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Filtri attivi

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 31-5-2016)

2

Filtri attivi

● Un filtro passivo è un filtro composto solo da componenti passivi

● I filtri attivi fanno uso anche di componenti attivi (di solito amplificatori operazionali)

A differenza dei filtri passivi possono avere guadagno > 1

Possono avere fattori di merito elevati (e quindi risposte di tipo risonante) anche senza impiegare induttori

La loro funzione di trasferimento non dipende dall’impedenza di carico

Nel caso si collegamento in cascata la funzione di trasferimentocomplessiva si ottiene come prodotto di quelle dei singoli stadi

Possono essere utilizzati solo a frequenze relativamente basse acausa della limitazione di banda degli amplificatori operazionali

3

Filtro passa-basso non invertente del 1° ordine

● La funzione di trasferimento è

● Quindi il guadagno in continua e la pulsazione di taglio sono0

0a

b

i

o

1

1

1

11)(

sH

RCsR

Rs

V

VH

RCR

RH

11 0

a

b0

4

Filtro passa-basso non invertente del 1° ordinea guadagno unitario

● L’amplificatore operazionale è utilizzato come inseguitore di tensione

● In questo caso la funzione di trasferimento è

● Quindi si ha 0

i

o

1

1

1

1)(

sRCs

sV

VH

RCH

11 00

5

Filtro passa-alto non invertente del 1° ordine

● Funzione di trasferimento

● Guadagno ad alta frequenza a pulsazione di taglio0

00

a

b

i

o

111)(

s

s

HRCs

RCs

R

Rs

V

VH

RCR

RH

11 0

a

b0

6

Filtro passa-basso non invertente del 1° ordinea guadagno unitario

● Funzione di trasferimento

● Guadagno ad alta frequenza a pulsazione di taglio0

0

i

o

11)(

s

s

RCs

RCss

V

VH

RCR

RH

11 0

a

b0

7

Filtro passa-basso invertente del 1° ordine

● E’ possibile realizzare un filtro passa-basso anche mediante questo circuito che corrispondea un integratore con limitazionedel guadagno a bassa frequenza


● Il circuito ha comportamento invertente

● Il valore assoluto del guadagno in continua e la pulsazione di taglio sono

0

021

2

i

o

1

1

1

1)(

s

HCsRR

Rs

V

VH

CRR

RH

10

1

20

1

8

Filtro passa-alto invertente del 1° ordine

● E’ possibile realizzare un filtro passa-alto anche mediante questo circuito che corrispondea un derivatore con limitazionedel guadagno ad alta frequenza


● Il circuito ha comportamento invertente

● Il valore assoluto del guadagno ad alta frequenza e la pulsazione di taglio sono

0

00

1

1

1

2

i

o

11)(

s

s

HCsR

CsR

R

Rs

V

VH

CRR

RH

10

1

20

1

9

Filtro passa-banda a banda larga

● Combinando i due circuiti precedenti è possibile ottenere un filtro passa-banda

● In questo caso la funzione di trasferimento è

21

10

2211

11

1

2

i

o

11)1)(1(

)(ss

s

HsCRsCR

sCR

R

Rs

V

VH

10

Filtro passa-banda a banda larga

● Nell’ipotesi che le due pulsazioni di taglio soddisfino la condizione

per compreso tra 1 e 2 il guadagno vale

● Al di fuori della banda passante il guadagno diminuisce con pendenza 20 dB/decade

222

111

11

CRCR

1

20 R

RH (guadagno di centro banda)

11

Filtri risonanti senza induttori

● Un filtro passivo realizzato con soli componenti RC non può avere una funzione di trasferimento con poli complessi coniugati

● Lo stesso avviene collegando in cascata filtri attivi del primo ordine

● Per ottenere poli complessi coniugati si possono utilizzare circuiti RLC

● Nei circuiti a bassa frequenza, però, di solito si preferisce evitare l’uso di induttori perché i valori di induttanza necessari sono elevati

di conseguenza gli induttori sono ingombranti e la loro realizzazione in genere richiede l’uso di nuclei ferromagnetici (che possono causare un comportamento non lineare e dare luogo a perdite)

● Per evitare di usare induttori si possono utilizzare particolari circuiti che permettono di ottenere un’impedenza equivalente di tipo induttivo a partire da componenti RC

● In alternativa si possono ottenere funzioni di trasferimento con poli complessi coniugati mediante circuiti RC retroazionati

12

Convertitore di impedenza di Antoniou

● E’ possibile realizzare un bipolo equivalente a un induttore utilizzando solo componenti RC mediante questo circuito(convertitore di impedenza generalizzato)

42

531

i

ieq I ZZ

ZZZVZ

13

Convertitore di impedenza di AntoniouCalcolo dell’impedenza di ingresso

5

i45

i5

Z

VII

VV

53

4i

3

332

4443

ZZ

ZV

Z

VII

IZVV

531

42i

1

11i

2221

ZZZ

ZZV

Z

VII

IZVV

42

531

i

ieq I ZZ

ZZZVZ

14

Simulatore di induttanza

● Utilizzando resistori per le impedenze Z1, Z2, Z3, Z5 e un condensatore per Z4 si ottiene un impedenza di ingresso puramente induttiva

2

5314

42

531eq R

RRRCj

ZZ

ZZZZ

2

5314eq R

RRRCL

15

Filtri attivi del secondo ordine

● I circuiti utilizzati più comunemente per realizzare filtri attivi risonanti del secondo ordine sono i seguenti

● Sostituendo le impedenze con resistori o condensatori è possibile ottenere risposte di tipo passa-basso, passa-alto e passa-banda

Filtro a retroazioni multiple(MFB, multiple feed-back)

Filtro di Sallen e Key

16

Filtri attivi del secondo ordine

● Di seguito verranno analizzate le varie configurazioni e fornite alcune indicazioni per il progetto dei filtri

● Dato che le specifiche di progetto normalmente riguardano la frequenza di taglio e il fattore di merito (più eventualmente il guadagno) il numero di parametri del circuito è solitamente maggiore del numero di specifiche, quindi il filtro può essere realizzato in più modi

● Spesso, dato che i valori normalizzati delle capacità dei condensatori sono in numero minore rispetto ai valori disponibili per le resistenze si sfruttano i gradi di libertà in più per scegliere valori convenienti per le capacità

● Inoltre, per semplificare il progetto, spesso si cerca di utilizzare per i condensatori o per i resistori dei valori uguali

● Nel caso dei filtri Sallen e Key, in cui l’operazionale svolge la funzione di amplificatore non invertente, è possibile semplificare il circuito ponendo il guadagno uguale a 1 (e quindi usando un inseguitore di tensione) o uguale 2 (che comporta Ra Rb)

17

Filtri di Sallen e Key (VCVS)

● I filtri di questo tipo sono detti anchefiltri VCVS (voltage controlled voltagesource) perché l’amplificatore opera-zionale svolge la funzione di un gene-ratore dipendente


dove

è il guadagno dell’amplificatore operazionale in configurazione non invertente

a

b

R

RG 1

)()1( 432153214

41

i

o

YYYYYYYYY

YY

V

VΗ

G

G

18

Filtri di Sallen e Key (VCVS)

● Le tensioni dei nodi A e B possonoessere espresse come

● Applicando la LKI al nodo A si ottiene

● Quindi, sostituendo nell’equazione del nodo l’espressione di VA, si ricava la funzione di trasferimento

Go

B

VV

4

50

4

5BBA 1

Y

YV

Y

YVVV

G

0)()( o4o3A2iA1

G

VVYVVYVYVVY AA

)()1( 432153214

41

i

o

YYYYYYYYY

YY

V

VΗ

G

G

19

Filtro Sallen-Key passa-basso

● Per ottenere una risposta di tipopassa-basso

si pone

● In questo modo si ha

1)()1()(

221112

2121

sCRRGCRsCCRR

GsH

1)(

020

2

Qss

KsH

252

41321

1 ,1

,,0,1

sCR

sCR

YYYYY

20

Filtro Sallen-Key passa-basso

● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-basso del 2° ordine si ricava

● Il guadagno in continua del filtro è

2121

0

1

CCRR

22111

2121

)()1( CRRGCR

CCRRQ

GK

GKH 0

21

Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-basso

● Scelte le capacità C1 e C2 in modo che

dall’espressione di 0 si ottiene

● Sostituendo nell’espressione di Q si ha

● Da questa relazione si ricava R2

22

120

1

211

0

11

RCnR

RnRC

12 nCC

nGCRn

CRnQ

12

120

120

QCn

nGQR

10

2

2 2

1411

22

120

1

211

0

11

RCnR

RnRC

12 nCC

22


● Affinché R2 sia reale deve essere soddisfatta la condizione

● Si può osservare che è possibile scegliere n 1, cioè utilizzare due capacità uguali se

● Se le condizioni precedenti sono soddisfatte, delle due soluzioni ottenute per R2, quella con il segno è sempre positiva, mentre quella con il segno – è positiva se n G 1

24

12

QG

2

2

4

110141

QGnnGQ

23


Riepilogo

● Dati 0 Q e H0, i valori dei componenti si possono determinare nel modo seguente:

Si scelgono le resistenze Ra e Rb in modo che

Si scelgono le capacità C1 e C2 in modo che

Si calcolano le resistenze R1 e R2 mediante le relazioni

21

2

4

11

QG

C

C

a

b0 1

R

RHG

QC

CC

GQ

R20

1

22

2 2

1411

221

21

1

RCCR

o

24

Filtro Sallen-Key passa-basso a componenti uguali

● Per semplificare il progetto del filtro si può imporre che i valori delle resistenze R1 R2 e delle capacità C1 C2 siano uguali

● In queste condizioni si ottiene

● In questo caso il guadagno risulta dipendente dal fattore di merito

● Le resistenze Ra e Rb devono soddisfare la condizione

CCCRRR 2121

QGH

GQ

RC

13

3

1100

QR

R 12

a

b

25

Filtro Sallen-Key passa-alto

● Per ottenere una risposta di tipopassa-alto

si pone


1)1()()(

222112

2121

22121

sGCRCCRsCCRR

GsCCRRsH

1)(

020

2

2

Qss

KssH

2524

13211

1,,

1,0,

RsC

RsC YYYYY

26

Filtro Sallen-Key passa-alto

● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-alto del 2° ordine si ricava

● Il guadagno ad alta frequenza del filtro è

2121

0

1

CCRR

)1()( 22211

2121

GCRCCR

CCRRQ

GCCRRK 2121

GKH 200

27

Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-alto


dall’espressione di 0 si ottiene

● Sostituendo nell’espressione di Q si ha

● Da questa relazione si ricava R1

12

120

2

211

0

11

RCnR

RnRC

12 nCC

11 2120

110

GCRn

CRQ

QCn

nGQR

10

2

1 12

11411

28


● Dato che G 1 i valori di R1 sono sempre reali

● In questo caso, quindi, è sempre possibile scegliere n 1, cioèutilizzare due capacità uguali

● Inoltre l’argomento della radice quadrata è sempre maggiore di 1, quindi l’unica soluzione positiva è quella con il segno

29


Riepilogo


Si scelgono le resistenze Ra e Rb in modo che

Si scelgono arbitrariamente le capacità C1 e C2 (per semplicità si può porre C1 C2)

Si calcolano le resistenze R1 e R2 mediante le relazioni

a

b0 1

R

RHG

QCC

CC

GQ

R210

1

22

1 2

11411

211

20

2

1

CCRR

30

Filtro Sallen-Key passa-alto a componenti uguali

● Per semplificare il progetto del filtro si può imporre che i valori delle resistenze R1 R2 e delle capacità C1 C2 siano uguali

● In queste condizioni si ottengono risultati identici a quelli ottenuti per il filtro passa-basso

● Il guadagno risulta dipendente dal fattore di merito

● Le resistenze Ra e Rb devono soddisfare la condizione

CCCRRR 2121

QGH

GQ

RC

13

3

1100

QR

R 12

a

b

31

Filtro Sallen-Key passa-banda

● Per ottenere una risposta di tipopassa-banda

si pone


1)(

020

2

Qss

KssH

1

)1()(

21

2313221121221

21

321

22

21

31

sRR

CGRRRRRRCRRsCC

RRRRR

GsCRR

RR

sH

3524

2312

11

1,,

1,,

1

RsC

RsC

R YYYYY

32

Filtro Sallen-Key passa-banda

● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-banda del 2° ordine si ricava

● Il guadagno a centro banda del filtro è

21321

210 CCRRR

RR

2313221121

2121321

)1(

)(

CGRRRRRRCRR

CCRRRRRQ

GCRR

RRK 2

21

31

2313221121

23200 )1( CGRRRRRRCRR

GCRRKQH

33

Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-banda

● Una scelta conveniente dei parametri che consente di semplificare i calcoli, è la seguente (filtro a componenti uguali)

● In queste condizioni si ottiene

● I risultati mostrano che non è possibile fissare il valore del guadagno di centro-banda indipendentemente dal fattore di merito

● I valori dei parametri si ottengono dalle relazioni

CCCRRRRR 21221 2

1333

1100

Q

G

GH

GQ

RC

aba

b

0

12

131

1R

QR

QR

RG

CR

34

Filtri a retroazioni multiple (MFB)

● La tensione del nodo A può essereespressa in funzione della tensionedi uscita come

● Inoltre, applicando la formula diMillman si ha

● Imponendo che le due espressioni di VA siano uguali si può ricavare la funzione di trasferimento

o4

5A V

Y

YV

4321

o3i1A YYYY

VYVYV

)( 4321543

41

i

o

YYYYYYY

YY

V

VH

35

Filtro MFB passa-basso

● Per ottenere una risposta di tipopassa-basso

si pone


253

43

3121

1 ,1

,1

,,1

sCRR

sCR

YYYYY

1111

321322

23221

1

3

i

o

sRRR

RRCsRRCC

R

R

V

VH

1)(

020

2

Qss

KsH

36

Filtro MFB passa-basso

● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-basso del 2° ordine si ricava

● Il filtro ha un comportamento di tipo invertente e il suo guadagno in continua (in valore assoluto) è

2132

0

1

CCRR

3212132

1

111

RRRCCRR

CQ

1

3

R

RK

1

30 R

RKH

37

Dimensionamento del filtro MFB passa-basso

● Scelte le capacità in modo che

e tenendo conto del fatto che il guadagno in continua è determinato dal rapporto tra R3 e R1

si ottiene

213

20

2

2132

0

11

CRnR

CCRR

0

31

1

30 H

RR

R

RH

1)( 02

130

130

HCRn

CRQ

12 nCC

38


● Dall’espressione di Q si può ricavare R3

● Affinché il risultato sia reale occorre che il rapporto tra le capacitàsoddisfi la condizione

● Si può notare che, dovendo essere Q 0.5 (altrimenti non si hanno poli complessi coniugati) non si può scegliere n 1, cioè non si possono avere due condensatori uguali

QCn

HnQR

10

02

3 2

)1(411

)1(4

1

02

HQ

n

39


Riepilogo



Si calcolano le resistenze mediante le relazioni

)1(4 02

2

1 HQC

C

QC

CC

HQ

R20

1

20

2

3 2

)1(411

21320

2

1

CCRR

0

31 H

RR

40

Filtro MFB passa-alto

● Per ottenere una risposta di tipopassa-alto

si pone


1)()(

32112

3221

22121

sCCCRsCCRR

sCCRRsH

1)(

020

2

2

Qss

KssH

252433

1211

1,,,

1,

RsCsC

RsC YYYYY

41

Filtro MFB passa-alto

● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-alto del 2° ordine si ricava

● II filtro ha un comportamento di tipo invertente e il suo guadagno ad alta frequenza (in valore assoluto) è

3221

0

1

CCRR

)( 3211

3221

CCCR

CCRRQ

2121 CCRRK

3

1200 C

CKH

42

Dimensionamento del filtro MFB passa-alto


e tenendo conto del fatto che il guadagno ad alta frequenza èdeterminato dal rapporto tra C1 e C3

si ottiene

1)1(0

120

nH

CRnQ

212

20

01

3221

0

1

CRn

HR

CCRR

0

13

3

10 H

CC

C

CH

12 nCC

43


● Dall’espressione di Q si può ricavare R2

● Quindi, sostituendo il valore nell’espressione di R1 si ottiene

● In questo caso non si hanno vincoli sul valore di n, quindi si può scegliere C1 C2

10

02

1)1(

Cn

nHQR

1)1(010

01

nHQC

HR

44


Riepilogo


Si scelgono arbitrariamente le capacità C1 e C2

(spesso, per semplicità, si pone C1 C2)

Si calcola la capacità C3

Si calcolano le resistenze0

13 H

CC

112

1010

01

CC

HQC

HR

11

2

10

202 C

CH

C

QR

45

Filtro MFB passa-banda

● Per ottenere una risposta di tipopassa-banda

si pone


1)()(

2121

21221

21

21

22

21

32

sCC

RRRR

sCCRR

RR

sCRR

RR

sH

1)(

020

2

Qss

KssH

352413

22

11

1,,,

1,

1

RsCsC

RR YYYYY

46

Filtro MFB passa-banda

● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-banda del 2° ordine si ricava

● Il filtro ha un comportamento invertente e il suo guadagno a centro banda (in valore assoluto) è

21321

21

0

1

CCRRR

RR

)( 2121

21

21321

21

CCRR

RR

CCRRR

RR

Q

221

32 CRR

RRK

211

2300 CCR

CRQKH

47

Dimensionamento del filtro MFB passa-banda

● Scelte le capacità in modo che

e posto

si ottiene

12 nCC

12 mRR

2

1

)1( 1031

30

nRHR

nR

nRH

m

nmH

nmR

Rmn

nQ

)1)(1(

1

1)1(

1

1 0

1

3

0113110 )1(

111

Hnm

m

RCRRmnC

m

48


● Dall’espressione di Q si ricava m

● Si può notare che, affinché m sia positivo deve essere verificata la condizione

● Sostituendo l’espressione di m in quella di 0 si ricava R1

● Di conseguenza si ha

02

0

)1( HnQ

Hm

0101

0110

1

HC

QR

H

Q

RC

02

10

2)1( HnQC

QR

103

)1(

Cn

nQR

120

Q

Hn

49


Riepilogo



Si calcolano le resistenze mediante le relazioni

120

1

2 Q

H

C

C

0101 HC

QR

01

2210

2

1 HCC

QC

QR

1

2

203 1

C

C

C

QR

50


● Dalle relazioni precedenti si può notare che

Se H0 2Q2 si può porre C1 C2

Se H0 Q2 si può porre

con cui risulta R2 e quindi si può semplificare il circuito nel modo seguente

120

1

2 Q

H

C

C

51

Filtro elimina-banda

● Collegando l’ingresso e l’uscita di un filtro MFB passa-banda a un sommatore invertente si può realizzare un filtro elimina-banda

52


● Per il circuito risultante si ha

dove Hbp è la funzione di trasferimento del filtro passa-banda

● Quindi si ottiene

5

4bp

5

6

i

o6

5i

4

bpio )()(

1)(

R

Rs

R

RsR

RR

sH

V

VHV

HVV

1

)(

020

2

bpbp

Qss

sKsH

1

11

)(

020

24

5bp

020

2

5

6

Qss

sR

RK

Qs

R

RsH

53


● Per ottenere una risposta di tipo elimina-banda si deve annullare il termine in s a numeratore di H(s)

● Questo richiede che il rapporto R4/R5 coincida con il guadagno a centro banda del filtro passa-banda

● Complessivamente il filtro ha un comportamento invertente e il suo guadagno (in valore assoluto) è

1

1

)(

020

2

20

2

5

6sb

Qss

s

R

RsH

211

23bp00bp

5

4

4

5bp

0

01

CCR

CRHQK

R

R

R

RK

Q

5

6sb0 R

RH

54

Filtro a variabile di stato

● La relazione ingresso-uscita di un filtro passa-alto può essere riscritta nel modo seguente

● L’ultima relazione può essere rappresentata mediante questo schemaa blocchi, in cui compaiono due integratori con costante si tempo 1/0

hp2

20

hp0

i20hp

i

2

200

20

hp

020

2

2

i

hp

1

11

VVVV

VVV

V

ssQK

sQs

K

Qss

Ks

55


● La tensione di uscita è ottenuta combinando la tensione di ingresso con le tensioni di uscita dei due integratori

● Si può notare che queste tensioni sono legate alla tensione di ingresso dalle relazioni

che corrispondono, rispettivamente, alle funzioni di trasferimento di un filtro passa-banda e di un filtro passa-basso

● Quindi si possono ottenere con lo stesso circuito tutte e tre le risposte

● Le uscite passa-basso e passa alto sono non invertenti, mentre quella passa banda è invertente

● I guadagni corrispondenti (in modulo) sono

10

20

20

i

bp

Qss

sK

V

V

10

20

2

20

i

lp

Qss

K

V

V

20lp0hp0 KHH

20bp0 KQH

56


● Una possibile realizzazione circuitale è la seguente

hp21

4hp

1

4

32

2i

1

4

32

3hp )(

1111 VVVV

sRCR

R

sRCR

R

RR

R

R

R

RR

R

57


● Confrontando le equazioni

e

si riconosce che

e quindi

hp21

4hp

1

4

32

2i

1

4

32

3hp )(

1111 VVVV

sRCR

R

sRCR

R

RR

R

R

R

RR

R

hp2

20

hp0

ihp0hp

1VVVV

ssQH

1121

1

4

2

30

R

RQ

R

R

RC

121

22

2

3bp0

32

3lp0hp0

Q

R

RH

QRR

RHH

58


● Si può notare che rispetto ai filtri di Sallen e Key si ha un’espressione del fattore di merito più semplice (Q dipende solo da R2 e R3)

● Q e possono essere fissati indipendentemente l’uno dall’altro, il che rende più semplice la regolazione del filtro

● Inoltre Q risulta meno dipendente dalle tolleranze dei componenti, e questo rende possibile realizzare fattori di merito più elevati rispetto a quelli che possono essere ottenuti con i filtri precedenti

● Con questa configurazione, però, il guadagno non può essere fissato indipendentemente da Q

59

Approssimazione della f.d.t di un filtro ideale

● La funzione di trasferimento di un filtro ideale non è fisicamente realizzabile, quindi vengono utilizzate opportune funzioni approssimanti che ne riproducono l’andamento entro tolleranze prefissate

● Esistono vari tipi di funzioni approssimanti che danno origine a varie classi di filtri (Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer, ecc)

● In seguito, a titolo di esempio, verrà fatto qualche cenno sulle approssimazioni di Butterworth e di Chebyshev

60

Filtri di Butterworth

● Nel caso di un filtro passa-basso l’approssimazione di Butterworth del modulo del guadagno è

dove n rappresenta l’ordine del filtro

● Questa funzione ha la caratteristica che per le sue derivate fino all’ordine n sono nulle, per questo è la risposta di tipo Butterworth èdette massimamente piatta

● Si può notare che, indipendentemente da n, per 0 il modulo di Hvale , che corrisponde a 3 dB

● Per 0 il guadagno decresce con pendenza n20 dB/decade

njH

2

0

1

1)(

2/2

61

Risposta di un filtro passa-basso di Butterworth

62

Filtri di Chebyshev

● Il modulo del guadagno di un filtro bassa-basso di Chebyshev è

dove Cn è il polinomio di Chebyshev di grado n● Nella banda passante il modulo ha dei massimi, di valore 1 e dei minimi

di valore , quindi definisce il valore del ripple nella banda passante

● Il numero complessivo di minimi e massimi (incluso quello nell’origine)è pari a n

● Per 0 il guadagno inizialmente decresce in modo più rapido rispetto al caso del filtro di Butterworth

● Per la pendenza si riduce e tende a n20 dB/decade

0

221

1)(

nC

jH

21/1

63

Risposta di un filtro passa-basso di Chebyshev(ripple = 3 dB)

64

Sintesi in cascata

● Per n 2 la funzione di trasferimento di un filtro, essendo una funzionerazionale, può essere scomposta nel prodotto di termini del primo e del secondo ordine

● Quindi un filtro di ordine n può essere ottenuto collegando in cascata

n2 filtri di del secondo ordine per n pari

n12 filtri del secondo ordine più un filtro del primo ordine per ndispari

● Per i vari tipi di filtro sono disponibili tabelle che riportano i valori normalizzati (rispetto a ) delle pulsazioni di taglio relative ai vari termini e i valori dei fattori di merito, o dei coefficienti di smorzamento 12Q, dei termini del secondo ordine

65

Sintesi di filtri passa-basso e passa-alto

● Di seguito sono riportate, a titolo di esempio, delle tabelle normalizzate relative a filtri passa-basso di Butterworth e di Chebyshev

● Per realizzare un filtro passa-basso i valori delle frequenze normalizzate ricavati dalle tabelle devono essere moltiplicati per la pulsazione di taglio 0 del filtro

● Dato che una risposta di tipo passa-alto può essere ottenuta da una passa-basso sostituendo s0 con 0s, le stesse tabelle possono essere utilizzate anche per il progetto di filtri passa-alto

● In questo caso i valori delle pulsazioni relative ai singoli fattori si ottengono dividendo la pulsazione di taglio 0 del filtro per la frequenza indicata in tabella

● Si può osservare che nel caso dei filtri di Butterworth tutti gli stadi in cascata hanno pulsazione di taglio coincidente con quella del filtro, mentre questo non vale nel caso dei filtri di Chebyshev

66

Esempio di tabella normalizzata

3.19611.10110.70710.56110.506110

12.87911.00010.65310.53219

2.56310.90010.60110.51018

12.24710.80210.55517

1.93210.70710.51816

11.62010.61815

1.30610.54114

11.00013

0.70712

Q5f05Q4f04Q3f03Q2f02Q1f01n

Filtro passa-basso di Butterworth

67


0.5900.3041.1270.5242.0440.7543.9210.92812.5221.02210

0.2900.8220.4491.5850.7053.1450.91310.1781.0279

0.5930.3821.1830.6452.4530.8948.0821.0348

0.3770.8460.5751.8470.8686.2331.0457

0.5990.5131.3320.8344.6331.0636

0.5390.9150.7973.2821.0935

0.6190.7892.1831.1534

0.9691.3411.3003

0.7671.8202


Filtro passa-basso di Chebyshev(ripple = 0.1 dB)

68


0.7490.2121.8640.4763.5610.7216.9370.90222.2630.99810

0.1591.2600.3772.7130.6625.5270.88118.0290.9989

0.7530.2651.9560.5844.2660.85114.2400.9978

0.2051.2970.4803.1560.80810.8990.9967

0.7610.3532.1980.7478.0040.9956

0.2891.3990.6555.5560.9945

0.7850.5293.5590.9934

0.4942.0180.9973

0.9571.0502


Filtro passa-basso di Chebyshev(ripple = 1 dB)

filtri attivi - unibo.it · l’amplificatore operazionale è utilizzato come inseguitore di...

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