finite elemen untuk elemen segi tiga
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
1/23
II. TEORI PLANE STRESS
2.1 Fungsi Aproksimasi
Suatu model matematik dari suatu phisik mencakup beberapa fungsi eksak,
)( xuex misalnya fungsi peralihan, kecepatan, temperatur dll. Terhadap fungsi eksak yang
tidak dikenal ini kemudian dilakukan suatu aproksimasi, sehingga fungsi tersebut
dinamakan fungsi aproksimasi : )( xuex . Dimana perbedaannya :
)()()( xu xu xe ex!
Fungsi aproksimasi u merupakan kombinasi linier terhadap ia :
nn a x P a x P a x P xu )(.......)()()( 2211! (1)
)()( 1 x P xu !
n
n
a
a
a
x P x P .
)().....( 2
1
2 = _ ana P (2)
dimana n P P P ,....,, 21 : adalah fungsi yang diketahui dan independen linier
Kemudian kita tentukan bahwa fungsi aproksimasi u bertemu dengan fungsi
eksak exu pada titik-titik tersebut :
222
111
)()(
)()(
u xu xu
u xu xu
ex
ex
!!
!!
..............................
nnexn u xu xu !! )()( (3)
dengan demikian fungsi aproksimasi dapat ditulis :
nn u x N u x N u x N xu )(.......)()()( 2211!
)()( 1 x N xu ! )(2 x N .. )(3 x N
nu
u
u
/
2
1
= _ anu N (4)
catatan :
- fungsi P(x) adalah fungsi basis aproksimasi
- fungsi N(x) adalah fungsi interpolasi
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
2/23
2.2 Pemilihan Basis Polinomial
Misal ),( L\u pada elemen referensi dalam bentuk suatu kombinasi linier fungsi
independen yang dikenal ),(1
L\ P , ),(2
L\ P ,, yang saling independen. Pemilihan
fungsi ),(1 L\ P adalah suatu operassi dasar dari metode elemen hingga.
_ an
n
a P
a
a
a
P P u ),(...),(),(),( 2
1
21 L\L\L\L\ !
!/
(4)
Basis polynomial untuk 1D :n P \\\\\ ...1)( 32! (5)
Basis polynomial untuk 2D :
Kita gunakan segitiga pascal sbb :
Untuk quadratik lengakap : 221),( L\L\L\L\ ! P
2.3 Relasi Antara Variabel Non-nodal dan Variabel Nodal
Bila kita berikan niali-nilai variabel nodal pada persamaan (4) yaitu dengan
memasukkan koordinat nodal, maka fungsi ) ,( L\u adalah variabel nodal ),( L\exi uu ! :
1
\ L
2\ \L 2L
3\ L\ 2 2\L 3L
4\ L\ 3 22L\ 3\L 4L
- k n tan
- linier
- quadratik
- kubik
- quartik
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
3/23
-
!
nnnnnnnn
n
n
n a
a
a
P P P
P P P
P P P
u
u
u
/////
2
1
21
22222221
11112111
2
1
),(...),(),(
...
),(...),(),(
),(...),(),(
L\L\L\
L\L\L\
L\L\L\
(6)
atau _ a ? A _ ann a P u ! (7)
Bila kita lakukan invers maka diperoleh : _ a ? A_ ann u P a 1! (8)
2.4 Ekspresi Fungsi Geometri ( N dan N )
A pabila kita antar persamaan (8) ke dalam persamaan (4) persamaan menjadi :
? A _ a _ ann u N u A P u ),(),(),(1 L\L\L\ !! (9)
Dimana : ? A1),(),( ! A P N L\L\
Kita peroleh dengan cara yang sama untuk fungsi N :
_ an x N x ),(),( L\L\ ! ; _ an y N y ),(),( L\L\ ! (10)
Elemen segitiga dan segi emapat :
a) Elemen Segitiga tiga nodal
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
4/23
LI1! P
? A
-
!
-
!
101
011
001
),(
),(
),(
22
22
11
LI
LI
LI
P
P
P
A ; ? A
-
!
101
011
0011 A
? A1321
!
!
A P N
N N N N ; LI! 11 N ; I!2 N ; L!3 N
b) Elemen segi empat
ILLI1! P
? A
-
!
1111
11111111
1111
A ; ? A ? A
-
!!
1111
11111111
1111
41
411 T A A
? A14321 !! A P N N N N N
)1)(1(41
)1)(1(41
2
1
LI
LI
!
!
N
N
)1)(1(41
)1)(1(41
4
3
LI
LI
!
!
N
N
2.5 Menentukan Matrik Jacobian ? A J Setelah persamaan (10) terbentuk kita dapat menghitung matrik Jacobian ? A J
Dari geometri fungsi : _ an x N x ),(),( L\L\ ! ; _ an y N y ),(),( L\L\ !
matrik Jacobian: ? A
-
!
2221
1211
J J
J J J ; (11)
dimana :\x
x! x J 11 ; \xx! y J 12 ; Lx
x! x J 21 ; Lxx! y J 22
2.6 Matrik Peralihan ? Am B
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
5/23
? A
-
!!
//
//
//
x N y N
ni y N
x N B
ii
i
i
m
,,
,1......,0........
0,
(12)
dimana : L\ ,,, 1211 iii N j N j x N !
L\ ,,, 2221 iii N j N j y N !
2.7 Matrik Kekakuan
Formulasi matrik kekakuan adalah sebagai berikut :
? A ? A ? A? A ? AL\W d d J B H Bh K mT
m det1
1
1
1 ! (13)dimana : h = ketebalan elemen
? AW H = matrik bahan (Hook)
-
!
21
00
011
01
1 2 v
v
v
E
? Am B = matrik regangan peralihan? A! J det determinan matrik Jacobian
Deformasi _ a _ aKP d an didefinisikan sebagai variable nodal :
_ a ? A _ anb u B!P
n adalah jumlah nodal pada elemen
dengan : ? A
-
!! xiiy
yi
xi
b
N N ni N
N
B
,
.
,
0,1...00...
00
_ a ? A _ an s u B!K
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
6/23
dengan : ? A
-
!!
i yi
i xi
s
N N
ni
N N B
0
,1......
0
,
,
LI
LI
,22,21,
,12,11,
ii yi
ii xi
N j N j N
N j N j N
!
!
eint ditulis dalam bentuk matriks :
? A _ anne uk u21
int !
dan
? A ? A ? A? A ? A ? A? A
? A ? A ? A? Ad A B H Bk
d A B H Bk
k k k
bb
T
A bb
s s
T
A s s
sb
e
e
!
!
!
dalam kasus homogen isotrop :
? A
-
!
21
00
01
01
)1(12 23
YY
Y
Y
E h H
b ; ? A
-
!
10
01kGh H s
k = koefisien koreksi geser, nilainya 5/6
)1(2 Y!
E G
matrik kekakuan ? Ak diperoleh dengan intregrasi eksplisit atau, secara umum , denganintegrasi numeric tipe Gauss untuk kuadrilateral dan tipe Hammer untuk triangular.
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
7/23
Koordinat titik Gauss dan factor berat untuk integrasi Numeric Gauss untuk 1D
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
8/23
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
9/23
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
10/23
CARA LAIN
UNTUK ELEMEN SEGI TIGA
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
11/23
TRANSFORMASI KOORDINAT
Jadi bisa ditentukan, bahwa :
1321 !III , pada titik pusatnya : 41
321 !!! III
Padahal hubungan antara koordinat kartesian dan alami dapat ditulis :
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
12/23
332211
332211
..
..
III
III
y y y y
x x x x
!
!
dari ke tiga persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks :
-
!
3
2
1
321
321
1111
I
I
I
y y y
x x x
y
x
Misalkan elemen balok :
? A
!
3
2
11
I
I
I
A
y
x atau : ? A
!
y
x A
11
3
2
1
I
I
I
Dimana ? A A adalah :
? A
-
!
321
321
111
y y y
x x x A atau : ? A
-
!
21121221
13313113
322323321
21
x y y x y x
x y y x y x
x y y x y x
A A
Dimana A :
jiij
jiij
y y y
x x x
!
!
)()()111
det2 122131132332
321
321 y x y x y x y x y x y x
y y y
x x x A !
-
!
? A 21313121det2 y x y x A A !!
Turunan parsial :
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
13/23
ii
ii
y y
x x
!x
x
!xx
I
I
ik
i
ik i
x y
A
y x
A
!x
x
!xx
I
I
2
2
turunan parsial dari fungsi 321 ,, III f terhadap x dan y dapat ditulis :
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
14/23
x
x
x
x
x
x!
x
x
xx
xx
xx
!
xx
21
3
13
2
32
1
123
312
231
2
1
21
x f
x f
x f
A y
f
y f
y f
y f
A x f
III
III
atau dalam bentuk matriks :
-
xx
xxxx
-
!
-
xxxx
3
2
1
211332
123123
21
I
I
I
f
f
f
x x x
y y y
A y f x f
untuk masalah plane stress kita tentukan 321 ,, III f :
? A
-
!
-
!!
3
2
1
321
3
2
1
321332211321 ,,,,,,
f
f
f
f f f f f f f III
I
I
I
IIIIII
332211
332211
III
III
y y y y
x x x x
uuuu
uuuu
!
!
-
!
-
3
3
2
2
1
1
321
321
000
000
y
x
y
x
y
x
y
x
u
u
u
u
u
u
u
u
III
III
= )()( ee u N
Persamaan regangan deformasi :
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
15/23
)(
3
3
2
2
1
1
122131132332
211332
123123
)()(
000
000
2
1
e
y
x
y
x
y
x
ee
B u
u
uu
u
u
u
y x x x y x
x x x
y y y
A
u DN e
!
-
!
!
D adalah matriks operator deformasi regangan-displacement
Due ! E e!W 0!b DT W
MATRIK KEKAKUAN ELEMEN
Secara umum matrik kekakuan dapat ditulis :
)()()(
eT e E B d hB K e
;!;
dimana :
!; adalah matrik triangle domain
h = ketebalan elemen
karena E dan B kostan maka dapat keluar dari intregral :
)()()(
eT e d h E B B K e
;!;
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
16/23
= ;;
-
-
-
)(
)(
122131132332
211332
123123
332313
232212
131211
1221
2112
3113
1331
2332
3223
2 000
000
0
00
0
0
0
4
1e
eh d
y x y x y x x x x
y y y
E E E
E E E
E E E
y x
x y y x
x y
y x
x y
A
-
-
-
!!
122131132332
211332
123123
332313
232212
131211
1221
2112
3113
1331
2332
3223
)( 000
000
0
0
0
0
0
0
4 y x y x y x
x x x
y y y
E E E
E E E
E E E
y x
x y
y x
x y
y x
x y
A
h E B AhB K T e
III. KASUS PLANE STRESS DAN ELEMEN T6
3.1 Kasus
Kasus plane stress dan elemen T6 diminta untuk menghitung matrik kekakuan
? A K pada titik integrasi Hammer ke-2, apabila diketahui data-data sebagai berikut :
Diketahui titik-titik sumbu pada koordinat cartesian sebagai berikut:
Nodal 1 2 3 4 5 6
X 2 4 5 4 5 4
Y 4 3 1 6 8 6
L
\ 1(0,0) 2(1/2,0) 3(1,0)
4(1/2,1/
5(0,1)
6(0,1/2)
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
17/23
3.2 Pembahasan
3.2.1 Menghitung shape function (N)
Dari segitiga pascal didapat 221 L\\LL\! P
? A
-
!
41
0021
01
10010141
41
41
21
21
1
001011
0041
021
1000001
P ; ? A
-
!
420002
404044
000242
410003
000143
000001
1 P
? A1654321 !! P P N N N N N N N
221 224331)1222)(1( L\\LL\L\L\ !! N
\\\\ !! 23 2)12( N , \L44 ! N , LLLL !!2
5 2)12( N
3.2.2 Menentukan fungsi geometri
\L\\\L\ 444)1(4 22 !! N
26 444)1(4 L\LLLL\ !! N
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
18/23
!
6
5
4
3
2
1
654321),(
x x
x
x
x
x
N N N N N N X L\
!
6
5
4
3
2
1
654321),(
y
y
y
y
y
y
N N N N N N Y L\
665544332211),( X N X N X N X N X N X N X !L\
665544332211),( Y N Y N Y N Y N Y N Y N Y !L\
3.2.3 Menentukan matrik Jacobian ? A J
? A
-
!
2221
1211
J J
J J J
_ a\
\
L\45
),(11
!
x
x!
X J
_ a)41(
),(12 \\
L\!
xx
!Y
J
_ aL
LL\
45),(
21 !xx
!X
J
_ a4
),(22 !x
x!
LL\Y
J
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
19/23
Matrik Jacobian : ? A
-
!
445
4145
L
\\ J
Untuk titik integrasi Hummer ke-2 : 0!\ ; 5.0!L dan61
!iw
Jadi : ? A
-
!
43
15 J ; determinan matrik 23)1)(3()4)(5( !! J
Menentukan invers matrik jacobian : ? A ? A J ad jo J j j
j j J int
1
2221
12111 !
-
!
=
-
53
14
231
3.2.4 menentukan matrik regangan peralihan ? Am B
? A
-
!!
//
//
//
x N y N
i y N
x N B
ii
i
i
m
,,
6,1...,0..........
0,
dimana : L\ ,,, 1212 iii N j N j x N ! ; L\ ,,, 2221 iii N j N j y N !
235
)443(231
)443(234
,1 !! L\\L x N
23
2)443(
23
5)443(
23
3,1 !! L\\L y N
238
)4(231
)484(234
,2 !! \L\ x N
236
)4(235
)484(233
,2 !! \L\ y N
234
)0(231
)14(234
,3 !! \ x N
23
3)0(
23
5)14(
23
3,3 !! \ y N
238
)4(231
)4(234
,4 !! \L x N
236
)4(235
)4(233
,4 !! \L y N
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
20/23
231
)14(231
)0(234
,5 !! L x N
235
)14(235
)0(233
,5 !! L y N
238)844(
231)4(
234,6 !! L\L x N
236
)844(235
)4(233
,6 !! L\L y N
? A
-
!
861586438652
605060306020
080108040805
231
m B
3.2.5 Menentukan matrik kekakuan ? A K
dimana : ? A 21 0
1 01
10 0
2
v E
H vv
vW
! -
=
-
35.000
013.0
03.01
09.01
102 6 x
= 2197802.19
Jadi ? A ? A! K k )19.2197802)(231
)(231
)(61
)(1.0(
? A ? A ? A? Am
T
mB H Bk W!
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
21/23
? A!1k
-
4.58
2.316.76
72.29.935.25
2.125.225.375.9
4.582.312.292.124.58
2.316.769.95.22.316.76
2.296.156.131.62.296.156.14
6.153.3895.425.16.153.388.715.19
4.582.312.272.124.582.312.296.154.59
2.316.769.95.22.316.766.153.382.316.76
275.575.1135.927.5185.227.575.12
4.38.352.85.84.38.357.19.174.38.355.64.26
sim etris
Dengan cara yang sama di atas untuk integrasi Hummer ke-2 :21
!\ dan21
!L
? A
-
!
1000
226.777
2164.3035.25
3.48725.375.9
1411665.237.18511186.1614.1617266.105
1466.526.131.624.36.14
3.632.695.425.17.58.358.715.19
8872.293.995.2732.578.621.264.401
4.962884336.6788.292926144
5.708375.1135.95.2513185.25.368.3375.12
592.80825.8138.527.19.176.2845.64.26
2
sim etris
k
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
22/23
? A
-
!
9319
15.735.25
5.5025.375.9
364.51106.105
975.95.212651
2.404.169.76.356.176.14
5.2305.725.92.165.268.715.19
6.541.727.144.1488.374.501.236.208
1359.135.306.3773257.386.546.108
53.5175.1135.9279.191365.75.381.2875.12
4112.85.88.17273.71.222.258.395.64.26
3
sim etris
k
menghitung matrik kekakuan struktur struktur K adalah :
332211K K K K
struktur !
dimana :
? A
? A
? A333
222
111
)19.2197802)(211
)(211
)(61
)(1.0(
)19.2197802)(271
)(271
)(61
)(1.0(
)19.2197802)(231
)(231
)(61
)(1.0(
k K
k K
k K
!
!
!
jadi struktur K adalah :
? A 3322111212 K K K K x ! =
-
8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga
23/23
-
17829.4
29.49.71
2.2559.113.5
604.00037.066.097.1
6.2117.997.495.04.15
68.55.2172.01.131.18.14
6.1206.71.177.004.137.296.272.001.168.075.014.235.128.088.3
99.584.388.225.02085.399.013.45.41
35.61.3027.005.136.418.1065.489.007.12.21
37.8304.075.059.05.161.096.098.05.124.058.2
35.667.053.055.059.007.28.03.042.06.53.13.5
sym etris
x 10 3
Setelah matrik kekakuan struktur diperoleh, perhitungan selanjutnya adalah menghitung
gaya-gaya dalam pada nodal apabila elemen tersebut diberikan gaya.