fonksiyon dizileri ve serileri ÇÖzÜlmÜs Örneklererİ ve se rİ l erİ ÇÖ zÜ lm ÜŞ Örn k...

ANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ I

FONKSİYON DİZİLERİ ve SERİLERİ

ÇÖZÜLMÜŞ ÖRNEKLER




ÇÖZÜLMÜŞ ÖRNEKLERFONKSİYON DİZİLERİ ve SERİLERİ
































































Mahmut KOÇAK

c© 2008 [email protected] http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008 Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008

mailto:[email protected]

http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/

2/38

1

2

-1

-2

-3

1 2-1-2-3 x

y

f n (x ) = x +11

f n (x ) = x +12.0

f n (x ) = x +13.0

f n (x ) = x +14.0

f n (x ) = x +15.0

f n (x ) = x +16.0

f n (x ) = x +17.0

f n (x ) = x +18.0

f n (x ) = x +19.0

f n (x ) = x +110.0

f n (x ) = x +111.0

f n (x ) = x +112.0

f n (x ) = x +113.0

f n (x ) = x +114.0

f n (x ) = x +115.0

f n (x ) = x +116.0

f n (x ) = x +117.0

f n (x ) = x +118.0

f n (x ) = x +119.0

f n (x ) = x +120.0

f n (x ) = x +121.0

f n (x ) = x +122.0

f n (x ) = x +123.0

f n (x ) = x +124.0

f n (x ) = x +125.0

f n (x ) = x +126.0

f n (x ) = x +127.0

f n (x ) = x +128.0

f n (x ) = x +129.0

f n (x ) = x +130.0

f n (x ) = x +131.0

f n (x ) = x +132.0

f n (x ) = x +133.0

f n (x ) = x +134.0

f n (x ) = x +135.0

f n (x ) = x +136.0

f n (x ) = x +137.0

f n (x ) = x +138.0

f n (x ) = x +139.0

f n (x ) = x +140.0

f n (x ) = x +141.0

f n (x ) = x +142.0

f n (x ) = x +143.0

f n (x ) = x +144.0

f n (x ) = x +145.0

f n (x ) = x +146.0

f n (x ) = x +147.0

f n (x ) = x +148.0

f n (x ) = x +149.0

f n (x ) = x +150.0

f n (x ) = x +151.0

f n (x ) = x +152.0

f n (x ) = x +153.0

f n (x ) = x +154.0

f n (x ) = x +155.0

f n (x ) = x +156.0

f n (x ) = x +157.0

f n (x ) = x +158.0

f n (x ) = x +159.0

f n (x ) = x +160.0

Örnek 1 Her n ∈� için

f n (x ) = x +1

nolmak üzere ( f n ) dizisi verilsin.

(a). ( f n ) dizisinin � üzerinde noktasalyakınsak olduğunu gösteriniz.(b). ( f n ) dizisinin � üzerinde düzgün yakın-sak olduğunu gösteriniz.(a). Her x ∈ � için

limn→∞ f n (x ) = lim

n→∞

�x +

1

n

�= x

3/38

olduğundan ( f n ) dizisi f (x ) = x şeklinde tanımlı f fonksiyonuna noktasalyakınsar.

(b). ( f n ) dizisi düzgün yakınsarsa f (x ) = x şeklinde tanımlı f fonksiyonunayakınsmak zorundadır.

limn→∞sup{�� f n (x )− f (x )

�� : x ∈�}= limn→∞sup{��

x +1

n

�−x

�� : x ∈�}= lim

n→∞sup{ 1n

: x ∈�}= limn→∞

1

n= 0

olduğundan ( f n ) dizisi � üzerinde f (x ) = x fonksiyonuna düzgün yakınsar.

4/38

1

2

-1

-2

-3

1 2 3-1-2-3

x

y

f n (x ) =1 x +x 2

1f n (x ) =

2.0 x +x 2

4.0f n (x ) =

3.0 x +x 2

9.0f n (x ) =

4.0 x +x 2

16.0f n (x ) =

5.0 x +x 2

25.0f n (x ) =

6.0 x +x 2

36.0f n (x ) =

7.0 x +x 2

49.0f n (x ) =

8.0 x +x 2

64.0f n (x ) =

9.0 x +x 2

81.0f n (x ) =

10.0 x +x 2

100.0f n (x ) =

11.0 x +x 2

121.0f n (x ) =

12.0 x +x 2

144.0f n (x ) =

13.0 x +x 2

169.0f n (x ) =

14.0 x +x 2

196.0f n (x ) =

15.0 x +x 2

225.0f n (x ) =

16.0 x +x 2

256.0f n (x ) =

17.0 x +x 2

289.0f n (x ) =

18.0 x +x 2

324.0f n (x ) =

19.0 x +x 2

361.0f n (x ) =

20.0 x +x 2

400.0f n (x ) =

21.0 x +x 2

441.0f n (x ) =

22.0 x +x 2

484.0f n (x ) =

23.0 x +x 2

529.0f n (x ) =

24.0 x +x 2

576.0f n (x ) =

25.0 x +x 2

625.0f n (x ) =

26.0 x +x 2

676.0f n (x ) =

27.0 x +x 2

729.0f n (x ) =

28.0 x +x 2

784.0f n (x ) =

29.0 x +x 2

841.0f n (x ) =

30.0 x +x 2

900.0f n (x ) =

31.0 x +x 2

961.0f n (x ) =

32.0 x +x 2

1024.0f n (x ) =

33.0 x +x 2

1089.0f n (x ) =

34.0 x +x 2

1156.0f n (x ) =

35.0 x +x 2

1225.0f n (x ) =

36.0 x +x 2

1296.0f n (x ) =

37.0 x +x 2

1369.0f n (x ) =

38.0 x +x 2

1444.0f n (x ) =

39.0 x +x 2

1521.0f n (x ) =

40.0 x +x 2

1600.0f n (x ) =

41.0 x +x 2

1681.0f n (x ) =

42.0 x +x 2

1764.0f n (x ) =

43.0 x +x 2

1849.0f n (x ) =

44.0 x +x 2

1936.0f n (x ) =

45.0 x +x 2

2025.0f n (x ) =

46.0 x +x 2

2116.0f n (x ) =

47.0 x +x 2

2209.0f n (x ) =

48.0 x +x 2

2304.0f n (x ) =

49.0 x +x 2

2401.0f n (x ) =

50.0 x +x 2

2500.0f n (x ) =

51.0 x +x 2

2601.0f n (x ) =

52.0 x +x 2

2704.0f n (x ) =

53.0 x +x 2

2809.0f n (x ) =

54.0 x +x 2

2916.0f n (x ) =

55.0 x +x 2

3025.0f n (x ) =

56.0 x +x 2

3136.0f n (x ) =

57.0 x +x 2

3249.0f n (x ) =

58.0 x +x 2

3364.0f n (x ) =

59.0 x +x 2

3481.0f n (x ) =

60.0 x +x 2

3600.0f n (x ) =

61.0 x +x 2

3721.0f n (x ) =

62.0 x +x 2

3844.0f n (x ) =

63.0 x +x 2

3969.0f n (x ) =

64.0 x +x 2

4096.0f n (x ) =

65.0 x +x 2

4225.0f n (x ) =

66.0 x +x 2

4356.0f n (x ) =

67.0 x +x 2

4489.0f n (x ) =

68.0 x +x 2

4624.0f n (x ) =

69.0 x +x 2

4761.0f n (x ) =

70.0 x +x 2

4900.0f n (x ) =

71.0 x +x 2

5041.0f n (x ) =

72.0 x +x 2

5184.0f n (x ) =

73.0 x +x 2

5329.0f n (x ) =

74.0 x +x 2

5476.0f n (x ) =

75.0 x +x 2

5625.0f n (x ) =

76.0 x +x 2

5776.0f n (x ) =

77.0 x +x 2

5929.0f n (x ) =

78.0 x +x 2

6084.0f n (x ) =

79.0 x +x 2

6241.0f n (x ) =

80.0 x +x 2

6400.0f n (x ) =

81.0 x +x 2

6561.0f n (x ) =

82.0 x +x 2

6724.0f n (x ) =

83.0 x +x 2

6889.0f n (x ) =

84.0 x +x 2

7056.0f n (x ) =

85.0 x +x 2

7225.0f n (x ) =

86.0 x +x 2

7396.0f n (x ) =

87.0 x +x 2

7569.0f n (x ) =

88.0 x +x 2

7744.0f n (x ) =

89.0 x +x 2

7921.0f n (x ) =

90.0 x +x 2

8100.0f n (x ) =

91.0 x +x 2

8281.0f n (x ) =

92.0 x +x 2

8464.0f n (x ) =

93.0 x +x 2

8649.0f n (x ) =

94.0 x +x 2

8836.0f n (x ) =

95.0 x +x 2

9025.0f n (x ) =

96.0 x +x 2

9216.0f n (x ) =

97.0 x +x 2

9409.0f n (x ) =

98.0 x +x 2

9604.0f n (x ) =

99.0 x +x 2

9801.0f n (x ) =

100.0x +x 2

10000.0f n (x ) =

101.0x +x 2

10201.0f n (x ) =

102.0x +x 2

10404.0f n (x ) =

103.0x +x 2

10609.0f n (x ) =

104.0x +x 2

10816.0f n (x ) =

105.0x +x 2

11025.0f n (x ) =

106.0x +x 2

11236.0f n (x ) =

107.0x +x 2

11449.0f n (x ) =

108.0x +x 2

11664.0f n (x ) =

109.0x +x 2

11881.0f n (x ) =

110.0x +x 2

12100.0f n (x ) =

111.0x +x 2

12321.0f n (x ) =

112.0x +x 2

12544.0f n (x ) =

113.0x +x 2

12769.0f n (x ) =

114.0x +x 2

12996.0f n (x ) =

115.0x +x 2

13225.0f n (x ) =

116.0x +x 2

13456.0f n (x ) =

117.0x +x 2

13689.0f n (x ) =

118.0x +x 2

13924.0f n (x ) =

119.0x +x 2

14161.0f n (x ) =

120.0x +x 2

14400.0f n (x ) =

121.0x +x 2

14641.0f n (x ) =

122.0x +x 2

14884.0f n (x ) =

123.0x +x 2

15129.0f n (x ) =

124.0x +x 2

15376.0f n (x ) =

125.0x +x 2

15625.0f n (x ) =

126.0x +x 2

15876.0f n (x ) =

127.0x +x 2

16129.0f n (x ) =

128.0x +x 2

16384.0f n (x ) =

129.0x +x 2

16641.0f n (x ) =

130.0x +x 2

16900.0f n (x ) =

131.0x +x 2

17161.0f n (x ) =

132.0x +x 2

17424.0f n (x ) =

133.0x +x 2

17689.0f n (x ) =

134.0x +x 2

17956.0f n (x ) =

135.0x +x 2

18225.0f n (x ) =

136.0x +x 2

18496.0f n (x ) =

137.0x +x 2

18769.0f n (x ) =

138.0x +x 2

19044.0f n (x ) =

139.0x +x 2

19321.0f n (x ) =

140.0x +x 2

19600.0f n (x ) =

141.0x +x 2

19881.0f n (x ) =

142.0x +x 2

20164.0f n (x ) =

143.0x +x 2

20449.0f n (x ) =

144.0x +x 2

20736.0f n (x ) =

145.0x +x 2

21025.0f n (x ) =

146.0x +x 2

21316.0f n (x ) =

147.0x +x 2

21609.0f n (x ) =

148.0x +x 2

21904.0f n (x ) =

149.0x +x 2

22201.0f n (x ) =

150.0x +x 2

22500.0


f n (x ) =nx +x 2

n 2

olmak üzere ( f n ) dizisi verilsin.(a). ( f n ) dizisinin � üzerinde noktasalyakınsak olduğunu gösteriniz.(b). ( f n ) dizisinin � üzerinde düzgün yakın-sak olmadığını gösteriniz.(c). ( f n ) dizisinin [0, 1] üzerinde düzgünyakınsak olmadığını gösteriniz.

5/38

(a). Her x ∈ � için


n→∞

�nx +x 2

n 2

�= 0

olduğundan ( f n ) dizisi her x ∈ � için f (x ) = 0 şekilnde tanımlı f fonksiy-onuna noktasal yakınsar.

(b). ( f n ) dizisi düzgün yakınsarsa f (x ) = 0 şeklinde tanımlı f fonksiyonunayakınsmak zorundadır.

limn→∞sup{��f n (x )− f (x )

�� : x ∈�}= limn→∞sup{��

nx +x 2

n 2

�−0

�� : x ∈�}

= limn→∞sup{��

nx +x 2

n 2

�� : x ∈�}

6/38

olur. Bu durumda x = n içinnx +x 2

n 2=

n 2+n 2

n 2= 2

olduğu düşünülürse

sup{��

nx +x 2

n 2

�� : x ∈�}> 2

olur. Buradan


�� : x ∈�}> limn→∞

n 2+n 2

n 2= 2

olur. Bu durumda


�� : x ∈�} �= 0

olduğundan ( f n ) dizisi � üzerinde düzgün yakınsak değildir.

7/38

(c). ( f n ) dizisinin [0, 1] üzerinde f (x ) = 0 şeklinde tanımlı f fonksiyonunadüzgün yakınsadığını gösterelim.


�� : x ∈�}= limn→∞sup{��

nx +x 2

n 2

�−0

�� : x ∈ [0, 1]}

= limn→∞sup{��

nx +x 2

n 2

�� : x ∈ [0, 1]}= lim

n→∞sup{nx +x 2

n 2: x ∈ [0, 1]}

8/38

olur. Bu durumda g (x ) =nx +x 2

n 2denilirse g ′(x ) = n +2x

n 2olur. x ∈ [0, 1]

için g ′(x ) = n +2x

n 2> 0 olduğundan g fonksiyonu kesin artandır. Böylece

sup{nx +x 2

n 2: x ∈ [0, 1]}= n ×1+12

n 2=

n +1

n 2

olacağından


�� : x ∈�}= limn→∞

n +1

n 2= 0

olur. Bu durumda


�� : x ∈�}= 0

olduğundan ( f n ) dizisi [0, 1] üzerinde f (x ) = 0 fonksiyonuna düzgün yakın-sar.

9/38

1

2

-11 2 3-1-2-3

x

y

f n (x ) =2× 1 +sin1 x

3× 1f n (x ) =

2× 2.0 +sin2.0 x

3× 2.0f n (x ) =

2× 3.0 +sin3.0 x

3× 3.0f n (x ) =

2× 4.0 +sin4.0 x

3× 4.0f n (x ) =

2× 5.0 +sin5.0 x

3× 5.0f n (x ) =

2× 6.0 +sin6.0 x

3× 6.0f n (x ) =

2× 7.0 +sin7.0 x

3× 7.0f n (x ) =

2× 8.0 +sin8.0 x

3× 8.0f n (x ) =

2× 9.0 +sin9.0 x

3× 9.0f n (x ) =

2× 10.0 +sin10.0x

3× 10.0f n (x ) =

2× 11.0 +sin11.0x

3× 11.0f n (x ) =

2× 12.0 +sin12.0x

3× 12.0f n (x ) =

2× 13.0 +sin13.0x

3× 13.0f n (x ) =

2× 14.0 +sin14.0x

3× 14.0f n (x ) =

2× 15.0 +sin15.0x

3× 15.0f n (x ) =

2× 16.0 +sin16.0x

3× 16.0f n (x ) =

2× 17.0 +sin17.0x

3× 17.0f n (x ) =

2× 18.0 +sin18.0x

3× 18.0f n (x ) =

2× 19.0 +sin19.0x

3× 19.0f n (x ) =

2× 20.0 +sin20.0x

3× 20.0f n (x ) =

2× 21.0 +sin21.0x

3× 21.0f n (x ) =

2× 22.0 +sin22.0x

3× 22.0f n (x ) =

2× 23.0 +sin23.0x

3× 23.0f n (x ) =

2× 24.0 +sin24.0x

3× 24.0f n (x ) =

2× 25.0 +sin25.0x

3× 25.0f n (x ) =

2× 26.0 +sin26.0x

3× 26.0f n (x ) =

2× 27.0 +sin27.0x

3× 27.0f n (x ) =

2× 28.0 +sin28.0x

3× 28.0f n (x ) =

2× 29.0 +sin29.0x

3× 29.0f n (x ) =

2× 30.0 +sin30.0x

3× 30.0f n (x ) =

2× 31.0 +sin31.0x

3× 31.0f n (x ) =

2× 32.0 +sin32.0x

3× 32.0f n (x ) =

2× 33.0 +sin33.0x

3× 33.0f n (x ) =

2× 34.0 +sin34.0x

3× 34.0f n (x ) =

2× 35.0 +sin35.0x

3× 35.0f n (x ) =

2× 36.0 +sin36.0x

3× 36.0f n (x ) =

2× 37.0 +sin37.0x

3× 37.0f n (x ) =

2× 38.0 +sin38.0x

3× 38.0f n (x ) =

2× 39.0 +sin39.0x

3× 39.0f n (x ) =

2× 40.0 +sin40.0x

3× 40.0f n (x ) =

2× 41.0 +sin41.0x

3× 41.0f n (x ) =

2× 42.0 +sin42.0x

3× 42.0f n (x ) =

2× 43.0 +sin43.0x

3× 43.0f n (x ) =

2× 44.0 +sin44.0x

3× 44.0f n (x ) =

2× 45.0 +sin45.0x

3× 45.0f n (x ) =

2× 46.0 +sin46.0x

3× 46.0f n (x ) =

2× 47.0 +sin47.0x

3× 47.0f n (x ) =

2× 48.0 +sin48.0x

3× 48.0f n (x ) =

2× 49.0 +sin49.0x

3× 49.0f n (x ) =

2× 50.0 +sin50.0x

3× 50.0


f n (x ) =2n + sinnx

3n +2olmak üzere ( f n ) dizisinin � üzerinde nok-tasal ve düzgün yakınsak olup olmadığınıaraştırınız.(a). Her n ∈� ve her x ∈ � için

2n −1

3n +2≤ 2n + sinnx

3n +2≤ 2n +1

3n +2olduğundan

limn→∞

2n −1

3n +2≤ lim

n→∞2n + sinnx

3n +2≤ lim

n→∞2n +1

3n +2

10/38

olur. Bu durumdalim

n→∞

�2n + sinnx

3n +2

�=

2

3olur. Böylece her x ∈ � için


n→∞

�2n + sinnx

3n +2

�= 0

olduğundan ( f n ) dizisi her x ∈ � için f (x ) =2

3şeklinde tanımlı f fonksiy-

onuna noktasal yakınsar.

(b). ( f n ) dizisinin f (x ) =2

3şeklinde tanımlı f fonksiyonuna düzgün yakın-

sadığını gösterelim.

11/38


�� : x ∈�}= limn→∞sup{��2n + sinnx

3n +2− 2

3

�� : x ∈�}

= limn→∞sup{��3(2n + sinnx )

3(3n +2)− 2(3n +2)

3(3n +2)

�� : x ∈�}

= limn→∞sup{��6n +3 sinnx

9n +6− 6n +4

9n +6

�� : x ∈�}

= limn→∞sup{��6n +3 sinnx −6n −4

9n +6

�� : x ∈�}

= limn→∞sup{��3 sinnx −4

9n +6

�� : x ∈�}olur. Diğeryandan her x ∈� ve her n ∈� için

12/38��3 sin nx −4

9n +6

��≤��3 sinnx

9n +6

��≤�� 3

9n +6

��= 1

3n +2olduğundan

sup{��3 sinnx −4

9n +6

�� : x ∈�} ≤ sup{ 1

3n +2: x ∈�}= 1

3n +2

olur. Böylece


�� : x ∈�}= limn→∞sup{��3 sin nx −4

9n +6

�� : x ∈�}≤ lim

n→∞1

3n +2≤ 0

13/38

olur. Bu durumda


�� : x ∈�}= 0

olduğundan ( f n ) dizisi

f (x ) =2

3şeklinde tanımlı f fonksiyonuna düzgün yakınsar.

14/38

1

1 2 3

x

y f n (x ) = sin1 xf n (x ) = sin2.0 xf n (x ) = sin3.0 xf n (x ) = sin4.0 xf n (x ) = sin5.0 xf n (x ) = sin6.0 xf n (x ) = sin7.0 xf n (x ) = sin8.0 xf n (x ) = sin9.0 xf n (x ) = sin10.0xf n (x ) = sin11.0xf n (x ) = sin12.0xf n (x ) = sin13.0xf n (x ) = sin14.0xf n (x ) = sin15.0xf n (x ) = sin16.0xf n (x ) = sin17.0xf n (x ) = sin18.0xf n (x ) = sin19.0xf n (x ) = sin20.0xf n (x ) = sin21.0xf n (x ) = sin22.0xf n (x ) = sin23.0xf n (x ) = sin24.0xf n (x ) = sin25.0xf n (x ) = sin26.0xf n (x ) = sin27.0xf n (x ) = sin28.0xf n (x ) = sin29.0xf n (x ) = sin30.0xf n (x ) = sin31.0xf n (x ) = sin32.0xf n (x ) = sin33.0xf n (x ) = sin34.0xf n (x ) = sin35.0xf n (x ) = sin36.0xf n (x ) = sin37.0xf n (x ) = sin38.0xf n (x ) = sin39.0xf n (x ) = sin40.0xf n (x ) = sin41.0xf n (x ) = sin42.0xf n (x ) = sin43.0xf n (x ) = sin44.0xf n (x ) = sin45.0xf n (x ) = sin46.0xf n (x ) = sin47.0xf n (x ) = sin48.0xf n (x ) = sin49.0xf n (x ) = sin50.0x


f n (x ) = sinn x

olmak üzere ( f n ) dizisi verilsin.(a). ( f n ) dizisinin [0,π] üzerinde nok-tasal yakındak olduğunu gösteriniz.(b). ( f n ) dizisinin [0,π] üzerinde düz-gün yakındak olmadığını gösteriniz.

(a). Her n ∈� ve her x ∈ � için

limn→∞ f n (x ) = sinn x =

�1, x = π

2x ∈ [0,π]

0, x �= π2

x ∈ [0,π]

olduğundan ( f n ) dizisi [0,π] üzerinde f fonksiyonuna noktasal yakınsar.

15/38

(b). ( f n ) dizisinin f (x ) =2

3şeklinde tanımlı f fonksiyonuna düzgün yakın-

sadığını gösterelim.lim

n→∞sup{��f n (x )− f (x )�� : x ∈�} = lim

n→∞sup{��sinn x − f (x )�� : x ∈�}

= limn→∞sup({��sinn x −1

�� : x = π2}∪

{��sinn x −0�� : x �= π

2,x ∈ [0,π]})

= limn→∞sup�{0}∪ {��sinn x�� : x �= π

2,x ∈ [0,π]}�

= 1

olur. Bu durumda


�� : x ∈�} �= 0

olduğundan ( f n ) dizisi düzgün yakınsak değildir.

16/38

Örnek 5∞∑

n=1

x n

n 2serisinin [−1, 1] üzerinde düzgün yakınsak olup olmadığını Weier-

strass M. testini kullanarak araştırınız.

(i). Mn =1

n 2olsun. Her x ∈ [−1, 1] için��x n

n 2

��≤ 1

n 2=Mn

olur.

(ii).∞∑

n=1

1

n 2serisi yakınsaktır.

17/38

Bu durumdaWeierstrass M. testi gereğince∞∑

n=1

x n

n 2serisinin [−1, 1] üzerinde

düzgün yakınsaktır.

Örnek 6∞∑

n=1

sinn x

n !serisinin � üzerinde düzgün yakınsak olup olmadığını Weier-

strass M. testini kullanarak araştırınız.

(i). Mn =1

n !olsun. Her x ∈� için��sinn x

n !

��≤��sinn x��

n !≤ 1

n !=Mn

olur.

18/38

(ii).∞∑

n=1

1

n !serisi yakınsaktır.

Bu durumdaWeierstrass M. testi gereğince∞∑

n=1

sinn x

n !serisinin � üzerinde

düzgün yakınsaktır.

19/38

Örnek 7∞∑

n=1

x n

4nserisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.

limn→∞

n

�� 14n

��= limn→∞

n

1

4n= lim

n→∞1

4�= 0

olduğundan

R =1

limn→∞

n

1

4n

=11

4

= 4

dür.

20/38

Örnek 8∞∑

n=1

n nx n serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.

limn→∞

n�|n n |= lim

n→∞n

n n = limn→∞n =∞

olduğundanR = 0

dır.

21/38

Örnek 9∞∑

n=1

(−1)n+1x n

n2nserisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.

limn→∞

��a n+1

a n

��= limn→∞

��1

(n +1)2n+1

1

n2n

��= lim

n→∞

�� n2n

(n +1)2n+1

��= limn→∞

�� n

2(n +1)

��= 1

2

olduğundan

R =1

limn→∞

��a n+1

a n

��=

11

2

= 2

dır.

22/38

Örnek 10∞∑

n=1

(x −2)n

nserisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.

Önce∞∑

n=1

z n

nserisinin yakınsaklık yarıçapını bulalım.

limn→∞

��a n+1

a n

��= limn→∞

��1

n +11

n

��= limn→∞

�� n

n +1

��= 1

olduğundan

23/38

R =1

limn→∞

��a n+1

a n

��= 1

olur. Yani∞∑

n=1

z n

nserisinin yakınsaklık yarıçapı 1 dir. Bu durumda

∞∑n=1

(x −2)n

nserisi

−1< x −2< 1

özelliğini sağlayan noktaların kümesi üzerinde yakınsaktır. Yani∞∑

n=1

(x −2)n

nserisi

1< x < 3

24/38


n=1

(1−2)n

nserisinin yakınsaklık yarıçapı 1 dir. Diğeryandan x0= 1 için

∞∑n=1

(1−2)n

n=∞∑

n=1

(−1)n

n

serisi yakınsak ve x0= 3 için∞∑

n=1

(3−2)n

n=∞∑

n=1

1

n

serisi ıraksak olduğundan∞∑

n=1

(x −2)n

nserisi serisinin yakınsaklık aralığı [1, 3)

dır.

25/38

Örnek 11∞∑

n=1

(x +4)n

3nserisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.

Önce∞∑

n=1

z n

3nserisinin yakınsaklık yarıçapını bulalım.

limn→∞

��a n+1

a n

��= limn→∞

��1

3n+1

1

3n

��= limn→∞

�� 3n

3n+1

��= 1

3

olduğundan

R1=1

limn→∞

��a n+1

a n

��=

11

3

= 3

26/38

olur. Yani∞∑

n=1

z n

3nserisinin yakınsaklık yarıçapı 3 dir. Bu durumda

∞∑n=1

(x +4)n

3n

serisi−3< x +4< 3


n=1

(x +4)n

3n

serisi−7< x <−1


n=1

(x +4)n

3n

serisinin yakınsaklık yarıçapı 3 dir.

27/38

Diğeryandan x0=−7 için∞∑

n=1

(−7+2)n

3n=∞∑

n=1

5(−1)n

n

serisi yakınsak ve x0=−1 için∞∑

n=1

(−1+2)n

3n=∞∑

n=1

1

3n

seriside yakınsak olduğundan∞∑

n=1

(x −2)n

nserisi serisinin yakınsaklık aralığı

[−7,−1] dır.

28/38

Örnek 12 x ∈ (−1, 1) için1

1−x=∞∑

n=1

x n olduğunu kullanarak f (x ) =1

1−x 2

fonksiyonuna yakınsayan bir kuvvet serisi yazınız.

1

1−x=∞∑

n=1

x n eşitliğinde x yerine x 2 yazılırsa

1

1−x 2=∞∑

n=1

(x 2)n =∞∑

n=1

x 2n

serisi f (x ) =1

1−x 2fonksiyonuna yakınsar.

29/38

Örnek 13 x ∈ (−1, 1) için f (x ) = (1+ x )α şeklinde tanımlı f fonksiyonununx0= 0 civarındaki Taylor (Maclaurin) serisinden faydalanarak

(a). g (x ) =1�

1−x 2

(b). g (x ) =1�

1+x 2

(c). g (x ) =x�

1+x 2

fonksiyonlarının x0= 0 civarındaki Taylor (Maclaurin) serilerini yazınız.

30/38

f (x ) = (1+x )α= 1+α

1!x +α(α−1)

2!x 2+

α(α−1)(α−2)3!

x 3

+α(α−1)(α−2)(α−3)

4!x 4+ · · ·

= 1+∞∑

n=1

α(α−1) · · · (α−n +1)n !

x n

dir.

(a). Buna göre x yerine −x 2 yazılır ve α=−1

2alınırsa

31/38

g (x ) =1�

1−x 2= 1+

α

1!(−x 2)+

α(α−1)2!

(−x 2)2+α(α−1)(α−2)

3!(−x 2)3

+α(α−1)(α−2)(α−3)

4!(−x 2)4+ · · ·

= 1−−1

21!

x 2−−1

2(−1

2−1)

2!x 4−−1

2(−1

2−1)(−1

2−2)

3!x 6

−−1

2(−1

2−1)(−1

2−2)(−1

2−3)

4!x 8+ · · ·

32/38

−−1

2(−1

2−1)(−1

2−2)(−1

2−3)

4!x 8+ · · ·

= 1+1

2x −−1

2(−3

2)

2!x 4−−1

2(−3

2)(−5

2)

6x 6−−1

2(−3

2)(−5

2)(−7

2)

24x 8+ · · ·

= 1+1

2x −

3

42

x 4+

15

86

x 6−105

1624

x 8+ · · ·= 1+

1

2x − 3

8x 4+

15

48x 6− 35

128x 8+ · · ·

olur.

33/38

(b). Buna göre x yerine x 2 yazılır ve α=−1

2alınırsa

g (x ) =1�

1+x 2= 1+

α

1!(x 2)+

α(α−1)2!

(x 2)2+α(α−1)(α−2)

3!(x 2)3

+α(α−1)(α−2)(α−3)

4!(x 2)4+ · · ·

= 1+

−1

21!

x 2+

−1

2(−1

2−1)

2!x 4+

−1

2(−1

2−1)(−1

2−2)

3!x 6

+

−1

2(−1

2−1)(−1

2−2)(−1

2−3)

4!x 8+ · · ·

34/38

= 1− 1

2x +

−1

2(−3

2)

2!x 4+

−1

2(−3

2)(−5

2)

6x 6

+

−1

2(−3

2)(−5

2)(−7

2)

24x 8+ · · ·

= 1− 1

2x +

3

42

x 4−15

86

x 6+

105

1624

x 8+ · · ·= 1− 1

2x +

3

8x 4− 15

48x 6+

35

128x 8+ · · ·

olur.

35/38

(c). (b) gereğince1�

1+x 2= 1− 1

2x +

3

8x 4− 15

48x 6+

35

128x 8+ · · ·

olduğundan eşitliğin her iki yanı x ile çarpılırsa

g (x ) =x�

1+x 2= x − 1

2x 2+

3

8x 5− 15

48x 7+

35

128x 9+ · · ·

olur.

36/38

Örnek 14 f (x ) = cos(3x ) fonksiyonunun x0= 0 civarındaki taylor serisini yazınız.

f fonksiyonunun her mertebeden türevi vardır vef (0)(x ) = cos(3x ), f (0)(0) = 1 f (4)(x ) = 81 cos(3x ), f (4)(0) = 81f ′(x ) =−3 sin(3x ), f ′(0) = 0 f (5)(x ) =−243 sin(3x ), f (5)(0) = 0f ′′(x ) =−9 cos(3x ), f ′′(0) =−9 f (6)(x ) =−729 cos(3x ), f (6)(0) =−729f ′′′(x ) = 27 sin(3x ), f ′′′(0) = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

dir. Bu durumda

37/38

cos(3x ) = f (0)+f ′(0)

1!x +

f ′′(0)2!

x 2+f ′′′(0)

3!x 3+ · · ·+ f (n )(0)

n !x n + · · ·

= 1+0

1!x +−9

2!x 2+

0

3!x 3+

81

4!x 4+

0

5!x 5+−729

6!x 6+ · · ·

= 1− 9

2!x 2+

81

4!x 4− 729

6!x 6+ · · ·

olur. Bu şu şekildede bulunabilir.

cos(x ) =∞∑

n=0

(−1)nx 2n

(2n )!

olduğundan x yerine 3x yazılırsa

38/38

cos(3x ) =∞∑

n=0

(−1)n(3x )2n

(2n )!=∞∑

n=0

(−1)n9nx 2n

(2n )!

olur.

fonksiyon dizileri ve serileri ÇÖzÜlmÜs Örneklererİ ve se rİ l erİ ÇÖ zÜ lm ÜŞ Örn k...

Documents