fonksİyonlaryildizlaranadolu.com/wp-content/uploads/2019/04/23... · 2019-04-08 · 1 2 f(x) x...

1

FONKSİYONLAR

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A dan B ye bir f bağıntısı bağıntısı tanımlansın. f bağıntısı, A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşliyor ise f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir ve

BA:f şeklinde gösterilir.

A kümesine tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir. A kümesinin elemanlarının B kümesindeki eşleştiği elemanlardan oluşan kümeye fonksiyonun görüntü kümesi

denir ve )A(f ile gösterilir.

Örnek:

A kümesindeki her elemanın B kümesinde yalnız bir tane görüntüsü vardır. f bağıntısı fonksiyondur. Tanım kümesi

d,c,b,aA ve değer

kümesi 5,4,3,2,1B tir.

Görüntü kümesi 4,3,2)A(f tür.

B)A(f dir.

Örnek:

4 ,3 ,2 ,1A ve d ,c ,b ,aB için

)d,4(),b,3(),b,2(),a,1(f bağıntısı A dan B ye ise f nin

fonksiyon olup olmadığını belirtiniz. Çözüm: A kümesinin her elemanı f bağıntısına göre yalnız bir görüntüsü vardır. A kümesinin bir elemanı B de birden fazla elemanla eşelenmemiştir. f fonksiyondur.

Not:

A kümesindeki elemanları kişiler B kümesindeki elemanları evler olarak düşünelim. Bağıntının fonksiyon olması için her kişi bir eve gidecek ve bir kimse iki eve gitmeyecek ayrıca evsiz kimse kalmayacak.

Örnek:

6,4,2A ve 9,7,3,1B olmak üzere BA:f için

)1,6(),3,4(),7,2(f bağıntısı fonksiyon mudur?

Çözüm: f bağıntısına göre, A daki her elemanın bir görüntüsü vardır ve A da tanımsız eleman yoktur. fonksiyondur. Uyarı

BA:f fonksiyon ve f)y,x( ise yx:f veya

y)x(f şeklinde gösterilir ve “ x in f altındaki görüntüsü y

dir” denir. Örnek:

8,6,4,2A ve 11,9,7,3B olmak üzere BA:f için

)3,4(),7,2(f bağıntısı fonksiyon mudur?

Çözüm:

f bağıntısına göre A6 ve A8 olmasına rağmen )6(f

ve )8(f tanımlı değildir. Hem B)6(f hem de B)8(f

olduğundan f fonksiyon değildir. Örnek:

6,4,2A ve 11,9,7,3B olmak üzere BA:f için

)7,6(),7,4(),7,2(f bağıntısı fonksiyon mudur?

Çözüm: f bağıntısına göre A nın her elemanının bir tek görüntüsü var ve A da tanımsız eleman yoktur. Buna göre f fonksiyondur.

Örnek:

Ry ,Rx ,5x3y:)y,x(f bağıntısı fonksiyon

mudur? Çözüm:

Her Rx için R 5x3y olduğundan f bağıntısı bir

fonksiyondur.

2

Örnek:

6 ,4 ,2A ve 11 ,9 ,7 ,3B olmak üzere BA:f için

)9,6( ),7,4( ),3,2(f ise ),2(f ),4(f )6(f nedir?

Çözüm: f bağıntısındaki

)3 ,2( sıralı ikilisi ,3)2(f

)7 ,4( sıralı ikilisi ,7)4(f

)9 ,6( sıralı ikilisi ise 9)6(f anlamında olduğundan

,3)2(f 7)4(f ve 9)6(f bulunur.

Örnek:

4,3,2A , 8,6,5,4,1B , BA:f ve

)6,4(),1,3(),1,2(f olduğuna göre )4(f)3(f)2(f

kaçtır? Çözüm:

f)1,2( olduğundan 1)2(f dir.


f)6,4( olduğundan 6)4(f dır.

Buna göre, 8611)4(f)3(f)2(f dir.

Örnek:

1,0,1A , 1,0B , BA:f , 2

x)x(f olduğuna

göre, )1(f)0(f in değerini bulunuz.

Çözüm:

0x için 02

0)0(f dır.

1x için 12

1)1(f dir.

Buna göre, 110)1(f)0(f dir.

Örnek:

1,0,1,2A , 5,4,3,2,1B kümeleri veriliyor. A dan B

ye f fonksiyonu 12xy )y,x(f biçiminde

tanımlansın. Bu fonksiyonu inceleyelim. Çözüm:

12

x)x(f ise,

2x için 512

)2()2(f tir.

1x için 212

)1()1(f dir.

0x için 112

0)0(f dir.

1x için 212

1)1(f dir.

Bu fonksiyonun liste yöntemiyle gösterimi

)2,1(),1,0(),2,1(),5,2(f dir.

Bu fonksiyonun şema ile gösterimi yanda verilmiştir. f fonksiyonunun tanım

kümesi 1,0,1,2A

dir.

Değer kümesi 5,4,3,2,1B dir.

Görüntü kümesi 5,2,1)A(f tir.

Sonuç A kümesinden B kümesine tanımlanan f bağıntısının fonksiyon olabilmesi için, Tanım kümesinde ( A da ) görüntüsü olmayan (açıkta)

eleman kalmamalı. Fakat değer kümesinde ( B de ) açıkta ( eşlenmeyen) eleman kalabilir.

Tanım kümesindeki ( A daki ) her elemanın birden fazla

görüntüsü olmamalıdır.

3

Örnek:

4,3,2A , d,c,b,aB , BA:f ,

d,4(),c,3(),b,2(),a,2(f bağıntısını inceleyelim.

Bu bağıntı fonksiyon değildir. Çünkü a)2(f ve b)2(f

olmak üzere )2(f iki ayrı değer almıştır.

Örnek:

4,3,2A , d,c,b,aB , BA:f ,

)d,4(),a,3(),c,2(f bağıntısını inceleyelim.

Bu bağıntı fonksiyondur. Yukarıdaki sonuçta verilen her iki koşulu da sağlamaktadır. Örnek:

4,3,2A , d,c,b,aB , BA:f ,

)c,4(),c,3(),c,2(f bağıntısını inceleyelim.

Bu bağıntı fonksiyondur. Yukarıdaki sonuçta verilen her iki koşulu da sağlamaktadır. Örnek:

RRf olmak üzere

42x

12xy ve Ry x ,)y,x(f

bağıntısını inceleyelim.

42

x

12xy

bağıntısında 2x ve 2x için payda

tanımsız olur. Yani tanım kümesindeki -2 ve 2 elemanları değer kümesindeki bir eleman ile eşlenmediği için (tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için) f bağıntısı fonksiyon değildir. Örnek:

RRf olmak üzere 32xy ve Ry x ,)y,x(f


32

xy bağıntısında tanım kümesindeki her elemanın

iki görüntüsü vardır. 1x için 4y ve 4y gibi. Bu

durumda f bağıntısı fonksiyon değildir.

Örnek:

NNf olmak üzere 5xy ve Ny x ,)y,x(f


5xy bağıntısında tanım kümesindeki 0,1,2,3,4

elemanlarının görüntüsü yoktur. Örneğin 1x için

N451y dir. Bu durumda f bağıntısı fonksiyon

değildir. Örnek:

ZZf olmak üzere

3

12xy ve Zy x ,)y,x(f bağıntısını

inceleyelim.

3

12xy

bağıntısında tanım kümesindeki bazı

elemanların görüntüsü yoktur. Örneğin 2x için

Z3

5

3

12.2y

dir. Bu durumda f bağıntısı fonksiyon

değildir. Örnek:

d,c,b,aA , AAf

olmak üzere f bağıntısının grafiği yanda verilmiştir. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını inceleyelim. Bu f bağıntısını liste yöntemiyle gösterelim.

)c,d(),c,c(),c,b(),b,b(),b,a(f

olur, f bağıntısında tanım kümesindeki b elemanının b ve c gibi farklı iki görüntüsü vardır. Bu durumda, f bağıntısı fonksiyon değildir. Örnek:

BA:f 2x3)x(f fonksiyonunun görüntü kümesi

7,5,3B olduğuna göre tanım kümesini bulunuz.

4

Çözüm:

BA:f fonksiyonun da, tanım kümesinin elemanlarına

karşılık gelecek görüntüleri verildiğinden, 2x3)x(f

fonksiyonu görüntü kümesinin elemanlarıyla tek tek eşitleyerek tanım kümesi elde edilecektir. Görüntü kümesinin elemanları 3, 5, 7 ye eşitleme yapılırsa:

3

1x1x332x3

1x3x352x3

3

5x5x372x3

olduğundan tanım kümesi

3

5 ,1 ,

3

1A olacaktır.

Fonksiyon Sayısı

A ve B kümeleri verildiğinde, m)A(s ve n)B(s ise A

dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısım

n dir.. Örnek:

c,b,aA ve 2,1B kümeleri üzerinden

tanımlanabilecek fonksiyon olmayan bağıntı sayısını bulunuz.

Çözüm: A dan B ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı

642.3

2)BA(s

2

tür.

A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı

83

2)A(s

)B(s dir.

Buna göre A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı, 64 – 8 = 56 dır. Örnek:

4 ,3 ,2 ,1A ve 14 ,13 ,12 ,11 ,10B kümeleri

üzerinden tanımlanabilecek fonksiyon sayısını bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyon BA ye tanımlanacak ise 4)A(s ve

5)B(s için fonksiyon sayısı 6254

5 olacaktır.

Fonksiyon AB ye tanımlanacak ise 4)A(s ve

5)B(s için fonksiyon sayısı 10245

4 olacaktır.

Fonksiyon Çeşitleri

11. Bire Bir ( 1 – 1 ) Fonksiyon

BA:f bir fonksiyon olsun. A nın her elemanının

görüntüsü farklı ise f bire bir (1-1) fonksiyondur. Yani Her

A2

x,1

x için 2

x1

x iken )2

x(f)1

x(f veya

)2

x(f)1

x(f iken 2

x1

x oluyorsa f fonksiyonuna bire

bir (1-1) fonksiyon denir. Örnek:

Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonunda, A nın her elemanının görüntüsü farklıdır. Bu durumda f fonksiyonu bire birdir.

Örnek:

Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonunda, A nın her elemanının görüntüsü farklıdır. Bu durumda f fonksiyonu bire birdir.

Örnek:

Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonunda, A nın her elemanının görüntüsü farklı olmadığından f fonksiyonu bire bir değildir.

5

Örnek:

RRf olmak üzere 12

x)x(f fonksiyonunu

inceleyelim.

21112

1)1(f

21112

)1()1(f dir.

)1(f)1(f olduğundan f fonksiyonu bire bir değildir.

Örnek:

5,3,1A ve 8,4,0,4B kümeleri için ,BA:f

6x2)x(f fonksiyonu bire bir

(1-1) fonksiyon mudur? Çözüm:

Tanım kümesi 5,3,1A için değerleri bulunursa

462612)1(f1x

066632)3(f3x

4610652)5(f5x

Farklı elemanların görüntüleri de farklı olduğundan

)y(f)x(f yx için Ay,x f fonksiyonu bire bir

(1-1) fonksiyondur. Örten Fonksiyon

BA:f fonksiyonu için B)A(f ise f fonksiyonuna

örten fonksiyon denir. Başka bir deyişle B değer kümesinde boşta eleman kalmıyorsa f örten fonksiyondur. Örnek:

1,0,1A ve 1,1,3B kümeleri için BA:f

1x2)x(f fonksiyonu örten fonksiyon mudur?

Çözüm:

Tanım kümesi 1,0,1A için değerleri bulunursa

3121)1(2)1(f1x

1101)0(2)0(f0x

1121)1(2)1(f1x

1,1,3)A(f dir. B)A(f

olduğundan f fonksiyonu örten fonksiyondur.

Örnek:

Yandaki şekilde verilmiş olan f fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinde (B de) eşlenmemiş (açıkta kalmış) eleman yoktur. Diğer bir ifade ile değer

kümesi görüntü kümesine eşit olduğu için f fonksiyonu örtendir. Örnek:

NN:f , 3x2)x(f olmak üzere, f fonksiyonu örten

değildir. Çünkü değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. Örneğin, x yerine hangi doğal sayı yazılırsa yazılsın sonuç sıfır olamaz. Bu durumda değer kümesinde bulunan 0 sayısı eşlenmemiştir. Bu fonksiyon bire birdir. Örnek:

ZZ:f , 3x)x(f olmak üzere, f fonksiyonu örtendir.

Çünkü açıkta eleman yoktur. Bu fonksiyon bire birdir. İçine Fonksiyon

BA:f fonksiyonu için B)A(f ise f fonksiyonuna içine

fonksiyon denir.

Başka bir deyişle, değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalırsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.

6

Örnek:

2,1,0,1A ve 3,2,1,0,1,2B kümeleri için

BA:f 12

x)x(f fonksiyonu içine fonksiyon

mudur?

Çözüm:

12

x)x(f fonksiyonun tanım kümesi 2,1,0,1A için

değerleri bulunursa

01112

11f1x

11012

00f0x

01112

11f1x

31412

22f2x

3,0,1)A(f dür.

B)A(f olduğundan f

fonksiyonu içine fonksiyondur.

Örnek:

Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonu içinedir. Çünkü değer kümesi B de 6 elemanı eşlenmemiştir.

Örnek:

Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonu içinedir. Çünkü değer kümesi B de 7 elemanı eşlenmemiştir. Bu fonksiyon bire birdir.

Örnek:

ZZf olmak üzere x2)x(f fonksiyonu içinedir.

Çünkü değer kümesi olan tam sayılar kümesindeki tek

sayılar eşlenmemiştir. Örneğin 3)x(f olacak şekilde x

tamsayısı yoktur. Sabit Fonksiyon

BA:f için A kümesinin bütün elemanları B kümesinin

yalnız bir elemanı ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

BA:f ve Bb olmak üzere Ax için b)x(f ise

f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Örnek:

3,2,1,0,1A ve 5,3,2,0,2B kümeleri için

BA:f 4)x(f fonksiyonu sabit fonksiyon mudur?

Grafiğini çiziniz. Çözüm:

Tanım kümesi 3,2,1,0,1A için değerleri hesaplanırsa

bunların 4 olduğu görülecektir. Bu da fonksiyonun sabit fonksiyon olduğunu gösterir.

4)1(f1x

4)0(f0x

4)2(f2x

4)3(f3x

olduğundan f fonksiyonu sabit fonksiyondur. Örnek:

,RR:f 2

x)3k(x)7m(5)x(f fonksiyonunun

sabit fonksiyon olabilmesi için m ve k ne olmalıdır?

7

Çözüm:

Sabit fonksiyon c)x(f , )Rc( olduğundan sabit

fonksiyon şu şekilde ifade edilebilir:

.n

x02

x01

x00

x5)x(f

Fonksiyonların eşitliğinden

2x0

1x0

0x5

2x)3k(x)7m(5 yazılabilir.

Bu durumda

07m ve 03k olacaktır. Buradan 7m ve

3k olduğu takdirde verilen )x(f fonksiyonu sabit

fonksiyon olacaktır. Birim (Özdeşlik) Fonksiyonu

AA:f ve Ax için x)x(f fonksiyonuna A nın

birim (özdeşlik) fonksiyon denir. Birim (özdeşlik) fonksiyon I ile gösterilir. x)x(I dir.

Birim fonksiyonda A nın her elemanının görüntüsü yine kendisidir. Örnek:

2,1,0A kümesi için ,AA:f x)x(f birim

fonksiyon olduğunu gösteriniz ve grafiğini çiziniz. Çözüm:

Tanım kümesi 2,1,0A için değerler bulunursa birim

fonksiyon olduğu görülecektir.

0)0(f0x

1)1(f1x

2)2(f2x

Böylece f fonksiyonunun bire bir ve örten fonksiyon olduğu da görülecektir.

Örnek:

,RR:f 2

x)rk(x)nm(d)x(f fonksiyonunun

birim fonksiyon olabilmesi için d, m, n, k, r ne olmalıdır?

Çözüm: Birim fonksiyon x)x(f olduğundan birim fonksiyon şu

şekilde de ifade edilebilir:

.n

x02

x02

x10

x0)x(f Fonksiyonların

eşitliğinden

2x0

1x1

0x0

2x)rk(x)nm(d yazılabilir.

Bu durumda

,0d 0nm ve 0rk olacaktır.

Buradan ,0d nm ve rk olduğu takdirde verilen

)x(f fonksiyonu birim fonksiyon olacaktır.

Örnek:

1,0,1A olmak üzere ,AA:f 3

x)x(f

fonksiyonunu inceleyelim. Çözüm:

3x)x(f olduğu için,

13

)1()1(f1x

03

0)0(f0x

13

1)1(f1x

A nın her elemanının görüntüsü yine kendisi olduğu için f, birim fonksiyondur. Örnek:

,RR:f 2

axbxc)x(f fonksiyonu birim fonksiyon

ise,

0c 1,b ,0a dır.

8

Eşit Fonksiyonlar

BA:f ve BA:g iki fonksiyon olmak üzere Ax

için )x(g)x(f oluyorsa, f ile g ye eşit fonksiyonlar denir ve

gf biçiminde gösterilir.

Örnek:

,2,0A 9,5B olmak üzere ,BA:f

52

x)x(f ve ,BA:g 5x2)x(g ile

tanımlanan f ve g eşit fonksiyonlar mıdır? Çözüm:

2,0A tanım kümesi için

g(0)f(0) ise

550.2)0(g

5520)0(f0x

g(-2)f(-2) ise

95)2.(2)2(g

952)2()2(f2x

olduğundan gf dir.

Örnek:

,1,0,1A 2,1,0,1,2B olmak üzere ,BA:f

3x)x(f ve ,BA:g x)x(g ile tanımlanan f ve g eşit

fonksiyonlar mıdır? Çözüm:

Tanım kümesi 1,0,1A nın elemanları için f ve g

fonksiyonlarının değerleri hesaplanırsa:

g(-1)f(-1) ise

1)1(g

13)1()1(f1x

g(0)f(0) ise

0)0(g

030)0(f0x

g(1f(1) ise

1)1(g

131)1(f1x

olduğundan gf dir.

Tek ve Çift Fonksiyon

,BA:f fonksiyonunda Ax için

)x(f)x(f ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

)x(f)x(f ise f fonksiyonuna çift fonksiyon

denir. Örnek:

2x2)x(f fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon olduğunu

bulunuz. Çözüm:

2x2

2)x(2)x(f olduğundan

2x2)x(f çift

fonksiyondur. Örnek:

3x

5x)x(f fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon

olduklarını bulunuz. Çözüm:

3x

5x

3)x(

5)x()x(f

)x(f)3

x5

x(

olduğundan 3

x5

x)x(f fonksiyonu çift fonksiyondur.

Örnek:

,RR:f x53

x2)x(f fonksiyonunun tek veya çift

fonksiyon olup olmadığını araştıralım. Çözüm:

x53

x2)x.(53

)x(2)x(f

9

)x(f)x53

x2(

Buna göre )x(f)x(f olduğundan f fonksiyonu tek


,RR:f x2

x)x(f fonksiyonunun tek veya çift


)x(fx2

xx2

)x()x(f

Buna göre )x(f)x(f olduğundan f fonksiyonu çift


,RR:f x32

x2)x(f fonksiyonunun tek veya çift


x32

x2)x.(32

)x.(2)x(f

Buna göre )x(f)x(f veya )x(f)x(f olmadığından f

fonksiyonu ne çift ne de tek fonksiyondur. Fonksiyonlarda Dört İşlem

BA olmak üzere,

RA:f ve RB:g fonksiyonları tanımlansın.

1. RBA:gf , )x(g)x(f)x)(gf( dir.

2. RBA:gf , )x(g)x(f)x)(gf( dir.

3. RBA:g.f , )x(g).x(f)x)(g.f( tir.

4. BAx için 0)x(g olmak üzere,

RBA:g

f ,

)x(g

)x(f)x)(

g

f( tir.

5. Rc olmak üzere, RA:f.c , )x(f.c)x)(f.c(

tir.

Örnek:

,RR:f 1x)x(f ve ,RR:g 5x3)x(g ise

)x)(gf( nedir?

Çözüm:

RRR olup, RR:gf

)x(g)x(f)x)(gf( olduğundan

4x4)5x3()1x()x)(gf( bulunur.

Örnek:

,RR:f x32

x)x(f ve ,RR:g 3x)x(g ise

)x)(gf( nedir?

Çözüm:

RRR olup, RR:gf


3x22

x)3x()x32

x()x)(gf( bulunur.

Örnek:

)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise gf

nedir? Çözüm:

f fonksiyonu için tanım kümesi 3,2,1A ve görüntü

kümesi ,7,4,3D g fonksiyonu için tanım kümesi

5,2,1B ve görüntü kümesi 14,8,5E dir.

CBA:gf biçiminde olacağından 2,1BA

olur. Bu durumda

gf)8,1(853)1(g)1(f)1)(gf(

gf)12,2(1284)2(g)2(f)2)(gf(

Bu durumda )12,2(),8,1(gf dir.

10

Örnek:

,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 2x32

x)x(g

ise gf nedir?

Çözüm: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, değer

kümeleri R dir. RRR:gf biçiminde olacağından

RRR olur.

Bu durumda

)2x32

x()1x2()x(g)x(f)x)(gf(

1x2

x

olduğundan 1x2

x)x)(gf( dir.

Örnek:

,RR:f 1x)x(f ve ,RR:g 5x3)x(g ise

)x)(gf( nedir?

Çözüm:


6x25x31x)5x3()1x()x)(gf(

bulunur. Örnek:

)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise gf

nedir? Çözüm:





olur.

Bu durumda,

gf)2,1(253)1(g)1(f)1)(gf(

gf)4,2(484)2(g)2(f)2)(gf(

olup bu durumda )4,2(),2,1(gf dir.

Örnek

,RR:f 1x32

x)x(f ve ,RR:g

5x32

x3)x(g ise )x)(gf( nedir?

Çözüm: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, görüntü kümeleri R dir. RRR:gf biçiminde olacağından

RRR olur.

Bu durumda, )x(g)x(f)x)(gf(

)5x32

x3()1x32

x(

62

x45x32

x31x32

x

Örnek:

)7,3(),4,2(),3,1(f ise f2 nedir?

Çözüm:

)7,3(),4,2(),3,1(f fonksiyonu için

632)1(f2)1)(f2(1x

842)2(f2)2)(f2(2x

1472)3(f2)3)(f2(3x

olduğundan )14,3(),8,2(),6,1(f2

Örnek:

,RR:f 5x3)x(f ve ,RR:g 8x52

x)x(g

ise )x)(g3f2( nedir?

11

Çözüm: f ve g fonksiyonlarının skaler ile çarpımları bulunacaktır.

)x(g3)x(f2)x)(g3f2(

)8x52

x(3)5x3(2

24x152

x310x6

34x92

x3

olduğundan 34x92

x3)x)(g3f2( dir.

Örnek:

)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise gf

nedir? Çözüm:





olur. Bu durumda

g.f)15,1(1553)1(g)1(f)1)(gf(

g.f)32,2(3284)2(g)2(f)2)(gf(

Bu durumda )32,2(),15,1(gf dir.

Örnek:

,RR:f 1x)x(f ve ,RR:g 12

x)x(g ise

)x)(gf( nedir?

Çözüm: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, görüntü kümeleri ise R dir. gf nin tanım kümesi RRR olacaktır.

Bu durumda

)12

x)(1x()x(g)x(f)x)(gf(

1x2

x3

x

olduğundan 1x2

x3

x)x)(gf( dir.

Örnek:

)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise g

f

nedir? Çözüm:




RBA:g

f biçiminde olacağından 2,1BA olur.

Bu durumda

g

f

5

3,1

5

3

)1(g

)1(f)1(

g

f

g

f

2

1,2

2

1

8

4

)2(g

)2(f)2(

g

f

Bu durumda

2

1,2,

5

3,1

g

f dir.

Örnek:

,RR:f 12

x)x(f ve ,RR:g

1x)x(g

ise g

f nedir?

Çözüm: f fonksiyonunun tanım kümesi R olmasına rağmen g

fonksiyonunun tanım kümesi

R dir. Görüntü kümeleri ise

12

R dir. g

f fonksiyonunun tanım kümesi ise

RRR

dir. Bu durumda

1x1x

)1x)(1x(

1x

12

x

)x(g

)x(f)x(

g

f

olduğundan 1x)x(g

f

dir.

Örnek:

R den R ye tanımlı x32

x)x(f ve 3x)x(g

fonksiyonları veriliyor. )3)(gf2( ün değerini bulalım.

Çözüm:

)x(g)x(f.2)x(g)x)(f2()x)(gf2(

3xx62

x23)-(x-3x )-2

2.(x

3x72

x2

Buna göre,

03219.233.72

3.2)3)(gf2( bulunur.

Örnek:

R den R ye tanımlı x32

x)x(f ve 3x)x(g

fonksiyonları veriliyor. )x)(g.f( fonksiyonunu bulalım.

Çözüm:

)3x)(x32

x()x(g)x(f)x)(gf(

x92

x63

xx92

x32

x33

x

Örnek:

,RR:f x32

x)x(f , ,R}3{R:g 3x)x(g

olduğuna göre

)x(g

f

fonksiyonunu bulalım.

Çözüm:

x31x

)3x.(x

3x

x32

x

)x(g

)x(f)x(

g

f

olduğundan x)x(g

f

dir.

Örnek:

R3,2,1:f , x2

x)x(f ve R2,1,1:g ,

3x2)x(g fonksiyonları veriliyor. Buna göre g3f

fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım. Çözüm:

g3f fonksiyonu }2,1{}2,1,1{}3,2,1{ kümesinden R

ye tanımlıdır. Buna göre,

)3x2.(3x2

x)x(g.3)x(f)x)(g3f(

9x72

x9x6x2

x olup,

1797191.72

1)1)(g3f( dir.

27914492.72

2)2)(g3f( dir.

O halde, g3f fonksiyonunun, tanım kümesi }2,1{ ve

görüntü kümesi }27,17{ dir.

Bir Fonksiyonun Tersi

BA:f , By veA x)y,x(f bire bir ve örten bir

fonksiyon olmak üzere,

AB:1

f

, A xve By )x,y(1

f

fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir. f fonksiyonunun

tersi 1

f

ile gösterilir.

13

1f)x,y(f)y,x(

dir.

f)y,x( ise

1

f)x,y(

olacağından

)x(fy ise )y(1

fx

dir.

Örnek:

)10,9(),8,7(),6,5(),4,3(),2,1(f fonksiyonunun ters

fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:

BA:f olduğundan AB:1

f

olacaktır.

Aynı zamanda, şu biçimde de ifade edilebilir

1f)x,y(f)y,x(

Bu durumda )9,10(),7,8(),5,6(),3,4(),1,2(1

f

olur.

Örnek:

)10,9(),8,7(),6,5(),4,3(),2,1(f fonksiyonunun ters

fonksiyonuna ait tanım ve görüntü kümelerini bulunuz Çözüm:

f nin ters fonksiyonu )9,10(),7,8(),5,6(),3,4(),1,2(1

f

olacaktır.

Tanım kümesi 10,8,6,4,2A ve görüntü kümesi

9,7,5,3,1B dur.

Örnek:

c,b,aA kümesinden 6,5,4B kümesine tanımlı

)4,c(),5,b(),4,a(f fonksiyonunu inceleyelim.

)b,5(),c,4(),a,4(1

f

dir. 1

f

bağıntısında tanım

kümesi olan B de 4 elemanı iki eleman ile eşleştiğinden ve 6

elemanı açıkta kaldığından 1

f

bağıntısı fonksiyon değildir. Sonuç

BA:f bire bir ve örten bir fonksiyon değilse,

AB:1

f

bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır.

Ters Fonksiyonun Bulunması

)x(fy ise )y(1

fx

olduğundan )x(1

f

i bulmak için x,

y türünden bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir. Örnek:

,RR:f 4

2x3)x(f

olduğuna göre, )x(

1f

i bulalım.

Çözüm:

4

2x3)x(f

ise

2y4x3y42x34

2x3y

3

2y4x

olur.

3

2x4)x(

1f

3

2y4)y(

1f

bulunur.

Örnek:

,RR:f 3x2)x(f olduğuna göre, )1(1

f

i bulalım.

14

Çözüm:

3x2)x(f ise

2

3yx3yx23x2y

olur.

2

3x)x(

1f

2

3y)y(

1f

bulunur.

Buna göre

22

4

2

31)1(

1f

olur.

Örnek:

,R}2{R:f 4x2

2x3)x(f

olduğuna göre,

)1(1

f

i bulalım.

Çözüm:

4x2

2x3)x(f

ise

2y4x y2x3y4x y22x34x2

2x3y

y23

2y4x2y4)y23.(x

dir.

Buna göre, x23

2x4)x(

1f

bulunur.

O halde,

61

6

1.23

21.4)1(

1f

olur.

2.Yol

k)1(1

f

olsun.

Buna göre 1)k(f olur.

6k4k22k314k2

2k3)k(f

bulunur.

Buna göre 6)1(1

f

dır.

Sonuç

1. bax)x(f ise a

bx)x(

1f

dır.

2. },c

a{R}

c

d{R:f olmak üzere

dcx

bax)x(f

ise

acx

bdx)x(

1f

dır.

Örnek:

4x2

2x3)x(f


1f

i bulalım.

Çözüm:

dcx

bax)x(f

iken

acx

bdx)x(

1f

dır.

4x2

2x3)x(f

ise

3x2

2x4

)3(x2

2x)4()x(

1f

tür.

Örnek:

4

2x3)x(f


1f

i bulalım

3

2x4

)3(

2x)4()x(

1f

4

2x3)x(f

tür.

Örnek:

x2

3x)x(f


1f

i bulalım.

15

Çözüm:

1x2

3

)1(x2

3x.0)x(

1f

x2

3x)x(f

bulunur.

Örnek:

1x2)x(f

olduğuna göre, )16(

1f

yı bulalım.

Çözüm:

k)16(1

f

olsun.

Buna göre 16)k(f olur.

3k41k4

21k

2161k

2)k(f

bulunur.

Buna göre 3)16(1

f

tür.

Fonksiyonların Bileşkesi

BA:f ve CB:g fonksiyonları aşağıdaki şemalarla

verilsin.

Görüldüğü gibi; f fonksiyonu A nın elemanlarını B nin elemanlarına, g fonksiyonu da B nin elemanlarını C nin elemanları ile eşleşmiştir.

f ve g fonksiyonları birlikte A nın elemanlarını C nin elemanlarına eşler. A nın elemanlarını C nin elemanlarına eşleyen fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir. Bu fonksiyon fg biçiminde yazılır ve “g

bileşke f ” diye okunur. Buna göre,

3)2(g))1(f(g)1)(fg( tür.

5)4(g))2(f(g)2)(fg( tir.

7)6(g))3(f(g)3)(fg( dir.

Örnek: f ve g fonksiyonları aşağıdaki şemada verilmiştir. )1)(fg( ,

)2)(fg( , )3)(fg( değerlerini hesaplayarak fg

fonksiyonunu şema ile gösterelim.

4)2(g))1(f(g)1)(fg( tür.

6)3(g))2(f(g)2)(fg( dır.

8)4(g))3(f(g)3)(fg( dir.

Örnek:

3,2,1A , 9,4,1B , 18,8,2A

kümeleri ile BA:f , 2

x)x(f ve CB:g ,

x2)x(g fonksiyonları veriliyor.

)1)(fg( , )2)(fg( , )3)(fg( değerlerini hesaplayarak

fg fonksiyonunu şema ile gösterelim.

Çözüm:

21.2)1(g)2

1(g))1(f(g)1)(fg( dir.

84.2)4(g)2

2(g))2(f(g)2)(fg( dir.

16

189.2)9(g)2

3(g))3(f(g)3)(fg( dir.

Uyarı

)x)(gf( bulunurken ))x(g(f)x)(gf( olduğundan )x(f

fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine )x(g fonksiyonu

koyularak hesaplanır.

)x)(fg( bulunurken ))x(f(g)x)(fg( olduğundan )x(g

fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine )x(f fonksiyonu

koyularak hesaplanır. Örnek:

,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 2x)x(g

fonksiyonları için )x)(gf( ve )x)(fg( fonksiyonlarını

bulunuz. Çözüm:

1)2x.(2)

)x(g

2x(f))x(g(f)x)(gf(

3x214x2

3x2)x)(gf( tür.

1x22)1x2()

)x(f

1x2(g))x(f(g)x)(fg(

1x2)x)(fg( dir.

Örnek:

,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 22

x)x(g


bulunuz.

Çözüm:

1)22

x.(2)

)x(g

22x(f))x(g(f)x)(gf(

32

x2

32

x2)x)(gf( tür.

22

)1x2()

)x(f

1x2(g))x(f(g)x)(fg(

3x42

x421x42

x4

3x42

x4)x)(fg( tür.

Örnek:

,RR:f 1x2

x2)x(f ve ,RR:g 22

x)x(g


bulunuz. Çözüm:

)

)x(g

22x(f))x(g(f)x)(gf(

1)22

x(2

)22

x.(2

122

x)42

x44

x.(2

12

x82

x84

x2

72

x74

x2

72

x74

x2)x)(gf( dir.

)

)x(f

1x2x2(g))x(f(g)x)(fg(

22

)1x2

x2(

x22

x43

x412

x4

x4

17

1x22

x33

x44

x4

1x22

x53

x44

x4)x)(fg( dir.

Örnek:

,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 2x)x(g

fonksiyonları için )0)(gf( ve )0)(fg( değerlerini bulunuz.

Çözüm:

312.2)2(f)

)0(g

220(f))0(g(f)0)(gf( tür.

122

)1()1(g)

)0(f

10.2(g))0(f(g)0)(fg(

Örnek:

,RR:f 3x2)x(f ve ,RR:g 4x5)x(g

fonksiyonları için )3)(gf( ve )2)(fg( değerlerini bulalım.

Çözüm:

41319.2)19(f)43.5(f))3(g(f)3)(gf(

3947.5)7(g)32.2(g))2(f(g)2)(fg(

Uyarı Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Yani f ve g iki fonksiyon olmak üzere fggf dir.

Örnek:

R den R ye tanımlı 12

x)x(f , x3)x(g , 3x)x(h

olduğuna göre )2)(hgf( nin değeri kaçtır?

Çözüm:

)]5(g[f)]32(g[f))]2(h(g[f)2)(hgf(

22612

15)15(f)5.3(f

Fonksiyonlarda Bileşke İşleminin Özellikleri 1. Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği

vardır. Yani hgfh)gf()hg(f tır.

2. I birim fonksiyon olmak üzere ffIIf tir.

3. I birim fonksiyon olmak üzere If1

f1

ff

tir. 4. f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten fonksiyonlar

olmak üzere

1f

1g

1)gf(

ve

1f

1g

1h

1)hgf(

dir.

Örnek:

2x3)x(f ve 11x6)x)(gf( olduğuna göre )x(g i

bulalım. Çözüm:

2x3)x(f ise 3

2x)x(

1f

tür.

11x6)x)(gf( ise,

))11x6(1

f()]x)(gf(1

f[

))11x6(1

f()]x)(g(I[

3x23

9x6

3

211x6)x(g

tür.

2.Yol

2x3)x(f olmak üzere 11x6)x)(gf( ise,

11x62)x(g.311x6))x(g(f

3x23

9x6)x(g9x6)x(g.3

tür.

Örnek:

2x)x(f ve 11x2)x)(fg( olduğuna göre )3(g ü

bulalım.

18

Çözüm:

11x2))x(f(g11x2)x)(fg(

11x2)2x(g

Bu son eşitlikte x yerine 1 yazılırsa,

13112)3(g111.2)21(g bulunur.

Bir Fonksiyonun Grafiği Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

BA:f , f(x )y ve By A, x)y,x(f

f)b,a( olduğundan b)a(f

dir.

Ayrıca a)b(1

f

dır.

Örnek:

2,1,0,1A , RA:f , 2

x)x(f fonksiyonunun

grafiğini çiziniz. Çözüm:

1x için 12

)1()1(f dir.

0x için 02

0)0(f dır.

1x için 12

1)1(f dir.

2x için 42

2)2(f tür.

Buna göre

)}4,2(),1,1(),0,0(),1,1{(f

olur. )x(fy fonksiyonunun

grafiği yandaki dört noktadır.

Örnek:

,RR:f 3x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

1x için 43)1()1(f tür.

0x için 330)0(f tür.

1x için 231)1(f dir.

Buna göre ),...}2,1(),3,0(),4,1({...,f dir. A aşağıdaki

tabloda x in bazı değerlerine karşın )x(f in aldığı değerler

verilmiştir.

Bir önceki örnekte fonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için, f in grafiği 4 tane noktadan oluştu. Bu örnekte ise; tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, f in

grafiği sonsuz tane noktadan oluşmaktadır. Fonksiyonun tanımından dolayı, bu noktalar bir doğru belirtmektedir. Örnek:

Yukarıdaki şekilde )x(fy fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre )5(f)3(f

)1(f)2(f

değerini bulunuz.

Çözüm:

Grafikten 1)2(f , 2)1(f , 2)3(f ve 0)5(f olduğu

görülmektedir.

19

Buna göre,

2

3

02

21

)5(f)3(f

)1(f)2(f

bulunur.

Örnek:

Yandaki şekilde )x(fy

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre )2(f)2(1

f)1(f

değerini bulunuz.

Çözüm:

Grafikten 0)1(f dir.

0)2(1

f2)0(f

dır.

5)2(f tir.

Buna göre, 5500)2(f)2(1

f)1(f

bulunur.

Örnek:

Yandaki şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

Buna göre )4)(f1

gf(

değerini bulunuz.

Çözüm:

)))4(f(1

g(f)4)(f1

gf(

olup

)x(fy in grafiğinde x = 4 için y = 4 olduğundan 3)4(f

tür.

)x(fy in grafiğinde x = 0 için y = 1 olduğundan 1)0(f

dir.

)x(gy in grafiğinde x = 0 için y = 3 olduğundan 3)0(g

olup 0)3(1

g

dır.

O halde,

1)0(f))3(1

g(f)))4(f(1

g(f)4)(f1

gf(

olur.

Çözümlü Sorular

1. 3,1,0,1,2A , ,RA:f

)1,3(),4,1(),2,0(),3,1(),4,2(f olduğuna göre

)3(f)0(f)2(f toplamı kaçtır?

Çözüm:

f)4,2( olduğundan 4)2(f tür.



Bu durumda,

7124)3(f)0(f)2(f olur.

2. 1x22

x)x(f olduğuna göre )13(f kaçtır?

Çözüm:

2)1x()x(f1x2

2x)x(f dir.

32

)3(2

)113()13(f bulunur.

3. 2x3)3x2(f olduğuna göre )0(f kaçtır?

Çözüm:

2

3x3x203x2 dir.

Buna göre 2x3)3x2(f fonksiyonunda x görülen yere

2

3 yazılırsa )0(f bulunur.

2

52

2

92)

2

3.(3)3)

2

3.(2(f olur.

20

4. 3x2)1x2

1x3(f

olduğuna göre )2(f kaçtır?

Çözüm:

3x1x32x421x2

1x3

tür.

Buna göre verilen fonksiyonda x görülen yere 3 yazılırsa

)2(f bulunur.

9)2(f3)3.(2)1)3.(2

1)3.(3(f

olur.

5. 5x42

x)x(f olduğuna göre )2x(f


12

)2x(14x.2.22

x5x42

x)x(f dir.

Bu ifade de x görülen yere 2x yazılırsa,

12

x12

)22x()2x(f bulunur.

6. 2x

1x)

1x

2x(f

olduğuna göre )2(f kaçtır?

Çözüm:

1x

2x

1

2x

1x)

1x

2x(f

olur.

Bu ifadede 1x

2x

gördüğümüz her yere x yazalım.

x

1)x(f olur.

Buna göre 2

1)2(f dir.

7. ba olmak üzere x

bx

a)x(f olduğuna göre

)1(f

)2(f kaçtır?

Çözüm:

baba

)ba).(ba(

ba

2b2a

)1(f

)2(f

olur.

8. )x(f doğrusal bir fonksiyon olmak üzere 3)5(f ve

5)3(f olduğuna göre )1(f in değeri kaçtır?

Çözüm:

)x(f doğrusal bir fonksiyonu bax)x(f olsun.

3ba53)5(f tür.

5ba35)3(f tir.

Bu iki eşitlik birlikte çözülürse,

8b ve 1a 5ba3

3ba5

bulunur.

O halde 8x)x(f dir.

Buna göre 781)1(f bulunur.

9. 4x5)2x3(f olduğuna göre )8(f in değeri

kaçtır? Çözüm:

2x6x382x3 dir.

Buna göre verilen fonksiyonda x yerine 2 yazılarak )8(f in

değeri hesaplanabilir.

2x için 6)8(f42.5)22.3(f dır.

10. 1x32

x33

x)x(f olduğuna göre )1x(f


3)1x(1x3

2x3

3x)x(f dür.

3x

3)11x()x(f bulunur.

21

11. 2x22

x2)x2

x(f olduğuna göre )x(f


2x22

x2)x2

x(f olduğuna göre

2)x2

x.(2)x2

x(f olup bu ifadede x2

x yerine x

yazılırsa,

2x.2)x(f bulunur.

12. ,RR:f )n(f).m(f)n.m(f olduğuna göre )1(f in

değeri kaçtır? Çözüm:

)n(f).m(f)n.m(f ifadesinde n = 1 alınırsa,

1)1(f)1(f).m(f)m(f)1(f).m(f)1.m(f bulunur.

13. ,RR:f x)x(f)1x(f ve 1)1(f olduğuna

göre, )3(f kaçtır?

Çözüm:

x)x(f)1x(f olmak üzere,

1x için 011)2(f1)1(f)11(f dır.

2x için 220)3(f2)2(f)12(f dir.

14. )y(f).x(f)yx(f ve 5)2(f olduğuna göre )6(f nın


)y(f).x(f)yx(f ve 5)2(f olmak üzere,

255.5)4(f)2(f).2(f)22(f tir.

12525.5)6(f)4(f).2(f)42(f dir.

15. 1x3)1x(f)2x(f olduğuna )3(f)3(f

kaçtır?

Çözüm:

1x için,

4)0(f)3(f11.3)11(f)21(f tür.

2x için,

5)3(f)0(f1)2.(3)12(f)22(f tir

Bu eşitlikler taraf tarafa çıkarılırsa,

9)3(f)3(f)5(4)3(f)0(f)0(f)3(f olur.

16. 12

x)x

2(f.x)

2

x(f olduğuna göre )2(f nin değeri

kaçtır? Çözüm: Verilen eşitlikte x yerine önce 4, sonra da 1 yazalım.

4x için, 17)2

1(f.4)2(f1

24)

4

2(f.4)

2

4(f

1x için, 2)2(f)2

1(f1

21)

1

2(f.1)

2

1(f dir.

Bu son eşitlik ilk eşitlikte yerine yazılırsa, 25)2(f.4)2(f17]2)2(f.[4)2(f olup buradan,

3

25)2(f25)2(f3 bulunur.

17. ,RR:f )x(f.x)1x(f ve 5)2(f olduğuna göre

)4(f kaçtır?

Çözüm:

)x(f.x)1x(f ve 5)2(f olduğuna göre,

2x için, 105.2)2(f.2)3(f dur.

3x için, 3010.3)3(f.3)4(f olur.

18. )3,2[A , ,BA:f 3x2)x(f fonksiyonu bire bir

ve örtendir. Buna göre B kümesini bulunuz.

22

Çözüm:

3x2)x(fy ve )3,2[A ise

}3x2 ,Rx :x{A olduğu için,

93x276x243x2

9)x(f7 olur.

Buna göre

)9,7[B}9x7 ,Rx :x{B olur.

19. 1x2

3)x(f

olduğuna göre )x3(f in )x(f türünden

eşitini bulunuz. Çözüm:

)x(f.3x2

33

x231x23)x(f

tir.

3

3))x(f.3(

3

3)x23(1x3.23)x3(f

)x(3

f.93

)x(3f.27)x3(f tir.

20. 1x

x)x(f

olduğuna göre )1x(f in )x(f türünden


1x

x)x(f

ifadesinde x in )x(f türünden eşitini bulalım.

)x(f)x(f.xx)x(f)x(f.xx1x

x)x(f

)x(f1

)x(fx)x(f)]x(f1.[x

tir.

1x

x)x(f

ise

2x

1x

11x

1x)1x(f

dir.

Burada, x yerine )x(f1

)x(f

yazılırsa,

)x(f1

)x(f.22)x(f

)x(f1

x()f1)x(f

2)x(f1

)x(f

1)x(f1

)x(f

2x

1x)1x(f

)x(f2

1

2)x(f

)x(f1.

)x(f1

1)1x(f

bulunur.

21. nmx)x(f , 5)4(1

f

, 6)3(1

f

olduğuna

göre n.m çarpımı kaçtır? Çözüm:

4nm54)5(f5)4(1

f

3nm63)6(f6)3(1

f

olur.

Bu iki denklem birlikte çözülürse,

9n , -1m3nm6

4nm5

bulunur.

Buna göre,

99).1(n.m bulunur.

22. ax32

x)1x(f ve 3)2(1

f

olduğuna göre,

a nın değeri kaçtır? Çözüm:

2)3(f3)2(1

f

dir.

ax32

x)1x(f fonksiyonunda 4x yazılırsa,

a1216)3(fa4.32

4)14(f

26aa12162 olur.

23

23. ,RR:f 13

2x)x(f olduğuna göre )x(1

f

in

eşitini bulunuz.

Çözüm:

32x1y1

32x)x(fy

23

)1y(x3

)1y(2x dir.

O halde,

23

)1x()x(1

f23

)1y()y(1

f

dir.

24. 1x)

12x

1x(f

olduğuna göre )x(

1f

in eşitini

bulunuz. Çözüm:

y)x(f ise )y(1

fx

olduğu için

1x)

12x

1x(f

ise

12x

1x)1x(

1f

olur.

Burada x yerine x – 1 yazılırsa,

2x22x

x

12)1x(

11x)11x(

1f

olur.

25. 5

32x)1x2(f

olduğuna göre )x(f in eşitini

bulunuz. Çözüm:

1x2 in tersi 2

1x olduğu için )1x2(f de x yerine

2

1x

yazılırsa )x(f bulunur.

5

32x)1x2(f

ise,

5

32)2

1x(

)12

1x.2(f

5

34

1x22x

)11x(f

20

13x22x

20

121x22x)x(f

bulunur.

26. },3{R}1{R:f ve )x(f3

2)x(fx

olduğuna göre

)x(1

f

in eşitini bulunuz.

Çözüm:

)y(1

fxy)x(f

olduğu için,

x3

2x)x(

1f

y3

2yx

)x(f3

2)x(fx

tir.

5,4,3,2,1A , ,AA:f

27. )1,5(),3,4(),5,3(),3,2(),2,1(f olduğuna göre

)3)(fff( kaçtır?

Çözüm:

f)5,3( olduğundan 5)3(f tir.



Bu durumda,

2)1(f))5(f(f)))3(f(f(f)3)(fff( olur.

28. 3x5)2x(f ve 1x3)3x(g olduğuna göre,

)3)(fg( ün değeri kaçtır?

Çözüm:

3x5)2x(f ise 8)3(f31.5)21(f dir.

1x3)3x(g ise 34)8(g111.3)311(g tür.

24

Buna göre,

34)8(g))3(f(g)3)(fg( olur.

29. 52008

x2007

x)x(f ve 9x22

x)x(g

olduğuna göre, )4)(gf( ün değeri kaçtır?

Çözüm:

4x için 194.22

4)4(g dir.

1x için 552008

)1(2007

)1()1(f tir.

Buna göre,

5)1(f))4(g(f)4)(gf( olur.

30. 2x

5)x(f

ve 42

x)x(g olduğuna göre,

)2)(fg1

f(

nin değeri kaçtır?

Çözüm:

4x için 122

5)2(f

dir.

1x için 542

1)1(g tir.

2x için 1)5(1

f521

5)1(f

dir.

Buna göre,

))1(g(1

f)))2(f(g(1

f)2)(fg1

f(

1)5(1

f

31.

1 x,

2

x-3

1 x,x3

)x(f olduğuna göre )5)(ff( in değeri

kaçtır?

Çözüm:

1x için 2

x3)x(f

dir.

15 olduğu için 12

2

2

53)5(f

dir.

1x için x3)x(f tir.

11 olduğu için 3)1.(3)1(f tür.

Buna göre,

3)1(f))5(f(f)5)(ff( bulunur.

32.

3 x,x35

3 x,1x2)x(f ve

-2 x,1x

2 x,22x)x(g

olduğuna göre, )2)(fg( nin değeri kaçtır?

Çözüm:

32 olduğu için 12.35)2(f dir.

21 olduğu için 322

)1()1(g tür.

Buna göre,

3)1(g))2(f(g)2)(fg( tür.

33. 1x4)x)(gf( ve 3x2)x(g olduğuna göre )x(f


fIf)1

gg(f1

g)gf(

dir.

2

3x)x(

1g3x2)x(g

dir.

))x(1

g](gf[)x](1

g)gf[()x(f

7x216x212

3x.4)

2

3x](gf[)x(f

dir.

Buna göre, 7x2)x(f dir.

25

34. 0)3(1

f

, 3)2(1

g

ve 1)0(1

h

olduğuna

göre, )2(1

)hfg(

nin değeri kaçtır?

Çözüm:

1g

1f

1h

1)hfg(

olduğu için,

)2](1

g1

f1

h[)2(1

)hfg(

))]2(1

g(1

f[1

h

1)0(1

h)]3(1

f[1

h

bulunur.

35. 1x3)x(g , 5x

1x2)x(f

ve 2)a)(f

1g(

olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm:

1x3)x(g ise 512.3)2(g tir.

5x

1x2)x(f

ise

5a

1a2)a(f

tir.

2)5a

1a2(

1g2))a(f(

1g2)a)(f

1g(

55a

1a2

5a

1a2)2(g

24a31a225a5

8a bulunur.

36. 1x

ux2)x(f

ve

2x3

9x)x)(ff(

olduğuna göre u

kaçtır? Çözüm:

2x3

9x))x(f(f)x)(ff(

ise

0x için 2

9))0(f(f dir.

1x

ux2)x(f

ise 0x için u

10

u0.2)0(f

dur.

ux için 1u

u3

1u

uu.2)u(f

dir.

Buna göre,

2

9

1u

u3

2

9)u(f

2

9))0(f(f

dir.

Bu eşitlikten,

3u9u3u69u9 tür.

37. 3x)x(f , 12

x)x(g ve 23

x)x(h

olduğuna göre, )1)(hgf(

)1)(hg.f(

kaçtır?

Çözüm:

3x)x(f , 12

x)x(g ve 23

x)x(h

olduğu için,

231)1(f , 012

)1()1(g ,

123

)1()1(h , 323

1)1(h ,

812

3)3(g , 1138)8(f dir.

Buna göre,

))3(g(f

10.2

)))1(h(g(f

)1(h)1(g).1(f

)1)(hgf(

)1)(hg.f(

11

1

)8(f

1

bulunur.

38. 3

2)x(1f)x(f

olduğuna göre, )2)(ff( nin değeri

kaçtır?

26

Çözüm:

If1

f olduğundan,

3

2)x(1f)x(f

eşitliğinde x yerine )x(f yazılırsa,

3

2x)x)(ff(

3

2x

3

2))x(f(1f))x(f(f

olur.

Bu son eşitlikte x yerine 2 yazılırsa,

03

22)2)(ff(

bulunur.

39. )4x3(g)1x2(1

f

olduğuna göre )5)(gf( in


b)a(f ise a)b(1

f

dır.

Buna göre,

1x2))4x3(g(f)4x3(g)1x2(1

f

dir.

1x2)4x3)(gf( ifadesinde x yerine 3 yazılırsa,

7)5)(gf(13.2)43.3)(gf( bulunur.

40.


eğrisinin grafiği Ox eksenini -3 te, Oy eksenini 2 de

kesmektedir. 2x2)x(g

fonksiyonunun grafiğinin )x(f

eğrisine teğet olduğu noktanın apsisi 3 tür.

Buna göre

)3)(g1f(

)2)(1fg(

kaçtır?

Çözüm: Verilenlere göre,

2)0(f ise 0)2(1

f

dır.

220.2)0(g dir.

423.2)3(g tür.

3)4(1

f4)3(g)3(f

tür.

Buna göre,

3

2

)4(1f

)0(g

))3(g(1f

))2(1f(g

)3)(g1f(

)2)(1fg(

bulunur.

41.


fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

0)4a(f olduğuna

göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? Çözüm:

)x(fy fonksiyonunun grafiği )0,2( , )0,1( , ve )0,3(

noktalarından geçtiği için,

0)2(f , 0)1(f ve 0)3(f dır.

0)4a(f olduğuna göre,

24a , 14a veya 34a tür.

6a24a dır.

3a14a tür.

1a34a dir.

Buna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı,

10)1()3()6( dur.

44. ,RR:f

x

)1x(f)x(f

ve 12)4(f olduğuna

göre )2(f kaçtır?

27

Çözüm:

3x için 43

12

3

)4(f)3(f tür.

2x için 22

4

2

)3(f)2(f dir.

42. 3x2)1x(f)x(f olduğuna göre )0(f)2(f

kaçtır? Çözüm:

1x için 5)2(f)1(f tir.

0x için 3)1(f)0(f tür.

Birinci ifadeden ikinci ifade çıkartılırsa,

2)0(f)2(f35)1(f)0(f)2(f)1(f olur.

43. ba olmak üzere 1x2

x)abx

bax(f

olduğuna

göre )1(f)1(f toplamı kaçtır?

Çözüm:

1x2

x)abx

bax(f

ifadesinde x yerine önce 1, sonra -1

yazılırsa,

3)1(f112

1)ab

ba(f

tür.

1)1(f112

)1()ab

ba(f

dir.

Buna göre, 413)1(f)1(f olur.

45. )b(f)a(f)b.a(f ve 7)2(f olduğuna göre )16(f

değerini bulunuz. Çözüm:

)b(f)a(f)b.a(f olduğu için,

28)2(f)2(f)2(f)2(f)2.2.2.2(f)16(f olur.

46. ,RR:f x)x(f)2x(f ve 1)2(f olduğuna

göre, )102(f değeri kaçtır?

Çözüm:

x)x(f)2x(f ise x)x(f)2x(f tir.

Bu eşitlikte x yerine sırasıyla 2,4,…,98,100 yazacağız. Sonra da bulduğumuz değerleri taraf tarafa toplayacağız.

2x için, 2)2(f)4(f

4x için, 4)4(f)6(f

6x için, 6)6(f)8(f

. . .

98x için, 98)98(f)100(f

100x için, 100)100(f)102(f

+__________________ 10098..642)2(f)102(f

51.50 1)102(f

255112550102(f bulunur.

47. ,RR:f

2

1 x,x3

2

1 x,1x

)1x2(f olduğuna

göre )0(f)1(f toplamı kaçtır?

Çözüm:

2

11 olduğu için, x3)1x2(f tir.

)1(3)1)1.(2(f

4)1(f

28

2

1

2

1 olduğu için, 1x)1x2(f tir.

)12

1)1)

2

1.(2(f

2

3)0(f dir.

2

5

2

34)0(f)1(f bulunur.

48. 32

x4)1x2(f olduğuna göre, )x(f fonksiyonunu

bulunuz. Çözüm:

1x2 in bileşke işlemine göre tersi 2

1x olduğu için bu

değer 32

x4)1x2(f fonksiyonunda x yerine yazılırsa

)x(f bulunur.

32

)2

1x.(4)1

2

1x.2(f

34

1x22x.4)11x(f

2x22

x31x22

x)x(f bulunur.

49. x

1x

2x

12x)

x

12x(f

olduğuna göre, )x(f


x

1x

2x

12x)

x

12x(f

ise,

2x2

x)x(f)x

1x(2

2)

x

1x()

x

1x(f

50. ,RR:f 3x2

x)x2

x(f olduğuna göre

)4

1(f değerini bulunuz.

Çözüm:

02

)1x2(01x42

x44

1x

2x

2

1x1x2

Bu değeri 3x2

x)x2

x(f fonksiyonunda yazarsak,

32

1

4

1)

2

1

4

1(f3

2

12)

2

1()

2

12)

2

1((f

4

15)

4

1(f olur.

51. x

1x

2x

12x)

x

12x(f

olduğuna göre )x(f


3x2

2x

ün bileşke işlemine göre tersi

1x2

2x3

dir.

1x

x)

3x2

2x(f

fonksiyonunda x yerine

1x2

2x3

yazılırsa

)x(f bulunur.

1x5

2x3)x(f

11x2

2x3

1x2

2x3

)

31x2

2x3.2

21x2

2x3

(f

olur.

52. )x(f doğrusal fonksiyonu için 4)5(1

f

ve

3)7(1

f

olduğuna göre, )9(f kaçtır?

Çözüm:

5)4(f4)5(1

f

tir.

29

7)3(f3)7(1

f

dir.

)x(f doğrusal fonksiyon olduğundan bax)x(f dir

4x için 5ba4ba4)4(f tir.

3x için 7ba3ba3)3(f dir.

Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa,

2a75bb3ba4 bulunur.

1385b5b)2.(45ba4 bulunur.

Buna göre, 13x2bax)x(f tür.

Bu durumda,

51318139.2)9(f bulunur.

53. ),1(),2(:f ve 3x42

x)x(f olduğuna

göre )x(1

f

fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

),1(),2(:f ise, -1y ,2x dir.

2)2x(1y3x4

2x)x(fy

2x1y tir.

2x olduğundan,

21yx2x1y bulunur.

O halde,

21x)x(1

f

dir.

54. 1x2

1x3)4x(

1f

olduğuna göre )x(f fonksiyonunu

bulunuz. Çözüm:

4x)1x2

1x3(f

1x2

1x3)4x(

1f

tür.

1x2

1x3

ifadesinin bileşke işlemine göre tersi

3x2

1x

tür.

4x)1x2

1x3(f

fonksiyonunda x yerine

3x2

1x

yazılırsa

)x(f bulunur.

3x2

13x7)x(f4

3x2

1x)

13x2

1x.2

13x2

1x.3

(f

bulunur.

55.

2 x,3x

2 x,1x)x(f olduğuna göre )5(

1f


2x için 3x)x(f olduğundan,

22 olup, 532)2(f tir.

2)5(1

f5)2(f

bulunur.

56. 2x

2)x(f

olduğuna göre )2

x(f nin )x(f türünden


4

)x(fx2)x(f4.

x2

2x2)x(f

tür.

x.2

1

2.42

x

2.4

22

x

2)2

x(f

x2.42

1

)x

2.(4

)x(f4

)x(f.2

)x(f)2

x(f olur.

KONU BİTMİŞTİR…

fonksİyonlaryildizlaranadolu.com/wp-content/uploads/2019/04/23... · 2019-04-08 · 1 2 f(x) x...

Documents