formulari mates iii

7/25/2019 Formulari mates III

1/3

Teorema de Lagrange: Suposem que f i g tenen derivades parcialscontnues a una regi A del pla i que x0, s un punt interior dA i ptimlocal per afamb la restriccig(x) = c. Suposem a ms que no sanullen a

la vegada gx(x0) i gy(x0). Aleshores existeix un nic nombre tal que lafunci Lagrangiana:L(x) =f(x)(g(x)c) t un punt estacionari enx0.

(Suficincia global) Suposem que les funcions fi g del nostre problemasn contnuament diferenciables en un conjunt obert i convex Adel pla isiguix0 un punt estacionari de la funci Lagrangiana:L(x) =f(x)(g(x)c). Suposem que a msg(x0) = c. Aleshores:

siL(x) cncava x0 s mxim defsiL(x)convexax0 s mnim def

Interpretaci dels multiplicadors de Lagrange*

( ) * *

1 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )i

dc petits

i m m

i

df cc f c dc f c c dc c dc

dc

Suposem que un puntx0s soluci del problema

1 1 2 1

1 2

1 2

( , , ..., )

( ) ( , ,..., ) .... ... ...

( , ,..., )

n

n

m n m

g x x x c

mx mn f x x x amb

g x x x c

Onf,g1,,gmsn funcions contnuament diferenciables.

Condicions necessries de Kuhn-TuckerSuposem que els vectors gradient de g1,,gmsn linealment independents. Siguix0un ptim pel problema anterior. Aleshores, existeixen uns nics nombres 1,...,mtals que:a) x0s un punt estacionari de la funci Lagrangiana corresponent, ib) j(gj(x0) - c) = 0, per a totj= 1,, m.A ms, si x0 s un mxim es compleix que totes les 1,...,msn positives, i si x0sun mnim aleshores totes les 1,...,msn negatives.

Condicions suficients de Kuhn-Tucker(i) Suposem que la funci Lagrangiana associada s cncava i que existeixen unsnics nombres 1,...,m 0 tals que es compleixen les condicions necessries a)ib)de Kuhn-Tucker per a un cert puntx0 . Aleshoresx0 s un mxim.(ii) Suposem que la funci Lagrangiana associada s convexa i que existeixen unsnics nombres 1,...,m 0 tals que es compleixen les condicions necessries a) ib)de Kuhn-Tucker per a un cert punt x0. Aleshoresx0 s un mnim


2/3

Equacions en diferncies de primer ordre: 1t tx ax b , t= 1,..,n

Casx* = punt

estacionariSoluci Estabilitat

a= 1 No en t t 0x x t b

Inestable, (no convergeix a

cap estat dequilibri i la sevaevoluci depn del puntinicial)

1a b

1 a

tt 0x x* a x x*

1a

Inestable 0a

Nooscilla

0a oscilla

1a

Estable 0a

Nooscilla

0a oscilla

Equacions en diferncies de segon ordre lineals:2 1t t t t x ax bx c

Cas HomogeniCas Soluci

2 arrels reals m1, m2 ttht mBmAx )( 21

1 arrel real m1 tht mBtAx 1

Cap arrel real cos sin ; , arccos

2

h t t

t

ax Ar t Br t r b

b

Soluci particular

Si cts una funci Provarem amb

constant -una funci constant (si 01 ba )

-una funci del t ipus Dto

2

Dt (si 01 ba )del tipus ,...,5,3 ttt e una funci del tipus ,...,5,3 ttt e polinomi de grau n Polinomi de grau n, amb tots els coeficients per

determinar

Estabilitat

Lequacicaracterstica t 2

arrels reals o b 1 arrelreal

El valor absolut de les arrels s < 1 Estable

El valor absolut dalguna de les dues arrels s 1 No estable

Les arrels de lequacicaracterstica no snreals

r 1 b 1 b 1 Oscillaciesmorteda

Estable

r 1 b 1 b 1 Oscillaci No

esmortedaNo estable

r 1 b 1 b 1 Oscillaci

explosiva No estable


3/3

Equacions diferencials de primer ordre

CAS SOLUCI GENERAL

cas senzill: )(tfx ( )x t f t dt C

Cas de variablesseparables:

)()( xgtfx 0)(amb,

;)()(

agax

Cdttfxg

dx

Cas lineal:)()( tbxtax

Si ata )( constant: dttbeCex atat )(

Si ata )( constant i btb )( constant:

a

bCex at

Estabilitat (per equacions del tipus )(xFx )F(a) = 0 i F(a) < 0estat dequilibri estableF(a) = 0 i F(a) > 0estat dequilibri inestable

Equacions diferencials de segon ordre: )(tfbxxax Cas homogeni

Cas Soluci

2 arrels reals r1,r2

1 2r t r t hx t Ae Be

1 arrel real r rthx t A Bt e

Cap arrel real

2

cos sin ; ,2 4

t t

h

a a

x t Ae t Be t b

Soluci particular

Si f(t) s una funci Provarem amb

Constant c xp(t) = b

polinomi de grau nPolinomi de grau n, amb totsels coeficients

per determinarEstabilitatUna equaci diferencial de segon ordre s estable si les dues arrels de lequacicaracterstica associada tenen part real negativa, s a dir , s estable si i noms sia> 0 i b> 0.

DERIVADES I INTEGRALS

1

0

( )

1ln( ) , 0

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

n n

x x

dC

dx

dCx C

dx

dCx nCx

dx

d dF duF u regla de la cadenadx du dx

dx x

dx x

de e

dx

dx x

dx

dx x

dx

1

( ) ( )

1( ) ( )

, 11

1ln

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

nn

x x

Cdx Cx K

Cf x dx C f x dx

udv uv vdu integraci per parts

f cx dx f u du

cx

x dx K per nn

dx x K x

e e K

x dx x K

x dx x K

Cs una constant iF,f, ui vsn funcions

0 /6 = 30 /4 = 45 /3 = 60 /2 = 90 = 180sin 0 1/2 2 / 2 3 / 2 1 0

cos 1 3 / 2 2 / 2 1/2 0 1

tan 0 3 /3 1 3 0

formulari mates iii

Documents