GIOVANNI JR., CASTRUCCI, 2009, p.174.
Fonte: SOARES, E. T. P., 2012
Em qualquer dado, a soma dos pontos das faces
opostas é sempre igual a 7. Na figura ao lado a soma
dos pontos das faces opostas é sempre igual a 7. Na
figura ao lado, a soma dos pontos das cinco faces
que estão encostadas nas três placas é igual a 20.
Quantos pontos marca a face de baixo, apoiada na
placa vermelha?
b) 6 c) 5 d) 3 e) 5
a) 1
41
Problema 38
Descubra a regra da seqüência abaixo e indique qual é o próximo número.
2 7 17 37 77 ?
a) 107 b) 127 c) 137 d) 157 e) e) nenhuma resposta anterior está correta.
Fonte: SOARES, Elenir. T.P., 2012
Problema 39
Montei o maior quadrado possível com as peças abaixo. Uma delas teve que ser
descartada. Qual foi a peça que não utilizei?
a) b) c) d)
Fonte: SOARES, E. T. P., 201
Fonte: BONGIOVANNI, V.; VISSOTO, O. R.; LAUREANO, J. L. T., (1991, p.176). Ilustr.: Kanton e Milton Rodrigues Alves.
Problema 40
Um barqueiro deve transportar
um lobo, uma cabra e um saco
de repolhos através de um rio e
só pode transportar um deles,
além dele próprio. Como o
barqueiro deve proceder,
sabendo que o lobo não pode
ser deixado a sós com a cabra
e nem a cabra com o saco de
repolhos?
42
6 REOLUÇÃO E OBJETIVOS DOS PROBLEMAS
1) Resposta: Obtenção de um cubo, a partir do recorte e dobradura de planificação
dada, decorando as faces, sem, contudo colar as abas, permitindo a visualização
tridimensional e planificada.
Objetivo. Visualizar o cubo na sua forma tridimensional e planificada.
Resolução: O professor pode optar em fornecer o molde pronto de uma planificação
do cubo ou orientar a sua construção.
2) Resposta: letra “d”.
Objetivo: Familiarizar-se com planificações do cubo e identificar faces opostas.
Resolução: Utilizar o material construído no item 1 para reconhecer as faces
opostas de um cubo.
3) Resposta: letra “e”.
Objetivo: Identificar diferentes planificações de um cubo.
Resolução: Recomenda-se que o aluno desenhe as diversas planificações numa
malha quadriculada, recorte e tente montar o cubo, percebendo pela manipulação
qual das planificações correspondem ou não a ele.
4) Resposta: letra “f”.
Objetivo: Identificar a forma tridimensional de um cubo a partir da sua planificação.
Resolução: Recomenda-se que o aluno desenhe a planificação dada, faça a
coloração das faces conforme sugerido e monte o cubo para perceber qual a
representação tridimensional da planificação dada.
5) Resposta: letra “b”.
Objetivo: Identificar faces opostas em um cubo.
Resolução: Considerando que duas faces do cubo são opostas quando não têm
arestas e vértices comuns, e observando as faces visíveis a partir dos dois
lançamentos, a única face que não apresenta aresta nem vértice comuns (não faz
fronteira) com a face decorada com um é a face decorada com .
43
6) Resposta: letra “c”.
Objetivo: ampliar a percepção das posições que as faces opostas tomam na
planificação de um cubo.
Resolução: para obter a resposta à questão proposta, talvez seja necessário que o
aluno desenhe as planificações, recorte-as e teste a montagem do sólido que deseja
obter.
7) Resposta: letra “e”.
Objetivo: Identificar planificações que não correspondem a um cubo.
Resolução: Nesse problema, para obter a resposta, talvez seja necessário que o
aluno desenhe as planificações, recorte-as e teste a montagem do cubo, além de
estar alerta em relação à pergunta formulada, pois apenas um “não” entre as
palavras do texto é suficiente para alterar todo o contexto.
8) Resposta: letra “a”.
Objetivo: Familiarizar-se com a posição ocupada pelas faces opostas do cubo, tanto
em sua representação tridimensional como na planificada.
Resolução: Ao montar o cubo as faces sombreadas tomarão posições opostas.
Assim, a única imagem em que isso pode acontecer é a letra a, podendo imaginar-
se a outra face sombreada como a que está por baixo, pois nas outras opções as
faces sombreadas são vizinhas.
Aos poucos vai ficando claro, para o aluno, a distribuição das faces opostas na
planificação, tal como estão associadas pela mesma letra na figura abaixo:
.
1 2
3 1
2 3
9) Resposta: letra “d” .
Objetivo: Identificar os nomes dos elementos do cubo (face, aresta, vértice) e dos
resultados das operações divisão e subtração.
Resolução: Se cada face é composta de 16 quadradinhos, as seis faces conterão 6
x 16 = 96 quadradinhos.
44
A diferença entre o número de arestas (12) e o número de vértices (8) é 12 – 8 = 4.
O quociente entre 96 e 4 é 96: 4 = 24.
10) Resposta: letra “e” .
Objetivo: Analisar logicamente as possibilidades de rotação de um cubo.
Resolução: Os números 1 e 2 devem aparecer nos dois dados, para formar as
datas 11 e 22. Assim, o dado da direita obrigatoriamente, além do 3,5 e 6, deverá
ter, também, os números 1 e 2, restando apenas uma face desconhecida no dado da
direita.
No dado da esquerda, além do zero e 2, terá que ter o 1, restando 3 faces
desconhecidas.
Se colocarmos o 4 na face desconhecida do dado da direita, isso acarretaria ter que
colocar o 7 e o 8 no dado da esquerda, pois se necessita desses números e as seis
faces do dado da direita já estão definidas. No entanto, para escrever 07, 08 e 30, o
dado da esquerda vem para a direita e o da direita vai para a esquerda, para
obtermos o 7 e o 8 à direita e o 3 à esquerda. No entanto, ao fazer essa inversão,
faltará o zero à esquerda para escrever as datas 07 e 08. Logo, é necessário que o
zero, assim como o 1 e o 2, esteja nos dois dados. Dessa forma, tem-se que:
Dado da esquerda: 0, 2 (faces visíveis) e 1, 4,7 e 8 (faces ocultas).
Dado da direita: 3,5 e 6 (faces visíveis) e 0, 1 e 2 (faces ocultas).
Como está sendo solicitada a soma das faces ocultas do dado da esquerda,
deveremos adicionar 1+ 4 +7 + 8, que resulta 20 (resposta do problema).
11) Resposta: letra “d” .
Objetivo: Aplicar o princípio aditivo da igualdade para obter uma sentença
equivalente, mais simples.
Resolução: Retirando-se duas laranjas e 50g de cada prato da balança, pelo
princípio aditivo da igualdade, ela continuará equilibrada, obtendo-se o peso de uma
laranja.
150g
45
Meia dúzia dessas laranjas pesa 6 x 150g, que é igual a 900g.
SUGESTÂO: solicitar que o aluno registre os esboços de todas as pesagens
realizadas nos problemas de número11 até o de número 20, tal como está
exemplificado nas resoluções aqui sugeridas.
12) Resposta: letra “d” .
Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar o princípio aditivo da
igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.
Resolução: Adicionando-se os pesos dos dois garotos à esquerda na gangorra: 35
+ 39 = 74 kg. Se a gangorra está equilibrada, o seu lado direito deve conter o
mesmo peso, ou seja, os gêmeos e o irmão pesam juntos 74 kg.
13) Resposta: letra “a” .
Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar o princípio aditivo da
igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.
Resolução: Inicialmente, aplicando-se o princípio aditivo da igualdade, podem ser
retiradas 2 laranjas, uma manga e 200g de cada lado da balança, obtendo-se uma
igualdade mais simples, ou seja: 2 laranjas mais uma manga = 800g.
44 kg
74 kg
Multiplicando-se por 2
1 ou
dividindo por 2, os pesos dos dois lados da balança, obtém-se 22 kg. Logo, cada gêmeo pesa. 44: 2 = 22 kg.
800g
2 laranjas
+ 1 manga
46
Substituindo-se o peso da manga por 300g, obtém-se nova igualdade:
2 laranjas + 300g = 800g
Retirando-se 300g de ambos os pratos da balança, obtém-se que:
2 laranjas + 300g – 300g = 800g - 300g ou 2 laranjas = 500g
Aplicando-se o princípio multiplicativo da igualdade e calculando a metade do valor
de cada um dos membros da igualdade, temos que: uma laranja = 250g.
14) Resposta: letra “b” .
Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar os princípios aditivo e
multiplicativo da igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.
Resolução: Substituindo os pesos correspondentes aos cones e ao cubo, obtém-se
a seguinte igualdade:
Retirando-se 63g de ambos os pratos da balança, a mesma continua equilibrada
(Princípio aditivo da igualdade), obtém-se:
Multiplicando-se por 2
1 ou dividindo-se por 2, o peso que está em ambos os pratos
da balança (princípio multiplicativo da igualdade), obtém-se:
225 g 63g
162g
81g
47
Logo, a medida da massa de um cilindro é 81g.
15) Resposta: letra “d” .
Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar os princípios aditivo e
multiplicativo da igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.
Resolução: Substituindo-se na segunda balança o peso de uma pêra por uma
banana mais 100g, obtém-se: 2 bananas + 100g = 400g.
Retirando-se 100g dos dois pratos da balança, tem-se que: 2 bananas = 300g.
Dividindo-se por 2 ou multiplicando-se por 1/2 ambos os membros da igualdade, de
acordo com o princípio multiplicativo, obtém-se a igualdade: 1 banana = 150g.
Porém, a pergunta que se quer responder é quanto pesa 1 pêra.
Voltando à 1ª balança, sabe-se que 1 pêra pesa o mesmo que uma banana mais
100g.
Logo, se 1 banana pesa 150g, 1 pêra pesa 150g + 100g, ou seja, 1 pêra pesa 250g.
16) Resposta: letra “b” .
Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar os princípios aditivo e
multiplicativo da igualdade para obter uma sentença equivalente, mais simples.
48
Resolução: Substituindo 1 mamão na 2ª balança pelo peso dele na 1ª, tem-se que:
Retirando-se 100g de ambos os pratos da balança, obtém-se que: 2 maçãs = 340g.
Dividindo-se por 2 ou multiplicando-se por 1/2 ambos os membros da igualdade, de
acordo com o princípio multiplicativo, tem-se que 1 maçã pesa 170g.
17) Resposta: letra “e” .
Objetivo: Substituir valores correspondentes e aplicar os princípios aditivo e
multiplicativo, para obter uma igualdade mais simples.
Resolução: Retirando-se 2 kg mais 500g de ambos os lados da 1ª balança, a
mesma continua em equilíbrio, obtendo-se a seguinte igualdade:
1 caixa vermelha pesa 1250g.
Considerando a 2ª balança tem-se que:
49
Dividindo-se por 2 ou multiplicando-se por 1/2 ambos os membros da
igualdade referente à 2ª balança, de acordo com o princípio multiplicativo, obtém-se
a igualdade: 2 caixas vermelhas pesam o mesmo que uma azul.
Ou, pela propriedade simétrica da igualdade: uma caixa azul = 2 caixas
vermelhas. Considerando que uma caixa vermelha pesa 1250g, duas caixas
vermelhas pesam 2500g ou 2 kg e 500g ou ainda 2,500kg. Logo 1 caixa azul pesa
2500g ou 2,5kg.
18) Resposta: letra “a”.
Objetivo: Aplicar os princípios aditivo e multiplicativo, bem como a substituição de
valores correspondentes para obter igualdades mais simples.
Resolução: Retirando-se uma esfera dos dois lados da balança, percebe-se que o
peso de 4 esferas equivale ao peso de 1 cubo.
A 2ª balança mostra que 1 cubo mais uma esfera pesa o mesmo que 540g.
Assim, substituindo o cubo da 2ª balança por 4 esferas, tem-se que:
50
Aplicando o princípio multiplicativo da igualdade, divide-se por 5 ou multiplica-
se por 1/5 os pesos de ambos os pratos, concluindo-se que:
uma esfera pesa 540: 5 que é igual a 108g.
Para obter o peso do cubo, volta-se à igualdade obtida inicialmente: 4 esferas
= 1 cubo. Assim, pela propriedade simétrica da igualdade, pode afirmar-se que 1
cubo pesa o mesmo que 4 esferas.
Logo 1 cubo = 4 x 108 e 1 cubo = 432 g.
19) Resposta: letra “a” .
Objetivo: Perceber relações de equivalência e aplicar os princípios aditivo e
multiplicativo das igualdades. Utilizar a substituição de valores conhecidos para
obter novas igualdades.
Resolução: A primeira balança informa que é igual a .
Substituindo, na 2ª. Balança, por obtém-se a seguinte
igualdade:
=
Dividindo-se ambos os membros da igualdade por dois, obtém-se:
=
Substituindo-se na 3ª. balança o por e por.
tem-se que: é igual a. .
20) Resposta: letra “e”.
Objetivo: Perceber relações de equivalência e aplicar os princípios aditivo e
multiplicativo das igualdades. Utilizar a substituição de valores conhecidos para
obter novas igualdades.
540g
51
Resolução: A 1ª. balança permite afirmar que 4 abacates pesam o mesmo que 9
bananas; a 2ª. balança permite afirmar que 3 bananas pesam o mesmo que duas
laranjas. Assim, se substituirmos as 9 bananas da primeira balança por 3 x 3
bananas ou por 3 x duas laranjas, obtém-se a seguinte igualdade:
4 abacates = 6 laranjas
Dividindo-se ambos os membros dessa igualdade por dois, obtém-se uma
nova igualdade: 2 abacates = 3 laranjas.
Se na 3ª. balança há 9 laranjas ou 3x 3 laranjas, então, 9 laranjas pesarão o
mesmo que 3 x 2 abacates. Ou seja: para equilibrar o peso das 9 laranjas, que estão
no prato da esquerda da 3ª. balança é necessário colocar no prato da direita, um
total de 6 abacates.
21)Resposta: letra “e”.
Objetivo: Comparar frações para ordená-las.
Resolução: Facilmente pode ser observado que o 3º copo está pela metade, isto é,
está com 2
1 de sua capacidade com café. Assim as únicas respostas viáveis são a
“c”, a “d”e a “e” (pois 4
2
6
3e valem o mesmo que
2
1). No entanto, na “c”, o 2º copo
está indicado por 5
2, que é menos que a metade, e visivelmente o copo tem mais
que a metade. Logo essa resposta não serve. Na “d”, o 2º copo está indicado como
2
1, o que inviabiliza essa resposta, pois se percebe claramente que o 2º copo tem
mais que a metade.
Assim, a alternativa que mais se aproxima dos números que expressam
essas porções de copo de café é a letra “e”.
SUGESTÃO: solicitar que o aluno CONSULTE O QUADRO DE EQUIVALÊNCIA
DAS FRAÇÕES da ilustração 4 desse caderno pedagógico e que ele construiu no
seu caderno, em todos os problemas que envolvam frações, para uma maior
familiarização com frações que são equivalentes.
22) Resposta: letra “d”.
52
Objetivo: Utilizar a equivalência de frações para simplificar a resolução de situações
problemas.
Resolução: Observando a figura, percebe-se que João gastou 4
2 do tanque de
combustível em sua viagem. Logo, para saber quantos litros ele gastou, basta
calcular 2
1 de 50, pois
4
2 é o mesmo que
2
1. Ou dividir 50 por 4 para achar
4
1e
multiplicar o resultado por 2 para determinar os 4
2. Logo, a resposta é 25 litros.
Esta situação-problema constitui uma ótima oportunidade para utilizar o quadro de
frações (Ilustração 4 desse caderno pedagógico).
23) Resposta: letra “c”.
Objetivo: Identificar frações equivalentes; estabelecer relações de ordem com
frações; obter o valor de uma fração quando é conhecido o inteiro (uma hora = 60
minutos).
Resolução: Ótima oportunidade para utilizar o quadro de frações (Ilustração 4 dessa
unidade didática), que permite visualizar que 4
3 de um todo é o mesmo que esse
todo menos 4
1 e, ainda, que
3
2 é menor que
4
3. Logo, foi o terceiro taxista quem
prometeu fazer o percurso em menos tempo, ou seja, 3
2 de hora.
Calcular 3
2 de hora é o mesmo que calcular essa fração de um total de 60
minutos. Através do quadro da ilustração 4 é possível perceber que para achar essa
fração de um todo, o todo deve ser dividido em 3 partes iguais, ou seja, 60 dividido
por 3, que é igual a 20 minutos, e que correspondente a 3
1 de 60. Como o que se
procura saber é o valor de duas dessas partes, basta multiplicar os 20 minutos por 2
para obter as duas partes (3
2), o que corresponde a 40 minutos.
24)Resposta: letra “d”.
53
Objetivo: Operar com frações; representar um mesmo número racional na forma
fracionária e na forma decimal.
Resolução: A metade de 4
1 é facilmente identificada na Ilustração 4 dessa unidade
didática, onde o aluno pode visualizar que a metade de .8
1
4
1é É uma ótima
oportunidade para o professor explicar divisão de frações e, ainda, lembrar seus
alunos que muitas frações podem ser escritas na forma decimal, bastando para isso
dividir o numerador pelo denominador. Oportunidade especial, também, para alertar
sobre “armadilhas” das provas de múltipla escolha, que às vezes apresentam a
resposta utilizando uma notação diferente daquela em que os dados são
apresentados na situação problema, confundindo o aluno no momento de marcar a
resposta, mesmo tendo resolvido corretamente a questão.
25) Resposta: letra “a”.
Objetivo: Operar com números mistos, ou seja, compostos de uma parte inteira e
outra fracionária em situação problema do contexto cotidiano.
Resolução: Uma forma simples de resolver tal situação pode ser: adicionar
inicialmente as quantidades inteiras e depois as frações, conforme descrição a
seguir, sendo que os cálculos fracionários podem ser visualizados no quadro da
ilustração 4 deste caderno pedagógico.
14
4= inteiro
2
1 + 1
4
1 + 2
4
3 + 2
2
1 = 5 +
2
1 +
4
1 +
4
3 +
2
1 e 5 + 1 + 1 = 7 copos
1 inteiro
Logo, para obter os 10 copos de suco é necessário completar com 3 copos de
água.
26) Resposta: letra “b”.
Objetivo: Obter o valor de uma fração, quando se o conhece o inteiro.
54
Resolução: Se uma questão vale 12
1pontos (que pode ser representado pela fração
2
3 ou pelo decimal 1,5.), 20 questões valem 20 vezes um ponto e meio. Logo o valor
da prova é 20 x 2
3 ou 20 x 1,5 = 30 pontos.
Para obter 10
8 ou 0,8 do total 30, o aluno pode orientar-se pelo quadro da
Ilustração 4, e calcular mentalmente; ou, multiplicar um desses valores por 30,
obtendo 24, o que constitui uma boa oportunidade para esclarecer qualquer dúvida
sobre multiplicação de números racionais. Assim, conforme os cálculos, a nota de
Ana foi 24.
27) Resposta: letra “e”.
Objetivo: Calcular o valor de uma fração quando se conhece o inteiro.
Resolução: Para calcular 4
3 de hora, basta calcular
4
3 de 60 minutos. Dividindo 60
por 4, obtém-se o valor de 4
1 de hora, que corresponde a 15 minutos. Como o
desejado é 4
3 de hora, multiplica-se 15 por 3, que resulta 45 minutos.
Logo, se o jogo começou às 13h15minutos e durou 3h45minutos, o seu término foi
às 17 horas, ou seja, 13h15min + 3h45min, que é igual a 17 h.
28)Resposta: letra “b”.
Objetivo: Adicionar frações e localizar uma fração entre dois números inteiros.
Resolução: Adicionar 5
4
10
7com é o mesmo que adicionar
10
8
10
7com , pois
10
8 é
equivalente a 5
4 e pode facilmente ser adicionado a
10
7, resultando
10
15.
Para localizar 10
15 entre dois números inteiros basta calcular quantos inteiros esse
número racional contém. Como 10
10 corresponde a 1 inteiro e os
15
5 que sobram não
55
chega a um inteiro, conclui-se que 10
15 é maior que 1 inteiro, mas, menor que 2
inteiros. Logo, esse número racional está entre 1 inteiro e dois inteiros.
0 1 2 3
___________________ _________ _____
10
15
29) Resposta: letra “d”.
Objetivo: Adicionar frações e obter o valor do inteiro quando é conhecida uma de
suas partes.
Resolução: Adicionando 5
2
2
1com obter-se-á o valor que será pago na cantina e na
locadora. Como resolver 5
2
2
1+ ?
Como essas frações são pedaços de tamanhos diferentes, para adicioná-las
é necessário substituí-las por frações equivalentes, mas com o mesmo denominador
(pedaços de mesmo tamanho). Para tanto, pode ser consultado o quadro da
ilustração 4 desse caderno pedagógico, onde é possível observar que 2
1 é o mesmo
que 10
5 e
5
2 é o mesmo que
10
4. Logo
5
2
2
1+ =
10
5 +
10
4 , que resulta
10
9 .
Considerando que 10
9 da mesada foram reservados para pagar a cantina e a
locadora, e que a mesada toda corresponde a 10
10, o
10
1 que está sobrando
corresponde aos R$ 12,00. Se a mesada toda corresponde a 10
10, para conhecê-la
basta multiplicar 10 vezes R$ 12,00 que resulta R$ 120,00.
Uma outra forma de obter as frações equivalentes a 5
2
2
1e , com menor
denominador possível, é calcular o menor múltiplo comum dos denominadores, ou
seja, o M.M. C de 2 e 5, que é 10. Buscam-se então as frações com denominador 10
que correspondam a 5
2
2
1e , para então adicioná-las.
56
30) Resposta: letra “b”.
Objetivo: Adicionar frações e obter o valor do inteiro quando é conhecida uma de
suas partes.
Resolução: Adicionando 12
1
3
1
4
1comcom , obtém-se o número de alunos que jogam
somente uma das modalidades e nenhuma delas, e, que adicionados com os 300
alunos que jogam tanto vôlei como futebol, resulta o total de alunos da escola.
Lembrando que 12
1
3
1
4
1++ é o mesmo que
12
4
12
3+ (frações equivalentes a
3
1
4
1e ) +
12
1 e que resulta
12
8, ou, escrito de forma simplificada,
3
2.
Considerando que o total dos alunos da escola seja 3
3, e retirando dele os
3
2
calculados, sobra 3
1 que corresponde a 300 alunos (os que jogam as duas
modalidades). Se 3
1 dos alunos da escola corresponde a 300, os
3
3 que representa
a escola toda é 3 x 300, que é igual a 900 alunos.
31) Resposta: letra “e”.
Objetivo: Utilizar o raciocínio lógico e pequenos cálculos.
Resolução: A relação existente é: subtrair os dois números de cima e o resultado
dividir pelo inferior, obtendo-se o número de dentro do triângulo. Assim, o número
que está faltando é 9, pois 37 – 1= 36, que dividido por 9 resulta o 4. Logo, a
resposta correta é a letra “e”.
32) Resposta: letra “c”.
Objetivo: Identificar as informações relevantes no enunciado de uma situação
problema e estabelecer estratégias de resolução.
Resolução: Se no décimo dia o cofrinho está totalmente cheio é porque no dia
anterior (no 9º dia) o pai colocou tantas moedas quantas lá já estavam. Isto é, já
tinha metade do cofrinho e o pai colocou quantidade igual, o que deixou o cofrinho
cheio. Assim, a metade do 2º cofrinho será alcançada em 9 dias.
57
33)Resposta: letra “d”
Objetivo: Fazer uso do raciocínio lógico.
Resolução: Abrir os 3 elos do 1º pedaço e cada elo aberto engancha dois dos
quatro pedaços.
34) Resposta: letra “a”.
Objetivo: Desafiar a atenção do aluno quanto à identificação de triângulos e
trapézios, mesclados em um quadro contendo outras figuras geométricas planas.
Resolução: Triângulos visualizados: (1), (2), (3), (4), (5), (1 e 5 juntos) e (2, 3, 4, 6 e
7 juntos). Total de triângulos: 7.
Trapézios visualizados: (2, 4, 6, e 7 juntos), (2,4 e 6 juntos); (4,6 e 7 juntos), (2 e 6
juntos), (4 e 6 juntos) e (4 e 7 juntos). Total de trapézios: 6.
Logo a resposta correta é 7 triângulos e 6 trapézios.
35) Resposta: letra “b”.
Objetivo: Visualizar mentalmente faces não visíveis de um cubo, identificando as
opostas.
Resolução: No dado superior, a face não visível e que está encostada na placa
marrom é oposta à face . Como a soma dos pontos de faces opostas é
7, essa face não visível tem 5 pontos.
Nestas condições, a face não visível encostada na placa verde é oposta à
face que tem 6 pontos. Logo, essa face tem 1 ponto.
No dado que está inferior ao considerado inicialmente, a face encostada na
placa marrom é oposta a que tem 4 pontos. Assim, ela terá 3 pontos. A face desse
dado encostada na placa verde é oposta à face de 2 pontos e, portanto terá 5
pontos. Finalmente, a face inferior desse dado que está encostada na placa
vermelha poderá ter 1 ponto ou 6 pontos.
Como a soma das cinco faces encostadas nas três placas é 20, conclui-se
que basta adicionar as 4 faces não visíveis já identificadas e calcular quanto falta
para completar os 20 pontos.
As faces do dado superior encostadas nas pacas marrom e verde são,
respectivamente, 5 e 1 pontos, e, as faces do dado de baixo encostadas nas placas
marrom e verde são, respectivamente: 3 e 5 pontos. Adicionando 5 + 1+ 3 + 5 = 14.
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Se o total das 5 faces encostadas nas 3 placas totaliza 20 pontos, significa
que a face apoiada na placa vermelha tem 20 – 14 = 6 pontos.
36) Resposta: letra “d“.
Objetivo: Estabelecer como estratégia lógica para solucionar uma situação
problema que envolve várias igualdades, uma sequência de substituições até obter a
igualdade desejada.
Resolução: Perfurou todas as folhas dos oito livros do meio, mais a 1ª folha do 1º
livro e a última folha do último livro. Logo danificou 802 páginas.
Ao olhar na estante, percebemos que a 1ª folha do 1º livro e a última folha do
último livro fazem fronteiras com os 8 livros do meio e, portanto as 99 últimas
páginas do primeiro livro e as 99 primeiras folhas do último livro foram preservadas.
37)Resposta: letra “a”.
Objetivo: Estabelecer estratégia lógica para solucionar uma situação problema e
verificar a necessidade de atender todos os condicionantes do enunciado.
Resolução: Para que João, Pedro e Marcos pudessem repassar, respectivamente,
8, 6 e 3 figurinhas é porque teriam pelo menos essas, inicialmente. Assim, o quadro
inicial poderia ser:
João Pedro Marcos
8 6 3
Após o repasse,o quadro ficou assim:
João Pedro Marcos
3 8 6
Porém, isso não satisfaz o enunciado quando diz que ao final todos os três
ficaram com a mesma quantia.
Para que as quantidades sejam minimamente iguais, sem deixar nenhuma figurinha
de fora, João teria que ter 5 a mais do que a quantidade que deu, ou seja, teria que
ter pelo menos 13, das quais deu 8 para Pedro, ficando com 5, que adicionadas com
as 3 que ganhou de Marcos, ficaria também com 8. Pedro tinha 6, recebeu 8 de
João, ficando com 14, das quais repassou 6 para Marcos, ficando com 8. Marcos
teria que ter pelo menos duas a mais do que se supunha inicialmente, ou seja, 2 + 3
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= 5, que adicionadas com as 6 que recebeu de Pedro, totalizaria 11; e tirando as 3
que deu para João, ficaria, também, com 8.
Nessas condições, adicionando as 13 (João inicialmente) + 6 (Pedro
inicialmente) + 5 (Marcos inicialmente), obtêm-se 24 figurinhas (total inicial, o que
garante 8 para cada um depois da repartição, pois 8 x 3 = 24).
38) Resposta: letra “d”.
Objetivo: Levantar hipóteses de regras que determinam uma sequência numérica e
testá-las.
Resolução: Há pelo menos duas regras para obter a sequência 2, 7, 17, 37, 77.
Uma delas é: a partir do 2º número, cada número é “o dobro do anterior aumentado
de 3”. Assim, o 7 é resultado do dobro de 2 aumentado de 3 unidades; o 17 é o
resultado do dobro de 7 aumentado de 3 unidades, e assim sucessivamente. Logo o
próximo número da sequência é o dobro de 77 aumentado de 3, ou seja, 2 x 77, que
é = a 154 + 3 = 157.
Outra regra para obter essa sequência é: a partir do 2º número, cada número
é o anterior aumentado do número cinco multiplicado pelas potência de 2, ou seja,
por 20 que é igual a 1, por 21 que é 2, por 22 que é 4, por 23 que é 8, por 24 que é 16,
e assim por diante. Assim: 7 = 2 + 5 x 1 ; 17 = 7 + 5 x 2 ; 37 = 17 + 5 x 4 e
77 = 37 + 5 x 8. Logo, o próximo número da seqüência é: 77 + 5 x 16 = 157..
39) Resposta: letra “b”.
Objetivo: Organizar estratégias lógicas para solucionar problemas.
Resolução: Com 20 quadradinhos (o total de quadradinhos disponíveis) não é
possível montar um quadrado. O maior quadrado possível, utilizando o quadradinho
como unidade é um quadrado de 4 unidades de lado, formado, ao todo, por 16
quadradinhos. Logo, a peça descartada é a “b”.
40) Resposta: Na 1ª viagem o barqueiro leva a cabra e volta sozinho. Na 2ª viagem,
leva o repolho e volta com a cabra. Na 3ª viagem, leva o lobo e volta sozinho. Na 4ª
viagem, leva a cabra.
Objetivo: Estabelecer estratégia a partir da lógica, para atender os condicionantes
de uma situação-problema.
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REFERÊNCIAS
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