frações parciais e crescimento...
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Frações Parciais e Crescimento Logístico
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Frações Parciais e Crescimento Logístico
1.Frações parciais
2.Função de crescimento logístico
1. Frações parciais
Nas aulas anteriores, estudamos aintegração por substituição e a integração porpartes.
Nesta aula abordaremos o estudo de umaterceira técnica – a técnica de frações parciais.
Esta técnica envolve a decomposição de umafunção racional na soma de duas ou mais funçõesracionais simples.
1. Frações parciais
Sabendo-se que
2
7 2 1,
6 3 2x
x x x x+ = −
− − − +
1. Frações parciais
O conhecimento das “frações parciais” àdireita permite-nos integrar o membro esquerdocomo segue:
2
7 2 16 3 2
xdx dx
x x x x+ = − − − − +
∫ ∫
1 12
3 2dx dx
x x= −
− +∫ ∫
2ln 3 ln 2x x C= − − + +
1. Frações parciais
Para aplicar este método, devemos saberfatorar o denominador da função racional originale achar a decomposição da função em fraçõesparciais.
1. Frações parciais
Frações Parciais
Para determinar a decomposição em frações parciaisda função racional própria p (x)/q (x), devemos fatorar q (x)e escrever uma equação que tenha a forma
Para cada fator linear distinto (ax + b), omembro direito deve apresentar um termo da forma
(soma de frações parciais)( )( )
p xq x
=
Aax b+
1. Frações parciais
Frações Parciais
Para cada fator linear repetido (ax + b)n, o membrodireito deve apresentar n termos da forma
( ) ( )1 2
2n
n
A A Aax b ax b ax b
+ + ++ + +
…
1. Frações parciais
OBS: Uma função racional p (x)/q (x) é própria se ograu do numerador é inferior ao grau do denominador.
1. Frações parciais
Exemplo 1: Decomponha
2
76
xx x
+− −
em frações parciais.
1. Frações parciais
Fatoremos inicialmente o denominador como
2 6 ( 3) ( 2)x x x x− − = − ⋅ +
e, em seguida, escrevamos a decomposição emfrações parciais como
2
76 3 2
x A Bx x x x
+ = +− − − +
1. Frações parciais
Para resolver esta equação em relação a A e B,multipliquemos ambos os membros da equação pelomínimo denominador comum
( 3) ( 2)x x− ⋅ +
o que dá a seguinte equação básica.
( ) ( )7 2 3x A x B x+ = ⋅ + + ⋅ −Equação básica
1. Frações parciais
Como esta equação é válida para todo x, podemosintroduzir nela valores convenientes de x. Os valores dex especialmente convenientes são os que anulam umfator do mínimo denominador comum: x = -2 e x = 3.
1. Frações parciais
Fazendo x = -2:
( ) ( )7 2 3x A x B x+ = ⋅ + + ⋅ −
( ) ( )2 7 2 2 2 3A B− + = ⋅ − + + ⋅ − −
( ) ( )5 0 5A B= ⋅ + ⋅ −
1B = −
Equação básica
Substituindo x por -2
Simplificando
Resolvendo em relação a B
1. Frações parciais
Fazendo x = 3:
( ) ( )7 2 3x A x B x+ = ⋅ + + ⋅ −
( ) ( )3 7 3 2 3 3A B+ = ⋅ + + ⋅ −
( ) ( )10 5 0A B= ⋅ + ⋅
2A =
Equação básica
Substituindo x por 3
Simplificando
Resolvendo em relação a A
1. Frações parciais
Resolvida assim a equação básica em relação a Ae B, podemos escrever a decomposição em fraçõesparciais como
2
7 2 16 3 2
xx x x x
+ = −− − − +
conforme indicado no início desta aula.
1. Frações parciais
OBS: As substituições de x no Exemplo 1 devem serfeitas conforme a conveniência para a resolução emrelação a A e B: o valor x = -2 foi escolhido porqueelimina o termo A (x + 2), e o valor x = 3 porque eliminao termo B (x – 3).
1. Frações parciais
Exemplo 2: Calcule a integral indefinida
2
3 2
5 20 62
x xdx
x x x+ ++ +∫
1. Frações parciais
Inicialmente, fatoremos o denominador como
( )21x x⋅ +
Em seguida, façamos a decomposição emfrações parciais
( ) ( )2
2 2
5 20 611 1
x x A B Cx xx x x
+ + = + +++ +
1. Frações parciais
Para resolver esta equação em relação aA, B e C,multipliquemos ambos os seus membros da equação pelomínimo denominador comum
2( 1)x x⋅ +
o que dá a seguinte equação básica.
( ) ( )225 20 6 1 1x x A x B x x Cx+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + +Equação básica
1. Frações parciais
Resolvamos em relação a A e C fazendo x = -1 ex = 0 na equação básica.
1. Frações parciais
Fazendo x = -1:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 20 1 6 1 1 1 1 1 1A B C− + − + = ⋅ − + + ⋅ − ⋅ − + + ⋅ −
( ) ( ) ( )9 0 0 1A B C− = ⋅ + ⋅ + ⋅ −
9C = Valor de C
1. Frações parciais
Fazendo x = 0:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 0 20 0 6 0 1 0 0 1 0A B C+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅
( ) ( ) ( )6 1 0 0A B C= ⋅ + ⋅ + ⋅
6A = Valor de A
1. Frações parciais
A esta altura, já esgotamos as escolhas conve-nientes de x, mas ainda temos de achar o valor de B.Quando isto ocorre, podemos tomar qualquer outrovalor de x em conjunto com os valores já conhecidos deA e B.
1. Frações parciais
Fazendo x = 1,A = 6 e C = 9:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 20 1 6 6 1 1 1 1 1 9 1B+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅
( ) ( ) ( ) ( )31 6 4 2 9 1B= ⋅ + ⋅ + ⋅
1B = − Valor de B
1. Frações parciais
Conhecidos os valores de A, B e C, podemosefetuar a decomposição em frações parciais paraintegrar:
( )2
23 2
5 20 6 6 1 92 1 1
x xdx dx
x x x x x x
+ + = − + + + + +
∫ ∫
( ) 11
6ln ln 1 91
xx x C
−+= − + + +
−
( )6 9
ln1 1
xC
x x= − +
+ +
1. Frações parciais
OBS 1: A técnica da decomposição em fraçõesparciais exposta nos Exemplos 1 e 2 só pode seraplicada a uma função racional própria – isto é, umafunção racional cujo numerador é de grau inferiorao do denominador. Se o numerador é de grau igualou superior ao do denominador, devemos primeiroefetuar a divisão.
1. Frações parciais
Assim é que a função racional
3
2 1x
x +é imprópria porque o grau do numerador é maior doque o grau do denominador. Antes de aplicar ométodo das frações parciais a esta função,devemos dividir o numerador pelo denominador, oque dá:
3
2 21 1x x
xx x
= −+ +
1. Frações parciais
Exemplo 3: Calcule a integral indefinida
5
4 3
1x xdx
x x+ −−∫
1. Frações parciais
Esta função racional é imprópria – seunumerador é de grau superior ao do denominador.Devemos, pois, iniciar dividindo o numerador pelodenominador.
5 3
4 3 4 3
1 11
x x x xx
x x x x+ − + −= + +− −
1. Frações parciais
Decompondo então em frações parciais, obtemos
( )3
3 2 3
11 1
x x A B C Dx x x x x x
+ − = + + +⋅ − −
Multiplicando ambos os membros pelo mínimodenominador comum x3.(x – 1), obtemos a equaçãobásica.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 31 1 1 1x x A x x B x x C x D x+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅Equação básica
1. Frações parciais
Fazendo x = 0:
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0A B C D− = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅
1C = Valor de C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 30 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0A B C D+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅
1. Frações parciais
Fazendo x = 1:
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1A B C D= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
1D = Valor de D
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A B C D+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅
1. Frações parciais
Fazendo x = 2:
9 4 2 1 8A B= + + +
4 2 0A B+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 32 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2A B+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅
Equação 1
1. Frações parciais
Fazendo x = 3:
29 18 6 2 27A B= + + +
18 6 0A B+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 33 3 1 3 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3A B+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅
Equação 2
1. Frações parciais
Resolvendo o sistema formado pelasEquações 1 e 2, obtemos:
4 2 0 12 6 00 e 0
18 6 0 18 6 0
A B A BA B
A B A B
+ = − − = ⇒ = = + = + =
∼
Portanto:
0, 0, 1 e 1A B C D= = = =
1. Frações parciais
Podemos integrar como segue:
5 3
4 3 4 3
1 11
x x x xdx x dx
x x x x
+ − + −= + + − − ∫ ∫
3
1 11
1x dx
x x = + + + − ∫2
2
1ln 1
2 2x
x x Cx
= + − + − +
1. Frações parciais
OBS: Ocorre frequentemente que devemos aplicarmais de uma técnica de integração para resolveruma integral. Assim é que, no próximo exemplo,utilizaremos a substituição e a decomposição emfrações parciais.
1. Frações parciais
Exemplo 4: Calcule a integral indefinida
11x dx
e +∫
1. Frações parciais
Façamos inicialmente a substituição u = ex.Então, du = ex dx. Multiplicando e dividindo o inte-grando por ex, obtemos:
( )1 1
1 1x
x x xdx e dx
e e e=
+ ⋅ +∫ ∫Multiplicando e dividindo por ex
( )1
1du
u u=
⋅ +∫Substituindo por u e du
1. Frações parciais
Para resolver esta integral, façamos adecomposição em frações parciais.
( )1 1 1
1 1u u u u= −
⋅ + +
1. Frações parciais
Podemos agora completar a integração:
( )1 1
1 1x dx due u u
=+ ⋅ +∫ ∫
1 11
duu u = − + ∫
ln ln 1u u C= − + +
ln ln 1x xe e C= − + +
ln 1xx e C= − + +
Substituição
Frações parciais
Determinando a antiderivada
Substituindo u
Simplificando
1. Frações parciais
OBS: Ao integrar funções racionais, lembre-se deque algumas podem ser integradas sem adecomposição em frações parciais. Seguem trêsexemplos.
22 2
1 2 11. ln 1
1 2 1 2x x
dx dx x Cx x
= = − +− −∫ ∫
( ) ( )2 2
1 12.
11 1
xdx dx C
xx x x= = − +
−− −∫ ∫
2 23 2
3 2 3 2
2 1 3 6 13. ln 3 4
3 4 3 3 4 3x x x x
dx dx x x Cx x x x
+ += = + − ++ − + −∫ ∫
1. Frações parciais
OBS: No segundo exemplo, vemos que, em geral, éuma boa ideia simplificar uma função racional comoprimeiro passo para a integração.
2. Função de crescimento lo-gístico
Nas aulas de Cálculo Diferencial, vimos que ocrescimento exponencial ocorre em situações emque a taxa de crescimento é proporcional àquantidade presente em um instante arbitrário. Ouseja, se y é a quantidade no instante t, então
dyky
dt=
kty Ce=
dy/dt é proporcional a t
Função crescimento exponencial
2. Função de crescimento lo-gístico
O crescimento exponencial é ilimitado.Desde que C e k sejam positivos, o valor de Cekt
pode tornar-se arbitrariamente grande, desde queescolhamos valores suficientemente grandes para t.
Em muitas situações da vida real,entretanto, o crescimento de uma grandeza élimitado, não podendo ultrapassar um certo valor L,conforme mostrado na figura seguinte.
2. Função de crescimento lo-gístico
2. Função de crescimento lo-gístico
O modelo de crescimento logístico supõe quea taxa de crescimento seja proporcional não só àquantidade y, mas também à diferença entre aquantidade e o limite L; isto é
( )dyky L y
dt= − dy/dt é proporcional a y e a (L – y)
Exemplo 5: Supondo que o limite da quantidadeseja 1, isto é, L = 1, resolva a equação
( )1dy
ky ydt
= −
2. Função de crescimento lo-gístico
Condição: y > 0 e (1 – y) > 0.
( )1dy
ky ydt
= −
2. Função de crescimento lo-gístico
Equação diferencial
( )1
1dy k dt
y y=
−Escrevendo como diferencial
( )1
1dy k dt
y y=
−∫ ∫ Integrando ambos os membros
1 11
dy k dty y
+ = − ∫ ∫ Escrevendo em funções parciais
( ) 1ln ln 1y y kt C− − = +
2. Função de crescimento lo-gístico
Determinando a antiderivada
Simplificando
Tomando a exponencial
Fazendo e C1 = C
1ln1
ykt C
y= +
−1
1kt Cy
ey
+=−
1
1Ckty
e ey
= ⋅−
1kty
Cey
=−
Resolvendo esta equação em relação a y,obtemos
2. Função de crescimento lo-gístico
1kty
Cey
=−
( )1 kty y Ce= − ⋅
kt kty Ce y Ce= − ⋅ kt kty y Ce Ce+ ⋅ =
( )1 kt kty Ce Ce+ =1
kt
kt
Cey
Ce=
+
⇒
⇒
⇒
Dividindo numerador e denominador porCekt, obteremos:
2. Função de crescimento lo-gístico
11
1kt
y
Ce
=+
11
1kty
eC
−=
⋅ +
11 kty
be−=+
⇒
onde b = 1/C.
Função de Crescimento Logístico
OBS: O modelo de crescimento logístico noExemplo 5 foi simplificado supondo-se que o limiteda quantidade seja 1. Se o limite fosse L, a soluçãoseria
2. Função de crescimento lo-gístico
1 kt
Ly
be−=+
Exemplo 6: A Comissão de Caça dos EstadosUnidos libera 100 cervos em um parque de caça.Durante os 5 primeiros anos, a população aumentapara 432 cervos. A comissão julga que a populaçãoadmite o modelo de crescimento logístico com umlimite de 2.000 cervos. Escreva o modelo decrescimento logístico para esta população. Utilizeentão o modelo para elaborar uma tabelamostrando a evolução da população de cervosdurante os próximos 30 anos.
2. Função de crescimento lo-gístico
Seja y o número de cervos no ano t.Admitindo um modelo de crescimento logístico,temos que a taxa de variação da população éproporcional tanto a y como a (2.000 – y):
2. Função de crescimento lo-gístico
2.0001 kty
be−=+
( )2.000dy
ky ydt
= −
Levando em conta que y = 100 quando t = 0,podemos obter b:
2. Função de crescimento lo-gístico
( )0
2.000100 19
1 kb
be−= ⇒ =+
Em seguida, considerando que y = 432 quan-do t = 5, resolvemos em relação a k.
( )5
2.000432 0,33106
1 19 kk
e−= ⇒ ≈+
Assim, o modelo de crescimento logísticopara a população é
2. Função de crescimento lo-gístico
0,33106
2.0001 19 ty
e−=+
A tabela abaixo mostra a população aintervalos de 5 anos.
2. Função de crescimento lo-gístico
t (anos) População de cervos
0 100
5 432
10 1.181
15 1.766
20 1.951
25 1.990
30 1.998
2. Função de crescimento lo-gístico
0
400
800
1.200
1.600
2.000
0 5 10 15 20 25 30
Po
pu
laçã
o d
e c
erv
os
Tempo (em anos)
Curva de Crescimento Logístico