formulario scienza delle costruzionibrigh/sdc_ing_mecc/formulario_2020.pdfformulario â scienza...
TRANSCRIPT
-
1
FORMULARIO â SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
1) Equazioni differenziali di equilibrio
Convenzioni sui segni: ð(ð¥) > 0 se nella stessa direzione dellâasse y
ðð
ðð¥= âð(ð¥)
ððððð¥
= âð(ð¥)
Convenzioni sui segni: ð(ð¥) > 0 se nella stessa direzione dellâasse x
ðð
ðð¥= âð(ð¥)
2) Funzioni di singolaritÃ
ðð(ð¥) â¶= < ð¥ â ð >ð= {
0 ð ð 𥠆ð(ð¥ â ð)ð ð ð ð¥ > ð
ð
ðð¥(< ð¥ â ð >ð) = ð < ð¥ â ð >ðâ1
â« < ð¡ â ð >ð ðð¡ð¥
ââ=
ð+1
ð+1
esempi:
ð0(ð¥) < ð¥ â ð >0= {
0 ððð 𥠆ð
(ð¥ â ð)0 = 1 ððð ð¥ > ð
-
2
ð1(ð¥) < ð¥ â ð >1= {
0 ððð 𥠆ð
(ð¥ â ð) ððð ð¥ > ð
ð2(ð¥) < ð¥ â ð >2= {
0 ððð 𥠆ð
(ð¥ â ð)2 ððð ð¥ > ð
ðâ1(ð¥) = < ð¥ â ð >â1= ð
ðð¥< ð¥ â ð >0
ðâ2(ð¥) = < ð¥ â ð >â2= ð
ðð¥< ð¥ â ð >â1
N.B.: per evidenziare il segno negativo, lâesponente si pone come pedice e non come apice
3) Stati piani di tensione
{
ðÏð¥ðð¥
+ðÏðŠð¥ððŠ
= 0
ðÏð¥ðŠðð¥
+ ðÏðŠððŠ
= 0
ÏðŠð¥ = Ïð¥ðŠ
4) Circonferenza di Mohr
-
3
ð â¡ (Ïð¥ , âÏð¥ðŠ) , ð â¡ (ÏðŠ, Ïð¥ðŠ)
ð¶ â¡ ( Ïð¥ + ÏðŠ
2 , 0 )
ð = â( Ïð¥ â ÏðŠ
2)2
+ Ïð¥ðŠ2
Se ruoto il diametro XY di 2Ξ ottengo il
diametro XâYâ
ðâ² â¡ (Ïð¥â² , âðð¥â²ðŠâ²) , ðâ² â¡ (ÏðŠâ² , ðð¥â²ðŠâ²)
[OSS. :il diametro deve ruotare dellâangolo doppio rispetto allâelemento]
Convenzioni sui segni: Ï > 0 se di trazione
Ï > 0 se produce rotazioni orarie rispetto
alla materia
Direzioni principali di tensione e tensioni principali
Ïð¥â =Ïð¥ + ððŠ
2+ ð
ÏðŠâ =Ïð¥ + ÏðŠ
2â ð
ð¡ð2Ξâ = |2 Ïð¥ðŠ
Ïð¥ â ÏðŠ |
5) Relazioni costitutive
εð¥ = 1
ðžðð¥ â
Μ
ðž ( ÏðŠ + Ïð§ ) + εð¥
ð¡
εðŠ = 1
ðžÏðŠ â
Μ
ðž ( Ïð¥ + Ïð§ ) + εðŠ
ð¡
εð§ = 1
ðžÏð§ â
Μ
ðž ( Ïx + Ïy )+ εð§
ð¡
γð¥ðŠ = ðð¥ðŠðº γð¥ð§ =
ðð¥ð§ðº γðŠð§ =
ÏðŠð§ðº
-
4
E: modulo di Young o modulo di elasticità normale
Μ: coefficiente di contrazione laterale di Poisson
ðº = ðž
2 (1+ ð ) : modulo di elasticità tangenziale
εð¥ð¡ = εðŠ
ð¡ = εð§ð¡ = α (ð â ð0) effetto di una variazione termica con α>0 coefficiente di
dilatazione (12x10-6 °C-1 per lâacciaio, 24x10-6 °C-1 per lâalluminio), T temperatura attuale del
corpo, T0 temperatura di riferimento
ðŸ = ðž
1â2 ð : modulo di Kelvin o modulo volumetrico
6) Criteri di resistenza
⢠Criterio di von Mises (o della massima energia di distorsione)
a) Caso triassiale: Ï1, Ï2, Ï3 tensioni principali
condizione di non crisi Ïðð = â1
2 [(Ï1 â Ï2)2 + (Ï1 â Ï3)2 + (Ï2 â Ï3)2] †ÏðŠ
b) Caso biassiale: Ï1 â 0, Ï2 â 0, Ï3 = 0
condizione di non crisi â1
2 [(Ï1 â Ï2)2 + Ï12 + Ï22] †ÏðŠ
c) Stato tensionale alla de Saint-Venant: Ïð¥ â 0, Ïð¥ðŠ â 0, Ïð¥ð§ = ÏðŠð§ = ÏðŠ = Ïð§ = 0 (asse z Ú
principale)
condizione di non crisi âÏð¥2 + 3 Ïð¥ðŠ2 †ÏðŠ
⢠Criterio di Tresca (o della massima tensione tangenziale)
a) Caso triassiale: Ï1, Ï2, Ï3 tensioni principali
condizione di non crisi Ïð = max{|Ï1 â Ï2|, |Ï1 â Ï3|, |Ï2 â Ï3|} †ððŠ
b) Caso biassiale: Ï1 â 0, Ï2 â 0, Ï3 = 0
condizione di non crisi max{|Ï1 â Ï2|, |Ï1|, |Ï2|} †ððŠ
c) Stato tensionale alla de Saint-Venant: Ïx â 0, Ïxy â 0, Ïxz = Ïyz = Ïy = Ïz = 0 asse z Ú
principale)
condizione di non crisi âÏð¥2 + 4 Ïð¥ðŠ2 †ÏðŠ
-
5
⢠Criterio di Galileo (o della massima tensione normale)
a) Caso triassiale: Ï1, Ï2, Ï3 tensioni principali
condizione di non crisi Ïðº = max{|Ï1|, |Ï2|, |Ï3|} †ÏðŠ
b) Caso biassiale: Ï1 â 0, Ï2 â 0, Ï3 = 0
condizione di non crisi max{|Ï1|, |Ï2|} †ÏðŠ
c) Stato tensionale alla de Saint-Venant: Ïx â 0, Ïxy â 0, Ïxz = Ïyz = Ïy = Ïz = 0 (asse z Ú
principale)
condizione di non crisi ððð¥ {|Ïð¥
2â â(
Ïð¥
2)2
+ Ïð¥ðŠ2| , |Ïð¥
2+ â(
Ïð¥
2)2
+ Ïð¥ðŠ2| } †ÏðŠ
7) Sollecitazione di torsione
⢠Sezioni circolari
Î = ðÏ
ðð§=
ðð¡ðº ðŒ0
Ï(z): angolo di torsione della sezione z
Π=Ί
ð¿ angolo unitario di torsione con Ί(angolo di torsione)
L lunghezza trave
ðŒ0 momento di inerzia polare
ðð§ð = ðð¡
ðŒ0ð (andamento tensioni tangenziali lungo il raggio)
piene: ðððð¥ = ðð¡
ðŒ0ð
cave : ðð = ðð¡
ðŒ0ð ð , ðð =
ðð¡
ðŒ0ð ð
⢠Sezioni rettangolari (a>b)
ððŠðððð¥ = ð1ðð¡
ð ð2
ðð¡ÎŠ= ð2
ðº ð ð3
ð¿
ðŒð¡ = ð2 ð ð3
per ð ðâ > 10 (rettangolo sottile): ððŠðððð¥ = 3ðð¡
ð ð2 , ðð¡
Ί=
ðº
ð¿ 1
3ð ð3 , ðŒð¡ =
1
3 ð ð3
a/b c1 c2
1 4,81 0,141 1,5 4,33 0,196 2 4,06 0,229 3 3,74 0,263 5 3,44 0,291
10 3,20 0,312 â 3 0,333
-
6
⢠Sezioni cave con parete sottile (formula di Bredt)
ðð¡ð (ð â) =
ðð¡2 Ω ð¡(ð â)
Ω : area racchiusa dalla linea media
ð¡(ð â): spessore della sezione in corrispondenza dellâascissa
curvilinea s*
Î = ðÏ
ðð§=
ðð¡
ðº ðŒð¡ con ðŒð¡ =
4 Ω 2
â«1
ð¡(ð â)ðð â
Î
per t=cost â â«1
ð¡(ð â)ðð â
Î=
ð¿ð
ð¡, con ð¿ð lunghezza della linea
media
⢠Profili composti
ðð¡ = ðð¡1 +ðð¡2 +ðð¡3
ðŒð¡ðð¡ = ðŒð¡1 + ðŒð¡2 + ðŒð¡3
ðð¡1 =ðð¡
ðŒð¡ðð¡ ðŒð¡1 , ðð¡2 =
ðð¡
ðŒð¡ðð¡ ðŒð¡2 , ðð¡3 =
ðð¡
ðŒð¡ðð¡ ðŒð¡3
ðð = ð1ðð¡ð
ðð ðð2
8) Geometria delle aree
ðð§ = â« ðŠðŽ ððŽ momento statico dellâarea rispetto allâasse z
ððŠ = â« ð§ðŽ ððŽ momento statico dellâarea rispetto allâasse y
Coordinate del baricentro: ð§Ì =â« ð§ðŽ ððŽ
ðŽ , ï¿œÌ ï¿œ =
â« ðŠðŽ ððŽ
ðŽ
Nel caso di figure composte di cui conosco il baricentro delle
n-parti:
ð§Ì =â ï¿œÌ ï¿œð ðð=1 ðŽð
â ðŽððð=1
, ï¿œÌ ï¿œ =â ï¿œÌ ï¿œð ðð=1 ðŽð
â ðŽððð=1
Teorema degli assi paralleli (o di Huygens-Steiner):
se z e y assi baricentrici
ðŒð§â²ð§â² = ðŒð§ð§ + ðŽ ðŠâ²Ì 2
ðŒðŠâ²ðŠâ² = ðŒðŠðŠ + ðŽ ð§â²Ì 2
ðŒðŠâ²ð§â² = ðŒðŠð§ + ðŽ ðŠâ²Ì ð§ â²Ì
-
7
con
ðŒð§ð§ = â« ðŠ2
ðŽððŽ momento di inerzia rispetto allâasse z
ðŒðŠðŠ = â« ð§2
ðŽððŽ momento di inerzia rispetto allâasse y
ðŒðŠð§ = â« ðŠð§ðŽ ððŽ momento di inerzia centrifugo
Teorema di rotazione degli assi e rappresentazione di Mohr
ðŒðð = ðŒð§ð§ cos2 ð + 2 ðŒðŠð§ sin ð cosð + ðŒðŠðŠ sin
2 ð
ðŒðð = ðŒð§ð§ sin2 ð â 2 ðŒðŠð§ sin ð cos ð + ðŒðŠðŠ cos
2 ð
ðŒðð = â(ðŒð§ð§ â ðŒðŠðŠ) sin ð cos ð + ðŒðŠð§(cos2 ð â sin2 ð)
ð â¡ (ðŒð§ð§ , âðŒðŠð§), ð â¡ (ðŒðŠðŠ , ðŒðŠð§)
âð â¡ (ðŒðð , âðŒðð),ð â¡ (ðŒðð , ðŒðð)
ð¶ â¡ (ðŒðŠðŠ+ðŒð§ð§
2 , 0) ð = â(
ðŒðŠðŠâðŒð§ð§
2)2
+ ðŒðŠð§2
[OSS. :il diametro deve ruotare dellâangolo doppio rispetto allâelemento]
Assi principali di inerzia e direzioni principali
ðâ = (ðŒðŠðŠ + ðŒð§ð§
2+ ð , 0) â¡ (ðŒð§âð§â, 0)
ðâ = (ðŒðŠðŠ + ðŒð§ð§
2â ð , 0) â¡ (ðŒðŠâðŠâ, 0)
tan 2ðâ = |2 ðŒðŠð§
ðŒð§ð§âðŒðŠðŠ|
ðŒðŠâð§â = â« ðŠâð§â
ðŽððŽ = 0
Momento di inerzia polare
ðŒð = â« ð2
ðŽ
ððŽ = â«(ðŠ2
ðŽ
+ ð§2)ððŽ = ðŒð§ð§ + ðŒðŠðŠ
-
8
-
9
9) Stato di sforzo conseguente alla flessione
1
Ï=
ððð§
ðž ðŒð§ð§ relazione tra curvatura della fibra neutra e
momento applicato
εð¥ = âðŠ
Ï
Ïð¥ = âððð§
ðŒð§ð§ ðŠ Formula di Navier
Espressione generale formula di Navier (caso di assi non principali e presenza di sforzo
normale)
Ïð¥ = â(ðŠ ðŒðŠðŠ â ð§ðŒðŠð§) ððð§ + (ðŠ ðŒðŠð§ â ð§ ðŒð§ð§) ðððŠ
ðŒðŠðŠðŒð§ð§ â ðŒðŠð§2 +
ð
ðŽ
Con y e z assi principali (e presenza di sforzo normale)
Ïð¥ = âðŠ
ðŒð§ð§ððð§ +
ð§
ðŒðŠðŠ ðððŠ +
ð
ðŽ
Oss. : Mby tende le fibre z > 0 â Ïx > 0 per z > 0
Mbz tende le fibre y < 0 â Ïx > 0 per y < 0
10) Formula generale di Jourawski
ÏÌ ð ð¥ = âðð
ðŒð§ð§ ð con ð = â« ðŠ ððŽ
ðŽ1
convenzione sui segni: ÏÌ ð ð¥ > 0 se ha lo stesso verso della
normale esterna allâarea A1 (flusso uscente)
Caso con Mby = 0 e Vz = 0 : ðð¥ð = ðð¥ð = ÏÌ ð ð¥ ð = â ððŠ
ðŒð§ð§ ðŒðŠðŠ â ðŒðŠð§2 (ðŒðŠðŠ â« ðŠ ððŽðŽ1
â ðŒðŠð§ â« ð§ ððŽðŽ1)
Caso con Mbz = 0 e Vy = 0 : ðð¥ð = ðð¥ð = ÏÌ ð ð¥ ð = â ðð§
ðŒð§ð§ ðŒðŠðŠ â ðŒðŠð§2 (ðŒð§ð§ â« ð§ ððŽðŽ1
â ðŒðŠð§ â« ðŠ ððŽðŽ1)
Centro di taglio: punto dove passa la risultante delle tensioni
tangenziali dovute alle sollecitazioni taglianti Vy e Vz.
Se ðº â ð¶ð¡ si ha torsione âðð¡ = ððŠðð§ â ðð§ððŠ
-
10
11)Deformazione dovuta alla flessione
ð2ð£(ð¥)
ðð¥2=ðððž ðŒ
ð4ð£(ð¥)
ðð¥4=ð(ð¥)
ðžðŒ
Casi notevoli
ð£(ð¥) =ð
6 ðžðŒ(â©ð¥ â ðâª3 â ð¥3 + 3 ð¥2 ð)
ÎŽððð¥ =ð ð2 (3 ð¿âð)
6 ðžðŒ , Ïððð¥ =
ð ð2
2 ðžðŒ
ð£(ð¥) =ð
6 ðžðŒ(â ð¥3 + 3 ð¥2 ð¿)
ÎŽððð¥ =ð ð¿3
3 ðžðŒ , Ïððð¥ =
ð ð¿2
2 ðžðŒ
ð£(ð¥) =ð ð¥2
24 ðžðŒ(ð¥2 + 6 ð¿2 â 4 ð¿ ð¥)
ÎŽððð¥ =ð ð¿4
8 ðžðŒ , Ïððð¥ =
ð ð¿3
6 ðžðŒ
ð£(ð¥) =ð0 ð¥
2
2 ðžðŒ
ÎŽððð¥ =ð0 ð¿
2
2 ðžðŒ , Ïððð¥ =
ð0 ð¿
ðžðŒ
-
11
ð£(ð¥) =ð ð
6 ð¿ ðžðŒ(ð¿
ðâ©ð¥ â ðâª3 â ð¥3 + (ð¿2 â ð2) ð¥)
ÎŽððð¥ =ð ð (ð¿2â ð2)
32â
9â3 ð¿ ðžðŒ per ð¥ = â
ð¿2â ð2
3
Ï1 = ð ð ð (2ð¿âð )
6 ð¿ ðžðŒ , Ï2 =
ð ð ð (2ð¿âð )
6 ð¿ ðžðŒ
ð 1 = ð ð
ð¿ , ð 2 =
ð ð
ð¿
ð£(ð¥) =ð
12 ðžðŒ(2 â©ð¥ â
ð¿
2âª3 â ð¥3 +
3 ð¿2
4 ð¥)
ÎŽððð¥ =ð ð¿3
48 ðžðŒ
Ï2 = Ï1 = ð ð¿2
16 ðžðŒ , ð 1 = ð 2 =
ð
2
ð£(ð¥) =ð ð¥
24 ðžðŒ(ð¿3 â 2 ð¿ ð¥2 + ð¥3)
ÎŽððð¥ =5
384
ð ð¿4
ðžðŒ , Ï2 = Ï1 =
ð ð¿3
24 ðžðŒ
ð 1 = ð 2 = ð ð¿
2
ð£(ð¥) =ð0 ð¿ ð¥
6 ðžðŒ(1 â
ð¥2
ð¿2)
ÎŽððð¥ =ð0 ð¿
2
9â3 ðžðŒ per ð¥ =
ð¿
â3
Ï1 = ð0 ð¿
6 ðžðŒ , Ï2 =
ð0 ð¿
3 ðžðŒ , ð 1 = ð 2 =
ð0
ð¿
Vincoli elastici cedevoli
ÎŽ = ð
ð Ï =
ð0
ðÏ
-
12
12)Stabilità dellâequilibrio elastico di travi compresse
ðžðŒ ð4ð£
ðð¥4+ ð
ð2ð£
ðð¥2= ð(ð¥)
ðžðŒ ð4ð£
ðð¥4+ ð
ð2ð£
ðð¥2= 0
ð£(ð¥) = ð1 + ð2 ð¥ + ð3 sinâð
ðžðŒ ð¥ +ð4 cosâ
ð
ðžðŒ ð¥
Lunghezza libera di inflessione
ððð = ð2 ðžðŒ
ð02