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Capítulo 4

Diseño de filtros digitales1

Diseñar un filtro consiste en encontrar su función de transferencia (realizable y estable)

para su posterior realización mediante una estructura adecuada.

En la mayoría de las aplicaciones, el objetivo que se pretende lograr con el diseño de un

filtro digital, es desarrollar un sistema discreto cuya respuesta temporal y/o respuesta en

frecuencia, sea una aproximación a una determinada especificación del tipo de respuesta

deseada para el filtro.

4.1 Especificaciones de filtros digitales.

Cuando se diseña un filtro siempre existirá un compromiso entre su respuesta temporal ysu respuesta en frecuencia, como se muestra en la Figura 4.1, para el caso de un filtro pasa

bajo ideal. Dependiendo de la aplicación, en el proceso de diseño se le dará más

importancia al comportamiento del filtro en el dominio del tiempo o en el dominio de la

frecuencia, es decir, el objetivo de aproximar la respuesta del filtro a una cierta

especificación de respuesta, dependerá de dicha aplicación.

En esta sección y en las siguientes, se presenta el proceso de diseño de filtros digitales,

atendiendo a su comportamiento en el dominio de la frecuencia como objetivo principal de

diseño.

1 El contenido de este capítulo se basó en:

Universidad de Antioquia, Apuntes del curso “Tratamiento digital de Señales”

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En el dominio de la frecuencia, las especificaciones que determinan el objetivo de diseño

de los filtros son básicamente de dos tipos: el comportamiento de la respuesta en

frecuencia del filtro en la banda de paso (especificaciones en la banda de paso), y el

comportamiento de la respuesta en frecuencia del filtro en la banda de rechazo

(especificaciones en la banda de rechazo).

Las especificaciones en las bandas de paso y de rechazo se dan con ciertas tolerancias. La

banda de transición permite que la magnitud disminuya del valor de la banda de paso al

valor de la banda de rechazo. Por ejemplo, la respuesta en magnitud normalizada )( ω jeG

para un filtro pasa-bajo se muestra en la Figura 4.2.

Figura 4.1. Filtro pasa-bajo ideal. Representación del filtro en el dominio de la frecuencia (a), y en

el dominio del tiempo (b). Respuestas en frecuencia ideal (magnitud) (c), y su correspondiente

respuesta transitoria (d) a una entrada impulso. Respuesta en frecuencia poco selectiva (magnitud)

(e), y su correspondiente respuesta transitoria ideal (f) a una entrada impulso.

Figura 4.2. Gráfica de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo (escala lineal)

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A partir de la gráfica de la respuesta en magnitud del filtro pasa-bajo se definen los

siguientes términos:

Banda de paso: pω≤ω≤0

Banda de transición: s p ω<ω<ω

Banda de rechazo: π≤ω≤ω s

pω = frecuencia límite de la banda de paso.

sω = frecuencia límite de la banda de rechazo.

pδ = valor pico del rizo permitido en la banda de paso.

sδ = valor pico del rizo permitido en la banda de rechazo.

En la banda de paso, definida por p

ω≤ω≤0 , se requiere que la magnitud se aproxime a la

unidad con un error de pδ± , es decir:

p p

j

p )e( G ω≤ωδ+≤≤δ− ω 11 (4.1)

En la banda de rechazo, definida por π≤ω≤ω s , se requiere que la magnitud se aproxime

a cero con un error de sδ , es decir:

π≤ω≤ωδ≤ω s s

j para )e( G (4.2)

Puesto que )e( G jω es periódica y la magnitud )e( G jω de un filtro de coeficientes reales

es una función par, las especificaciones se definen solamente para el intervalo de

frecuencia π≤ω≤0 .

Para cubrir un rango dinámico más amplio en la gráfica de la respuesta en magnitud del

filtro que se va a diseñar, generalmente el eje de las ordenadas, acotado linealmente en la

Figura 4.2, se transforma en un eje con acotamiento logarítmico mediante la función

1020log , como se muestra en la Figura 4.3.

Cuando se utilizan dB’s para describir las especificaciones de la respuesta en magnitud del

filtro, se pueden utilizar las siguientes relaciones, las cuales se muestran en la Figura 4.3:

Función de pérdida:

[ ]dB )e( Glog )( jω−=ως 1020 (4.3)

Valor pico en dB del rizo en la banda de paso:

[ ]dB p p )1(log20 10 δ α −−= 4.4

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Atenuación mínima en dB en la banda de rechazo:

[ ]dB s s )(log20 10 δ α −= (4.5)

Figura 4.3. Gráfica de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo (escala

logarítmica)

Alternativamente, las especificaciones de diseño de un filtro digital se pueden dar en

función de la respuesta en magnitud (con escala lineal), mediante los parámetros mostrados

en la Figura 4.4.

Figura 4.4. Gráfica alternativa de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo

(escala lineal)

En este caso, se supone que el valor máximo de la respuesta en frecuencia de la magnitud

es igual a 1, y la máxima desviación de dicha respuesta en magnitud en la banda de paso

(denotada por 211 ε+ / ), está dado por el valor mínimo de ésta en la banda de paso, como

se muestra en la Figura 4.4. El valor máximo permitido de la magnitud en la banda de

rechazo se denota por A / 1 .

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Nuevamente, cuando se utilizan dB’s para describir estas especificaciones alternas de la

respuesta en magnitud del filtro, se pueden utilizar las siguientes relaciones, las cuales semuestran en la Figura 4.5:

Valor máximo normalizado de la ganancia

[ ]dB0 (4.6)

Atenuación máxima en la banda de paso:

[ ]dB

+−=

210max

1

1log20

ε

α (4.7)

o bien:

[ ]dB

+= 2

10max 1log20 ε α

[ ] 1221log20 10max <<≅−−= p p p paradB δ α δ α (4.8)

Atenuación mínima en dB de la banda de rechazo:

[ ]dB A s )/1(log20 10−=α (4.9)

Figura 4.5. Gráfica alternativa de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo

(escala logarítmica)

En la mayoría de las aplicaciones, las frecuencias de paso p f y de rechazo s f se

especifican en Hz, junto con la frecuencia de muestreo del filtro digital. Puesto que las

técnicas de diseño de filtros usan las frecuencias angulares pω y sω , es necesario

normalizar las frecuencias críticas antes de aplicar los algoritmos de diseño. Para una

frecuencia de muestreo T F en Hz y para frecuencias de paso y de rechazo p f y s f en Hz,

respectivamente, las frecuencias angulares normalizadas en radianes están dadas por:

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T f F

f

F p

T

p

T

p

p π=π

=Ω

=ω 22

(4.10)

T f F

f

F s

T

s

T

s s π=π

=Ω

=ω 22

(4.11)

donde T es el período de muestreo, es decir, T F / T 1= .

4.2 Filtros IIR y FIR

Los filtros IIR ( Infinite Impulse Response o Respuesta al Impulso Infinito) y los filtros FIR

( Finite Impulse Response o Respuesta al Impulso Finito) constituyen las dos grandesclasificaciones de los sistemas discretos en general, los cuales requieren estudiarse porseparado debido a sus características particulares y a los métodos de análisis y diseño que

son propios de cada uno de ellos. En esta sección se presentan brevemente y en forma

comparativa, algunos de los conceptos más importantes relacionados con dichos filtros, loscuales pueden servir como un primer paso en la selección y diseño de éstos de acuerdo a la

aplicación específica.

4.2.1 Selección de filtros IIR y FIR

En el dominio de la frecuencia, si la linealidad de la fase es el factor más importante en el

comportamiento del filtro que se va a diseñar, un filtro FIR es la opción adecuada, queademás tiene la ventaja de ser estable con coeficientes cuantificados. De no ser así,

conviene usar un filtro IIR, ya que en la mayoría de los casos el orden del filtro será menorque el del FIR equivalente.

En la Tabla 4.1 se muestra un resumen de los criterios de selección para los filtros IIR y

FIR.

Tabla 4.1. Criterios de selección para filtros IIR y FIR

4.2.2 Métodos de diseño

Los métodos de diseño de los filtros IIR y de los filtros FIR son diferentes debido a lascaracterísticas de cada uno de ellos. A continuación se presenta una descripción general de

dichos métodos para cada tipo de filtro.

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4.2.2.1 Métodos de diseño de filtros IIR.

Para filtros IIR, el método de diseño más usado se basa en el diseño de los filtrosanalógicos. Las especificaciones del filtro digital se convierten a especificaciones de un

filtro analógico pasa-bajo prototipo, se determina la función de transferencia del filtro

analógico que satisface las especificaciones, y finalmente se transforma a la función detransferencia del filtro digital.

Para la transformación del filtro analógico en el filtro digital deseado, se propone unmétodo basado en el mapeo entre los dominios s de la Transformada de Laplace y z de la

Transformada Z, de tal manera que se mantengan las propiedades fundamentales de la

respuesta en frecuencia, es decir, la función de mapeo debe ser tal que:

(1) El eje imaginario ( Ω j ) en el plano s se mapea al círculo unitario (ω je ) del

plano z.

(2) Una función de transferencia analógica estable, se transforma en una función detransferencia digital estable.

Las transformaciones más comunes entre los filtros analógicos y digitales son:

(a) La invarianza al impulso.(b) La transformación bilineal.

4.2.2.2 Métodos de diseño de filtros FIR.

El diseño de filtros FIR se basa en una aproximación directa de la respuesta en magnitudespecificada en el dominio de la frecuencia, a través de lograr una determinada respuesta al

impulso unitario en el dominio temporal. Entre los métodos de diseño se cuentan el deventanas y el de muestreo en frecuencia. Otros métodos se basan en técnicas iterativas de

optimización para minimizar el error entre la respuesta en frecuencia deseada y la del filtrogenerado por computadora.

En la Tabla 4.2 se muestra un resumen de los métodos de diseño presentados para filtrosIIR y FIR.

Tabla 4.2. Métodos de diseño para filtros IIR y FIR

Más adelante se presentan, de manera más detallada, el método de la transformación bilineal para el diseño de filtros IIR y el método de ventanas para el diseño de filtros FIR.

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4.2.3 Estimación del orden de filtros IIR

Para el diseño de un filtro IIR pasa-bajo ) z ( G basado en un filtro analógico pasa-bajo, el

orden del filtro digital ) z ( G depende del orden del filtro analógico )( s H a en que se basa.

Al transformar )( s H a

a ) z ( G se obtiene el orden de ) z ( G . El orden de )( s H a

depende

de las especificaciones del filtro y del tipo de respuesta del filtro deseado, que puede ser

Butterworth, Chebyshev, Bessel, Elíptico, etc.

4.2.4 Estimación del orden de filtros FIR

Para el diseño de un filtro FIR existen varias fórmulas para estimar el valor mínimo de la

longitud (orden) del filtro N a partir de las especificaciones pω , sω , pδ y sδ . Una

fórmula aproximada es la fórmula de J. F. Kaiser, dada por la siguiente expresión:

)( ) πω−ω

−δδ−≅

2614

1320 10

/ .

log N

p s

s p (4.12)

de donde se observa que N es inversamente proporcional al ancho de la banda de

transición. Existen otras fórmulas que tratan de ser más precisas. Si el filtro diseñado con

el valor de N estimado no satisface las especificaciones, hay que aumentarlo hasta que se

satisfagan.

4.2.5 Escalamiento de la función de transferencia digital

Después de que el filtro digital FIR o IIR ha sido diseñado, es necesario escalar la

magnitud de la función de transferencia ( ) z G para que pueda llevarse a la práctica. Esto se

logra multiplicando la función de transferencia por una constante de escala K , tal que la

magnitud máxima de la función de transferencia escalada ( ) ( ) z KG z G =1 en la banda de

paso sea igual a la unidad, es decir, la función de transferencia escalada tiene una ganancia

máxima de 0 dB.

En el caso de una función de transferencia de un filtro pasa-bajo, la constante K se ajusta

al valor ( )11 LP G / K = , lo que implica una ganancia de 0 dB para 0=ω . Para una función

de transferencia correspondiente a un filtro pasa-alto, ( )11 −= HP G / K , que da 0 dB en

π=ω . Para una función de transferencia de un filtro pasa-banda, ( )c j

PB eG / K ω=1 , donde

cω es la frecuencia central. Y para una función de transferencia de un filtro de rechazo de

banda, K típicamente se escoge como el recíproco de ( ) ( )[ ]11 RB RB G ,Gmax − .

4.3 Diseño de filtros IIR

Los dos métodos de diseño de los filtros IIR presentados en la sección 4.2.2, difieren en la

función de mapeo que se realiza entre los dominios de s y z. A continuación se mencionan

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los criterios de diseño de ambos métodos, así como la función de mapeo que los

caracteriza.

• Método de Invarianza al Impulso para el diseño de filtros IIR.

El objetivo de este método es desarrollar una función de transferencia IIR cuya respuesta alimpulso sea exactamente igual a la versión muestreada uniformemente de la respuesta al

impulso de la función de transferencia analógica prototipo. La función de mapeo entre losdominios de s y z es:

sT e z = (4.13)

donde T es el período de muestreo. Esta función de mapeo no es uno a uno y puede

producir suplantamiento ("aliasing "), por lo que no se estudiará.

• Método de la Transformación Bilineal para el diseño de filtros IIR.

En este método se trata de obtener una función de transferencia IIR cuya respuesta en

frecuencia sea una aproximación a la respuesta en frecuencia de la función de transferenciaanalógica prototipo. La función de mapeo entre los dominios de s y z es:

+−

= −

−

1

1

1

12

z

z

T s (4.14)

donde T es el período de muestreo. Esta función de transformación sí produce un mapeo

uno a uno entre los dominios de s y z.

4.3.1 Método de la Transformación Bilineal para el diseño de filtros IIR

El método de la Transformación Bilineal, al producir un mapeo de un punto en el plano s aun solo punto en el plano z, y viceversa, permite que la función de transferencia del filtro

digital IIR resultante, represente una buena aproximación al filtro analógico prototipo.

La transformación del plano s al plano z está dada por la expresión definida en (4.14). La

relación entre la función de transferencia digital ( ) z G y la función de transferencia

analógica prototipo ( ) s H está dada por:

( ) ( )

+

−=

−

−=1

1

1

12

z

z

T s

a s H z G (4.15)

El procedimiento de diseño del filtro digital IIR es el siguiente:

1. Primero se aplica la Transformación Bilineal inversa a las especificaciones del filtro

digital para obtener las especificaciones del filtro analógico prototipo ( ) s H a .

2. ( ) s H a se diseña para satisfacer las especificaciones del filtro analógico obtenidas en el

punto anterior.

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3. Se aplica la Transformación Bilineal de la ecuación (4.15) para obtener ( ) z G a partir de

( ) s H a .

Puesto que T no influye en la obtención de ( ) z G , se usará 2=T para simplificar el

procedimiento de diseño y trabajar, de esta manera, con una función de TransformaciónBilineal normalizada.

La Transformación Bilineal inversa para T = 2 está dada por:

s

s z

−+

=1

1 (4.16)

Obsérvese qué pasa para 0Ω= j s , en la expresión siguiente:

0

0

1

1

Ω−

Ω+= j

j z (4.17)

tiene magnitud igual a la unidad, lo cual implica que un punto en el eje imaginario en el

plano s se mapea en un punto del círculo unitario en el plano z. En el caso general, para

00 Ω+= j s σ , resulta:

( )( )

( )( ) 00

00

00

00

1

1

1

1

Ω−σ−Ω+σ+

=Ω+σ−Ω+σ+

= j

j

j

j z (4.18)

Por lo tanto:

( ) ( )( ) ( )2

0

2

0

2

0

2

02

1

1

Ω+σ−

Ω+σ+= z (4.19)

lo que implica que un punto en la mitad izquierda del plano s con 00 <σ , se mapea a un

punto dentro del círculo unitario en el plano z, ya que |z| < 1. De igual manera, un punto en

la mitad derecha del plano s con 00 >σ , se mapea a un punto fuera del círculo unitario en

el plano z, ya que |z| > 1. Cualquier punto en el plano s se mapea a un solo punto en el

plano z y viceversa. Este mapeo se muestra en la Figura 4.6.

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Figura 4.6 Mapeo de la transformación bilineal: (a) eje imaginario del plano s al círculo unitario

del plano z; (b) semiplano izquierdo del plano s al interior del círculo unitario en el plano z; (c)

semiplano derecho del plano s al exterior del círculo unitario en el plano z

La relación exacta entre el eje imaginario en el plano s y el círculo unitario en el plano z

está dado por:

ω−

ω−

+−

=Ω j

j

e

e

T j

1

12 (4.20)

o

ω=Ω2

2tan

T (4.21)

Ω=ω −

22 1 T

tan (4.22)

La gráfica de (4.21) para T = 2, se muestra en la Figura 4.7.

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Figura 4.7. Mapeo de ω vs Ω a través de la Transformación Bilineal (T = 2)

De la Figura 4.7 se puede ver que el mapeo entre ω y Ω no es lineal. Esto introduce una

distorsión en el eje de frecuencia llamada deformación de frecuencia (warping ), por lo que

para desarrollar un filtro digital que cumpla con una respuesta en magnitud específica,

primero hay que predeformar ( prewrap) las frecuencias críticas ( pω y sω ) para encontrar

las equivalentes analógicas ( pΩ y sΩ ) usando la relación de la ecuación (4.21), diseñar el

prototipo analógico ( ) s H a usando las frecuencias críticas predeformadas, y luego

transformar ( ) s H a usando la Transformación Bilineal para obtener la función de

transferencia del filtro digital ( ) z G .

Hay que tomar en cuenta que la Transformación Bilineal conserva la respuesta en

magnitud del filtro analógico solamente si la especificación requiere magnitud constante

por partes ( piecewise). Sin embargo, la respuesta en fase del filtro analógico no se conserva

después de la deformación.

4.3.2 Conversión de filtros digitales pasa-bajo a otros tipos de filtros

Para el diseño de filtros digitales IIR, se utilizan siempre como prototipos de diseño, filtros

analógicos pasa-bajo normalizados, por lo que el filtro digital resultante también es pasa- bajo. Esto es así por la facilidad que representa el diseño de dichos filtros digitales a partir

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de filtros analógicos pasa-bajo prototipos, para los cuales existen funciones de

transferencia normalizadas, ecuaciones y tablas de coordenadas de polos y ceros, y familias

de curvas normalizadas para cada tipo de respuesta (Butterworth, Chebyshev, Bessel,

Gaussian, elípticos, etc).

Al diseñar un filtro es necesario, por lo tanto, modificar las características de éste parasatisfacer las especificaciones iniciales de diseño. Estas modificaciones se realizan en dos

fases: transformar el filtro pasa-bajo diseñado en el tipo de filtro requerido, y

desnormalizar los valores originales del diseño de dicho filtro pasa-bajo.

Las transformaciones que se pueden realizar del filtro pasa-bajo prototipo son las

siguientes:

1. pasa-bajo a pasa-bajo.

2. pasa-bajo a pasa-alto.

3. pasa-bajo a pasa-banda.

4. pasa-bajo a rechaza banda.

4.4 Diseño de filtros FIR

Para el diseño de filtros FIR existen varios métodos, como ya se mencionó en la sección

4.2.2, los cuales son el método de ventanas, el de muestreo en frecuencia y otros métodos

que se basan en técnicas iterativas de optimización para minimizar el error entre la

respuesta en frecuencia deseada y la del filtro generado por computadora

En esta sección se presenta solamente el método de ventanas, en sus dos versiones:

ventanas fijas y ventanas ajustables.

4.4.1 Método de ventanas para el diseño de filtros FIR

El método de diseño de filtros FIR más sencillo es el método de ventanas. Este método se

basa en obtener la respuesta en frecuencia del filtro ( )ω je H como una aproximación a la

respuesta en frecuencia ideal deseada ω j

d e H , mediante una determinada respuesta al

impulso unitario ( )nh en el dominio temporal, a través de los pasos mostrados

gráficamente en la Figura 4.8.

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Figura 4.8. Ejemplo gráfico para mostrar el diseño de un filtro pasa-bajo FIR mediante el método

de ventanas.

A continuación se describe con más detalle cada uno de los pasos mostrados en la figura

anterior, para el diseño de filtros FIR mediante el método de ventanas:

1. Este método comienza con una respuesta en frecuencia ideal deseada que puede

representarse por:

( ) ( )∑∞

−∞=

−ω =n

jwnd

jd enhe H (4.23)

donde ( )nhd es la secuencia correspondiente a la respuesta al impulso de dicha respuesta

en frecuencia ideal.

Por ejemplo, para un filtro ideal pasa-bajo como el mostrado en la Figura 4.9, su respuesta

en frecuencia de la magnitud ( )ω j

d e H está dada por la siguiente expresión:

( )

π≤ω<ω

ω≤ω

=ω

c

c j

d ,

,

e H 0

1

(4.24)

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donde cω es la frecuencia de corte del filtro.

Figura 4.9. Respuesta en frecuencia de la magnitud ( )ω j

d e H para un filtro pasa bajo ideal, y su

respuesta impulsional ( )nhd respectiva.

2. La respuesta al impulso ( )nhd , asociada a la respuesta en frecuencia ideal deseada

( )ω j

d e H , es una secuencia infinita que también puede representarse en función de la

respuesta en frecuencia ideal ω j

d e H como:

( ) ( ) ωπ

= ∫π

π−

ω d e H nh j

d d 2

1 (4.25)

Por ejemplo, para el mismo filtro ideal pasa-bajo con la respuesta de magnitud ( )ω j

d e H

mostrada en la Figura 4.10, su respuesta al impulso ideal ( )nhd está dada por la siguiente

expresión:

( ) ( )[ ]( )

≠

=

−−=

Qn

Qn

Qn

Qnnh

c

cc

c

d

ω

ω

π

ω π

ω

sin (4.26)

donde c es la frecuencia de corte del filtro y Q es la posición relativa de la muestra

central de la secuencia ( )nhd , como se puede observar en la Figura 4.10.

Figura 4.10. Respuesta impulsional ideal ( )nhd para un filtro pasa-bajo ideal, y su respectivarespuesta en magnitud ( )ω j

d e H .

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3. Como la realización de un filtro FIR se basa en una secuencia finita de la respuesta al

impulso, se propone una aproximación FIR a la respuesta al impulso ideal ( )nhd , la cual se

llamará ( )nh , y se obtendrá mediante una ventana cuya función será la de truncar la

secuencia infinita ideal ( )nhd . La expresión siguiente representa este proceso:

( ) )()( nnhnh d = (4.27)

donde ( )nω es la secuencia de la ventana de duración finita.

Los criterios para seleccionar la ventana ( )nω son los siguientes:

(a) La secuencia de la ventana ( )nω debe tener P = (2Q + 1) muestras que sean simétricas

con respecto a la muestra central ( )Q . Esto significa que la función de retardo de grupo

correspondiente a dicha ventana, será una constante (= Q) para π ω < .

(b) La secuencia de la ventana ( )n debe ser tan corta como sea posible en duración, de tal

manera que el número de cálculos requeridos sea mínimo.

(c) El espectro de la ventana )( ω j R eW debe ser tan angosta como sea posible, para que la

respuesta en frecuencia real )( ω je H se asemeje lo más posible a la respuesta en

frecuencia ideal deseada )( ω jd e H , ya que )()()( ω ω ω j

R j

d j eW e H e H ∗= y

)()( ω ω jd

j e H e H = solo cuando )( ω j R eW es un impulso unitario.

Observación: Los criterios (b) y (c) están en conflicto, ya que las ventanas cuyas

secuencias son de duración más corta producen espectros )( ω jeW que son más anchos y

viceversa, como se muestra en la Figura 4.11 para una ventana rectangular con diferentes

duraciones.

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Figura 4.11. Ventanas rectangulares de diferente duración y sus espectros de magnitud respectivos.

4. Si se considera el caso en que la ventana )(nω consta de (2Q + 1) muestras, es decir,

Qn 20 ≤≤ , entonces la secuencia truncada )(nh tendrá también (2Q + 1) muestras.

Puesto que la multiplicación en el dominio del tiempo discreto es equivalente a la

convolución en el dominio de la frecuencia, se puede llegar a la siguiente expresión:

π ω α π

α ω π

π

α ω <= −−∫ d eW e H e H j j

d j )()(

2

1)( )( (4.28)

El proceso de convolución en el dominio de la frecuencia y de multiplicación en el

dominio del tiempo se ilustra en la Figura 4.12.

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Figura 4.12. Ilustración del proceso de convolución en el dominio de la frecuencia y del proceso

de multiplicación en el dominio del tiempo.

En la figura anterior se muestra, en la parte izquierda (dominio de la frecuencia), el

proceso de la convolución de la respuesta en frecuencia ideal deseada )( ω jd e H con el

espectro de la ventana rectangular )( )( α ω − j R eW , generando el espectro real )( ω je H del

filtro FIR como una aproximación a la respuesta deseada. En la parte derecha de la misma

figura (dominio del tiempo), se muestra el proceso de la multiplicación de la respuesta

impulsional ideal )(nhd

con la ventana rectangular )(nw R

, generando la respuesta

impulsional )(nh .

5. En la Figura 4.13 se puede observar que la respuesta en frecuencia de la magnitud

)( ω je H presenta rizado tanto en la banda de paso como en la de rechazo. Estos rizos se

deben precisamente al empleo de la ventana rectangular )(nw R , ya que ésta presenta una

transición abrupta de uno a cero en las muestras n = 0 y n = 2Q, como puede verse en la

misma Figura 4.13, lo cual hace que la magnitud del espectro de dicha ventana

)( )( α ω − j R eW presente lóbulos laterales de amplitud considerable (sin importar la longitud

P de la ventana )(nw R , como puede verse en la Figura 4.11), los cuales son los causantes

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del rizado en la magnitud de )( ω je H . En la teoría de series de Fourier, este

comportamiento oscilatorio cerca de la banda de paso se conoce como el fenómeno de

Gibbs.

Para reducir este fenómeno se pueden usar otro tipo de ventanas )(nw que presenten

transiciones más graduales de uno a cero en las muestras n = 0 y n = 2Q.

Figura 4.13. Espectro de magnitud )( ω je H de un filtro FIR pasa-bajo con rizo en las bandas de

paso y rechazo debido al empleo de una ventana rectangular )(n R

4.4.2 Método de Ventanas Fijas

Existen muchos tipos de ventanas para truncar la secuencia del impulso unitario )(nhd

generado por la respuesta en frecuencia ideal deseada )( ω jd e H . Algunas de ellas son más

suaves que la ventana rectangular, lo que permite disminuir un poco el rizado que se

produce en las bandas de paso y rechazo. Las ventanas que se usan más comúnmente son

de longitud 2Q + 1, y se presentan a continuación:

1. Rectangular:

≤≤

=casootroen

Qnn

20

,0

,1)(ω (4.29)

2. Hamming :

QnQQ

nn ≤≤−

+

+=12

2cos46.054.0)(

π ω (4.30)

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72

3. Hann ( Hanning ):

QnQQ

nn ≤≤−

++=

12

2cos1

2

1)(

π ω (4.31)

4. Blackman:

QnQQ

n

Q

nn ≤≤−

+

+

+

+=12

4cos08.0

12

2cos5.042.0)(

π π ω (4.32)

En las figuras 4.14 y 4.15 se muestran cada una de las ventanas definidas anteriormente,

así como sus espectros de magnitud respectivos. Estas gráficas se realizaron en MATLAB.

En las Figuras 4.14 y 4.15 se puede ver que los espectros de cada ventana se caracterizan

por tener un lóbulo principal centrado en 0=ω , seguido de una serie de lóbulos laterales

con amplitudes descendentes. Dos parámetros que ayudan a predecir el desempeño de la

ventana en el diseño de un filtro FIR es el ancho del lóbulo principal y el nivel relativo del

lóbulo lateral.

El ancho del lóbulo principal L∆ es la distancia en frecuencia entre los mínimos más

cercanos en ambos lados del lado del lóbulo principal, y el nivel relativo del lóbulo lateral

sl A es la diferencia en dB entre las amplitudes del lóbulo lateral mayor y el lóbulo

principal.

Figura 4.14 Ventanas Rectangular y Hamming y sus espectros respectivos.

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73

Figura 4.15 Ventanas Hanning y Blackman y sus espectros respectivos.

El espectro de magnitud )( ω jeW de la ventana rectangular tiene el lóbulo principal más

angosto, por lo que, para una longitud dada de esta ventana )(nw , debería generar las

transiciones más abruptas de )e( H jω en la discontinuidad de )( ω jd e H , es decir,

)( ω je H debería aproximarse más a )( ω jd e H en las discontinuidades, generando filtros

más selectivos. Sin embargo, el primer lóbulo lateral está a solo 13 dB por debajo del pico principal, dando lugar a rizos de )( ω je H de tamaño considerable alrededor de las

discontinuidades de )( ω jd e H , como puede observarse en la Figura 4.13.

Las otras ventanas caen suavemente a cero, y se puede observar que los lóbulos laterales se

reducen significativamente; sin embargo, el precio que se paga es un lóbulo principal más

ancho, que ocasiona transiciones más anchas en las discontinuidades de )( ω jd e H ,

haciendo que los filtros FIR resultantes sean menos selectivos.

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74

4.4.3 Método de Ventanas Ajustables: Ventana de Kaiser

Los métodos de diseño de filtros FIR mediante ventanas fijas son sencillos, pero no

proporcionan un buen control de las especificaciones de la respuesta en frecuencia, como

son la frecuencia de corte, la magnitud del rizo en la banda de paso y la atenuación mínima

en la banda de rechazo. Otro tipo de ventanas tales como la de Kaiser y la de Dolph-Chebyshev son más flexibles, en el sentido de que se pueden diseñar para cumplir con

algunas de las especificaciones de respuesta en frecuencias mencionadas anteriormente. La

ventana ajustable más usada es la de Kaiser, cuya expresión es la siguiente:

QnQ I

Qn I

nwo

o

k ≤≤−

−

=)(

)/(1

)(

2

β

β

(4.33)

donde β es un parámetro ajustable, e )(u I o es la función de Bessel modificada de orden

cero, que puede expresarse como una serie de potencias:

2

!

)2/(1)( ∑

+=

r

uu I

r

o (4.34)

Como puede verse, la serie anterior es positiva para todos los valores reales de u . En la

práctica es suficiente manejar veinte términos para obtener una buena aproximación de

)(u I o .

El parámetro β controla la atenuación mínima sα , es decir, el rizo sδ en la banda derechazo. Existen fórmulas para estimar β y la longitud del filtro N, a partir de las

especificaciones de sα y del ancho de la banda de transición f ∆ :

21

5021

50

,0

),21(07886.0)21(5842.0

),7.8(1102.04.0

<

≤≤

>

−+−

−

=

s

s

s

s s

s

para

para

parq

α

α

α

α α

α

β (4.35)

≤+∆

>+∆

−

≅21,1

922.021,136.14

95.7

s

s

s

para f

para f N

α

α

α

(4.36)

Conviene hacer notar que la ventana de Kaiser no proporciona control independiente sobre

el rizo pasa-banda pδ . Variando la longitud del filtro 2Q +1 y β se puede definir un

compromiso entre la amplitud de los lóbulos laterales y el ancho del lóbulo principal.

En la Figura 4.16 se muestran las ventana de Kaiser para 63,0 y= β , y una longitud del

filtro N=20, así como los espectros de magnitud correspondientes a cada una de ellas. La

Figura 4.17 presenta, en forma comparativa, los espectros de magnitud de las ventanas

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75

citadas anteriormente. En la Figura 4.18 se muestran las ventanas de Kaiser para 6= β y

longitudes de N = 10, 20 y 40, y en la Figura 4.19 se presentan, en forma comparativa, los

espectros de magnitud de dichas ventanas.

Figura 4.16 Ventanas de Kaiser para 63,0 y= β , y una longitud del filtro de 20= N , y los

espectros de magnitud correspondientes.

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76

Figura 4.17 Gráfica comparativa de los espectros de magnitud de la ventana Kaiser para

63;0 y= β

Figura 4.18 Ventanas de Kaiser para 6= β y longitudes de 4020,10 y N = , y sus espectros de

magnitud respectivos.

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77

Figura 4.19 Gráfica comparativa de los espectros de magnitud de la ventana Kaiser para 6= β y

longitudes de 4020,10 y N =

El procedimiento de diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser se muestra en la Figura

4.20.

A continuación se describen cada uno de los pasos mostrados en la Figura 4.20 para el

diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser:

1. Como primer paso hay que establecer las especificaciones de la respuesta en frecuencia

deseada, definiendo los valores de la frecuencia límite de la banda de paso p , lafrecuencia límite de la banda de rechazo s y la atenuación mínima en la banda de

rechazo sα , como se muestra en la Figura 4.21.

2. La frecuencia de corte del filtro pasa-bajo, se encuentra basándose en la simetría de la

aproximación de la respuesta en frecuencia de la magnitud en la banda de transición,

calculándose mediante la media aritmética de las frecuencias p y s , es decir:

2

s pcω

+= (4.37)

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78

Figura 4.20 Procedimiento de diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser

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79

Figura 4.21 Especificaciones para el diseño de un filtro digital pasa-bajo

El ancho de la banda de transición ∆ f se calcula como:

π 2

p s f

−=∆ (4.38)

3. Para obtener los parámetros β y Q para la ventana de Kaiser )(nwk , se procede de la

siguiente manera:

- Para obtener el valor de Q, se determina la longitud del filtro N mediante (4.36) a partirde los valores de sα y f ∆ , seleccionando el valor entero impar mayor al que resulta de la

estimación de N. Con este valor de N se calcula Q a través de la siguiente expresión:

2

1−=

N Q (4.39)

- β se calcula de la expresión definida en (4.35) usando el valor especificado de sα .

Los valores de los coeficientes de la ventana Kaiser )(nwk , se pueden obtener con

MATLAB mediante el comando ),( β N kaiser w = .

4. Finalmente, a partir de la respuesta al impulso del filtro pasa-bajo ideal definida por:

[ ] nnnh c LP π /)sin()( = , -∞≤n≤∞ y de la ventana Kaiser )(nwk , se obtienen los

coeficientes de la respuesta al impulso del filtro FIR, por el método de las ventanas, de la

siguiente manera:

QnQnwn

nnh k

ct ≤≤−= ),(.

)sin()(

π (4.40)

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80

Se hace notar que el filtro FIR resultante no es causal, pero se puede convertir en causal

retardando los coeficientes del filtro Q muestras. Puesto que Q es par, el filtro retardado

será un filtro FIR de fase lineal Tipo I.

4.5 Diseño de Filtro Digital para el Radar de la Universidad de Piura

La señal que envía el radar hacia la atmósfera tiene una frecuencia de 49.92 MHz, pero

cuando regresa a la antena la frecuencia de la señal es de )92.49( f ∆± MHz. Esta

variación en la frecuencia )( f ∆± es la que nos indica como varían las velocidades de los

vientos en la atmósfera, y es sólo esa variación la que se analiza mediante las fórmulas delefecto Doppler.

La señal que regresa a la antena del radar se compara con una señal de frecuencia constantee igual a 49.92 MHz. Como resultado de esta comparación se obtiene una señal cuya

frecuencia es igual a la variación f ∆ . Teóricamente esta variación de frecuencia f ∆ nos

debería indicar solamente cómo varían las velocidades de los vientos en la atmósfera, perodebido a que existen ruidos que se mezclan con la señal que regresa a la antena del radar,

la nueva señal obtenida de la comparación entre la señal enviada a la atmósfera y la señalrecibida por la antena debe ser filtrada para eliminar los posibles ruidos existentes.

Entonces para el diseño del filtro se debe considerar un filtro pasa bajo cuya frecuencia de

corte coincida con el valor máximo de )( f ∆± que se desea analizar. El radar realiza

mediciones de vientos de hasta 300.3 m/s para la ionósfera, lo que equivaldría en

frecuencia a 100 Hz, el cual es el máximo valor de )( f ∆± . Entonces la frecuencia de corte

quedaría definida a ese valor.

Además se debe tener en cuenta que todas las señales que se encuentren más allá de la

frecuencia de corte son consideradas como ruido y deben ser atenuadas o eliminadas yaque no constituyen información relevante para el análisis de las velocidades de los vientos

de altura.

Para el diseño del filtro digital se hizo uso del software Matlab, específicamente de la

herramienta fdatool 2 ( Filter Design & Analysis Tool ). Con ella el diseño del filtro es muysencillo, y no debemos realizar ningún cálculo engorroso.

4.5.1 Especificaciones de diseño

Teniendo en cuenta las características principales de los métodos conocidos, lo primero es

seleccionar el método de diseño que se va a emplear en el filtro digital. Por esto se

utilizará el método de diseño IIR, ya que el orden del filtro resultante será mucho menorque un filtro equivalente diseñado por el método de FIR. Además utilizaremos la

aproximación de Chebyshev tipo I, por ser una de las más simples.

En cuanto al orden del filtro, dejaremos que Matlab calcule automáticamente el mínimo

orden, pero sin dejar de cumplir con las especificaciones dadas.

2 Para más información sobre esta herramienta ingresar a www.mathworks.com o tipear "help fdatool" en la

ventana principal de Matlab.

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81

Como ya se dijo anteriormente, el tipo de respuesta que tendrá el filtro digital será del tipo

pasa bajo, con una frecuencia de corte de aproximadamente 100 Hz.

Existen además otras especificaciones de frecuencia y magnitud que debemos definir.

Estos parámetros se ven más claramente en la siguiente figura:

Figura 4.22. Parámetros de frecuencia y magnitud para filtros IIR Chebyshev tipo I

donde:

A pass: Fluctuación dentro de la banda de paso.Astop: Atenuación dentro de la banda de filtrado

F pass: Frecuencia que indica el final de la banda de paso

Fstop: Frecuencia que indica el inicio de la banda de filtradoFs: Frecuencia de muestreo. La máxima frecuencia que atenuará el filtro será Fs/2.

Se han considerado las siguientes especificaciones de frecuencia y magnitud para el diseño

del filtro digital:

Tabla 4.3. Especificaciones de magnitud y frecuencia para el diseño del filtro digital

Parámetro Valor

A pass 1 dB

Astop 50 dBF pass 150 Hz

Fstop 200 Hz

Fs 100 MHz

El valor de A pass que se ha escogido es el menor posible (1 dB), de tal manera que no

existan muchas fluctuaciones en la banda de paso, ya que de lo contrario si elegimos unvalor mayor se podrían atenuar o amplificar señales que en realidad se desea que pasen sinser afectadas por el filtro. El valor de la atenuación dentro de la banda de filtrado (Astop) ha

sido elegido según el máximo valor de ruido extraído de los reportes de las medidas de los

vientos de altura. Los valores de F pass y Fstop han sido elegidos de tal manera que el filtrodeje pasar libremente a la señal de 100 Hz, y que además atenúe al resto de señales que se

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encuentren cerca de este valor. La frecuencia de muestreo Fs ha sido elegida en 100 MHz

para conseguir que la máxima frecuencia que atenúe el filtro esté cercana a 50 MHz que es

la frecuencia de trabajo del radar. Ahora con todos estos parámetros se procede a diseñarel filtro.

4.5.2 Cálculo del filtro digital

Con todos los parámetros de diseño ya especificados, el cálculo del filtro se realizaráutilizando la herramienta fdatool de Matlab. Una vez ingresados los parámetros

especificados, las características del filtro calculado son las siguientes:

Tabla 4.4. Características del filtro digital calculado

Tipo de respuesta Pasa bajo

Método de diseño IIR - Chebyshev tipo IOrden del filtro 9

Secciones 5

Estructura Direct-Form II, Second-Order Sections

Estable Sí

Fs 100 MHz

F ass 150 Hz

Fstop 200 Hz

A ass 1 dB

Astop 50 dB

4.5.3 Modelo del filtro digital calculado

El filtro digital cuenta con 5 secciones de segundo orden o SOS's (del inglés Second Order

Seccions), unidas en cadena una con la otra. Debido a que el orden del filtro es 9, entonces

esto quiere decir que la última sección será tan sólo de primer orden. Cada sección seacopla a la siguiente mediante un valor de escala tal como se muestra en la siguiente

figura:

Figura 4.23. Esquema del diagrama de bloques del filtro digital calculado

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83

Los coeficientes de cada sección se encuentran en la matríz SOS, la cual es una matríz de

orden M por 6, donde M es el número de secciones de segundo orden del filtro. Cada fila

de la matríz SOS contiene los coeficientes del numerador y denominador (b ik y aik ) de lasección correspondiente del filtro. La matríz SOS correspondiente calculada por Matlab se

muestra a continuación

−

−−

−−

−−

−−

=

=

099998.01011

99997 .021121

99998.021121

99998.021121

99999.021121

aaabbb

aaabbb

aaabbb

aaabbb

aaabbb

SOS

352515352515

342414342414

332313332313

322212322212

312111312111

Los valores de escala se encuentran en la matríz S, la cual es un vector columna con M+1valores de escala. Estos valores son usados entre las secciones de segundo orden del filtro

y cada valor es usado por una sección diferente, de acuerdo al diagrama de la figura 4.23.Es posible considerar a los valores de escala como las ganancias correspondientes a cadauna de las secciones del filtro. La matríz S calculada por Matlab, se muestra a

continuación:

=

=

1

6 -e7.5082

10-e3.1614

10-e9.7389

9-e1.7219

9-e2.2101

s

s

s

s

s

s

S

6 5

4

3

2

1

El diagrama de bloques completo de este filtro digital se explica en el Apéndice A.

4.5.4 Análisis de la respuesta del filtro digital

Una vez que ya sido calculado el filtro digital, ahora se procederá a analizar la respuesta

del filtro. Para esto simularemos varias señales senoidales de distintas frecuencias yevaluaremos la capacidad de filtrado del filtro digital.

La señal de entrada )t ( x estará dada por 4 ondas senoidales de 100 Hz, 1000 Hz, 1 MHz y

10 MHz; todas con amplitudes de 50.

)t 102( sen )t 102( sen )t 102( sen )t 102( sen50 )t ( x 7 6 32 π π π π +++×= (4.41)

A continuación se muestran las gráficas de la señal a la entrada y a la salida del filtro.

Nótese cómo la señal de entrada oscila debido a las componentes de alta frecuencia con las

que cuenta, y en cambio la señal ya filtrada es prácticamente igual a una onda senoidal de100 Hz de frecuencia (con período de 0.01 segundos). Esto claramente es debido a la

acción del filtro, el cual se ha podido demostrar que funciona correctamente, dejando pasar

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libremente las componentes de bajas frecuencias (de acuerdo a las especificaciones de

diseño) y filtrando las de altas frecuencias.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Tiempo

A m p l i t u d

Señal de entrada del fitro digital

Figura 4.24. Señal de prueba antes de ser filtrada

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-60

-40

-20

0

20

40

60

Tiempo

A m p l i t u d

Señal a la salida del filtro digital

Señal 4.25. Señal de prueba después de ser filtrada

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4.5.5 Recomendaciones al momento de implementar el filtro digital

Existen dos maneras de implementar filtros digitales: mediante software y mediantehardware. La implementación mediante hardware tiene como ventaja principal la rápida

velocidad con que se ejecuta la etapa de filtrado y como principal desventaja el costo alto

que implica. En cambio para la implementación mediante software sucede lo contrario: elcosto es menor pero el tiempo que toma en realizar la etapa de filtrado es relativamente

mayor.

Para el caso del radar no habría mayores implicancias en optar por la implementación por software, ya que no se requieren resultados "en tiempo real".

La velocidad con que se realice el muestreo de datos no tiene ninguna relación con el

tiempo que tarde en realizarse el filtrado de la señal, ya que la primera depende de lavelocidad con que cuente el dispositivo que se utilice para muestrear la señal (por ejemplo

una tarjeta de adquisición de datos) y la segunda depende de la velocidad con que ejecuten

las instrucciones del algoritmo de filtrado.

Si es que el algoritmo de filtrado se implementa en una PC, entonces la velocidad con quese ejecute el algoritmo de filtrado dependerá de la cantidad de instrucciones que tenga el

algoritmo y de la velocidad del procesador de la PC que se utilice. Por tanto se recomiendasolo utilizar la cantidad de instrucciones necesarias así como también contar con una PC

que sea adecuada para este tipo de tarea.

Debido a que para implementar el filtro digital es necesario hacer modificaciones dentro

del software y hardware con el que cuenta actualmente el radar, no se ahondará más en estetema

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