Licence EEA parcours Ingénierie Electrique

Cours Régulation Industrielle

AIDE MEMOIRE

Pierre BONNET 2010-2011

Principales règles de Laplace

Transformée d'une fonction f(t) : F p =∫0

∞

f te−pt dt si ∫0

∞

∣ f t ∣e−pt dt converge

Inversion de la transformée:f t =

12

∫c− j∞

c j∞

F pe pt dp

Linéarité L [a.f t b. g t ] = a.F pb.G p

Dérivation temporelleL[ df t

dt ]= p F p− f 0+

Dérivation secondeL[ d 2 f t

dt 2 ]= p2 F p−p f 0+− f̊ 0+

IntégrationL[∫

0

t

f d ]= F p

p

Dérivation/Intégration de la transformée L [ tn f t ] = −1n d n F p

dpn L[ f t t ]=∫

p

∞

F udu

Théorèmes aux limites limt ∞

f t = limp0

[ pF p ] limt 0

f t = limp∞

[ pF p ]

Translation temporelle L [ f t−T ] = e−Tp F p

Translation de la variable de Laplace

L [e−at f t] = F p−a

Mise à l'échelle du temps L [ f ta] =

1a

F pa

Produit de convolution L [ f t ∗g t ] = L[∫ f ∗g t−d ]= F p .G p

Table des Transformées de Laplace

Fonction Fonction temporelle f(t) Transformée de Laplace F(p)

impulsion unitaire t 1

Echelon unité u (t) 1p

rampe t ut 1

p2

puissance entière de t t n ut n !

pn1

Exponentielles e−at u t 1

pa

1

e−t / ut 1

1 p

t e−at u t 1

pa2

t n e−at ut n!

pan1

1– at e−at u t p

pa2

Sinus/cosinus sin t u t

p2

2

cos tu t p

p2

2

[1 – cos t ]u t 2

p p2

2

Second ordre complexe

1

N

1−2e−N t

sin N 1−2 t u t

N2

p22N pN

2

−N2

1−2e−N t

sin N 1−2 t−u t

avec =arccos

pN2

p22N pN

2

Système du 1er ordre Réponses temporelles

Equa diffFonction de transfert

dy t

dt y t =ke t

Y p

E p=

k1 p

Réponse impulsionnelle unitaire

y t =k

e−t /u t Y p=k

1 p

Réponse à l'échelone0 u t y t=e0 k 1−e−t / u t Y p=

e0

pk

1 p

y(t)

95% ke0

63ke0

0 3 t

Réponse à la rampe a t u t y t=a k t−a k . e−t / Y p=

a

p2

k1 p

y(t)

0 t 0 t 0 t

ke0

k.a.t. u(t)

Trainage

Réponse fréquentielle du Système du 1er ordre

L j =k

1 j

Lieu de Bode

Amplitude∣L j ∣dB=

20 log k – 20 log1−2

1/2

Phasearg L j =−atan

Lieu de Nyquist

Partie RéelleRéel L j =

k /12

2

Partie ImaginaireImag L j =

−k /12

2

Lieu de Black/Nichols

Amplitude∣L j ∣dB=

20 log k – 20 log1−21/2

Phasearg L j =−atan

Système du 2ème ordre Réponses temporelles

Equation différentielle

1N

2

d 2 y t dt 2

2N

dy tdt

y t =ke t Y p

E p=

k N2

p22N pN

2

Cas 1

Pôles réels p1=−1/ τ1 p2=−1/ τ2 avec

1 2=1 /N2 1 2=2/N

p1=−NN 2−1

p2=−N−N 2−1

Cas =1

Pôles doubles p12=−1 /τ12 avec τ12=1 /ωN p12=−N

Cas 1

Pôles complexes conjugués

p1=−N−iN 1−2

p1=−NiN 1− 2

Réponse ImpulsionnelleCas 1

Réponse impulsionnelle y t=

k N

22−1

[et /1 − et /2]u t Y p =

k p1 p2

p1− p2 [1

p− p1

−1

p−p2 ]Cas =1

Réponse impulsionnelle

y t = kt

2e−t / ut Y p =

k p122

p− p122

Cas 1

Réponse impulsionnelle y t=

k N

1−2e−N t

sin N 1−2t u t Y p =

k p1 p2

p1− p2 [1

p− p1

−1

p−p2 ]Réponse Indicielle

Cas 1

Réponse à l'échelon

e0 u t

yt =ke0 [11

2−1

et /1

2

2−1

et /2]u t Y ( p ) = ke0 [ 1

p+

p2

p1− p2

1p− p1

+p1

p 2− p1

1p− p2 ]

Cas =1

Réponse échelon

y (t)=k e0 [1 – e−t /τ(1+ t / τ)]u( t) Y p =k e0 [1p

–1

p− p12

p12

p− p122 ]

Cas 1

Réponse échelon y t=k e0[1−

e−N t

1−2

sin p t]ut

avec

=arctan1−2 p=N 1−

2

Y p = k e01p

N2

p22N pN

2 ou

Y p = ke0 [ 1p

p2

p1− p2

1p− p1

p1

p2−p1

1p− p2 ]

Réponse Indicielle 2nd ordre ( N=1 rad /s et k=1 )

Réponse rampe 2nd ordre ( N=1 rad /s et k=1 )

page intéressante : http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/

Z=5Z=3Z=2Z=1

Z=0.7

Z=0.5

Z=0.3

Z=5Z=3Z=2

Z=1

Z=0.7Z=0.5

Z=0.3

Z=2

Z=1

Z=0.7

Z=0.5

Z=0.3

Z=5

Caractéristiques de la Réponse Indicielle 2nd ordre pour 1

Temps de montée tm=1

N 1−2 – acos

Temps de réponse à n % ( 0.7 )t r≈

1N

ln100n

Temps de pic t pic=

N 1−2

Pseudo-période T p=2

N 1−2

Pseudo- pulsation p=N 1−2

Dépassement D %=100e− /1−2

Rapport entre deux maximas successifs D1

D2

=e2/1−2

Nombre d'oscillations complètes n≈12

n %

-n %

TpD %

t pict m tr n %

D %

Réponse fréquentielle du Système du 2eme ordre L j =

k

1 j 2N

− N

2=

k

12 ju−u2avec u=

N

Lieu de Bode

Amplitude ∣L j∣dB=

20 logk – 10log [1−u ]24

2 u2

Phasearg L j =atan −u /1−u2

Pour 1

Pulsation de résonancer=N 1−2

2

Pulsation de coupure

c=N 1−2211−2

22

Facteur de résonance

M dB=20 log1

2 1−2

Lieu de Nyquist

Partie Réellek 1−u2

1−u2

22 u

2

Partie Imaginaire−2k u

1−u2

22 u

2

Réponse fréquentielle du Système du 2eme ordre

Lieu de Black/Nichols

Amplitude ∣L j∣dB=

20 logk – 10log [1−u ]24

2u

2

Phasearg L j =atan −u /1−u2