física general iii ayudantía 8 · la fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base...
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El alumno una vez finalizado la guía debe ser capaz:
Entender y aplicar los conceptos de viscosidad de un fluido.
Entender el fenómeno asociado a la paradoja de la hidrostática
Analizar un fluido en flujo no permanente o no estacionario.
Problema 1.- La salida de un recipiente muy grande es construido como un difusor. La solapa
(o barra) al final del difusor se abre abruptamente a t=0 segundos.
Dados: 𝐿, 𝑝𝑎 , 𝑝2 ≈ 𝑝𝑎 , 𝐴2, ℎ
Determine:
a) La aceleración 𝑑𝑣2
𝑑𝑡 en el punto “2” inmediatamente después de la apertura de la
solapa. Ayuda: Considere flujo no permanente o no estacionario
b) La posición x en el difusor, don de la presión tiene su máximo, cuando v2 alcanza la
mitad de su valor final. Ayuda: La Velocidad es máxima cuando 𝑑𝑣2
𝑑𝑡= 0
Física General III
Ayudantía 8
Mecánica de fluidos: Paradoja de la hidrostática y viscosidad.
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Solución:
a) Bernoulli 0 → 2 :
(1) 𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝2 +𝜌
2𝑣2
2 + 𝜌 ∫𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝐿2
3𝐿
𝑑𝑥
Continuidad:
𝑣𝐴 = 𝑣2𝐴2
→ 𝜌 ∫𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝐿
2/3𝐿
𝑑𝑥 =𝜕𝑣2
𝜕𝑡𝜌 ∫
𝐴2
𝐴
𝐿
23
𝐿
𝑑𝑥 =𝜕𝑣2
𝜕𝑡𝜌 ∫
𝐿2
𝑥2𝑑𝑥
𝐿
23
𝐿
=𝜕𝑣2
𝜕𝑡
𝐿
2𝜌
Lo anterior se reemplaza en (1).
Se despeja el término 𝜕𝑣2
𝜕𝑡 en t=0, lo cual es igual:
𝜕𝑣2
𝜕𝑡|
𝑡=0=
𝑑𝑣2
𝑑𝑡|
𝑡=0=
2𝑔ℎ − 𝑣22
𝐿=
2𝑔ℎ
𝐿
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b) Bernoulli 𝑥 → 2 :
𝑝 +𝜌
2𝑣2 = 𝑝2 +
𝜌
2𝑣2
2 + 𝜌 ∫𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝐿
𝑥
𝑑𝑥
Continuidad:
𝑣 =𝑣2𝐴2
𝐴
→ 𝑝 = 𝑝2 + 𝜌𝑣22 (1 − (
𝐴2
𝐴)
2
) +𝜌
𝐿(2𝑔ℎ − 𝑣2
2) ∫𝐿2
𝑥2𝑑𝑥
𝐿
𝑥
→ 𝑝 = 𝑝2 + 𝜌𝑣22 (1 − (
𝐿
𝑥)
4
) + 𝜌(2𝑔ℎ − 𝑣22) (−1 +
𝐿
𝑥)
Final para p(x) desde 𝑑𝑝
𝑑𝑥= 0 𝑒𝑛 𝑣2 =
1
2√2𝑔ℎ:
→ 0 =𝜌
2
1
42𝑔ℎ (
4𝐿4
𝑥5 ) + 𝜌 (2𝑔ℎ −1
42𝑔ℎ) (−
𝐿
𝑥2)
→ 0 = (𝐿4
𝑥5) −3
2
𝐿
𝑥2 → 𝑥 = √
2
3
3
𝐿 ≈ 0,87𝐿
𝑑2𝑝
𝑑𝑥2|
𝑥=𝑥𝑚
=𝜌𝑔ℎ
𝐿2 (−5
23
2 +3
22
1
23
) =𝜌𝑔ℎ
𝐿2(−
27
4) < 0
→ 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = √2
3
3
𝐿
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Problema 2.- Paradoja de la hidrostática.
La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática.
Como se ha demostrado, en la ecuación fundamental de la estática de fluidos, la presión solamente depende de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la misma y el sistema de vasos comunicantes está en equilibrio.
Explique la paradoja para los siguientes casos:
NOTA: Tener en cuenta que la fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre una superficie debido a la presión es siempre perpendicular a dicha superficie.
a) Considere dos recipientes con simetría cilíndrica, ambos contienen líquido hasta la misma altura h1.
b) Sea un recipiente en forma cónica, de altura h, cuya base tiene un radio R y que está
completamente lleno de líquido.
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Solución
a) Recipiente de la izquierda
-Peso del líquido dado por:
𝑚1𝑔 = 𝜌𝐴1ℎ1𝑔
-Fuerza debido a la presión es:
La presión en su base es:
𝑃 = 𝜌ℎ1𝑔
La fuerza debida a la presión
𝐹 = 𝑃𝐴1 = 𝜌ℎ1𝑔𝐴1
Se ve que en el recipiente de la izquierda ambas cantidades coinciden.
Recipiente de la derecha
-Peso del líquido. Es la suma del peso contenido en el cilindro de base 𝐴1 y altura ℎ1, y del
cilindro hueco de base anular 𝐴2 y altura ℎ2
𝑚2𝑔 = 𝜌𝐴1ℎ1𝑔 + 𝜌𝐴2ℎ2𝑔
-La fuerza debida a la presión en sus bases. El líquido ejerce una fuerza hacia abajo en su base
𝐴1 debido a la presión.
𝐹1 = 𝜌ℎ1𝑔𝐴1
También ejerce una fuerza hacia abajo en su base anular 𝐴2 debida a la presión del líquido
situado encima
𝐹2 = 𝜌𝐴2ℎ2𝑔
Ambas fuerzas tienen el mismo sentido, hacia abajo. La resultante es igual al peso del fluido
𝐹1 + 𝐹2 = 𝑚2𝑔 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑗𝑎
b) –El peso del líquido de densidad ρ es:
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𝑚𝑔 =1
3𝜌𝜋𝑅2ℎ𝑔
-La fuerza hacia abajo que ejerce el líquido en su base debido a la presión es:
𝐹 = 𝜌𝑔ℎ(𝜋𝑅2)
Lo cual es el triple del peso del líquido contenido en el cono.
La paradoja se resuelve considerando todas las fuerzas que ejerce el líquido debido a la
presión en la superficie cónica y que son perpendiculares a la misma.
La fuerza dF que ejerce el líquido sobre el elemento de la superficie cónica comprendido entre y y y+dy es el producto de la presión del líquido a la profundidad y, multiplicado por el área de la superficie del tronco de cono de radio x y altura dy. El área de esta superficie es equivalente a la de un rectángulo de longitud 2πx y anchura ds=dy/cosθ.
La fuerza es 𝑑𝐹 = 𝜌𝑔𝑦2𝜋𝑥 𝑑𝑠
La componente vertical de dicha fuerza es
𝑑𝐹𝑦 = 𝑑𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜌𝑔𝑦 ∙ 2𝜋𝑥 𝑑𝑦 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝜃
La relación entre x e y y el ángulo θ es
𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑥
𝑦=
𝑅
ℎ
La componente vertical de la suma de todas las fuerzas que ejerce el líquido sobre los elementos de la superficie lateral del cono es
𝐹𝑦 =2𝜋𝜌𝑔𝑅2
ℎ2∫ 𝑦2𝑑𝑦
ℎ
0
=2
3𝜋𝜌𝑔𝑅2ℎ
La componente vertical de la resultante de las fuerzas que ejerce el líquido debido a la presión sobre superficie total del cono es
𝐹 − 𝐹𝑦 = 𝜋𝜌𝑔𝑅2ℎ −2
3𝜋𝜌𝑔𝑅2ℎ =
1
3 𝜋𝜌𝑔𝑅2ℎ
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Que está dirigida hacia abajo, y coincide con el peso del fluido.
Como hemos comprobado en estos dos problemas, la paradoja hidrostática consiste en que la fuerza debida a la presión del líquido sobre la base del recipiente puede ser diferente del peso del líquido que lo contiene. Pero esta paradoja se resuelve en el momento en el que tenemos en cuenta las componentes verticales de las fuerzas que ejerce el líquido sobre todas las paredes del recipiente originadas por la la presión.
Problema 3.- Gracias a la ley de Poiseuille’s, es posible determinar el flujo de un líquido
incompresible y viscoso a través de un tuvo cilíndrico de sección circular constante. Esta ley
expresa lo siguiente:
𝑄 =𝜋𝑃𝑟4
8𝜂𝐿
𝑄 = 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑎𝑙 [𝑚3
𝑠] ; 𝑃 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 [𝑃𝑎]; 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 [𝑚];
𝜂 = 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 [𝑃𝑎 ∙ 𝑠 = 𝑘𝑔 ∙ 𝑚−1 ∙ 𝑠−1]; 𝐿 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜 [𝑚]
Con la información anterior se pide resolver los siguientes problemas:
a) Dos tubos AB y BC (como se ve en la figura) son juntados en el sus extremos (B). AB
tiene 16 [cm] de largo y diámetro 0,4 [cm]. BC tiene 4 [cm] de largo y 0,2 [cm] de
diámetro. Se sabe además que A está siendo alimentado con agua a una altura
constante de 3 [cm] (para llevar a pascales multiplicar por 𝜌𝑔), es decir, 294 [Pa]
manométricos, y el extremo C se encuentra abierto a la atmósfera.
-Determinar la diferencia de presión entre los puntos B y C.
Solución.
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 =8𝜂𝐿𝐴𝐵𝑄
𝜋𝑟4=
8𝜂 ∙ 0,16 ∙ 𝑄
𝜋(2 ∙ 10−3)4=
8𝜂𝑄
𝜋 ∙ 10−12 [1]
𝑃𝐵 − 𝑃0 =8𝜂𝑄 ∙ 0,04
𝜋 ∙ 10−12 [2]
Sumando [1] y [2]
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𝑃𝐴 − 𝑃0 =8𝜂𝑄 ∙ 0,05
𝜋 ∙ 10−12 [3]
Dividiendo [2] por [3]
𝑃𝐵 − 𝑃0
𝑃𝐴 − 𝑃0= 0,8
Recordar que la diferencia de presión entre Presión en A y la atmosférica es igual a la
manométrica (3 cm o 294 Pa).
𝑃𝐵 − 𝑃0 = 0,8 ∗ (𝑃𝐴 − 𝑃0) = 0,8 ∗ 3 = 2,4 𝑐𝑚 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎)
𝑃𝐵 − 𝑃0 = 0,8 ∗ (𝑃𝐴 − 𝑃0) = 0,8 ∗ 294 [𝑃𝑎] = 235,2 [𝑃𝑎]
Problema 4.-Un fluido de viscosidad η y densidad ρ se mueve a través de una tubería cilíndrica
horizontal de 100 [m] de largo y 10 [cm] de radio que está conectada a la base de un estanque
que tiene líquido hasta una altura H, y el otro extremo está abierto a la atmósfera como se
muestra en la figura:
a) Demuestre que el perfil de velocidades del fluido al interior de la tubería, depende de
la distancia r al eje del tubo, y está dado por:
𝑣(𝑟) = 𝑣0(1 −𝑟2
𝑅2), donde R es el radio de la tubería
b) Encuentre un expresión para 𝑣0
c) Encuentre una expresión para el caudal Q que fluye por la tubería.
d) Determine H de modo que por el extremo abierto salga un caudal de W [lt/s]
e) Analizar los resultados si se modifica la sección transversal de la tubería, si:
i.- Se aumenta la sección transversal.
ii.- Se disminuye la sección transversal.
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SOLUCIÓN
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Problema 5.-Un paralelepípedo de lados a, b y c se sumerge
en un líquido hasta una profundidad h, como se indica en la
figura. Considere que las aristas son mucho menores que la
profundidad, de modo que la presión sobre todas las caras
es aproximadamente igual.
Determine la disminución de volumen (ΔV) del cuerpo causado por la presión.
SOLUCIÓN
Se sabe que la aplicación de un esfuerzo 𝜎𝑥 provoca una deformación 𝜀𝑥 en la dirección del
esfuerzo, y satisfacen la relación: 𝜎𝑥 = 𝑌𝜀𝑥. El mismo esfuerzo también provoca una
deformación transversal 𝜀𝑦 según la relación: 𝜀𝑦 = −𝜇𝜀𝑥 = −𝜇𝜎𝑥
𝑌. Cuando se aplican varios
esfuerzos, las respectivas deformaciones se obtienen usando el principio de superposición.
Para calcular el acortamiento de la barra se usarán las siguientes figuras.
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De acuerdo a lo anterior, los esfuerzos indicados en cada figura producen deformaciones en las tres direcciones. Notar que al esfuerzo de compresión debido a la presión se le asocia un signo menos según 𝜎 = −𝑃 . Examinaremos la situación en la dirección x, y para ello escribimos ΔLx como una suma de tres términos, cada uno de los cuales corresponde al efecto de los esfuerzos aplicados en las tres diferentes direcciones, según se ha indicado en la figura. Entonces,
La cantidad (∆𝐿𝑥)1corresponde a una deformación longitudinal.
−𝑃 = 𝑌(∆𝐿𝑥)1
𝐿𝑥
Para el resto de las caras:
(∆𝐿𝑥)2
𝐿𝑥= 𝜇
𝑃
𝑌
(∆𝐿𝑥)3
𝐿𝑥= 𝜇
𝑃
𝑌
Los resultados anteriores, solo se aplican en la dirección X.
Sumando los tres cambios se obtiene ∆𝐿𝑥 y con ello la respectiva deformación ∆𝐿𝑥/𝐿𝑥
∆𝐿𝑥
𝐿𝑥= −
𝑃
𝑌(1 − 2𝜇)
Bajo el argumento de simetría, se concluye que la deformación es igual para todas las caras.
(Direcciones Y y Z)
∆𝐿𝑦
𝐿𝑦=
∆𝐿𝑧
𝐿𝑧= −
𝑃
𝑌(1 − 2𝜇)
La variación de volumen se obtiene mediante el volumen original 𝑉 = 𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿𝑧 y el volumen
sumergido 𝑉 + ∆𝑉 = (𝐿𝑥 + ∆𝐿𝑥)(𝐿𝑦+∆𝐿𝑦)(𝐿𝑧 + ∆𝐿𝑧). Se obtiene:
∆𝑉
𝑉=
∆𝐿𝑥
𝐿𝑥+
∆𝐿𝑦
𝐿𝑦+
∆𝐿𝑧
𝐿𝑧= −
3𝑃
𝑌(1 − 2𝜇)
Es costumbre expresar esta relación en la forma de una relación lineal entre el esfuerzo P (o
presión) y la deformación de volumen ∆𝑉
𝑉, según:
𝑃 = −𝐵∆𝑉
𝑉
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Dónde B es el módulo elástico de volumen para cuerpo sólido sumergido, que según el
desarrollo se puede expresar como:
𝐵 =𝑌
3(1 − 2𝜇)