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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

UNADMX

INGENIERIA EN LOGISTICA Y TRANSPORTE

Facilitador:

Victor Manuel Velasco Gallardo

Materia:

Fsica

Alumno: Marco Antonio Lpez Arellano

Matricula: AL12502396

Trabajo:

Practica 3. Modelo de un Circuito RLC con batera.

Definitivo.

Valle de Chalco, Mxico a 6 de septiembre del 2013

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Circuitos RLC en serie en Corriente Continua

En qu consiste un circuito RLC?

Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Fuente de

alimentacin

R

C

L

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Figura 1: Circuito RLC. Las lneas que unen los distintos

elementos se consideran ideales (sin resistividad,

inductancia ni capacidad).

La resistencia representa la oposicin al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio

de intensidad y el condensador la acumulacin de carga.

Veremos el caso ms sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir,

conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensin constante en el tiempo.

Antes de analizar la corriente que circula por l, veamos algunas caractersticas de estos

elementos que nos ayudarn en la resolucin.

- Resistencia: Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde sedisipa energa por efecto Joule y su valor depende de su geometra y de la resistividad

(ecuacin 1).

s

lR

(1)

Donde l es la longitud, s la seccin.

RIV (2)

V representa la cada de potencial en la resistencia debido al paso de corriente.

R

V

R

VVIVP

2

)( (3)

La ecuacin (3) representa la potencia disipada en la resistencia en funcin de la cada de

potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podr ser 0, ya que eso equivaldra a

una potencia infinita.

- Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energa en forma de

campo magntico. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la

expresin:

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dtdI

Ldt

dNV

(4)

Con N el nmero de vueltas de la bobina, el flujo que la atraviesa y L la

autoinductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecer un voltaje

que podr retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.

22

1 LIdt

d

dt

dILIIVP

(5)

La ecuacin (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos

observar, este elemento no permite un cambio instantneo (tiempo cero) finito en la

intensidad, ya que si esto ocurriese tendramos un potencial infinito y eso es imposible.

- Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energa en forma

de campo elctrico. Se produce una acumulacin de cargas en sus placas dando lugar a una

diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la

bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relacin entre la carga acumulada y el

potencial entre sus placas:

V

QC

(6)

De (6) se deriva: C

IdtV

(7)

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Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este

elemento viene como:

22

1 CVdt

d

dt

dVCVIVP

(8)

Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma

anloga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios

instantneos de voltaje, ya que eso llevara como consecuencia un potencial infinito.

Cmo resolver un circuito RLC?A estos circuitostambin se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuacin que

resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuacin diferencial de segundo orden.

Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batera que suministra

un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente:

"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."

Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.

0CLRb VVVV (8)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:

IdtCdtdI

LRIVb1

(9)

Que es una ecuacin integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la

ecuacin diferencial de segundo orden de la que hablbamos.

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I

Cdt

dIR

dt

IdL

10

2

2

(10)

El trmino dVb/dt ha desaparecido ya que como considerbamos que se trata de una fuente

de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuacin diferencial homognea

de 2 orden procedemos calculando las races para obtener una solucin del tipo:

tstseKeKtI 21 21)( (11)

Las races correspondientes a la ecuacin (10) son:

LCL

RL

Rs

LCs

L

Rs 1

220

1 22

Si llamamos =R/2L (constante de amortiguacin), LC

10

y sustituimos en (11) las

soluciones nos quedarn:

2

0

2

1 s (12.1)

2

0

2

2 s (12.2)

Slo queda saber qu valen las constantes K1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que

0= K1+K2 es decir, que K2=-K1.

)()( 211tsts

eeKtI

Ahora, dependiendo de las magnitudes de y o la solucin ser de una manera u otra.

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Estuve leyendo algo sobre ecuaciones diferenciales en el libro de ecuaciones diferenciales

diferenciales con aplicacin de modelado de Dennis G. Zill y esta complicado el libro pero

bueno poco a poco, en la pgina 27 hay una breve explicacin de este tipo de circuitos en

serie. Lo anterior lo saque de unos apuntes de una pgina web, pero lo estudie y al

trascribirlo a esta hoja de Word cerr el link y no logr recuperarlo, me pareci muyinteresante y medio fcil de entender. Tambin estudi un libro de Electrnica Teora de

circuitos de Boylestad 8 edicin, muy interesante.

Hay simuladores de circuitos muy interesantes, orcad y proteus que ni pude abrirlos pero vi

sus prestaciones.

Con esto va

empiezo, c

dt=4x10-6

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Se pueden apreciar

la amortiguacin

de la energa,

voltaje en los

elementos RCL

El lapso del tiempo es

demasiado corto y no

se aprecian las

oscilaciones del

voltaje en los

dispositivos.

Dt=5x10-3

El osciloscopio no

alcanza a ver el

movimiento de las

oscilaciones, quiz

calibrndolo

El aumento del voltaje

solo hace de ms

amplitud las

oscilaciones del

voltaje, los picos de

voltaje son mayores,

en el capacitor

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Con los valores que se pueden

apreciar en el recuadro, el

tiempo de saturacin del

condensador se alcanza en ms

tiempo porque tiene una mayor

capacidad en colombios, el

voltaje en la resistencia tambin

cambia menos rpido y por lo

tanto su oscilacin es diferente,

el voltaje en la bobina sucede de

igual modo, su amortiguamiento

es ms lento, hice varios

cambios, solo deje este.

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Si se refiere a que sucede al voltaje en cada uno de los elementos con el voltaje + ya se habaexplicado que oscila y cambia la amplitud de ellos y su frecuencia dependiendo del valor de

los dispositivos y al cabo de un rato el voltaje de ellos se iguala al de la fuente, y si la

pregunta se refiera a que sucede si cuando el voltaje de la fuente es v-, entonces lo que

sucede es que no hay oscilaciones y el circuito no funciona.

En aproximadamente 2.7x103

segundos el voltaje de la pila es

igual en todos los elementos del

circuito RCL, el voltaje es igual al d

la fuente en este caso V=50

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i) Si > o: Las soluciones sern reales, distintas y de signo negativo.

Se ve claramente

que si cambiamos

los valores de la

capacitancia y la

inductancia la

frecuencia y

amplitud cambian. Y

si pareciera que los

voltajes pero

multiplicados por 2

pero desfasados

Cambi el voltaje y se ve

claramente que el voltaje en

los dispositivos sufren una

cada de tensin del doble yno cambian su frecuencia y

si son iguales ambos voltajes

pero desfasados

=

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Sabemos que la cada de potencial en el circuito era como en la ecuacin (8), que en el

instante t=0 el condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que Vc=0) y la

bobina no permite un cambio brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero (V=IR). Por

lo tanto el nico elemento en el que hay cada de potencial es en la bobina. Con estas

condiciones la ecuacin (8) se simplifica en la (13).

)(211

0

ssLK

dt

dILV

tb

)( 211

ssL

VK

b

(13)

Haciendo uso de la relacin trigonomtrica 2

xx eesenhx

la solucin final se dice

sobreamortiguada, y queda como:

)()(2

0

2

22tsenhe

L

VtI t

o

b

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Figura 2: Representacin de Intensidad frente al tiempo. En este caso es sobreamortiguada.

t

I(t)

Mismo voltaje mismos valore

de los dispositivos de

inductancia y capacitancia, pe

doble el valor de la resistencia

lo que se puede notar es que

resistencia atena ms rpido

proceso de amortiguamientocomo era de esperarse segn

frmula y si > o

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Referencias:

Ecuaciones diferenciales diferenciales con aplicacin de modelado de Dennis G. Zill sptima

edicin editorial Thomson Learning.

Fsica Tomo II Raymond A. Serway tercera edicin.

Electrnica Teora de circuitos de Robert L Boylestad 8 edicin