Appuntidellelezioni(integrazioniinWikipedia,dispense)Prof.PieroGaleotti AnnoAccademico2006/2007

MECCANICA GrandezzeFondamentali:grandezzebasilarichesipossonousareperdescrivereilmondofisico.Quandosi guardailmondo,siosservacheessooccupaspazio,dentroiqualesitrovalamateriaedentrambiesistono entro qualcosa che chiamato tempo. Losservazione del mondo si pu svolgere facendo riferimento, appunto,allospazio,allamateriaealtempo. Lunghezza:descrivelospazioMassaecaricaelettrica:descrivonolamateriaTempo:tempo(ointervallo di t) . Tutte le altre grandezze dette derivate, si possono descrivere per mezzo di un appropriata combinazionedellegrandezzefondamentali. S.I.(SistemaInternazionale):nel1960unacommissioneinternazionaledefinuninsiemedicampioniperle quantitfondamentali.unsistemaadottatoinmanierauniversaledatuttigliscienziatidelmondo.

Grandezzescalarievettoriali: Scalari:Grandezzafisicachepuesseredescrittadaunvalorenumericoconassociataunappropriataunit dimisura. Vettoriali:Grandezzafisicacheperesseredescrittarichiedechesianospecificatisiaunvalorenumericocon associatele opportuneunitdimisura(dettomodulodelvettore),sia unadirezioneed unversocio una direzione orientata. e, quando necessario, dal cosiddettopuntodiapplicazione. Modulo:lunghezzadelsegmento Direzione: Angolo rispetto al sistema di riferimento preso,descrittodaunimmaginariarettasucuigiace ilmodulo. Verso:puntadellafrecciadelmodulo. Punto dapplicazione: punto di inizio del segmento, ovvero il punto che precede tutti gli altri punti del segmento. Prodottoscalare:(dacomerisultatounnumeroconlasuarelativaunit di misura). Il prodotto scalare di due vettori a e b del piano, applicati sullostessopunto,definitocome

dove |a| e |b| sono le lunghezze di a e b, e l'angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si indica come ab. se=0ivettorisonoparalleliedab=|a||b|; se=90ivettorisonoortogonaliedab=0; se=180ivettorisonoparallelimaorientatiinsensoopposto, edab=|a||b|. Seaebsonoversori,ciovettoridilunghezza1,illoroprodottoscalaresemplicementeilcoseno dell'angolocompreso. Ilprodottoscalarediunvettoreaconsestessoaa=|a|2ilquadratodellalunghezza|a|delvettore. Prodotto Vettoriale: (da come risultato una grandezza scalare) Il prodotto vettoriale, tra due generici vettori a e b, definito come il vettoreortogonalesiaadacheabtaleche: dovelamisuradell'angolotraaeb(dove0180),mentren ilversore(unvettoredimodulounitario)chedeterminaladirezionedel prodottovettoriale(ed,comespecificatopisopra,ortogonalesiaad acheab). Il problema riguardo alla definizione del versore n che vi sono due versoriperpendicolarisiaadacheab,unodiversooppostoall'altroin quanto,senperpendicolareadaedab,alloralosarancheilversore n. Convenzionalmentesisceglieninmodotalecheivettoria,bedabsianoorientatisecondounsistema destrogiro se il sistema di assi coordinati (i, j, k). Un modo semplice per determinare la direzione del prodottovettorelaregoladellamanodestra.Inunsistemadestrogirosipuntailpollicenelladirezione delprimovettore,l'indiceinquelladelsecondo,ilmediodladirezionedelprodottovettore.Inunsistema diriferimentosinistrogirobastainvertireilversodelprodottovettore,ovverousarelamanosinistra. Poichilprodottovettoredipendedallasceltadelsistemadicoordinate,opipropriamenteperchinuna formalizzazione rigorosa il prodotto vettoriale tra due vettori non appartiene allo spazio di partenza, ci si

riferisceadessocomeunopseudovettore.Sonoadesempiodeglipseudovettori(dettianchevettoriassiali) ilmomentoangolare,lavelocitangolare,ilcampomagnetico. Ilmodulodelprodottovettorel'areadelparallelogrammaindividuatodaiduevettoriaebedparia infatti,bsenlamisuradell'altezzasesifissaacomebase,eviceversaasenlamisuradell'altezzase sifissabcomebase. Velocit: In fisica, la velocit definita come la derivata della posizione nel tempo, ovvero il tasso di cambiamentodellospazioinfunzionedeltempo.Quandononspecificatopervelocitsiintendelavelocit istantanea.Lavelocitsempreunospaziodivisountempo,quindinelSIsimisurainmetrialsecondo.La variazionedellavelocitl'accelerazione. Velocitmedia:rapportotralospostamentoeladuratadell'intervalloditempoimpiegatoapercorrerlo:

dove lo spostamento, e sono i vettori posizione e t = t2 t1 l'intervallo di tempoimpiegatoadeffettuarelospostamento; Velocitistantanea:siottienerendendopiccoloapiacereiltemponellavelocitmedia.Inpraticasivaa definirelavelocitperuncertoistantepiuttostocheinuncertointervallo,definendolavelocitistantanea comeillimiteperlavariazioneditempotendenteazerodelrapportochedefiniscelavelocitmedia: il vettore posizione. Lo strumento matematico per effettuare tale operazione la derivata del rispettoaltempot.Percui:

ove vettoreposizione

Scomponendoilvettoreposizioneneisuoicomponentiotteniamo(nelcasoadesempiodiduedimensioni): Poichlavelocitunvettore,essahaunadirezionechequelladelvettoreposizionequandoeffettuiamo ;ciosempretangenteallatraiettorianelpuntoeall'istanteconsiderato.Vasottolineato illimite cheladefinizioneforniscelavelocitistantanea,calcolataperlintervalloditempoinfinitesimonelqualesi percorreunospaziopureinfinitesimo.Essavalidaperqualsiasitipodimoto,siaessouniformeomeno. Accelerazione:rappresentalavariazionedivelocitnell'unitditempo.Essendolavelocitunagrandezza vettoriale, anche l'accelerazione risulta essere una grandezza vettoriale. L'accelerazionepuessereallorascrittacome:

Accelerazione media: rapporto tra la variazione di velocit tempo t

e l'intervallo finito di

Accelerazione istantanea: limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del rapporto che definisce l'accelerazione media, ovvero derivata della velocit rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda della posizione rispetto al tempo:

dove il vettore spostamento. 2 L'accelerazione si esprime, nel SI, in m/s . Sovente anche espressa in g, dove un g rappresenta l'accelerazione gravitazionale terrestre che pari a circa 9.81 m/s2. Nel caso di moto rettilineo (monodimensionale), anche il vettore accelerazione monodimensionale. Nel caso di moto circolare uniforme, il vettore accelerazione radiale, ovvero perpendicolare alla traiettoria circolare. Moto rettilineo uniforme: un corpo si muove ad una velocit (vettoriale) costante, ossia di moto rettilineo uniforme quando si muove in una certa direzione orientata percorrendo spazi uguali per tempi uguali. x V=costante, ne segue che a=0 Vx= t E per lo spazio percorso: s=s0 + V*tIn pratica, facendo riferimento alla simbologia utilizzata per la velocit e la legge oraria del moto, l'equazionisipossonoriscriverecome: sesimisuralospazioapartiredaun'origineO,talecheilpuntomaterialepertempot=0siagiadistanza x0,lospostamentoxx0. Nelcasodimotorettilineouniformeconx=0pert=0l'equazione:

(x=spazio) Moto rettilineo uniformemente accelerato: moto in cui la velocit non rimane costante, ma laccelerazione ad essere invariate nel tempo. a=costante (positiva o negativa)

V=V0+a*t s= s0 + V0 * t + at2 Se:t=(V V0)/asiottieneche(sostituendotnellaformulaprecedentedis): s=s0+V0 (V V0)/a+ a (V V0)2/a2=

V 2 V02 2a Altre espressioni per descrivere il moto uniformemente accelerato sono:= s0 +

V= V0 + 2as a= V 2 V02 2s

s=

V 2 V02 2a

Motocircolareuniforme:consisteinunmoto,diunpuntomateriale,lungounacirconferenza. Il moto circolare assume importanza per il fatto che la velocit e l'accelerazione variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si pu misurare comodamente usando le misure angolaripercuileformuledelmoto,introdotteconilmotorettilineo,vannorivisteerielaborateconmisure angolari.

La retta passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di asse di rotazione.Persemplificarel'analisidiquestotipodimoto,infatti,consideriamochel'osservatoresiponga sull'assedirotazione.Cipossibileperl'isotropiaeomogeneitdellospazio. Il sistema pi comodo per analizzare un moto circolare fa uso delle coordinate polari. Infatti nel caso particolare di movimento che avviene su di una circonferenza di raggio R, il moto in coordinate polari diventa: mentreincoordinatecartesianesiha: chesoddisfanolaseguenteidentit(inogniistanteditempo): Nel moto circolare si possono definire due diverse tipologie di velocit, la velocit angolare e la velocit tangenziale.Per descriverle consideriamo nello spazio tridimensionale,ilvettoreinfinitesimo dove un versore dispostolungol'assedirotazioneedla variazione infinitesima della variabile angolare . Sia ora il vettore posizione del punto P, allora lo del punto spostamento lineare P sull'arco di circonferenza percorso nel tempo dt sar legata allo spostamento angolare dalprodottovettoriale: . La velocit angolare definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore e comunemente

indicata con

ed una misura della velocit di variazione dell'angolo formato dal

vettore posizione, si misura in radianti al secondo: spostamentoangolare.

ed ha la stessa direzione del vettore :

La velocit lineare (o tangenziale) si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione

ed legata alla velocit angolare dalla seguente relazione (per approfondire si veda anchederivatadiunvettore):

Sinotachelacostanzadellavelocitangolareimplicalacostanzadelmodulodellavelocit.

Sesi esegue ilprodottoscalaredeiduevettori

e

siottiene zero perogniistantedi tempot,e

. questodimostrachelavelocittangenzialesempreortogonalealraggiovettore Accelerazione: Derivando rispetto al tempo l'espressione del vettore velocit tangenziale otteniamo l'accelerazione; che ha una componente parallela alla velocit(responsabiledellavariazionedel modulo di questa) ed una normale (o radiale): si tratta rispettivamente dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazionecentripeta:

La prima frazione si chiama accelerazione angolare di solito indicata con

oppure

, si misura in

, fornisce la variazione della velocit angolare ed ha stessa direzione di questa. Sviluppando la relazione precedente otteniamo: dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocit lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocit lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza. Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo

e una tangenziale di modulo . Seilmotocircolareuniformesignificachecostanteilvettorevelocitangolare,ciosihavelocitlineare costanteinmodulo.Integrandola traiduetempit0etinizialeefinalecorrispondentiad unangoloiniziale0e: (t)=0+t essendolavelocitangolarecostante. Neconsegue(dalleequazionivisteallasezioneprecedente)chelavelocittangenzialehamodulocostante paria:

edalmomentocheessavettorialmentevariasoloindirezione,l'accelerazionehasolocomponenteradiale (accelerazionecentripeta): Poichilraggiocostanteinunacirconferenza,ilmotocircolareuniformeseWcostante.Inquestotipo dimotodidefinisceilPeriodoT[s],elafrequenza=

1 [Hz]. T

Moto di un proiettile: un tipo di moto bidimensionale, con accelerazione costante (data dalla forza di gravit). Leffettodellaresistenzadellariadeveesseretrascurabile. La traiettoria di un proiettile una parabola. Il vettore posizionedescrittoda:

r = Vi * t +

1 g * t 2 dove ri= 0 a=g (accelerazione 2

gravitazionale=9,81m/s2) Ilmotodiunproiettilelasovrapposizionediduemoti: Unmotouniformenelladirezioneorizzontalecon velocitcostante. Unmotoincadutaliberanelladirezioneverticale Leleggidellacinematicacheesprimonolaposizionedelproiettilenelpianoaltempotcon g: accelerazione di gravit vo: velocit iniziale, :angoloformatodallaboccadafuococolterreno(alzo) sonoespressedalleseguentiformule:

risolvendolaprimarispettoallatesostituendonellasecondasiottiene

intersecandoconl'assedellex,ciosostituendoy=0nellaprecedentesiottienelagittata

L'accelerazione di gravit l'accelerazione che un corpo subisce quando lasciato libero di muoversi in campogravitazionale. L'accelerazione di gravit prodotta dal campo gravitazionale terrestre, spesso abbreviata col simbolo g usata come unit di misura nonSI ed stata posta uguale al valore convenzionale di 9,80665 m/s2 dalla terzaCGPM,nel1901. IlsimboloscrittogminuscoloperdistinguerlodallacostantegravitazionaleGchecomparenelleequazioni diNewton. Il valore convenzionale di g un valore medio assunto convenzionalmente che approssima il valore dell'accelerazionedigravitprodottaallivellodelmareadunalatitudinedi45,5dallaTerrasuungrave lasciato in caduta libera. Tale valore viene a volte rappresentato con g0 quando g viene invece usato per rappresentarel'effettivaaccelerazionedigravitlocale. ag=9.81m/s2

LeggidiNewton

PrimaleggediNewton(principiodinerzia):inassenzadiforzeesterne,uncorpoinquieterimanein quiete, ed un corpo in moto persevera nello stato di moto con velocit costante(cio moto rettilineo uniforme) Quandosudiuncorpononagiscenessunaforzalasuaaccelerazionenulla.Latendenzadiuncorpoad opporsiadognitentativodimodificarelasuavelocitchiamataInerzia. Unsistemadiriferimentoinerzialeunsistemasistemachenonpossiedeaccelerazione. Massa:quellaproprietdiuncorpochespecificaquantgrandelinerziacheilcorpopossiedeelunitdi misura il [Kg]. La massa perci una propriet intrinseca di un corpo ed indipendente da ci che la circondaedalmetodoadoperatopermisurarla.Lamassaunaquantitscalare(massaepesosonodue quantitdistinte)

La seconda legge di Newton(principio di proporzionalit): Partendo dalla prima legge di Newton, e esercitando una forza sul corpo, otteniamo che laccelerazione di un corpo direttamente proporzionaleallaforzarisultanteagentesudiessoedinversamenteproporzionaleallasuamassa: F = m * a Lunit di forza ne S.I., definito come la forza che agendo su un corpo di massa 1 [Kg], produce unaccelerazionedi1m/s2. 1[N]=1[Kg]*1m/s2 Forza:unaspintaounatrazionecheagiscesuuncorponellarelazionedescrittadallasecondaleggedi Newton.Sipudefinirecomeunagentecheimprimeunaadunamassamunaccelerazionea.Sonovettori chemodificanolostatodiquieteodimotodiuncorpo.Quindiproduconounaccelerazione,anchesenon sonoacontattodelcorposucuiagiscono. Forzadigravit:ilpesodiuncorpo,definitocomeunintensitdiFg,: Fg=m*g Perciilpesononunaproprietintrinsecadiuncorpo,perchdatochegdiminuisceconlaumentaredella distanzadalcentrodellaterra,maggioredistanza,rilevaunpesominore Esempio: una pila di 1000[Kg] di mattoni utilizzati per la costruzione dellEmpire State Building, perdeva circa1[N]dipesounavoltasollevatoincimarispettoalmarciapiede. Lavelocitdiunoggettochevengalanciatoverticalmenteversolaltodiminuiscegradualmenteinmodulo finoadiventarezeronelpuntopiualtodellasuatraiettoria,dalpuntopiualtolavelocitcambiaversoe riprendeacrescereinmodulo. Siccomecunavariazionedivelocit,equindiunaccelerazione,siconcludechesudiessoagiscaunaforza pesodigravit.Fp=m*g LaterzaleggediNewton(principiodazionereazione):ctionicontrariamsemperetaeqalemessereactionem:sivecorporumduorumactionesinsemutuosemper essequalisetinpartescontrariasdirigi.(cit.) Seduecorpiinteragisconotradiloro,laforzaF12esercitatadalcorpo1sulcorpo2ugualeinintensited oppostaallaforzaF21esercitatadalcorpo2sulcorpo1 F12=F21 F12+F21=0

Forza Dattrito: responsabile del rallentamento di un corpochescivolasudiunpianoscabro. Eunaforzadissipativachesiesercitatraduesuperficia contatto tra loro e si oppone al loro moto relativo. La forza d'attrito che si manifesta tra superfici in quiete tra lorodettadiattritostatico,trasuperficiinmotorelativo siparlainvecediattritodinamico. Siesercitatralesuperficidicorpisolidiinmutuocontatto edespressodallaformula: doveFrlaforzadiattritoradente,ril coefficiente di attrito e la componente perpendicolarealpianodiappoggiodellarisultantedelle forzeagentisulcorpo(N).Peruncorpoappoggiatosuun pianoorizzontale semplicementeugualeaFp,forza pesodelcorpo(mg);peruncorpoappoggiatosuunpiano inclinato di un angolo rispetto all'orizzontale risulta invece Condizionidequilibrio:Valgonosempreper 1) Uncorposospeso(intensione) 2) Peruncorpoappoggiatosudiunpianoorizzontale 3) Oppureappoggiatosuunpianoinclinato(seilcorpononsimuovelaforzadattritodettastatica) Quantitdimoto:dettaanchemomentolineareosemplicementemomento,unagrandezzavettorialeche misuralacapacitdiuncorpodimodificareilmovimentodialtricorpiconcuiinteragiscedinamicamente. una grandezza utile quando vengono trattati urti e reazioni. Un punto materiale di massa m che si sposta con velocit vettoriale v ha una quantit di moto p pari al prodottodellasuamassaperlasuavelocit.Cio:

Il vettore risultante ha, quindi, modulo pari al prodotto di massa per il modulo del vettore velocit, e direzione e verso del vettore velocit. Forza Centripeta: la forza che necessaria per far muovere un copo su una circonferenza a velocit costante. diretta radialmente ed orientata verso il centro della circonferenza.Per poter mantenere un corpo di massa m su una traiettoria circolarediraggiorconunavelocittangenzialevtoccorreuna forzacentripetaparia

ovvero essendolavelocitangolare. Laforzacentripetalaforzapereffettodellaqualeicorpisonoattratti,osonospinti,ocomunquetendono versounqualchepuntocomeversouncentro.Diquestogenerelagravit,pereffettodellaqualeicorpi tendono verso il centro della terra, e quella forza, qualunque essa sia, per effetto della quale i pianeti sono continuamente deviati dai moti rettilinei e sono costretti a ruotare secondo linee curve.[] Tentano tuttidiallontanarsidaicentridelleorbite;esenonvifosseunaqualcheforzacontrariaaquellatendenza, per effetto della quale sono frenati e trattenuti nelle orbite se ne andrebbero via con moto rettilineo uniforme. Forza Centrifuga: la reazione alla forza centripeta. Non agisce sullo stesso corpo della forza centripeta. Cio se si legasse un sasso ad un filo e si facesse ruotare il sasso su una circonferenza ad una velocit costante, la forza centripeta agirebbe sul sasso, quella centrifuga agirebbe sullo spago. (vedi immagine dopo). Lavoro: il lavoro di una forza costante lungo un percorso rettilineo definito come il prodotto scalare delvettoreforzaperilvettorespostamento : dove L il lavoro e l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento. Lavoro con forza e traiettoria costante Il lavoro pu essere sia positivo che negativo, il segno dipende dall'angolo compreso tra il vettore forza ed il vettore spostamento . ovvero se cos > 0. Un lavoro positivo definito Il lavoro svolto dalla forza positivo se motore, uno negativo, invece, resistenza. Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che decisamente antropomorfa. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento e se questo spostamento non chiuso (cio ritorna al punto di partenza). Ad esempio se si spinge contro un muro, naturalmente il muro non si sposta e, quindi, non si ha lavoro. Casi particolari Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori: . Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto: . Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro nullo: . IllavorosicalcolainJoule:1[J]=1[N]*1[m]

Lavorofattodaunamolla:Fm=Kx Dovexilvaloredellospostamentodellamolladasuostatodiequilibrioiniziale(posizionedequilibrio),K unacostantepositivachiamatacostanteelastica. QuestorapportonotocomeleggediHookeedvalidaneilimitideipiccolispostamenti.Ilvaloredikdaun indicedirigiditdellamolla. Energia cinetica: l'energia che un corpo possiede in virt del suo movimento. Tale concetto formalizza l'ideacheuncorpoinmotoingradodicompierelavoroinquantoessoinmoto. L'energia cinetica di un punto materiale pu essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocit. In coordinate cartesiane si esprime di consueto come:

L'energia cinetica di un corpo morto massa m il lavoro necessario per portarlo da una velocit iniziale nullaadunavelocitfinalev.Questadefinizionepuessereformalizzatagrazieaquellochestoricamente prendeilnomediteoremadelleforzevive,oggipinotocometeoremadell'energiacinetica.Nevediamo oraunarapidadimostrazione,rimandandoperapprofondimentiallavocespecifica. Consideriamounpuntomaterialedimassam.SiaFunaforzaagentesudiesso.Valeilsecondoprincipio delladinamica: ovvero: Consideriamoora: Ilprimomembrodiquestaequazioneprendeilnomedipotenzadellaforza . Consideriamooral'integraledell'espressioneprecedentedauntempoinizialetiaduntempofinaletf.Siha:

Ilprimomembrorappresentaperdefinizioneillavorodellaforzasulpuntomateriale.Ilsecondomembrosi puinveceesprimerecomesegue:

Ricordandoche laprecendentediventa:

Derivandoilseguenteprodottoscalaresiottieneinvece:

chesostituitaallaprecedentepermettediottenere

ovverolavariazionedienergiacineticadiunpunto materialetraunistanteiniziale eunofinale uguale all'integraledellapotenzadelleforzeagentisulcorpotrataliistanti,cheprendeilnomedilavoroedstato indicatoconL. L'energiadefinitacomelacapacitdiuncorpoodiunsistemadicompierelavoro. L'unitdimisuraderivatadelSistemaInternazionale,perl'energiaeillavoroiljoule(simbolo:J),chiamata cos in onore di James Prescott Joule e dei suoi esperimenti sull'equivalente meccanico del calore. 1 joule esprimel'energiausata(oillavoroeffettuato)perimprimereadunamassadi1kgunaforzadi1newton, cioun'accelerazionedi1ms2.1jouleequivalequindia1newtonmetro,einterminidiunitbaseSI,1J paria1kgm2s2(inunitCGSl'unitbasel'ergovvero1gcm2s2). L'energia permette anche di fare altre previsioni. Infatti, grazie alla legge di conservazione dell'energia validapersistemichiusi,sipudeterminarelostatocineticodiunsistemasottopostoadunasollecitazione quantificabile.Adesempiosipuprevederequantovelocementesimuoverundeterminatocorpoariposo, se una determinata quantit di calore viene completamente trasformata in movimento di quel corpo. Similarmente,sarpossibileancheprevederequantocaloresipuottenerespezzandodeterminatilegami chimici. Lapotenzadefinitacomeillavoro(L)compiutonell'unitditempo(t): In base al principio di eguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura anche la quantit di energia scambiatanell'unitditempo,inunqualunqueprocessoditrasformazione,meccanico,elettrico,termicoo chimicochesia. Nelcasodienergiameccanica(lavoro),lapotenzacorrispondeanchealprodottodellaforzaperlavelocit delpuntodiapplicazionee,nelcasodimotirotatori,alprodottodellacoppiaperlavelocitangolare. All'inverso, l'energia trasformata durante un processo, si ottiene dalla potenza sviluppata moltiplicandola perlasuadurata.Nelsistemainternazionalediunitdimisura(SI)lapotenzasimisuracoerentementein watt(W),comerapportotraunitdienergiainJoule(J)eunitditempoinsecondi(s): Nelsistemabritannicosiusanoicavallivapore:1HP=746W ESEMPI: un maratoneta, alla fine di una gara di maratona, avr consumato certamente pi energia (pi calorie, se vogliamo) rispetto ad un centometrista, dopo i suoi dieci secondi di gara. Ma certamente la potenzachedevesviluppareilcentometristaenormementesuperioreaquelladelmaratoneta. Allo stesso modo una lampadina da 100 watt consuma un decimo di una stufetta (o di un altro elettrodomestico) da1000watt,ma,seutilizziamolastufettaperun'ora elasciamoaccesalalampadina per24ore,allafinelastufettaavrconsumatosolounchilowattoramentrelalampadinaavrconsumato ben2,4chilowattora.(Ilchilowattoraunmodo,tollerato,permisurarel'energia.Corrispondeallapotenza di1000wattsviluppatacontinuativamenteperun'ora). Ovviamenteall'aziendaelettricasipaganoichilowattora,chemisuranol'energiaconsumata.Malastessa aziendaelettricafapagareancheunaquotabase,proporzionaleallapotenzaimpegnata(chilowatt),cioal numero massimo di stufette da 1000 watt che si possono accendere contemporaneamente senza far "scattare"ilcontatore.Infatti,sicapisceancheintuitivamente,persvilupparepotenzepialtecivogliono lineeelettrichepirobuste,comemuscolirobustiservonoalcentometristaperilsuoscatto.

Energia Potenziale: una funzione scalare dello spazio (delle coordinate nel sistema di riferimento considerato)erappresentalacapacitdicompierelavorocheilcorpopossiedeinvirtdellasuaposizione all'internodiuncampodiforzeconservative. In un campo di forze conservative se il corpo si sposta da un punto A (definito da un vettore posizione rA) ad un punto B (definito da rB), le forze del campo compiono su di esso un lavoro definito da . TalelavoronondipendedalparticolarepercorsoseguitomasolodallaposizionediAeB. L'energia potenziale definita a meno di una costante additiva. In altri termini possibile fissare arbitrariamenteillivellozerodell'energiapotenzialeincorrispondenzadiparticolariposizionir;questonon d luogo ad alcuna ambiguit, poich il lavoro definito in termini di variazioni di energia potenziale (la qualedipendesolodallaposizioner)elaforzacomegradiente. Forzeconservative,cheammettonounafunzionedienergiapotenziale: 1)laforzadigravitammetteun'energiapotenzialegravitazionale. Uncorpodimassam,inprossimitdellasuperficieterrestre,postoadun'altezzahrispettoadunaquotadi riferimento scelta arbitrariamente, ha un'energia potenziale U(h) = mgh essendog(9,81m/s)l'accelerazionedigravit. Seladistanzadiuncorpodimassamdallasuperficieterrestre(odiqualunquealtrocorpoceleste)taleda nonpoter trascurarelevariazioni della forzagravitazionaleconladistanza,alloral'energiapotenziale ad una distanza r dal centro del corpo celeste definita da doveGlacostantedigravitazioneuniversaleeMlamassadellaterraodelcorpoceleste.Inquest'ultimail livello di zero di U posto a distanza infinita dal corpo celeste; di conseguenza i valori di U sono sempre negativi. 2)laforzadiCoulombammetteun'energiapotenzialeelettrica;unacaricaqpostaadistanzardallacaricaQ , essendo o la costante generatrice del campo, possiede un'energia potenziale dielettricadelvuoto.Nellostudiodeifenomenielettricituttaviadiusopifrequenteilpotenzialeelettrico, definitocomeenergiapotenzialeperunitdicaricaelettrica: 3)laforzaelasticaammetteun'energiapotenzialeelasticaseseguelaleggediHookeF=kx(essendokla costante elastica della molla e x l'allungamento o accorciamento). In tale caso l'energia potenziale Coniltermineenergiameccanicasiintendelasommadienergiacineticaedenergiapotenzialeattinentiallo stessosistema. In un campo conservativo, in presenza di sole forze conservative, vale il principio che "durante la trasformazione,leenergieparzialisitrasformano,mentrel'energiameccanicasiconserva.Peresempio,un corpoinuncampogravitazionale,cheuncampoconservativoquandosituatoinunacertaposizione dotatodi(sola)energiapotenzialegravitazionale.Selolasciamolibero,inassenzadiforzedissipativecome l'attrito con l'aria, l'energia potenziale iniziale, a mano a mano che cade, si trasforma in energia cinetica (crescelavelocit)mentrelasommadelledueenergierimanelastessa.Ilcampoconservativoequivaleal principio di conservazione dell'energia: le variazioni di energia potenziale equivalgono alle variazioni di energiacinetica,cambiatadisegno: K=U ovvero

chepuesserescrittacome

Ognimembrodellaprecedenteesprimel'energiameccanicatotaledelsistemae,inquantonota,costituisce unacostante.Pertantosipuscrivere

chenelcasogeneralediventa

Lacostanteun'energia,edquellechecomunementenotacomeenergiameccanica.Indefinitiva: Alla fine della caduta, quando il corpo urta il pavimento ed di nuovo fermo, l'energia cinetica nuovamente nulla, e poich anche l'energia potenziale diminuita, concludiamo che in questo evento l'energia meccanica si sia trasformata in qualcos'altro, poich consideriamo la conservazione dell'energia totaleunprincipio.Nelcasospecifico,diciamochel'energiameccanicasitrasformatainenergiatermica,e se misuriamo la temperatura del sistema corpo + pavimento ci aspettiamo di osservare una variazione di temperatura. Insieme alla conservazione della quantit di moto e alla conservazione del momento angolare, la conservazione dell'energia uno dei principi fondamentali della fisica classica. In meccanica razionale, l'energia meccanica uno degli integrali del moto, e la conservazione dell'energia meccanica una conseguenzadell'omogeneitdeltempo. Non sempre le forze che agiscono su un sistema sono conservative, e non sempre l'energia meccanica, dunque, si conserva. Siano allora FC e FNC rispettivamente la somma di tutte le forze conservative e non conservative.Illavorodaessecompiutoallora: Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro corrisponde alla variazione totale di energia cinetica del sistema: L=K mentre, essendo FC forze conservative, possibile ad esse associare una funzione potenziale U tale che il lavoroditaliforzepossaessereespressocome: L=U Inquestomodo,sostituendonell'espressionedellavoro,siha: Oraaprimomembrosiriconoscelavariazionedienergiameccanicadelsistema,essendoEmecc=K+U.In definitivasihadunqueche: che prova che le variazioni di energia meccanica di un sistema sono dovute esclusivamente al lavoro compiutodalleforzenonconservativesulsistema. Unesempiodiforzanonconservativa,presodall'esperienzadituttiigiorni,laforzad'attrito.Sebbenein natura non esistano forze non conservative (a livello microscopico), la forza d'attrito considerata non conservativa, in primo luogo perch essa, in generale, non costante, perlomeno in direzione e verso; in secondo luogo perch gli effetti che essa produce (generalmente surriscaldamento delle parti a contatto) nonsonoconteggiatinelcomputodell'energiameccanica.

LIQUIDI Il liquido, uno degli stati della materia, un fluido il cui volume costante a temperatura e pressione costantielacuiformasolitamentequelladelcontenitorecheilliquidostessoriempie. Lacomprimibilitdeiliquidiingeneremoltobassa,etrascurabileseconfrontataaquelladeigas,quindii liquidi sono considerati incomprimibili. Generalmente, una sostanza allo stato liquido meno densa che allo stato solido, ma un'importante eccezione costituita dall'acqua. Le molecole o atomi che costituiscono il liquido interagiscono fra loro, sebbene non fortemente come nel solido.Nonsonofraloroinposizionifissema"scorrono"gliunisuglialtri,sebbenesiipotizzil'esistenzadi clusterogabbierelativamentestabili,inliquididaifortilegamiintermolecolaricomel'acqua. Pressione:lasolaforzacheifluidipossonoesercitaresuuncorpoimmersoinunfluidoquellachetendea comprimereloggettoimmerso.Lapressioneunagrandezzafisica,definitacomeilrapportotralaforza agente normalmente su una superficie e la superficie stessa. Il suo opposto (una pressione con verso opposto)latensionemeccanica. FlaforzaeSlasuperficieoarea LapressionesimisurainPascal[Pa]cheequivalea1newtonalmetroquadratookgs2m1. Altreunitdimisuradellapressionesono: Latmosfera:1[Atm]=101325[Pa](1,013*105) IlTorr:1[Torr]=1/760[Atm]=133[Pa] Ilbaremillibar:1[millibar]=102[Pa] LaleggediStevinounodeiprincipifondamentalidellastaticadeifluidi.VenneenunciatadaSimonStevin (15481620)nelsuotrattatodel1586DeBeghinselendesWaterwichtsdedicatoall'idrostatica.Affermache lapressioneesercitatadaunacolonnadifluidodiprofondith(distanzadalpeloliberodelfluido,ossiala parteinaltonellacolonninaaperta,acontattoconl'ambienteesterno)edensitcostantedirettamente proporzionaleah, essendo l'accelerazione di gravit g = 9.8 m/sec; se la superficie della colonna di liquido esposta alla pressioneatmosfericaPAalloralaleggevienecosmodificata: essendoPA=101325Pascallapressioneatmosfericastandard. LaleggediStevinoderivadirettamentedall'equazionedelmotodiunfluidoideale: dove rappresentalaforzadivolumeagentesulfluido,plapressioneeladensit.Nelcasodiun ,quindi: fluidofermo,lacondizionediequilibriotradottain Questaequazionesignificachenelcasostaticoleforzedivolumedevonouguagliareleforzedisuperficie.Se leforzecuisoggettoilfluidosonoconservativealloralaprecedenteequazionediventa: doveU=gz+costl'energiapotenzialedovutaallaforzadivolume.L'equazioneindicatral'altro,chele superficiequipotenzialinelcasodifluidoidealesonoanchesuperficiisobare.Supponendocheilfluidosia incomprimibile(comenelcasodeiliquidi):

cheintegratatraduequote

e

:

p2p1=g(z2z1) cheappuntolaleggediStevino. PrincipidiPascal:unavariazionedipressioneapplicataadunfluidovienetrasmessainvariataadognipunto delfluidoedalleparetidelcontenitore.P=P+gh(=costantedidensitspecifica) LapressionePadunadataprofondithdallasuperficieliberaacontattoconlatmosferamaggioredella pressioneatmosfericadellaquantitgh.VedileggediStevino:leforzeverticalisonoinequilibriose: F1+mg=F2ossiasep1S+mg=p2S[sapendoche:m=pS(y2y1)]=>p1S+pS(y2y1)g=p2Squindi: p2p1=pg(y2y1) La legge di Pascal vale anche per i gas e pu essere enunciata in un modo pi generale: "la pressione esercitata sulla superficie di un fluido si trasmette inalterata su tutte le superfici a contatto con il fluido". Chiariamo meglio quanto asserito con l'esempio del torchioidraulico. Consideriamo il recipiente mostrato in sezione in cui contenuto un liquido (di solito olio) ed in cui sono presenti due pistoni di superficie diversa : Sia la superficie del primo pistone e quella del secondo. Sul primo pistone venga esercitata (dall'alto in basso) una forza . A causa di questa forza, il secondo pistone risente della forza (dal basso in alto). Applichiamo la legge di Pascal. Secondo questa legge la pressione si esercita in maniera uguale su tutte le superficie a contatto con il liquido. Per questo motivo, la pressione che esercita il primo pistone e che vale : la Da queste formule siamo in grado di ricavare la forza incognita formule) Consideriamo il caso concreto in cui si abbia : . che vale (confrontando le due : . :

stessa

esercitata

(dal

basso

verso

l'alto)

sul

secondo

pistone

(usiamo Sostituendo

qui nella

per formula

comodit precedente

i risulta

centimetri). infine :

. Questo risultato pu essere compreso in maniera intuitiva con la seguente osservazione. La Siccome questa pressione si trasmette inalterata sulla superficie quadrato di sar compare una forza F = 2N . Poich pressione su vale : . , avremo che su ogni centimetro , la forza complessiva su :

si ottiene una grande

Abbiamo ricavato il sorprendente risultato che con una piccola forza

forza .La legge di Pascal pu quindi essere sfruttata nelle applicazioni di ingegneria per sollevare con piccolisforzi grandi pesi. Innumerevoli sono i congegni che sfruttano questo principio. Fra i tanti : il crick idraulico,i freni delle auto, presse ed elevatori ecc. ecc. Da quanto mostrato (la possibilit di ricavare grandi forze con piccoli sforzi) sembrerebbe che si possa guadagnare energia. Purtroppo, le cose non stanno cos ed il principio di conservazione dell'energia nonvieneviolato. PrincipiodArchimede:IlprincipiodiArchimedeunteoremariguardantel'interazionedeifluidiconicorpi che vi sono immersi. cosdettoinonorediArchimedediSiracusa,matematicoefisicogreco,vissutonelIIIsecoloa.C.chelo enunci nella sua opera Sui corpi galleggianti (nell'opera di Archimede si trattava per di un teorema, dedottodaunsemplicepostulatooggidimenticato). Un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta (detta forza di galleggiamento) verticale pari al peso di una massa di fluido di forma e volume uguale a quella della parte immersa del corpo. Il punto di applicazione della forza di Archimede, detto centro di spinta, si trovasullastessalineadigradientedellapressionesucuisarebbeilcentrodimassadellaporzionedi fluidochesitrovasseadoccuparelospazioinrealtoccupatodallaparteimmersadelcorpo. Tale forza detta forza di Archimede o spinta di Archimede o ancora spinta idrostatica (nonostante non riguardisoloicorpiimmersiinacqua,mainqualunquealtrofluidoliquidoogas). Unaformulazionepisemplicedelprincipiolaseguente: Un corpo riceve dal basso verso l'alto una spinta pari al peso del volume di liquido spostato La spinta si applica al baricentro del corpo immerso ed diretta, secondo l'equazione fondamentale dell'idrostatica, verso il piano dei carichi idrostatici (o piano a pressione relativa nulla), che nella maggioranzadeicasicoincideconilpeloliberodelliquido,edquindidirettaversol'alto. Archimede invent la bilancia idrostatica, utilizzata per misurare il peso specifico dei liquidi. Sulla base di quellerilevazioni,afferm: Qualsiasisolidopileggero(n.d.T.:conpesospecificominore)diunfluido,secollocatonelfluido,si immergerinmisuratalecheilpesodelsolidosarugualealpesodelfluidospostato

Unsolidopipesantediunfluido,secollocatoinesso,discenderinfondoalfluidoesesipeseril solidonelfluido,risulterpileggerodelsuoveropeso,eladifferenzadipesosarugualealpesodel fluidospostato Ilprincipioquindiuncasoparticolaredell'equazionefondamentaledell'idrostatica,chevalefinchilfluido puesseretrattatocomeunmaterialecontinuo,equestoavvienesolofintantocheledimensionideicorpi immersisonoabbastanzagrandirispettoalledimensionidellemolecoledelfluido. Daunpuntodivistamatematico,laforzadiArchimedepuessereespressanelmodoseguente: essendo flu la densit del fluido, g l'accelerazione di gravit e V il volume spostato (che in questo caso ugualealvolumedelcorpo).Allostessomodo,ilpesodelcorpodatoda essendosolladensitmediadelsolidoimmerso. Laspintaindipendentedallaprofonditallaqualesitrovailcorpo. La densit relativa (del corpo immerso nel fluido rispetto alla densit del fluido) facilmente calcolabile senzamisurarealcunvolume: Densitrelativa={Pesodelcorponellospaziovuoto}/{PesodelcorponellospaziovuotoPesodellaparte immersanelfluido}. Ilpesodiuncorpoimmerso(parzialmenteototalmente)nonquellototalemisurabilefuoridalliquido,ma il peso del volume di fluido spostato dalla parte immersa. Questa quantit riduce il peso del corpo (parte immersaenonnelfluido)quandositrovaappesoadunfilonellospaziovuoto. Corpoimmersoinunliquido Possonodarsitrecasi(illustratidasinistraadestrainfigura): Ilcorpotendeacaderefinoaraggiungereilfondoselaforza diArchimedeminoredelpeso,FAarcsen(n2/n1)),ilraggiorifrattonon presenteetuttalalucevieneriflessa (riflessionetotale). Leleggisullariflessioneerifrazionesono riassuntedallequazione: n1sini=n2sinr Valeilprincipiocheilcamminootticosipuinvertire.Neseguonoiconcettidiriflessionetotaleediangolo limite.Lefibreottichenesonounesempio. Lindicedirifrazionediminuiscealcresceredellalunghezzadonda: n=n(l)>1 evale1nelvuoto;lavelocitdellaluceinunmezzov=c/n Lariflessioneilfenomeno,governatodallaleggedellariflessione,percuiun'ondaelettromagneticache colpisceunasuperficiediseparazionetraduemezzi,inparteprosegueilsuopercorsodeviandoloaldil dellasuperficie,mentreinpartetornanelladirezionedacuiproveniva.Inparticolare,secondolanotalegge, dettoil'angolodiincidenzadelraggioluminosoedettorl'angoloformatodalraggioriflessoconla .Seinvecesichiamatl'angoloformatodalraggiorifrattoconla normaleallasuperficie,sihache ,dettin1en2gliindicidi normaleallasuperficie,secondolaleggediSnellsihache rifrazionedeimezzi. Lariflessionetotaleavvienesel'angolotraggiungel'ampiezzadi/2,ciosenonesistepiondarifratta. Questofenomenopuavvenirenelpassaggiodaunmezzopidensoaunomenodenso(ovvero,n1>n2)e l'angoloitalepercuinonesisteondarifrattadettoangolocritico:

Quando>critnonapparealcunraggiorifratto:laluceincidentesubisceunariflessioneinternatotalead operadell'interfaccia.Sigeneraun'ondadisuperficie,oondaevanescente(leakywave),chedecade esponenzialmenteall'internodelmezzoconindicedirifrazionen2. LaformulaprecedentestataottenutaponendonellaleggediSnell perch .

L'angolo di incidenza del raggio blu 2 maggiore dell'angolo critico: il raggio di luce viene riflesso

Undiottrounsistemaotticocostituitodaduemezziomogenei,trasparentiecondiversoindicedi rifrazione;selasuperficiediseparazionetraiduemezziunaporzionedisfera,ildiottrosidicesferico.Pi ingeneralesidice"diottrico"unsistemaotticocostituitodasolesuperficirifrangenti(lenti,ecc.)mentresi dice"catottrico"unsistemaotticocostituitodasolesuperficiriflettenti(specchi,ecc.). QuandounsistemaotticoforniscediunpuntoluminosoPunimmaginepuntiformeP',cioquandotuttii raggiuscentidaPsiincontranoinP',dopoaversubitorifrazionioriflessioniimpostedalsistemaottico, essodettostigmatico. Datounsistemaottico,laconoscenzadipochipunti,dettipuntiprincipali,permettedicostruirel'immagine diunqualsiasioggetto.PerildiottroipuntiprincipalisonoilcentroCdellacurvaturaedifuochideldiottro: ilcentrodicurvaturaChalaproprietchequalsiasiraggiodiluceprovenientedallospaziooggettoe passanteperCnonsubiscedeviazioninell'attraversarelacalottasferica; ilsecondofuocoF2deldiottroinveceilpuntoincuiconvergonotuttiiraggiluminosiprovenientidallo spaziooggettoparallelamenteall'asseottico.Ilsecondofuocoquindil'immaginediunpuntoposto all'infinito; ilprimofuocoF1ilpuntosull'asseotticonellospaziooggetto,lacuiimmagineilpuntopostoall'infinito; Ledistanzefocalif1ef2diundiottrodipendonodunquedallesuecaratteristiche.Laformulachelegale distanzefocalidiundiottroagliindicidirifrazionecostituentiiduemezzideldiottrostesso:, doven1en2sonogliindicidirifrazioneassolutiperiduemezzi. Iltipopicomunerappresentatodallelentisferiche,caratterizzatedall'avereleduesuperficiopposte costituiteidealmentedaporzionidiunasferadidatoraggio,R1edR2.Ciascunodiquestiparametriil raggiodicurvaturadellacorrispondentesuperficie. IlsegnodiR1determinalaformadellasuperficie:seR1positivolasuperficieconvessa,senegativala superficieconcava,seR1infinitolasuperficiehacurvaturazero,ovveropiatta. Lostessovaleperlasuperficieoppostalungoilcamminoottico,maconisegniinvertiti. Lalineapassantepericentridellesfereidealiegeneralmentepassanteancheperilcentrogeometricodella lentedettoasse. Lelentisonoclassificate secondolacurvaturadelledue superfici: biconvessaosemplicemente convessaseentrambesono convesse, biconcavaoconcavase entrambesonoconcave, pianoconvessaseunapiatta el'altraconvessa, pianoconcavaseunapiattal'altraconcava, concavoconvessasesonounaconcavaedunaconvessa. Nell'ultimocaso,selesuperficihannougualeraggiolalentesidefiniscemenisco,ancheseilterminea volteusatoperindicareunagenericalenteconcavoconvessa. Selalentebiconvessaopianoconvessaunfasciodilucecollimatooparalleloall'assecheattraversala lentevienefattoconvergere(ofocalizzare)suunpuntodell'asse,adunacertadistanzaoltrelalentenota comedistanzafocale.Questotipodilentedetta positiva.

Selalentebiconcavaopianoconcava,unfasciocollimatofattodivergereelalentepercidetta negativa. Ilraggiouscentedallalentesembra proveniredaunpuntodell'asseantecedente lalente.Anchequestadistanzachiamata distanzafocale,mailsuovalorenegativo rispettoadunalenteconvergente. Nellalenteconcavoconvessa,la convergenzaodivergenzadeterminata dalladifferenzadicurvaturadelledue superfici.Seiraggisonougualiilfascio luminosononconvergendiverge. Ilvaloredelladistanzafocalepuessere calcolatoconl'equazione: dove: nl'indicedirifrazionedelmaterialeconcuicostituitalalente, n'l'indicedirifrazionedell'ambienteincuilalenteimmersa, dladistanzatraleduesuperficiospessoredellalente. SedpiccolorispettoaR1eR2,sihalacondizionedilentesottileefconbuonaapprossimazionedatoda: Ilvaloredifpositivoperlelenticonvergenti,negativoperledivergentieinfinitoperlelentiamenisco. L'inversodelladistanzafocale(1/f)dettopoterediottrico,espressoindiottriecondimensionimetri1. Lelentisonoreversibili,ovveroledistanzefocalisonolestessesiachelaluceleattraversiinunsensosia nell'altro(alcuneparticolariproprietcomeleaberrazioninonsonoreversibili). Formazionedelleimmagini[modifica] Comesidettounalentepositivaoconvergentefocalizzaunfasciocollimatoparalleloall'asseinunpunto focale,adistanzafdallalente.Specularmente,unasorgenteluminosacollocatanelpuntofocaleprodurr attraversolalenteunfasciodilucecollimato. Questiduecasisonoesempiodiimmaginiformatedallalente.Nelprimocasounoggettopostoadistanza infinitafocalizzatoinunaimmaginesuunpianopostoalladistanzafocale,chiamatopianofocale.Nel secondocasounoggettopostonelpuntofocaleformaunaimmagineall'infinito. DateledistanzeS1tralenteed oggettoeS2tralenteeimmagine, perunalentedispessore trascurabilevalelaformula: dacuiderivacheseunoggetto postoadistanzaS1sull'assedella lentepositivadifocalef,suuno schermopostoadistanzaS2si formerl'immaginedell'oggetto. Questocaso,chevaleperS1>fallabasedellafotografia.L'immaginecosformatadettaimmagine reale.

SinoticheseS11l'immaginepigrandedell'oggetto.Sinoticheilsegnonegativo,comesempreperle immaginireali,indicachel'immaginecapovoltarispettoall'oggetto.PerleimmaginivirtualiMpositivoe l'immaginediritta. NelcasospecialeincuiS1=,siottieneS2=fedM=f/=0 Questocorrispondeadunfasciocollimatofocalizzatoinunpuntoalladistanzafocale.Ladimensionedel puntononnullanelcasoreale,poichladiffrazioneimponeunlimiteminimoalladimensione dell'immagine.(vediScatteringRayleigh) Laformulaprecedentepuessereapplicata anchealentidivergentiindicandola distanzafocaleconsegnonegativo,ma questelentipossonodaresolamente immaginivirtuali.