fonaments de matem`atiques 2 · 2021. 7. 15. · tema 1. transformada de laplace 1.1 la...
TRANSCRIPT
Fonaments de Matematiques 2
Escola Politecnica Superior de Castelldefels
Lali Barriere, [email protected]
Tema 1. Transformada de Laplace
Tema 2. Analisi de Fourier
Tema 1. Transformada de Laplace
1.1 La transformacio de Laplace
1.2 Primeres propietats i aplicacio a equacions
diferencials
1.3 Altres propietats
1.4 Inversio per descomposicio en fraccions sim-
ples
1.5 Altres aplicacions
1.6 Funcio de Heaviside
1.7 “Funcio” δ de Dirac
1.8 Producte de convolucio
1
Tema 1. Transformada de Laplace
1.1 La transformacio de Laplace
f : [0,+∞)→ R
La transformada de Laplace de f es
L{f(t)} =
∫ +∞
0e−st·f(t) dt = lim
A→+∞
∫ A
0e−st·f(t) dt
Notacio
f(t)←→ F(s)⇔ F(s) = L{f(t)}
2
Funcio d’ordre exponencial
f es d’ordre exponencial γ si existeix M tal que
|f(t)| ≤M · eγt per a tot t ≥ 0
Es compleix: s ≥ γ ⇒ limt→+∞
e−st · f(t) = 0
Teorema d’existencia
f contınua a trossos i d’ordre exponencial γ ⇒
existeix F(s) = L{f(t)} per a tot s > γ.
Funcio admissible
f es admissible si es contınua a trossos i d’ordre
exponencial γ, per algun γ
Teorema d’unicitat
f i g son admissibles i F(s) = G(s) per a tot
s ≥ s0 ⇒ f(t) = g(t) (menys potser en els
punts de discontinuıtat)
3
Tema 1. Transformada de Laplace
1.2 Primeres propietats i aplicacio a equacions
diferencials
P1. Linealitat
L{a · f(t) + b · g(t)} = a · L {f(t)}+ b · L {g(t)}
P2. Derivacio
L{
f ′(t)}
= s · L {f(t)} − f(0)
L{
f ′′(t)}
= s2 · L {f(t)} − s · f(0)− f ′(0)
L{
f(n)(t)}
= sn·L {f}−sn−1·f(0)−sn−2·f ′(0)−
· · · − s · f(n−2)(0)− f(n−1)(0)
4
Tema 1. Transformada de Laplace
1.3 Altres propietats
P3. Integracio
L
{∫ t
0f(u)du
}
=F(s)
s
P4. Multiplicacio per t
L{t · f(t)} = −F ′(s)
P5. Divisio per t
L
{
f(t)
t
}
=∫ ∞
sF(u)du
P6. Multiplicacio per eαt
L{
eαt · f(t)}
= F(s− α)
5
P7. Translacio
L{f(t− a) · u(t− a)} = e−as · L {f(t)}
L {f(t) · u(t− a)} = e−as · L {f(t + a)}
P8. Canvi d’escala
L{f(at)} =1
aF
(
s
a
)
P9. Funcio periodica, f(t), amb periode T
L{f(t)} =
∫ T
0e−st · f(t)dt
1− e−sT
P10. Valors inicial i final
lims→+∞
F(s) = 0
f(0+) = limt→0+
f(t) = lims→∞
sF(s)
limt→+∞
f(t) = lims→0
sF(s)
6
Taula de transformades
f(t) F (s)
11
s
t1
s2
tn n!
sn+1
eαt 1
s− α
t · eαt 1
(s− α)2
tn · eαt n!
(s− α)n+1
sin βtβ
s2 + β2
cosβts
s2 + β2
eαt · sin(βt)β
(s− α)2 + β2
eαt · cos(βt)s− α
(s− α)2 + β2
7
Tema 1. Transformada de Laplace
1.4 Inversio per descomposicio en fraccions
simples
Notacio
f(t) = L−1 {F(s)} indica f(t)←→ F(s)
S’utilitza quan es te F(s) i es vol trobar f(t)
Taula d’antitransformades
F (s) L−1 {F (s)}
1
sk
1
(k − 1)!· tk−1
1
(s− α)k
1
(k − 1)!· tk−1 · eαt
β
(s− α)2 + β2eαt · sin(βt)
s− α
(s− α)2 + β2eαt · cos(βt)
F(s) =P(s)
Q(s)funcio racional ⇒ L−1 {F(s)} es
calcula descomposant en fraccions simples i
utilitzant la taula
8
Tema 1. Transformada de Laplace
1.5 Altres aplicacions
Equacions diferencials lineals
Sistemes d’equacions diferencials
Equacions integro-diferencials
9
Tema 1. Transformada de Laplace
1.6 Funcio de Heaviside
Definicio
ua(t) = u(t− a) =
{
0 si t < a1 si a ≤ t
Funcions definides a trossos (1)
u(t− b)− u(t− a) =
{
0 si t < a1 si a ≤ t ≤ b
1− u(t− a) =
{
1 si t < a0 si a ≤ t
10
Funcions definides a trossos (2)
f(t) =
{
y1 si t < ay2 si a ≤ t
f(t) = y1 · (1− u(t− a)) + y2 · u(t− a) =
= y1 + (y2 − y1) · u(t− a)
f(t) =
y1 si t < ay2 si a ≤ t < by3 si b ≤ t
f(t) = y1 · (1− u(t− a)) +
+ y2 · (u(t− a)− u(t− b)) + y3 · u(t− b) =
= y1 + (y2 − y1) · u(t− a) + (y3 − y2)u(t− b)
11
Transformada de Laplace
L{f(t− a) · u(t− a)} = e−as · L {f(t)}
L {f(t) · u(t− a)} = e−as · L {f(t + a)}
Antitransformada de Laplace
L−1{
e−as · F(s)}
= f(t− a) · u(t− a)
on f(t) = L−1 {F(s)}
12
Tema 1. Transformada de Laplace
1.7 “Funcio” δ de Dirac
∫ β
αδ(t) dt =
{
1 si 0 ∈ [α, β)0 si 0 6∈ [α, β)
∫ β
αδ(t− a) dt =
{
1 si a ∈ [α, β)0 si a 6∈ [α, β)
• δ(t− a) representa un impuls a l’instant a
• δ no es una funcio “normal”
•∫ β
αg(t)δ(t− a) dt =
{
g(a) si a ∈ [α, β)0 si a 6∈ [α, β)
si g es contınua en [α, β]
• Transformada de Laplace
L{δ(t− a)} = e−as
L{δ(t)} = 1
13
Tema 1. Transformada de Laplace
1.8 Producte de convolucio
(f ∗ g)(t) =∫ t
0f(v) · g(t− v)dv
Propietats
• f ∗ g = g ∗ f
• f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
• f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
• f ∗ δ = f
• Teorema de convolucio
L{f ∗ g} = L{f} · L {g}
14
Propietats de la transformada de Laplace
P1. LinealitatL{a · f(t) + b · g(t)}= a · L {f(t)}+ b · L {g(t)}P2. DerivacioL{f ′(t)} = s · L {f(t)} − f(0)L{f ′′(t)} = s2 · L {f(t)} − s · f(0)− f ′(0)
L{
f (n)}
= sn · L {f} − sn−1 · f(0)− · · · − f (n−1)(0)
P3. Integracio L{
∫ t
0f(u)du
}
=F (s)
sP4. Multiplicacio per t L{t · f(t)} = −F ′(s)
P5. Divisio per t L
{
f(t)
t
}
=∫∞
sF (u)du
P6. Multiplicacio per eαt
L{eαt · f(t)} = F (s− α)P7. TranslacioL{f(t− a) · u(t− a)}= e−as · L {f(t)}
P8. Canvi d’escala L{f(at)}= 1aF (s
a)
P9. Funcio periodica L{f(t)} =
∫ T
0e−st · f(t)dt
1− e−sT
P10. Valors inicial i finallims→+∞ F (s) = 0f(0+) = limt→0+ f(t) = lims→∞ sF (s)limt→+∞ f(t) = lims→0 sF (s)P11. ConvolucioL{f ∗ g}= L{f} · L {g}P12. δ de Dirac L{δ(t− a)} = e−as
15
Funcio de transferencia
a · y′′+ b · y′+ c · y = f(t)
amb y(0) = y′(0) = 0
Y (s) = 1a·s2+b·s+c
· F(s)
Funcio de transferencia
H(s) =1
a · s2 + b · s + c
Resposta impulsional del sistema
h(t) = L−1 {H(s)}
Solucio de l’equacio
y(t) = h(t) ∗ f(t)
16
Tema 2. Analisi de Fourier
2.1 Successions i series numeriques
Successions. Series. Criteris de convergencia. Series
usuals. Series alternades.
2.2 Series de Fourier
(a) Series trigonometriques. Coeficients de Fourier.
Teorema de Dirichlet
(b) Funcions parelles i senars. Serie sinus i cosinus
(c) Fenomen de Gibbs. Relacio de Parseval
(d) Serie de Fourier complexa. Forma modul-fase.
Espectre
2.3 Transformada de Fourier
(a) Definicio i exemples. Propietats
(b) Convolucio
(c) Transformada de funcions generalitzades
(d) Transformada d’una funcio periodica
(e) Introduccio a la transformada discreta de Fourier
17
Tema 2. Analisi de Fourier
2.1 Successions i series numeriques
Successio de nombres reals
Successio: {an}n∈N = a0, a1, a2, . . . , an, . . .
Terme n-essim: an.
Terme general: funcio a : N→ R, a(n) = an.
Lımit d’una successio
{an}n∈N te lımit a si a mesura que n es fa gran
an s’acosta tant com vulguem a a
Formalment
∀ǫ > 0∃n0 ∀n, n ≥ n0 ⇒ |an − a| < ǫ
Escrivim limn
an = a o be {an} → a.
Diem que {an}n∈N es convergent cap a a
Successio fitada
{an}n∈N fitada superiorment si ∃M ∀n, an ≤M
{an}n∈N fitada inferiorment si ∃m∀n, an ≥ m
{an}n∈N fitada si esta fitada superiorment i in-
feriorment
18
Successio monotona
{an}n∈N creixent si ∀n, an ≤ an+1
{an}n∈N decreixent si ∀n, an ≥ an+1
{an}n∈N monotona si es creixent o decreixent
Teorema
{an}n∈N monotona i fitada ⇒ convergent
Successio divergent
{an}n∈N es divergent si no te lımit real, es a
dir, no te lımit o el lımit es ±∞.
Observacio Els lımits de successions tenen les
mateixes propietats que els lımits de funcions.
19
Serie numerica
Suma infinita de nombres a1 + a2 + a3 . . .
S’escriu∞∑
n=1
an o be∑
n≥1
an
Suma parcial n-essima: Sn =n∑
i=1
ai
Successio de sumes parcials: {Sn}n∈N
Serie convergent∑
n≥1
an = S ⇔ limn
Sn = S
La serie es convergent si S existeix i es finit.
La serie es divergent si S no existeix o es ±∞.
Observacio Es defineix de manera semblant
una serie comencant a partir de a0, sempre
que el terme a0 es pugi calcular.
20
Condicio necessaria de convergencia
Si∑
n≥1
an es convergent ⇒ limn
an = 0
Propietats
1.∑
n≥1
an = A,∑
n≥1
bn = B, c ∈ R⇒
⇒
∑
n≥1
c · an = c ·A
∑
n≥1
an + bn = A + B
2.∑
n≥1
an es convergent ⇔ eliminant
un nombre finit de termes a∑
n≥1
an obtenim
una serie convergent
21
Series usuals
• Serie geometrica de rao r
an = c · rn ⇒∑
n≥0
an =∑
n≥0
c · rn
Sn =n∑
i=0
c · ri = c · (1 + r + r2 + · · ·+ rn) =
=c− c · rn+1
1− rConvergent ⇔ 0 ≤ |r| < 1
• p-serie, amb p > 0
an =1
np⇒
∑
n≥1
an =∑
n≥1
1
np
Si p > 1 es convergent. Si 0 < p ≤ 1.
Si p = 1 es diu serie harmonica:∑
n≥1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+ · · ·+
1
n+ . . .
22
Series de termes positius: an ≥ 0
Criteris de convergencia
•∑
n≥0
an divergent ⇒ limn
Sn = +∞
• Criteri de comparacio 0 ≤ an ≤ bn⇒
⇒
∑
n≥1
bn convergent ⇒∑
n≥1
an convergent
∑
n≥1
an divergent ⇒∑
n≥1
bn divergent
• Criteri del lımit limn
an
bn= k, 0 < k < +∞⇒
∑
n≥1
bn convergent ⇔∑
n≥1
an convergent
• Criteri del quocient ℓ = limn
an+1
an⇒
⇒
ℓ < 1⇒ la serie convergeixℓ > 1⇒ la serie divergeixℓ = 1⇒ el criteri no decideix
23
Series alternades
∑
n≥1
(−1)n · an, amb an ≥ 0
∑
n≥1
(−1)n−1 · an, amb an ≥ 0
• Criteri de Leibniz
{an}n successio decreixent an ≥ 0, limn
an = 0
⇒∑
n≥1
(−1)nan es convergent
24
Convergencia absoluta i condicional
∑
n≥1
an absolutament convergent si∑
n≥1
|an|
convergent
Absolutament convergent ⇒ convergent
Convergent 6⇒ absolutament convergent
∑
n≥1
an condicionalment convergent si es con-
vergent pero no es absolutament convergent
• Una serie absolutament convergent es pot
reordenar sense que afecti la convergencia.
• En una serie absolutament convergent es
poden agrupar termes sense que afecti la
convergencia.
25
Tema 2. Analisi de Fourier
2.2 Series de Fourier
(a) Series trigonometriques. Coeficients de Fourier.
Teorema de Dirichlet
Serie trigonometrica
a0
2+
∑
n≥1
(an cosnt + bn sinnt) =
a0
2+ a1 cos t + b1 sin t + a2 cos 2t + b2 sin 2t + . . .
f : R→ R funcio 2π-periodica
Serie de Fourier de f: serie trigonometrica
de coeficients
an =1
π
∫ +π
−πf(t) cosnt dt
(
⇒ a0 =1
π
∫ +π
−πf(t) dt
)
bn =1
π
∫ +π
−πf(t) sinnt dt
f(t) ∼a0
2+
∑
n≥1
an cosnt +∑
n≥1
bn sinnt
26
Propietats
∫ +π
−πsinmt dt =
∫ +π
−πcosmt dt = 0, si m > 0
∫ +π
−πsinnt cosmt dt = 0, si n, m > 0
∫ +π
−πsinnt sinmt dt = 0, si n 6= m
∫ +π
−πsin2 mt dt = π
∫ +π
−πcosnt cosmt dt = 0, si n 6= m
∫ +π
−πcos2 mt dt = π
27
Serie de Fourier de funcions T -periodiques
f : R → R es periodica amb periode T , els
coeficients de Fourier son
an =2
T
∫ T
0f(t) cos
2πnt
Tdt, n ≥ 0
bn =2
T
∫ T
0f(t) sin
2πnt
Tdt, n ≥ 1
f(t) ∼a0
2+
∑
n≥1
an cos2πnt
T+
∑
n≥1
bn sin2πnt
T
Frequencia fonamental: ω0 =2π
T
Frequencia de l’harmonic n-essim:2πnt
T= nω0t
Observacio Podem calcular els coeficients in-
tegrant entre −T/2 i T/2.
Observacio f : [0, T ] → R, podem considerar
la seva extensio T -periodica.
28
Problema
Convergeix la serie de Fourier d’una funcio periodica?
A quina funcio convergeix?
Podem dir que la serie convergeix a la funcio?
29
Teorema de Dirichlet
f : R → R T -periodica, f i f ′ contınues a
trossos, amb un nombre finit de discontinuıtats
de salt en [0, T ], aleshores
1. f(t) =a0
2+
∑
n≥1
an cos2πnt
T+
∑
n≥1
bn sin2πnt
T
si f es contınua en t
2.f+(t) + f−(t)
2=
=a0
2+
∑
n≥1
an cos2πnt
T+
∑
n≥1
bn sin2πnt
T
si t es un punt de discontinuıtat de f
30
Tema 2. Analisi de Fourier
2.2 Series de Fourier
(b) Funcions parelles i senars. Serie sinus i cosinus
Funcio parella f(t) = f(−t)
Funcio senar f(t) = −f(−t)
∀f(t) es suma d’una funcio parella i una senar:
f(t) =f(t) + f(−t)
2+
f(t)− f(−t)
2
Observacio
cos2πnt
Tes parella
sin2πnt
Tes senar
Serie de Fourier: descomposicio en suma de
funcions parelles i funcions senars.
31
Funcio parella
f(t) parella⇒
bn =2
T
∫ T
0f(t) sin
2πnt
Tdt = 0
an =4
T
∫ T/2
0f(t) cos
2πnt
Tdt
f(t) ∼a0
2+
∑
n≥1
an cos2πnt
T
Funcio senar
f(t) senar ⇒
an =2
T
∫ T
0f(t) cos
2πnt
Tdt = 0
bn =4
T
∫ T/2
0f(t) sin
2πnt
Tdt
f(t) ∼∑
n≥1
bn sin2πnt
T
32
f(t) definida en [0, T/2]
Serie cosinus de Fourier de f
Serie de l’extensio parella i T -periodica de f
f(t) ∼a0
2+
∑
n≥1
an cos2πnt
T
Serie sinus de Fourier de f
Serie de l’extensio senar i T -periodica de f
f(t) ∼∑
n≥1
bn sin2πnt
T
33
Tema 2. Analisi de Fourier
2.2 Series de Fourier
(c) Fenomen de Gibbs. Relacio de Parseval
Fenomen de Gibbs
Convergencia de la serie de Fourier en punts
de discontinuıtat de salt de f .
• El valor de la funcio i el valor de la suma
n-essima difereixen en una quantitat aprox-
imadament igual al 9% del salt.
• Quan n es gran, la diferencia segueix essent-
hi, pero es situa mes aprop del salt. Per
tant, no afecta la convergencia de la serie.
• Aquesta diferencia no disminueix a mesura
que n creix.
34
Convergencia en mitjana
Aproximem f(t) per una serie trigonometrica.
Propietat
La serie trigonometrica que dona lloc a un error
quadratic mitja mes petit es la serie de Fourier.
Desigualtat de Bessel
a20
4+
1
2
n∑
k=1
(a2k + b2k) ≤
1
T
∫ T/2
−T/2[f(t)]2 dt
Relacio de Parseval
1
T
∫ T/2
−T/2[f(t)]2 dt =
a20
4+
1
2
∑
n≥1
(a2n + b2n)
Observacio1
T
∫ T/2
−T/2[f(t)]2 dt s’interpreta com la potencia
total del senyala20
4+
1
2
n∑
k=1
(a2k + b2k) es la potencia acumulada
pels n primers harmonics
35
Tema 2. Analisi de Fourier
2.2 Series de Fourier
(d) Serie de Fourier complexa. Forma modul-fase. Es-
pectre
ω0 =2π
T
a0
2+∑
n≥1
an cosnω0t+∑
n≥1
bn sinnω0t =+∞∑
n=−∞
cnejnω0t
Coeficients de la serie de Fourier complexa
c0 =a0
2
cn =an − jbn
2, c−n =
an + jbn
2, n = ±1,±2, . . .
Calcul directe: cn =1
T
∫ T
0f(t)e−jnω0t dt
La integral es pot calcular entre −T/2 i T/2
36
Observacions
• Per funcions f : R → C, nomes obtindrem
la serie complexa.
• f senar ⇔ c−n = −cn
f parella ⇔ c−n = cn
• f es real ⇔ c−n = cn
a0 = 2c0, an = 2Re(cn), bn = −2Im(cn)
• Formula de Parseval
1
T
∫ T/2
−T/2|f(t)|2 dt =
+∞∑
n=−∞
|cn|2
37
Forma modul-fase de les series de Fourier
a0
2+
∑
n≥1
an cosnω0t +∑
n≥1
bn sinnω0t =
= A0 +∑
n≥1
An cos(nω0t + θn)
A0 =a0
2= c0
Modul o amplitud An =√
a2n + b2n = |cn|
Fase θn = − arctanbn
an= arg cn
Observacio
cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β
⇒ A·cos(ωt+θ) = (A cos θ) cosωt+(A sin θ) sinωt
38
Espectre de frequencies
t temps, f(t) senyal temporal
T periode, ω0 =2π
Tfrequencia fonamental
nω0 frequencia dels harmonics n-essims
cosnω0t, sinnω0t
ejnω0t
harmonics n-essims
Representacio grafica de les amplituds i les
fases de cadascun dels harmonics.
Espectre d’amplitud
Representacio frequencia-amplitud.
Espectre de fase
Representacio frequencia-fase.
39
Espectre bilateral Amb la serie complexa.
f real ⇒ espectre d’amplitud parell, espectre
de fase senar
u d t
u d t
punts mu
modul fase
punts mu
Espectre unilateral Amb l’expressio modul-
fase.
u d t
modul
u d t
fase
Separacio entre lınies espectrals: ω0 =2π
T
40
Tema 2. Analisi de Fourier
2.3 Transformada de Fourier
(a) Definicio i exemples. Propietats
Serie de Fourier complexa
Notacio: ω0 =2π
T, ωn = nω0 =
2πn
T
f(t) =+∞∑
n=−∞
cnejωnt
cn =1
T
∫ T/2
−T/2f(t)e−jωnt dt
Senyal no periodic ↔ Senyal de periode ∞
41
T →∞
Notacio: ∆ω = ω0 =2π
T⇒
1
T=
∆ω
2π
T →∞⇒∆ω → 0, |cn| → 0
Definim F(ωn) = T · cn =
∫ T/2
−T/2f(t)e−jωnt dt
• Transformada de Fourier
F(ω) = limT→∞
F(ωn) =∫ +∞
−∞f(t)e−jωt dt
• Antitransformada de Fourier
Substituım a la serie de Fourier
f(t) =+∞∑
n=−∞
cnejωnt =1
2π
+∞∑
n=−∞
F(ωn)ejωnt∆ω
Passem al lımit T →∞
f(t) =1
2π
∫ +∞
−∞F(ω)ejωt dω
42
Teorema
Si f es C1 a trossos i
∫ +∞
−∞|f(t)| dt <∞, aleshores
f(t) te transformada de Fourier
F(ω) =
∫ +∞
−∞f(t)e−jωt dt
i es verifica
f(t) =1
2π
∫ +∞
−∞F(ω)ejωt dω
a tots els punts on f es contınua.
Als punts td de discontinuıtat de salt es te
1
2π
∫ +∞
−∞F(ω)ejωt dω =
f+(td) + f−(td)
2
43
Notacio
f(t)←→ F(ω)
Observacions
f(t) pot ser real o complexa:
f : R→ R o be f : R→ C
t→ f(t) t→ p(t) + jq(t)
F(ω) es complexa
F : R→ C
ω → R(ω) + jI(ω)
Utilitzant f =ω
2πs’obtenen les formules
s(t) =∫ +∞
−∞S(f)ej2πft df
S(f) =
∫ +∞
−∞s(t)e−j2πft dt
44
Propietats de la transformada de Fourier
P1. Linealitat
af(t) + bg(t)←→ aF(ω) + bG(ω)
P2. Derivacio
en temps: f(k)(t)←→ (jω)kF(ω)
en frequencia: (−jt)kf(t)←→ F (k)(ω)
P3. Translacio
temporal: f(t− t0)←→ e−jt0ωF(ω)
frequencial: ejω0tf(t)←→ F(ω − ω0)
P4. Canvi d’escala
f(at)←→1
|a|F(
ω
a), per a tot a 6= 0 real.
P5. Modulacio
f(t) cosω0t←→ 12[F(ω − ω0) + F(ω + ω0)]
P6. Dualitat
F(t)←→ 2πf(−ω)
P7. Conjugacio
f(t)←→ F(−ω)
45
Identitat de Parseval
f(t)←→ F(ω)
∫ +∞
−∞|f(t)|2 dt =
1
2π
∫ +∞
−∞|F(ω)|2 dω
46
Transformada de funcions reals
f(t)←→ F(ω) = R(ω) + jI(ω)
• f(t) real ⇒ R(ω) parella i I(ω) senar
• f(t) = fp(t)+fs(t) amb fp parella i fs senar
⇒ fp(t)←→ R(ω) i fs(t)←→ jI(ω)
• f(t) real parella ⇒ F(ω) real parella
f(t) real senar ⇒ F(ω) = jI(ω), amb I(ω)
senar
47
• Transformada cosinus
Fc(ω) =∫ +∞
−∞f(t) cosωt dt
• Transformada sinus
Fs(ω) =
∫ +∞
−∞f(t) sinωt dt
• f(t) real parella ⇒ F(ω) = 2Fc(ω)
f(t) real senar ⇒ F(ω) = −2jFs(ω)
• f(t) = fp(t) + fs(t)⇒
F(ω) = 2
∫ +∞
−∞fp(t) cosωt dt−
− 2j
∫ +∞
−∞fs(t) sinωt dt
48
Antitransformada de funcions racionals
Re(a) < 0⇒ eatu(t)←→1
jω − a
Re(a) > 0⇒ −eatu(−t)←→1
jω − a
Re(a) < 0⇒tk−1
(k − 1)!eatu(t)←→
1
(jω − a)k
Re(a) > 0⇒ −tk−1
(k − 1)!eatu(−t)←→
1
(jω − a)k
49
Tema 2. Analisi de Fourier
2.3 Transformada de Fourier
(b) Convolucio
(f ∗ g)(t) =
∫ +∞
−∞f(u) · g(t− u)du
Teorema de convolucio
f(t)←→ F(ω), g(t)←→ G(ω)⇒
• Convolucio en temps:
(f ∗ g)(t)←→ F(ω) ·G(ω)
• Convolucio en frequencia:
f(t) · g(t)←→1
2πF(ω) ∗G(ω)
Propietats Les que vam veure quan estudiavem la trans-formada de Laplace.
50
Tema 2. Analisi de Fourier
2.3 Transformada de Fourier
(c) Transformada de funcions generalitzades
“Funcio” δ de Dirac∫ β
αδ(t) dt =
{
1 si 0 ∈ [α, β)0 si 0 6∈ [α, β)
∫ β
αf(t)δ(t− a) dt =
{
f(a) si a ∈ [α, β)0 si a 6∈ [α, β)
Transformada de Fourier
δ(t)←→∫ +∞
−∞δ(t)e−jωt dt = e−jω0 = 1
δ(t− a)←→ e−jωa
Observacio
Permet calcular transformades de funcions que
no es poden calcular directament, ja que donen
lloc a una integral que no existeix.
51
• δ(t)←→ 1
1←→ 2πδ(ω)
• δ(t− a)←→ e−jωa
ejω0t←→ 2πδ(ω − ω0)
• cosω0t←→ π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]
sinω0t←→ jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]
Observacio
No existeixen les integrals
∫ +∞
−∞1 dt
∫ +∞
−∞e−jωt dt
∫ +∞
−∞|ejω0t| dt
∫ +∞
−∞ej(ω0−ω)t dt
∫ +∞
−∞| cosω0t| dt
∫ +∞
−∞e−jωt cosω0t dt
∫ +∞
−∞| sinω0t| dt
∫ +∞
−∞e−jωt sinω0t dt
52
Funcio esglao
Utilitzarem la funcio signe
sign(x) =
{
1 si x ≥ 0−1 si x < 0
•1
t←→ −jω · sign(ω)
sign(t)←→2
jω
• u(t) =1
2(1 + sign(t))
u(t)←→ πδ(ω) +1
jω
u(t− a)←→ πδ(ω) +1
jωe−jaω
• f(t)←→ F(ω)⇒
⇒ f(t) ∗ u(t)←→ πF(0)δ(ω) +F(ω)
jω
53
Tema 2. Analisi de Fourier
2.3 Transformada de Fourier
(d) Transformada d’una funcio periodica
Tren de deltes
δT (t) =+∞∑
k=−∞
δ(t− kT)
Transformada
δT (t)←→ ω0 · δω0(ω), amb ω0 =2π
T
Convolucio amb un tren de deltes
f0(t) definida en [0, T ] (funcio enfinestrada)
f0(t) ∗ δT (t) =+∞∑
k=−∞
f0(t) ∗ δ(t− kT) =
=+∞∑
k=−∞
f0(t− kT)
Observacio f0(t) ∗ δT(t) es l’extensio periodica amb pe-riode T de f0
54
Transformada d’una funcio periodica
Expressem una funcio periodica com la con-
volucio amb un tren de deltes d’una funcio en-
finestrada.
f(t)=+∞∑
k=−∞
f0(t− kT)
on f0 = f(t) · (u(t)− u(t− T))
Per tant, f(t) = f0(t) ∗ δT (t)
Pel teorema de convolucio
f(t)↔ F0(ω)·ω0·δω0(ω) = ω0
+∞∑
k=−∞
F0(nω0)δ(ω − ω0)
Si cn son els coeficients de Fourier de la funcio
f(t), es comprova que F0(nω0) = Tcn. Per
tant, tindrem
f(t)←→ 2π+∞∑
k=−∞
cnδ(ω − ω0)
55
Tema 2. Analisi de Fourier
2.3 Transformada de Fourier
(e) Introduccio a la transformada discreta de Fourier
Temps discret
Mostregem una funcio f(t): a cada instant n
obtenim un valor f [n]
f(t)=+∞∑
n=−∞
f [n] · δ(t− n)
La funcio obtinguda es una funcio discreta.
Podem calcular la seva transformada de Fourier,
que sera una funcio periodica, de periode 2π
f(t)←→ F(ω) =+∞∑
n=−∞
f [n]e−jnω
La transformada inversa s’obte fent
f [n] =1
2π
∫ π
−πF(ω)ejωn dω
56
Transformada discreta de Fourier
Es pot veure com una aproximacio de la trans-
formada de Fourier a temps discret.
Definicio
f [n], n = 0, . . . N − 1 mostreig finit de f(t).
Notacio wN = ej2πN
f [n] =1
N
N−1∑
k=0
F [k] · wknN
Els coeficients F [k] es poden calcular
F [k] =N−1∑
n=0
f [n] · w−knN
f [n] ←→DFT
F [k]
57