física. 2º de bachillerato tema: 5 1 el campo gravitatorio. movimientos bajo fuerzas gravitatorias...

Física. 2º de bachilleratoTema:

5 1El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias

Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler

Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así

Su aceleración centrípeta: a = 2 R

Sol

Tierra

RF

T

2 Velocidad angular del planeta:

RT

4a

2

2

Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3):R

cteR

Rk

4a

23

2

La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

R

mcteamF

2

R

mMGF

2 Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM

Ley de la gravitación universal

La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia



El campo gravitatorio

La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:

g

x

y

z

r

Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas

La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa, calculada en dicho punto

g

m

m’

rrusiendo)u(

r

'mmGF rr2

rr

'mmGF

3

rr

mG

'mFg

3

cuyo módulo es:

r

mGg

2 y se expresa en N/kg en el S.I.

La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF



Representación del campo

Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo

En el campo gravitatorio, las líneas de campo no parten de ningún punto definido, carecen de fuentes, y acaban en los cuerpos con masa o sumideros

Características de las líneas de campo

Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo

Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto

El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

m M



Principio de superposición

r1

r2

r3

g1

g2

g 3

g 3

g 1

g T

La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la creada por cada una de ellas y sumando los resultados parciales

m1

m2

m3

P

g...ggg n21T

u.rmG i

i2

in

1i

siendo r

rui

ii

También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas

gmF TT

n

1iFi

Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza



Campos de fuerzas conservativos (I)

Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas

rd

r F

r

r

A

B

Por cada desplazamiento que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo:

r

rFW

rdFdW

Para desplazamientos infinitesimales:

El camino total desde un punto A a otro B es la suma de todos los rd

Si en cada se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los realizados en cada intervalo infinitesimal:

rd

rdFW B

A

Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido


5 6

C1

C2

El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias

Campos de fuerzas conservativos (II)

A

B

En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final

)B(E)A(ErdFW ppB

ABA

Si el campo de fuerzas es conservativo,

BC2ABC1A WW

Si se invierte el segundo camino,

AWW C2BBC2A AWW

C2BBC1A

0WW AC2BBC1A

Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo

0rdF0

C


5 7

m


El campo gravitatorio como ejemplo de campo conservativo

m’A

B

Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m

Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos radiales

El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento

El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B

Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea

v

LdvC B

A

Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula

0rdF0C C

Para el campo de fuerzas gravitatorio: 0rdFm1

rdg CC



Comprobación de que las fuerzas elásticas son conservativas

x0 x1

rd

F

Comprueba si en la ley de Hooke la fuerza recuperadora de un muelle es conservativa

Si se quiere alargar el muelle tal y como se indica en la figura, desde la posición x0 hasta la x1, habrá que realizar un trabajo para vencer la fuerza recuperadora F = - kx

1

0

1

0

xx

180cosdx)xk(rdxx

FW

)xx(k2

1x

xxk

2

1xx

dxxk 22201

1

0

1

0

El resultado depende solo de las posiciones x0 y x1; por tanto, la fuerza es conservativa

)xx(k21W 22

01

FINAL



Energía potencial

Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo

EW)B(E)A(EW pppBA

Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial

Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo

Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo

rFEp

Conocido el valor de la fuerza:

rdFEd p

Considerando incrementos diferenciales:

rdFEp

Integrando:

Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial



Energía potencial gravitatoria

EP r Para calcular su valor, basta con resolver:

rdrr

'mmGEd

3p

rdFEd p

La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0, luego:

r'mm

GEp

Cr

'mmGErd

r

'mmGE p2p

El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:

r

rd

rd

r



Potencial gravitatorio

Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m que crea el campo y no del m’ que se coloca como testigo

Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:

rm

GUrdgdU

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es:

rm

Grm

G)B(U)A(UBA



El campo gravitatorio terrestre

Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el c.d.m, y además se considera para las distancias que r = RT + h

)hR(MGg

T2

T

El módulo del campo gravitatorio creado es:

En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:

s/m8,9R

MGg 20 2

T

T

La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será:

gm)hR(

mMGFT

2T

r = RT+h

P

A

h

RT


5 13

r = RT+h

P

Ah

RT


Energía potencial gravitatoria terrestre

La energía potencial de una masa m situada a una altura h de la superficie terrestre es:

hRmM

GET

Tp

Cuando se trata de energías potenciales, siempre se calcula la diferencia entre dos puntos, tomando como referencia uno de ellos (el de la superficie terrestre A)

Para un cuerpo situado a una altura h:

)hR(R

hmMG

R1

hR1

mMG)A(E)P(ET T

TTT

Tpp

hhR

Rmg)A(E)P(E

T

Tpp 0

y recordando el valor de g, resulta:

Haciendo la aproximación RT+h RT y simplificando: Ep (P) – Ep (A) = m g0 h


5 14

Ep r


Potencial gravitatorio terrestre

RT Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial

)hR(MG)P(UT

T

Para un punto P situado a una altura h de la superficie:

En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será:

RMG)P(U

T

T

R

MGU

T

T0

Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:

U0 = g0 R = 6,2 . 107 J/kg


5 15

m


Movimiento de masas en campos de fuerzas centrales

Un campo de fuerzas es central cuando, en cualquier punto de él, la fuerza ejercida sobre un cuerpo está en la misma recta que une el cuerpo con el origen del campo y su valor solo depende de la distancia entre ambos:

La fuerza es de la forma: u)r(fF r

rr

ku

r

kF

32 r

Si el campo es gravitatorio:

ctevmrLcteL

La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido

0dtLd

M

r Si el campo es central, los vectores y tienen la

misma dirección y su momento de fuerzas es nulo:F

0FrM

m’v

r

F


5 16

Sol

Tierra


Consecuencias de la conservación del momento angular

Por conservar el módulo:

Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas

L

Por conservar la dirección:

Si el vector se conserva en dirección, sentido y móduloctevmrL

L

r

v

El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano

Por conservar el sentido

Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial

S r

S2rr

rt

Sm2L

trmr

Como , la velocidad areolar también cteL


5 17

Sol


Forma de las trayectorias

Dado que en el seno de un campo de fuerzas gravitatorio la Ep de un cuerpo siempre es negativa, y su Ec siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva

Si rmM

G21ET

Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola

CIRCUNFERENCIA

Si 0ErmM

G21

T ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

Si ET = 0 Ec = Ep

Si ET 0 Ec Ep



Satélites artificiales: energía total y energía de satelización

FF CG

FG

Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita

Cálculo de las energías cinética y potencial

Cálculo de la energía total del satélite en órbita

Cálculo de la energía de satelización

rMGv

rvm

rmMGFF T2

2

2T

c

rmMG

2

1vm

2

1E T2

c

rmMGE T

p

r2mMG

rmMG

r2mMGE TTT

r2mMGE T

c

r2mMGE T

E0 = Ef Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f

r2mMG

RmMGE T

T

T,c 0

r21

R1

mMGET

T,c 0



Escape del campo gravitatorio terrestre

A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:

r21

R1

mMGvm2

1E

TT

2,c 00

r21

R1

MG2vT

T0

Velocidad de lanzamiento de un satélite

Velocidad de escape de un satélite

Para que el satélite escape de la atracción terrestre,

supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y

la energía de escape será: R

mMGE

T

Te

La velocidad de escape será:

R

MG2v

T

T0

R

MGg

2T

T0

Rg2v T00



Aplicación al cálculo del peso de un cuerpo a cierta altura

Si una persona pesa 686 N en la superficie de la Tierra, ¿cuánto pesará a 9000 m

de altura?Datos: G = 6,67.10-11 N m2kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 5,99.1024 kg

Cálculo de la masa en la superficie terrestre

kg708,9

686gFm

0

0

Cálculo del peso a 9000 m de altura

La fuerza gravitatoria tanto a dicha distancia como sobre la superficie terrestre es:

)hR(

mMGFT

2T

R

mMGF2T

T0

)hR(

RFF

T2

2T

0 N06,684

)900010.6370(

)10.6370(.FF3

3

2

20

F = 684,06 NLuego el peso de la persona a 9000 m será:

9000 m


5 21

R4mMG T

Aplicación al cálculo de la energía mecánica de un satélite


Dos satélites artificiales de masa m y 2m, respectivamente, describen órbitas

circulares del mismo radio r = 2R, siendo R el radio de la Tierra. Calcular la diferencia de las energías mecánicas de ambos satélites

r2mMG

2E

E Tp

La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial, y cuyo valor es:

Satélite 1, de masa m:R4mMG

)R2(2mMGE TT

1

Satélite 2, de masa 2m: R2mMG

)R2(2

)m2(MGE TT

Su diferencia es: E2 – E1 =


5 22

P

m m0,5 m 0,5 m


Aplicación al cálculo del campo y potencial gravitatorio

Calcula el valor del campo y del potencial gravitatorio creado por dos masas

puntuales iguales y separadas un metro, en el punto medio entre ellasNota: Expresa la respuesta en función de G y m

a) Cálculo del campo gravitatorio creado en P:

Ambas masas crean en el punto intermedio, campos iguales en intensidad pero de sentidos opuestos, por lo que el campo total resultante entre ellas es nulo

b) Cálculo del potencial gravitatorio creado en P:

El potencial creado por la masa de la izquierda es: m.G25,0

mG

R

mGU 1,g

El potencial creado por la masa de la derecha es: m.G25,0

mG

R

mGU 2,g

El potencial total creado por ambas masas en P es: m.G4)m.G2(m.G2Ug

FINAL

física. 2º de bachillerato tema: 5 1 el campo gravitatorio. movimientos bajo fuerzas gravitatorias...

Documents