CURSODE

HIDRAULICA

FCC. JAVIER DOMINGUEZ S......- G'~"'O" ", ..- o.

~ " .., 0 e"'u. ..o. "' ue. .. ' .0 u , .

,,"' GO eo,,,

2." EDIC10N AMPLIADA

UN,.oMSIO'" D' CHIL' O'rCMCKI. L' ~", IIO,C'ON O. 'ST' olu.n ......"0 0

;1oVIlJ1,tcO 1i.-UIL'Ect.u,u...I(lK u. ,.,.!ltlll

ES PROPIEOAO

PRO LOGOE.t3. nU~Va impre,iim de nuestro C",'SO de Hidrauli.,,- .ale ~ lu, con algu-

na. maruiH que no a~reciuon en la primeri'. y con mayor duarrollo de algunoslema. Asi, por ejemplo. en 13. {ut.rion del tr

co;en'e, que .e en~tntrln ordin.,i''''en'e en 1.1 ","anin. Se plH:de igu.l",enjll'S'" de dispoaicione. co"'Pkju c.....o bifll...ci"..es, WCI"'" de 'gt.., .ie. decorrien,bK...... En d c>O".uiio d. anen. .Oft .......imien... we....... h"",os.,...,pdo .1 cil.wo de I. ~ de maUu por_.1 ....,od.. de .pro~_ .unJoi-". & NeYloa plicado por H: Oou. Po:- ult~ haaO$ 'l'~odo un upWt..,.1 U ......ion ~ _ corri.nq , .,.,.,..clu, .tOftCttfand-no.t en ,. ".u.- i 10 ...il ~r ;nll" 10 q..e Ie peltn;.e .futUlt eilcu.

I~ eon I. r.pidu cOn que I. profui,;n I. e,ile, dindole corno .n ,cod.. 01 ,wde I. obll. 10. flUld.",onl... rI

DEL PROLOGO DE LA EDICION ANTERIOR

La' uperi.,ciu, las fotm",1as empiric.. y I...eoriU'l\.idta"lieQ pub1i"'Jas en orrol p.iI incl...a las "'30 reeiMIl"" estili ~tOdic':ltIen,. ts:PUO'!U .,nella ob.a cO"'P iva. que .dlo eJtl1u'yl: a limi.... ptudtrru.t .que11u ,e..rlU qlleno ..,dulIo'-anailtico ti.n 0:0 las" ap;llri.l\cii.del ,i,or m'lem:il~' p.ea ,,, autor nO ' tli Hidriu1ia una Iller. i ...pltalfora. dehum"... ab.ol-"ccione, m'lemi:licas; ,ino"un'a' ci~ncii.' l.cniCa de 1, rulid.d lan_gibl. y iltil.

.,-, ~ .. ,

EI valor ped'gOgito eo el inleru 'I"" inspira la ~2pmiciOn d~ I... fen"",..,.'no herna por quiel! ';enl1< 10 arr.iyo. y 'ha vivido efeClivamenu I.,. t ..r.,osde 10 upceiment:lci6.

E: vuoe ci.niifico y ~Itural e.-l. prUCllI,cion documenlada y fidrdipade la 'evolucion y. el esudo acnW d. I. Hideiulica, 'I"" d~h.mpi,ismio upec;'mcnlal v;".,e elevind,"'. gradualm.nle" Ia racional; eion mal.mil;'a; .ugie1l\ulanni de, cues.;on.. a los que cape..... que d. Ia eon pcion dinimi el.m.ntald. la con"in,.cion de 101 fluid"" Ie irin dedudendo ..atemiticamente lu leyes'I"" til"' codOJ'lo. feno",en"" del ..curtimi""o, ~in """".id.d de acoplat innumer.ble. e"efide'lle. ~mpiricol.

&1. obc:' plcoliSi. n"..Ir.. univeuid.de., pue. li.ne un valor .propio '11,1.u.i .econocido fuar. del p.i.

Ramo.. S,d.., Bdw......

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Pr6)a~"Dol pr6101{

16:--." ,~.~I'I B....ulli r la .aao'., ,el.Heo,'. I. {".f."di

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36.-En'.""" bURo, }" pa"d.. iTm...... Ej.~I"'. 15331.-B'Quilt.. r .o~. VMln,lmelr. E,j""l-plo. 1633a.-('od"-"}".! .....~. 182

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}t.-Vertedfr,~ ea pared 100.-.. de tIIln.d. red.o-llnaa y de riatll ".i"I!. ala ieft..~ei.. d. tJUI .~. '1 Ii" valoc.idJ4 aiei'" .. , .. t,~

U.-Ve)qo:idad ;"id.1 _.... ,. .. .. . ~3~:MI.-Paud.. e ..na. lnlhaeoe.iadn 1>0. -&....bajo ... :!50S1.-P:ued". 4.1."""';,, .0 i.tllle""iad.. e l.nlluciab:ojo>.

Ej""IP10"" .sa.-Verted.IO. e" pored ,T.UU. eo.. l'ontu.ed~1I l.t"rJI. ~ljo>':Ll,I,\..6h..~Parellc. l\1ttrUlediu COil co"trUd(la, IlIto ...). Ejc"'plo.5D.-Vortcdero. lie oblrrer.. 11I"lilloot ",i"lol' ..Tabla N. 3G......(Joelie,ie.t... de !ruto en ....ntM....... ia~,:"I.. (E_lIlIo).T:>bl.. :"I ~. bi,._ Ct.le:Idu oIe- Io~ d, u" vettedl l.teral PO' flIe-

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XIII------

Pig.

Tabla N- 27".-V~.teder08 l~ter..le~. }

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S6.-.-I.eaod".to. Rbovt!ll~do' 48jS7 .........cu,Y.. d. d....arg.. " iinln,,"ctTi.~

.1.1>0 d. lo. 16rmll!a d. n ....LoIAb 'do I. 16;"'olo. a, ,Xll01i.1.1>0. de lo. t6"".I. a, 8wl>el p.,,: hm'mig6i.- .""""'.An... d, Ie t6""ol. dl 8e0'li"Oj '''0 .tliOriU m,d.Ii...Alw!. a. I, 16;....1.. do A.I.-..d, ..._. 'do I. f6,Wii:" d. Wj~It.ru': r Hun.......Ab... d. I' t6rmol. do LoIdi~ 'P"" .':6.'101, d...-.

111.---4".''''id..~.. ... . . ..., .11~.-}fiooi,.I iDIpo'BlOI>ftttt \'11 ulbi.r{..113.-'C,..idoo od.. 1,010.. M.'ri.. ir i ..., Il" .........n.t.lH.----Clud.. do 1,.,I0d6o 0 .od.......auUJ._V.ri.e.l.... "" lao d.. por n'lItoi'o.... -oF OU" .....

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CURSODE

HIDRAULICA GENERAL

CAPITULO 1Nociottes g~nerales

1. Uuerpo,t solwos, lIquidos y guuosos.-2. Algu'1148 r.t!,,,"tu1Ites ffsiClIS.-3.' Presion, irolamienlo' interiQres.-4. Isolropla y eapil-aridad.-5. Liquido perfedo.-6. CieTUJius hidraulicas,

1. Ouerpoe a61idOl, liquid08 y -gaseosos._En 18 Naturaleza, los .t\uerpos tienen aparentetnente cualidades que los agrupan en dos grandes categorilUl: los que !Ie oponen alaR deformaciones, que los llamamos 1IOlidos, y io,"fluidol que no se oponen a elias, () mas bien, que soillmente presentan resis-

t~neia & IlLS defonnaeiones mientras ellas se realizan, tomando finalmente J1Iforma qe los recipien~es que los contienen. Los fhlidos se dividen a III vez,en gases. y iiquidos, segfJn que 8pllrentefllente vari'ln () no de "olumen pOl'

~feetos de cambio de pr~i6n () de temperatura.

2. AJ,n,Qal comtant.e8 fisk:u._Nada tienen de absolutlls las propie-dades que Il(lllbamos de enumerar. Se diferencian solamente en que las mag-nitudes que las miden son de diferente orden en los fhlidos y en lOll s6lidos.La Fisico. General se ocupa especilllmente de d..terminar los cQeficientes dedilataci6n r de compresibilidad de lo.~ diferentes cu~rpos. Apuntamos aq\l1aLgunos "alores de las coustllntes fisicas que pueden sernos utiles en lasaplicaeiones.

La compresion produce en el agua una contracci6n ~ubica de 0,0000"par atm6sfera, que desaparec'e perfeetamentJ! si ~ restablece III presion pri-mitivll. En cambio, una masa de fieno sometida a una c6mpresion unifor_memente repartida se oontrae en' 0,0000007' par atmosfera {dedullido delcoeficiente de elastiddad tomando en cuenta' las deformaciones transversales).

,Los vohlmene:s de los lases son, 110 temperatura eonstante, invcrum~nte proporeionalu II Iu plniones, pv =cl,. (ley de Ma,iotte), ~iempre qlll1':'Sias no sean mny grandes.'

La elevaeioD de un rrado de Il'lllptratur,a dilata til 1/273 0 0,oo36(j "Ivohimen ilt un gas y hace ellperimentar al agull una dilaiaeiiin e1lbiea mediade 0,00043 ,i 1ft temperatura IS notablemente mayor de 4 centigrl:\(lo~.pues II estll temperatura una milIa .de IIl,PlII tiene Sll mayor 'contrMciun (0 IIIreS\) mAximo por unidad'de volumen). EJ aumento de 'un grado Q numeto de fUeUM moleeullres: a!raeeionesmutuas de 10'1, puntos ma.terialei situ8do. a ambos lado$ del elemenlo 'plano,a distaneias ~mpereeptiblea. Como este- demeDto ei de pequeiias dim~ioDes,podemQS despreeilt 1u v~ria!!iones de las condiciones ffsieas en -liD ~xtenii6n.Por l!l tanto, II resultante d'e II.!; aeeipnu lI10leeulares que obran',a ttav" Ii ...fl, e5 propore~onal a su aurerfieie y tif.ne una direcci6n y 11n lentido delermi.nad'os. Se llama presi6n a 'Ii rawn' enlrt la resultante de las acciones mole-

e'ula~e.i ,q!.Je ,se ejereita'n 1Io' traves del ~lellli!DIO piano y el .rel de: el ..El !!:lemento plano ~a 'de lIer p-el'Jueiitsimo )., sin embargo, suficiente psr"

corlar__ gran 'nu"mero' de fue'rzas mOle(mlares, en forma de cara"cterizlr la rosultante" sin' lIegar a individualiiar las componentes. Este concepto e~peclalae .magnilu"d elemental, indispen~ble ill considerat la constituci6n' interu"de cu~rPoti'fisicOll, Ie mar.: en casos' ll~'logos y, al caJeulllr, se con'siderar~infinitesimal; 'Podemos, pu'es, d'ecir que la lpresKin en un punto t!I .el Iimil~'Ie Il'I rawlI dfldw cuando dw elemento de area, tiende acero, Ilamllldo f 1:"1reaultante de lu fnerzas lUolt('u1a~~ .

'La presi6n no toina en euenta Ia:. (uenas f1tcriorea., aeei'6n'de graDd"masas a, distancias. ronsider':bl~. .

Si las aceiones moleeulares varian COD alta fJ'('(!uenci. por \'ibracionC"oolorifi"ea$. etc" II resUltlDt~ C'Onsideratb es el tfnnino medio :d~ loa l'Ilorcyeetlllla:;subre un eje cualquiera. dl'b,en dar sunIlI

nula. Tomemos como eje

,f

en ~I seno' .de~. P~ido enaltura tb .(.fig,,~)_Y escri.

inmediata de la isotro!.ia, reduce elvre.~ione" a buscar reillciones entrc Ill>'

recta en su ver,laMra 1I111gnitlld. Las presiones en laa c~r1l8 0.1.8 .Y pAC,normales a CllllS. no dan ptoyecciones. La prelli6n sobre la carll A.BC, HamaD.llo p a la presi6n unitarill sabre ella, "ale p.ABC y' lie proyecta multiplielld~.]lor el coseno del ~ngulo que forma p cou OX, igual_al ,diedro BO por teoncr los lados respeeli\'IlJUente perpen.dieu]llres.' Las fueTzas exteriores sonproporeionales a la mllsa del tetrlledro que ea de tercer orden de pequene~,uellpreeillble al iado de las preslones RlIotadllll que, como proporeioulIles II Ia bast's se [lroycctlm ell. vedift:dHa mugtJjt.ucl. LlllmemOll P la pruion UlIitllrill .en una de Iall CllrllS y tomemO$ como,ell.tido positivo el de e~tll presion. La fuerza sera p.d",,; la de la otra base s~rH

(p ...... dp)d-w

.L~ fuerzRS exteriorell, proporcionalell a la .masa d~1 cilindro p d", d$,~eil que p es'la d.ellSidad (I in'asa'de la llnidad de ''

_________'_"_"_._""'_.__"'_CF_"_,,_'_"_'_'_'_'C"_'_'_'_"_"_'_" 'se proyectaD multiplicadas por el c6seno del lingula que forma F con a,. Enconsecuencill, Is ecuaei6n de pro.recei6n es:

pdLa ecuaci6n 1) se puede eseribir:

1 fJp..,

Eligi

tOlll de + P Ie tiene:31

BI primer miembro ell integrmble si~mpr~ que eonozeamos II relui6nentre p y P; estl relui6n ell II .ellulci6n caracterlstiel_ En 106 fldid06 in-conlprellibles, ea decir, 10' liquidus, es& eeulci6rr eli:

,.1 + "f

en que~. eda den.idlld ilia teluperatura fJO;:< uel coeficiente de dilata~i6'l11 t la temperatura. Como Sf! ve, p e. independiente de P En lo~ g_ !nI!llllaei6n ~afae\erlatiel es:

-,-,,""Co,",~ ,P. (1+lIt)

cn que lI.y t tiel;len' el mismo sil:Dificlldo anterior; P. es II dellllidad I fJO Y aII Ilresi6n 1'0, P lIS la pretli6n. Como Ie ve p es proporeional .. ,po

Se llaman superficies de nivel 0 sllperfici~ ~quipotencillea I laa su-IHIrflcies de iltusl pre.i6n, iguai deusidad e igull ~emperltura que cumplel'eon la eondic.i6n:

J::stas superficiea. como indican las ccuacione:i, dan trlbajo nulo paradespllzamicntoll sabre ellis Y &In, por eonsiguiente, normslel en tooOl Sll~puntol! I 1& dii-eeei6n de 11.8 fuerzlS eIteriorea.

8..Llqll1do.1gaM1 8!1 eqnlUbrio Mjo ru JlOIIo.-El caso de J'OllYor in_teris prietieo 10 'presentan ),os fl6idOll 8O:m.etiiiol I su PCllO como dniC& fuennexterior. Si tomamOl 101 ejes coordenadOll rtc'tangullrtl X e Y en un planohorizontll y el de'las Z vertiCIl ueendente, cn II eculci6n J), X e'Y vIldrincero y Z=-g, lcelenci6n de grlvedad. con signo neglltivo; por 10 tanto:

4) 1--dp=-gd.,

E. Uquidoa -ineompr-esiblca; dectUllldo la integraei6n deade unl col4

'" en qll~ )11. I're,i6n es Po hasta otra cota arbitraria " rtonde valdra p, seobtendr ,

EI prodnelO de In ma,a d. la uoidad dt "olumm .por III Kcderaci6nde Ill. grllvedad nos Ila el )>eso de la unidad de volumell o.pe'o e,pecifito'qu~llamaremCl.'l "(.

La ultima eeuaci6n I'uellf ~.cribirse, "i la di"idilnos por i'll = "(,cOmO sil!'ue:

'I '.+,.

=_+_"_=Cl".,

~xpr",ion 4ue no. di~t flue en un fiquido incrnpre"ible ... constal\l~ la ~m"arle Ill. cota l" de la prt"ion unitaria di"idilla IKlr .1 peso e"pedfico,

La u.on h=p!r ho.ntOKenea a Ulla 10nKilud, ts llamada "allura d~flU'io,,", nUe" e" la altura d~ ia "olumna liquida' Capal de producir Inpre"ion'!,

La ,uma c

y, por 1o tanlo. II inl~n~ion d~ It ~ua~iOll 4) nOlI dl:

'J'" f'-K +=-g d:P z.')

Piy, 3

l-;n 'las a]lli1Jaeion.~ uiuaJ~ de la lIidriuliCI upon. e,\Iutlnte '"l\t~i6n ~tlU

"En In.~ punt~ A ~. B hay la un.ma presion, pues poT ambo. punto'>pnS'l un plano equipotential. La presion en B .:lead. a In de E en

siemlo roo .1 peso e\lpecifico del mercurio. La de E es menOr que la de C en el"".1m" .r h, .'

,, --='CC,__='C'CRC"'__='C"'C..--='C"C~__='__ _

que intr(l(!ueido en I. t'euaei6n y. eitada nOi .=0 lie obl;ene fin.lmenle:

Lp= 9.211 - O,QQ0121 t

Dando "I"Ilo~ a t I't tendrian lo~ "']01'

"La ecuaei6n dif"'imeial 3) noR dife en HIe CIl.S(l se.:

p w'rJ-~---., J,

e

"Dando "aloft!! II r se tienen 105 siguicules puntOI de \& traza lIe ia iQperfi~ie libre sobre un 'plano I'erti';']" diametral,

oo

0,050,02

0,100,08

0,150,18

[),200,32

0,25 met~.0,503,

l.oll fdtimO$ "alores lie r y z indican que.O,fjn,1 metros mas alto que elpunto de arigen, c] paraboloide rorlll III l'ared del ,'Il8O.

Para determinllf la posiei6n del origen r..pecto a III bllSe del \'aso,bUla escritiir III ecuaei6~ que di"" que ill IU"llla del volu~n del- liquido mbel bueeo del paraboloide ell igual &1 volumen del dlindro cuya pared 10ClI elliquido.

El. volumen buceo del paraboloide fa lh:t'" h, slendo r el radio d;leilindro, en ..fe CallO 0,25' mls. y h ill altura que vale 0,503. Asl cllleuladn el

"olu~en del pmraboloide es 0/)494 mi. El "olumen del liquido ell O,J m', llaruanda t. la altura del oTigen de ias l, contada de8de el fondo, tendremos J~t'Cuacion:

"G,25' (G,503 +'t,,) = G,l00 +0,0494

Interesallte tambien desde el punto devista'tknieo, pero 'realiZllb~ en ill prhetiellwillmenle en d~unstllneias e~pedales, es el

"~quilibrio $olido que Ii produr~ ell 10....0de till ~je liorizollllEl"

En e~te ~lISQ, si {J et la I'l'Oyeecion delde de rotaei6n en ia figlira 5, 'un elemento'd. volumen Hquido siiu&do en el punto B.a la di$taneia radial ,. del 'eje, est" 80111etid~a '"l\ pes~, cuya fuerz 'por onidad de IUlJiI\et G, }.'. la fuena 'eentrifuga que es ",' r. EItriiull'ulo ABC, comtruldo eoh JQiI vectores!}, w' r YSu =ult~nte, .. semejanle al ono,formado por el radio r, la prolongaci6n de I~remlt.ante y la vertical'le\'antada rlude 0,S. liene, pU"", III relaei6n:

Pig. .~

o sea

Fig. 6

,

. cc'c"c'c"c'c'-C"c'-CAc"="'cmc'c":"-C__-------- "

Bl pUDlO 1J e~ un pUDlo cua1lluieru; podremos, por 10 tanto, baeer IIImisrnll construccion" paTa otro, r obtener cl misrno punlo 0, que dista g/",," de0, COIl~tllnte para todos los puntos que" consideremos. Estll signifiell que elpunto 0, ell de concurreucill de tOOall l/l.~ resullantes, )' en conlleeuenclll, quelas superficies de nivel, norm Illes a III rClIultllnte, 'lIon super~icies Ilillndricascuyo eje, paralclo III de rotaci6n, jlllS4 por V,. La superficie libre 10 Striatambiiin, perQ como no es de re\'oJuei6n ell tOrllO del eje de rotllci,m, lIli eon.sen'scion ex!siria deformaeioncs 0 duli1.umientos del liquido, contr~rios ala hipOtesili del equilibrio s6lido.

Ell de notar CJue 0, tiende Il COllfundirse con 0 CUllndo 114 velocidll.d dlJrotll.ci6n tiende a infinito. Si el recipiente estK. totalmente !leno,. es tam-

bi~ll posible Ill. w~rificllci6n de este equilibrlo solido.

10. Principio lie Arquim,ellel.-t'ara. estudiar IllS presiones tol.l\les ~',el equilibrio.de los cuerpos flotante:s, se aplica el llflmlldo prineipit;' de Arqulmedes, euyo enuneiado \'a a continuaei6n: "Un cuerpo inm6\'it, total 0pareialmente sumergido en un Hquido, estA sometido II presiones que tienenuna result-ante unica, verticlII ascendente, CU)'O punto de npllcaci6n es el cen:tro de grll.vedad del yolume'.l Iiquido desll.lojado Jlor el lJuerpo y cuya magnitull es el peso de este \'olumen dc' fluido"

Este principio es una consecueneia de aceptar f]lte el sOlido sumergldo no afecta la isotropla del fluido en equilibrio, es deeir, que' en ill suoper[icie del sOlido III cllpilaridad e's despredable ~. las presiones s0'.l normales. Es como si se dijera que las presiones que se ejercitall sobre la sup&fi.cie del cuerpo sumergido son las, mismas que se ejereitarian en ese lugar siel cuerpo sumergido no uistiera y continuara' el fliiido.

Se aplica el prfneipio a euerpos llumergidos e~ liquidos superpuesto~contando los pesos de los \'oliimeues desalojadOll de eada Hquido entr.e 10!l

plauos horiWlltales de .~eparad6n. En cuerpos flo-tantes se despreeia el pCS'O del aire desalojado.

Se Jluede demostrar este principio deseomponien-do el cuerpo en infinitos prismas elementales, hori,?.j)ntales primero r verticales dClli:lUh, r estudiando ]ajpresiones a que estiin sometidas ~us bases. Conside-rando un prisma ,Mrizontal elemental (fig. 6) encon-tralllos que. las presio.nes unitarias sobre ambas ba.s~

ob]jcua.~ ~on de igual wagnitud, pues ambus valen elpeso de ill. columna, Jiquida de unidad de superfieie y CU)'a altura esIll. altura pie7.om~triea, EI valor de III presion total es esa presion unitlt ..ria po~ el .respeetivo elelll~nto de thea y lie pro)'eeta eada una sobre la di-recci6p' hotizontal del prisma, multiplieadll por el coseno del Angulo que formil III presion con esa direeci6n, el angulo es igual al que forlllil Ill. eal'lI obli-eua con Ill. secdon rfcta del prisma, Cada proyeeei6n "all' entonces la pre-si6n unitaria por Ill. secei6n reetll y son, por consiguiente, iguales ). de signncontrario. Su Iluma sera, por 10 tanto, nula. Igual CQsa oeurre con tOOILi

"Fig. 7

~- ~-.,>"',' '.-". . ". :.t

"10 al eje OXI ptoducto del Area n POt la l1i~uncia del centro degravedadde cllll 81 de, [lamanda '11 la eoordcnada de dieho centro se liene,

'.J

Como r r; &e1l." as 18 presi6n en el centro de gral'l'dad, se puede decit,que la presi6n lolal es el ptoducto de la presi6n en el centro de gravedadpot III magnitnd del ~tea.

Los momentos de 18 presion en un clemente dw respecto a los ejts, son,

,SCII Ii y' dw

LI}! momentos de III resultante son pues:

JoL-=rstl\lr I) xY,aw=PbLas coordcuada., .a ~. Ii del punto de aplicaci6n de III resllltante sabre

el Iirea 1M obtendremos dividiendo estas momentos de II N'sultante POt 18.lnagllitud de ella:

'I!C'o.;rYdWb~J 0

~ !I dw

Ell pi valor de I) de las exprc.~ione!' 8) eJ numerador as at momento ,deillateia del lir~a eon reSllut(' tiel eje de 111~ X. Eale momenta de inerdB re-rerido al que el Area ,ua respeet.... d eje horiwnul que pua por Sll ~ntl'(l degravedad, vale:

I. vale a su vez Q ~21lam~lIdo ~ a\ rltilio de giro. Notanda que el denominado~vale, como !Ie dijo, Q -r., !Ie Jluede escribir:'

"I "a=r.+--,

"c.~ decir; Que el punto de aplicaci6n de la presion total 0 centro de presioncstii. siempre mRs bajo (Ille el centro de gra"ooad del arca. La eellacion 8~ndclllas, dellluestrll q\Hl a medida que au.menta III profundidad a que Be cuellenf.rll Situ8dll el area considerada, tienden II coincidir el centro de gravedad eonel Cf'ntro de presi6n.

Si el area es horizontal, las formulas 7/1) )' 8) conducen II \11\8 inde-terminacion llparente que se SIl]VlI cousiderlludo que sobre el area obra un sis-tema de 'fuerzas pllrllle]lls e iguaIes, 0 si lie quietlc, que III res\lltaute vale elpeso del eilindro liquido que gr8l'ita sobre el area.

El cAlculo de las presiolle~ sobnl paredes curvlIs se. puede eCectuar di-vidicndolas en secciones pequeiias asimilables II Arcas planas 0 deseomponien,do las presiOlles elemeotales eo tres eoolponeotes: dos hori:wntales de dire'.l'ciones elegidu;.; y UUft vertienl, Lns resllltantes pareiales de estos tres si"te-mas Jlueden no eoneurrir,

Cnda resullante horizon luI liene In .mismn magnitud y lillton ell' nc-ci,m de III presion total que obril en ltl proyecei6n dl'1 area eurva sabre un pia-no vertienl peq'endicular II In direeei6n de ella, La eomponente vertielll tie,

'ne la 1l11lgnitud ~',linea de aeci611 t~1 peso al'l cilindro veI;tienl de lLquido quegrllvita sobre el area, Si III ,~uerfieie cun'a esta limitada por, una eU1"\'a piana, segiin el prim:ipio de Arqu,medes, la presi6n equivale'lll sistema de fUl'r-zas eOllstituido por la presi6n que se ejereita sabre el .irea' plana que limitlla la eurvn y por el peso del. vol~men del liquido encerrado entre ambas Sll"perficies,

Se IlCOl'tllmbra descontnr de todas partes 10 presion atmpsfiirieado ella ohra ell lunhns 11\{}09 -del urel\ eU~'a presUin se caleula.,

En fl{ddos sometidos a grnndes presiones sesuelen {lE'spreeiar, en ureas pequeiias, las vll,ril\'eiones .de presion debidlts n la ley hidrost.Atiea,

E,JEMJ'LO l.-Caleular la presion totai y In'ubienci6n del centro tIe pre.sion sabre el lIreatriangular de In 'igu-ra- 8, situa~a en la paredvertienl de un estan{lue, ellyo v~rtice dist/\ dosmetros de in sllperfi'eie libre Y {Iue tiene un Indo\'c'rliclIJ:

lOll distancia del eelltro de gra\'edad ~eltri:.lllg'nlo n .I~ snperf,icie Ubre es:

22 + '3, X2=3,..'13 fIlL~,

euan

La presion unitnria a esaKg/1ll2; el area del triangulotanto la presi6n total es:

nitura eo; '( 3,3/1es 1,511\2. 'Por 10 Fig. 8

P' _'(X3,3

"Sobre un elemento de lirea,

dtil= 1;5 (y-2) dy

obra III preSion ulIitllrill "I II; por 10 tllnto, la presion tob.! sobre eJ ell,'-l11Clllo es:

d1,,'. .

P 1ol=1~{Y-2) ydy

que da, si el eje de las l' 1l8.!;8 por 1,'1 lado vertical, los llIomento~,

rl'specto al ejc dll In,. X:

reSJlecto III eje de las r: ; lJ,7S2 {y.-2)'!J dy

Los momento", de la resultlmll,' respeeto II los ejes valen:

M=O,75, J4 (y-2) y'dy=J7000 Kg. 111.2

.J'L=O,563':"" (y_2)'ydy=2625Kg. Dl.2 2

M 17000O=-P=5iJOO = 3,4 m. L 2625lJ=P=?>QOO =0.525 m.

--------il----

,.

-----;;:.;P

~.-(;lIll,uJar la presi6n total ~. 1,'1 pUllto de aplillad6n deella sobre lu ':Illperfieie de C!larto de eililldroreclo de .2 in. de radio ~. :1 m. de" altura eolocadohori:t;olltalnlente como 10 indica la fiyura 9.

Como esla superfieie tieile plano de ~imetfill -Ia resultante e~tli situada en eate plnqo.

Descomponiendo las pre~iones en una Iwri-.l:ontal p~, perpendicular '01 plano MNPQ, Y enotra \'ertical p.; avaluaremos separadlimenteIImbas resultantes pareiales_ LII, -hori~antal \-ole;

-t- - ~'Jlo-:- :: '

Fir;. 9P.=r X 1 X 6=6000 Kr;s ..

y su linea de aeeion horiil'ontal Cala, Qplicanclo la formula general 8a), a:

"

3 X 2'12XiX6

+ 1 = 1,333 m. de Ia superilcie libre,

L.. compouente vertical, peso del cllarto del ciJindro Hquido, \"ale:

1\= .,. '" r'X3, 4 =94:]5 Kos.

y su Hnea de accion disllI a.=0,6rXO,707=0,848 m, deducida de la situlI-cion del centro de gra\'edlld del sedor 0), a partir dc 10 \'cr1iclIl que pasnpor el ,centro de figura del cilindro.

EI \"alor de la resultante general, 0 sea, la presion tolal :;olJrc la suoperficie cur\"a es:

Su inclination respeeto II III horizontal es

,,

lNg, 9(1

en euellttl que III

~"'-~~'1- -- -_.-.," ,~l \ I

::: \ I...' a~1-:--~.",--

: I',

iji71,333tg~=--~0,848

Talllbicll puede calcular-se e~tll inclinaci6n tomandoresultante pasa por el eje del. cilindro, -debido a que toda~la.!; c0l!,pollentes pasan POt it Conocidos II, y (I. tenem!>~,(Pig. 9(/) :

12. Cuerpoa fl.Ohnt.e!l,_Bstudiaremos IllS ,-,ondicio_nea elementalea del equHlbrio de los cuerpos notante.!;.

En un ,-,uerpo'tolalmente sumergido, !!.II e{luilibt;o.cuyo Ileao "s, Jl~r 10 tanto, igual III lltodllcto de Sll \'olumen por el pe!l() es_pecifieo del fl(,ido, 18 subllresion e;, igllal'1I1 lleso del cuerpo. La ,-,oudici6nprimeril de eql1ilibl"lo es 'lUC eI centro de ea,'cna y el de ~ra\"edlld del cuer-po 'estill en una 'ertiea!. Estos een!ro~ no eoill'Cidir'lI\ .. j el eUCI"lJo no eshomogeneo.

Para que el equilibrio ~ea est able. ('s neeesario que el cent"o de gl'll_"edad 'e~I'; mlis lmjo. que el eentro de e/irellS, pue~ unll rotaeioll en lorno deeste origiuaria un I'sr dp rCllcei(m, eonstituldo 1101' la subllresi6n lUleendentc

Fig, 10

en el centro deqlle existill, que

pe!lO aplicadode equilibrio

}'ig. 11

..

" :~"ifC."""

.xx,

hori."l:ontlll dar, perpendicularuna rolacion '1I1C 1:0 alhre

que 6e apJicn en 1'1 centro de carena y e1gru\"edlld; que tiende a re>:ltnhleeer In formae>:l iie' potencial minimo, (Pig. 10,)

Si 1'1 centro de grll.\"edad ~' el de carena e~tiin en una\"erUeHI, pero aquel arriha, el equilibrio es ine.;tuble, pues cua!fluier I'otacion en torno del cenh:o de carena, g.enel'i'l llIl pu!"que tiende a ile\'ur e1 eentro de gra\"edad a !Ill posieion mus ba-ja. UlIlI rotllcion \"irtlllli en torno de un eje "el,ticfLl, dUrlu trH.bajo~ Ilnlos de Ins fllerza>l, peso y subpresion. Otro tanto suec_de cou una traslaeiou horizontal, de mnnera Que estos' Illovimielltos IllIl11ifiestllll indiferencin 11.1 equilibrio.

P,ira el e'luilihrio dc cuerpOi!! flotantes c_~ neecsario lill~e1 [lC60 del cuerpl.l y In subpreiion !>ellll 'igua1es ,\' quo:! lo~ 'PUll'tos dc Ilplicaeiou l!{' IllS fl1el'7.lts !>e cncuentl'en en UIlO vel,tienl. Pt.'I'O si illlll'giJl

flotacio,nes IInteriores y posterior a. la ro't~eilin,prolongati6n del pl"no de la sUllerficie librz

.",,

de '1rHzas AH r ED son lasIIllmando ':flt>laciJn" a ladentl'Q del solido.

Oh.~erl'ando la fig-ura 110, se VI' que por efeclo de la rotacion en torno deleje 00, 1'1 ~ntro de III ellrcnll C s~ hll trllsilldado y que Se hll generado 'unpar compuCllto de I" subpresion vertieal IIScendente IIjJlicada en cl nuevo C~' 1'1 peso .itplicado en G. Vemos ade]lla.~, ('n la fin, 1111, que si la vertical I'll'.

"alIa d('>;(\e 1'1 nuevo C oorta a 18 linea XX,que une cl antiguo. 0 eon G, mas arriba queG, en un punto .'If, esle par tiende a rcstabl('-en III l'osicilin (Ie eqljiJibrio. TJo contrarioOCllrre si ,11 estA entre C y G. Por 10 tanto,)a eomlieion d(', equilibrio ,estable es que laqiahncill OM sel( mayor que la distancia CG.

lo;l punto M cU~'a uhcacilm es deci,;i-"a pI~ra III estabilidad del equilibrio se llamil" nleta,enl ro".-

Piy. 11

Flol"",ollu-;II difereDeia de momentos debe ser debida a 1011 husos, parle no.com(m de los \'ohlmenes de la carena, ella \"Ille:

",f"d"El integral es el momento de inercia de la superficte de flotation res-

r.ecto al cje Oai,.llue pasa \lOr su ceutro de ~re:\"edlld. La diferellcia de 10;;Illomcntos se puede escribir:

v X OC,=ldGil

l\"olaDdo que (lGil es igulil II CC,/CM, se tiene finalmente que:

La distaneia entre el centro de carena y el metacentro eli, por con->;iguicnte, igual a la tll7.on entre e1 momento de illercia de 1a sUlJerfieie dp.flotaei6n y el volumell de la carena. Parll que el equilibrio sea estable hade ser mayor flue la distancia entre el centro de Cllrellli y el' centro dllltravedad.

EJEMPI.6s.-1) Se puede averiguar el peso (Specifieo que (!ebe teuc,'una viga cuadrada de madera, consideradll homogenell, pllra Ilue flote con unlado 0 con una diagonal hori~ontal.

2) AIlUi n()..~ contcntarelllOS con averig-nar que proporeion debe hauerelltn~ el di{'metro de In ba~c ~. la altui'a de un cilindro homogcueo que pesll500 Kg/ln~ para 'tue flote con su eje vertical.

La I)!lrtc sumergida es II' mita.d del yolumen tiel eilindro.Si llamlllllos:r: a la ruzan que bllselllll~ (..r:=D:h), obtendremos

D=:r.k y, por 10 tun(o, .tt \'olumen de III. carena sera:

1'= ... V' h4X2El momento de inertia de III flotaci6n, que es iguill al qll.e dan !lIS

bases del cilindro, reslJecto a ltD diawetro, vale:

- D' -.., ,,'1=-"-= -64 64

La djijtaneill eM es:

Br.x/t 7= :t 61. x'-('- = 8 z

"La: distaneia entre el centro de carcull y el centro de grll\-edad e~ \4 h,por consiguiente, se liene:

h z"--~B ",

x"" ~l,HLa rai~ nellativII no tiene si.gllificado, 'r por 10 tanto, podemO!> dedr

que I'll JlQl;ible la flotacion de un eilindro homogcneo que pesa SOO Kg/rna, eonSll eje .vertical, si el diiimetro de la base es mayor que 1,JI veees III altura.

En 1'1 Laboratorio de HidriiuJica se IIlledell e.xperimentar los jlrine:pios de Pascill y Arquilnedes, l~s presiolll!S tolllle;; )' JIIS eonditiOlle.~ de' ellui.librio de cuerpos flalanles.

Salvo 1'1 caso de fen6menos eapilares, -de los ullates sc puede preseilldiren la prActieR del ingenicro, pue

CAPITULO III

Noeiones fundamentales de Hidraulica

13. ECtWClollCS !umlumcnlulcs.-14," Clfui/icue;un dll I/)~ ~$currimiento~.15. jJJ(J~illlicnlo permonenfc del lfquidu perfecto. 7'eorcma de BcrnoulIi.-16. Corriclucs liquidus, 0(1$10.-17. Ex/ension de /4 SlWIl! dc BCrllou,/Ii /} t(l(!a 10 corricnlc. }.'jelllplu.-lB. l'urjal'iun de /0. SUIII(! de R.crnduUiell corl'icnles ubier/os. ESCIIrrimicnfo cntico. l'elocidad de prOPIl{juciOn dl}[(IS ond(l.~.-19. Ctl/clllo de ftl pro!unrlidm/ ('rifuu 11 'lei- HCrtlOUlli ('rlfieu,Ejcmplos!J uplica

"COllsideremos, pUe>l, siguiepdo 1\ Euler, UII fluido perfecto que se mue-ve bajo la aeci6n tie fuena~ exteriotes proporcionalell II. III ma!la de' el, Yun punto (jjo en el eSPllcio. pentro de III ma~a liquidll. Se elige un .sistemade ejes coordenados ortogonales e~ el que 'x, y, Z, son las coordenadall delpunta con,.iderado; It, 1.1, W, las proye

l'c,ul!ante, respeeto al eje de las X, el" produeto de. 1a masa pdxdydz pOtX. que es ja pro)'eeei6n (le la Iweleracion re!iultante de eUas wbre dieho eje,SP. tipnp, pues, la eelllleion,

a" au all) ( 1 '. )~ + v ay +~' --a;- = P - 2 ----ax 11% dll dz. ( I 'p )

- p+ -.,- -,-ax d!Jdz +F d~ dy dz X) _ .... .r '

Simplifiellda ,\' di\'idida por p, esta eCIlllci6n y las otrllS dos anAlogs~rr~tJ('cto al pje de las l' ~. ,11' 1"5 Z. qlledan:

1)

ill/'""&t + U

illl' a". all' 1 ilp----;-;;- + t'-- +"" -- =Z - _

....~ iJy iJ~ P iJz

'pIe Mn las eeuacionell de la nidrodiniuuica debidas a Euler,Si en cstaa eeuaeiones lIuponemos nulaa las \'eloeidadell, sua deri\'adas

tumJ.,ilill 10 seran, Se obliellen asi Jail ecuaeiones gelleEllles de la HidroatJitica. Se j'lOdrla deeir a la'im'erM, que ,las eeuacionu deln HidrodiuJimica pue,dpll ohtcllerse de la!l'de la Hidro...t"tica agregando a las fuerzllS exteriore~"I11C flgnran en elIas IllS fuenM de inercia liar llnidad de mllSa, de aeuerdocon ..1 principio dp D:Alembert,

Los Hquidos pe~ectos son ineompresi'bles; In denaid,ad, es eonstont~en el1os, Si se eonoeen adl"milS todas 1M fuerzaa exteriores, las ecuaeioues .1),Jan Ires relaeiones entre las cuatro funeionea, U,. 'V, 1V, P de Ias varisble.'lilllll"pemlicntell x, y, z, t. Es nee\Csario, tilles, estahl~cer una eUltrtll reillei6npara dejar determillllllo cl sistema. Estll relaei6n se obtiene de la condid6nde ineompre..ibilidlld del lillUido de la in\'ariabilidad del \'olumcn, llllmlld:l."erllll/:i6n de t;onlillllidad;'. .

Supongamoll. un paralelepipedo reeto fijo en el espaeio, euyllS ari~ta~elt!m~lltal~ !lellll dx, dy, dl. En ~1 centro de ll'ra\'edad de tH, de coor~ellada~x, y, z, la "eloeidad "tieue de pro}'eceion~s 1, 'V, W, POt este paral~lepipedoideal paan el liquido. En 111 eara anterior .de magnitud dll rIz, en el illstantpt, la veloeidad wbre 1'1 eje de las X se proyeeta en:

1 , ----d'2 iJz

,y ~lltra, en con~ecuelteia, un \'Ollimen:

l' if" )--- d~ uy uz2 aL

S!l.le por la carll pOSlerior, de igual magnillld, un yolumen,

(1"+

La dlferencia cnn ..I que entro es:

"') (1"11) a"~- --do: l!Jdl~ 7t+~'--'ll% "ydl =.~--dxdlldz2 ax 2 rlr. iJ::r

Anlilol!:amellll' por lall olras caras, III difere,neia entre el "olumen queentra',Y Illlle en el instante t e!:

a"---dydzd;r,

'y'w~ -a:- dz rly dx

CDmo n1l pudo ll.ucdarlle nada dentro del paralelepipedo, pues el IiqVido es incomllresible, Ill' tiene,

-.' ::- r1x dy

"La forma mas interesaDt.e" de el!cunimiento liquido "es III de "corNn_t~", que def~nireruO!l OOUIO un hll1. de trayeetorias 0 "filet",r Hqltid0;8'~ recto,Y plIl"llleloij, 0 lque n'ada tienen de Ilbsolut.o.

EI lugar geom~trico de los centros de gra\'edad de Ia.~ seccloneS suce-.'Iivll.S de las corriente5 cerrlldllJl, el punto medio de III superficie libre en 11\"Ilbiertas, se denomina "~j~ hidraulico". EI eje hidrAulico constitu)"e gene_ralmente la ml's .'Iellcillll relereneia tie la corrient~.

Se Ilamlln "nap'lM I1qllida&" a lOR chorros que .'Ie mue\'en en el airecUllndo SOn de secci6n rectangular de lilllle horizontal. Si todas las dimen-siones de los eJ>orros SOn ,Ie fQllgoitudes cQmIlaralilcs. se Haman "V~1lIU 11-qllidrn" .

El eseurrimien~o por liletes paralclos que, como hemos dicllo, carae-teriZIl a l~s eorricntes, fot vcriliea en III practica en corrielltes de rnu)' ,POC-1velocidad. Si las velooidarles.son mayores de ciena nlooidad Hamiwa "lImil;';,

(1) E.o~ ..oll>bre, "'.0 II d. Hidr'"lioll 0-011"....1.10 denomina ''Probl~m~. It. a;II/r1'la,ith et appli".Uolll".

"el e~C\lrrill1iento es desordena.do; las trayectoriM, lejos de seT rectas, son tortno-sas ~. variables de un momento Il otro; las corrienles se Yen atrllveslluas pOImovimientos giratorios que Dllcen en laB paredes y reYueh"e.1l loda III 1118$11. Slhay slIperficie libre, estos 1II11vimientos son visibJes por las ondullle10nes llteS)' pe'lueflisimlls velocidarles.llllmado por esto, eacurrimiento "capilar" o'''e,~I!'(Jli/ir'fldo'', (pDr capas), d"Poiseuill .. (doctor frances, qUI! 10 descllbrio estlldifmdo 1'1 lllo\'i~iento de III_'Ulngre -en 'los vasos capilares), y 1'1 "fllrl!lllenla" de las "velocidades d(> ).1prRctica, 1I,antlldo por eso "hidr'iu!ica".

Las ecuaciones SOli aplicables al li(~uido perfecto que se Illue\,e conmovimientQ estratificado.

En Il'Is mO\'imientos llidraillicos se ob~er\'a qu.r llls i'.r~ en cadApunto "arillll con IIna pspecie de periodicidad llalrnldll "plI-l.~"citin". Cllya fre-cUl'ncia y amplitud, mayor cerca de IA_~ paredes y 'lUI' en lin mismo puntude la secci/>n VAria invursAmel1te con la nlocidad, mide en cierto modo elgrAdn de turbulencia.

,C6mo abordar el e;;tudio de lila corrieutes con movimiento hidroulicfJ,desordenailo eo sus trayectorills y de mo\"imientos sielllJ)re variables ell cadapunto' Se debe a Bomsines(j III IIplieaci6n d" las ~culleio_nes g~nerales a es-ta.4 corrientes, his que mils frecuelltemente interesan III ingelliero_

Ell escurrimientos turbl1lentos ell~-ns cundiciones de produceion erllnindependientes del tiempo, por 10 que IJotlrian ser consideradas I~ermanentell.deJ.llostrllron las experiencias de Bazin, que a Jlesll'- de la puillacifin, el va-lor medio de III velocidad en cllda pllnto "rn constllnt-e en direpcioll Y. magni,till!. El ti"lllpo o('('esario para apreciar l'Se valor, t~nllino lI~edio, debe sera 10 menos de uno ados minutos.

BllSado e!l.este becho, coneibio Iloussine!i-q el "))w!!imienln media lacal",eseurrimiento hipotetico en 'lue III \'(>locidnd en cada pUllto del espallio ~'1eontinUllltlente el termino m..dio en mllgnitud y direcci"ll, de la's \ .. loeidadpieon que 1115 moleeulas dpl liquido plI~an por ese lug-llr.

Tambiell se puede aplicar este concepto a los movimi(>ntos impenll.nentes con l-enta irnpermnnencia, tal quI' al ('alcular los terminos medios delas velocidades en cada punto se suprima la pulsaeioll, mas no la vllriaci6~general correspondiente a III impermanencia.

I;II.~ t'cllfle.intl'-" gl'llt'l'ale$ al'lieadas lL los 1ll0"imio:lLlos turbulentos sonsimplemellte 1.'1 tcrulino medio de los oorrespolldienles a los movimicntos rcales inSllI.nliuleos.

La lli,t'rUllliclt cstudill ellSi cxel1.1sivamente el mo,imiellto' de corrien_tes U1edills loculI's ]Wl'lUlIlIl'lllc" rlt' lllo:ll;l qlle .~... 11I11el(' Stmll.'tidll a 8U peso co-mo ihiiCJI fUf"r~1l t'Xf"l'inl'. s... llcO'llln que hI! forlllll (I ('SClH'l'illliellto se ve-rifiea eUlIlldo las NlIldil'iollCs exlt'llHlS )ll'l:llumCCl'n iil\'llrillbles, aunqlle se pro-duzea Ulla eOl'rielltX=O J"=O Z=-g

L!lutlll.mlo d.L, Ily, .iz las pro"ecciones del cambio de lugn:r ds ~ notan-do lIt1emi,.~ I}I\(', lWI' ~l' perlllllllcntl!'_ el eSl'urrillliento, las deriv,adas parcia1~s

d~ Ia .... eloeidarl respecto 111 tiem'llo SOil nul as, las ecuaciones de Euler, multiplicauns por In respecti,":! proyecci6n del desplazamiento, seran:

1

PdZ=-( ""ft- ~"X

+~~-dY=-( "" )+w dZ ely1 " .P-J; dZ=-( 11

1._nJdrlullco,

auay "W)+w- th-gdz

"' .

Suroadas las tres, observando que se pueuen baeer los sigUlente,s reemplazos'

. dxI' dy = -----;["t dy = v dz

desde dOlltle- cayemlo 111I IlUIltO uluterial lH~""do, ~ill' velocidlld inieial, ad-ql1iere III velocidlld V; puC!! evidelltemcnte h'=V"12g do ,r=V2gh. Lasurna de 10li tfes t&hllinoa se llama "cargn lofa!" 0 "sumn de Herftolllli" 0 "illl~Illcmente ., Ber.71olllli",

La eonstan"ia de la Ruma' de Bernoulli It 10 largo de una trayectoria,'lemostrllda parlt el 1i1luido perfecto en mOI'imienlo permancnle" se IIplica alOll )iql,lidoa reales Cluimlo Ius Irolfl.lDienlo~ son de!lllredllbies y II los C'lICU-rrimientos illl)lermanentell CUYll,l; variacionell lentas de rligimcn Jlenuiten IIrescindir de IllS derivlldas Ilardfl.lc~ de III \'eloeidad con reapeLlllI prpsiones son IIcrioneli interiores de Ill. 11I11S11 Iiquida, pero' exlerio.rC$ a Ill. partieula inCOIll)lresible corusiderllde., por 10 tanto, La in,'ariabiliuadde la energia interna, III efe

FiD, 13

"0--', /.... __.

riabilidlld correlati"1l a "II iUCOIllPI"Csibilidnd), exige 'Ine In,; vllriuciones d"presion s(' t:(jnl"iertan en variaciones illversas de "ola 0 sllm'l!. de veloeidad"EI trabajo l'osinvo 0 llcgati,"o 'lue hs vr~iOlles efect;ulll" sobre las partie\l'his es igual y de lIi/:,"110 "Coutrario .Ill que'realizan sobre las pttrticula9 ,circWlvllci-lUis .r OCll.lIiOlllln Cil ellllli ulla ntri"ciun ill"el'Sa de cota [) ultura dp, vcluei.,lad" Lu /llturll de'l'l"r"ioll '"n llli1l1,tieuln n otru" V" a1111lcllto Itt' ulturll lie Ilresiull en III 1',,,tieulI, co"templllll .. in~iCIl \jilt' III l'IJeI"I,";n Cill,'ti'1l1 III ]lntcnci..1 lie "II I'l'SI' qlle ..e ,1111 I",rdido la IldQuierc otra u otrm; partieul&>; ~. plIClle ,"olver a ella si descieudl!nuevamente 1& altura de presion. ~

Aun en los liqllillos natll .."I.,,; "olupresiblel;, pero el>tslicos, es insigni_.fielillte 01 Ilprisionamiellto de enel'gia delltro de ca.la partieula, en eompara"cion eon La varinei6u de pi,; euando III presion aumeuta: 10 que permite 1nextension pr,;...ti"nmellte exaela de Jo Slll!fwiormente dinho a los l1quidos nil

tUfale~"Como confirmaeiun de fo eXlmeslo en el pill"rafo 'lnterior,

e.. leulnremos III energia internSl fJue sc almaeella en Ulll1 l,nl"ticu-la litjuida de ,'elumen illi"cial 1'. que se conlJlrillle I'0r electo ,].:Ull "umento de pre"iun p (l"i(J 13). Snbre Un Clelllellto d) ric:;1l l;lIp"erfieie existe lit fnena V,lw que ef.'ctoll un trllhlljo W1w dz,La illtegu! de los dw

"Fig, 15

1l1"""'~11l"1,, 1''''" IIlliolad ,]~ ll~"" '.1/1 :!,5 0111_, ,le'rr~ci8blc al lall de Uernol1l1i tooas hl.!cnr;clinncs de Ililld.ulica que ell 1 prcsi6n cn R, 1"1 tubo de ~_mil ,1 'Ie hincha: POI' el C~nlrH,.io. sa C(ID,

trac III hajal' la prr"ilm, E"tn ~lHllprueba que tl'mmnilido al iuterior del tl\~bo A el mllllellln dp p. tlebe ,1isminnir t'~/2y, 10 'Ille para verificnr"l' llecl"~sita alllncnlo (Ie la "'~CCi(1l1 de e.

Para los calculoa orJinariO>l de- la IIidrallliclI se dcscuentan I(!.i10 mctros de la pl't'\;ion atHloRf~l'ica; suelen asi rcsultlll' "resiones negativlIS.

EJElILI'U).-)l, 1'1 volumen dewentlll que esellrre enun lielllpo dl I'll lin prisma'de jlltul'Q II tit y base dl>l, por 10 tllnto, eJ gastorlementsl !lei filch f'!S:

4)

G08W_I'd(JCidod ",~,lio

... '" ,,,,,

I III "elocidad, se eOll",iUeral'i, In eomponen-I.e normal en cmla riletc. Ell escurrimiento turbu1elllo la vcloeidad que se hade con~iderllr ell eooa filete eg In media Ineal.

Se 111I1ll1L "IJelocidl/t1 media" nl t~rmillo media lIritmCtico de IllS com-pOllel\ll'~ llOrlllnlf's de las "elocidades de todos los ritetes de In eorriente 0,ell Of I'll,. palabras, a JlI "eloeidad que lllultil'liclLda llor la seccion da el gallta:

') (1-....!-jO- " o

QTldl=Q

Ell ulla corriente permauf'llte el g1!sto que pasa pOl' cadlL seeei6n elleOllstHnte. CUlI.lldo no hay alimentnciones 0 entregas eOllstant.es de el ell al-gunos puntos, rcsulta cou~tante ell tod8.ll IIIlI seceiones sllcesivas, y se puedeeseribir:

')

de donde se deduce,

B)

es decir, que las ,'elocidades medills de corI'Jelltes ]leI'JUanelltes de gasto co.ns-tante gLlard~n relacion invel"lla con las oSCcciolles respeetivall. Si las seeeionellson eirculares, la ra1.6n de IllS velocidlldes medias sero. illveraa del cundradode los diametrOli.

Este heeho constitllye In condicion' de eontinuidad de liquidos incompresiblell que .esCUI'I'en I.:on IIIO"irniento permanente y gnsto constan~e.

En Iiqllidos ineompresibics con movimiento impermanente, la condi-cion de continllidnd se obtil'De, relacionando la ,'ariacion del gllSto a 10 larg

4(1 C"'.u ,,~ IIid,".l''''' CCA""",l----'---------'-'-"- ---~._----

segundll un volutnen, (Q + a? d$) atLa ':al'illciull. de \'oII}Ulell es, pue.~,

Qdt-,(Q+ 'Q"

La ,'ariaciun de seccion que a e.~te incremento de volumen corres:-ponde es:

_00 dt

"

nprellando en funei6n de ella el incremento tJe "olumell, tellemos:

,0 'd-,-

Jo'iy, 17,

es In \'clociund COli flue !

gn efedo, tomernos I'll "I ~enO ll~ una corriente un sistema de eje,eoor(1euados, d~Hdo al eje de las X-18 dil'eeciull de la corriente '(Pig 18) ,.

~-o!oc~r1jlo los ejts J" J" Z I'll 1n ~~eiull norDlnlhorilOlltliJ. Si nceptamOll Olue Ins compOllen

tc~ ,,' ~. u/ de III aceleracion de las parUcnIn~ Sl'g:iin {'Ilto~ liitimo~ ejes !

pan lotlos los filel~s, porqlle ell III spe~i(JlI rige III le~ hitlrostfltiall, ~. ~Ile, por10 IanI". ville In lllismo en fo,los 1m< filplps. se "btip"e,

11u) [Q ,,'

--tlQ=r.fs.() 2g

llb) t +.1'

~i parR el c"kulo del '!llor merlio se tomll como coefieit'llie de im_portllneill la ,seeeion I'lrmeulnl i1e ca,la filete, equi"ale a deeir que se quierecllkulllr el \"alor me,lio tle III sUlna tie Bernoulli del aglla eomp~ndida, en IlIlil1!ltante dado, entre dos seeeiones infinitamente proximas (1). Como las see-ciones sueeshas van ('ambiautlo cn el rrio,-imicnto Vllriado, para tomar t'll('uentn I.llmbien esto close de eorrientes, no podriamos llluitiplicar el Bernoll-1Ii I,or 10>1 eleme;ltOl; de iirl'll e integrar, pUCli no se IlOnscnllrill la constllneill.En cambio, al deri\"ar el Uern?ulli de un filete reapecto III camino sc ob-tiene Illlll ('lInti,III,1 nuln. puesto qlW es constantc; elLa deSl'llcS ,Ie illtegradlltambiclI serii nllla. Dieha derhlldll e.'l'

dz 1 -----+- -- +d, "f d. ",

tI" .--=(1d,

Multiplicando estll ecuaei6n por dll>, inlegrfmdnl11

ell + _'_..!~_ + .1_/ n 1 au 11 (II = 0d3 ., lis n u (ls

. "

~Ht1a !lC alterll si I'll el integral del tereer t.:rmino introdueimos aentrotIel sigilU derivada el gH~to eoustf!.nt.e " dliI del li!ete, que est8. fuers. de el. Ad~InRs, invirtiendo el orden de la integraci6n y III tlerivaeiou reape.eto al ellmino, podemqs eseribil' finahu(mle la eeuaei6n:

12/1) ,,/0- u2 dl=Qds 0

Telle1UO~, pues, dOlI integrales omilogas en las eellllciones l1b) ~. 121J) jpnl"lt l'ncontral' ~u, valor, en fUllci6n de la \'clot:idlltl llJ'('l,lia U, eS~:l'ibHlI1t~ quela vetocidatl dr- 011 filete ea igual a .esta. media' Ollis Ull exeeso w, posilivoo llegativo:

podelJ1o~ {'!l('l'ibir:

el eurulro

Cmt/ici11 cIlsi,lCl'Ilrque esle integral es el tfrmino medio de las difcrencia.~ dc las velocidadcs ill_d-j,'iduales con 18 media . .t\'Psrece dividido 'P0r el gllsto n 71 que uo nfeetll su

cambia, el inl.e:!rlll __0,_; ?(I~" (/t.). 110 puedc SCI' nulo,~' es siem-" () 172

pre I'ositivo enaleSI]uierll quc sean los signos de los w iudi,idllsles" Este in-[r:!ral es lln1ll1111o w'ncra!Juente 'lj" Ell la ultima eeuaeiou nparl"ee el integral:

euyo VnlOl' es geuel'almente mu~' pequeno, pues en el, los c)(eesos positivos a!cllbo 'Iue son pOl' ('~t" 1,e'l"('1\os, tiendcll ade~ll\s a ser eompeusados con loaueglltivos," Este integral generslmente des'Preeiable lo llamllremos ~, (1)"

Pode.mos, pues, escribir Js seguuda y tercera de estas ecuaeiones:

13)

(1) El enellelenl,; ~ .erQ rigul'O.anleule n"lo en 1M tel'Rrlleionell lilLeRl.. develne;d"d; t,,1 e",m Hende "Il ."eelle. en lao p&tle. centrale.

"H)-0a~"'i J~ u'dmi"at1~".o de I~, .",(i.ienl'. dad"qul '0" uni .. er... lm... t. u_guid" pur a"'O"o franeeot. ~:" otwo p,i.. , 'r in","rt,,,,, eutnd .u .,,]. t"n ,.to.eoit,li,uo. r d. In. EE. UU.

"I, tot, pi~wmdriea liellt un valor eornun fl'''' tdO'! Ie. fill!tK tn ",ad. un..de _ lofteioMil: Ii bay Tariaeiooell tn. I, totl I,;ezom.;triea oomun entre &al-b.. lftCion5, ell porque I, dif",renei. u ha eon\"enic1o en a1tur. de velaej.t1ad. En ot.... paI.br.... todOll los {ileus I'ffiben ;m:rementO& igualtfl de altu-ra de '-eloeidad, ell deeir. varian lIU veloeidad en una ,.ti.ma C';anlidad; pot 10tanfo. "i "UtI i"ert"'i!.'" II pmt''''''', too.. las veloeidadell de I. aegundlleeeioo "Iiend"" II iow(llo,.,". Ii ell negati"o, sus diferenei.. rellll;"u ha..aument.do. L. ullerieneia confirm. nlte logi",o ruonamiento (1).

En el liquido poerfeelo. libr", de frot.",~nto~, en flue el nerllQulli aeCOn.!leTVII, .'ie Jmale entonlr"r un" reJaeion entre I.., \"lIriacionea de 'l Y lu deU: En efeeto, "i derivlUJIOII III eeullei6n .15) (';(11\ re"peelo III camino, Sf: tien"':

d- U') U"""d6(lI':!g =, d-",-

rtemplaundo 0: Y r por JliUS ,-.IOrd en funci6n tie >:, D1uItjpli~"do por WT por U,obtem'D1Oll (2),

17,,)

cjenutando 14 dif.. rencillCi,in indiearlll'

(I) lie .q tree euo. upr.i..ut.1H quo du h Into. Lo. Un"""'p"Mdu ullo" mot r&pi~u d. III.

18)

Es[n l'clnrioll lIIHllifjt'~ta. 'lllC IHs ~'Ilrilleion~~ relatil-Ils de 11 velocidad$011 invCr1i&lS y c1llltro I"cees n..mores qne las del coeficjente T" ,como se dOOn-eill lie 10 ilicho llntel'i,)]'lllelll~. Tntc::rllllllo cstll t'ltf'rel'ii.n obtellemOll:

4 LoO U=- Log T, r!- cfe.

l8b)

De III ecuaeioll 18fJ) VOlll'mos obtell(,l' el '"/lIar de dT, que reemplaudo enIII 18) nOlI dn III identidad:

o 5i dil'idimos pOl' (} )" POl' ds ohlelld~mos en ~Ilda miembro de la 17) :

19) d U'(1-31j)---tis 2(1

Recordallllo filiI' los miembl'os Ill' III 17) MIll los liltirnOli terminos de la16) ~. de 18 15a), temirinll109 1/1 I'cu!\cioll eomplelll:

20) ~ + ....!..-..!!1? + (1 - 3r.)~ ..!!:.... =0d~ I rls ' ds 29.ecua6uIl que demuestro que 5i lie quieTe clllcnlar 1M variaeioue6 dll 180 eneI'J,:ia cill~tica entre dus SeceiOllCS. complltad811' e..t.as, \)(lr IllS alturas' de "clo-cida

.. -

La ec'uaei6n 20) multiplieada 'POI' d& cs integrable:

",.) 1JU"+__ . (1-3'1]) d~=O2.U.'

EI integral dd segundo .termino 10 podemos bacer cncontrando UDadeeuado valor (1- 3,,') que aea eJ valor medio de elite coeiciente en el cam-po de integraci6n: como los valores aucesivos 1 -.3"l en todo diebo eampo SODmenore" que Ill. unidad, 10 sera tambi

"Integrando ae tieDe:

U2 U 2+ (1-9.() I =02,de donde lie deduce:

"'. )

V1' - U~1 __~j2~'C=~---::- > 1

1_9""-- P . PI., e.+~ -e, _

T T

esta:telad6n Doa dice que entre dos seeciones de una carrieDtt de lIquido per-fecto eB mayor la difertmcia de alturas de velocidlld media que las difereuciude eotaa pieZ(lm~trie&ll entre elias 0, (\Orno pGdrlamos decir, que el rendimienfode las energiu .cin~tiCII& compul.das pot' las velocidadea medi.. M mll,)'or que1& Unidad. .

Algunos bidrauliciatas asign.all II "'= 1 + 30; un valor uuko lalll()mo ](1/9;este valor no l"I real. En .movimiento uniforme turbulento. h. dado Bll&ill .zoel

.J. e.",.toneia d. 'I U' ."pono II de 00 ""l~ ~, PO' 10 taolo, Ie pued....,ibi.:

}{=U.'U,'Y'l">1'de modo '100 oj lute...lj ndu.eiudo o. el parfoteall, .e.ulta tloolln"'lo, ie.\11ll a:

3 V,'U,' J-- 0,'--17,' D.' - Dt. , __.--,-,-- V ". Tj\ """'iil"u.' =' 3 --,-,- V ". Tj\

Po, 10 101110:

JU.1 . , U,'-r:.'ti"" {1-31l)dU'='~U 0 ~ ir, 'f( =V~

(1-3 V ......')

No hOI 'I". olrida' 'I". HI. 'H"ltad'" 00...0 ... fu.d"", to '1 V':=: ele.upo.....q~. Ill:=: J + "'1' eo doci' que ~ abool"I";" I. nuln_ 10 qu. nl,! ..."mplino enoie,la. 1'1.' de 'epartid6. d. v.looidild ... E;' 101 lJqoido. real.l, .00 hot.... ic.to., 110M pued. prote.dcr que 'lUI ....oostanto, "'!0"10 cll01 eillmo ,pre.i.blel, eotre doa ....do d. tilet II I.lo.. F.. pue. -po.ibl. IU' la 00"di.16. oundo ."t,.. mbcu .~.oio"... nme.lr I. v..lodd.d, pc,o no .oaodo h"la 'Ill' ",1.,10, pu.. 101 co-un.hao"e"lol que oqulvUen & 101 ",lorool dc velo.idld .., vcr'lic.n .... lo_allud!>Iid....bl , DO I.. coal... no .. p".dt pre.c'odi, d. 10. t",l&ml."tOI. T.l obu_ol60 hea B""..illOeq .,. lembi~n D. MR"hi. .

superficie libre. La: profutldida.d. total en Aes 11, .... . 1,50' m. Se pid'e ealcuIar ill. pro.fundidad en otra lJecci6n D en que e'l fon-uo /ia 8ubido 0,4 m., si en A y D rige laley' hidrostitica y es aplicable' a.1 teor.e-rna deBernoulli.

Para' caleuiar 18 suma de BerJ.lou-iii en A necesitam08 conocer 'Ia yeIocidad media U.... y a.... H~cjeudo el cilcu_10 por unidad de aneho, eal'euJemos pre-

vi~mehte 'e": gasto. . .

'.

_. J._. :_._._._._._..J._.___ ..Jt

ciones experimentales que deben tomarse. en esos ca'!.os; en mO\'imien,to gra-dualmente variado, demootraremos que puede, prescindirse de 01 y en las sin_gularidades (1) debe aceptarse 01 de acuerdo con las circuns.tallcias del fen6-meno en estudio ..AIis vale tomar en todo CaBO 01 = 1, como 10 hacen ,mUCh09'autores (2) que apllortarse de la unidJId en distinto sentido que el exigido por'la teoria y la experiencia (3).

EJE~rPLo.-En un canal rectangular !!Ie conoce en una seec"i6n A (Fig.19) la ley d~ repartiei6n de \'elocidl1des en una vertical~'que es dada pOl:" Ill. ex-presi6n u = 2 _.!- x~ en m : seg. En esta expresi6n u es la veIocidad a Is.

. 3profundid'ad x, contada de.'4de la

Q= !1,5' 2 ) 2 15' ., 0 (2-3-X~ dx=2 X 1 ,5-3Y::::::;2,25ina/aeg.(1) Ba~in maaa eil -} tu1Wi tiene ,una 'eaotidod de movimiento %.u'dlol;la de toda ~a eorriente ea: .

udc.l =~CII'.oU9

..

La velocidad media ell entonces:

, $,25,U=~ =.1,5.0 ro/!ltg.

La altura de velocidad OOf!'t!lpondiente, eneontrada en 1& Tab'" N.' I"es:

u--=0,1148 I'll.'g

Para tener e.nctamente '1, que 10 nesitaremOi dcspu&, caleulanmolpriUleramente ,,=1 + "l.

__ 1 (' 81,5'+41,5')-"'.... - 2)5-X '1.;5 4 X ~,.5-JT 9-'-

o sea:11'..=1,0888

De aqui pOdrlamOi deducir:

c"",,,,. " "'"um.." po< " "p~,Oo ~j,~ d. ~.ll.1Z1.?1,279, 10 que'QUitre deeir que:

La altun media de velocidlid en A, que eseede algo .. I.altura de n-locidad media, eI: '

UA~" -- =1.27 X 0,115=0,146 Illl.

'gPor 10 tanto, III stlma de Bernoulli media de I, corriente,' eGutad. desde

el fondo en A, si notamOs que Ill. cotl!. piuom~trica n, por I. ley hidrOlltatica,.simplemente.ll profundidad: .

1),. =1,5 + 0,146 = 1,64fT m.

La suma de Bemoulli en D, oontada igualmente d~de el fondo. eI:

f)1)= 1,646-0,40 = 1,246 m.

Debemos notar que III) = 1 +J"ln debe eumplir: 1a relaei6n l8b) ,

Ca1eu1ando eon 108 elementoe'ya eon.oeid08 de la .ecei6n A, obteDem~,

"l.. U..=0,o888.X 1,s1=0,450

"0'Para caleular AD, "'n Y 2'g"proeederemOli portanteoJ, IJUponietldo pre-viameute "'v = 1. Teudrlamos, reemp1azando la ve10eidad por au equival~ntf,en fnncl6n del. raato, la eeuaei6n .de tercer rrado en A,

Q'

que para Do = 1,!U6 Y Q= 2,2:; mllseg-.' ae satWace (1-) con AD = 0,,99 Yeon Ao =O,6:; m, Tomarem08 unieamente la mayor. La profundidad deethaes algi) menor, pues lt~ ell mayor que la unidad, aunquB por 1a dilIminuci6nde A (de 1,50 a eerea de 1 m.) la veloeidad-ha aumentado y"1I ha tendido la unidad

Para It = O,9g correBponderia,

U= 2,25O~, = 2:J'! m/leg.

Eite v,alor reemplazado en "I IJ' =0,410 nOI oaria 'Ilo = 0,0176, y, por10 tanto nOB da idea del valor de "'0 =; 1 +3 '10 = 1,05. Como multiplielldo ~te(lopor Uo'/2g del primer tanteo, lI~arllmG8 a un Bt-moulli mayor de 1,2/.6,IlII necesario bajar AD (2) para un segundo,tantco.

Despub de tadtear se obtieoe:

ho=0,fU4 Un =2,38m/ seg. 0,29m.

(1) En eo~ ",iolllo eOlllt"IG, j>

(>0 = 1,042

"a]ores que Yerifiean la~ i1o~ ee\lacion('~ signientes:

['" hl)= q.=2.25 m"fs"'g.!m.

, U,?hI) +Gl"ll---=B" = 1,.146m.2,0

Es util obsen'ar, para t,-.rminar, lo~ siguientes resultados obtenidos:

_ 0,156 m.

Por 10 tanto, ('1 eOl'ficiente' 'a"= 1- 3 TJ' que multiplielldo por

nos babria dado la diferencill de energiR.'l cineticas medias entre ambas ..sec-dones, habria yalido:

,iZ" == ' 0,1560,U{8 =0,830

ell decir, como Be demostr6, menor que Is unidad. La diferenei8 con 18 unl_dad' es precisamente 1-0,83=3'r(=O,17;",o"'l;oea, -eorresponde al Ya10r me-dio TJ'=0,o56. Este yalor esta efecth8ment~'eomprt'lldldoentre '/) ... =0,0888y T'Jo = 0,0140, euy.o termino rnediil 'aritmetico ell:

"'... +T'JD2

Cf,OR88 + 0,0140- ---"=~~2"-"==- = 0,0514

mn;r.parecido at de T'J' tl). Lo que hemos Hamad!} reudimip.n'l.n Rp.rill:

1 17- 1 3..,'

mayor que 18 unidad, oomo qued6 l;lieho.

=1,205

(I) Como ~ no ~. nul0 no J'od~mo. pT~lond~r quo .ean ~iiuro"o. ni 081 ..alorni 18 eOnAtn~eia de "Uf, por "'0 '1' no re.ult~ ,.",leT V r", ,'Ill = Opt5:!.

BtTII""lIr ",S;"III" " .Tll"",

. u'n=h'O$I+lt_~. 2gPig. 20

108. Vari&ci6n de Ia auma de Bernoulli en eorrientet abienaa.--1!;ictl.-rrlmillnto crltico.-Veloeidad de propaga.ci:6n de 1... ondaa.-Como &e ib.a heehonotar en el ejemplo anterior, ~n los canales 0 corrientes Ibiertaa que escurrenpor filctlll plralelO$ con mO~'imiento perma.nellle, II cota piezometric.a que. en

180 seccilin corresponde'a cada lilete es II cota del cjehidrli.ulico, ~i descartamos la 'altura de pre.si6n atmo~ferica. De m'odo que la .,uma de Bt'rnoulli, n, referi_da al fondo, vale; (Fig. 20)

En las corrientes abiertls el angulo'j q,ue elias forman con 180 horizontliles siempre muy pequeno; lu~go. el COlleno Yl!-le practiColilDente 180 unidad. Damodo que sin error apreciable puede p

"C"rlO de llidrtiulico 0 ...........1

Uu,elem.ento de. seeeilin dO 'es el produeto del aneho 'superficilil "l porIll. aitura elemllntal all. Luego:

dQl:= dk

y p'or 10 t8.Ilto:

Introdnciendo es.t~ VIl,or arriba, tendremos:

que i~ualada acero-nOB da:

U'!1=gO

23).

LQ corrientes' naturales no escurren, en general, con velocidades reolativaDl.e~te t,an' grordes 'com'o Ia -dada por esta expreili6n. Bi.l~ 1. Natu-

ralez~ 'a-iJ~O'dticiil:aii''y"'~n-oor+jent~'s variadas anlIieiaies pr~~i~D.n ae unll.aceleraci6n" de 18. eo1-tieJilli; :de- 'nfodo Que'

La ,uma de Bernoulli minima en corrientes de fHetes paralelos, es en-tonces:

26)

Be, sobre el ,londoq1UJ el mtnimo no

r

.Fig. 21

La s11ma de Bernoulli mini~/!.'iseparl!- las corrientes ,en ,dOll grupos decaracteres llntag6nicos: las de pro,fu.ndidad_mayor que la que corr-esponde:8

~lla, llamal\as rlOS, Ilumentan de energill unitaria eon 16 altura; y las de me-nor protundidad 9 torrenteJl, disminuyen ,lOU sUllla de Bernoulli, contada des-~e el fondo, cuando au altura 8.Umenta. EI tranaito de un tipo de' corrientea otro eli U1la cr~i8,; por 10 tanto, el.escurr.imiento que lie verifiea 'con sumade Bernoull,i'minima se llama escttrri"miento critwo. La prot:undidao. '-de el, co-mo tambien su velllCidad, $(Ul llamada,s crit.icas, 'y Ire denominaran h~, y U~.

Cualquiera energia unitaria 0 suma ,de Bernoulli de la corrien~e no e~pues compatible con, el gasto de 'un eanal dado; pues esa'_sumade Bernoullino puede descender del velor eritico. En consecuenCia, ai las condiciones cieescurrimiento nos fijan el Bernoulli' en una scccion .de, a"guas ~bajo; y hayaguas arriba de aquella, otra -de menor aneho 0 cuyl\. cota de fonda esmils alta, puede auceaer que a esta correaponda, referido al fonda de la' de agual'!abajo,. un Bernoulli critico mayor que ('IBernouili existente. en la secci6n de' Ilgu81labajo. En elitas condicioneli debe ~isHrBernoulli minima en la secci6n de ,aguo~arriba (1). Un ejemplo aclal'llra esta ide!!:En la figuru 21 consideremos las seccio.nes I y 1I, entre las cuales el fondo 'haja"u" metros. Sean 6, ye11 los Bernoulli res-~pectivos, contado8 a partir del fondo deaada secci6n. Si cODocido el de aguas aba~jo Bn, calculamos ~r, }lor la cODlltancinde los 'Bernoullj 6e tend ria Br, =Bl~: 8ieate valor sobre;el rondo de 1.resulta men,or'que el critjcode 1 habra Bernoulli critico, que es minimo, porque menos

(1) AnAlogoe rII.eioeiniw, haee,!, .Y. Ca,ler, en Trauaetlons 01' Amerinn Society01' Civil Engineeu, tomo 94, A60 193_0, en 011- articulo "Stream now jo geo"re,l ter",s",pAg. 12; Y B068 en Bereebouog der 'Wa"."rspieR~lIage (Ke.rlarubfJ 1919) pl1g"'. 36, 52 Yeo todo "I follet

puede babel' Y otro mayor tllmpoeo hllbra,porque la Natul'aleza nodesper"dicia imltilmente enel;'gla, pues acomodandose con el critieo en I pierdl?'entre I y II 10 menDS posible.

El razonamiento ant:erior, q~ es una aplieaei6n del prineipio de mi-nimo efecto, estA ampliamente demostrado por 1a experieneia. Esto equivalea decir que h&y- casos en que el escurrimiento se desJiglr, como dille Boss, Y(Os in6:til preteJldel."encilhtrar la velocidad, profundidad, ete., de una secciOnde aguas Illltiba, a trllv~' de laecuaci6n ole 'Ie. eonservaci6n de la suma dpBer.noulli,sin antea 'haberse eerei'ol'ado de que en todas Jasseceiones dichsconservaci6n ell posiblc, po\'que las sumas de Bernoulli son 'mayores que Iseritiea. Muy filcil as prodUl'h. e8~a'dealigaci6n del eje hidraulico en la Natu-raleza. Es fr.e~uen,te en 'l'el'"tederosy 'enllngostamientos, eomo el que ae pro_duce'J'I.:l,l!jo-las pila1l- tile un pueJ:ite, Es __fitilhllcer notal', desde luego, la fre-cuencia con ,que' se he. errado III no cob,iderar eata circunstaneia y que nopueden uaak9.,fi!:lllllh-a3' Mnnubs que' no 1a tomen en cuenta TremoR viendo.en ejemplbs durante III CQ.rso, eate interesMlte Il8Unto y de pllSi:J haremos tacritiea de algun8ll' expres~nesexperi'menbles' que -no la tuvieroll en \'lsta (1).

La e~uaei6n 22), que nos ,da la' derivada del BerMulli respecto II laoaltura; tiline 'en' su SllgunjjO Urmfno lafI!aeci6n;

VZl"""4A

es deeir, el cuadrado de la veloeidad de Ill. corriente div.idido. pOI' ..1~; esta ul,-tima raz6n

creeiente aehJ. Equivale esta oiscusion delsigno de 18 aerivada a. la''Considera.cion hecha antel'iormente al definir los rios y los torrentes, respecto 8 la. varia-ci6n del Bernoulli con la llitura:

La {igura 22 muestra grMieamente-. la vaJ:jaei6~ de la suma de Bernoull:.con la profundidad. Be ve que Ia cuna ti.ene do..~ asinf;Qtas: la B=It..r el ejede las abscisas; pues cuando ~h = Xl, (}'1

..

','!l=.\+ .91.

Uti! nsulta dividir t:8U eeukkltl pol ~,a i 1I~'~=--fl..-+ 211"

En I. TlIbla N.- , estin ttbuJado. los nlom de & /11.. colTftlllDdien-tu I I.. profu,odidadtll relld"" AI'-. (1).

Par.. ~hOll trapeci.lee. 0 de formll lIualquiera con t&l etta e

general. que para f (x)=o, ~i tllnteando COil un valor x.,.se comete nn erroro se ellcuentra una difcrencia ; f (x,) = , el ineremento ~;r; vale

que en pi ('IIS0 del Bernoulli cono.ddo equivalc II poner, para corregir la al-tura:

28) ~h=

Con un ejemplo 81' e\'idcnciaril su lIS0, En la secci6n tra'peci'al, de 3 m.de base, con un talud vertical y d otro indinado 1/1, sc conoce el Rernoullide 1,5 m., correspondiente al gasto de 4,5 m 3/scg. Se quiere corlOcer la altu-ra dd rio que Ie correspondc. '.

Tanteando, como primer !yalor con h = 1,2, se tendria ,n,= 4,32';U = 4,5/4,32 = 1;01; U2/2g = 0,056, \'Jllor~s que darian = 1,256 en "ezole 1,50 que ell nuestro dato..La correcci6n serra, notando que el ancho superfi-cial, 1=4,20 11 ),15=1,256-1,50=-0,214;

-0.244'~ h =----===,~~-= + o,m7,081- ----98_4,~

, 4,20

El segundo taoteo fle haria pues, can h=1,2+ 0,273=1,473 que veri_ficaria 0= 5,51; U = 0,82'; 'U'/2g ==.0,031; ~ = 1,506 m.

8i se nos hubiese pedido la altura del torrente C01,'respondiente al Ber-noulli, 1,50 can el mismo gasto, en el'mismo canal, empezando a tantear conh=0,25, tendriamos: 1=3,25; 0=0,758; U=5,95; U2/2g=1~82 y, par'10 tanto, D = 2,07 m. en yez de 1"iO, luego ~ B = 2,07 - 1,50 = 0,57.

de dond~dV df.! VIa~ =~Vaii'll ~ -. Q

u',J ...... -_.

un'

1" "e""el6n ~II,,) n'" dice:dl> __ dB

--:of'J_~.Fin..ltt1ente, pol1iendo inoremento. finito.:

,La eOl'reCl'iQ!:i,lleria:

_~~O~,5"7~~~ = + Of)39135,5 X 3,25'9,f$ X 0,758

que agregado al primer valor de II. nos daria 11.=0,:25+0,0391=0,289. Eatevalor nb verifiea bien el' Bernoulli Que es nuest~o dato: en efecto. tendriamoBeon iii:

1=3,289; 0=0,887; 11=5,07 T.P/2g= 1,31; B = 1,599

Vernos que en easo de torrente~ no ae llega inrnediatamente al reaultado,10 que'se'cxpliea por eIheeho de ser las'vilriaeionea de dfJ/dh ;nuy gra.ndes,la 'tangente se' deapega mueho de fa fnneillll. Con' nu ';egundo tanteo se llegllal reaultado. ,Ell ef~to, eon eI valor. reeient~m;mte eneontl'ado de D' se obtieneAB =1,599,.....1;500=0;099, y, por 10 tanto:

10,09 13

25,7X3,289"'" ,01,9,8 X 0,887

que ~orrigiendo 1'1 valor de ..It = 0,28/} nos da 1'1 II. definitivo, Ii. = 0,289 +0,0113 = 0.3003;' qUI!' verifiea 1'1', Ber.noulli, pues da: 0 = '0,9234;' U = 4,88;U'j2g=1,210,. B :-1,51 m., eon un error de 0,670.

Para, el cliJ.S1l10 de, alturas de velooidad.wedia de. una ,C

r......L ..

u--c-~,,~m."'_.'i,.jl""j"''''''';'.'';.'''''''j, wc:t,a'(WiiPt-O:.... aup,*, 4}3A"Pig: 23

teraeiones de una eorrient.. ~ trllnsmiten pOI' llledio de onda..;; ..Iemf>nt'alcs 1"'-siti"as 0 negali"as de Iraslaei6n, sO' sigu" de a'lui que estas que pod rim remontllr los riDs, eu,-a velocidad es menor que III eritiea, 110 podriln haeerlo en lo~torrentes, y que, pOI' 10 tanto, los rios' dependen de vHrilieiones de Iiguasablljo y ]os torrente" no. Produeido en una seecion e1 escurrimiento ed/i.-o,ay"as u""iba q"cdor,i oi,.["do de "!luas ahaja.. .

Unll ouda de trllslliei6n es una eleniei6n 0 inlume1ceneia (onda posit'i"a)a una depresfon: (ollda negativa) que Se propagH conser\'ando' SU forma ll'~o:metrica. Debe BU origen ell 1'1 primer ellso,'a III a-gregaci6n brllsca de un \,0lumen de agua 0 a III introducci6n de Un cuerpo solido, y l'a onda np.gati'a a IIIextraeei6n repentina de pHrte del agnB.

Las ondas se "an trasladando y, al mismo tielllpo, eJl:tinguiendo POI'efeeto de las resislellC~aS pashas. Su paso' jlOr, una seeeion eltige un movimiento en 0'1 agull, cn el mismo sentido de la traslaei6n dc ella en I~ onda posi-tivll y Cn cntido in"er80 en III ncg-ativa. EI mO"imiento reH] del agna eS do::'\"('loeidad u ruueho menor q.uc la Y eon que ]a onda se propllgll..; Est';' ..Htimaes J~ velo':idarl de la forma (;eomctricll y para no eonfundirla ~on e1 n,ovi.miento del agna se Ic llama cCleri

Para encontrar el ,-alor. de V aplieamos el teorema de las cantidades delllo\'imiento a la masa liquida

..1..1'dl (O+.l),

cubierta por la onda en el tiempo dl. EI incremento de "cloeidad que reei-be esta mas!\ en el tiempo dt es la \'elocidad u; haeielldo Ill. prO)'eeeion sohreun e)e horizontal, desp!,eciando t l al lado de 0, Is derivada respedo al tie~po de las cantidades de mo"jmicnto.serfl:

o reemphzando el "alor de II:

.-LvOu,

Las 'fuena. que aan prllyeeei6n sou las I'resiones hidrostaticas en lascaras tcrmlnltles, en Ill. anterior a~de el nivel libre del canal y en Ill. posteriol"deade el nivel en medio de la onda. La aiferellcia entre ambas pl"esiones totales es 1 {}., 3i vol\'emos a despreci~r It al lado de O. EI teorema dice, fl'n:l.Imellte;

de donde

29) v=Vg~que ,es la .expresi6n de )a ",plocidad critiea (1).

LII8. experienci8.'l de Bazin comprueball con grail eJ:actitud la formulaanterior. Este eJ:perimentador eomparando eon las celeridadell nii!didas la ex-presi6"

29a)

no eneontr6 discrepancillll que 8:ic~dan al 1,5 %. En uta e:s:presi6u, U es Isvelocidad del canal, que en sus eJ:pl!rieneias no estaba en repOlio, y I, ~omoIl~ ha'dieho, la altura de III ollda.

(1) Si M ~. elemeolnl, la vel.,.idad efo>el;vll " uldtla

10 que darfa

"EJEMPLO.-En" un canal rec~8ngul8r de 2,5 m. de socha se ball medido

ondll.8 que cemontan 1& cbrrient~ eon velocidad de 1,8 m/scg. y oodas desccndentea 'coo velocidll.d de 3,3 m/scg. Determinar r1 gaato del canal.

Si llamamos U Ill. veloeidad media d~l CRnol y V III. veloeidad de'lll. oodatenemos las. eeuacione5:

1'+U=9"',1JV-U="l,8

de daudev = 2,55 m/seg.

reemplllUludo I'll valor de V dc"11l f6rmula 29), v=V~~., notandoen secci6n rectangular Sf es igual II Ill. profundidad 11" Be teodra:

2,55 = V!I h

h=O,66.2 m.

qJle

La secd6n tiel canal ea. pucs, 0=2,5 X 0,662= 1,655 m 2 Y liD velocidaddeducida del Bistema de eeuacione8, es U-=0,75 .m/scg. E1 gasto del canal,cn consecueneia, es:

Q=O U=1,655 X 0,75 = 1,24 m 6 jscg.

1-9. -cile~o de la. profundJdad critica. y del. "Bernoulli. cri$ico, "ZjemplO8._ Variaci6n del I'a-to &- Berboulli couatant.e..-IntereslI.'- gene"ralmente,en 111.$ lluesiiones de Hidraulica el ciJcnlo de Ill.- profundidad eritiea y p.e la)lum de B~rnonlli.crltica 'lue Correllponden a 1111 glUit

"31).~-c .. (1' t .

..11,= ~=O,-I68(1'.. ,

upreSlon que revela que In prof;mdidad critiClI 1i610 deIJl!nde del guto porUllldlld de ancbll

En III Tabla N._ 1, III tereera COlUu"1ll8 da los gastos POt metro de aDeho oorrellpondientes a lu 11ltlll'a~ criticas de Ja primera columna.

Ell "los canalcs parab61~s N' que:II seeciliu liS ~

O=~llt,. 3

(l.III fuon -,- vale:

III velocidad CritiCll e,,:

u, -:.Vg ~ II.la altura de ,velocidad crltica"u:

III suma ile Bernoulli e~itill&:

31a)el glllto eritie.o:

'I lao Pl'l/fulldided crlticB:

32) h,= V'7 Q''. . 8 0'11

J2a) It, =+VQ' '=fJ,70 if ~. \0/' Y.~,

ell decir, que Ia pl'(l[undidad crltka de un lecho parab61ico ell los 3/2 de 11del rectangulo de igu,l aneho superficial:

Lilli seeeionu en uglllenlllS' de drculOI son asimilables a seeeiones pa_tllb6licas cnando III altura es menor qu~ e1 radio. TBwbien 10 lIeTAn 101 self:meows de peq..~iia [lulla .d~ las l~chal nolloralu: .

;,

El. clilculo de I)ro[undjt.lade~ crlllCli"S ell lechos circulares ~e puedc hncer]lOI' J1.I~(ho del abllco. ~eJ ingl'niero dOll ~ablo Perl':>' Z. (1) quien divide IIIccuaCIOli del g>lsto crllH!O 1)0'1' la .potencia "51'Jdel I'n',o E f, .,.. ,- . neecO,sl esclungula 81 celllro, [n "secci6n mojnda vale (Fiy. 2-1') ,

O=r'(; - ~ sen a)y 1'1 nncha superficial:

Fi']. '2410 (l~e 1I0S da el gasto,en crisis:

~_=.:.. I,---,---'

V (' 1 ') . r '2 --2 scn II ~g--------.,2SC7J.T( , 1Q=r" -----81'1102 233)ctividicla eSla ecuacion pOl' .,j 51' conv..iertt 'en:

Q " V+.- .~ se1l (I33a) --;:--'-=(:;----:JsenO) 9 &

2 sen -2-

1 grMico que Rparece III finll! de esfe capitulo se hn cOllstruiao' td-.. Q

manoa como abSClsllS~ y como ordenll

'fEn la Tabla N,o 3 que'va al tinal de este capitulo apareeen los elemen-

tos utiles p.ara el cideulo de la p;I'oiundidad critiea cn IechO.!l circulares.Todas las magnitude!! sOD sin dimensiones (pagina 86). Con el abaca de P.J~ehman~ de qu~ 'se nabla .de~pu/js, tambit!n Pllede haeerse e'l calcula.

Las secciones triangul8;res, qqe tienen poea importantia practica, nosserviran para estudiar las .secciones trapeciales. En ellas 1a secci6n ea,'

O=h2 tgct

If}

i.

Los seccwne.9 trapu;iales, compuestas de parte 'relltangillar y p"anetriangular, han de tener una suma de Bernoulli cfltica comprendidll ent;e1,5 y 1,25 It. Y profundidlldes eritiCIlll me~oteS que las eorrespondientes s'ree-tanguI08 de igual base. La secei6n del trapecio es: 0:= b it + 11,2 tg 101, (b es IIIbase y Iga III !!em; suma de las inelinacione:s 5ie los Illct08). EI sncho superfi.cial es: 1=b+2h.tga.

La velocidlld critics es:

EI ga!Jto ell crisis serA:

bh,-!-1t;tgab+2h.tga

J6) bh,+h?tga/;+21t.lgl2

De ests eeuaci6n se podra obtener por tanlcOl! It. Ili ae caDoee Q; eosaen todo ellSO larga.

El profesor SalliS Edwards propone [Il f6rmula empiricll (1) que diceque l:'l in\'crso del cuadrado de III profundidad critic& es igua! a III suma delos inversos de los CUlldrados de las' profunlictades critiCllll -qile produci'ria'toooel gasto pasando por el rectillu:ulo y tOOo el I!:asto pasando oor el doble triangulo de los extremos

.J7) , "Il/ =V+ 1111l~

Esta expresi6n que evidentemente es exacla ell los casos extremos b = 0y to 12=0, 'produce Ull ~rrol' que ell el CliSO ma.. desfll\'orable (h';h~ = o,sa)Jlega al tres por eiento del VIdor exaeto de hc. (2).

El profesor Jose S, Gandolfo, de la Universidad de JJa Plat1! (3) haeonstruido un abaco muy oomodo para el cAleulo de la proIundidll:d critiea enleehos trapeciales, fuudado en las ecuadones siguientes.

La expresi6n 22) que nOll da la derivada del Bernoulli, respecto 8. 18 altu

") R.. l:!l1la. E.; ~urr;,nl~nto ....';ndo, p~. .., Eot" ....'... e;6Jl e,,,

, , 1';6' U.

''') .... ,. )t +'" )t --,- + Qat (,... (g 19"a. ,T

{2} l:I...lng, en Jlandbook of ~drauli",(11139). ttM UbI., -pa" ~l elleulo de proIllnJ'dad.. enti.u en _done. trapteial'" (:Tabla- 12~, ~ll'". 434 '1 Ilgulenlel; la e:

'0

ra, indica, como quells

F.sta ccuacion C~ i'io.~i) 'de rlstrliir poi' 'pu~tos, dandonos h o para e~_I.q:t. Q.dll valor dO:' la rsz6n -T' /lSI obtendremos los T' Al f'nal de este capitlllo

va el gr,;fico del prof. Gandolfo. ETI los dO:'mplos siguientes SU !LSD.El ingeniero dOll PablD Percr. Z. hace el calculo exaeto de la' profundldad

critica llel leclw trapccial por medio de uD lI.baco, p~vill. redueci6n de las tres"arillbles, Q. h Y la Q

"EJEILPLO 2.-,Cual' es 1& profundidad erjjjcll:d~ un gasto' de 1 ml/Heg.en una eunela_ rectangular de 2 m. de aneho!

, 1En III Tabla N.'1 {rcure III gll.sto p'or metro de anehG q=--O,50, esta

, 'I " 'A,=.0,295, haclendo una mterpo aCI n.EJE/l!PLo 3.-tCuaI es la profundidad edtica de Ull gasto de 2m1/&eg.

en Unll enneta trapeeial de 1,6 01. de ba!'le )" lllindes de 1 de base pOl' 2 de altura'

UsaruO$ el shaeo d"el prof. Gandolfo, que viene en Is pag. 88 para b =. Q 2 - ~2 ~

1,60 m. se ueu~= 1,6 =1,,25 Y'"I!-= 1,6 =0,3125; con esto~ vlIlore,leemOli en el abaca:

h, = 0,512 ni.

UQ 2 2.

saudo eillbaco del ing. P. Perez Z., clitramos eon --= --~ = ---II ~ 1,6~ 3,24

. 1 . h'0,617 Y Iglll=fj,leemos que -,_=O~21. De aqui obtenewos

h. = 0,321 X 1,6 = O/H3 mEste valor verifies el gllst0=1,6 X Q,513 + 0,513-' = 0,952 m l,

1= 1,6 + 0,513=2,113 m.

~ =0;4503Q ~0,952 V y X 0;4503-= 2 m" : $

E"BMPLO 4.-, euiil es la profundidad critica que producen 8 m"/eeg.,en un lecho trl!peeial de 3 m. de base, con un lado verticHI y el ott:

_________F.:.,j=::c'C':.:.:':.::c':":~:':.:d~p.i>f,,~did .511~rificalldo algo 18 claridad y.la pre.lliei6n se ha eonstruido Ull abaco RlUi-Har coloe.ando a dos esealas en ordenadas 1'1 valor de Q.

EI abaoo apareee al final de este libra.En 1'1 ejemplo anterior. de eneontrar ]'a altura eritiea del gasto de 1 rna : a

en un acueducto cireullir de 1,j m. de dilimetro, se entra .al abaoo horizontal-mente de'lde 1a altura' Q= 1, hasta encontrar Ill. recta d ='1,j. Desde eateultimo punta bajamos basta.1a eurva correspondiente a1 lIeuedncto circular,

h,10 que aueede frente al "alor ~=0,346. Eate valor nos itah.=0';U6X 1,5=0,519 m.

valor prAeUeRDfente igual al eucontrado can 1'1 aba.eo riel mg. ""Perez Z.E,JElolPLO 6.-Par~ evideneillr. el calculo de otra altura partiendo 'de

una conoeida, sine 1'1 siguiente e~plo:via e~nal de 1 .m. de aueho. (Iig.. 25) &e eQ8aneba. a 2 ill. sin que. '!!

fonda varie de eot~. EI gastO' que_ eSenrre' .es de 1~ m' P9r seiundQ. SfJ' pided"etenninar la .profundidad en Ja se.4'i6n de.'l m. de aneho IIi en 14 de 2 m. es'de 1,10.m.)"9 aplieable Iil teorem~ qe.Bern9.ull!.

(1) Abacal" p.r. II' dl~llla d. IN alt;"".. e(ro.cterillt.i.... del u~llrrllll.iento porao.a1... de ~ualq'llier 10........ Anal... del in&t. ile rng-enie.o. de C/>il E~io de 194'.pig. 311.

La "elncidad en la seguuda"secci6n cs,'

U 1.2. 054" I= "jjT=;=., "m, ses:.

). s~gu.n la Tabla N . 1:U'2(1 =0,013 m.

Lit sumll de Bernoulli es, pues, preseindiendo de ,,:

"=1,10+0,015=1,115 m.

Para calcular 1a

=I.i?;" .s

El gaslo par unidad de sncho es:

Segun la tll.bla citllda, III profunjIidad critiCIlque Ie ~orresponde es h.=0,528 m. 0 redondeau.lIo, ~

Vanaci6n del gasto a Ber.noulli constante.- Si atenaemos fI que pa-ra tleterminnr Ills ("(lllCliciones de cncrorifl minillla s gaRto constante anlllamoslas cleri\'lldas de arnbas funeiones, IIOS"" clarnos cl;Ienta "l"ue llnaHticamente estoe"lui"l\le ',a {lett'rmillnr el 1II11:dmo. gllsto eorrespondiente II una t'nergill unita-rin conshmte" En clSte orden tIe ideas, la ,"elocidfld crftiea es la velocidad ddgasto maximo cllllntlo t'l escurrimiento se verifiell por filetes pILr81elo~:

)" el gasto milximo sera:

Qrn",=Q Vg ~Si solamente nos referinios II seceiones reetflngulares, n = l he, se ten"

Ilrii: Qrnu = l h, Vah" t'cuaci6n .1'11 sentada pAra el 'gAsto critico. ConlfJ-'r, en funcion de In SUlnIL de Bernoulli ,"ale, h. = 2/3 B", tendremos,;

, V-,Q", =-j-t 1) ; g ~Luego, el gasto maximo pOl' unidad de flncho en funei6n de la CIIrga es:

38) q..u=0,385 B V2U B

Si en Ill. eeuaei611 de Ia su"ma. de B.ernoulli, expresamos U en fun('i6nde Q, como ya 10 hieimos, se puede escribir:

B = It + -o':-Q'",20n~Despejando IIqui el gasto 'eseribirC'mos:

39)

)" en secei6n reelangular por unidad 4e allCq.o +=q, tendremos;39a) h)

Dh'idiendo la eeusei6n 390) par_la "8)- oobenefuos,

Itv'D=lt0,385- B';'

"La altura k puede "ariar

"Estas perdidas determinan el rendiwiento.del motor hidrli.ulico, lIalllsndo tlsia 1& relaei6n entre Is polencia hidrauliea utilizable 0 que Is rro.quina de-vuelve y 18 total que a ella lie Ie suwinistra. El ealeulo del reodimiellto ~spropio del estndio 'de las lllaquinas. Supondremos'll.qui, para simplifiear, quevsle 0,825, valor que introdueido en Is primers de las expresionea 41) dncomo cJtpresi6.n de Is palencia uti1:

'2) [HPJ

Esta eeuaei6n. nos dice que 18 palencia que dll. una 'motri~ 'hidrauliClles 11 veces el produeto del gasto en majseg. pOI" Ill. 6UlUIl. de Bernoulli dis_

'ponible, en metros. En una installlci6n eompleta, eon transformaciones, etc:,el faetor 11 lie baja III valor 6eueillo 10.

21. Plkdidaa de .carp.......,.lbsta shorn hemos tratado del IIquido per-fecto, al que es aplicll.ble el teorema de Bernoulli. En Ill. Naturaleza los :!i-quidos son vjsco~s, es decir, 'en sus movimientos se generan resistencias, co-Ii..-ponent.es tangenciales de 111.8 presiones, que tratan 'l1e retardar los' desliza-mientos, llanu\dJ;ls pOl' a'nalogia frotarnientoS-,' Anem!s, de estll.8 fuerzflS qu'!absorben energia de Ill. corriente, sucede que- [recuentemeute POI' efecto d'~Ill. lorma de fa canalizaci6n 'Be producen cboques de' las mssas liquida!! m~veloces con otrss menos veloces. Enos 'choques generan remolinos q\le ab-sortien en cortrn; trechos partes' a veces considerables de Ill. eno:h'gili que po_see Ill. corriente, En'reaHdad, tod"s estas absorciones de Ill. energla de:)8corriente son transformaciones de Is energis hidraiilica en calor;' que lio apa-recen de manera mu)' ~nsible, 5i reooTdllmos que el equivalente me~anico

"del calor es 427 Kgm. POl' calorla y se obs.erva que este calor, a mlLs de. ca- .'lentar el lfquido, 8e transmite a las paredes y Be irradia-.al aire,'r:e.sulta pe-quenisima Ill. elevaci6u de temperatura del liquido.

Calculcmos, pol' ejemplo, Ill. trll.ns{ormllci6n ell calor de 1 m: de sUmade :Bernoulli en una corriente coyo gasto sea 1 m.ll/seg., Sill irradiaci6u nipoSrdida8 de calor pol' las paredes,

"EI nuwero de kilogrlimetros que ell Ill. unidad ..de' tiempo_ se lraDsfor,roa, 5eria: 1 000 X 1 = 1 000 Kgms., 0 sea, 8e obtienen: 1 000 : 427. = 2,34 ~a

lori"as que .elev.arian Ill. temperatura de los 1000. Kg.. que' paslln. en un 8e-gundo, en: 2,34 : 1,000 = 0,00234- grad08 centlgrsd08.

Sin conducci6n ni irradiacil')n, Is corriente seguirl"s desde esc .puntoeon 'un flamcnto de 0,002 grados de temperatura que,.como vemos, es inspre-ciable.

A esta transformsei61l de energi"s se Ie 14ima en Hidrii.u.tic.a, ,penlidade carya II perd1da. de ~erl1l1"'llj. deuomlnaeioD ..que eorresponde at heeho deque la eDergia hidrliulica trausformada ell otra' no Yl1eh'e nuevameDte s con-vertirse en !luma d~ Ber'fllllini l', pOl' l~ talltO,'"8e ha perdido para fa eo-

.niente.En las corrient.es naturales lls e",idente'ts p~rdida de carga,. En efec-.

to, imsgi,,!emo~'~n rio de los de miestro"pai8, cu,l's cota piezom6trica in.ieial

sell de 3000 metros, sobre 1'1 nivel del mar, y 14 final, cero, Si suponemos nulala' altnra de velocidad inieial, la .difer~ncia de 3000-0'=aooo m., debiacorresponder, si ae conseryaru III. energia unitaria de la corriellte, a III altur.sde veloeidad final, Y, pOl' 10 tanto, debia escurrir con Ulla \'elocidad final dtU'"=.V2 (J saoo = 242 m/seg., \'elocidad Que 'es mas' de den \'e~ SUperiorII III efeetiva,

Be llama perdi(las de caryu singu/ares 0 locale' II las diailJlleiones deenergia oeasionadas pOl' llgitaciones turbulentas de clll'ileler local, qlfe sonUcilmeute perceptibles, \'crificlldas en cor~lIs longitudes.

Ademlia de estlls perdid8.!l, hay que consideror la llbsorci6n de energiilque se efectu8 enlre 1'1 liquido y la pared y III que'efelltu8n las aeciolles mutuas de las masM liquid8.!l, que acompallan a todo eseurrimiento, denominad8.!l pOl' esto perdida! de carnq (JontilJluus 0 resistent;i(l uenerol., Estll:.dase de

p~rdidaa de carga llamlldas frotamiento. hidr~ulicos, se subd!"jden. en. do.>clases, esbo1.adu al enuneiarlas: frotamie.rlos panetoles, 0 sea, aceiones entre 1'1 liquido ~. la pared, que $On los que IlJ-b energia de la corriente ab$Or.ben; Y frQtamieJltos i"IC"iores (llamlldos frotllmientos con mas propiedad quelos anteriores): acciones' Y reaccione~.de un filete con lo~ que 10 rodean, quese deben a la viscosidad del Hquido, 0 a la turbuleneia, y a IIIlI diferencias de\'eloeidad de' los iiletes.

Lll.'l p~rdidas de cargu singulares que 81' estudisn en Hidrauliea .,P-puedan agrup8J' .en tres tipo~ distilltos-, en!llUlchamient~a bruseos, ells.llllcha.mientos menos bruscos, denominados paulatino~, y cambio>!. de direcci6n deIn eorrientc,

Se demuestra, haciendo ilip6tesis seneillas, que la8 p~rdidas de carg:lsingulares, en una canali:taciop, dsda, son proporcion'ales a la 'segunda poten-cia de l!l \'eloCidad. Se ac08lUmbra, pOT eso, medirlw; en alturas de \'eloei-dJl.d, )- asi se dice (lUI' en tal enrVll, {'n tal eono, se pierdefl /~nlos alturas detlelocld(l(/.

No ll,uiere decir que efecti\'alllente la veJocidad'de Is -cCrriente 'bajee!, 10' que corresponde' a la p~rdida, sino unicament~ que. se eomputa el Ber.noulli perdido tn alturas de tlelocidlld. Eatas perdidas singularis \'IUI acorn

'paiilrdas de torbellinos 0 remolinoa, euyo'eje no ae trsslada' y"eiI 7euya agita-cion se aqaorbe Bernoulli. Esto!\" torbelJinos, que los autores ir.anceses hanlll,mado irnpropiamente liq"ido muel'to, han sido lIamados, como se dijo enuua nota lInterior rodi'llos (""'al~e-o"),. pOl' Rehbock.

Las, perdidas de ~arga con(inuas 0 frotaruientOli las estlfdiaremos enel capitulo siguiente, al tratar de la ecuaci6n general de'lall eorrientes. La's

p~rdi~s sing-ulares serlin estudiadllS con los peeos medi.os que al presente po-see III Hidriiulica, en cada caso especial, en 1a., singularid8d~. Conviene, sinembarg-o, notar, de.~de luego, 10 forlUll que se da a la ecu~ci6n fundamentalde la Hidraulica hiciendo inter\"t'~ir la energia disipada.

Si a la surna de BernoulJi de una seeci6n de la eorriente. se agreg:lla encrgia perdida en 1'1 trayecfo, se, obt~ndra la energia unitaria inicial.Se acostumbra a Ilamar It. a las p~rdidas de carga. ScgUn csto,

1:3)

Si las perdidu SOli l',ingulares ~e llama). III fue/or de.resi3tellciu 0 1111-mero, que multiplicado por III altura de velocidad, da la [lcrdidll de earga,y $.!Ii, I.." phdidaa ainll'ulares, lIe pueden eserib'r:

44)

Las pcrdidas contilluas 0 de- frota,"ientos' por unida:l (Ie longii'ud, sellamun J, y valdran en UII trllyect!! I.

45) f l J. dso .Eu una eorriente hahra, _ en gelleral, perdida~ de ambas ela!!e!I y

ae tendr'

")

'Y, .pOT 10 tanto, ae pueJe escribir:

47)

Esta ecnaei6n, que es de-uso frecuC;lltll,-CS loque ,algullOll autores, comoSpataro, han Ilamado Teoroma de ~er~oulli qeneralizado.

" cCC"c"c'cdC'cH~Mcc'="CIiC=OccGc'~ccmc'----------

'1'~ N" 1

ALTUR"S fiE .VU.OCll'l"D y Al.TURAS CRiTICAl!

OIlSERV"CI6~.-La tabla puede usarse con los puntog 0 comas, notandoque a la puntullci6n de partida corresponden i9S yalorell de tOOas las coJumnllll en un rengl6n horizontal. Alii, por ejemplo, a H=O,02 correspon-de V 2gR=o,626, etc. y para H=2, "slor que se haUll en el millmo lIitio.\/2gH= 6,26.

Guto por uniAltura Velod

H I "\f2!JR I HV'!J H I H'V-rr.-~30,03.4 0,8.16 0,019.63 0,00047.:10,03.6 0,8.40 0,021.4 0,00034.40,03.8 O,tUiJ 0.023.2 0,000ti2.30,04, 0,8.85 0,025.0 0,00070.90,04.2 0,9.07 O,O'L6.9 0,00080.00,04.4 0,9.29 0,028.9 O,OOO8?90,04.6 0,9:50 0,030,9 O,OOrOO.5O,().l..8 0,9.70 0,032.9 0,00111.70,05. 0,9.90 0,035.0 0,00123-.7

O,O5.2~ 1,0.14 0,037.7 0,00139.80,05.5 1,0.38 0,040,4 0,00157.00,OS.75 1,0.62 0,0013.2 0.00175.50,06. 1,0.84 0,046.0 0,00195.20,06.25 1,1.07 0,048.9 0,00216.0,06.5 1,1.29 0,051.9 O.OO23~.0,06.75 ]",1.50 0,054.9 0,00263.0,07. 1,1.71 O,O?8.0 O,002111.0,07.25 1~1.92 0,061.1 0.00313.0,07.5 1,2.12 0,064.3 O,oo~41.0,07.75 1,2.32 0,067.5 0,00370.0,08. 1,2.52 0,070.8 0,00401.0,08.5 1,2.9] 0,077.6 0.00466.0,09, 1,3.28 0,084.5 0.00538.0,09.5 ],3.63 q,091.7 0,00616.0,1'0 1,4.00 0,099.0 0,00700.0,10.5 1,4.35 0,106.5 0,00791.O,fl. 1,4.68 0,IH.2 0,00888.0,11.5 1,5.01 0,122.1 0,Q09~~.0,12. 1,5.54 0,130.1 O,OllOf.0,12.5 1,5.65 0,138.3' 0,01223.0,13. 1,5.96 0,146.7 0,01349.0,14. 1,6.57 O,16-i.0 0,01623.0,15 1,7.15- 0,181.4 0,01929.0,16. 117.71 0,2QP.0 O,022'IO.0,17 1,8.25 0,219. 0,02640.0,18. 1,8.78 0,239. 0,03040.0,19 1,9.30 0,259. 0,03480.0,20. 1,9.80 0,280. 0.03960.0,21 2,0.3 0,301. 0,04470.0,22. 2,0.8 0,323. 0,05030.0,23. 2,1.2 I 0,345. 0,05620.0,24. 2,1.7 0;368. 0,06250.

"H V2QIl nYiiH H'V g~..

,.0,25. 2,2.1 I 0,391. 0,06920.0,26. 2,2.6 0,415. 0,07630.0,27: 2,3.0 0,439. 0,08390.0,28. 2,3.4 0,464. 0,09180.0,29 2,3.8 0,489. 0,10030.0,30. 2,4.2 0,514. 0,10910.

O,~2 2,5.0 0,567. 0,12820.0,34,. 2,5.8 0,621. 0,14920. ,0,36. 2,6.6 . 0,616. 0,11210.0,38. 2,7.3 0,733. 0,19700;0,40. 2,8.0 0,792. 0,22400.0,42. 2,8.7 0,852. 0,25300.0,44. 2,9.4 0,914. O,2MOO.0,46. 3,0.0 0,977. 0,31800.0,'48. 3,0.7 1,041. 0,35300.O,SO. 3,1.3 1,107. 0,39100.0,52.5 3,2.1 1,191. 0,44200.0,55. 3,2.8 1,277. 0,49700.O,5~~. 3,3.6 1,365. 0,55500.0,60; 3,4.3 1,455." 0,61700.0,62.5 3,5.0 1,547: 0,68400.0,65. 3,5.7 1,640. 0,75400.0,67.5 3,6.4 1,736. 0,82900.0,70. 3,7.0 1,83~t 0,90700.0,12.5 3.,7.7 1,933. . 0,99100.0;75. 3,8.3 2,030. 1,07800.0,77.5 3,9.0 2,lolO. 1,17000.o,Bb, 3,9.6 2,240. 1~67~.0,85. 4,0.8 2,450. 1,47400.0,00. 4,2.0 2,670. 1,70100.

O.~5. , 4,3.2 2,900. 1,94700.,1,00. 4,,1.3 3,130. 2,21000.

.

TABLA. No 2

EL BEaNOULLl Y U. ALTUIU. RL.,I.Tn-Oti A L'" PI'Of"U:"DW.lD CRiTICA~,LECUOS RacTA.NGULI.RIS

,

. ~ D I D-I;; . . A T, T, T, T-

0,15 22,3722 0,51' 2,~323 0,87 1,03060,16 19,6912 0,52 2,3691 0,88 1,52570,17 17,4710 0,53 2,3099 0,89 1;52120,18 15,6120 0,54 '2,2547 0,90 1,51730,19 13,9263 0,55 2,2029 0,91 1,51380,20 12,7000 0,66 2,1544 0,92- 1,510'70,21 11,5479 0,57 2,1089 0,93 1,50810,22 10,5506 0,58 2,0663 0,94 1,~90,23 9,6818 0,59 2,0264 0,95 ,1,5040

0,~4 8,9206 0,60 1,9889 0,96 l,5Q250,25 8,2500 0,61 1',9533 0,97 1,50140,26 7,6564 0,62 1,9207 0,98 1,5QOO0,27 7,1287 0,63 1,8897 0,99 1,50020,28 6,6576 0,64 . 1,8607 1,00 I,SOOo0,29 6,2353 0;65 1,8334 l,oi 1,5Ql?10,30 5,8556 0,66 1,8078 1,02 1,50069',31 5,5129 0,67 1,7913 1,03 1,50i30,22 5,2028 0,68 lt7613 1,04 1,50230,33 4,9213 0,69 1,74Q2 1,OS 1,50350,34

C..rlO de Hidr4..1..,,, Geller"l

h-.JL h I

0' I h _0_--.;- h. --.;- ~ --.;- h.,

1,23 1,5605 1,65 1,8336 2,07 2,18671,24 1,5652 1,66 . 1,8414 2,08 2,19561,25 1,5700 ~,67 1,80193 2,09 2,20451,26 1,5749 1,68 1,8571 2,10 2,21341,2-7 1,5800 1,69 1,8651 2,11 2,22231,2 . 1,5852 1;1Q 1,8730 2,12 2,23121;29 1,5905 1,71 1,8810 2,13. 2,2402

1~30 1,5958 1,72 1,8890 2,14 2,24921,31 1,6913 1,73 , 1,8971 2,15 2,25821,32 1,6069 1,74 1,9051 2,16 2,26121,33 1,6127 1,75 . 1,9133 2,17 2,2762,1,34 1,6184 1,76 1,9214 2,18 2,2852

,1;35 1,6243 1,77 1,929.6 2,19 2,29431,36, 1,6303 1,78 1,9378 2,20 . 2,30331,37 1,6364 . 1,79. 1,9460 2,21 2,3124

, 1,38 ; 1,64.26 1,80 1,9543 2,22 2,3214, 1;39 1.6488 1,81 1,9626 2,23 2,3305

1.40. 1,6551 1,82 1,9709 2,24_ 2,3396, 1,41 1,66)5 1,83 1,9793 2,25 2,3488

1,42 1,6680 1,84 1,9877 2,26 2,35'791,43' 1,61~5 1,85 1,9961' 2,27 2,36101,44.. 1,6811 1,86 2,0045 2,?8 2,3762 .

I 1,45' ],8878 1;87. 2,0130 2,29 2,3853'1,46 1,6946 1,88 2,0215 2,30 2,39521,41 1,7014 1,89 2,0300 2,31

,2,4070

1,48 1,7083 1;90 2,0385 , 2,32 2,41891,49 ],7}52 1,91 2,0470 2,33 2,42101,50 1,7222 1,92 2,0556 2,34 2,4331'1,51 1,7293 1,93 2,0642 2,35 2,44541,52 - 1,7364 1,94 2,0728 2,36 2,44771,53 1,7436 1,95 2,0815 2,37 2,45021,54 1,7508 1,96 2,0901 2,38 2,46831,55 1,7581 1,97 2,0988 2,39 2,41531,56 1,7654 1,98 2,10.75 2,40 2,48801,57 ],7128 1,99 2,1162 2,41 2,49091,58 1,1803 2,00 , 2,1250 2,42 2,50381,59 1,7878 2,01 2,1337 2,43 2,51681,60 1,7953 . 2,02 2,1425 2,44 2,52401,81 1,8029 2,03 2,1513 2,45 2,53301,62 1,8105 2,04 2,1601 2,46 2,5426l,63 1,8182 2,05 2,1890 2,41 2,55201,64 1,8259 2,06 2,1778 2,48 2,5620

I -'- I -'- -'--..- -..- --" " " "2,-49 2,5706 2.72 2,7816 2,95. 3,00752,50 2,_ 2,73 2,7971 2,96 3,01712,51 2,5926 2,7-1 2._ 2,97 3,0'2672,52 2,5988 2,75 2,8161 2~8 3,03302,53 2,6081 2,76 2,8256 2,88 3,0i592,54 2,6175 ?,71 2,8352 3,00 8,""2,55 2,6269 2,78 2,86 3,10 3,15372,50 2,6329 2,79 2,85-12 3,20 3,24882[>7 2,~57 2,SO 2,_ 3,30 3,34592,50 ,2,6551 2,81

.

2,8733 3,

'"TABLA No S

'ACll!:::,l"('TOS CIRCUL&JU:S ELMEti'l'(lS PARA EL d.LCULO DE ALTUR.l.S CRi'TIC\lI.

h I 0 I I I 0-"

-

", ,

.0,00, 0,000 0,000 0,0000,05' 0,0209 0,624 0,0:3350,10 0,0578 0,872 0,06630,15 -0,1070 1,052 0,10390,20 0,1635 1,200 0,1360,2::; 0,2267" 1,320 0,1720,30 0,2955 1,428 0,201

O,~5 0,370 1,51S 0,244.0,40 ..0;447 1,600. 0,27950,45 ~,529 1,668 0,3170,50 0,6)4- 1,732 0,354055 0,702 1,785 0,393, ,0,60" 0,794 1,838. O,43?0,65 0,"" 1,873 . 0,41;2.0,70 0,980 }',908 , 0,51350,75 1,075 1,S36 ,0,5a6 .,,t=,~o,so 1,113 1,960 0,59.9 "0,85

. 1,272 i,97S' O,64lJ-. '=Y'

0,9