fizyka 1- mechanikaszef/fizyka 1/f1_w15.pdf · 2006. 1. 10. · siła dośrodkowa jest wypadkową...

Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

[email protected] http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika Wykład 15

25 stycznia.2018 PODSUMOWANIE

mailto:[email protected]



http://www.fuw.edu.pl/~szef/

25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14

Prędkość chwilowa Wykres poniżej pokazuje jak możemy mierzyć

prędkość w coraz to krótszych przedziałach czasu. Prędkość chwilowa to tangens kąta nachylenia krzywej

drogi od czasu.


Prędkość chwilowa a pochodna

Dla ruchu jednostajnego. Niech x(t)=vt, policzmy dx/dt.

t

xv

t

0lim

t

tfttf

t

ftf

dt

df

tt

00limlim

vt

tv

t

vttvvt

t

vtttv

t

txttxvt

dt

dx

tt

ttx

00

00

limlim

limlim

vvt


Prędkość chwilowa a pochodna

Ruch jedn. Przyspieszony. Niech x(t)=at2, policzmy dx/dt.

t

xv

t

0lim

t

tfttf

t

ftf

dt

df

tt

00limlim

attaat

t

attttta

t

attta

t

txttx

dt

dx

tt

tt

22lim2

lim

limlim

0

222

0

22

00

atat 22

231 3ttntt nn

Możemy uogólnić uzyskany wynik !


Prędkość i nachylenie krzywej

Wykres położenia względem czasu dla ruchu o stałej prędkości ma stałe nachylenie.

Wykres położenia względem czasu dla ruchu o

zmiennej prędkosci ma zmienne nachylenie.

3.0 s

4.5 m

Dla t= 1,7 s

nachylenie = v = 4.5 m/3.0 s = 1.5 m/s

Rzut poziomy i ukośny


Ruch w polu grawitacyjnym

Niezależność ruchów: t0=0, x0=0, y0=h Ruch w poziomie zależy tylko od V0X

Ruch w pionie zależy od V0y i przyspieszenia g Rzut poziomy: =0 czas spadania nie zależy od V0

Z rozwiązania równania dla y=0 mamy:

coscos 000 tVtVtVx x

2sin

2

2

0

2

0

gttVh

gttVhy y

g

ht

2

Rzut ukośny


Tor w rzucie ukośnym to parabola

22

0

2

cos2tan

V

gxxhy Zasięg dla h=0 (żądamy y=0)

2sin2 2

0

g

gVx

Największy dla =/4=450

II zasada dynamiki


Na dane ciało P działają różne siły nadając mu różne przyspieszenia.

Porównując przyspieszenia możemy porównywać wartości siły.

Przy warunku początkowym: 000 vr

Przyspieszenie możemy mierzyć bezpośrednio, albo mierząc czas t1 przebycia odległości L lub uzyskaną na końcu tego odcinka prędkość v1

L

va

atavatv

t

La

atL

22

22

2

2

1

2

12

1112

1

2

1

II zasada dynamiki (zmienna masa)


Tabela pomiarów przyspieszeń dla wózka o zmiennej masie.Pomiary na drodze L=1,4m

Okazuje się, że ta stała to w przybliżeniu wartość siły przyciągania ziemskiego obciążnika (bez sznurka).

Iloczyny masy i przyspieszenia F=ma są bliskie stałej (szósty wiersz w tabeli). Z drugiej strony ciężar obciążnika to:

Ns

mkggmF 5,081,9050,0

2

2

1

2

t

La

Stała siła F=mg dla m=50g

pomiar 1 pomiar 2 pomiar 3

l [m] 1,40 1,40 1,40

M [kg] 3,02 2,02 1,02

t [s] 4,15 3,55 2,45

t^2 [s^2] 17,22 12,60 6,00

a [m/s^2] 0,16 0,22 0,47

F=M*a [N] 0,49 0,45 0,48

v (końc)=at [m/s] 0,67 0,79 1,14

t1 dla 0,2m 0,30 0,26 0,19

v (końc)=0,2m/t1 0,67 0,77 1,05 Prędkość z czasu przelotu

Prędkość ze wzoru v=at

II zasada dynamiki (zmienna siła)


Tabela pomiarów przyspieszeń dla toru powietrznego o zmiennej sile F=mg Pomiary na drodze L=1,4 m, dla wózka o masie M=2,02kg

Okazuje się, że ta stała to w przybliżeniu wartość masy wózka (8-my wiersz niebieski).

Iloraz siły i przyspieszenia M=F/a=mg/a są bliskie stałej. Z drugiej strony masa wózka to M=2,02 kg:

kga

mg

a

FMaMF 5,2

2

1

2

t

La

Stała masa wózka - M

pomiar 1 pomiar 2 pomiar 3

l [m] 1,40 1,40 1,40

M [kg] 2,02 2,02 2,02

t [s] 3,50 2,40 2,00

t^2 [s^2] 12,25 5,76 4,00

a [m/s^2] 0,23 0,49 0,70

m [kg] 0,05 0,10 0,15

F=mg 0,50 1,00 1,50

M=F/a 2,19 2,06 2,14

v (końc)=at [m/s] 0,80 1,17 1,40

t1 dla 0,2m 0,26 0,18 0,15

v (końc)=0,2m/t1 0,77 1,11 1,33

Prędkość ze wzoru v=at

Prędkość z czasu przelotu

II zasada dynamiki


Ruch harmoniczny Pomiar przyspieszenia: Położeniem równowagi jest x=0 Przyjmijmy, że x(0)=R i vx(0)=0 ruch harmoniczny:

Druga zasada dynamiki daje:

m

k

Tm

k

Tgdzietxta

tRtx

2

22

2

4

2

cos

Siła z jaką działa sprężyna zależy wyłącznie od położenia wózka

mTmk

T ~4 2

22

xm

ka

xkamxkFx

II zasada dynamiki


Przyspieszenie w ruchu harmonicznym

Pomiar okresu drgań sprężyny dla różnych mas

Druga zasada dynamiki daje:

txT

txm

kta

Tgdzietxta

tRtx

2

2

2

2

cos

constT

mkm

kT

2

222 44

mk

Tk

mT

22

2

2

22 444

Ruch harmoniczny (sprężyna k=1,95N / 0,3m, k =6,5 N/m)

masa [kg T [s] T^2 k=4m/T^2

0,05 0,56 0,31 6,36

0,10 0,78 0,61 6,52

0,15 0,95 0,90 6,58

Ruch harmoniczny (sprężyna k=7,6N / 0,2m, k =38 N/m)

0,15 0,41 0,16 36,07

0,15 0,41 0,16 36,07

Wartości współczynnika sprężystości k wyznaczane z pomiaru siły i wychylenia są zgodne z wartościami uzyskanymi z pomiaru okresów i mas.

III zasada dynamiki


BA FF

Siły akcji i reakcji są równe co do wartości.

Zasada akcji i reakcji

BBAA amam

A

B

B

A

m

m

a

a

Przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas:

A

B

B

A

k

m

m

v

v

tav

II zasada dynamiki


Badając okres drgań wózka T, przy zmierzonej masie wózka – m, możemy wyznaczyć stalą sprężystości sprężyny

m

N

s

kgskgk

T

mk 4,24,216,0/15,040

42

2

2

2

2

2

2

4,

T

m

T

mTm

Równanie oscylatora


Rozwiązanie takiego równania łatwo odgadnąć:

xkxmxkamxkFx ..

xm

kx ..

tRtxtRtxtRtx cos,sin,cos 2...

m

k

TTm

kgdzie

2

22 42

,

tRtatRtvtRtx cos,sin,cos 2

Rozwiązanie równania oscylatora


Wartości współczynników A i B wyznaczamy z warunków początkowych:

Ruch jest płaski, odbywa się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory r0 v0.Torem ruchu w ogólnym przypadku jest elipsa. W szczególnym przypadku torem ruchu może być odcinek lub okrąg.

0,0 0000 valboralbovr

Odcinek gdy:

tv

trtr

Btvv

Atrr

sincos

0

0

00

0

0

0000 rvivr

Okrąg gdy:

tBtAtr sincos

Regulator Watta – układ LAB


Regulator Watta

Siła dośrodkowa jest wypadkową siły reakcji i siły ciężkości:

Kulka w wirującym naczyniu

RgmF

Układ obracający sie


Kulka w wirującym naczyniu Regulator Watta

Równowaga sił w układzie obracającym się

0 amFRgm b

Energia potencjalna


Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym.

Siła ciężkości działająca na masę m:

BAAB

B

A

B

A

AB rrmgrrmgdrmgrdrFW

Możemy wprowadzić energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego

mgyrgmEp

Pracę możemy wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej

pBpApAB ErErEW

Siła ciężkości jest siłą zachowawczą

Energia potencjalna


Siła zachowawcza Siła jest zachowawcza (konserwatywna), jesli praca przez nią wykonana zależy tylko od położenia punktów początkowego (A) i końcowego (B). Można ją wyrazić przez zmianę energii potencjalnej

Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości. Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru

Cyrkulacja – krążenie

pBpAp

B

A

AB ErErEdrrFW

0 rdrFrdrF

A

A

F

Siłami zachowawczymi są wszystkie siły centralne. Kulombowska, grawitacyjna, sprężystosci etc.

rirFF

Siła – energia potencjalna


Otrzymujemy:

dzdydxrd ,,

Wykonana praca przy infinitezymalnym przesunięciu:

pdEdrrFdW

Zmiana energii potencjalnej:

dz

dE

dy

dE

dx

dErF

dr

dW ppp ,,

dz

dE

dy

dE

dx

dEF

ppp,,

Znajomość potencjału siły zachowawczej jest równoważna znajomości samej siły. Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej, istotne są tylko jej zmiany.

Praca a energia potencjalna


Rozciąganie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości:

kxdx

xdExF

p

2

2

00

ksdxxkdxxFW

ss

Kosztem tej pracy rośnie energia potencjalna:

2

2kxxEp

Stąd siła sprężystości:

Gdy puścimy sprężynę energia potencjalna zamienia się na kinetyczną

Zasada zachowania energii


Ruch pod wpływem siły sprężystości:

Ruch harmoniczny:

constmvkx

constxExEE kp

22

22

txE

tAv

txE

tAx

Amk

kAp

2

2

2

2

cos

cos

sin

sin

22

2

2

2kAEEE kp

22 mkmk

Zasada zachowania pędu


Oddziaływanie dwu ciał Układ rozpada się pod wpływem sił wewnętrznych. Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają,

0i

ip

to po rozpadzie suma pędów musi też pozostać zerowa. Dla dwu ciał: (vi<<c)

2

1

1

21

2

12

2211 0

m

m

v

vv

m

mv

vmvm

Zasada zachowania pędu


Zderzeniem całkowicie niesprężystym (całkowicie nieelastycznym) nazywamy zderzenie, w wyniku którego ciała pozostają trwale złączone (lub nie poruszają się względem siebie) Gdy jedno z ciał spoczywa, Pęd początkowy:

11vmpi

Pęd końcowy:

221 vmmpk

Zasada zachowania pędu:

1

21

12 v

mm

mv

pp fi

Zderzenia sprężyste (z.z.e+z.z.p.)


Przed zderzeniem

m1

Po zderzeniu

m2 m1 m2 v v=0 v2 v1

z.z.p. 221111 vmvmvm

222

22

22

2

11

2

1 vmvmvmz.z.e.

1

2

12 vv

m

mv

z (2) 212

2

2

12

2

1

2

1 vvm

mmvvm

211112 vvmvvvvm

vmm

mmvvvmvvm

21

2111112

Zasada zachowania momentu pędu


FrM

Równanie ruchu:

IprL

MFrpv

dt

pdrp

dt

rd

dt

prd

dt

Ld

0

constLM

0

Przykład: Wirujące koło

1. Koło i student(ka) nie wirują 2. Student rozkręca koło przy pionowej osi

koła z momentem pędu w górę (co się dzieje z krzesłem?) Krzesło rotuje z momentem pędu w dół.

3. Zatrzymujemy ręką rotację koła. Co się dzieje z krzesłem?.


L1 = L2 = L3 Krzesło zatrzymuje się

Pytanie 1 [1] Spoczywam trzymając rotujące koło [2] Odwracam oś rotacji koła, a krzesło zaczyna rotować Pytanie: Co się stanie jeśli [3] odwrócimy jeszcze raz?

(a) rotacja ustaje; (b) zwiększa się 2x; (c) pozostaje b.z.

[1] [2]

??

[3]

Fizyka 1 - Wykład 14 25.I.2018

Dwukrotne odwrócenie koła

LNET

LW LS

LNET

LW

LNET

brak obrotu

LW

[1] [2] [3]

Fizyka 1 - Wykład 14 25.I.2018

Prawa ruchu –walec na równi


Dla symetrycznej bryły (walec, obręcz, kula)

rarx

Ruch postępowy (wzdłuż równi)

TQma sinRuch obrotowy (względem środka masy)

r

ITrTI

Eliminując siłę tarcia, T

21

sin

sin2

mr

I

ga

r

Iamamg

r

Ima

Walec na równi – z tw. Steinera


Zagadnienie można rozwiązać inaczej, korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równią):)

rmgIO sin

Otrzymujemy:

OI

rmgra

2sin

2mrIIO

Z tw. Steinera

21

sin

mr

I

ga

2

2 sin

rmI

gmra

Prawa ruchu


sin2

1ga rura

walec sin3

2ga

Walec: 1/3 szybciej !

2

2 sin

rmI

gmra

21

sin

mr

I

ga

fizyka 1- mechanikaszef/fizyka 1/f1_w15.pdf · 2006. 1. 10. · siła dośrodkowa jest wypadkową...

Documents