formula rio di meccanica razionale
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Dott. Ing. Simone Caffè
FORMULARIO DI MECCANICA RAZIONALE
1. Cinematica del punto
- Versore tangente:dS
dPt = [1.1]
- Versore normale:
dSd
dSd
t
t
n = [1.2]
- Versore binormale ntb ×= [1.3]
- Derivata del versore tangente:ρ
nn
t== c
dS
d[1.4]
- Posizione del punto: ( )( )
���
���
� −
�=
PaOda:verso
PeOperretta:direzione
OP:modulo
tSPP [1.5]
- Velocità del punto:��
��
�
�=
tangenteersorev:verso
tangenteversore:direzione
:modulo
P
s
s
�
�tv [1.6]
- Accelerazione del punto: ( )2
22
P :modulo ���
�
�+�+=
ρρ
ss
ss
���
��� nta [1.7]
2. Dinamica del punto
- Definizione di forza: ntaFρ
2
P
smsmm
��� +== [2.1]
- Lavoro della reazione vincolare:���
→≠
→=�•=
scabro0
liscio0P� dLδ [2.2]
- Vincolo liscio:��
��
�
Φ+Φ=
++=
=⋅=
bn�
bntF
P�
bn
bntFFF
dL 0δ
[2.3]
- Eq. del moto con vincolo liscio:
��
�
��
�
�
=Φ+
=Φ+
=
0
motodelpuraeq.
2
bb
nn
t
F
smF
smF
ρ
�
��
[2.4]
- Vincolo scabro:��
��
�
Φ+Φ+Φ=
++=
≠⋅=
bnt�
bntF
P�
bnt
bntFFF
dL 0δ
[2.5]
- Coefficiente di attrito statico:��
���
≤≤
Φ≤Φ
10 µ
µ ntnt
[2.6]
Dott. Ing. Simone Caffè
- Eq. del moto con vincolo scabro:
���
�
���
�
�
Φ+Φ=
=Φ+
=Φ+
=Φ+
22
2
0
bnt
bb
nn
tt
f
F
smF
smF
�
ρ
�
��
[2.7]
- Coefficiente di attrito dinamico: 10 ≤≤≤ µf [2.8]
- Forza di attrito: 22bntt f Φ+Φ−=Φ= t� [2.9]
- Eq. pura del moto: tnb FsmFsm
Ff −=���
�
�−+ ��
�2
22
ρ[2.10]
3. Cinematica relativa
=� terna di laboratorio con origine O e assi { } ijji δ=⋅eeeee c.t.321 .
=�~
terna solidale al corpo con origine O~
e assi { } .t.c.321 ijji δ=⋅ fffff .
- Vettore posizione: ( ) ( ) ( )OO~
O~
POP −+−=− [3.1]
- Formula di Poisson: ( ) kkdt
df�f ×=
�
[3.2]
- Legame tra derivate: ( ) ( ) u�uu ×+=��~dt
d
dt
d[3.3]
- Teorema di Eulero: ( ) ( ) ( ) ( )ϕϑψψϑϕ RRRR =,, [3.4]
Precessione: πϕ 20 ≤≤
( )���
�
���
�
�
−=
100
0cossin
0sincos
ϕϕ
ϕϕ
ϕR attorno a 3e
Nutazione: πϑ ≤≤0
( )���
�
���
�
�
−
=
ϑϑ
ϑϑϑ
cossin0
sincos0
001
R attorno a1
e
Rotazione propria: πψ 20 ≤≤
( )���
�
���
�
�
−=
100
0cossin
0sincos
ψψ
ψψ
ψR attorno a 3e
Dott. Ing. Simone Caffè
- Velocità angolare:��
��
�
�=
destramanoregola:verso
rotazionediasse:direzione
:modulo
3
θ
θ
�
� e� [3.5]
- Addizione delle velocità angolari: 21 ��� += [3.6]
- Velocità assoluta: ( ) 321P OP eeev zyxdt
d��� ++=−=
�
[3.7]
- Velocità relativa: ( ) 321P~~~O
~P~
~ fffv zyxdt
d ��� ++=−=�
[3.8]
- Velocità di trascinamento: ( )O~S O
~P v�v +−×= [3.9]
- Legame tra le velocità: SPP~ vvv += [3.10]
- Accelerazione assoluta: PP va�dt
d= [3.11]
- Accelerazione relativa: PP~~
~ va�dt
d= [3.12]
- Accelerazione di Coriolis: PC~2 v�a ×= [3.13]
- Accelerazione di trascinamento: ( ) ( ){ }O~
PO~
PO~S −××+−×+= ���aa � [3.14]
- Legame tra le accelerazioni: SCPP~
aaaa ++= [3.15]
- Accelerazione centripeta: ( ){ }O~
P −××= ��aCENTRIPETA [3.16]
- Accelerazione centrifuga: ( ){ }O~
P −××−= ��aCENTRIFUGA [3.17]
4. Dinamica relativa:
- Forza nei sistemi inerziali: PaF m= [4.1]
- Forza nei sistemi non inerziali: PSC~aFFF m=−− [4.2]
- Forza di trascinamento: ( ){ }{ }O~
PO~S −××+= ��aF m [4.3]
- Forza centrifuga: ( ){ }O~
PC −××−= ��f m [4.4]
- Lavoro: �� ⋅=⋅=→
1
0
B
A
BA
S
S
dSdL tFPF [4.5]
- Potenziale: ( ) � ⋅=P
O
P PF dU [4.6]
- Lavoro per F conservative: ( ) ( )ABBA UUL −=→ [4.7]
- Energia potenziale: UV −= [4.8]
Dott. Ing. Simone Caffè
- Moti Terrestri:
[ ]
( )
( )
( )( )
( )( )[ ]
( )
( )332
32
2.
PP.
S
PC
1-3
cos
OP
OP
OP
~O~
O~2
O~
O
~2
terrestreraggioO~
O
sec86400
2
fefp
F
a��v�F
��F
v�F
e
−−−≅
−
−
−−=
=−××+×−
−××−=
×−=
==−
=
θω
πω
RmR
MmG
MmG
mm
m
m
R
GRAV
GRAV
[4.9]
5. Meccanica dei Sistemi Discreti:
- Massa: �=
=N
iimM
1
[5.1]
- Baricentro: ( ) ( )�=
−=−N
iiim
M 1
OP1
OG [5.2]
- Forza sull’i-ima particella: �=
=+N
jiiji
EXTi m
1)()( afF [5.3]
- Principio di azione – reazione: ijji )()( ff −= [5.4]
- Principio di parallelismo: ( ) 0f =−× jiji PP)( [5.5]
- Eq. Cardinale delle forze:��
��
�
=
=
dt
d
M
EXT
EXT
����R
aR G
[5.6]
- Momento rispetto al polo o: ( )�=
×−=N
iii
1o oP FM [5.7]
- Impulso: �=
=N
iiim
1
v���� [5.8]
- Momento angolare: ( )�=
×−=N
iiii m
1o oP vL [5.9]
- Eq. Cardinale di momenti: Goo
o vvL
M Mdt
dEXT ×+= [5.10]
- Energia Cinetica: �=
=N
iiivmT
1
2
2
1[5.11]
- Potenza: �=
⋅=ΠN
iii
1
vF [5.12]
Dott. Ing. Simone Caffè
- Teorema dell’energia cinetica: INTEXT
dt
dTΠ+Π= [5.13]
- Teorema di König:��
���
=⇔+= �
= 0
~~
2
1
2
1
1
22G
�
����N
iiivmMvT [5.14]
6. Meccanica del Corpo Rigido:
=B Corpo rigido temponelcost.QPQP, =−�∈∀⇔ B
( )Oogeneraleinrigido;corpoaleappartenerdevemomenti,variicalcolocuiarispettoPoloo ≠=
- Massa: �=B
dmM [6.1]
( ) ( )���� ==BB
dxdydzdVM PP ρρ
- Baricentro: ( ) ( )( )dVM
B
OPP1
OG � −=− ρ [6.2]
�
�=
B
B
dV
dVx
xGρ
ρ
�
�=
B
B
dV
dVy
yGρ
ρ
�
�=
B
B
dV
dVz
zGρ
ρ
( ) ( )( )dVM
B
QPP1
QG � −=− ρ
- Distribuzione delle velocità: ( )QPQP −×+= �vv [6.3]
( ) ( )���
−⋅=−⋅
∈
QPQP
QP,
QP vv
B
- Distribuzione delle accelerazioni: ( ) ( )[ ]QPQPQP −××+−×+= ���aa � [6.4]
- Tensore d’inerzia: ( ) ( ) ( )[ ]dVIB
oPoPo −××−= � �� ρ [6.5]
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )��
��
�
=
���
=
+=+
u��u
��
u�u�
oo
oo
ooo
:Simmetrico
:Lineare
II
II
III
αα
- Matrice d’inerzia: ( ) ( )� −==B
jiijijdVxxxI
2oo ρδI [6.6]
22 oP −=x
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ������
�
������
�
�
+−−
−+−
−−+
=
=−
���
���
���
BBB
BBB
BBB
dVyxdVyzdVxz
dVyzdVzxdVxy
dVxzdVxydVzy
zyx
ρρρ
ρρρ
ρρρ
22
22
22
o
T:hasioP
I
Dott. Ing. Simone Caffè
- Teorema degli assi paralleli: ( ) ( ) [ ]jiijijijxxxMII ++= 2
Go δ [6.7]
vale solo se le basi in o e in G hanno
gli assi paralleli.
- Momento d’inerzia lungo n: ( ) ( )nn oo IIn
⋅= [6.8]
- Eq. Cardinale delle Forze: GaR MEXT = [6.9]
- Momento angolare: ( ) ( )�vL ooo oG IM +×−= [6.10]
- Energia cinetica: ( ) ( )[ ]oG2
1
2
1oo
2o −×⋅+⋅+= �v�� MIMvT [6.11]
( ) fissoèo2
1o ⇔⋅= �� IT
- Teorema di König: ( ) Go2
1
2
1G
2G ≡⇔⋅+= �� IMvT [6.12]
- Eq. Cardinale dei Momenti: ( ) ( ) ( ) oooo oG a���M ×−+×+= MIIEXT � [6.13]
- Teorema dell’energia cinetica: EXTEXTEXT
dt
dToo M�Rv ⋅+⋅=Π= [6.14]
- Eq. di Eulero:
( )( )( )�
�
��
�
−+=
−+=
−+=
1221333
2131222
2332111
IIIM
IIIM
IIIM
ωωω
ωωω
ωωω
�
�
�
[6.15]
fissoooppureGo =≡
[ ][ ]
{ } iautovettordeglibasecon
diag
332211
321o
321o
k
EXT
III
MMM
ffff�
I
M
ωωω ++=
=
=
7. Meccanica nel Formalismo Lagrangiano
- Vincolo Olonomo Bilatero:( )( )�
��
=
=
0,,...,
0,...,
1
1
tf
f
N
N
PP
PP[7.1]
- Coordinate libere: ( )( )
( )t,,...,
t,,...,
,
1
111
��
��
�
=
=
�=
nNN
n
jii
tq
PP
PP
PP � [7.2]
( )zyx=P
���
→
→
vincolodiequazioni,...,
parametri3,...,
1
1
Sff
N
S
NPP
Dott. Ing. Simone Caffè
:sonotiindipendenentefunzionalmvincolodiequazioniLe k
���
=
=
�����
�
�����
�
�
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=���
�
�
∂
∂=
N1,....,i
S1,...,q
1
1
1
1
N
SS
N
i
q
ff
ff
fk
PP
PP
P�
���
�
ρρ
kNn −= 3:sonoliberecoordinateLe
- Coordinate libere dipendenti: ( ) nktqqqq nkk ,...,1,,...** 1 == [7.3]
- Spostamento virtuale: j
n
j j
ii q
qδδ �
= ∂
∂=
1
PP [7.4]
- Espressione del lavoro virtuale: PaP�PF δδδ111
���===
⋅=⋅+⋅N
iii
N
iii
N
iii m [7.5]
- Lavoro virtuale dei vincoli: �=
⋅=ΛN
iii
1
P� δδ [7.6]
��
��
�
=�=Λ
purooRotolament
Rigido
Liscio
idealevincolo0δ
- Equazioni di Lagrange per Forze non conservative:
njq
T
q
T
dt
d
jj
j ,...,1=∂
∂−��
�
�
�
∂
∂=
�� [7.7]
[ ] idealevincolo01
⇔=−�=
n
jjjj q�
�= ∂
∂⋅=
N
i j
iij
q1
PF�
��
���
=⇔⋅
=⇔⋅=
erotazionalcoord.
naletraslaziocoord.
o jATT
jjATT
jq
q
nM
eR�
j
iN
iiij
qm
∂
∂⋅=�
=
Pa
1
�
- Lagrangiana del sistema: VT −=� [7.8]
- Equazioni di Lagrange per Forze conservative:
0=∂
∂−���
�
�
∂
∂
kk qqdt
d ��
�[7.9]
- Energia Cinetica: 210 TTTT ++= [7.10]
Dott. Ing. Simone Caffè
01
02
1a
ttmT i
N
i
ii =
∂
∂⋅
∂
∂= �
=
PP
�� �== =
=�
���
�
∂
∂⋅
∂
∂=
n
kkkk
n
k
N
i k
iii qaq
qtmT
11 11
��PP
���� �= == = =
=��
�
���
�
∂
∂⋅
∂
∂=
n
k
n
jjkkj
n
k
n
jjk
N
i j
i
k
ii qqaqq
qqmT
1 11 1 12
2
1
2
1����
PP
- Integrale primo di Poisson: cost.0 =∂
∂=�=
∂
∂
s
s
s qp
q �
��[7.11]
ss qp coord.allaassociatoassolutocineticoMomento=
erotazionalcoord.
naletraslaziocoord.
o =⇔⋅=
=⇔⋅=
ss
ss
qp
qp
����
����
L
����
- Funzione di Hamilton: �=
−=n
kkk qp
1
�� � [7.12]
VTT +−= 02�
Motorefissinonvincoli0
fissivincoli0
Π=�≠��≠∂
∂
=+=��=∂
∂
dt
dE
t
EVTt
i
i
��
�
P
P
- Integrale primo di Jacobi: cost.0 =�=∂
∂�
�
t[7.13]
- Configurazione di equilibrio: ( )**1 ,..., nqqC = [7.14]
( )( )
( ) 000
0 **
≥∀=���
���
=
=tqtq
q
qqkk
k
kk
�
Se le forze non sono conservative:
( ) ( ) 0,...,,..., **1
**1 =⇔= nkn qqqqC �
Se le forze sono conservative:
( ) astazionarièenergial'0,..., **1 �=
∂
∂⇔=
k
nq
VqqC
- Scostamento dall’equilibrio:*kkk qq −=η [7.15]
- Teorema Lagrange – Dirichlet:( )
stabileequilibrioinstrettominimoha
:
,...,
,fissivincolive,conservatiforze,olonomoSistema
.
**1
=�
=
CCV
Tesi
qqC
Hp
n [7.16]
Dott. Ing. Simone Caffè
- Equilibrio stabile:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
����
�
����
�
�
�<
�<∂∂
∂>
�>∂∂
∂>
∂∂
∂=
=
teindifferenequilibrio0
instabileequilibrio0,0
stabileequilibrio0,0
det
:
,...,
,fissivincolive,conservatiforze,olonomoSistema
.
2
2
2
**1
Cqq
V
Cqq
V
Tesi
Cqq
VCH
qqC
Hp
ii
ii
ji
ij
n
H
[7.17]
TEORIA DELLE PICCOLE OSCILLAZIONI (Sistemi olonomi conservativi a vincoli fissi)
- Energia potenziale approssimata: ��= =
=n
k
n
jjkkjAPPV
1 1.
2
1ηη� [7.18]
( )Ckj H=�
- Energia cinetica approssimata: ��= =
=n
k
n
jjkkjAPPT
1 1.
2
1ηη ��� [7.19]
kEQUILBRIOkjkj qTa �allerispettodiHessiana=�
- Lagrangiana approssimata: ( )��= =
−=n
k
n
jjkkjjkkjAPP
1 1.
2
1ηηηη ��� �� [7.20]
- Eq. di Lagrange approssimante: ( )�=
=−n
rrjrrjr
1
0ηη �� �� [7.21]
Eq. lineari, risolvibili, separabili
- Eq. Secolare: ( ) 0det 2 =− �� ω [7.22]
2ωλ =
ha soluzioni reali e positive: nλλ ,...,1
- Coordinate normali: ( )�=
−=n
ssrsr U
1
1 ηξ [7.23]
autovaloriaiassociatiiautovettordeglimatrice λ=U
- Lagrangiana approssimata: ( )�=
−=n
jjijAPP
1
22.
2
1ξλξ�� [7.24]
- Eq. di Lagrange approssimate: 0=+ kkk ξλξ�� [7.25]
- Soluzione delle equazioni: ( ) ( )kkk tt βωαξ += sin [7.26]
Dott. Ing. Simone Caffè
8. Teoria delle Funi
Sia ( )xyy = il luogo dei punti che unisce i baricentri delle sezioni della fune.
- Formula di rettificazione: 222 1 ydxdydxdS ′+=+= [8.1]
- Caratteristica di sollecitazione: ( ) �= sezionesullaagentiFN S [8.2]
- Densità di carico: fF
=∆
∆
→∆ S
EXT
Slim
0solo se le forze sono distribuite [8.3]
- Eq. delle Forze: fN
−=dS
d[8.4]
- Eq. dei Momenti: tN N= vale se la fune è sottile [8.5]
- Forma della fune:1 2
f
y
yA=
′+
′′
21dove
y
NA
′+= [8.6]
- Lunghezza della fune: �� ′+==b
a
b
a
dxydSl21 [8.7]
- Forma della fune libera: ( ) ( ) DBxA
g
g
Axy +�
�
�
�+=
ρ
ρcosh [8.8]
massadilinearedensitàS
m
∆
∆=ρ
[8.8]equazionenell'
osostituisclie,trovosistemaseguenteilAttraverso B, DA
( ) ( )
( )
( )
( )( )b
a
b
a
hb
ha
DBbA
g
g
Ah
DBaA
g
g
Ah
BaA
g
g
ABb
A
g
g
Al
:estremoSecondo
:coordinatehaestremoPrimo
:NOTIPARAMETRI
cosh
cosh
sinhsinh
����
�
����
�
�
+��
�
�+=
+��
�
�+=
�
���
�+−�
���
�+=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
- Fune per ponti sospesi: ( ) βα ++= xxA
kxy
2
2[8.9]
caricodidensitàx
k∆
∆=
F
Dott. Ing. Simone Caffè
es.
( )
( )( )�
��
�
���
�
�
−=
=
=
���
���
=
=
MINMAX
MIN
MAX
MIN
hh
klA
hhly
hy
8
0
2
0
2
β
α
( ) ( ) MINMINMAX hxhhl
xy +−= 2
2
4
:sonopilastrideivincolisuisforziGli
( )klq
qN
hh
qlN
y
MINMAX
x
=
���
���
�
=
−=
con
2
8
piastrodelTbaseallarispettosforzidegliMomento
( ) MAX
MINMAX
MAXx hhh
qlhN
−==
8TM
tirantideiusoobilanciarlPer
9. Teoria delle funi elastiche:
Siano: posizionequestadaiscostamentglileeriposo,amassesingoleletradistanzala kηa
Si trascura la forza peso.
- Gradi di libertà: ( )1,...,1 −=−= Njjax jjη [9.1]
- Energia cinetica: �=
=N
jjmT
1
2
2
1η� [9.2]
- Forza elastica: ( ) ( )11 −+ −−−−= jjjjj kk xxxxF [9.3]
es.( ) ( )12322 xxxxF −−−−= kk
( ) ( ) kkkkkF 205070601101801102 =−=−−−−=
La forza elastica farà si che la particella 2 si muova
Verso destra.
- Energia potenziale: ( )�=
−−=N
jjjkV
1
21
2
1ηη [9.4]
Dott. Ing. Simone Caffè
- Lagrangiana: ( )��=
−=
−−=N
jjj
N
jj km
1
21
1
2
2
1
2
1ηηη�� [9.5]
- Eq. di Lagrange: ( ) ( )11 −+ −−−−= jjjjj kkm ηηηηη�� [9.6]
- Eq. di D’Alambert:( ) ( )
0,,
2
2
2
2
=∂
∂−
∂
∂
x
txY
t
tx ηηµ [9.7]
YoungdiModulo
massadilineareDensità
→=
→=
kaY
a
mµ
10. Teoria delle linee:
- Forma parametrica:
( )( )( )
( )��
�
���
�
ℜ⊂∈
∈
��
��
�
=
=
=
Iu
ICzyx
uzz
uyy
uxx1,,
[10.1]
- Formula di rettificazione: duzyxdudu
dz
du
dy
du
dxdS
222
222
′+′+′=��
�
�+�
�
�
�+�
�
�
�= [10.2]
- Ascissa curvilinea: ( ) � ′+′+′=u
u
duzyxuS0
222 [10.3]
- Versore tangente:dS
d
du
d
du
d
P
P
P
t == [10.4]
- Versore normale:
dSd
dSd
t
t
n = [10.5]
- Derivata del versore tangente:ρ
nn
t== c
dS
d[10.6]
- Curvatura di flessioneS
cS ∆
∆=
→∆
ϑ0
lim [10.7]
3S
cc′
′×′′=×=
PPtn dove
( )��
���
=
′+′+′=′
zyx
zyxS
P
222
- Versore binormale ntb ×= [10.8]
- Formule di Frenetρ
nt=
dS
d[10.9]
τρ
btn−−=
dS
d
τ
nb=
dS
d
- Vettore di Darboux: ���
�
�−=
τρ
tb� [10.10]
Dott. Ing. Simone Caffè
- Formule di Darboux: t�t
×=dS
d[10.11]
n�n
×=dS
d
b�b
×=dS
d
TAVOLE DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
FUNZIONE DERIVATA
( )[ ]uxFF =
dx
du
du
dF
dx
dF=
( )[ ]uxFF i=
ii x
u
du
dF
x
F
∂
∂=
∂
∂
( ) ( ) ( )[ ]tytxFtF ,=
dt
dy
y
F
dt
dx
x
F
dt
dF
∂
∂+
∂
∂=
2
2
2
22
2
222
2
22
2dt
yd
y
F
dt
xd
x
F
dt
dy
y
F
dt
dx
dt
dy
yx
F
dt
dx
x
F
dt
Fd
∂
∂+
∂
∂+�
�
�
�
∂
∂+
∂∂
∂+�
�
�
�
∂
∂=
( ) ( ) ( )[ ]vuyvuxFvuF ,,,, =
v
y
y
F
v
x
x
F
v
F
u
y
y
F
u
x
x
F
u
F
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
DERIVATE UTILI IN MECCANICA:
• ( )[ ] �= ∂
∂
∂
∂+
∂
∂=�=
N
j
j
j
ju
x
x
F
u
F
du
dFuuxFF
1
,
• ( )[ ] �= ∂
∂
��
�
�
�
∂
∂
∂
∂+��
�
�
∂
∂
∂
∂=�
�
�
�
∂
∂�=
N
j
j
jkkk
ju
x
x
F
xu
F
xdu
dF
xuuxFF
1
,
• ( )[ ] �= ∂
∂��
�
�
�
∂
∂
∂
∂+��
�
�
�
∂
∂
∂
∂=
��
�
�
�
∂
∂�=
N
k
k
jkjj
ju
x
x
F
xx
F
ux
F
du
duuxFF
1
,
•���
=⇔
≠⇔==
∂
∂
kj
kj
x
xjk
k
j
1
0δ
FORMULA DI TAYLOR:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 100
000!
... ++−
++′−+= nn
n
Rxfn
xxxfxxxfxf
( )( )
( )( )ξ11
01
!1
++
++
−= n
n
n fn
xxR
GEOMETRIA:
• Base { }ie ortonormale:���
=⇔
≠⇔==⋅
ji
jiijji
1
0δee
Dott. Ing. Simone Caffè
• Vettore:
( )����
�
����
�
�
⋅
=
�
�
�
=
=
=
3
1
3
1
3
1
~
kkk
iii
iii
v
v
eev
f
e
v
332211332211~~~ fffeeev vvvvvv ++=++=
• Prodotto scalare: ��= =
=⋅=⋅3
1
3
1i jijjivu δuvvu
• Prodotto vettoriale:
321
321
321
vvv
uuu
eee
uvvu =×−=×
• Prodotto misto: [ ]321
321
321
www
vvv
uuu
=×⋅ wvu
[ ] [ ] [ ]uwvvuwwvu ×⋅=×⋅=×⋅
• Doppio prodotto vettore: [ ] ( ) ( )vuwwuvwvu ⋅−⋅=××
• Matrice di rotazione: { } { } ( )�=
⋅=→3
1
ORTONORMORTONORM
jjkkjkj R effe
• Cambio di base:
{ } { }
{ } { }��
�
��
�
�
→=
→=
�
�
=
=
3
1
ORTONORMORTONORM
ORTONORMORTONORM3
1
sjss
Tjsj
kjj
jkjk
R
R
effe
feef
• Vettori scritti su basi diverse:
��
�
��
�
�
=
=
�
�
=
=
3
1
3
1
~
~
iijij
iiijj
vRv
vRv
• Forma quadratica associata: 0Auu =T
• Matrice definita positiva:��
���
=⇔=
∀≥
0u0Auu
u0Auu
T
T
• Tensore:( ) ( ) ( )( ) ( )�
��
=
+=+�→
vv
vuvu
TT
TTTUVT
αα:
• Matrice associata al tensore: ( )kjjk TA ee ⋅= ( )kjjk TA ff ⋅=~
ARRARARATT ==
~~
• Tensore applicato ad un vettore: ( ) ( ) ��==
==3
1
3
1 kkjk
jjj vATvT ev
Dott. Ing. Simone Caffè
• Tensore simmetrico: ( ) ( ) jiij AATT =�⋅=⋅ uvvu
- { } ( ) diagonalechetalebaseunasempre jkkjk T Λ=⋅∃ fff
- :iautovettoreautovaloridiRicerca
[ ]IAB λ−=Sia
[ ] 3210det λλλλ �=− IA
iautovettorgliTrovo
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )���
���
�
=
=
=
33
3
22
2
11
1
IuAu
IuAu
IuAu
λ
λ
λ
=
( )
( )
( )���
���
�
=
=
=
0Bu
0Bu
0Bu
3
2
1
( ) ( ) ( ) [ ]IAu,u,u �kerOvvero 321-∈
( ) ( ) ( ) ( )( )jjjjuuu 321=u j�autovaloreall'associatoeautovettor
Sia ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )���
�
���
�
�
=�=3
32
31
3
32
22
12
31
21
11
uuu
uuu
uuu
uUj
iij U
{ }:eortonormalbaselaottengoiautovettorglindoNormalizza kf
( )
( )
( )
( )
( )
( )3
3
32
2
21
1
1u
uf
u
uf
u
uf ===
[ ]321 fffR =
�ARR =T
IRR =T
- Autovalori sono reali:
( ) nii ℜ∈�ℜ∈ uλ
- Autovettori associati ad autovalori distinti sono perpendicolari
( ) ( ) 0=⋅�≠ jTiji uuλλ
- Tensori simmetrici si diagonalizzano con una rotazione
�ARR =T
• Tensore antisimmetrico: ( ) ( ) jiij AATT −=�⋅−=⋅ uvvu
- { } ( ) chetale2
1baseunaFisso
3
1
�=
×=∃�k
kkk T ee�e
( ) v�vv ×=∈∀ TV chehasi3
- �vettoreilèassociatoeautovettorcuiilnulloautovaloreunsempre∃
Dott. Ing. Simone Caffè
Dott. Ing. Simone Caffè
TAVOLE DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
FUNZIONE DERIVATA
( )[ ]uxFF =
dx
du
du
dF
dx
dF=
( )[ ]uxFF i=
ii x
u
du
dF
x
F
∂
∂=
∂
∂
( ) ( ) ( )[ ]tytxFtF ,=
dt
dy
y
F
dt
dx
x
F
dt
dF
∂
∂+
∂
∂=
2
2
2
22
2
222
2
22
2dt
yd
y
F
dt
xd
x
F
dt
dy
y
F
dt
dx
dt
dy
yx
F
dt
dx
x
F
dt
Fd
∂
∂+
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂+
∂∂
∂+�
�
���
�
∂
∂=
( ) ( ) ( )[ ]vuyvuxFvuF ,,,, =
v
y
y
F
v
x
x
F
v
F
u
y
y
F
u
x
x
F
u
F
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
DERIVATE UTILI IN MECCANICA:
• ( )[ ] �= ∂
∂
∂
∂+
∂
∂=�=
N
j
j
j
ju
x
x
F
u
F
du
dFuuxFF
1
,
• ( )[ ] �= ∂
∂
��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂+��
���
�
∂
∂
∂
∂=�
�
���
�
∂
∂�=
N
j
j
jkkk
ju
x
x
F
xu
F
xdu
dF
xuuxFF
1
,
• ( )[ ] �= ∂
∂��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂+��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂=
��
�
�
��
�
�
∂
∂�=
N
k
k
jkjj
ju
x
x
F
xx
F
ux
F
du
duuxFF
1
,
•�
=⇔
≠⇔==
∂
∂
kj
kj
x
xjk
k
j
1
0δ
FORMULA DI TAYLOR:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 100
000!
... ++−
++′−+= nn
n
Rxfn
xxxfxxxfxf
( )( )
( )( )ξ11
01
!1
++
++
−= n
n
n fn
xxR
GEOMETRIA:
• Base { }ie ortonormale:�
=⇔
≠⇔==⋅
ji
jiijji
1
0δee
• Vettore:
( )����
����
�
⋅
=
�
�
�
=
=
=
3
1
3
1
3
1
~
kkk
iii
iii
v
v
eev
f
e
v
332211332211~~~
fffeeev vvvvvv ++=++=
• Prodotto scalare: ��= =
=⋅=⋅3
1
3
1i jijjivu δuvvu
Dott. Ing. Simone Caffè
• Prodotto vettoriale:
321
321
321
vvv
uuu
eee
uvvu =×−=×
• Prodotto misto: [ ]321
321
321
www
vvv
uuu
=×⋅ wvu
[ ] [ ] [ ]uwvvuwwvu ×⋅=×⋅=×⋅
• Doppio prodotto vettore: [ ] ( ) ( )vuwwuvwvu ⋅−⋅=××
• Matrice di rotazione: { } { } ( )�=
⋅=→3
1
ORTONORMORTONORM
jjkkjkj R effe
• Cambio di base:
{ } { }
{ } { }��
��
�
→=
→=
�
�
=
=
3
1
ORTONORMORTONORM
ORTONORMORTONORM3
1
sjss
Tjsj
kjj
jkjk
R
R
effe
feef
• Vettori scritti su basi diverse:
��
��
�
=
=
�
�
=
=
3
1
3
1
~
~
iijij
iiijj
vRv
vRv
• Forma quadratica associata: 0Auu =T
• Matrice definita positiva:�
��
=⇔=
∀≥
0u0Auu
u0Auu
T
T
• Tensore:( ) ( ) ( )( ) ( )
�
=
+=+�→
vv
vuvu
TT
TTTUVT
αα:
• Matrice associata al tensore: ( )kjjk TA ee ⋅=
ARRA
RARA
T
T
=
=~
~
• Tensore applicato ad un vettore: ( ) ( ) ��==
==3
1
3
1 kkjk
jjj vATvT ev
• Tensore simmetrico: ( ) ( ) jiij AATT =�⋅=⋅ uvvu
- { } ( ) diagonalechetalebaseunasempre jkkjk T Λ=⋅∃ fff
- :iautovettoreautovaloridiRicerca
[ ]IAB λ−=Sia
[ ] 3210det λλλλ �=− IA
Dott. Ing. Simone Caffè
iautovettorgliaTrovo
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )��
��
�
=
=
=
33
3
22
2
11
1
IuAu
IuAu
IuAu
λ
λ
λ
=
( )
( )
( )��
��
�
=
=
=
0Bu
0Bu
0Bu
3
2
1
( ) ( ) ( ) [ ]IAu,u,u �kerOvvero 321-∈
( ) ( ) ( ) ( )( )jjjj uuu 321=u j�autovaloreall'associatoeautovettor
Sia ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
�
�
���
�
�
=�=3
32
31
3
32
22
12
31
21
11
uuu
uuu
uuu
uUj
iij U
{ }:eortonormalbaselaottengoiautovettorglindoNormalizza kf
( )
( )
( )
( )
( )
( )3
3
32
2
21
1
1u
uf
u
uf
u
uf ===
[ ]321 fffR =
�ARR =T
- Autovalori sono reali:
( ) nii ℜ∈�ℜ∈ uλ
- Autovettori associati ad autovalori distinti sono perpendicolari
( ) ( ) 0=⋅�≠ jTiji uuλλ
- Tensori simmetrici si diagonalizzano con una rotazione
�ARR =T
• Tensore antisimmetrico: ( ) ( ) jiij AATT −=�⋅−=⋅ uvvu
- { } ( ) chetale2
1baseunaFisso
3
1
�=
×=∃�k
kkk T ee�e
( ) v�vv ×=∈∀ TV chehasi3
- �vettoreilèassociatoeautovettorcuiilnulloautovaloreunsempre∃
Dott. Ing. Simone Caffè
OPERAZIONI TENSORIALI:
1. Determinare l’azione del tensore T sulla base canonica:
{ }zyzxyxT +++=
{ } ( ) ( ) ( ){ }100010001=ke ortonormale
( ) ( ) ( ) ( ){ }321 eeee TTTT k = :
( )��
��
�
=+=+
=+=+
=+=+
=
000
101
101
1
zy
zx
yx
T e ( )011=
( ) ( )1012 =eT
( ) ( )1103 =eT
2. Determinare la matrice rappresentativa associata al tensore T:
( )kiik TA ee •=
( ) ( ) 1
0
1
1
00111 =���
�
�
���
=• ee T ( ) ( ) 1
1
0
1
00121 =���
�
�
���
=• ee T ( ) ( ) 0
1
1
0
00131 =���
�
�
���
=• ee T
( ) ( ) 1
0
1
1
01012
=���
�
�
���
=• ee T ( ) ( ) 0
1
0
1
01022
=���
�
�
���
=• ee T ( ) ( ) 1
1
1
0
01032
=���
�
�
���
=• ee T
( ) ( ) 0
0
1
1
10013 =���
�
�
���
=• ee T ( ) ( ) 1
1
0
1
10023 =���
�
�
���
=• ee T ( ) ( ) 1
1
1
0
10033 =���
�
�
���
=• ee T
���
�
���
�
�
=
110
101
011
A
3. Variazione della matrice rappresentativa al variare della base:
{ }zyzxyxT +++=
{ } ( )��
���
��
���
��
�
�
��
−
��
�
�
��
= 1000
2
2
2
20
2
2
2
2j
f ortonormale
( )��
�
�
��
=
2
2
2
22
1fT
( )��
�
�
��
−=
2
2
2
20
2fT
( ) ( )1103 =fT
( )jiij TA ff •=
~
( )2
3
2
2
2
2
2
02
2
2
211
=
�������
�
�
�������
��
�
�
��
=• ff T ( )
2
1
2
2
2
2
0
02
2
2
221
−=
�������
�
�
�������
−��
�
�
��
=• ff T ( )
2
2
1
1
0
02
2
2
231 =
���
�
�
���
��
�
�
��
=• ff T
( )2
1
2
2
2
2
2
02
2
2
212
−=
�������
�
�
�������
��
�
�
��
−=• ff T ( )
2
1
2
2
2
2
0
02
2
2
222
−=
�������
�
�
�������
−��
�
�
��
−=• ff T ( )
2
2
1
1
0
02
2
2
232 =
���
�
�
���
��
�
�
��
−=• ff T
Dott. Ing. Simone Caffè
( ) ( )2
2
2
2
2
2
2
10013
=
�������
�
�
�������
=• ff T ( ) ( ) 0
2
2
2
2
0
11023
=
�������
�
�
�������
−=• ff T ( ) ( ) 2
1
1
0
11033 =���
�
�
���
=• ff T
�������
�
�������
�
�
−−
−
=
202
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
~A
4. Determinare la matrice di rotazione che manda da { } { }jk fe →
kjjkR ef •=
2
2
0
0
1
02
2
2
211 =
���
�
�
���
��
�
�
��
=• ef
2
2
0
1
0
02
2
2
221 =
���
�
�
���
��
�
�
��
=• ef 0
1
0
0
02
2
2
231 =
���
�
�
���
��
�
�
��
=• ef
2
2
0
0
1
02
2
2
212 −=
���
�
�
���
��
�
�
��
−=• ef
2
2
0
1
0
02
2
2
222 =
���
�
�
���
��
�
�
��
−=• ef 0
1
0
0
02
2
2
232 =
���
�
�
���
��
�
�
��
−=• ef
( ) 0
0
0
1
10013 =���
�
�
���
=• ef ( ) 0
0
1
0
10023 =���
�
�
���
=• ef ( ) 1
1
0
0
10033 =���
�
�
���
=• ef
�������
�
�������
�
�
−=
100
02
2
2
2
02
2
2
2
R
5. Verificare che le due matrici trovate soddisfano la relazione:��
���
=
=
T
T
RARA
RARA~
~
�������
�
�������
�
�
−−
−
=
202
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
~A
TRAR
�������
�
�������
�
�−
���
�
���
�
�
�������
�
�������
�
�
−=
100
02
2
2
2
02
2
2
2
110
101
011
100
02
2
2
2
02
2
2
2
�������
�
�������
�
�
−−
−
=
�������
�
�������
�
�−
�������
�
�������
�
�
−=
202
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
100
02
2
2
2
02
2
2
2
1102
2
2
20
2
2
2
22
���
�
���
�
�
=
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101
011
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Dott. Ing. Simone Caffè
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101
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2
2
2
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2
2
2
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2
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2
2
2
002
100
02
2
2
2
02
2
2
2
202
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
100
02
2
2
2
02
2
2
2
~RART
N.B.
La relazione vale perché entrambe le basi sono ortonormali.
6. Determinare l’azione del tensore T sul vettore [ ]321=v scritto sulla base canonica { }ke
( ) �=
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1kkik vAT v
( )���
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3
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1
110
101
011
vu T
7. Determinare l’azione del tensore T sul vettore v scritto sulla base { }jf
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~
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kkjkj
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vRv
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2
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2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
~fvu T
8. Determinare se il tensore T è simmetrico:
( ) ( )uvvu TT •=•
( )
( )001u
321v
=
=
( )
( ) [ ] 3
5
4
3
001
5
4
3
3
2
1
110
101
011
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vu
v
T
T ( )
( ) [ ] 3
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1
1
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0
1
1
0
0
1
110
101
011
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uv
u
T
T
Si il tensore è simmetrico
Dott. Ing. Simone Caffè
9. Dimostrare il teorema secondo il quale:
“Se T è un tensore simmetrico allora esiste sempre una base { }kf~
tale che : ( ) kjjk T Λ=• ff~~
cioè una
rappresentazione diagonale della matrice ikA rappresentativa del tensore.”
Diagonalizzo la matrice ikA :
Polinomio caratteristico: ( ) 0det =− IA λ e trovo gli autovalori
( ) ( ) ( )[ ] ( )��
��
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=
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=−−−−−−=−
−−
−−=
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1
1
1111110
111
11
11
110
11
011
det
3
2
1
λ
λ
λ
λλλλλλ
λλ
λ
λ
λ
ora cerco gli autovettori uwv associati agli autovalori (in questo caso distinti):
uuA
wwA
vvA
3
2
1
λ
λ
λ
=•
=•
=•
oppure si ottengono con la seguente:
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λ
λ
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110
101
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110
101
011
Ora devo normalizzarli:
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��
��
�−−
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2
2
1
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xxx
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uf