finitos 3ra practica
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA CALIFICADA
Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Mecánica
TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA
(ARMADURAS PLANAS)
Curso: calculo por elementos finitos.
Sección: “D”.
Profesor: Cueva Pacheco Ronald.
Alumno: Paredes Rojas Jhon Edison.
Código: 20091032b
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA CALIFICADA
2013-I TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA
(ARMADURAS PLANAS)
OBJETIVOS:
• Estimar la distribución de los esfuerzos en la armadura para cada
elemento finito. Hallar las reacciones en los apoyos, aplicando las
matrices y ecuación de rigidez y condiciones de contorno, etc.
• Calcular los resultados mediante la herramienta matemática MATLAB.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA:
Dada el siguiente diagrama de una armadura de elementos con sección
circular constante de diámetro Φ=50mm y material con módulo de
elasticidad E=3.1*10̂5N/mm 2̂, Calcular las reacciones en los apoyos en
los ejes x, y respectivos y los esfuerzos longitudinales en cada barra.Realizar el diagrama de flujo y su respectiva codificación (solución) en
MATLAB.
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Pc
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA CALIFICADA
Pa = 5000N
Pb = 4000N
Pe = 2000N
Pc = 3000N
Φ = 50 mm
E = 3.1*10̂5 N/mm2
SOLUCION:
1. MODELADO DE LA ESTRUCTURA PLANA:
Modelando en 7 elementos finitos
2. CUADRO DE CONECTIVIDAD:
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA CALIFICADA
Para los 6 grados de libertad es el siguiente cuadro de conectividad donde
se muestra las longitudes y las áreas de los 7 elementos finitos:
(e
)
NODOS GDL le(mm) A e (mm2) Ee ( N /mm
2
l m(1) (2) 1 - 2 - 3 -
41 1 2 1 2 3 4 1500 1963.495
4
3.1x10̂5 1 0
2 2 3 3 4 5 6 1500 1963.495
4
3.1x10̂5 1 0
3 3 4 5 6 7 8 2121.32 1963.495
4
3.1x10̂5 -0.707 0.707
4 4 2 7 8 3 4 1500 1963.495
4
3.1x10̂5 0 1
5 4 1 7 8 1 2 2121.32 1963.4954
3.1x10̂5 0.707 0.707
6 4 5 7 8 9 10 1500 1963.495
4
3.1x10̂5 0 1
7 5 1 9 10 1 2 1500 1963.495
4
3.1x10̂5 0.707 -0.707
También hacemos una tabla en donde se pueda ubicar todas las coordenadas
de los nodos para poder hallar los cosenos.NODO x(mm) y(mm)
1 0 0
2 1500 0
3 3000 0
4 1500 1500
5 0 1500
3. DESPLACAMIENTOS NODALES GLOBALES:
La estructura presenta 2 soportes fijos donde los desplazamientos en
cualquier eje seria 0 mm así se tendría que en los nodos 1 y 3 están
empotrados por lo cual:
Q1=Q
2=Q
9=Q
10=0
Entonces tendríamos que el vector desplazamiento:
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Q=[Q
1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
]=[ 0
0
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
0
0
]Los desplazamientos que se presentan en la figura son desplazamientos
globales. Se ha supuesto el sistema de coordenadas XY globales en el
primer cuadrante.
4. VECTOR CARGA:
Según datos del problema:
F 4=2000 N F
5=5000 N F
6=4000 N
F8 =3000N
Además se tiene que en los nodos 1 y 5 existen reacciones:
F 1= R
1; F
2= R
2;F
9= R
9; F
10= R
10
Teniendo así el vector carga como:
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F =[ F
1
F 2
F 3
F 4
F 5
F 6
F 7
F 8
F 9
F 10
]=[ R1
R2
0
2000
5000
4000
0
3000
R9
R10
]4. MATRICES DE RIGIDEZ PARA CADA ELEMENTO:
Empleando la fórmula para el cálculo deK e:
[ K ]e=k [
l2
lm −l2 −lm
lm m2 −lm −m
2
−l2 −lm l
2lm
−lm −m2
lm m2 ]
Tabla de los cosenos directores para cada elemento:
(e) l m
1 1 02 1 0
3 -0.707 0.707
4 0 1
5 0.707 0.707
6 0 1
7 0.707 -0.707
Para el elemento 1
[ K ]1
=4.05787∗105
Q 1Q 2Q 3 Q 4 1
[ 1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0] Q 1
Q 2
Q 3
Q 4
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Paa e! e!e"en#$ 2
[ K ]2
=4.05787∗105
Q3Q4 Q5Q6 2
[ 1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0] Q 3
Q 4
Q 5
Q 6
Paa e! e!e"en#$ 3
[ K ]3
=1.43468∗105
Q5Q 6Q7Q 8 3
[ 1 −1 −1 −1−1 1 1 −1
−1 1 1 −1
1 −1 −1 1 ] Q5Q6
Q7
Q8
Paa e! e!e"en#$ 4
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[ K ]4
=4.05787∗105
Q 3Q4Q7Q8 4
[0 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1 ] Q3
Q4
Q7
Q6
Paa e! e!e"en#$ 5
[ K ]5
=1.43468∗105
Q 7Q8Q 1Q 2 5
[ 1 1 −1 −11 1 −1 −1
−1 −1 1 1
−1 −1 1 1 ] Q7Q8
Q1
Q2
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Paa e! e!e"en#$ 6
[ K ]6
=4.05787∗105
Q 7 Q 8Q 9 Q 10 5
[ 1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0]
Q 7
Q 8
Q 9
Q 10
Paa e! e!e"en#$ %
[ K ]7
=4.05787∗105
Q 9Q10Q1Q2 7
[
0 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1
]
Q 9
Q10
Q1
Q2
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4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS
En(a")!an*$ !a( "a#i+e( *e +a*a e!e"en#$ $)#ene"$( !a "a#i, g!$)a!+$n !a( +$n*i+i$ne( *e +$n#$n$:
F = KQ
Paa a!!a !$( *e(.!a,a"ien#$( #$"a"$( !a (/) "a#i,:
De *$n*e (e $)#iene !$( *e(.!a,a"ien#$( g!$)a!e(
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Resultados
5. DIAGRAMA DE FLUJO:
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INICI
UICACIN DE NDS ELEMENTS: TALADE CNECTIIDAD
CALCUL DE LSCSENS
DIRECTRES
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6. CODIGO EN SOFTWAREMATLABLuego escribimos la siguiente función en MATLAB:
TERCERA PRACTICA CALIFICADA NMRE Pae*e( R$7a( 8$n E*i($n CDI9 200'1032) ARMADURAS PLANAS+!++!ea a!!+!$(e a!! a(igna+i$n $ inge($ *e *a#$(n*;5 N/"e$ *e n$*$(ne;% N/"e$ *e e!e"en#$( <ni#$(D;50 Dia"e#$ *e +=/ e!e"en#$ <ni#$ >""?
ARMADURAS PLANAS Página 12
ECTR FUER@AS:
F i
MATRI@ DE
K i
ECTRDESPLA@AMIENT:
F i= K
iQ
i
ALR DE
CALCUL DE
ESFUER@S
FIN
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E;3110B5 "$*/!$ *e e!a(#i+i*a* >N=""2? Inge($ *e !a #a)!a *e +$ne+#ii*a* #+;in./#>IN9RESE NDS DE LA TC: ? E7" #+;1 22 33 44 24 14 55 1ni; n;0 01500 03000 0 1500 15000 1500 G$ i;1:n*
*i(.>Inge(e !a( +$*ena*a( *e! n$*$ : ? *i(.>i? n>iH1?;in./#>N>?; ? n>iH2?;in./#>N>?; ?en*
F;in./#>IN9RESE EL ECTR CLUMNA DE FUER@AS e7":0 -3000 0 0 0 0 0-2000 -5000 0;?CC1;in./#>IN9RESE CNDICINES DE CNTRN ND ALR e7":1 0 20 5 0 6 0;?Ini+i$ *e! .$ga"a!"; A;.i=4DB2J(;,e$(>2n*?Ki7;,e$(>2n*?a+/;a+/;FC;!e;;R;!;";CC;G+H++;(i,e>CC1?G$ i;1:2n* +$n#;0 G$ 7;1:G+ iG i;;CC1>7H1? +$n#;1 +1;CC1>7H1? +2;CC1>7H2? en* en* iG +$n#;;1 CC>iH1?;+1 CC>iH2?;+2 e!(e CC>iH1?;0 CC>iH2?;0 en*
en*G$ i;1:ne !e>i?;(#>>n>#+>iH2?H1?-n>#+>iH1?H1??B2>n>#+>iH2?H2?-n>#+>iH1?H2??B2? !>i?;>n>#+>iH2?H1?-n>#+>iH1?H1??=!e>i? ">i?;>n>#+>iH2?H2?-n>#+>iH1?H2??=!e>i? .(1;#+>iH1?2-1.(2;#+>iH1?2.(3;#+>iH2?2-1.(4;#+>iH2?2 J(>.(1H.(1?;!>i?B2J(>.(1H.(2?;!>i?">i?J(>.(1H.(3?;-!>i?B2J(>.(1H.(4?;-!>i?">i?
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J(>.(2H.(1?;!>i?">i?J(>.(2H.(2?;">i?B2J(>.(2H.(3?;-!>i?">i?J(>.(2H.(4?;-">i?B2 J(>.(3H.(1?;-!>i?B2J(>.(3H.(2?;-!>i?">i?J(>.(3H.(3?;!>i?B2J(>.(3H.(4?;!>i?">i? J(>.(4H.(1?;-!>i?">i?J(>.(4H.(2?;-">i?B2J(>.(4H.(3?;!>i?">i?J(>.(4H.(4?;">i?B2 Ki7;Ki7EA=!e>i?J( J(;,e$(>2n*?en*G$ i;1:2n* iG i;;CC>iH1? >iH1?;CC>iH2? e!(e FC;FCF>i? G$ 7;1:2n* iG 7;CC>7H1? a+/;a+/HKi7>iH7? en* en* en* a+/;a+/a+/ a+/;en*1;a+/OFCG$ i;1:2n* iG i;CC>iH1? >iH1?;1>1H1?
GH+;(i,e>1? iG G;2 1;1>2:GH1? en* en*en*G$ i;1:2n* iG i;;CC>iH1? ;Ki7>iH1:2n*?-F>iH1? 7;i10000 R;R 7 en*en*R;RESF;G$ i;1:ne
.(1;#+>iH1?2-1.(2;#+>iH1?2.(3;#+>iH2?2-1.(4;#+>iH2?2 ESF>i?;E=!e>i?-!>i? -">i? !>i? ">i?>.(1H1?>.(2H1?>.(3H1?>.(4H1?en*G$"a# ($#Re(/!#a*$(*i(.> RESULTADS?*i(.>DESPLA@AMIENTS>""??*i(.>?*i(.>REACCIN>KN? PSICIN?
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*i(.>R?*i(.>LS ESFUER@S>MPa??*i(.>ESF?
6. RESULTADOS:
>> Q
>>DESPLAZAMIENTOS(mm)
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA CALIFICADA
0.000000000000
0.000000000000
0.022200000000
0.071400000000
0.044400000000
0.163300000000
-0.02460000000
0.066500000000
0.000000000000
0.000000000000
>> form! "#or!
>> $
>> REACCIN>KN? PSICIN
1.0%&004 '
-1.50000 0.0001
-0.6000 0.0002
1.0000 0.000
0 0.0010
>> form! o*+
>> ES,
>> LS ESFUER@S>MPa?
4.5370000000
4.5370000000
-2.100000000
-1.0160000000
4.32150000000
-5.0300000000
0.00000000000
>>
CONCLUSIONES
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA CALIFICADA
• Para la asignación de grados de libertad hay q tener en cuenta la
conveniencia practica de posicionar ejes paralelos a los ejes cartesianos
para que los cálculos no sean engorrosos.
• La elección de los cosenos directores es libre pero es preferible tomar
una conveniencia y seguirla a lo largo del problema.
• Los empotramientos presentan desplazamientos nulos en cualquiera de
los dos grados de libertad asociados a cada uno.
• El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el
plano tiene una tiene una aproximación casi exacta, sólo se comete
error por
• las cifras significativas que trabaja el MATLAB; al comparar los
resultados en forma analítica con la de elementos finitos el error del
cálculo es cero.
ARMADURAS PLANAS Pá i 1%