formulações não-lineares de elementos finitos para análise
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MESTRADO EM CONSTRUÇÃO METÁLICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESCOLA DE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
ALEXANDRE DA SILVA GALVÂO
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Orientadores: Ricardo Azoubel da Mota Silveira
Convênio USIMINAS/UFOP/FUNDAÇÃO Ouro Preto, março de 2000
Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ESCOLA DE MINASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PÓS – GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análisede Sistemas Estruturais Metálicos Reticulados Planos
AUTOR: ALEXANDRE DA SILVA GALVÃO
ORIENTADOR: Prof. Dr. Ricardo Azoubel da Mota Silveira
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de EngenhariaCivil da Escola de Minas da UniversidadeFederal de Ouro Preto, como parte integrantedos requisitos para obtenção do título deMestre em Engenharia Civil, área deconcentração: Construções Metálicas.
Ouro Preto, março de 2000.
III
“...A ciência é a potência do homem, e, o amor, a sua força;o homem só se torna homem pela inteligência, mas só é homempelo coração.
Saber, amar e poder; eis a vida completa.”
Henri-Frédéric Amiel (1821-1891)
A minha família.
IV
MEUS AGRADECIMENTOS
“Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio,e eu faço mover o mundo.”
Arquimedes (287AC-217AC)
• Aos meus pais e ao meu irmão, por serem o meu mundo.
• Ao meu professor e orientador Ricardo Azoubel da Mota Silveira, por ter
sido a alavanca e o apoio dessa nossa empreitada.
• À Escola de Minas, por ser parte da minha vida.
• Aos meus colegas, pelo prazer da convivência nesses dois anos.
• À CAPES e à USIMINAS, pela ajuda financeira.
V
RESUMO
Este trabalho tem como principais objetivos o estudo e a implementação computacional
de formulações geometricamente não-lineares para elementos finitos reticulados planos
encontradas na literatura recente. Essas formulações, além de permitir a determinação da matriz
de rigidez e do vetor de forças internas de forma direta, podem ser acopladas com relativa
facilidade a várias estratégias de solução não-linear.
Procurando fornecer diferentes opções de modelagem de problemas de instabilidade
usando esses elementos finitos reticulados planos, foram implementadas as seguintes
formulações geometricamente não-lineares: (i) formulações definidas por Alves (1993b) e
Torkamani et al. (1997), implementadas aqui com procedimentos distintos de se avaliar o vetor
de forças internas: forma total e forma incremental; (ii) formulações propostas por Yang e Kuo
(1994), que se basearam em modelos linearizado, linearizado-simplificado e com termos de
ordem elevada; foram ainda introduzidas por esses autores duas abordagens diferentes,
implementadas neste trabalho, de obtenção do vetor de forças internas: deslocamentos naturais
incrementais e rigidez externa; e (iii) formulações em referencial Lagrangiano total, propostas
por Pacoste e Eriksson (1997), baseadas em diferentes relações cinemáticas e definições de
deformações; cinco formulações foram sugeridas por esses pesquisadores, onde todas foram
testadas no presente trabalho.
Essas formulações foram adaptadas à metodologia de solução não-linear que usa o
método de Newton-Raphson (Silveira, 1995), acoplado às diferentes estratégias de incremento
de carga e de iteração que permitem a ultrapassagem de pontos críticos (bifurcação e limite) que
possam existir ao longo da trajetória de equilíbrio.
A avaliação da eficiência computacional dessas formulações é feita no final do trabalho
através da análise de problemas estruturais fortemente não-lineares encontrados na literatura.
• Alves, R.V. (1993b). Formulação para Análise Não-Linear Geométrica em Referencial Lagrangiano
Atualizado. 3o Seminário de Doutorado, COPPE/UFRJ.• Pacoste, C. e Eriksson, A. (1997). Beam elements in instability problems. Comput. Methods Appl.Mech. Engrg., No 144, p. 163-197.• Silveira, R.A.M. (1995). Análise de Elementos Estruturais Esbeltos com Restrições Unilaterais deContato. Tese de Doutorado. PUC-RJ, Rio de Janeiro, RJ.• Torkamani, M.A.M., Sonmez, M. e Cao, J. (1997). Second-Order Elastic Plane-Frame Analysis UsingFinite-Element Method. Journal of Structural Engineering, Vol 12, No 9, p. 1225-1235.• Yang, Y.B. e Kuo, S.B. (1994). Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures, Prentice Hall.
VI
ABSTRACT
The main objectives of this work are the computational implementation and study of
geometrically non-linear formulations for two dimensional frame elements. In the formulations
here studied, the stiffness matrix and the internal forces vector can be obtained directly, and
they can be easily coupled to different non-linear solution strategies.
In order to give different options for the solutions of instability problems these two
dimensional frame elements, the following geometrically non-linear formulations were
implemented: (i) Alves (1993b) e Torkamani et al. (1997) formulations, where two different
procedures to obtain the internal forces vector (total and incremental approaches) were tested;
(ii) Yang and Kuo (1994) formulations, where a simplified, a linear-simplified and a higher
order planar frame element were used; these authors introduced two methodologies to obtain the
internal load vector: natural deformation and external stiffness approaches; (iii) Pacoste and
Eriksson (1997) formulations, where a total reference frame (total Lagrangian formulation) was
adopted, and different kinematic assumptions and strain definitions were used; five different
formulations were presented and tested in the present work.
These formulations were coupled to the non-linear solution methodology implemented
initially by Silveira (1995), which solves the resulting non-linear equations and obtains the non-
linear equilibrium paths through the Newton-Raphson method together with path following
techniques, such as the arc-length schemes proposed by Crisfield and orthogonal residual
procedures derived by Krenk.
The performance and capacity of these formulations are illustrated by means of several
numerical examples.
• Alves, R.V. (1993b). Formulação para Análise Não-Linear Geométrica em Referencial Lagrangiano
Atualizado. 3o Seminário de Doutorado, COPPE/UFRJ.• Pacoste, C. and Eriksson, A. (1997). Beam elements in instability problems. Comput. Methods Appl.Mech. Engrg., No 144, p. 163-197.• Silveira, R.A.M. (1995). Análise de Elementos Estruturais Esbeltos com Restrições Unilaterais deContato. Tese de Doutorado. PUC-RJ, Rio de Janeiro, RJ.• Torkamani, M.A.M., Sonmez, M. and Cao, J. (1997). Second-Order Elastic Plane-Frame AnalysisUsing Finite-Element Method. Journal of Structural Engineering, Vol 12, No 9, p. 1225-1235.• Yang, Y.B. and Kuo, S.B. (1994). Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures, Prentice Hall.
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SUMÁRIO
Resumo#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!
Abstract$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !"
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Lista de Tabelas $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%"!
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Capítulo 1#&#INTRODUÇÃO
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Capítulo 2#&#ASPECTOS IMPORTANTES DE UMA SOLUÇÃO NÃO-LINEAR
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Capítulo 3 – FORMULAÇÕES NÃO-LINEARES DE ELEMENTOS FINITOS:ALVES (1993b) e TORKAMANI et al. (1997)
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Capítulo 4 – FORMULAÇÕES NÃO-LINEARES DE ELEMENTOS FINITOS:YANG e KUO(1994)
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Capítulo 5 – FORMULAÇÕES NÃO-LINEARES DE ELEMENTOS FINITOS:PACOSTE e ERIKSSON (1997)
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Capítulo 6#&#PROGRAMA COMPUTACIONAL
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Capítulo 7 &#EXEMPLOS NUMÉRICOS
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Capítulo 8#&#CONCLUSÕES E SUGESTÕES
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$'P=
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LISTA DE FIGURAS
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Capítulo 2
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Capítulo 3
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Capítulo 4
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Capítulo 5
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Capítulo 6
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Capítulo 7
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LISTA DE TABELAS
Sm[OFQ
Capítulo 7
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LISTA DE SÍMBOLOS
Capítulo 2
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Capítulo 3
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Capítulo 4
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Capítulo 5
θH .LKQWXL#MI#GLHNL#HV[OML$
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θ .LKQWXL#MI#ZJ#NLFKL#nZQUnZIH#ML#IUIJIFKL$
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O desenvolvimento de novos materiais e técnicas construtivas, bem como os
recursos computacionais disponíveis hoje, têm levado ao emprego de elementos
estruturais cada vez mais esbeltos. A medida que se aumenta a esbeltez de um dado
elemento estrutural, este torna-se cada vez mais susceptível a sofrer grandes deflexões
laterais, que tendem a ocorrer antes da ruptura física. Para se projetar esse tipo de
estrutura deve-se usar o chamado critério de estabilidade. O estudo da não-linearidade
geométrica desses elementos estruturais torna-se, portanto, cada vez mais importante,
possibilitando em certos casos o aparecimento de múltiplas configurações de equilíbrio
(estáveis e instáveis), e a existência de pontos críticos (pontos limites e pontos de
bifurcação) ao longo do caminho não-linear de equilíbrio onde a estrutura pode exibir
saltos dinâmicos.
Portanto, o conhecimento do comportamento não-linear de elementos estruturais
esbeltos, tais como colunas, arcos, anéis, placas e cascas, é de fundamental importância
na solução de problemas de estabilidade/instabilidade local e/ou global de sistemas
estruturais complexos, pois na maioria das aplicações de engenharia esses sistemas são
formadas a partir da união desses elementos.
A análise da estabilidade de sistemas estruturais esbeltos através do Método dos
Elementos Finitos (MEF) envolve invariavelmente a solução de um sistema de equações
algébricas não-lineares. Como relatado no artigo de Riks (1979) e também destacado
em Silveira (1995), existem basicamente duas classes de solução desse sistema de
equações:
2
1. Adaptação computacional do método de perturbação desenvolvido por Koiter
(1970). Durante muitos anos o método de Koiter foi considerado inadequado ao
contexto de elementos finitos, entretanto, trabalhos recentes como os
desenvolvidos por Salerno e Lanzo (1997) e Wu e Wang (1997) provam o
contrário, renovando o interesse dos pesquisadores por esse método;
2. Métodos que procuram resolver as equações não-lineares passo a passo. Incluídos
nessa segunda classe estão os métodos puramente incrementais, as técnicas
baseadas em relações de rigidez secante e os esquemas que combinam
procedimentos incrementais e iterativos, que são atualmente considerados os mais
eficientes e que serão utilizado no presente trabalho.
Recentemente, muitos pesquisadores têm desenvolvido formulações
geometricamente não-lineares para elementos finitos (Alves 1993a-b; Crisfield, 1991;
Yang e Kuo, 1994; Pacoste e Eriksson, 1997; Torkamani et al., 1997; Neuenhofen e
Fillippou, 1997 e 1998), que têm sido adequadamente empregadas na modelagem de
vários sistemas estruturais esbeltos. Essas formulações permitem a determinação da
matriz de rigidez e do vetor de forças internas de forma direta e podem ser acopladas
com relativa facilidade às várias estratégias de solução não-linear.
Essas considerações motivaram a adoção desse tema para a presente dissertação
de mestrado.
3
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O presente trabalho é parte integrante das seguintes linhas de pesquisa do
Mestrado em Construção Metálica (Deciv/EM/UFOP):
• Análise Numérica e Computacional em Engenharia: tem como objetivo a
aplicação de métodos numéricos, como o método dos elementos finitos (MEF) e/ou o
método dos elementos de contorno (MEC), na determinação de respostas de sistemas de
engenharia;
• Instabilidade das Estruturas: objetiva o estudo do equilíbrio e estabilidade de
elementos estruturais esbeltos (colunas, arcos, anéis, placas e cascas) submetidos a
carregamentos diversos.
O principal objetivo deste trabalho é o estudo e implementação computacional de
formulações geometricamente não-lineares, para elementos finitos reticulados planos.
Essas formulações serão integradas à metodologia de solução numérica implementada
por Silveira (1995) e expandida por Rocha (2000), que implementou com sucesso
algumas estratégias de solução não-linear encontradas recentemente na literatura.
A seguir, na Seção (1.3), é feita uma revisão bibliográfica onde atenção especial é
dada aos trabalhos que tratam diretamente de formulações geometricamente não-
lineares.
No Capítulo 2 é feita uma explanação geral sobre a metodologia de solução não-
linear adotada, apresentando de maneira resumida as estratégias de incremento de carga
e iterações usadas no presente trabalho.
Os Capítulos 3, 4 e 5 pretendem apresentar de forma detalhada o desenvolvimento
teórico das formulações de elementos finitos não-lineares, que é o principal objeto de
estudo desta dissertação. Na descrição dessas formulações merecem destaque as
relações deformação-deslocamento, as deduções das equações de equilíbrio, o tipo de
elemento finito e as funções de interpolação utilizadas e, finalmente, a obtenção dos
vetores de forças internas e das matrizes de rigidez.
O Capítulo 6 apresenta de forma resumida os procedimentos adotados na
implementação computacional das formulações apresentadas nos Capítulos 3, 4 e 5,
onde atenção especial é dada à montagem da matriz de rigidez e do vetor de forças
internas.
4
As formulações apresentadas nos Capítulos 3, 4 e 5 são analisadas no Capítulo 7,
que apresenta exemplos de problemas estruturais encontrados na literatura. A Seção
(7.2) fornece cinco exemplos clássicos que, por serem mais simples, têm soluções
analíticas (exatas) encontradas na literatura. Em função da confiabilidade dessas
análises, seus resultados têm o objetivo de avaliar a qualidade dos resultados produzidos
pelas diferentes formulações. Com o intuito de validar as observações feitas na Seção
(7.2), são abordados na Seção (7.3) cinco problemas estruturais de estabilidade elástica
fortemente não-lineares, cujas soluções, obtidas numericamente por diversos
pesquisadores, são encontradas na literatura.
Finalmente, no Capítulo 8, são apresentadas as conclusões sobre o emprego das
diversas formulações analisadas nos exemplos do Capítulo 7. São fornecidas também
algumas sugestões para o desenvolvimento de trabalhos futuros.
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Nas últimas décadas as técnicas de análise de estruturas geometricamente não-
lineares têm tido grande interesse por parte dos pesquisadores. Particular atenção tem
sido direcionada ao desenvolvimento de formulações de elementos finitos reticulados
planos que, além de possibilitar uma análise rápida e eficaz de muitos sistemas
estruturais reais, possibilita o emprego direto de estratégias de solução não-lineares que,
posteriormente, podem ser adaptadas para outros tipos de elementos.
Na década de 60 foram introduzidas várias formulações geometricamente não-
lineares de elementos finitos para análise de pórticos planos, com solução direta e
incremental. Entre elas pode-se destacar as formulações em referencial Lagrangiano
total (RLT) desenvolvidas por Mallet e Marçal (1968) e Jennings (1968), que incluíram
as matrizes de ordem elevada 4! == e no cálculo da matriz de rigidez do elemento.
Martin (1965), que desenvolveu uma formulação em referencial Lagrangiano atualizado
(RLA), incluiu no cálculo da matriz de rigidez do elemento a matriz geométrica >= ,
porém desprezou a contribuição de 4! == e . Ebner (1972) realizou um estudo
5
comparativo entre as formulações de Argyris (1964), Martin (1965), Jennings (1968),
Mallet e Marçal (1968) e Powell (1969).
Epstein e Murray (1976) desenvolveram uma formulação para elementos de
pórticos planos análoga à formulação para elementos de casca, para grandes
deformações, apresentada por Budiansky (1968).
Recentemente, formulações em referenciais Lagrangianos (RLT e RLA) foram
apresentadas por vários pesquisadores, dos quais pode-se citar: Wen et al. (1983);
Chajes et al. (1987); Goto et al. (1987); Wong e Loi (1990); Alves (1993a-b) e
Torkamani et al. (1997). Yang e Kuo (1994) sugeriram uma forma incremental de se
calcular o vetor de forças internas com duas abordagens diferentes para os
deslocamentos nodais: deslocamentos naturais incrementais e rigidez externa. Pacoste e
Eriksson (1995 e 1997) introduziram formulações em RLT baseadas em relações
deformação-deslocamento denominadas ‘relações melhoradas’, com a não-linearidade
expressa por funções trigonométricas.
Singh e Singh (1992) propuseram um modelo com matriz de rigidez e vetor de
forças internas modificáveis de acordo com a natureza das forças axiais.
Um procedimento geral para a obtenção de matrizes de rigidez simétricas foi
proposto por Moran et al. (1998). Neuenhofer e Filippou (1998) propuseram uma
formulação baseada no método da flexibilidade.
Crisfield (1991) afirmou em seu livro que o termo corrotacional tem sido
utilizado na literatura em diferentes contextos, sendo portanto, como afirmam ainda
Pacoste e Eriksson (1997), uma denominação inconsistente. A idéia central desse tipo
de formulação é o cálculo da matriz rigidez e do vetor de forças internas no campo dos
deslocamentos naturais (ou locais), que são os deslocamentos referidos a um sistema de
coordenadas que é atualizado a cada passo de carga, acompanhando a rotação sofrida
pelo elemento. Das formulações com abordagem corrotacional publicadas recentemente
pode-se destacar a formulação em RLA proposta por Crisfield (1991) e as formulações
desenvolvidas em RLT por Pacoste e Eriksson (1997) e Xu e Mirmiran (1997).
Ao contrário da teoria de vigas de Bernoulli, na teoria de vigas de Timoshenko os
efeitos devidos às deformações cisalhantes na seção transversal não são desprezados no
cálculo da rigidez da estrutura. Formulações baseadas na teoria de vigas de Timoshenko
6
foram propostas por Iwakuma (1990), Lee et al. (1994), Petrolito (1995) e Pacoste e
Eriksson (1997).
Os sistemas estruturais formados por barras curvas podem ser analisados com as
formulações de elementos finitos de vigas retas. Porém, com o intuito de melhorar a
eficiência dessas análises foram desenvolvidas formulações de elementos finitos curvos.
Entre os trabalhos recentes, merecem destaque as formulações de elementos curvos
propostas por Marquist e Wang (1989), Kim e Kim (1998), e Raveendranath et al.
(1999); e as formulações de elementos parabólicos propostas por Litewka e Rakowski
(1997 e 1998).
Paralelamente aos elementos para análises bidimensionais, têm-se desenvolvido o
estudo de elementos finitos para análise geometricamente não-linear de pórticos
tridimensionais. Sabe-se de antemão que uma formulação não-linear tridimensional não
é uma simples extensão de uma formulação bidimensional porque as rotações finitas
tridimensionais não são quantidades vetoriais. Recentemente, vários pesquisadores têm
publicado formulações não-lineares para análise estática de pórticos tridimensionais.
Entre eles pode-se destacar Yang e Kuo (1994), que propôs formulações para elementos
tridimensionais retos e curvos; Choi e Lim (1995), com uma formulação de elemento
curvo; al.et coviIbrahimbeg ′ (1996); Ammar et al. (1996), com formulações para
elementos de vigas esbeltas e não-esbeltas; Matsununga (1996), com uma formulação
para pilares não-esbeltos; Pacoste e Eriksson (1997), que propuseram formulações com
abordagem total e corrotacional; Rhim e Lee (1998), que desenvolveram uma
formulação dando um tratamento vetorial à geometria do problema; e Li (1998), que
elaborou uma formulação aplicando a teoria de rotações finitas.
Tem-se produzido também um grande número de formulações geometricamente
não-lineares incluindo análise elasto-plástica de sistemas estruturais reticulados. Essas
formulações têm como principal característica a adotação do critério de escoamento
plástico na determinação das tensões. Nessa linha de pesquisa pode-se destacar os
seguintes trabalhos já publicados: Hsiao et al. (1988), Lee (1988), Meek e Loganathan
(1990), Chang-New Chen (1996), Park e Lee (1996), Ovunc e Ren (1996), Saje et al.
(1997), Saje et al. (1998), Waszczyszyn e Michalska (1998).
7
Nos últimos 20 anos, os avanços tecnológicos e as exigências do mercado de
engenharia, que introduziram maior complexidade e eficiência aos cálculos estruturais,
levaram os pesquisadores a procurarem metodologias de solução que ao mesmo tempo
produzissem resultados precisos e fossem de rápido processamento. Juntamente com as
pesquisas relativas ao desenvolvimento de formulações não-lineares, muitos trabalhos
têm sido produzidos com a finalidade de se determinar a melhor estratégia de solução
não-linear. Os métodos que têm mostrado maior eficiência são os que combinam
procedimentos incrementais e iterativos. Como trabalhos pioneiros podem ser citados os
desenvolvidos por: Argyris (1964), com a aplicação de um método incremental para
solução não-linear; Mallet e Marçal (1968), que utilizaram iterações do tipo Newton
para contornarem os possíveis erros nas aproximações incrementais; Zienkiewicz
(1971), que apresentou uma modificação no método de Newton-Raphson, fazendo com
que a matriz de rigidez só fosse atualizada a cada passo de carga.
Diversos trabalhos têm sido publicados apresentando diferentes estratégias de
controle automático do processo incremental, bem como diferentes estratégias de
iteração. Utilizando um ‘parâmetro de rigidez corrente’ como indicador do grau de não-
linearidade do sistema, Bergan et al. (1978) e Bergan (1980) suprimiram as iterações de
equilíbrio nas zonas críticas da trajetória, até os pontos limites serem atravessados; os
trabalhos de Bergan et al. (1978) e Heijer e Rheinbold (1981) forneceram diferentes
estratégias de incremento de carga.
Batoz e Dhatt (1979) apresentaram uma técnica na qual o ciclo iterativo é
realizado não à carga constante, mas a deslocamento constante, o que permite se obter
os pontos limites de carga mas não os de deslocamento; Riks (1979) apresentou um
método, baseado no parâmetro comprimento de arco ∆l, capaz de calcular pontos limites
de carga e de deslocamento com a introdução de um parâmetro que controla o progresso
dos cálculos ao longo do caminho de equilíbrio; Meek e Tan (1984) apresentaram um
resumo das principais técnicas para se ultrapassar os pontos limites, das quais a técnica
do comprimento de arco foi reconhecida como uma das mais eficientes. Contribuíram
com essa técnica: Riks (1972 e 1979), Ramm (1981), Schweizerhof e Wriggers (1986) e
Crisfield (1981, 1991 e 1997).
Yang e Kuo (1994) introduziram estratégias de incremento de carga e iteração
baseadas em relações de restrição para as quais é definido um parâmetro generalizado,
8
Krenk (1993 e 1995) elaborou uma nova estratégia de iteração, introduzindo duas
condição de ortogonalidade: a primeira entre o vetor de cargas residuais e o incremento
de deslocamento e a outra entre o incremento de forças internas e o vetor de
deslocamentos iterativos.
Crisfield (1997) introduziu procedimentos numéricos que permitem avaliar com
precisão os pontos críticos existentes, e obter as trajetórias de equilíbrio secundárias.
Silveira et al. (1999a-b) forneceram uma metodologia geral de solução de
sistemas de equações algébricas não-lineares que, num contexto computacional pode ser
resumida em duas partes: (i) a partir de uma dada configuração de equilíbrio da
estrutura é calculada uma solução incremental inicial; (ii) em seguida, essa solução é
corrigida com iterações do tipo Newton até ser atingida a nova configuração de
equilíbrio. Nesses dois trabalhos diversas estratégias de iteração e incremento de carga
foram testadas. Utilizando a mesma metodologia, Rocha (2000), em sua Dissertação de
Mestrado, vem realizando um estudo comparativo de diversas estratégias de iteração e
incremento de carga através da análise de vários exemplos numéricos de sistemas
estruturais.
2SOLUÇÃO NÃO-LINEAR
2.1 – INTRODUÇÃO
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2.2 - SOLUÇÃO NÃO-LINEAR
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2.3. – REFERENCIAIS LAGRANGIANOS
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2.4 – ESTRATÉGIAS DE INCREMENTO DE CARGA
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2.4.1 – Incremento do Comprimento de Arco
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2.4.2 – Incremento Baseado no Parâmetro GSP
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GLFKHLUI# MI# MIRULGQJIFKL# [IFIHQUOYQML$# -J# KIHJLR# [IHQORa# dQF[# I# eZL# _'??=c
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IfGUZRO`QJIFKI#MLR#`IKLHIR# ruδK #I# ruδ a#GLF^LHJI#JLRKHQ#Q#-nZQWXL#_3$'?c$
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2.5 – ESTRATÉGIAS DE ITERAÇÃO
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IRKHQKo[OQ#MI#OKIHQWXLa#LZ#InZQWXL#MI#HIRKHOWXL#OJNLRKQ#QL#NHLbUIJQa#nZI#KIJ#Q#^ZFWXL
MI# LKOJOYQH# Q# GLF`IH[rFGOQ# ML# NHLGIRRL# OKIHQKO`L$# /# RI[ZOH# RXL# QNHIRIFKQMQR# MZQR
IRKHQKo[OQR#bQRKQFKI#I^OGOIFKIR#nZI#RIHXL#ZKOUOYQMQR#FLR#IfIJNULR#ML#(QNVKZUL#E$
2.5.1 – Comprimento de Arco Cilíndrico
(HOR^OIUM# _'?P'c# I# .QJJ# _'?P'# I# '?P3c# NHLNZRIHQJa# nZIa# Q# GQMQ# OKIHQWXLa# Q
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QnZIUQ#nZI#JQOR#RI#QNHLfOJQ#MQ#RLUZWXL#OFGHIJIFKQU#MQ#OKIHQWXL#QFKIHOLHa#∆u(k-1)$#-RRQ
IRGLUhQ#MI`I#NHI`IFOH#ZJ#NLRRV`IU# HIKLHFLa#L#nZI#^QHOQ#Q#RLUZWXL#HI[HIMOH#QL# ULF[L#ML
GQJOFhL#pm#GQUGZUQML$#>J#NHLGIMOJIFKL#ZKOUOYQMLa#GLFRORKI#IJ#RI#QGhQH#L#JIFLH#TF[ZUL
IFKHI#∆uk#I#∆u(k-1)$#"RKL#InZO`QUI#Q#QGhQH#L#JmfOJL#GLRRIFL#ML#TF[ZULi
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2.5.2 – Iteração usando Deslocamento Generalizado
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2.5.3 – Iteração usando Resíduo Ortogonal
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2.6 – CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA
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FL#RORKIJQ#ULGQU#NQHQ#L#IUIJIFKL#[IFoHOGL$
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JQKHOY#%Ia#nZI#o#Q#JQKHOY#MI#HLKQWXL#IFKHI#L#RORKIJQ#[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQR#I#L#RORKIJQ
ULGQU#QKZQUOYQML#FQ#xUKOJQ#OKIHQWXL#NHLGIRRQMQ$#)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#ML#RORKIJQ#oa
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IUIJIFKLa#MI`OMQJIFKI#KHQFR^LHJQMLR#NQHQ#L#RORKIJQ#[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQa#LZ#RIpQi
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JQKHOY# MI# HO[OMIY# IUmRKOGQa# NLOR# { },b,MG OF8 ##�# = $# SLHoJ# Q# JQKHOY# #τG FXL# NQRRQ# FL
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##A############A##############A###############A#############A###############A#######
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#######383D'D#
##A####383D'D@#######A############A#####38
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θ
θ
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++
++
++
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GLFROMIHQWXL#LR#I^IOKLR#MI#GLHNL#HV[OML#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
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KHQFR^LHJQMLR#NQHQ#L#RORKIJQ#[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQ#QKHQ`oR#MQ#RI[ZOFKI#HIUQWXLi
∑=
∆+∆+ =J
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KK # PIP <%< #################################################################################_=$=?c
SLMI@RI#Q^OHJQH#nZI#Q#QbLHMQ[IJ#GLJ#Q#OFKHLMZWXL#MQ#umatriz de rigidez externav
KIFMI#Q#NHLMZYOH#`QULHIR#NQHQ#QR# ^LHWQR# OFKIHFQR# KQFKL#JQOR#NHkfOJLR#MQnZIUIR#LbKOMLR
ZRQFML#‘deslocamentos naturais incrementaisv#nZQFKL#JIFLHIR#^LHIJ#LR#MIRULGQJIFKLR$
>JQ#JQFIOHQ#MI#RI#`ORZQUOYQH#IRKQ#Q^OHJQWXL#o#HIIRGHI`IH#Q#-nZQWXL#_=$=Pc#MQ#RI[ZOFKI
^LHJQi
[ ]OFP MMG< ∆−∆=K� ####################################################################################_=$BAc
LbRIH`QFML#QR#NHLNHOIMQMIR#MQ#JQKHOY#Ga#NLMI@RI#HIQHHQFpQH#_=$BAc#GLJL#RI[ZIi
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∆−∆
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#@#6IFRLH#MI#2HIIF#GLJNUIKLi####O@#MI^LHJQWgIR#QfOQORi
####OO@#MI^LHJQWgIR#GORQUhQFKIRi
]3#
@#<LHJZUQWXL#linearizadai
@#!IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQRa##GLJ#IfGIWXL#MI,]30a##GQUGZUQML#QKHQ`oR#MLRi##deslocamentos naturais incrementaisi
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∆+
∆+∆=ε∆
33
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3'
MfZM
∆∆+∆∆+
∆+∆=ε∆Mf`M
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MfZM
M}ZM
3'
Mf`M##
M}ZM
3'
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@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi
@#*L#GmUGZUL#MQ#RLUZWXL#NHIMOKQa##GLFROMIHQ@RI#QNIFQR#Q#NQHGIUQ#UOFIQH##MQ#JQKHOY#MI#HO[OMIYi
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�#� �GG,G 8 +=
]30
@#<LHJZUQWXL#linearizadai∫ ∆∆+=∆Π τR
OO8 MR#Z#<##@>#>#
@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi�#� �GG,G 8 +=
@#!IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQRi###matriz de rigidez externai
( ) #K MGG< OFP ∆−=∆
PPP <<< KKKK ######### ∆∆+ +=
]/#
@#<LHJZUQWXL linearizada-simplificadai
∫ ∆∆+=∆Π −τR
OO8R MR#Z#<##@>#>#
@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi�#� �GG,G 8 +=
]9#
@#<LHJZUQWXL#GLJ ordem elevadai
@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi
∫ ∆∆+++=∆Π τR
OO3'8 MR#Z#<##@>>>#>#
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3'
3� MMGMGGGG !8 ∆∆+∆++=
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5FORMULAÇÕES NÃO-LINEARESDE ELEMENTOS FINITOS:PACOSTE e ERIKSSON (1997)
5.1 – INTRODUÇÃO
*IRKI#GQNVKZUL#RIHXL#QNHIRIFKQMQR#QR# ^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR# ^OFOKLR#NHLNLRKQR
HIGIFKIJIFKI# NLH# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec$# -RRQR# ^LHJZUQWgIRa# MO^IHIFKIJIFKI
MQnZIUQR# QNHIRIFKQMQR# FLR# GQNVKZULR# QFKIHOLHIRa# RXL# MIRIF`LU`OMQR# IJ# referencial
Lagrangiano total _.86ca# GLJ# MZQR# QbLHMQ[IFR# MO^IHIFKIR# NQHQ# LR# MIRULGQJIFKLRi# Q
QbLHMQ[IJ#KLKQU#NHLNHOQJIFKI#MOKQa#IJ#nZI#LR#MIRULGQJIFKLR#FLMQOR#RXL#HI^IHOMLR#Q#ZJ
RORKIJQ# MI# GLLHMIFQMQR# ULGQOR# ^OfL�# I# Q# QbLHMQ[IJ# GLHHLKQGOLFQUa# LFMI# Q# JQKHOY# MI
HO[OMIY#I#L#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#RXL#GQUGZUQMLR#FL#GQJNL#MLR#MIRULGQJIFKLR#FQKZHQOR
KLKQORa#ORKL#oa#LR#MIRULGQJIFKLR#RXL#HI^IHOMLR#Q#ZJ#RORKIJQ#MI#IOfLR#nZI#o#GLFKOFZQJIFKI
QKZQUOYQML#{#JIMOMQ#nZI#L#IUIJIFKL#[OHQ$
/# +IWXL# _B$3c# NHIKIFMI# IfNLH# QR# MO^IHIFKIR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL
GLFROMIHQMQR# FQR# ^LHJZUQWgIR# NHLNLRKQRa# JLRKHQFMLa#JQOR# ZJQ# `IY# Q# NQHKOGONQWXL# ML
KIFRLH#MI#2HIIF@8Q[HQF[I#I#OFKHLMZYOFML#QR#GhQJQMQR#HIUQWgIR#uJIUhLHQMQRv#RZ[IHOMQR
NLH#SQGLRKI#I#-HOjRRLF#_'??Ec$
/#+IWXL#_B$:c#^LHFIGIa#MI#ZJ#JLML#[IHQUa#L#^ZFGOLFQU#MI#IFIH[OQ#ML#RORKIJQ#IJ
IRKZML$
<OFQUJIFKIa# FQ# +IWXL# _B$=ca# RXL# QNHIRIFKQMQR# MIKQUhQMQJIFKI# QR# GOFGL
^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# GLJ# QR# GLFROMIHQWgIR# MQR# MO^IHIFKIR# ^ZFWgIR# MI
OFKIHNLUQWXL#I#MI^OFOWgIR#MQR#JQKHOYIR#MI#HO[OMIY#I#MLR#`IKLHIR#MI#^LHWQR#OFKIHFQR$
\P
5.2 – RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO
/R# GOFGL# ^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# OFKHLMZYOMQR# NLH# SQGLRKI# I# -HOjRRLF
_'??Ec# ^LHQJ# bQRIQMQR# IJ# MO^IHIFKIR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL$# /R# MZQR
^LHJZUQWgIR# GLJ#QbLHMQ[IJ# uGLHHLKQGOLFQUva# QRROJ#GLJL# KLMQR# QR#LZKHQR# ^LHJZUQWgIR
MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# QNHIRIFKQMQR# FLR#(QNVKZULR# :# I# =# ZKOUOYQJ# HIUQWgIR# ML# KIFRLH# MI
2HIIF@8Q[HQF[Ia#GLJ#Q#QGIOKQWXL#MQ#hONkKIRI#MQ#KILHOQ#MI#`O[QR#MI#4IHFLZUUO$#/R#LZKHQR
KHrR# ^LHJZUQWgIRa#GZpQ#QbLHMQ[IJ#^LO#MIFLJOFQMQ# uKLKQUva# ^LHQJ#bQRIQMQR#IJ#HIUQWgIR
uJIUhLHQMQRva#GLJ#Q#OFKHLMZWXL#MQ#FXL@UOFIQHOMQMI#QKHQ`oR#MI#^ZFWgIR#KHO[LFLJoKHOGQR$
>JQ#LbRIH`QWXL#OJNLHKQFKI#o#nZI#KLMQR#QR#^LHJZUQWgIR#QNHIRIFKQMQR#IJ#SQGLRKI
I#-HOjRRLF#_'??Eca#QL#GLFKHmHOL#MQnZIUQR#MLR#GQNVKZULR#QFKIHOLHIRa#ZKOUOYQJ#L#referencial
Lagrangiano total# _.86c$# SLHKQFKLa# QR# HIUQWgIR# QNHIRIFKQMQR# FIRKI# GQNVKZUL# RXL
HI^IHIFKIR#Q#MIRULGQJIFKLR#I#MI^LHJQWgIR#uKLKQORv#I#FXL#uOFGHIJIFKQORv$
5.2.1 – Relações baseadas no Tensor de Green-Lagrange
/R#^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR#^OFOKLR# OFKHLMZYOMQR#NLH#SQGLRKI#I#-HOjRRLF# _'??Ec
nZI#RI#bQRIQHQJ#FZJQ#QbLHMQ[IJ#uGLHHLKQGOLFQUva#GLFROMIHQJ#QR#HIUQWgIR#MI^LHJQWXL@
MIRULGQJIFKL#ML#KIFRLH#MI#2HIIF@8Q[HQF[Ia#QGIOKQFML@RI#QMOGOLFQUJIFKI#Q#hONkKIRI#MQ
KILHOQ# MI# `O[QR# MI# 4IHFLZUUO$# ,IRRQ# ^LHJQa# RXL# QNHIRIFKQMQR# Q# RI[ZOH# QR# HIUQWgIR
GLFROMIHQMQR$
5.2.1.1 – Relações de segunda ordem
-RKQR# HIUQWgIR# RXL# [IHQMQR# NIUL# KIFRLH# MI# 2HIIF@8Q[HQF[I# OFGLJNUIKLa# NLOR
MIRNHIYQ@RI#L#KIHJL# ( ) 3#MfsZM MQ#HIUQWXL#GLHHIRNLFMIFKI#{R#MI^LHJQWgIR#QfOQOR$#C#QOFMQ
HIQUOYQMQ#ZJQ#ZFO^LHJOYQWXL#MQR#MI^LHJQWgIR#QfOQORa#RIJIUhQFKI#{#RZ[IHOMQ#NLH#/U`IR
_'??:bca#NQHQ#GLFKLHFQH#LR#I^IOKLR#MI#uJIJbHQFI#ULGjOF[va#LZ#RIpQi
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MfZM##
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(LFROMIHQFML@RI#QNIFQR#Q#NQHGIUQ#UOFIQH#MQR#MI^LHJQWgIR#KHQFR`IHRQOR#I#Q#hONkKIRI#MI
4IHFLZUUOa#GLF^LHJI#JLRKHQML#FQ#-nZQWXL#_=$?Qc#ML#GQNVKZUL#QFKIHOLHa#GhI[Q@RI#Qi
AI#3#3# f}f} ==ε=γ ########################################################################################_B$'bc
/#GZH`QKZHQ#j#MQ#`O[Q#o#QNHLfOJQMQ#NIUQ#HIUQWXLi
##MfMj θ=
##################################################################################################################################_B$'Gc
LFMI#^LO#QRRZJOML#MfM`#=θ $#/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#GLHHIRNLFMIFKIR#RXL#MQMQR#NLHi
-"jD##################-/S ff =ε= #########################################################################_B$3c
5.2.1.2 – Relações lineares
(QRL#QR#NQHGIUQR#FXL#UOFIQHIR#MQR#HIUQWgIR#QFKIHOLHIR#RIpQJ#MIRNHIYQMQRa#NLMI@RIIRGHI`IHi
MfZM##ff =ε ##########################################################################################################_B$:Qc
A#=γ #################################################################################################################_B$:bc
##MfMj θ= ############################################################################################################_B$:Gc
/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#Q#RIHIJ#GLFROMIHQMQR#QnZO#RXL#QR#JIRJQR#MI#_B$3c$
EA
5.2.2 – Relações melhoradas
(LJ#L# LbpIKO`L# MI# LbKIH# ZJ# IUIJIFKL# MI# `O[Q# FXL@UOFIQHa# GQNQY# MI# HINHIRIFKQH
GLHHIKQJIFKI# LR# KIHJLR# MI# IFIH[OQ# MI# LHMIJ# IUI`QMQa# RIHXL# OFKHLMZYOMQR# QR# HIUQWgIR
MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL#uJIUhLHQMQRv$
/# GLF^O[ZHQWXL# GLHHIFKI# MI^LHJQMQ# MLR# IOfLR# MQ# `O[Qa# GLF^LHJI# Q# <O[ZHQ# B$'a
NLMI#RIH#MIRGHOKQ#NLH#ZJQ#GZH`Q#HI[ZUQH#MI^OFOMQ#NIUL#`IKLH#NLROWXLi
j ir #`_fc#Z_fc�#�f##_fc ++= ###################################################################################_B$=c
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_+c
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LFMI#GQMQ#NLFKL#ML#IOfL#MQ#`O[Q#o#QRRLGOQML#Q#ZJQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#_+c�#L#TF[ZUL#θ_fc
MI^OFI#Q#HLKQWXL#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI^LHJQMQ$
E'
)# `IKLH# KQF[IFKI# QL# IOfL# MQ# `O[Q# MI^LHJQMQa# FL# NLFKL# MQ# RIWXL# _+ca# NLMI# RIH
MIRGHOKL#NIUQR#MI^LHJQWgIR#εffa#γ#I#j#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
b ar ##�##'�# fffa γ+ε+= ##########################################################################################_B$Bc
LFMI#L#`IKLH#ZFOKmHOL#LHKL[LFQU#Q#_+c#o#MQML#NLHi
j ia #c_RIF#cLR_G#cf_ θ+θ= ####################################################################################_B$\c
I#L#`IKLH#ZFOKmHOL#NQHQUIUL#Q#_+c#o#MQML#NLHi
jos ib #c_G#cRIF_#cf_ θ+θ−= ################################################################################_B$Ec
,IHO`QFML@RI#_B$=c#IJ#HIUQWXL#Q#fa# OJNLFML#Q#O[ZQUMQMI#_B$Bc#I#GLFROMIHQFML#QR
HIUQWgIR#_B$\c#I#_B$Eca#GhI[Q@RI#Qi
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##cRIF_#MfMZ#'#@cGLR_#
MfM` θ
+θ
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##MfMj θ= ############################################################################################################_B$PGc
/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#GLHHIRNLFMIFKIR#RXL#MQMQR#NLHi
j#-"D#######################2/#~###################-/S ff =γ=ε= ################################_B$?c
LFMI#LR#`QULHIR#MI# HO[OMIY# InZO`QUIFKIR# -"#I#2/##a/- #FXL# RXL#FIGIRRQHOQJIFKI# O[ZQOR
QLR#KHQMOGOLFQOR#-/a#2/#I#-"$
)bRIH`I# nZI# LR# `IKLHIR# r,x# I#a# KLHFQJ@RI# GL@UOFIQHIR# RI# Q# hONkKIRI# MQ# KILHOQ# MI
`O[QR#MI#4IHFLZUUO#o#QRRZJOMQ$#/RROJ#_B$Bc#NLMI#RIH#HIIRGHOKQ#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
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ar x, #�##'�# ffε+= ################################################################################################_B$'Ac
.IQUOYQFML#QMOGOLFQUJIFKI#ZJQ#ZFO^LHJOYQWXL#MQR#MI^LHJQWgIR#QfOQORa#NQHQ#GLFKLHFQH
LR#I^IOKL#MI#uJIJbHQFI#ULGjOF[va#LbKoJ@RI#QR#IfNHIRRgIRi
∫
θ
θ+=ε
8
Aff Mf##
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8'# #####################################################_B$''Qc
##c_#KQF#MfMZ#'##
MfM`#############A# θ
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⇔=γ #######################################################_B$''bc
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j#"-D##########I#########/-S ff =ε= ####################################################################_B$'3c
)bRIH`Q@RI# nZI# QR# HIUQWgIR# bQRIQMQR# FL# KIFRLH# MI# 2HIIF@8Q[HQF[I# NLMIJ# RIH
LbKOMQR#GLJL#GQRLR#NQHKOGZUQHIR#MQR#HINHIRIFKQMQR#IJ#_B$''c$#/RROJa#ZKOUOYQFML@RI#ZJQ
QNHLfOJQWXL#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#NQHQ#Q#^ZFWXL#KHO[LFLJoKHOGQ# cLR_G θ a#LZ#RIpQi
θ≈θθ≈θ cIF_R######I######3'@'cLR_G 3 ##################################################################_B$':c
GLFRI[ZI@RI# HIUQWgIR# InZO`QUIFKIR# {R# MQMQR# IJ# _B$'c$# SLH# LZKHL# UQMLa# RI# ^LH# ZKOUOYQMQ
ZJQ#QNHLfOJQWXL#MI#NHOJIOHQ#LHMIJ#NQHQ#L#GLR_θc#LZ#RIpQi
θ≈θ≈θ cIF_R######I#####'cLR_G #############################################################################_B$'=c
GhI[Q@RI#FQR#HIUQWgIR#InZO`QUIFKIR#{R#^LHFIGOMQR#IJ#_B$:c$
E:
)bRIH`QFML# IRRI# ^QKLa# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec# GLFGUZVHQJ# nZI# LR# `QULHIR# MI
HO[OMIY# InZO`QUIFKIR# -"#I#2/##a/- # FL# GQRL# MI# NInZIFQR# MI^LHJQWgIRa# NLMIHOQJ# RIH
GLFROMIHQMQR#O[ZQOR#QLR#KHQMOGOLFQOR#-/a#2/#I#-"$
5.3 – FUNCIONAL DE ENERGIA
)#^ZFGOLFQU#MI#IFIH[OQ#o#MI^OFOML#GLJL#FQ#-nZQWXL#_:$'Bca#LZ#RIpQi
#!####>## +=Π #####################################################################################################_B$'Bc
RIFML# nZI# Q# IFIH[OQ# MI# MI^LHJQWXL# ># o# MI^OFOMQ# FL# referencial Lagrangiano total
_.86c#GLJLi
∫ ∫ε
τ=!LU A
OpOp M!LU#c�M#_#>Op
####################################################################################_B$'\c
"FKI[HQFML#FQ#mHIQ#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#I#GLFROMIHQFML@RI#QR#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR
_B$?c#GLJ# -"-"#I2/#2/##-/a/- === a#NLMI@RI#HIIRGHI`IH#_B$'\c#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
[ ]∫ +γ+ε=8
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333ff Mf##j#-"##2/##-/###
3'#> #############################################################_B$'Ec
SQHQ# LR# GQRLR# IJ# nZI# RI# GLFROMIHQ# Q# hONkKIRI# MI# 4IHFLZUUO# RXL# ZKOUOYQMQR# QR
HIUQWgIR#_B$''c#I#Q#IFIH[OQ#MI#MI^LHJQWXL#NLMI#RIH#IfNHIRRQ#ROJNUIRJIFKI#NLHi
[ ]∫ +ε=8
A
33ff Mf##j#-"##-/###
3'#> ###########################################################################_B$'Pc
/#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#MQR#^LHWQR#IfKIHFQR#!a#o#MI^OFOMQ#GLJLi
E=
#MR#Z#<#@##!R
OO∫= #################################################################################################_B$'?c
5.4 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO FINITO
-J# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec# NLMIJ# RIH# IFGLFKHQMQR# QR# GOFGL# MO^IHIFKIR
^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR#^OFOKLR#FXL@UOFIQHIR#QNHIRIFKQMQR#Q#RI[ZOH$
/R# KHrR# NHOJIOHQR# ^LHJZUQWgIR# Q# RIHIJ# QFQUORQMQR# RXL# MIFLJOFQMQR# MI# uKLKQUva
NLORa# LR# KIHJLR# MI# IFIH[OQ# RXL# IfNHIRRLR# IJ# ^ZFWXL# MLR# MIRULGQJIFKLR# KLKQOR$# )
NHOJIOHL# IUIJIFKL# ^OFOKL# MIRRI# [HZNL# o# bQRIQML# FQ# KILHOQ# MI# `O[QR# MI# 6OJLRhIFjLa
QRROJa# FXL# MIRNHIYQ# QR# MI^LHJQWgIR# KHQFR`IHRQOR# MQR# RIWgIR# MI`OML# {R# KIFRgIR
GORQUhQFKIR$# )R# LZKHLR# MLOR# JLMIULR# GLFROMIHQJ# Q# hONkKIRI# MQ# KILHOQ# MI# `O[QR# MI
4IHFLZUUOa#MIRNHIYQFML#NLHKQFKL#LR#I^IOKLR#GORQUhQFKIR$
/R# MZQR# ^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# HIRKQFKIR# RXL# MIFLJOFQMQR
uGLHHLKQGOLFQUv# I# LR# MIRULGQJIFKLR# KLKQOR# RXL# IfNHIRRLR# IJ# GLLHMIFQMQR# ULGQORa
GLLHMIFQMQR# IRKQR# nZI# RXL# GLFRKQFKIJIFKI# QKZQUOYQMQRa# [OHQFML# I# KHQFRUQMQFML# GLJ# L
IUIJIFKL$#SQHQ#IRRIR#IUIJIFKLR#^OFOKLR#KQJboJ#o#QGIOKQ#Q#hONkKIRI#MI#4IHFLZUUO$
5.4.1 – Formulação total: Timoshenko
SQHQ# IRKQ# ^LHJZUQWXL# ^LHQJ# ZKOUOYQMQR# QR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL
uJIUhLHQMQRva# HINHIRIFKQMQR# NIUQR# -nZQWgIR# _B$Pca# RIJ# QNHLfOJQWgIR# NQHQ# QR# ^ZFWgIR
KHO[LFLJoKHOGQR$#-J#GLJNIFRQWXL#^LHQJ#QMLKQMQR#^ZFWgIR#MI#OFKIHNLUQWXL#UOFIQHIR#NQHQ
QNHLfOJQH#LR#MIRULGQJIFKLR#Z#I#`i
33'' Z9Z9Z += ###########################################################################################_B$3AQc
33'' `9`9` += ############################################################################################_B$3Abc
I#Q#GZH`QKZHQ#j#^LO#QNHLfOJQMQ#NLHi
EB
33
'' #
f#M9#M#
MfM9
Mf#Mj θ+θ=θ= ##########################################################################_B$3AGc
RIFML# θ# _fca# MI^OFOML# GLJL# L# `QULH# JoMOL 3sc##_## 3' θ+θ=θ �# 9'# I# 93# RXL# ^ZFWgIR# MI
OFKIHNLUQWXL#MQMQR#NLHi
9f8' '= − #####I######9
f83 = ##############################################################################_B$3'c
(LJ#QR#QNHLfOJQWgIR#_B$3Ac#I#QR#HIUQWgIR#_B$?ca#NLMI@RI#OFKI[HQH#FZJIHOGQJIFKI#Q
-nZQWXL# _B$'Ec# ZKOUOYQFML@RIa# NLH# IfIJNULa# Q# nZQMHQKZHQ# MI#2QZRR# GLJ# ZJ# NLFKL# MI
OFKI[HQWXL#GhI[Q@RI#NQHQ#ZJ#IUIJIFKL#[IFoHOGLi
[ ]##j#-"##2/###-/##38#> 333
ff +γ+ε= ###################################################################_B$33c
/R#GLJNLFIFKIR#^OO#ML#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR# Kz∆KFi#QbRLH`OMQR#NIUL#IUIJIFKLa#I
QR# GLJNLFIFKIR# jOp# MQ#JQKHOY# MI# HO[OMIY# IUIJIFKQH# Kz∆KK# RXL# MIKIHJOFQMLR# FL# RORKIJQ
ULGQU#MOHIKQJIFKI#MQR#InZQWgIRi
##Z>^OO
#O ∂∂
= #########################################################################################################_B$3:c
pO
3
Op Z#Z>#j∂∂
∂= ###################################################################################################_B$3=c
)bRIH`I#nZI#FL#GmUGZUL#MQR#GLJNLFIFKIR#^OO#LR#I^IOKLR#MI#HLKQWXL#MI#GLHNL#HV[OML
^LHQJ#MIRNHIYQMLR$
)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#FQ#RZQ#^LHJQ#[ULbQU#o#LbKOMLa#RLJQFML@RI#LR#IR^LHWLR
OFKIHFLR# QbRLH`OMLR# NLH# GQMQ# IUIJIFKLa# MI`OMQJIFKI# KHQFR^LHJQMLR# NQHQ# L# RORKIJQ
[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQ#GLJL#RI[ZIi
E\
∑=
∆+∆+ =J
'I
KK6A[U#
KK # ii FRF ###############################################################################_B$3Bc
LFMI#AR#o#Q#JQKHOY#MI#HLKQWXL#ML#IUIJIFKL#[IFoHOGL#uIva#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL
OFOGOQU#OFMI^LHJQMQ#KqA$
5m#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#ML#RORKIJQ#FQ#RZQ#^LHJQ#[ULbQU#o#MQMQ#NLHi
∑=
=J
'I
A6A[U ## RKRK ###############################################################################################_B$3\c
5.4.2 – Formulação total: Bernoulli
SQHQ# IRKI# GQRLa# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Eca# GLJ# L# LbpIKO`L# MI# UI`QH# IJ
GLFROMIHQWXL#LR#MIRULGQJIFKLR#MI#GLHNL#HV[OMLa#OFKHLMZYOHQJ#LR#RI[ZOFKIR#uparâmetros
generalizadosvi
−+
−='3
'3' ZZ8
``QHGKQF##^ ##############################################################################_B$3EQc
3##^ 3'
3θ−θ= #################################################################################################_B$3Ebc
'3'
: ^##@##3
##^ θ+θ= ##########################################################################################_B$3EGc
8ZZ#^ '3
=−= ##################################################################################################_B$3EMc
-RRIR#NQHTJIKHLR#RXL#ZKOUOYQMLR#NQHQ#MI^OFOH# MfsMZ #I# MfsM` a#LZ#RIpQi
=^#MfMZ = ##########################################################################################################_B$3PQc
#c^##KQF_c^##'#_##MfM`
'=+= ###################################################################################_B$3Pbc
EE
I#GLF^LHJI#Q#<O[ZHQ#B$3#KIJ@RIi
##### FH θ+θ=θ ###################################################################################################_B$3?c
LFMI#Q#HLKQWXL#MI#GLHNL#HV[OMLaθH#a#I#Q#HLKQWXL#FQKZHQUa#θFa#RXL#OFKIHNLUQMQR#NLHi
#^## 'H =θ ###########################################################################################################_B$:AQc
:3
3
3F ^#8\f
8\f#@#'###^#
83f#@#'###
++
=θ ############################################################_B$:Abc
}a#`
θ(f) = θH + θF_fc
r,x
a(x)
_+c
fa#Z
_+c
f
8
Z_fc
`_fc
Z'
Z3
`3
`'
S'
~'
D'
S3
~3
D3
<O[ZHQ#B$3#&#.IUQWgIR#[ILJoKHOGQRi#KLKQU$
SQHQ# Q# MI^OFOWXL# MQ# IFIH[OQ# MI# MI^LHJQWXL# RXL# GLFROMIHQMLR# MLOR# GQRLRa# nZI
GLFRInZIFKIJIFKIa# [IHQJ# MZQR# ^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# MO^IHIFKIR$# *L
EP
NHOJIOHL# GQRL# RXL# QRRZJOMQR# NQHQ# QR# ^ZFWgIR# KHO[LFLJoKHOGQR# QR# QNHLfOJQWgIR# MI
NHOJIOHQ# LHMIJ# _B$'=c�# FL# RI[ZFML# GQRL# RXL# ZKOUOYQMQR# QR# QNHLfOJQWgIR# MI# RI[ZFMQ
LHMIJ#_B$':c$
5.4.2.1 – Aproximações de primeira ordem
<QYIFML@RI# QR# QNHLfOJQWgIR# MI# NHOJIOHQ# LHMIJ# _B$'=ca# GLJ# HIUQWXL# [ILJoKHOGQ
_B$3?ca#GhI[Q@RI#Qi
cGLR_#@#c_IFR##c_IFR#####I######c_IFR#@#cGLR_##cGLR_ HFHHFH θθθ=θθθθ=θ ####################_B$:'c
(LJ#QR# HIUQWgIR# _B$3Pca# _B$3?c# I# _B$:Aca# I# QR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL
_B$''ca# HIIRGHI`I@RI# Q# IfNHIRRXL# MQ# IFIH[OQ# OFKIHFQ# MQMQ# IJ# _B$'Pca# IJ# ^ZFWXL# MLR
NQHTJIKHLR#[IFIHQUOYQMLRa#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
[ ]{ }#^RIF##@#^#KQF#c^##_'##c^#GLR#@#^##'#_#3-/8c^#a^#a^#a#̂_#> 3
''=3
'==:3' +++=
333 c#^#:##^#_8-"#3## :3 ++ #########################################################################################_B$:3c
5.4.2.2 – Aproximações de segunda ordem
(LJ# QR# QNHLfOJQWgIR# MI# RI[ZFMQ# LHMIJ# _B$':c# I# GLJ# Q# HIUQWXL# [ILJoKHOGQ
_B$3?ca#GhI[Q@RIi
#c_IFR#@#cGLR_3
@'##cGLR_ HFH
3F θθθ
θ=θ
cGLR_#@#c_IFR3
@'##c_IFR HFH
3F θθθ
θ=θ ###############################################################_B$::c
E?
,Q# JIRJQ# ^LHJQ# NLMI@RI# HIIRGHI`IH# Q# IfNHIRRXL# MQ# IFIH[OQ# OFKIHFQ# MQMQ# IJ
_B$'Pca#IJ#^ZFWXL#MLR#NQHTJIKHLR#[IFIHQUOYQMLRa#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
3
'
33
==:3' #c_^#GLR#'A^##@##
\^##@'##@#^##'
3-/8c^#a^#a^#a^#_#> :3
+=
######### ( )33
3
'
33
'= :3:3 ^#:##^#
8-"3##c_^RIF##
'A^##@##
\^##@'##@#c#KQF_^c^##_'
3-/8## −+
++ ##########_B$:=c
5.4.2.3 – Vetor de forças internas e matriz de rigidez
SQHQ# ZJ# IUIJIFKL# [IFoHOGL# KIJ@RI# nZI# L# `IKLH# MI# ^LHWQR# ugeneralizadasva
��^[# O=Fg a#I#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIYa# ��j[# Op=Kg a#KrJa#FL#RORKIJQ#ULGQUa#RZQR#GLJNLFIFKIR
MQMQR#NLHi
##^#>#^[O
O ∂∂= �###########O#q#'a3a:a=########################################################################_B$:BQc
#^##^#>#j[pO
3
Op ∂∂∂= �######Oa#p#q#'a3a:a=###################################################################_B$:Bbc
)bKoJ@RIa#IFKXLa#L#`IKLH#MI#^LHWQR#FLMQOR#I#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#IUIJIFKQH#GLJ#\
[HQZR#MI#UObIHMQMIa#QKHQ`oR#MQR#RI[ZOFKIR#HIUQWgIRi
Fg AF fi6KK ##=∆+ ###########################################################################################_B$:\Qc
f3f1ff A AAKg AK :'6KK ^[#^[#### ++=∆+ ####################################################_B$:\bc
LFMI#RI#IRGHI`Ii
PA
###Z#^##p
O∂∂=fA �###############^O#q#^'a#^3a#^:a#^=#####I####Zp#q#Z'a#`'a#θ'a#Z3a#`3a#θ3############_B$:EQc
###Z##Z#
#̂#pO
'3
∂∂∂=f1A �#######ZO#q#Z'a#`'a#θ'a#Z3a#`3a#θ3#############################################_B$:Ebc
###Z##Z#
^##
pO
:3
∂∂∂
=f3A �########ZO#q#Z'a#`'a#θ'a#Z3a#`3a#θ3#############################################_B$:Ebc
DQOR#ZJQ#`IY#L#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#o#LbKOML#RLJQFML@RI#LR#IR^LHWLR#OFKIHFLR
QbRLH`OMLR# NLH# GQMQ# IUIJIFKLa# MI`OMQJIFKI# KHQFR^LHJQMLR# NQHQ# L# RORKIJQ# [ULbQU# MI
HI^IHrFGOQa#LZ#RIpQi
∑=
∆+∆+ =J
'I
KK6A[U#
KK # ii FRF ###############################################################################_B$:Pc
,Q#JIRJQ#^LHJQa#UI`QFML@RI#IJ#GLFKQ#Q#GLFKHObZOWXL#MI#KLMLR#LR#IUIJIFKLR
^OFOKLR#IRGHI`I@RI#NQHQ#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#[ULbQUi
∑=
=J
'I
A6A[U ### RKRK ######################################################################################_B$:?c
5.4.3 – Formulação corrotacional – Bernoulli
(HOR^OIUM# _'??'c# LbRIH`Q# IJ# RIZ# UO`HL# nZI# L# KIHJL# uGLHHLKQGOLFQUv# KIJ# ROML
ZKOUOYQML#FQ#UOKIHQKZHQ#IJ#GLFKIfKLR#MO^IHIFKIRa#RIFML#NLHKQFKLa#GLJL#Q^OHJQJ#QOFMQ#LR
NHkNHOLR#SQGLRKI#I#-HOjRRLF# _'??Eca#ZJQ#MIFLJOFQWXL# OFGLFRORKIFKI$#SQHQ#LR#JLMIULR
uGLHHLKQGOLFQORv#Q#RIHIJ#MORGZKOMLR#FL#NHIRIFKI#KHQbQUhLa#Q# OMoOQ#GIFKHQU#o#RI#GQUGZUQH#Q
JQKHOY# MI# HO[OMIY# I# L# `IKLH# MI# ^LHWQR# OFKIHFQR# FL# GQJNL# MLR# MIRULGQJIFKLR# FQKZHQOR
KLKQORa#OFKHLMZYOFML#ZJ#RORKIJQ#MI#GLLHMIFQMQR#ULGQOR#nZI#o#QKZQUOYQML#Q#GQMQ#NQRRL#MI
GQH[Q$# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec# Q^OHJQJ# nZI# QR# MZQR# QbLHMQ[IFRa# uKLKQUv# I
P'
uGLHHLKQGOLFQUva# MQ# JQFIOHQ# GLJL# RXL# QNHIRIFKQMQRa# Rk# RXL# MO^IHIFKIR# FQ# ^LHJQ# MI
Q[HZNQH#I#OFKIHNHIKQH#LR#KIHJLR#MI#ZJQ#JIRJQ#^kHJZUQ$
)R# MIRULGQJIFKLR# KLKQOR# NLMIJ# RIH# IfNHIRRLR# IJ# GLLHMIFQMQR# ULGQOR# MI# QGLHML
GLJi
�#cZ_Z#�### pO#F=nu ###############################################################################################_B$=Ac
LFMI#L#`IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FQKZHQOR#KLKQORa#GLF^LHJI#NLMI@RI#`IH#FQ#<O[ZHQ#B$:a#KIJ
KHrR#GLJNLFIFKIRa# 6#F3F'F3 #�####Z#�#### θθ=nu a#nZI#NLMIJ#RIH#GQUGZUQMLR#NIUQ#HIUQWgIRi
H3F3H'F'AKK
F3 #@###############@#############8@##8###Z θθ=θθθ=θ= ∆+ ###############################_B$='c
*IRRQR#HIUQWgIRa#A8#o#L#GLJNHOJIFKL#IUIJIFKQH#OFOGOQU#MQML#NLHi
3'3
3'3
A c}_}cf_f##8# −+−= a######################################################################_B$=3c
Kz∆K8#o#GLJNHOJIFKL#IUIJIFKQHa#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#GLHHIFKIa#MQML#NLHi
3''33
3''33
KK c`@}`_}cZ@fZ_f##8# −++−+=∆+ ######################################_B$=:c
I#Q#HLKQWXL#MI#GLHNL#HV[OMLa#θH#o#GQUGZUQMQ#QKHQ`oR#MQ#RI[ZOFKI#HIUQWXLi
##c`@`}@#_}c}@#_}##cZ@Zf@#c_ff@#_f
cZ@c_Z}@#_}#@#c`@c_`f@#_fQHGKQF####'3'3'3'3'3'3
'3'3'3'3H
++++
=θ #####_B$==c
P3
}a#`
fa#Z
fA
}A}Kz∆K
fKz∆K
Z'
`'D'
S'
D3 S3
`3
Z3
8A
θH
D'
θ'
θF'
θ3#q#θH#z#θF3
8Kz∆K
<O[ZHQ#B$:#&#.IUQWgIR#[ILJoKHOGQRi#GLHHLKQGOLFQU$
SQHQ# Q# MI^OFOWXL# MQ# IFIH[OQ# MI# MI^LHJQWXL# IJ# GLLHMIFQMQR# ULGQORa# RXL
GLFROMIHQMLR#MLOR#GQRLR#nZIa#GLFRInZIFKIJIFKIa#[IHQJ#MZQR#^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR
^OFOKLR$#*L#NHOJIOHL#GQRL#RXL#QRRZJOMQR#QR#HIUQWgIR#UOFIQHIR#_B$:c#I#FL#RI[ZFML#GQRL#RXL
ZKOUOYQMQR#QR#HIUQWgIR#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#_B$'c$#(LJL#^LO#LbRIH`QML#FQ#+IWXL#_B$3ca#IRRQR
HIUQWgIR# InZO`QUIJ# {R# ZKOUOYQMQR# FQR# ^LHJZUQWgIR# GLJ#QbLHMQ[IJ# KLKQUa# NQHQ# QR# nZQOR
^LHQJ# ^IOKQR# QNHLfOJQWgIR# MI# NHOJIOHQ# I# RI[ZFMQ# LHMIJ# NQHQ# QR# ^ZFWgIR
KHO[LFLJoKHOGQR$
*LR#MLOR#GQRLR#RXL#ZRQMQR#QR#QNHLfOJQWgIRi
3F3F Z9Z = ###################################################################################################_B$=BQc
3F='F:F 99 θ+θ=θ #####################################################################################_B$=Bbc
P:
LFMI#93#o#Q#^ZFWXL#UOFIQHi
9f83 = ###########################################################################################################_B$=\Qc
I#9:#I#9=#RXL#QR#^ZFWgIR#nZQMHmKOGQRi
++−=
+−−= #
8f:##
8f3##'
='9######I######
8f:##
8f3##'
='9 3
3
=3
3
: ######################_B$=\bc
5.4.3.1 – Relações lineares
+ZbRKOKZOFML@RI# QR# HIUQWgIR# UOFIQHIR# _B$:c# FQ#-nZQWXL# _B$'Pca# ZRQFML# ^ZFWgIR# MI
OFKIHNLUQWXL# _B$=\ca# LbKoJ@RI# Q# RI[ZOFKI# IfNHIRRXL# NQHQ# Q# IFIH[OQ# OFKIHFQ# MQR
MI^LHJQWgIRi
( )#####8-"3#Z#
38-/##># 3
F3F3F'3F'
3F3 θ+θθ+θ+= ####################################################_B$=Ec
5.4.3.2 – Relações de segunda ordem
+ZbRKOKZOFML@RI#QR#HIUQWgIR#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#_B$'c#FQ#-nZQWXL#_B$'Pca#ZRQFML@RI
QR#^ZFWgIR#MI#OFKIHNLUQWXL#_B$=\ca#LbKoJ@RI#Q#RI[ZOFKI#IfNHIRRXL#NQHQ#Q#IFIH[OQ#OFKIHFQ
MI#MI^LHJQWXLi
####3'##
'B8##Z#
38-/##>#
33F3F3F'
3F'F3
θ+θθ−θ+=
######### ( )#####8-"3### 3
3F3F#'F3'F θ+θθ+θ+ ################################################################_B$=Pc
P=
5.4.3.3 – Vetor de forças internas e matriz de rigidez
)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#I#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#NLMIJ#RIH#LbKOMLR#IJ#GLLHMIFQMQR
[ULbQOR#NQHQ#L#IUIJIFKLa#QNUOGQFML@RI#RZGIRRO`QR#MO^IHIFGOQWgIRa#MI#QGLHML#GLJi
##########Z#Z#
##Z##>##
O
FO
FO
KK
∂∂
∂∂=∆+
iF # #a`Zaa`aZ##Z####
Z##Z
33a3'''O
#########F3aF'aF3FO
θθ=θθ=
########################_B$=?Qc
∂∂∂
∂∂+
∂∂∂∂
∂∂∂=∆+ #
Z##Z#Z###
Z##>####
Z##Z#Z##Z#
###Z#Z#>##
Uj
#FO3
#FOUj
Fp#FO
Fp#FO
3KK K ############################_B$=?bc
nZI#NLMI#RIH#HILH[QFOYQML#FQ#RI[ZOFKI#^LHJQi
########## 6KKnci F AF =∆+ #####################################################################################_B$BAQc
G:3G3'G'G6G
KK #D##D###S####### AAAAKAK n +++=∆+ #########################################_B$BAbc
LFMI#Fn#I#Kn#RXL#MI^OFOMLR#GLJLi
[ ] #########>#####
##>#####
Z##>####D####D####S###
6
3F'F3F
63'
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∂θ∂
∂∂∂==nF ###########################_B$B'Qc
{ } ######'a3a:#p
'a3a:#O#######�##
Z#Z##>####j####
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3
#Op=
=
∂∂∂==nK #############################################_B$B'bc
I#QR#JQKHOYIR#MI#KHQFR^LHJQWXL#Aca#Ac1a Ac2#I#Ac#MI^OFOMQR#GLJLi
#############\'a3a:a=aBa#p#################'a3a:#O
#######�##Z##Z#
######p
OF#
==
∂∂
=cA #################################################_B$B3Qc
PB
######\'a3a:a=aBa#p\'a3a:a=aBa#O
########�##Z##Z##
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p#O#
F33
==
∂∂∂
=c1A ##############################################_B$B3bc
######\'a3a:a=aBa#p\'a3a:a=aBa#O
########�#Z##Z##
##@###Z##Z##
######p#O#
H3
p#O#
'F#3
==
∂∂θ∂=
∂∂θ∂=c2A ####################_B$B3Gc
######\'a3a:a=aBa#p\'a3a:a=aBa#O
########�#Z##Z##
##@###Z##Z##
######p#O#
H3
p#O#
3F#3
==
∂∂θ∂=
∂∂θ∂=c3A ####################_B$B3Gc
8I`QFML@RI#IJ#GLFKQ#Q#GLFKHObZOWXL#MI#KLMLR#LR#IUIJIFKLR#^OFOKLRa#KIJ@RIi
∑=
∆+∆+ =J
'I
KK[U#
KKii FF ######################################################################################_B$B:Qc
∑=
∆+∆+ =J
'I
KK[U
KK KK #######################################################################################_B$B:bc
)bRIH`I#nZI#K#I#Fi#pm#^LHQJ#LbKOMLR#FL#RORKIJQ#MI#HI^IHrFGOQR#[ULbQU#IJ#_B$BAc$
+I[ZOFML#Q#RZ[IRKXL#MI#SQGLRKI#I#-HOjRRLF#_'??Eca#ZKOUOYLZ@RI#NHLGIMOJIFKLR#ML
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JQKHOYIR# MIRIF`LU`OMLR# FL# NHIRIFKI# GQNVKZULa# [IHQFML# MOHIKQJIFKI# LR# HIRZUKQMLR# IJ
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5.5 – RESUMO
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PT2
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=γθ
+θ
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KK == ∆+∆+iFK
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6PROGRAMA COMPUTACIONAL
6.1 – INTRODUÇÃO
Este capítulo traz os procedimentos computacionais utilizados na implementação
das formulações de elementos finitos não-lineares mostradas nos Capítulos 3, 4 e 5.
Foi utilizado como base o programa computacional desenvolvido, em linguagem
FORTRAN, por Silveira (1995) como parte integrante de sua Tese de Doutorado. Esse
programa é capaz de efetuar análises linear e não-linear (geométrica) de sistemas
reticulados planos com restrições unilaterais de contato. No caso de se optar por solução
não-linear, são dadas ao usuário opções de estratégias de solução não-linear (incremento
de carga e de iteração) e impressão de resultados (arquivos de pós-processamento). No
presente trabalho foram implementadas várias opções de formulações geometricamente
não-lineares.
A Figura 6.1 apresenta o esquema geral do programa computacional
desenvolvido.
FIM
SAÍDA de RESULTADOS (Pós-processador)
SOLUÇÃO LINEAR (Subrotina SOLL)
ANÁLISE do PROBLEMA (Subrotina SOLUC)
ENTRADA de DADOSINÍCIO
SOLUÇÃO NÃO-LINEAR (Subrotina SOLNL)
Figura 6.1 – Programa computacional.
88
A Seção (6.2) apresenta um algoritmo do programa principal. As subrotinas
gerenciadas por ele são apresentadas nas seções seguintes.
6.2 – PROGRAMA PRINCIPAL
A Figura 6.2 apresenta o fluxograma do programa principal que é responsável
pelo gerenciamento de chamada das diversas subrotinas implementadas.
LEITURA de DADOS-1
MONTAGEM da MATRIZ de RIGIDEZ LINEAR KL
CÁLCULO dos DESLOCAMENTOS NODAIS u
ARQUIVOS de SAÍDA
Solução linear Solução não-linear
LEITURA de DADOS-2
MONTAGEM da MATRIZ de RIGIDEZ K
(Subrotina MATRIG)
CÁLCULO de ∆λ e ∆u(Subrotina SCALUP)
0 0
PROCESSO ITERATIVO(Subrotina ITER)
CÁLCULO DE PARÂMETROS do PRÓXIMO INCREMENTO
(Subrotina NEXINC)
Proc
esso
incr
emen
tal i
tera
tivo
MONTAGEM do VETOR de CARGAS de REFERÊNCIA Fr
MONTAGEM do VETOR de FORÇAS EXTERNAS F
A
Figura 6.2 – Programa principal.
O primeiro procedimento a ser realizado pelo programa principal é a leitura do
primeiro arquivo de dados de entrada. Esses dados definem a geometria do modelo
89
estrutural com o número de pontos nodais, de elementos e condições de contorno; as
propriedades físicas dos materiais que compõem a estrutura; e o carregamento externo
atuante.
Caso se deseje realizar uma análise linear, os passos seguintes são a montagem do
vetor de forças externas F e da matriz de rigidez linear KL, e o cálculo dos
deslocamentos nodais através de KL u = F.
Caso a análise não-linear seja a escolhida, o passo seguinte é a leitura dos dados
de entrada complementares, onde estão as informações necessárias a esse tipo de
análise, como, por exemplo, a formulação não-linear a ser empregada, a estratégia de
solução, o valor inicial do parâmetro de carga, o número de incrementos, o critério de
convergência, o número máximo de iterações por incremento, e outros parâmetros
relativos à estratégia de solução escolhida. A Figura 6.3 apresenta um exemplo desse
arquivo de dados.
2 0 0 0 ...Alves,Tork,Yang,Pacos0.5 3000 1 0 0 3 ...faci,ninc,iauto,iacc,ires,tinc0 0 0 0 0 0 0 0 1 ...ilc,idis,iarc,itec,imdo,imfo,irpc,ikrenk,iyang0 0 0 0 1 0 ...incl,incd,inca,incw,incgd,incwy 1.e-4 2 21 0 1 ...betok,iterty,nitmax,nlsmx,cconv0 0 3 0 100 ...iwrt,iwrit,ktest,kplot,kwinc1 1 5 5 1 0 ...kmvie,kview,kmvde,kvdef,Impr,rel 0 0. 0. 0 ...ides,facmx,facmn,iswch0. 0. 0. 0. 0. ...dldes,dldmx,dldmn,fmx,fmn
Figura 6.3 – Arquivo de dados: solução não-linear.
Observe que, na primeira linha, a variável diferente de zero indica a formulação
não-linear a ser utilizada na análise. Assim, se a variável 0Alves ≠ , uma das
formulações propostas por Alves (1993b) é empregada na análise; se 0orkT ≠ , é
utilizada uma das formulações de Torkamani et al. (1997); 0angY ≠ , Yang e Kuo
(1994); e 0Pacos ≠ , Pacoste e Eriksson (1997). No exemplo em questão, a variável
90
2Alves = , indica a utilização da formulação proposta por Alves (1993b), que calcula as
forças internas através dos deslocamentos naturais incrementais.
Após a leitura dos dados é chamada a subrotina LOADF para montagem do vetor
de cargas de referência Fr. Entra-se então no processo incremental-iterativo de solução,
que é resumido a seguir:
• chama a subrotina MATRIG para montar a matriz de rigidez K, de acordo com a
formulação escolhida, e obtém-se os deslocamentos nodais tangenciais Tuδ ;
• calcula em SCALUP a solução predita, 00 u e ∆λ∆ , de acordo com a estratégia de
incremento de carga escolhida;
• corrige a solução predita pelo processo iterativo através da subrotina ITER;
• em NEXINC são atualizados todos os parâmetros necessários ao próximo
incremento de carga;
• se o número de passos de carga é menor do que o desejado recomeça-se o
processo.
Os resultados são então apresentados em arquivos de saída. O arquivo gerado com
extensão (.dat) pode ser lido, por exemplo, pelo software GRAPHER (1992/1993), que
possibilita a impressão das diversas curvas necessárias à visualização da análise; o
arquivo neutro DEPOS pode ser utilizado no pós-processador gráfico, implementado em
linguagem FORTRAN por Silveira (1995), para a visualização das configurações
deformadas do sistema estrutural analisado; o arquivo de saída RELAT.S contém
informações sobre as ocorrências do processo de solução.
A seguir são apresentadas algumas subrotinas de maneira mais detalhada.
91
6.2.1 – Subrotina MATRIG
Esta subrotina é responsável pela montagem da matriz de rigidez global do
sistema estrutural, de acordo com a formulação de elementos finitos não-linear
escolhida para a análise. Para cada elemento do modelo estrutural são executados os
seguintes procedimentos:
1) Para a Formulação PTT:
• calcula a matriz de rotação inicial 0R do elemento;
• obtém através de 0R os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;
• calcula as componentes da matriz de rigidez elementar;
• transforma, através de 0R, a matriz de rigidez para o sistema global;
Para as Formulações PT1 e PT2:
• calcula a matriz de rotação 0R do elemento;
• obtém através de 0R, os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;
• calcula os parâmetros generalizados f1, f2, f3 e f4;
• calcula as dezesseis componentes da matriz de rigidez generalizada Kg ;
• calcula as matrizes de transformação e , f3f1f AA A e a suas transpostas;
• calcula as forças generalizadas fg1 e fg3;
• calcula a matriz de rigidez elementar no sistema local através da relação:
T3
T1
T fg fg f2f1ff AA AKg AK ++= ;
• transforma, através de 0R, a matriz de rigidez elementar para o sistema global.
Para as Formulações PC1 e PC2:
• calcula as três componentes do vetor de deslocamentos naturais (totais) nu ;
• calcula as nove componentes da matriz nK ;
• calcula as matrizes de transformação e , c3c1c AA A e a suas transpostas;
• calcula os esforços 21 M e M P, ;
92
• calcula a matriz de rigidez, diretamente no sistema global de referências, através
da relação 321 21T M M P ccccc AAAAKAK n +++= .
Para as Formulações AFT, AFI, TFT, TFI, YGN, YGE, YSN e YHN:
• calcula a matriz de rotação (configuração de equilíbrio anterior), tR, do
elemento;
• obtém, através de tR, os deslocamentos nodais (incrementais) em coordenadas
locais;
• calcula as componentes da matriz de rigidez do elemento;
• transforma, através de tR, a matriz de rigidez elementar para o sistema global.
2) Armazena a matriz de rigidez elementar obtida na matriz de rigidez global do
sistema estrutural.
6.2.2 – Subrotina ITER
Esta subrotina é responsável pelo processo iterativo baseado na técnica de
Newton-Raphson (padrão ou modificado) para encontrar um novo ponto de equilíbrio
para a estrutura. Os passos mais importantes desta rotina são descritos a seguir:
1) Para as formulações que calculam as forças internas de forma total: AFI, TFI,
YGN, YGE, YSN e YHN:
• calcula as coordenadas atualizadas dos nós;
• calcula o vetor de forças internas iF na subrotina VETFI com as coordenadas
nodais atualizadas e com os deslocamentos nodais incrementais.
93
Para as formulações que calculam as forças internas de forma total: AFT, TFT,
PTT, PT1, PT2, PC1, PC2:
• calcula o vetor de forças internas iF na subrotina VETFI com as coordenadas
nodais iniciais e com os deslocamentos nodais totais.
2) Para o método de Newton-Raphson modificado passe para o próximo passo;
Para o método de Newton-Raphson padrão deve-se calcular a matriz de rigidez a
cada iteração, assim:
• para as Formulações em RLT (Pacoste e Eriksson, 1997) calcula-se a matriz de
rigidez K na subrotina MATRIG com os deslocamentos nodais totais; para as
formulações em RLA (todas as outras implementadas) calcula-se a matriz de
rigidez K na subrotina MATRIG com os deslocamentos nodais incrementais;
3) Calcula o vetor de forças desequilibradas: )( )1k()1k()1k(rid FFgF −−− λ−−=−= ;
4) Calcula o fator de convergência rF
g
)1k(
)1k(
1 −
−
λ∆=ζ ;
5) Resolve o sistema: dg FuK =δ ;
6) Para o método de Newton-Raphson padrão resolve-se o sistema: rr FuK =δ ; para
o método de Newton-Raphson modificado faz-se Tr uu δ=δ , onde Tuδ é o vetor
de deslocamentos nodais tangente;
7) Calcula δλ , de acordo com a estratégia de iteração escolhida, e corrige-se as
variáveis incrementais kλ∆ e ku∆ , e totais λ e u ;
94
8) Calcula o fator de convergência k2
u
u
∆
δ=ζ ;
9) Se o critério de convergência escolhido pelo usuário do programa (carga: ζ≤ζ1 ;
deslocamento: ζ≤ζ 2 ; ou carga e deslocamento: ζ≤ζζ 21 e ) for atendido
retorna ao programa principal; senão volta ao passo 1.
6.2.3 – Subrotina VETFI
Esta subrotina tem a função de calcular o vetor de forças internas globais do
sistema estrutural. Para cada elemento do modelo estrutural são efetuados os seguintes
procedimentos:
1) Para a Formulação PTT:
• calcula a matriz de rotação inicial 0R do elemento;
• obtém, através de 0R, os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;
• monta o vetor de forças internas calculando suas componentes
• transforma, através de 0R, o vetor de forças internas para o sistema global.
Para as Formulações PT1 e PT2:
• calcula a matriz de rotação inicial, 0R, do elemento;
• obtém, através de 0R os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;
• calcula os parâmetros generalizados f1, f2, f3 e f4;
• calcula as quatro componentes do vetor de forças generalizadas Fg ;
• calcula as matrizes de transformação f A e a sua transposta Tf A ;
• calcula o vetor de forças internas através da relação FgAF fi T= ;
• transforma, através de 0R, o vetor de forças internas para o sistema global.
95
Para as Formulações PC1 e PC2:
• calcula as três componentes do vetor de deslocamentos naturais totais un;
• calcula as três componentes do vetor Fn;
• calcula as matrizes de transformação c A e a sua transposta Tc A ;
• calcula o vetor de forças internas, diretamente no sistema global de referências,
através da relação ni FAF c T= .
Para as Formulações de Alves (1993b) e Torkamani et al. (1997), com o cálculo
das forças internas de forma total:
• calcula a matriz de rotação inicial 0R do elemento;
• obtém, através de 0R, os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;
• monta a matriz de compatibilidade cinemática A*;
• calcula os deslocamentos naturais totais;
• calcula as componentes do vetor de forças internas;
• transforma, através de 0R, o vetor de forças internas para o sistema global.
Para as Formulações de Alves (1993b), Torkamani et al. (1997), Yang e Kuo
(1994), com o cálculo das forças internas de forma incremental:
• calcula a matriz de rotação (configuração de equilíbrio anterior), tR, do
elemento;
• calcula a matriz de rotação atualizada (a cada iteração), Ra, do elemento;
• obtém através de tR os deslocamentos nodais (incrementais) em coordenadas
locais;
• calcula os deslocamentos naturais incrementais;
• calcula as componentes do vetor de forças internas (incrementais);
• soma as forças internas incrementais com as forças internas obtidas até o passo
de carga anterior, ou seja, obtém-se iii FFF tttt ∆∆+ += ;
• 1transforma, através da matriz de rotação atualizada, Ra, o vetor de forças
internas para o sistema global.
96
2) Armazena o vetor elementar de forças internas obtido no vetor de forças internas
do sistema estrutural.
1Observação: Nos procedimentos, mostrados acima, para a obtenção da matriz de
rigidez e do vetor de forças internas, foram utilizadas as três diferentes matrizes de
rotação definidas a seguir:
(i) 0R: matriz de rotação entre o sistema global de referências e o sistema local inicial
(estrutura indeformada). Utilizada quando a matriz de rigidez ou o vetor de forças
internas são calculados em RLT;
(ii) tR: matriz de rotação entre o sistema global de referências e o sistema local,
atualizado na configuração de equilíbrio t. Transforma os deslocamentos nodais para o
referencial local de referências, possibilitando a obtenção da matriz de rigidez e do vetor
de forças internas, quando calculados em RLA;
(iii) Ra: matriz de rotação entre o sistema global de referências e o sistema local
atualizado na última iteração. Utilizada para transformar o vetor de forças internas,
calculado da forma incremental proposta por Yang e Kuo (1994), ao sistema global de
referências.
97
6.2.4 – Subrotina NEXINC
Esta subrotina tem o objetivo de calcular e atualizar os parâmetros utilizados no
próximo passo de carga. A seguir são descritas as tarefas realizadas por esta subrotina.
1) Caso o último passo de carga não tenha convergido, ou seja, o número de
iterações tenha sido maior que o número máximo de iterações estipulado,
executam-se procedimentos para reduzir os acréscimos do parâmetro de carga e
reinicializa-se então o processo da última configuração de equilíbrio encontrada;
caso o ponto de equilíbrio tenha sido encontrado com sucesso o processamento
continua no passo seguinte.
2) São impressos os parâmetros necessários ao traçado de gráficos no arquivo de
saída com extensão (.dat); no arquivo neutro DEPOS são impressas as variáveis
necessárias ao traçado das deformadas no programa de pós-processamento;
3) São calculados na subrotina LOADPI os esforços internos resultantes que serão
utilizados no cálculo da matriz de rigidez e do vetor de forças internas;
4) Atualiza todas as variáveis necessárias à continuidade do processo incremental;
5) Calcula, dependendo da estratégia escolhida para aplicar o novo passo de carga, o
comprimento de arco, o incremento do deslocamento selecionado, o deslocamento
generalizado, etc.;
6) Retorna ao programa principal.
7EXEMPLOS NUMÉRICOS
7.1 – INTRODUÇÃO
Através da análise de problemas estruturais encontrados na literatura, pretende-se
verificar neste capítulo a eficiência das formulações de elementos finitos não-lineares
estudadas neste trabalho, juntamente com as respectivas implementações
computacionais realizadas.
Um resumo dessas formulações não-lineares é apresentado nas Tabelas 7.1 e 7.2
onde são destacadas as abreviaturas usadas ao longo do capítulo para identificar cada
uma delas. Nas mesmas tabelas são apresentadas também algumas características
importantes de cada formulação.
Na Seção (7.2) serão abordados problemas estruturais clássicos com soluções
analíticas (exatas) encontradas na literatura. Em função da confiabilidade dessas
análises, seus resultados terão o objetivo de avaliar a qualidade dos resultados
produzidos pelas diferentes formulações.
Com o intuito de ratificar as observações feitas na Seção (7.2) e analisar a
eficiência computacional dos diversos modelos, serão abordados, na Seção (7.3),
problemas estruturais de estabilidade elástica fortemente não-lineares, cujas soluções,
obtidas numericamente por diversos pesquisadores, são encontradas na literatura.
99
Tabela 7.1 – Resumo das formulações.
TRABALHOS FORM. CARACTERÍSTICAS
AFT - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais totais, isto é,medidos em relação à configuraçãoinicial indeformada (referencialLagrangiano total – RLT).
Alves (1993b)
- Tensor de Green completo;
- Função de interpolação linear para u e
cúbica para v;
- Matriz de rigidez obtida no RLA;
- Uniformização das deformações devido ao
efeito de membrana (‘membrane locking
effect’).
AFI - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais incrementais,isto é, medidos em relação à últimaconfiguração de equilíbrio (referencialLagrangiano atualizado – RLA).
TFT - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais totais, (RLT).
Torkamani et al. (1997)
- Tensor de Green simplificado;
- Função de interpolação linear para u e
cúbica para v;
- Desprezado os efeitos dos momentos
iniciais no estado inicial de tensões;
- Matriz de rigidez obtida no RLA.
TFI - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais incrementais,(RLA).
YSN - Equação de equilíbrio linearizada;- Tensor de Green simplificado.
YGN - Equação de equilíbrio linearizada..
YGE - Equação de equilíbrio linearizada;- Forças internas obtidas usando a matriz
de rigidez externa.
Yang e Kuo (1994)
- Tensor de Green (deformações axiais e
cisalhantes);
- Função de interpolação linear para u e
cúbica para v;
- Matriz de rigidez e vetor de forças
internas, obtidos no RLA;
- Com exceção de YGE, todas as
formulações têm as forças internas obtidas
com deslocamentos naturais incrementais.
YHN - Equação de equilíbrio não-linearizada,obtendo assim uma matriz de rigidezcom ‘ordem elevada’.
100
Tabela 7.2 – Resumo das formulações.
TRABALHOS FORM. CARACTERÍSTICAS
PTT - Formulação total;- Relações tensão–deformação
melhoradas (funções trigonométricas);- Teoria de Timoshenko;- Integração numérica do funcional de
energia;- Funções de interpolação lineares para
u, v e θ.
PT1 - Formulação total;- Expressões em função dos ‘parâmetros
generalizados’;- Expansão de primeira ordem das
funções trigonométricas.
PT2 - Formulação total;- Expressões em função dos ‘parâmetros
generalizados’;- Expansão de segunda ordem das
funções trigonométricas.
PC1 - Abordagem corrotacional;- Teoria de Bernoulli;- Relações deformação-deslocamento
lineares.
Pacoste e Eriksson (1997)
- Diferentes Relações tensão–deformação;
- Todos os modelos, com exceção de PTT,
fazem a uniformização das deformações
devido ao efeito de membrana (‘membrane
locking effect’);
- Matriz de rigidez e vetor de forças internas
obtidos no RLT.
PC2 - Abordagem corrotacional;- Teoria de Bernoulli;- Relações deformação-deslocamento de
segunda ordem.
101
7.2 – EXEMPLOS CLÁSSICOS
Esta seção tem o objetivo de validar as formulações de elementos finitos não-
lineares estudadas e implementadas neste trabalho. Para esse propósito serão abordados
exemplos clássicos de problemas de equilíbrio e estabilidade estrutural que possuem
resultados analíticos e numéricos encontrados na literatura.
A viga em balanço mostrada na Figura 7.1a, que possui solução analítica
apresentada em Timoshenko e Gere (1982), e a coluna em balanço da Figura 7.1b, com
solução analítica apresentada em Southwel (1941), serão analisadas usando-se todas as
formulações implementados com o intuito de destacar as suas principais características
e diferenças.
O exemplo que consiste de um arco senoidal abatido com carga uniformemente
distribuída (Figura 7.1c) terá o objetivo de comparar as duas formas de se obter o vetor
de forças internas propostas por Yang e Kuo (1994), ‘deslocamentos naturais
incrementais’ e ‘rigidez externa’.
As formulações propostas por Alves (1993b) e Torkamani et al. (1997) que, como
pode ser visto no Capítulo 3 e na Tabela 7.1a, possuem várias similaridades, serão
analisadas e comparadas no exemplo ilustrado na Figura 7.1d, que consiste de um arco
circular sob pressão radial. Uma solução analítica para esse sistema estrutural foi
apresentada por Kerr e Soifer (1969).
O último exemplo desta seção consiste de um pórtico, Figuras 7.1e e 7.1f, que
será analisado para diferentes condições de apoio e alturas de topo, com as formulações
de elemento finitos que se mostraram mais representativas nos exemplos anteriores.
102
P
uw u/L , w/L
PL^2
/EI u/L v/ L
Galvão
(a)
P, w
u
u/L
PL^2
/EI
Galvão
(b)
P
w
w/Z0
P/h
Galvão
(c)
w
P
w/h
PhR
^2/E
I
Ponto debifurcação Ponto de
bifurcação
(d)
P
w
w
P
(e)
P
w
w
P
Ponto de bifurcação
Ponto de bifurcação
(f)
Figura 7.1 - Exemplos clássicos.
103
7.2.1 - Viga Engastada-Livre
O primeiro exemplo a ser abordado trata-se de uma viga engastada-livre
submetida a uma carga concentrada P, conforme ilustrado na Figura 7.2. As
propriedades físicas e geométricas necessárias à análise podem ser vistas nessa mesma
figura.
P
uw
E = 10 G = E/2 A = 10 I = 10 7 -2 -5
L = 1.0
Figura 7.2 - Viga engastada-livre.
Resultados analíticos desse problema são apresentados por Mattiassons (1981) e
Timoshenko e Gere (1982) e são freqüentemente usados para validar modelos
numéricos (Alves, 1993a; Yang e Kuo, 1994).
O objetivo deste exemplo é verificar e comparar a capacidade das formulações
não-lineares, implementadas neste trabalho, em resolver problemas estruturais com
grandes deslocamentos e rotações.
Neste exemplo foram analisadas todas as formulações citadas com as seguintes
modelagens numéricas: 2, 3, 4 e 5 elementos finitos.
A trajetória de equilíbrio desse sistema estrutural, conforme ilustra a Figura 7.3,
não apresenta pontos críticos (pontos limites e bifurcação), podendo, portanto, ser
obtida adotando-se um esquema de solução simples que consiste na aplicação do
método de Newton-Raphson modificado, com incremento constante para o parâmetro
inicial de carga, ∆λ0, e iteração a carga constante.
Como o objetivo deste exemplo é comparar os resultados obtidos com a solução
analítica dada na Tabela 7.3, será adotado para o parâmetro de carga o
valor: 025.001 =λ∆ . Foi ainda adotada uma tolerância ζ = 10-3.
104
O erro percentual médio apresentado na Tabela 7.4a e 7.4b foi avaliado fazendo-
se a média aritmética dos erros percentuais obtidos em relação às configurações
fornecidas pela Tabela 7.3.
Tabela 7.3- Solução analítica: viga engastada-livre.
PL2 /EI w/L u/L
0 0 0
0.25 0.083 0.004
0.50 0.162 0.016
0.75 0.235 0.034
1 0.302 0.056
2 0.494 0.160
3 0.603 0.255
4 0.670 0.329
5 0.714 0.388
6 0.744 0.434
7 0.767 0.472
8 0.785 0.504
9 0.799 0.531
10 0.811 0.555
105
Tabela 7.4a – Erro percentual médio de u/L.
Formul. Número de Elementos
2 3 4 5
AFT 10.77 6.64 3.90 2.97
AFI 1.96 1.08 0.82 0.68
TFT 19.03 6.49 2.53 1.35
TFI 2.10 1.19 0.94 0.80
YSN 2.17 1.06 0.81 0.67
YGN 2.06 0.99 0.72 0.57
YGE 3.81 2.85 2.43 2.22
YHN 1.95 0.97 0.71 0.57
PTT 7.77 3.23 1.56 0.93
PT1 2.22 0.94 0.70 0.61
PT2 0.72 0.53 0.50 0.48
PC1 2.22 0.94 0.70 0.61
PC2 0.72 0.53 0.50 0.48
Solução analítica: Timoshenko e Gere (1982)
Observando-se a Tabela 7.4a, onde estão definidos os erros percentuais para os
deslocamentos, da extremidade livre da viga, na direção do eixo axial, pode-se concluir:
• as formulações AFI e TFI obtiveram resultados melhores que as AFT e TFT, que
apresentaram erros consideráveis para os modelos mais simples;
• ao se melhorar o modelo estrutural, aumentando-se o número de elementos, os
resultados de TFT melhoraram de maneira mais sensível do que os de AFT;
• os quatro tipos de elementos apresentados por Yang e Kuo (1994) obtiveram
resultados praticamente idênticos, com ligeira vantagem para os modelos YGN e YHN;
• os modelos PT2 e PC2 apresentaram ótimos resultados mesmo para um modelo
estrutural mais simples, com 2 elementos; entretanto, resultados semelhantes só foram
obtidos com PTT, PT1 e PC1 aumentando-se o número de elementos.
106
Tabela 7.4b – Erro percentual médio de w/L.
Formul. Número de Elementos
2 3 4 5
AFT 3.61 2.90 1.63 1.29
AFI 2.39 1.17 0.77 0.60
TFT 8.24 2.70 0.61 0.17
TFI 2.50 1.26 0.85 0.67
YSN 2.57 1.31 1.31 0.72
YGN 2.43 1.21 0.81 0.64
YGE 2.69 1.47 1.07 0.90
YHN 2.42 1.20 0.81 0.64
PTT 2.20 1.01 0.70 0.58
PT1 2.81 1.39 0.94 0.74
PT2 0.20 0.37 0.40 0.42
PC1 2.81 1.39 0.94 0.74
PC2 0.20 0.37 0.40 0.42
Solução analítica: Timoshenko e Gere (1982)
Da Tabela 7.4b, onde estão indicados os erros percentuais para os deslocamentos
transversais w, na extremidade da viga, pode-se destacar:
• mais uma vez nota-se uma maior sensibilidade da formulação TFT em relação à
discretização estrutural;
• mais uma vez, observa-se que para modelos estruturais mais simples, os
resultados obtidos com as formulações AFI e TFI foram melhores que as obtidas por
AFT e TFT; porém, com o aumento do número de elementos nota-se uma melhor
performance da formulação TFT em relação a TFI;
107
• Os resultados produzidos por PT2 e PC2 para o deslocamento w foram muito
precisos para o modelo com 2 elementos finitos, porém, apresentaram uma pequena
perda de eficiência com o refinamento da malha.
Pode-se ainda destacar as seguintes observações de caráter geral:
• as formulações de elementos finitos que obtêm o vetor de forças internas com os
deslocamentos ‘naturais incrementais’, ou seja, AFI, TFI, YSN ,YGN e YHN,
produziram resultados semelhantes;
• com YGE, que obtém o vetor de forças internas com deslocamentos incrementais,
porém não o fazendo com os deslocamentos ‘naturais incrementais’ e sim corrigindo os
efeitos de corpo rígido com a introdução da ‘matriz de rigidez externa’, chegou-se a
resultados ligeiramente inferiores àqueles fornecidos pelas formulações citadas no
parágrafo anterior. O modelo YGE merecerá uma análise especial no exemplo da Seção
(7.2.3);
• os melhores resultados deste exemplo foram os obtidos com as formulações PT2 e
PC2, introduzidas por Pacoste e Eriksson (1997) e que se baseiam em relações
cinemáticas com aproximações de segunda ordem para as funções trigonométricas. Os
resultados apresentaram erros médios menores que 1% mesmo para o modelo estrutural
mais simples, com 2 elementos finitos. As trajetórias de equilíbrio obtidas por PT2 estão
representadas na Figura 7.3;
• as formulações PTT, PT1 e PC1 não produziram resultados tão bons quanto PT2 e
PC2, mas evidenciaram melhoras significativas com o refinamento da malha;
• foi verificada ainda uma semelhança dos resultados para PT1 e PC1, assim como
para PT2 e PC2. Isso coincide com as observações encontradas em Pacoste e Eriksson
(1997).
108
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0u/L , w/L
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PL^2
/EI
Timoshenko e Gere (1982)
Presente - PT2 (2 elem)
Galvão
u/L w/L
Figura 7.3 – Trajetória de equilíbrio: PT2 (2 elem.).
109
7.2.2 - Coluna Engastada-Livre
Este exemplo, conforme ilustra a Figura 7.4, consiste de uma coluna engastada-
livre submetida a uma carga vertical P aplicada no seu topo associada a uma pequena
imperfeição do tipo momento, introduzida com o objetivo de evitar as dificuldades
numéricas associadas ao ponto de bifurcação.
Como os resultados a serem apresentados estão adimensionalizados, não há
necessidade de especificar as propriedades físicas e geométricas da estrutura, porém é
necessário indicar que, para a formulação PTT, desenvolvida a partir da teoria de
Timoshenko, considerou-se um módulo de elasticidade transversal G = E/2.
Para avaliar a qualidade dos resultados obtidos, será utilizada a solução analítica
apresentada por Southwel (1941).
Alexandre
P, w
u
L
0,001 PL
Figura 7.4 - Coluna engastada-livre.
Com este exemplo, pretende-se verificar a eficiência das formulações estudadas
na análise de problemas estruturais que, além de envolverem grandes rotações,
apresentam na sua trajetória de equilíbrio uma região de grandes deslocamentos e carga
110
praticamente constante, seguida ainda por um ponto limite de deslocamento, como
ilustrado na Figura 7.5.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8u/L
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0PL
^2/E
I
Analítico - Southwel (1941)
Galvão
Presente: PTT (5 elem.)
Figura 7.5 – Trajetória de equilíbrio: PTT ( 5 elem).
Como no exemplo anterior, foram analisadas todas as formulações estudadas
usando-se na modelagem do sistema: 2, 3, 5 e 10 elementos finitos.
O procedimento de solução não-linear adotado foi o método Newton-Raphson
modificado junto com a estratégia de iteração proposta por Yang e Kuo (1994), controle
dos deslocamentos generalizados, com incremento automático do parâmetro de carga
∆λ0 baseado no parâmetro de rigidez generalizado, GSP. Foi utilizado um incremento
inicial do parâmetro de carga 201 EI/PL 0.17 =λ∆ e uma tolerância ζ = 10-4.
A Tabela 7.5a fornece os valores encontrados para a carga crítica
adimensionalizada, PcrL2/EI, com o seu respectivo erro percentual. Adotou-se o critério
de avaliar como valor crítico, a carga que corresponde o menor valor de GSP pois,
como foi definido em Yang e Kuo (1994), o valor nulo de GSP indica um ponto onde a
reta tangente à curva carga–deslocamento torna-se paralela ao eixo dos deslocamentos.
111
A Tabela 7.5b apresenta os valores de u/L no ponto limite de deslocamento com os
respectivos erros percentuais.
Tabela 7.5a – Carga crítica: Valores de Pcr L2/ EI.
Formul. Número de Elementos
2 3 5 10
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFT 2.465 0.089 2.466 0.061 2.467 0.028 2.467 0.012
AFI 2.468 0.020 2.468 0.036 2.468 0.024 2.469 0.081
TFT 2.474 0.255 2.474 0.288 2.479 0.482 2.469 0.049
TFI 2.470 0.097 2.469 0.049 2.468 0.036 2.468 0.036
YSN 2.470 0.097 2.469 0.049 2.468 0.040 2.469 0.061
YGN 2.470 0.081 2.468 0.036 2.468 0.020 2.468 0.020
YGE 2.470 0.081 2.468 0.032 2.468 0.024 2.468 0.020
YHN 2.470 0.081 2.468 0.032 2.468 0.024 2.468 0.020
PTT 2.745 11.243 2.584 4.742 2.508 1.658 2.477 0.401
PT1 2.597 5.261 2.525 2.326 2.488 0.843 2.473 0.227
PT2 2.469 0.070 2.468 0.028 2.468 0.020 2.468 0.016
PC1 2.597 5.261 2.525 2.326 2.488 0.843 2.473 0.227
PC2 2.469 0.070 2.468 0.028 2.468 0.020 2.468 0.016
Solução analítica : Pcr L2/EI = π2/4 ≈ 2.467 (Southwel, 1941).
Pode-se destacar da Tabela 7.5a as seguintes observações:
• As formulações PTT, PT1 e PC1 apresentaram erros relativamente grandes da
carga crítica para os modelos estruturais mais simples, e melhoraram esses resultados
com o aumento da discretização;
• As demais formulações forneceram bons resultados para todos os modelos de
elementos finitos;
• ficou evidente mais uma vez a identidade dos resultados produzidos por PT1 e
PC1, bem como para os obtidos por PT2 e PC2.
112
Tabela 7.5b – Ponto limite de deslocamento : Valores de u/L.
Formul. Número de Elementos
2 3 5 10
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFT ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
AFI 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373
TFT ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
TFI 0.845 5.099 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373
YSN 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373
YGN 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373
YGE 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.808 0.497
YHN 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373
PTT 0.833 3.607 0.817 1.617 0.810 0.746 0.807 0.373
PT1 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------
PT2 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------
PC1 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------
PC2 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------
Solução analítica : ucr/L = 0.804 ( Southwel, 1941).
Da Tabela 7.5b as seguintes observações podem ser destacadas:
• com exceção de PTT, todas as formulações que obtêm o vetor de forças internas
através dos deslocamentos totais, ou seja, AFT, TFT, PT1, PC1, PT2 e PC2,
apresentaram problemas de convergência, mostrando-se incapazes de atingir o ponto
limite de deslocamento;
• a formulação PTT, apesar de ter apresentado os piores resultados para a carga
crítica, apresentou os melhores resultados para o ponto limite de deslocamento;
• a formulação TFT mostrou grandes erros na obtenção da trajetória de equilíbrio
pós-crítica para os modelos mais simples, como mostra a Figura 7.6;
113
• como no exemplo anterior, pode-se observar a semelhança dos resultados
produzidos pelas formulações que obtêm o vetor de forças internas a partir dos
deslocamentos naturais incrementais.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0u/L
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
PL
^2/E
I
2 elem. 3 elem. 5 elem.
10 elem.
Presente - TFT
Analítico - Southwell (1941)
Figura 7.6 – Trajetórias pós-crítica: TFT.
114
7.2.3 – Arco Birrotulado sob Carregamento Distribuído
O problema a ser tratado nesta seção consiste de uma arco senoidal birrotulado
submetido a uma carga vertical P uniformemente distribuída. As propriedades físicas e
geométricas desse sistema estrutural estão apresentadas na Figura 7.7.
O objetivo deste exemplo é analisar e comparar as duas formas de se obter o vetor
de forças internas propostas por Yang e Kuo (1994): a) através dos deslocamentos
naturais - YGN -; b) usando a matriz de rigidez externa – YGE-.
h = 20
h
Z0 = 20
P
w
E = 210000 G = E/2
L = 1000
Figura 7.7 – Arco birrotulado sob carga distribuída.
As Tabelas 7.6a e 7.6b apresentam, para os modelos estruturais com 3, 4, 5 e 8
elementos, os valores da carga nos dois pontos limites de carga, bem como o erro
percentual em relação à solução numérica obtida por Bergan (1980).
A solução não-linear foi obtida usando-se a estratégia de iteração comprimento de
arco cilíndrico, com o método Newton-Raphson modificado; o incremento automático
do comprimento de arco foi adotado como controlador do valor inicial do parâmetro de
carga, ∆λ0. Adotou-se para o primeiro incremento: -301 10 0.5 x=λ∆ . Para controlar a
convergência foi adotada uma tolerância ζ = 10-3.
115
A Figura 7.8 fornece as trajetórias de equilíbrio para as duas formulações em
estudo. Observe que, à medida que os deslocamentos crescem, o caminho de equilíbrio
encontrado através da formulação YGE se afasta da solução esperada.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
P / h
Bergan (1980)
Presente - YGN
Presente - YGE
Galvão
w/Z0
Figura 7.8 – Trajetórias de equilíbrio: YGN e YGE (8 elem).
116
Tabela 7.6a – Valor de P/h no 1o ponto limite.
Formul. Número de Elementos
3 4 5 8
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
YGN 0.334 4.2 0.340 2.5 0.342 1.9 0.345 0.8
YGE 0.339 2.8 0.345 1.1 0.348 0.2 0.351 0.6
Valor de referência: 1Pcr = 0.349 (Bergan, 1980)
Tabela 7.6b – Valor de P/h no 2o ponto limite.
Formul. Número de Elementos
3 4 5 8
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
YGN 0.075 2.5 0.077 0.1 0.078 1.4 0.079 2.7
YGE 0.059 23.3 0.061 20.7 0.062 19.4 0.064 16.8
Valor de referência: 2Pcr = 0.077 (Bergan, 1980)
As Tabelas 7.6a e 7.6b confirmam que há um erro significativo para a formulação
YGE na obtenção do segundo ponto limite. Este erro pode ser explicado pelas
aproximações que se fizeram necessárias na definição da matriz de rigidez externa.
Estas aproximações forneceram, entretanto, erros desprezíveis quando os deslocamentos
incrementais foram suficientemente pequenos. Faz-se portanto necessário um estudo a
respeito da variação dos resultados ao se utilizar diferentes valores para estes
deslocamentos incrementais, através de uma variação do valor médio dos incrementos
de carga.
117
A Tabela 7.7 e a Figura 7.9, obtidas para o modelo com 8 elementos, evidenciam
que ao se diminuir o valor médio do incremento de carga, os valores obtidos por YGE
se aproximam dos fornecidos pela formulação YGN.
Tabela 7.7 – Variação de 01λ∆ : YGE (8 elem.).
01∆λ∆λ∆λ∆λ Valor médio do
incremento de P/hValor de P/h
1o Ponto limiteValor de P/h
2o Ponto limite
5 x 10-3 0.0139 0.351 0.064
2 x 10-3 0.00547 0.348 0.073
1 x 10-3 0.00278 0.347 0.076
5 x 10-4 0.0013938 0.346 0.077
5 x 10-5 0.000139697 0.345 0.079
YGN ( 8 elem. - 01λ∆ =5 x 10-3) 0.345 0.079
1.35 1.40 1.45 1.50 1.55w/Z
0.064
0.068
0.072
0.076
0.080
0.084
0.088
P / h
Segundo Ponto limite
(1)
(2)(3)(4)(5)
(6)(7)
0
(1) YGE: ∆λ = 0.005(2) YGE: ∆λ = 0.002
(3) YGE: ∆λ = 0.001
(4) YGE: ∆λ = 0.0005(5) YGE: ∆λ = 0.00005(6) Bergan (1980)(7) YGN: ∆λ = 0.005
0101
01
01
01
01
Figura 7.9 - Trajetória de equilíbrio: proximidades do 2o ponto limite.
118
A diminuição do valor médio do incremento de carga foi conseguida com a
redução do valor de 01λ∆ . Outras estratégias, entretanto, podem ser empregadas.
Utilizando-se, por exemplo, solução não-linear proposta por Yang e Kuo (1994), com
controle de incremento de carga baseado no parâmetro GSP e estratégia de iteração
denominada controle dos deslocamentos generalizados, com 01λ∆ = 5x10-3, chegou-se
aos resultados apresentados na Tabela 7.8 e na Figura 7.10.
Tabela 7.8 - Valores limites de P/h: YGE (8 elem. – GSP).
01∆λ∆λ∆λ∆λ Valor médio do
incremento de P/hValor de P/h
1o Ponto limiteValor de P/h
2o Ponto limite
5 x 10-3 0.000075 0.345 0.079
YGN ( 8 elem - -310 x 501 =λ∆ ) 0.345 0.079
1.35 1.40 1.45 1.50 1.55w/Z
0.076
0.078
0.080
0.082
0.084
0.086
0.088
P / h
Segundo Ponto limite
Galvão
Bergan (1980)
Presente - YGN
Presente - YGE
Galvão
0
Figura 7.10 - Trajetória de equilíbrio: proximidades do 2o ponto limite.
119
7.2.4 – Arco Biengastado sob Pressão Radial
Um arco circular biengastado é submetido a uma pressão radial uniforme
conforme mostrado na Figura 7.11. Nesta mesma figura estão representados os
parâmetros geométricos que definem o arco bem como o seu o módulo de elasticidade.
Resultados analíticos para esse problema foram apresentados por Kerr e Soifer
(1969), sendo usados, desde então, para validar formulações numéricas (Antonini, 1987;
Alves, 1993b).
P
m0 = 1x10 tf cm -6
R
b h Seção transversal:
w
γ
γ = 0.1 radR = 100 cmh = 0.1 cmb = 1.0 cmE = 2100 tf/cm
Figura 7.11 – Arco biengastado sob pressão radial.
Trata-se de uma estrutura que apresenta um caminho de equilíbrio
acentuadamente não-linear com perda de estabilidade por ponto limite associada a um
modo de deformação simétrico. Entretanto, sob a ação de pequenas perturbações
assimétricas, pode ser identificado, ao longo do caminho não-linear de equilíbrio, um
ponto de bifurcação associado a um modo de deformação anti-simétrico. Na presente
120
análise estas pequenas perturbações são introduzidas por um momento inicial, m0, como
mostrado na figura.7.11.
Alves (1993b) mostrou que o acréscimo de pequenas imperfeições aleatórias às
coordenadas nodais é uma estratégia numérica bastante eficiente para detectar pontos de
bifurcação ao longo da trajetória não-linear de equilíbrio. Na realidade, este
procedimento é justificado tanto em termos da Teoria Geral da Estabilidade Elástica
(Koiter, 1970; Thompson & Hunt, 1973) como através da Teoria da Catástrofe (Thom,
1975; Poston & Stewart, 1978).
Ambas as teorias mostram que imperfeições aleatórias infinitesimais, apesar de
destruírem os pontos de bifurcação, geram um caminho de equilíbrio que inicialmente
praticamente coincide com o caminho fundamental de equilíbrio da estrutura perfeita e
que ao atingir a vizinhança do primeiro ponto de bifurcação, onde a trajetória
fundamental se torna instável, passa a seguir a trajetória pós-crítica de equilíbrio.
Também, sendo a distribuição de imperfeições aleatória, esta "contém", em uma
representação modal equivalente, todos os modos críticos, o que permite detectar
caminhos que emergem tanto de pontos de bifurcação isolados quanto de pontos de
bifurcação múltiplos.
Este exemplo é utilizado aqui com objetivo de analisar as formulações não-
lineares propostas por Alves (1993b): AFT e AFI, e por Torkamani et al. (1997): TFT e
TFI. Essas formulações têm processos semelhantes de obtenção da matriz de rigidez e
do vetor de forças internas, sendo que Torkamani et al. (1997) propôs um modelo mais
simples, como mostrado resumidamente na Tabela 7.1 (veja também Capítulo 3).
Para a realização da análise, primeiramente considerou-se o arco perfeitamente
simétrico. A estrutura foi então representada por 4 modelos diferentes considerando-se
apenas metade do arco, ou seja: 3, 4, 8 e 10 elementos. Para tornar esses modelos
compatíveis, foram introduzidas restrições à rotação e ao deslocamento tangencial do
ponto que coincide com o eixo de simetria.
Em seguida, foram considerados outros 4 modelos estruturais do arco completo,
ou seja, com 6, 8, 16 e 20 elementos respectivamente. Nesses modelos uma carga inicial
tipo momento, m0, foi introduzida.
A solução não-linear seguiu a estratégia de iteração proposta por Crisfield (1991),
comprimento de arco cilíndrico, junto ao método de Newton-Raphson modificado, com
121
incremento automático do comprimento de arco controlando o carregamento. No caso
da estrutura simétrica (metade do arco), foi utilizado um incremento inicial do
parâmetro de carga, -601 10 =λ∆ , e para o caso da estrutura completa, -70
1 10 =λ∆ . Foi
adotada uma tolerância ζ = 10-3.
As Figuras 7.12 e 7.13 ilustram as trajetórias de equilíbrio da estrutura perfeita e
com imperfeições iniciais. Foram considerados 10 e 20 elementos, respectivamente, na
modelagem desses sistemas estruturais.
0 1 2 3 4 5 6 7 8w/h
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
PhR
^2/E
I
Analítico - Kerr e Soifer (1969)
Presente - AFT
Presente - TFT
Galvão
Modelo Perfeito: 10 elem.Modelo Imperfeito: 20 elem.
Figura 7.12 – Trajetórias de equilíbrio: AFT e TFT.
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06θ
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
PhR
^2/E
I
Primeiro pontode bifurcação
Segundo pontode bifurcação
Galvão
Figura 7.13 – Trajetórias de equilíbrio: AFT (10 – 20 elem.).
122
Observe que até o primeiro ponto de bifurcação, o comportamento da estrutura é
próximo daquele do modelo perfeito; no regime pós-crítico, as deformações
assimétricas tornam-se bastante pronunciadas, e a partir do segundo ponto de bifurcação
o comportamento do arco volta a se aproximar daquele do modelo perfeito.
Para as 4 formulações em estudo as soluções obtidas nos dois pontos limites de
carga para a estrutura simétrica, bem como o erro percentual em relação ao valor
analítico, estão representadas nas Tabelas 7.9a e 7.9b.
Tabela 7.9a – Valor de PhR2/EI no 1o ponto limite.
Formul. Número de Elementos: metade do arco
3 4 8 10
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFT 2.288 0.88 2.272 0.18 2.269 0.04 2.260 0.35
AFI 2.352 3.70 2.313 1.98 2.280 0.53 2.267 0.04
TFT 2.310 1.85 2.284 0.71 2.271 0.13 2.261 0.31
TFI 2.352 3.70 2.313 1.98 2.280 0.53 2.268 0.00
Solução analítica: 1PlimhR2/EI = 2.268 (Kerr e Soifer, 1969)
123
Tabela 7.9b – Valor de PhR2/EI no 2o ponto limite.
Formul. Número de Elementos: metade do arco
3 4 8 10
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFT 0.474 1.46 0.479 0.42 0.481 0.00 0.482 0.21
AFI 0.312 35.14 0.392 18.50 0.460 4.37 0.469 2.50
TFT 0.652 35.55 0.520 8.11 0.484 0.62 0.483 0.42
TFI 0.312 35.14 0.392 18.50 0.460 4.37 0.469 2.49
Solução analítica: 2PlimhR2/EI = 0.481 (Kerr e Soifer, 1969)
As seguintes observações podem ser destacadas das Tabelas 7.9a e 7.9b:
• os erros tornam-se mais evidentes a medida que os deslocamentos crescem;
• os resultados apresentados pelas formulações em análise que adotam o
procedimento de cálculo do vetor de forças internas através dos deslocamentos naturais
incrementais, isto é, AFI e TFI, mostraram comportamentos semelhantes;
• como esperado, AFT apresentou resultados melhores que TFT;
• para este problema em particular, as formulações AFI e TFI apresentaram erros
maiores do que AFT e TFT.
As Tabelas 7.10a e 7.10b contêm as soluções obtidas e o erro percentual em
relação ao valor analítico nos dois pontos de bifurcação.
124
Tabela 7.10a– Valor de PhR2/EI no 1o ponto de bifurcação
Formul. Número de Elementos Para o Arco Completo
6 8 16 20
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFT 1.919 0.47 1.911 0.05 1.907 0.16 1.907 0.16
AFI 1.931 1.10 1.919 0.47 1.910 0.00 1.909 0.05
TFT 1.923 0.68 1.913 0.16 1.908 0.10 1.908 0.10
TFI 1.932 1.15 1.919 0.47 1.911 0.05 1.910 0.00
Solução analítica: 1PbifhR2/EI = 1.910 (Kerr e Soifer, 1969)
Tabela 7.10b– Valor de PhR2/EI no 2o ponto de bifurcação.
Formul. Número de Elementos Para o Arco Completo.
6 8 16 20
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFT --- --- --- --- 0.515 0.39 0.515 0.39
AFI 0.337 34.31 0.408 20.47 0.485 5.46 0.498 2.92
TFT --- --- --- --- 0.515 0.39 0.515 0.39
TFI 0.337 34.31 0.408 20.47 0.485 5.46 0.498 2.92
Solução analítica: 2PbifhR2/EI = 0.513 (Kerr e Soifer, 1969)
Analisando as Tabelas 7.10a e 7.10b, pode-se acrescentar às observações
destacadas anteriormente que, para os modelos mais simples, AFT e TFT tiveram
problemas de convergência, não atingindo o segundo ponto de bifurcação.
A Figura 7.14 superpõe as trajetórias de equilíbrio das formulações AFT e AFI,
para o par de modelos estruturais 8-16 elementos (perfeito e imperfeito), ilustrando
assim as diferenças encontradas entre as duas diferentes formas de cálculo do vetor de
forças internas. Observe que a divergência entre as duas soluções é maior após a
passagem do segundo ponto crítico (bifurcação), quando os deslocamentos são mais
pronunciados.
125
0 1 2 3 4 5 6 7 8w/h
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
PhR
^2/E
I
Galvão
Analítico - Kerr e Soifer (1969)
Presente - AFT
Presente - AFI
Perfeito: 8 elem.Imperfeito: 16 elem.
Figura 7.14 – Trajetórias de equilíbrio: AFT e AFI (8 –16 elem.).
Algumas considerações gerais podem ser levantadas a partir dos resultados
encontrados:
• este exemplo mostrou a existência de diferenças nos resultados obtidos por
formulações baseadas nas mesmas relações constitutivas e cinemáticas mas que se
utilizam de processos diferentes no cálculo do vetor de forças internas;
• a forma ‘incremental’ de obtenção do vetor de forças internas, mostra-se mais
eficiente no traçado de trajetórias que apresentam uma não-linearidade muito
forte. Esta observação ficará mais evidente nos exemplos da Seção (7.3).
entretanto, no presente exemplo, os resultados obtidos pelas formulações AFT e
TFT apresentaram erros menores que os apresentados por AFI e TFI;
• observa-se ainda no presente exemplo que AFT, que foi baseada em uma relação
deformação-deslocamento mais completa, apresentou resultados ligeiramente
superiores a TFT. Entretanto, não houve diferenças relevantes entre os resultados
apresentados por AFI e TFI.
Essas formulações de elementos finitos voltarão a ser tratadas no Exemplo (7.3.4).
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7.2.5 – Pórtico de Williams
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Modelo No elem. Bifurc. máx
PE-PTT P ==:$P
PE-PC1 P ==3$\
PE-PC2 P =3A$E
/#6QbIUQ#E$'3#^LHFIGI#LR#HIRZUKQMLR#LbKOMLR#NIUQR#^LHJZUQWgIR#/<6a#d2*a#S66#I
S63a#NQHQ#LR#JLMIULR#IRKHZKZHQOR#^LHJQMLR#NLHi#=a#Pa#'Aa#3A#I#'AA#IUIJIFKLR$
6QbIUQ#E$'3#&#!QULH#MQ#bO^ZHGQWXL#JmfOJQ#LbKOMQ#FL#NHIRIFKI#KHQbQUhL$
Formul. Número de Elementos
4 8 10 20 100
AFT =33$?E =3A$AP' ='?$?E ='?$?A ='?$?A
YGN =3:$B\ =3A$==P =3A$3? =3A$'\ =3A$'=
PTT \PA$\: =\E$3:B ==?$3: =3\$?P =3A$3\
PT2 =3:$3? =3A$:B: =3A$3: =3A$'B =3A$'=
*L`QJIFKI# o# `IHO^OGQMQ# ZJQ# IfGIRRO`Q# HO[OMIY# NQHQ# L# IUIJIFKL# S66a# L# nZI
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136
7.3 – PROBLEMAS FORTEMENTE NÃO-LINEARES
Esta seção pretende verificar a capacidade das formulações não-lineares
implementadas neste trabalho em analisar problemas estruturais fortemente não-
lineares. Soluções numéricas, ou analíticas, encontradas na literatura serão utilizadas
para testar a eficiência computacional dessas formulações.
Com a intenção de ratificar as observações dos exemplos anteriores serão
utilizadas todas as formulações implementadas neste trabalho na análise do arco abatido
mostrado na Figura 7.23a, usando como referência os resultados extraídos de Yang e
Kuo (1994).
A análise do arco circular ilustrado na Figura 7.23b terá o objetivo de analisar e
comparar as formulações que se mostraram mais eficientes nos exemplos anteriores:
AFI, TFI, YGN, PTT e PT2. Serão usados como referência a solução analítica para o
primeiro ponto limite apresentada em Wood e Zienkiewicz (1977) e os resultados
numéricos fornecidos por Kouhia e Mikkola (1989).
O exemplo de arco circular, cujo comportamento fortemente não-linear é
mostrado na Figura 7.23c, terá o objetivo de analisar as formulações apresentadas por
Yang e Kuo (1994): YSN, YGN, YGE e YHN.
As formulações sugeridas por Alves (1993b) e Torkamani et al. (1994) serão
novamente analisadas na solução do pórtico de Lee, Figura 7.23d, com o objetivo de
preencher algumas lacunas deixadas nas observações finais do Exemplo (7.2.4).
A eficiência computacional das formulações propostas por Pacoste e Eriksson
(1997) será avaliada através da análise do arco pouco-abatido da Figura 7.23e em cuja
trajetória de equilíbrio pode ser identificado um ponto de bifurcação.
137
P
M = 2 x P
θ
w
u
w
PGalvão
Carga CentradaCarga Excêntrica
(a)
P
α
θ
w
u
PR^2
/EI
Ga lvão
w (b)
w
u
θ
P
w
P G a lv ã o
(c)
P
Galvão
u
w
θ
w , u
P Ga lvã o
wu
(d)
uθ
w
R
P
m0
-2
0
2
4
6
P
w
Ponto debifurcação
(e)
Figura 7.23 – Problemas fortemente não-lineares.
138
7.3.1 – Arco Abatido Birrotulado sob Carga Pontual
O arco circular abatido birrotulado ilustrado na Figura 7.24 será analisado para
duas situações de carregamento: carga pontual centrada e carga excêntrica. Com o
objetivo de facilitar a modelagem da estrutura, a carga excêntrica será representada por
uma carga vertical aplicada no eixo de simetria do arco, associada a uma carga
momento. Nesta mesma figura estão indicados todos os parâmetros geométricos e
físicos da estrutura a serem considerados na análise.
50 50w
P
E = 2000 G = E/2 A = 1 I = 1
5
M = 2 x P
θ
u
Figura 7.24 - Arco abatido birrotulado sob carga pontual excêntrica.
Por ser o primeiro dessa nova série de exemplos, também aqui, como aconteceu
nas Seções (7.2.1) e (7.2.2), serão analisadas todas as formulações estudadas neste
trabalho. Esse procedimento tem o objetivo de ratificar as observações feitas naquelas
seções e verificar a eficiência computacional dessas formulações na solução de um
problema fortemente não-linear.
Os resultados obtidos usando-se as formulações implementadas neste trabalho
serão comparados com aqueles fornecidos em Yang e Kuo (1994), obtidos para um
modelo estrutural com 26 elementos usando YGN, que também está implementada no
presente trabalho.
139
Para o caso em que a estrutura é submetida à carga centrada, isto é, aplicada no
eixo de simetria do arco, foram modelados semi-arcos formados por: 2, 3, 5 e 10
elementos, com restrições à rotação θ e ao deslocamento tangencial u, no nó coincidente
com o eixo de simetria do arco. Para o caso em que a carga é excêntrica, foram
analisados modelos formados por: 4, 6, 10 e 20 elementos finitos.
Para a solução não-linear foi utilizado o método de Newton-Raphson modificado
junto com a estratégia de iteração deslocamentos generalizados e a estratégia de
incremento de carga baseada no parâmetro GSP. Foi adotada uma tolerância ζ = 10-3.
A obtenção exata dos pontos singulares (pontos limites e de bifurcação) e o
desenvolvimento de técnicas para o traçado das trajetórias secundárias (branch
switching techniques) têm sido objeto de recentes pesquisas. Entretanto, na presente
dissertação não foi implementado nenhum desses métodos. O procedimento utilizado
aqui para obtenção dos pontos limites com precisão, foi adotar um valor ‘pequeno’ para
o parâmetro inicial de carga, da ordem de 0.01.
Este sistema estrutural, no caso da carga excêntrica, exibe um comportamento
altamente não-linear, apresentando quatro pontos limites de carga, dois pontos limites
para os deslocamentos w e θ e quatro pontos limites para o deslocamento u. Os gráficos
apresentados na Figura 7.25 ilustram essas observações; e foram obtidas usando YGN
com o modelo estrutural formado por 20 elementos finitos. No caso da carga centrada é
observada a presença apenas de dois pontos limites de carga para o gráfico P x w
(Figura 7.25a).
140
0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0
w
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
P
Yang e Kuo (1994)
P.L. de carga
P.L. de deslocamento
Carga excêntrica YGN (20 elem.)
Galvão
C a rg a c en tra d a Y G N (1 0 e lem .)
P r e s e n t e T r a b a l h o
(a) Curva P x w.
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10θ
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
P Galvão
Presente Trabalho
Carga centrada (10 elem.)
Carga excêntrica (20 elem.)
(b) Curva P x θ.
141
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10u
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
P Galvão
PresenteTrabalho
Carga centrada (10 elem.)
Carga excêntrica (20 elem.)
(b) Curva P x u.
Figura 7.25 – Trajetórias de equilíbrio.
As Tabelas 7.13a e 7.13b foram construídas com o objetivo de verificar as
formulações, usando como referência os resultados extraídos diretamente do gráfico
apresentado em Yang e Kuo (1994). Nessas tabelas são apresentados os valores da
média aritmética dos ‘erros percentuais’ nos pontos limites (carga e deslocamento), dos
valores obtidos nesta dissertação em relação aos apresentados no trabalho citado. Estes
‘erros’ foram calculados conforme o procedimento da Figura 7.26.
142
% u
uup
pp x 100 E
2
a
ab2
a
aba/b
−+
−=
Galvão
( ua , pa )
( ub , pb)
A
B
u
P
Figura 7.26 – Cálculo do erro de posição de B em relação a A.
A Tabela 7.13a mostra portanto a média aritmética entre os ‘erros’ calculados nos
2 pontos limites de carga da estrutura submetida ao carregamento centrado. A Tabela
7.13b fornece a média aritmética entre ‘erros’ nos 6 pontos limites (4 de carga e 2 de
deslocamento) da mesma estrutura quando submetida à carga excêntrica.
143
Tabela 7.13a – ‘Erros’ percentuais médios: carga centrada.
Formul. Número de Elementos: metade do arco
2 3 5 10
AFT 18.95 9.25 4.60 2.81
AFI 9.12 5.03 2.01 0.78
TFT 20.49 8.31 3.11 1.26
TFI 9.34 5.17 2.19 0.56
YSN 9.02 4.92 1.96 0.92
YGN 9.12 5.05 2.05 0.75
YGE 10.49 6.09 3.05 1.37
YHN 9.19 5.00 1.98 0.77
PTT 20.31 8.89 2.90 1.25
PT1 11.14 5.39 2.15 1.28
PT2 17.63 7.78 3.04 1.25
PC1 11.14 5.39 2.15 1.28
PC2 17.63 7.78 3.04 1.25
Observa-se na Tabela 7.13a que, para os modelos estruturais mais simples, os
melhores resultados foram os apresentados pelas formulações que calculam o vetor de
forças internas com os deslocamentos incrementais, ou seja, AFI, TFI, YSN, YGN,
YGE e YHN.
144
Tabela 7.13b – ‘Erros’ percentuais médios: carga excêntrica.
Formul. Número de Elementos para o Arco
4 6 10 20
AFT 18.63 9.19 4.82 3.09
AFI 20.37 9.71 3.76 1.30
TFT --- 8.05 3.29 1.57
TFI 20.10 9.46 3.56 1.26
YSN 20.63 10.01 4.03 1.56
YGN 20.79 10.13 4.20 1.72
YGE 19.82 9.44 3.64 1.89
YHN 20.82 10.18 4.18 1.74
PTT --- 14.64 3.55 1.49
PT1 22.37 6.66 2.57 1.79
PT2 17.43 7.72 3.26 1.56
PC1 22.37 6.66 2.57 1.79
PC2 17.43 7.72 3.26 1.56
Para o arco submetido à carga excêntrica pode-se afirmar que:
• AFT apresentou dificuldades na obtenção do caminho de equilíbrio para o modelo
estrutural formado por quatro elementos, provocando a ocorrência de muitas
iterações (até 718) para satisfazer o critério de convergência nas configurações
próximas aos pontos críticos;
• Com esse mesmo modelo (4 elementos), TFT não foi capaz de atingir o segundo
ponto limite de carga;
• PTT apresentou novamente um comportamento mais rígido que as demais,
necessitando portanto de um modelo estrutural mais refinado. Para o modelo
estrutural com 4 elementos, o ‘erro’ médio do elemento tipo PTT não consta na
Tabela 7.13b porque a trajetória obtida por este não foi similar à esperada,
145
apresentando apenas dois pontos limites de carga, se assemelhando à do arco sob
carga centrada. A Figura 7.27 ilustra a evolução dos resultados obtidos pelo
elemento tipo PTT, para a curva carga-deslocamento tangencial.
• Neste exemplo foi novamente verificada a semelhança dos resultados obtidos por
PT1 e PC1, bem como PT2 e PC2.
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 u
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
p
(a)(b) (c) (d)
(b)(c)(d)
(a) Presente - PTT (4 elem.)
(b) Presente - PTT (6 elem.)
(c) Presente - PTT (10 elem.)
(d) Presente - PTT (20 elem.)
Galvão
Figura 7.27 – Formulação PTT: refinamento da malha.
A Figura 7.28 apresenta os valores de P e w ( ponto nodal central) nos pontos
limites de carga e de deslocamentos obtidos usando YGN e modelo formado por 100
elementos finitos. Esses valores (considerados exatos) serão utilizados a seguir como
referência para verificar todas as formulações implementadas. Nessa mesma figura são
apresentadas as configurações deformadas nos 6 pontos limites da estrutura.
146
0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0
w
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
P
Galvão
1
5
32
6
4 1 - ( 2.4107 , 1.1928)2 - ( 8.0884 , -0.4179)3 - ( 7.8983 , -0.4612)4 - ( 3.9732 , 1.0932)5 - ( 3.9274 , 1.0797)6 - ( 8.5088 , -0.3675)
YGN (100elem)Pontos Limites - PL (w , P):
A B
(a) Trajetória de equilíbrio.
(1)
M = 2 x P
w = 2.4107
P= 1.1928
(2)
P = -0.4179
M = 2 x P
w = 8.0884
(3)
P = -0.4612
M = 2 x P
w = 7.8983
(4)
w = 3.9732
P = 1.0932
M = 2 x P
(5)
w = 3.9274
P = 1.0797
M = 2 x P
(6)
w = 8.5088
P = -0.3675
M = 2 x P
(b) Configurações deformadas nos pontos limites: fator de escala = 1.5.
Figura 7.28 – Carga excêntrica: YGN (100 elem.).
147
A Tabela 7.14 exibe, para todas as formulações implementadas e um modelo
estrutural com 20 elementos finitos, a média aritmética dos erros percentuais de posição,
nos seis pontos limites, em relação aos resultados fornecidos na Figura 7.28. Essa
mesma tabela, fornece o tempo de processamento necessário para se traçar a trajetória
de A até B, medido nas mesmas condições com um equipamento do tipo: Pentium II
350 / 32MB.
Tabela 7.14 – Eficiência computacional.
Formul. Arco Completo: 20 Elementos
Erro médio % Tempo A-B (seg.)
AFT 1.94 97.1
AFI 0.52 86.0
TFT 0.44 55.4
TFI 0.93 44.7
YSN 0.89 33.9
YGN 0.79 35.9
YGE 1.59 36.6
YHN 0.79 119.9
PTT 0.45 54.9
PT1 0.66 125.2
PT2 0.42 152.6
PC1 0.66 164.4
PC2 0.42 169.2
148
Baseado na Tabela 7.14 algumas observações são destacadas a seguir:
• PC2 apresentou o maior tempo de processamento, 399% maior do que o
apresentado por YSN (menor tempo);
• AFI mostrou erro menor do que TFI, entretanto necessitou de um tempo de
processamento 92% maior;
• YSN, YGN e YGE necessitaram dos menores tempos de processamento, sendo
que YGE apresentou erro maior do que as demais formulações propostas por
Yang e Kuo (1994). YHN necessitou de um tempo de processamento 254% maior
do que o tempo gasto por YSN;
• PC1 e PC2 apesar de terem apresentados erros idênticos aos obtidos,
respectivamente, por PT1 e PT2, necessitaram de tempos maiores de
processamento.
149
7.3.2 – Arco Circular Rotulado-Engastado Sob Carga Pontual Centrada
Um arco circular rotulado-engastado submetido a uma carga pontual centrada em
seu eixo de simetria, conforme indicado na Figura 7.29, será analisado nesta seção.
2150
R=100
H
H = 1
E = 12 x 106
w
uθ
P
G =E/2
Figura 7.29 - Arco circular rotulado-engastado sob carga pontual centrada.
A análise deste problema, cujo comportamento, como ilustrado na Figura 7.30, é
fortemente não linear, terá o objetivo de verificar e comparar mais uma vez formulações
que se mostraram mais eficientes nos exemplos anteriores. Assim, serão utilizadas as
formulações: AFI; TFI; YGN; PTT e PT2.
A solução analítica, até o primeiro ponto limite de carga, apresentada em Wood e
Zienkiewicz (1977) e os resultados numéricos obtidos por um modelo estrutural
formado por 64 elementos finitos, apresentados em Kouhia e Mikkola (1989) serão
usados como referência.
A solução não-linear seguiu a estratégia de iteração comprimento de arco
cilíndrico acoplada ao método de Newton-Raphson modificado. O comprimento de arco
foi usado como controlador do parâmetro de carga, inicialmente adotado: 5.001 =λ∆ .
Uma tolerância ζ = 10-4 foi empregada.
150
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6w/R,
-2
0
2
4
6
8
10
PR^2
/EI
θ
Presente - PTT (32 elem.)
w/Rθ
Galvão
Wood e Zienkiewicz (1977) - Analítico
A
B
C
D
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6-u/R
-2
0
2
4
6
8
10
PR^2
/EI
Galvão
P resente - PTT (32 elem .) W ood e Z ienkiew icz (1977) - A nalítico
Galvão
A
B
C
D
(a) Trajetórias de equilíbrio.
151
- A -
w* = 0.5745503P* = 6.0077
u* =0.4290926
- B -
w *= 1.138842
u* = -0.6118334
P* = 9.098987
- C -
w *= 1.211965
u* = -0.5741094
P* = -0.794223
- D -
P* = 0.99992
u* = -0.0973192
w * = 1.679506
P* = PR2/EI; w* = w/R; u* = u/R
(b) Configurações deformadas.
Figura 7.30 – Solução não-linear: PTT ( 32 elem.).
152
A Tabela 7.15 fornece os valores obtidos para o primeiro ponto limite de PR2/EI,
juntamente com o erro percentual deste em relação ao valor analítico.
Tabela 7.15 – PR2/EI no 1o ponto limite.
Formul. Número de Elementos
8 10 16 32
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
AFI 9.32 3.90 9.15 2.00 9.07 1.11 9.00 0.33
TFI 9.32 3.90 9.15 2.00 9.07 1.11 9.00 0.33
YGN 9.32 3.90 9.15 2.00 9.07 1.11 9.00 0.33
PTT 11.34 26.42 10.38 15.72 9.50 5.91 9.10 1.45
PT2 --- --- --- --- --- --- --- ---
Solução analítica: PR2/EI = 8.97 (Wood e Zienkiewicz, 1977)
Baseado nessa tabela, pode-se fazer os seguintes comentários:
• PTT, como já esperado, apresentou uma rigidez excessiva, fornecendo um valor
elevado para a carga no primeiro ponto crítico;
• PT2 apresentou problemas de convergência e não foi capaz de atingir o primeiro
ponto limite de carga;
• AFI, TFI e YGN apresentaram valores rigorosamente iguais. O gráfico
apresentado na Figura 7.31 ratifica esta observação, exibindo a trajetória de equilíbrio
obtida por AFI, TFI e YGN para um modelo estrutural formado por 16 elementos. Vale
lembrar que essas formulações têm em comum a forma incremental de obtenção do
vetor de forças internas.
153
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w/R
-2
0
2
4
6
8
10
12
PR^2
/EI
Presente Trabalho
AFI
TFI
YGN
16 elem.
Kouhia e Mikkola (1989) 64 elem.
Galvão
Figura 7.31 – Trajetórias de Equilíbrio: AFI, TFI, YGN (16 elem.).
A Figura 7.32 pretende ilustrar a evolução dos resultados obtidos pelo
formulações analisadas. Como AFI, TFI e YGN apresentaram resultados semelhantes,
são representados apenas os resultados obtidos por YGN.
154
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w/R
-2
0
2
4
6
8
10
12
PR^2
/EI
08 elem.10 elem.16 elem.32 elem.
08 elem.10 elem.16 elem.32 elem.
Kouhia e Mikkola (1989) - 64 elem.
Galvão
(a) YGN.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w/R
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
PR^2
/EI
08 elem.10 elem.16 elem.32 elem.
32 elem.16 elem.10 elem.08 elem.
10 elem.16 elem.32 elem.
Kouhia e Mikkola (1989) - 64 elem.
Galvão
(b) PTT.
Figura 7.32 – Evolução dos resultados obtidos.
155
Pode-se destacar da presente análise as seguintes observações:
• pode-se notar na Figura 7.32b que, para o modelo com 8 elementos, PTT
apresenta um comportamento absurdo para a trajetória de equilíbrio que se segue ao
primeiro ponto crítico, porém, melhorando-se a discretização do modelo estrutural,
nota-se uma aproximação do comportamento esperado. Essa aproximação é mais rápida
em PTT que nas outras formulações analisadas. Esse fato deve-se provavelmente às
relações deformação-deslocamento fortemente não-lineares definidas para este elemento
a partir de funções trigonométricas sem aproximações;
• PT2, que tem em comum com o elemento PTT a maneira de se obter o vetor de
forças internas, mostrou-se ineficiente na obtenção da trajetória, não sendo capaz de
atingir o primeiro ponto crítico;
• AFI e TFI, que foram gerados a partir de relações deformação-deslocamento mais
simples, mas que calcula o vetor de forças internas de forma incremental, atingiram com
sucesso todos os pontos limites;
• mais uma vez, as formulações que calculam o vetor de forças internas de forma
‘incremental’ mostraram-se mais eficientes no traçado de trajetórias de equilíbrio com
acentuada não-linearidade. Essas formulações atingiram e ultrapassaram pontos limites
que outros tipos de formulações, mesmo tendo relações deformação-deslocamento mais
completas, não puderam atingir ou contornar. Exceção a essa observação é feita a PTT,
pois esta é baseada em relações deformação-deslocamento fortemente não-lineares,
porém, devido às funções de interpolação lineares, esta formulação necessita de
modelos estruturais melhores.
156
Finalmente, na Tabela 7.16, os resultados obtidos no presente trabalho são
comparados com os fornecidos em Saje et al. (1998) para formulações publicadas na
década de 90.
Tabela 7.16 - 1o ponto limite: diversas formulações.
Formulação No de elem. PR2/EI Erro %
Presente trabalho
AFI 32 9.00 0.33
TFI 32 9.00 0.33
YGN 32 9.00 0.33
PTT 32 9.10 1.45
Trabalhos recentes
Sandhu et al. (1990) 6 8.97 0.00
Wagner (1991) 20 9.27 3.34
Borri e Bottasso (1994) 10 9.07 1.11
Kegl et al. (1995) 4 8.97 0.00
Ibrahimbegovic (1995) 20 8.97 0.00
Franchi e Montelaghi (1996) 40 8.98 0.11
Saje et al. (1998) 4 8.97 0.00
Solução analítica: PR2/EI = 8.97 (Wood e Zienkiewicz, 1977)
157
7.3.3 – Arco Circular Birrotulado
O sistema estrutural a ser analisado nesta seção é o arco circular birrotulado
submetido às duas situações de carga indicadas na Figura 7.33. Essas duas situações de
carga provocam na estrutura um comportamento fortemente não-linear, como ilustram
as trajetórias de equilíbrio mostradas na Figura 7.34.
E = 2000 A = 10 I = 1
w
uθ
P
π/50
L =100
Modelo perfeito
Modelo imperfeito
Figura 7.33 - Arco circular birrotulado.
Este exemplo tem o objetivo de verificar e comparar, mais uma vez, a eficiência
computacional das formulações apresentadas em Yang e Kuo (1994), ou seja: YSN,
YGN, YGE e YHN.
Para realizar a análise não-linear deste problema foram utilizadas, juntamente com
o método de Newton-Raphson modificado, a estratégia de iteração Deslocamentos
generalizados e a estratégia de incremento de carga baseada no parâmetro GSP. Com
essas estratégias, utilizando a formulação YGN e um modelo com 25 elementos para
metade do arco se chegou à trajetória da Figura 7.34a, para a estrutura perfeita. As
demais trajetórias dessa figura foram obtidas com o modelo imperfeito de arco completo
composto por 26 elementos.
158
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90w
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
PGalvão
Presente Trabalho Semi-arco: YGN (25 elem.)
Yang e Kuo (1994) Arco completo: YGN (26 elem.)
(a) Carga centrada: P x w.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100w
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
125
PGalvão
Presente Trabalho Arco completo: YGN (26 elem.)
Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)
(b) Carga excêntrica: P x w.
159
-30 -20 -10 0 10 20u
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
PGalvão
Presente trabalhoArco completo: YGN (26 elem.)
(c) Carga excêntrica: P x u.
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4θ
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
PGalvão
Presente trabalhoArco completo: YGN (26 elem.)
(d) Carga excêntrica: P x θ.
Figura 7.34 – Trajetórias de equilíbrio.
160
0 20 40 60 80 100w
-80
-40
0
40
80
PGalvão
-1-
-2-
-3-
-4-
0 20 40 60 80 100w
-20
-10
0
10
20
PGalvão
-1-
-2-
-3-
-4-
P = 7.583
- 1 -
P = 4.558
P = -21.615
- 2 -
P = -8.496P = -8.496
P = 48.149
- 3 -
P = 14.554
P = -75.434
- 4 -
P = -19.693
(a) Carga centrada. (b) Carga excêntrica
Figura 7.35 – Configurações deformadas da estrutura: YGN (16 elem.).
161
Para as duas situações de carga o arco apresenta um comportamento cíclico. Esse
comportamento é ilustrado na Figura 7.35 que mostra as deformadas da estrutura para as
diversas situações de carregamento. Pode-se observar nessa figura uma subdivisão do
arco a cada ciclo. Dessa observação conclui-se que, após cada ciclo, os resultados
tornam-se menos precisos, pois o número de elementos utilizados no modelo estrutural
torna-se menos eficiente na representação da estrutura.
A Figura 7.36 ilustra essa observação, mostrando a evolução da solução para a
situação de carga centrada, em relação ao apresentado por Yang e Kuo (1994), à medida
que se melhora o modelo estrutural.
Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (2 elem.)
0 20 40 60 80 100w-200-160-120-80-40
04080
120160
P
Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)
(a) YGN (2 elem.).
Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (3 elem.)
0 20 40 60 80 100w-200-160-120
-80-40
04080
120160
P
Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)
(b) YGN (3 elem.).
162
Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (4 elem.)
0 20 40 60 80 100w-200-160-120-80-40
04080
120160
P
Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)
(c) YGN (4 elem.).
Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (5 elem.)
0 20 40 60 80 100w-200-160-120-80-40
04080
120160
P
Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)
(d) YGN (5 elem.).
Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (10 elem.)
0 20 40 60 80 100w-200-160-120
-80-40
04080
120160200240
P
Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)
(e) YGN (10 elem.).
Figura 7.36 – Evolução dos resultados: carga centrada.
163
As trajetórias de equilíbrio obtidas pelas outras formulações em estudo
coincidiram com as trajetórias mostradas na Figura 7.36, portanto, não há necessidade
de mostrá-las. Entretanto, é notável que uma formulação baseada em relações com
termos de ordem elevada, YHN, produza resultados semelhantes a uma formulação tão
simplificada como YSN.
A Tabela 7.17 mostra, para o caso do arco sujeito à carga centrada, os resultados
para a primeira carga crítica obtidos pelas formulações YSN, YGN, YGE e YHN. Para
isso foram utilizados modelos com 2, 3, 4 e 5 elementos finitos, respectivamente, para a
metade do arco, restringindo-se a rotação e o deslocamento tangencial no nó que
coincide com o eixo de simetria.
Tabela 7.17 – 1a Carga crítica.
Formul. Número de Elementos: metade do arco
2 3 4 5
Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%
YSN 10.784 31.74 8.752 6.91 8.609 5.17 8.442 3.13
YGN 10.782 31.71 8.751 6.90 8.607 5.14 8.440 3.10
YGE 10.782 31.71 8.751 6.90 8.608 5.16 8.441 3.12
YHN 10.754 31.37 8.748 6.87 8.605 5.12 8.439 3.09
Valor de referêcia: 1Pcr = 8.186 (Yang e Kuo, 1994)
Pode-se observar nessa tabela que os resultados encontrados com as formulações
em questão, ao se utilizar o mesmo número de elementos, foram praticamente idênticos,
com a diferença entre eles menor que 0.6%.
As Tabelas 7.18a e 7.18b pretendem comparar a eficiência computacional das
formulações implementadas mostrando, para o caso do carregamento excêntrico: os
valores de carga obtidos nos pontos limites de carregamento, o tempo gasto na
execução do problema, o número de incrementos necessários, a média de iterações por
incremento de carga e a diferença percentual média dos resultados obtidos no presente
trabalho em relação aos apresentados por Yang e Kuo (1994) nos pontos limites de
164
carga. Para isso foi considerado um modelo estrutural formado por 26 elementos
finitos. Novamente, o tempo de processamento apresentado está relacionado ao
emprego do equipamento: Pentium II 350 / 32MB.
Tabela 7.18 – Eficiência das formulações: arco completo (26 elem.).
(a) Pontos limites de carregamento.
Form. 1o P.L. 2oP.L. 3o P.L. 4o P.L. 5o P.L. 6o P.L. 7o P.L. 8o P.L. 9o P.L.
YSN 5.812 -8.487 16.127 -22.176 38.456 -48.899 64.542 -82.471 104.143
YGN 5.811 -8.483 16.113 -22.152 38.391 -49.790 64.345 -82.189 103.679
YGE 5.812 -8.476 16.090 -22.142 38.309 -49.664 64.143 -81.933 103.353
YHN 5.811 -8.483 16.113 -22.152 38.392 -49.791 64.352 -82.187 103.703
Ref. 5.813 -8.498 16.149 -22.162 38.566 -49.896 64.875 -82.420 104.611
(b) Eficiência computacional.
Formul. Tempo (seg.) No increm. Média de iterações Erro Médio %
YSN 1137 38999 3.453 0.65
YGN 1587 38999 3.442 0.82
YGE 1134 39193 2.07 1.01
YHN 4302 38999 3.429 0.83
A principal conclusão deste exemplo é que, das formulações estudadas, as
baseadas em relações mais simples, isto é, YSN, YGN e YGE mostraram maior
eficiência computacional. Da Tabela 7.18 pode-se fazer as seguintes observações que
ratificam essa afirmação:
• praticamente não houve diferença entre os valores das cargas críticas obtidas
pelas diferentes formulações analisadas;
• YHN necessitou de um tempo de processamento 171 % maior do que o tempo
necessário a YGN, 278 % maior do que YSN e 279% maior do que YGE.
165
7.3.4 – Pórtico de Lee
A Figura 7.37 ilustra o exemplo a ser abordado, bem como os modelos discretos
utilizados. Trata-se do Pórtico de Lee, que é usado freqüentemente por pesquisadores
para validar estratégias de solução não-linear.
120
A = 6.0I = 2.0E = 720.0
ν = 0.3
P
24 96
Galvão
u
w
θ
(a) Sistema estrutural.
3 elem.
24 96
4 elem.
24 96
6 elem.
24 48 48
8 elem.
24 32 32 32
10 elem.
24
Os modelos com 20 e 100 elementos são subdivisões do modelo com 10 elementos.
(b) Modelos discretos.
Figura 7.37 – Pórtico de Lee.
166
Neste exemplo o fenômeno de instabilidade só ocorre após o aparecimento de
grandes deslocamentos. As trajetórias de equilíbrio apresentadas na Figura 7.38, obtidas
usando-se AFI com 20 elementos, mostram a presença de pontos limites de carga e
também de pontos limites de deslocamento.
0 20 40 60 80 100u, w
-1
0
1
2
3
4
P
Presente: AFI (20 elem.)
Schweizerhof e Wriggers (1986)
u w
(a) P x u , w.
-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8θ
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
P
Presente
AFI (20 elem.)
Galvão
(b) P x θ.
Figura 7.38– Trajetórias de equilíbrio.
167
O objetivo deste exemplo é preencher as lacunas deixadas nas observações finais
do Exemplo (7.2.4), para as formulações de elementos finitos propostas por Alves
(1993b): AFT e AFI; e Torkamani et al. (1997): TFT e TFI.
Adotou-se a estratégia de iteração comprimento de arco cilíndrico juntamente
com o método de Newton-Raphson modificado, com incremento automático do
comprimento de arco controlando o valor inicial do parâmetro de carga, ∆λ0. No início
do processo adotou-se: 01.001 =λ∆ . Para controlar a convergência foi adotado ζ = 10-3.
Foram efetuadas análises para modelos estruturais com: 3, 4, 6, 8, 10 e 20
elementos finitos. Para servir de referência e avaliar a precisão dos resultados analisados
foi realizada a seguir a análise do pórtico considerando um modelo com 100 elementos,
cujos pontos limites podem ser vistos na Figura 7.39. Com o mesmo objetivo foram
usados resultados numéricos extraídos de Schweizerhof e Wriggers (1986), que também
utilizaram elementos finitos.
0 20 40 60 80w
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
P
A
B
C
D
A
D
C
B
Galvão
Pontos limites: A (48.791 , 1.856)
B (61.006 , 1.192)
C (50.749 , -0.438)
D (58.188 , -0.942)
Figura 7.39 – Trajetória de equilíbrio e deformadas: AFI (100 elem.).
168
A seguir são feitas algumas observações relacionadas ao desempenho das
formulações em estudo:
• AFT e TFT não foram capazes de obter a trajetória de equilíbrio de forma
completa, apresentando problemas de convergência nas proximidades do primeiro ponto
limite;
• como pode ser visto na Figura 7.40, para um modelo estrutural formado por 20
elementos, a trajetória obtida com AFT ultrapassa o primeiro ponto limite, enquanto
TFT não só não atinge o ponto limite como visivelmente apresenta erros. Esse fato,
somado a observações feitas em exemplos anteriores, mostra que no caso de
formulações que calculam o vetor de forças internas de forma ‘total’ (ou em RLT), a
qualidade das relações cinemáticas é importante;
• AFI e TFI não apresentaram problemas de convergência e obtiveram toda a
trajetória de equilíbrio;
• AFI e TFI produziram resultados semelhantes. A Figura 7.41 ilustra esse fato
mostrando as soluções obtidas com diferentes modelos estruturais;
• observe que com modelos estruturais discretizados em 6 ou mais elementos, AFI e
TFI apresentaram um comportamento próximo do esperado, com 2 pontos limites de
carga e 2 pontos limites de deslocamento.
169
0 10 20 30 40 50 60w
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
P
Schweizerhof e Wriggers (1986)
TFT (20 elementos)
AFI (100 elem.)
AFT (20 elem.)
Galvão
Figura 7.40 – Trajetórias de equilíbrio: AFT e TFT (20 elem.).
0 15 30 45 60 75 90w
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
P
Galvão
3 elem.
4 elem.
6 elem.
10 elem
Presente Trabalho
AFI
TFI
AFI (100 elem.)Schweizerhof e Wriggers (1986)
Figura 7.41 – Evolução das soluções: AFI e TFI.
170
A Tabela 7.19 foi elaborada com o objetivo de comparar a eficiência
computacional de AFI e TFI. Esta tabela apresenta o tempo de processamento da análise
e a média aritmética dos erros percentuais dos valores encontrados nos pontos limite em
relação aos fornecidos na Figura 7.39. O tempo foi medido do começo do
processamento até o ponto da trajetória de equilíbrio que, após ultrapassar os dois
pontos limite de carga, atinge o valor de carga P = 3.0. Novamente foi utilizado o
equipamento: Pentium II 350 / 32MB.
Tabela 7.19 – Eficiência: AFI e TFI.
Form. Número de Elementos
06 08 10 20
Erro % T (seg.) Erro % T (seg.) Erro % T (seg.) Erro % T (seg.)
AFI 14.63 26.47 7.32 30.60 6.92 40.87 1.87 81.9
TFI 14.55 16.86 7.41 18.23 6.95 25.65 1.71 48.5
Como em outros exemplos, nota-se que quase não há diferenças entre os valores
limites de carga obtidos com as formulações que têm em comum a obtenção do vetor de
forças internas de forma ‘incremental’. Entretanto, o fato de AFI ser baseado em
relações deformação-deslocamento mais completas do que as que se baseiam TFI, fez
com que o tempo de processamento de AFI fosse em média 60% maior que o tempo
gasto por TFI.
171
7.3.5 – Arco Circular Pouco Abatido
O arco circular pouco abatido sob uma carga pontual vertical aplicada no seu
topo, conforme mostrado na Figura 7.42, será analisado considerando as seguintes
condições: estrutura perfeitamente simétrica, m0 = 0; e estrutura com imperfeições
iniciais, m0 = 72.15.
α = 53.130 R = 2540
E = 68.8 G = E/2
o
α
uθ
w
R
H = 25.397
Pm0 = 72.15
H
H
Figura 7.42 – Arco circular pouco abatido.
Este exemplo tem o objetivo de analisar as formulações propostas por Pacoste e
Eriksson (1997) que foram implementadas neste trabalho: PTT, PT1, PT2, PC1 e PC2.
Serão usados os resultados fornecidos por Meek (1991), cuja solução foi obtida
numericamente para um modelo estrutural com 8 elementos finitos. Adicionalmente,
serão usados como referência, resultados numéricos obtidos usando a formulação YGN
e um modelo estrutural com 100 elementos, para o caso em que há imperfeições iniciais,
e um modelo de metade do arco com 50 elementos para o caso perfeitamente simétrico.
No caso do arco perfeito, o comportamento do sistema é semelhante ao do
Exemplo (7.3.3), entretanto, a introdução de imperfeições permite identificar um ponto
de bifurcação ao longo da trajetória. A Figura 7.43 ilustra essas afirmações mostrando
as trajetórias de equilíbrio nos dois casos citados.
172
0 500 1000 1500 2000w
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
P
Metade do arco (50 elem.)
Presente YGN
Caso simétrico
Galvão
(a) Caso simétrico: P x w.
0 500 1000 1500 2000
w
-2
0
2
4
6
PGalvão
Simétrico - Metade do arcoPresente - YGN (50 elem)
Assimétrico - Arco completoPresente - YGN (100 elem.)
Meek (1991)
(b) Casos simétrico e assimétrico: P x w.
-200 -100 0 100 200u
-2
0
2
4
6
PGalvão
m -0 m +0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0θ
-2
0
2
4
6
PGalvãom -0
m +0
(c) Caso assimétrico: (P x u) e (P x θ).
Figura 7.43 – Trajetórias de equilíbrio: YGN (100-50 elem.).
173
Verifica-se, portanto, que pequenas deformações assimétricas na configuração
inicial da estrutura provocam um comportamento diferente do comportamento
observado para a estrutura perfeita, com a ocorrência de um caminho de equilíbrio, pós-
bifurcação, instável.
0 500 1000 1500 2000w
-40
-20
0
20
40
60
PGa lvão
-A-
-B-
-C-
Metade do arco - YGN (50 elem):
A ( 559.430 , 5.636 ) B (1772.580 , -16.069 ) C ( 200.505 , 35.846 )
0 500 1000 1500 2000w
-4
-2
0
2
4
6
PGa lvão
-A-
-B-
-C-
Arco completo - YGN (100 elem):
A ( 275.048 , 4.760 ) B (2076.129 , -2.537 ) C (2112.920 , 0.031 )
-A-
-B-
Galvão -C- Galvão
(a) Estrutura simétrica. (b) Estrutura imperfeita.
Figura 7.44 – Deformadas da estrutura.
174
A Figura 7.44 ilustra as deformadas do arco para diferentes situações de carga (A,
B e C). Observe que a estrutura perfeita apresenta um comportamento cíclico,
semelhante ao do Exemplo (7.3.3). Para o arco com imperfeições iniciais não é
observado esse comportamento cíclico.
Para a análise das formulações, a estratégia de solução não-linear foi baseada no
emprego do método de Newton-Raphson modificado com a estratégia de iteração
deslocamentos generalizados. O incremento de carga foi controlado pelo parâmetro
GSP, com valor inicial: 05.010 =λ∆ . A tolerância adotada foi ζ = 10-4.
As Tabelas 7.20a e 7.20b apresentam erro percentual obtido para as cargas críticas
(1o ponto limite e bifurcação) usando-se as formulações PTT, PC1 e PC2 para diferentes
modelos estruturais. É mostrado também o tempo de processamento necessário para o
traçado da trajetória de equilíbrio, do início do processo até o primeiro valor de carga
0P = . Utilizou-se para avaliação desse tempo um equipamento PII 350 / 32MB.
Tabela 7.20 – Eficiência computacional das formulações.
(a) Caso simétrico: 10 ponto limite de carga.
Form. Número de Elementos: Metade do arco
04 05 06 10 15
E % T (s) E % T (s) E % T (s) E % T (s) E % T (s)
PTT 25.4 9.28 15.03 9.77 9.99 9.78 3.35 14.23 1.42 18.01
PC1 9.77 20.59 6.23 26.75 4.31 25.37 1.53 46.58 0.66 72.00
PC2 1.14 22.52 0.66 27.24 0.43 30.81 0.12 50.70 0.04 73.05
Plim = 5.636 (presente YGN - 50 elem.)
175
(b) Caso imperfeito: ponto de bifurcação.
Form. Número de Elementos: Arco Completo
08 10 12 20 30
Erro% T (s) Erro% T (s) Erro% T (s) Erro% T (s) E rro% T (s)
PTT 11.18 36.0 6.95 42.6 5.93 52.2 1.68 65.4 0.72 108.9
PT1 4.95 71.6 3.16 88.1 2.20 101.4 0.78 166.5 0.35 263.1
PT2 0.83 97.1 0.52 116.3 0.37 133.0 0.13 209.4 0.07 309.2
PC1 4.95 104.3 3.16 128.3 2.20 147.5 0.78 212.5 0.35 341.2
PC2 0.83 123.7 0.52 147.9 0.37 170.1 0.13 237.9 0.07 349.4
Valor de referência: Pbif = 4.588 (presente YGN - 100 elem.)
A seguir são feitas algumas observações relativas às análises realizadas:
• PTT necessitou de modelos melhores para obter resultados tão bons quanto PC2,
entretanto, observa-se, pelo tempo de processamento, que a eficiência
computacional destes dois tipos de elementos se equivalem;
• PTT não apresentou problemas de convergência, sendo capaz de atingir e
ultrapassar o segundo ponto limite de carga, para o caso do arco imperfeito;
• PT1, PT2, PC1 e PC2 apresentaram problemas de convergência nas proximidades
do segundo ponto limite de carga. A Figura 7.45 ilustra esse fato mostrando ainda,
a evolução dos resultados encontrados por PTT ao se melhorar o modelo
estrutural;
• PC1 e PT1, bem como PT2 e PC2, como já observado em outros exemplos,
apresentam resultados idênticos. Essas formulações, entretanto, não apresentam o
mesmo tempo de processamento.
176
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8θ
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
P
PT2 (04 elem.)
YGN (100 elem.)
PTT - Número de elementos: 08 10 12 20 30
Galvão
Figura 7.45 – Evolução dos resultados obtidos por PTT.
A Tabela 7.21 compara a eficiência computacional de PC1 e PC2, que têm
abordagem ‘Corrotacional’, com PT1 e PT2, com abordagem ‘Total’, mostrando o erro
percentual da carga de bifurcação e o tempo necessário para obtenção da trajetória de
equilíbrio (até o primeiro ponto em que a carga P assume o valor nulo). Foi utilizado um
modelo assimétrico com 30 elementos. Observe que as formulações com abordagem
‘Total’, apesar de apresentarem resultados rigorosamente idênticos às formulações
‘Corrotacionais’, mostraram-se mais eficientes quanto ao tempo necessário ao
processamento.
Tabela 7.21 – Comparação: Total x Corrotacional.
Form. Modelo: Arco Completo (30 Elem.)
Valor de P Erro percentual Tempo (s)
PC1 4.60424827 0.35 341.2
PT1 4.60424827 0.35 263.1
PC2 4.58538117 0.07 349.4
PT2 4.58538117 0.07 309.2
Pbif = 4.588 (presente YGN - 100 elem.)
8CONCLUSÕES E SUGESTÕES
8.1 – INTRODUÇÃO
Considerando as análises mostradas no Capítulo 7, são apresentadas na Seção
(8.2) algumas conclusões de caracter geral relacionadas à eficiência das formulações
geometricamente não-lineares, presentes nos Capítulos 3, 4 e 5, para análise não-linear
de sistemas reticulados planos.
Na apreciação dessas conclusões deve-se levar em conta os aspectos
computacionais considerados na implementação das formulações e da metodologia de
solução. Os principais aspectos do programa computacional desenvolvido neste trabalho
estão expostos no Capítulo 6.
Visando a continuidade do presente trabalho, são fornecidas na Seção (8.3)
algumas sugestões para trabalhos futuros.
178
8.2 – CONCLUSÕES
Formulações geometricamente não-lineares de elementos finitos planos de viga-
coluna, propostas por Alves (1993b), Yang e Kuo (1994), Torkamani et al. (1997) e
Pacoste e Eriksson (1997), foram implementadas com sucesso na metodologia de
solução de sistemas de equações não-lineares proposta por Silveira (1995).
Com o objetivo de validar essas implementações e avaliar a eficiência
computacional dessas formulações, foram estudados vários exemplos de problemas
estruturais encontrados na literatura. Esses exemplos e suas respectivas análises foram
apresentadas no Capítulo 7.
De acordo com essas análises pode-se chegar às seguintes conclusões com
respeito às formulações, na forma como estão implementadas:
1 - Pode-se observar nos Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.3.1, 7.3.2 e 7.3.3) que as
formulações AFI, TFI, YSN, YGN e YGH, que calculam o vetor de forças
internas através dos deslocamentos naturais incrementais, na forma proposta por
Yang e Kuo (1994), apresentaram resultados bem semelhantes. Dessa observação
se conclui que as formulações desse grupo baseadas em relações mais simples,
por envolverem menos operações e necessitarem de um tempo de processamento
menor, são computacionalmente mais eficientes;
2 - Da conclusão expressa no item anterior pode-se destacar a formulação YSN, que,
apesar de ser baseada em uma equação de equilíbrio linearizada e relações
deformação-deslocamento simplificadas, não apresentou nenhum problema de
convergência nos exemplos analisados neste trabalho;
3 - As formulações AFI e TFI produziram resultados, em média, melhores que AFT e
TFT, que são baseadas, respectivamente, nas mesmas relações que AFI e TFI, mas
diferem destas por calcularem o vetor de forças internas com os deslocamentos
naturais totais, na forma proposta por Alves (1993b). Isto pode ser constatado nos
Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.3.1 e 7.3.4), entretanto, no Exemplo (7.2.4), que trata de
179
um arco biengastado sob pressão radial, AFT e TFT apresentaram resultados mais
precisos que AFI e TFI;
4 - Todas as formulações citadas em (1) foram capazes de traçar, de forma completa,
as trajetórias de equilíbrio dos problemas do Capítulo 7, não apresentando
nenhum problema de convergência. As demais formulações, que calculam as
forças internas com os deslocamentos totais, com exceção de PTT, apresentaram
problemas de convergência nos Exemplos (7.2.2, 7.2.4, 7.3.2 e 7.3.4), e não foram
capazes de traçar toda a trajetória de equilíbrio. Dessas observações, pode-se
concluir que a forma total de obtenção do vetor de forças internas necessita de
melhores relações cinemáticas. Portanto, a forma ‘incremental’ de obtenção do
vetor de forças internas, proposta por Yang e Kuo (1994), é mais eficiente na
obtenção de trajetórias de equilíbrio não-lineares que apresentam trechos com
mudanças bruscas de direção;
5 - A formulação YGE se diferencia de YGN por calcular o vetor de forças internas
através da matriz de rigidez externa. Essa forma de cálculo tem a vantagem de ser
mais geral e sistemática do que a forma que utiliza os deslocamentos naturais,
podendo ser estendida à análise de estruturas compostas por outros tipos de
elementos. Entretanto, a Seção (4.4.2.2) mostra que, na definição da chamada
matriz de rigidez externa, Yang e Kuo (1994), admitindo serem os deslocamentos
incrementais suficientemente pequenos, introduziram algumas aproximações no
cálculo dos deslocamento nodais. As aplicações numéricas mostraram que a
acuidade dessas aproximações dependem da estratégia de incremento de carga
utilizada. Assim, no Exemplo (7.2.3), que trata de um arco birrotulado sob
carregamento distribuído, os resultados produzidos por YGE tendem a se
aproximar dos fornecidos por YGN à medida que se diminui o valor médio dos
incrementos de carga;
6 - Analisando-se os resultados obtidos pelas formulações AFT e TFT, observa-se
que, em geral, AFT, que é baseada em relações deformação-deslocamento mais
completas do que TFT e possui considerações adicionais, produziu resultados
180
melhores que TFT. Exceções são observadas nos Exemplos (7.2.1 e 7.3.1), onde,
ao se melhorar os modelos estruturais aumentando-se o número de elementos, a
melhora dos resultados foi mais sensível em TFT do que em AFT;
7 - Ao se analisar as soluções obtidas pelas formulações PTT, PT1, PT2, PC1 e PC2
nos Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.2.5 e 7.3.1), para um mesmo modelo estrutural,
constata-se que, em média, os resultados mais precisos foram os produzidos por
PT2 e PC2, que se baseiam em aproximações melhores para as relações
deformação-deslocamento. Entretanto, como já comentado no item (4), em alguns
exemplos estruturais com forte não-linearidade, essas duas formulações, bem
como PT1 e PC1, apresentam problemas de convergência e não foram capazes de
traçar toda a trajetória de equilíbrio;
8 - As formulações PT1 e PT2 apresentaram resultados idênticos a PC1 e PC2,
concordando assim com as observações presentes em Pacoste e Eriksson (1997).
Essa afirmação pode ser constatada nos Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.2.5 e 7.3.1).
Porém, as Tabelas (7.14 e 7.21) mostram que o tempo de processamento de PC1 e
PC2 é superior àquele apresentado por PT1 e PT2. Assim, no presente trabalho, a
abordagem total mostrou melhor eficiência computacional do que a abordagem
corrotacional;
9 - PTT necessitou de modelos estruturais melhores que as demais formulações para
produzir bons resultados. Isto se deve às funções de interpolação lineares e a
desconsideração dos efeitos de corpo rígido. Entretanto, como pode ser observado
no Exemplo (7.3.5), esta deficiência é compensada pelo pequeno tempo
computacional apresentado por essa formulação. Além disso, como já comentado
em (4), essa formulação mostrou ser capaz de atingir e ultrapassar pontos críticos
não atingidos pelas outras formulações que também calculam as forças internas de
forma ‘total’;
10 - No Exemplo (7.2.5), verificou-se uma pequena diferença entre os resultados
obtidos no presente trabalho pela formulação PTT (Tabela 7.12), e os fornecidos
181
por Pacoste e Eriksson (1994) para a mesma formulação (Tabelas 7.11). Além
disso, as implementações do presente trabalho para as formulações PT1, PT2, PC1
e PC2, em algumas análises, apresentaram problemas de convergência não
observadas no citado trabalho. Essas constatações sugerem que esses autores
utilizaram procedimentos computacionais adicionais, não fornecidos no artigo
citado, para contornarem alguns problemas. Portanto, as conclusões observadas
acima são restritas à implementação computacional realizada no presente trabalho
para essas formulações;
11 - Para que se pudesse efetuar comparações entre as formulações, em cada exemplo
procurou-se manter as mesmas estratégias de solução não-linear (incremento de
carga e iteração), variando-se a formulação e a discretização dos modelos
estruturais. Em geral, as estratégias de iteração escolhidas mostraram-se
eficientes, ou seja, permitiram a obtenção das trajetórias de forma completa,
entretanto, as seguintes observações relacionadas às estratégias de incremento de
carga merecem destaque:
(i) No Exemplo (7.2.3), como já comentado em (5), a formulação YGE não
apresentou bons resultados ao utilizar a estratégia do comprimento arco para
controlar ∆λ0, pois foram obtidos valores médios de incremento de carga
relativamente grandes, o que diminui a precisão dessa formulação. Esse problema
foi minorado de duas formas diferentes: a) reduzindo-se o valor inicial do
parâmetro de carga; b) utilizando-se a estratégia de incremento de carga baseada
no parâmetro GSP;
(ii) A escolha do parâmetro GSP como controlador de ∆λ0, juntamente com o
critério de escolha do sinal e as formulações empregadas, foi determinante para se
conseguir obter toda a trajetória de equilíbrio ‘cíclico’ dos arcos dos Exemplos
(7.3.3 e 7.3.5).
12 - Nas análises realizadas neste trabalho, os aspectos que se mostraram de maior
relevância na precisão dos resultados obtidos pelas formulações não-lineares são:
182
(i) A modelagem do sistema estrutural: como exemplifica o item (9), uma
discretização melhorada do modelo estrutural pode compensar eventuais
problemas com a formulação;
(ii) O referencial de obtenção dos deslocamentos (RLT ou RLA);
(iii) A forma de se calcular o vetor de forças internas: o fato de AFI e TFI terem
apresentado melhor desempenho que AFT e TFT mostra a importância desse
aspecto na convergência dos resultados obtidos;
(iv) A qualidade das relações cinemáticas: esse aspecto torna-se especialmente
importante se o cálculo do vetor de forças internas for feito de forma ‘total’;
(v) Funções de interpolação utilizadas para os deslocamentos: um exemplo da
importância desse aspecto é mostrado no item (9);
8.3 – SUGESTÕES
A metodologia de solução não-linear empregada no presente trabalho, incluindo
as formulações, pode ser adaptada para a solução de grande diversidade de problemas
estruturais, caracterizando, portanto, uma base implementada, para vários trabalhos
futuros.
A seguir são apresentadas algumas sugestões que podem ser implementadas no
sistema computacional atual dando continuidade ao presente trabalho:
1 - Outras formulações geometricamente não-lineares de elementos finitos planos de
viga-coluna, propostas em publicações recentes, podem ser implementadas. Entre
elas, por exemplo, destaca-se a formulação mista baseada no método da
flexibilidade, proposta por Neuenhofer e Filippou (1998) e as formulações de
elementos finitos parabólicos introduzidas por Litewka e Rakowski (1997 e
1998);
2 - O sistema atual pode ser facilmente adaptado para que se possa implementar
formulações não-lineares de pórticos tridimensionais, como por exemplo, as
183
formulações tridimensionais de elementos finitos retos e curvos propostas por
Yang e Kuo (1994);
3 - Pode-se implementar também formulações geometricamente não-lineares que
incluem a elasto-plasticidade de sistemas estruturais reticulados, como, por
exemplo, as propostas por Park e Lee (1996), Ovunc e Ren (1996) e Saje et al.
(1998);
4 - Dar continuidade ao trabalho que vem sendo desenvolvido por Rocha (2000),
implementando-se no atual sistema outras estratégias de solução não-linear,
incluindo novas estratégias de incremento de carga e de iteração;
5 - Implementação de procedimentos numéricos que permitam avaliar com precisão
os pontos críticos existentes, e obter as trajetórias de equilíbrio secundárias
(Crisfield, 1997);
6 - O sistema computacional pode ser estendido facilmente à analise de sistemas
estruturais com ligações semi-rígidas (Saldanha, 1997);
7 - O sistema desenvolvido neste trabalho pode também ser adaptado à analise do
comportamento de estruturas reticuladas sob incêndio (Bailey, 1998);
8 - Adaptação das formulações implementadas no presente trabalho ao programa
implementado por Silveira (1995) para análise de sistemas estruturais com
restrições unilaterais de contato.
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( ) ( )'3='33cBaB_'cBa3_'c3a3_' ZZ8-"3=ZZ
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333'
3'3A'A
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( )( )+θ∆+θ∆−θ∆∆−∆=−= 3'A'3c=a:_3c:a'_3 =:ZZ8'B
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( )( )j j-/8
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( ) ( ) +∆−∆−∆−∆==−= 3'3B
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( ) ( ) +∆−∆+∆−∆=−= 3'3=
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( ) ( ) +∆−∆+∆−∆−= 3'3:
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( ) ( ) +∆−∆+∆−∆= 3'3:
3'3c\a\_3 ZZ
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####z# ( )+θ∆+θ∆θ∆−θ∆+θ∆θ∆+θ∆θ∆−θ∆ 333'
3'3A'A
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EA-/8
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3A '3P:33'3AP:\
8:B-" θ∆+θ∆θ∆+θ∆+θ∆θ∆−θ∆θ∆−θ∆ a
GLJi#∆θ ∆ ∆A 3 '= −_ c s` ` 8$
APÊNDICE C
CÁLCULO DAS COMPONENTES DAS MATRIZES DE RIGIDEZ E
DOS VETORES DE FORÇAS INTERNAS:
PACOSTE e ERIKSSON (1997)
Seguindo a sugestão de Pacoste e Eriksson (1997), neste trabalho foi utilizado o
software MAPLE V (v 3.0 RELEASE For Windows) para se calcular as componentes
das matrizes de rigidez e dos vetores de forças internas. Este software têm a vantagem
de permitir a geração direta dos resultados em códigos da linguagem de programação
FORTRAN. Nesta seção serão apresentadas os procedimentos utilizados nesses cáculos.
C.1 FORMULAÇÃO TOTAL-TIMOSHENKO: PTT
As componentes fii do vetor de forças internas Fi, e as componentes kij da matriz
de rigidez elementar K são determinadas através dos seguintes procedimentos no
software MAPLE V:
> #####################################################################
> # Formulação total: PTT #
> # componentes de Fi e K #
> #####################################################################
> #
> restart; with (linalg); readlib(fortran);
> ux:=(u2-u1)/l; vx:=(v2-v1)/l;
> t:=(t1+t2)/2; tx:=(t2-t1)/l;
> #
> e:=(1+ux)*cos(t)+vx*sin(t)-1;
> g:=vx*cos(t)-(1+ux)*sin(t);
> k:=tx;
> #
> Ue:=1/2*l*EA*e^2;
> Ug:=1/2*l*GA*g^2;
> Uk:=1/2*l*EI*k^2;
> U:=Ue+Ug+Uk;
> #
> Fi:=grad(U,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);
> K:=hessian(U,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);
> #
> #################### Gerar em linguagem FORTRAN #####################
> fortran(Fi,mode=double);
> fortran(K,mode=double);
> ######################### Fim de PTT #################################
C.2 FORMULAÇÕES TOTAIS: PT1 e PT2
A matriz de rigidez elementar K e o vetor de forças internas Fi são obtidos através
das equações:
Fg AF fiTtt =∆+ e
f3f1ff A AAKg AK 31Ttt fg fg ++=∆+
As componentes fgi do vetor de forças generalizadas Fg, e as componentes kgij da
matriz de rigidez correspondente Kg são determinadas, juntamente com as matrizes Af,
Af1 e Af3, através dos seguintes procedimentos no software MAPLE V:
>#####################################################################
># Formulações totais: PT1 e PT2 #
># componentes de Fg, Kg, Af, Af1 e Af3 #
> ####################################################################
#
> restart; with (linalg); readlib(fortran);
> Dt2:=1-2*x/l; Dt3:=1-6*x/l+6*x^2/l^2;
> Dtx2:=diff(Dt2,x); Dtx3:=diff(Dt3,x);
> tetae:=Dt2*f2+Dt3*f3; tetax:=diff(tetae,x);
> #
> ux:=f4; vx:=(1+f4)*tan(f1);
> #
> ############### Para PT1 tire o comentário '#' da linha a abaixo ##############
> # ep1:=1+ux-cos(f1); ga:=vx-sin(f1);
> #
> ########## Para PT2 tire os comentários '#' das duas linhas a seguintes ##########
> # ep1:=1+ux-cos(f1)*(1-1/6*f2^2-1/10*f3^2);
> # ga:=vx-sin(f1)*(1-1/6*f2^2-1/10*f3^2);
> #
> k:=tetax;
> #
> Ue:=(1/2*int(e*a*ep1^2,x=0..l));
> Ug:=(1/2*int(e*a*ga^2,x=0..l));
> Uk:=expand(1/2*int(e*i*k^2,x=0..l));
> U:=Ue+Ug+Uk;
> #
> Fg:=grad(U,[f1,f2,f3,f4]);
> Kg:=hessian(U,[f1,f2,f3,f4]);
> #
> ################ Matrizes de transformação: Af, Af1 e Af3 ##################
> f1:=arctan((v2-v1)/(l+u2-u1));
> f2:=(t2-t1)/2; f3:=(t1+t2)/2-f1; f4:=(u2-u1)/l;
> ff:=vector([f1,f2,f3,f4]);
> #
> Afs:=jacobian(ff,[u1,v1,ti,u2,v2,t2]);
> Af:=map(simplify,Afs);
> Af1:=hessian(f1,[u1,v1,ti,u2,v2,t2]);
> Af3:=hessian(f3,[u1,v1,ti,u2,v2,t2]);
> #
> #################### Gerar em linguagem FORTRAN #####################
> fortran(Kg,mode=double);
> fortran(Fg,mode=double);
> fortran(Af,mode=double);
> fortran(Af1,mode=double);
> fortran(Af3,mode=double);
> ######################## Fim de PT1 e PT2 #############################
C.3 FORMULAÇÕES CORROTACIONAIS: PC1 e PC2
A matriz de rigidez elementar K e o vetor de forças internas Fi são obtidos através
das equações:
nci F AF Ttt =∆+ e
c3c2c1cnc A A AAK AK 21Ttt M M P +++=∆+
As componentes P, M1 e M2 do vetor de forças naturais totais Fn, e as
componentes kij da matriz de rigidez correspondente Kn são determinadas, juntamente
com as matrizes Ac, Ac1 , Ac2 e Ac3, através dos seguintes procedimentos no software
MAPLE V:
> #####################################################################
> # Formulações corrotacionais: PC1 e PC2 #
> # componentes de Fn, Kn, Ac, Ac1, Ac2 e Ac3 #
> #####################################################################
> #
> restart; with (linalg); readlib(fortran);
> H3:=1/4*(-1-2*xi+3*xi^2); H4:=1/4*(-1+2*xi+3*xi^2);
> dH3:=1/l*(-1+3*xi); dH4:=1/l*(1+3*xi);
> k:=dH3*tn1+dH4*tn2;
> #
> #========> Para PC1 tire o comentário '#' da linha a abaixo ##################
> # ep:=un2/l;
> #
> #========> Para PC2 tire o comentário '#' da linha a abaixo ##################
> # ep:=un2/l+1/(4)*int((H3*tn1+H4*tn2)^2,xi=-1..1);
> #
> Ue:=(1/2)*(l/2)*int(EA*ep^2,xi=-1..1);
> Uk:=simplify((1/2)*(l/2)*int(EI*k^2,xi=-1..1));
> U:=Ue+Uk;
> #
> Fn:=grad(U,[un2,tn1,tn2]);
> Kn:=hessian(U,[un2,tn1,tn2]);
> #
> ############## Matrizes de Transformação: Ac, Ac1, Ac2 e Ac3 ##############
> dx:=x2-x1; dy:=y2-y1;
> dxn:=x2-x1+u2-u1; dyn:=y2-y1+v2-v1;
> tr:=arctan(((x2-x1)*(v2-v1)-(y2-y1)*(u2-u1))/(dx*dxn+dy*dyn));
> tn1:=t1-tr; tn2:=t2-tr;
> un2:=((x2-x1+u2-u1)^2+(y2-y1+v2-v1)^2)^(1/2)-((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2);
> un:=vector([un2,tn1,tn2]);
> #
> Aes:=jacobian(un,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);
> Ae:=map(simplify,Aes);
> Ae1:=hessian(un2,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);
> Ar:=hessian(-tr,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);
> #
> ################# Gerar em linguagem FORTRAN ########################
> fortran(Fn,mode=double);
> fortran(Kn,mode=double);
> fortran(Ae,mode=double);
> fortran(Ae1,mode=double);
> fortran(Ar,mode=double);
> ######################## Fim de PC1 e PC2 ############################