fractais

Fractais

Os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada: e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas.

A origem do termo fractal, introduzido por Mandelbrot, está no radical fractus, proveniente do verbo latino frangere, que quer dizer quebrar, produzir pedaços irregulares; vem da mesma raiz a palavra fragmentar, em português.

Fractais: características

As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os conjuntos fractais são as seguintes:

1) a auto-similaridade, que pode ser exata ou estatística, ou seja, o sistema é invariante (mantém a mesma forma e estrutura) sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);

2) a extrema 'irregularidade' no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação;

3) possuir, em geral, uma dimensão fractal não-inteira. A dimensão fractal, como veremos adiante, quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.

Fractais – existem?

Mas existem objetos ou estruturas naturais que são fractais?

Os fractais são conjuntos definidos por certas propriedades matemáticas e, portanto, têm legitimidade como um conceito matemático coerentemente definido e correlacionado com outros.

Mas o que se nota é que muitas estruturas ou processos naturais têm propriedades similares às dos fractais, em particular a simetria de escala, e que podem, portanto, ser descritos por eles, pelo menos em determinados domínios.

Não custa lembrar também o ponto de vista otimista, expresso por, entre outros, Pascal e Dirac, para os quais os produtos da nossa imaginação (equações, por exemplo), quando dotados de beleza matemática, sempre encontrarão algum uso na modelagem física da natureza.

Dimensão Fractal

Duas idéias próximas, mas diversas, estão ligadas ao termo dimensão usualmente empregado:

1) o número de informações (no caso, dadas pelas coordenadas) necessárias para se localizar um ponto no espaço: falamos que o espaço possui três dimensões. Após a teoria da relatividade, a idéia de um espaço quadridimensional se firmou na física, com a introdução também da dimensão temporal para a caracterização de um evento que ocorre no espaço-tempo;

2) a noção de medida de comprimento. Assim, dizemos, por exemplo, que a dimensão de um objeto é 50cm.

Dimensão fractal

Dimensão topológica, relacionada à primeira idéia, foi discutida por Poincaré em 1911 e por Brouwer, em 1913:

Um contínuo tem n dimensões quando podemos dividi-lo por meio de cortes que sejam eles próprios contínuos de (n-1) dimensões.

Considera-se que o ponto possui dimensão zero. Por essa definição, a reta terá dimensão 1 (porque pode ser separada por um ponto), o plano terá dimensão 2 (porque pode ser separado por uma reta), o espaço usual terá três dimensões (porque pode ser separado por um plano: as paredes de uma casa, por exemplo), e assim, sucessivamente, podemos imaginar conjuntos contínuos com um número crescente de dimensões.

Dimensão fractal

Considerando o aspecto métrico ligado à noção de dimensão, temos a capacidade, definida por Kolmogorov, que mede o quanto o conjunto ou objeto considerado preenche o espaço em que está imerso. Por ser, talvez, a definição de dimensão mais simples que permite caracterizar os fractais, é usualmente chamada de dimensão fractal. Essa definição de capacidade é bastante próxima da noção de dimensão introduzida por Hausdorff, em 1919.

Existem vários outros tipos de dimensões métricas utilizadas para caracterizar os graus de 'fractalidade' de um conjunto.

A definição da capacidade dcap de um conjunto é a seguinte:

dcap = lim ε→∞[] [ log N(ε) / log (1/ε) ]

onde N(ε) é o número mínimo de cubos elementares necessários para cobrir o conjunto considerado e ε é a dimensão linear do cubo elementar.

Dimensão fractal: Conjunto de Cantor

É um conjunto construído da seguinte maneira: tomamos um segmento de reta e o partimos em três segmentos iguais. Em seguida, o pedaço intermediário é retirado. Os dois segmentos restantes são de novo repartidos em três segmentos iguais e os segmentos intermediários são retirados. O processo de repartir os segmentos e de retirar o pedaço intermediário prossegue ad infinitum. O Conjunto de Cantor é o conjunto de pontos restantes, após infinitas operações terem sido realizadas.

Dimensão Fractal: Conjunto de Cantor

A capacidade, ou dimensão fractal, desse conjunto, é:

dcap = log(2)/log(3) ≈ 0,6.

Isto porque, em cada etapa do processo de construção do conjunto, utilizamos dois segmentos (cubos elementares) para cobrir a figura, sendo que cada segmento elementar tinha comprimento de 1/3.

Observe-se que esse conjunto tem comprimento zero, porque, a cada etapa do processo, seu comprimento é reduzido por um fator 2/3. Logo, seu comprimento, no limite em que n → ∞, será L = (2/3)n → 0.

Dimensão fractal: Conjunto de Koch

Em vez de retirarmos o pedaço intermediário do segmento inicial, nós o substituímos por mais dois segmentos iguais, como indicado.

A dimensão fractal desse conjunto será dada por

dcap= log(4)/log(3) ≈ 1,26.

O comprimento desse conjunto tende para infinito, valendo em cada etapa do processo de construção (4/3)n.

Dimensão fractal

Pelo uso da definição de capacidade, que a dimensão fractal de uma reta 1,

a do plano 2 e a do espaço 3,

coincidentes com a dimensão topológica.

A figura exibe um fractal, chamado de esponja de Menger, que tem dimensão fractal maior que 2:

dcap = log 19/ log 3 ≈ 2,727

Dimensão fractal x dimensão topológica

As dimensões fractais muitas vezes não são números inteiros.

Isso ocorre em aparente contradição com nossa 'intuição', que espera que os objetos tenham dimensão inteira n = 1, 2, 3, etc.; a dimensão topológica, por sua definição exposta acima, satisfaz essa propriedade 'intuitiva'.

A dimensão (capacidade) dos conjuntos fractais é maior ou igual à sua dimensão topológica.

Uma dimensão não-inteira pode fornecer informações interessantes sobre o grau de 'fractalidade' e de ocupação, pela estrutura analisada, do espaço no qual está imersa.

Exemplo: linha costeira de um paísUm exemplo concreto bem simples: a medida do comprimento da linha

costeira de um país.

Richardson chamou a atenção, em 1961, para o fato de que esse comprimento não é uma quantidade bem definida como em geral se imagina: seu valor depende do comprimento da 'régua' (unidade de medida) que é escolhida para medi-la. Assim, se tomamos unidades de medida cada vez menores (primeiro 10km, depois 1 km, em seguida 100m, e assim sucessivamente), o comprimento da linha costeira, em função de suas inúmeras reentrâncias, cresce proporcionalmente na medida em que ε (comprimento da 'régua' utilizada) decresce:

L(ε) ~ ε1-d, onde d é a dimensão fractal.

Esse tipo de dependência de uma quantidade, no caso L, em relação a outra, ε neste caso, é chamada de lei de potência.

Dimensão fractal de objetos naturais

• O procedimento básico é o seguinte: divide-se a área (ou volume) do conjunto analisado em um certo número de caixas (cubos elementares) iguais. Desenha-se o gráfico do logaritmo de N (número de caixas ocupadas) em função do logaritmo de (1/ε), onde ε é a dimensão linear da caixa, em cada etapa. A dimensão fractal do conjunto é dada pelo valor da inclinação do gráfico.

• Limite inferior: determinado pelo tamanho dos constituintes elementares do objeto (ou pela precisão das medidas), ou seja, chega-se a um ponto onde não se pode mais ampliar as partes do objeto e ainda se obter uma estrutura similar.

• Limite superior: dado pelo tamanho finito do objeto considerado.

Dimensão fractal de objetos naturais

• Pulmão ~2,2• Cérebro dos mamíferos ~2,62• Ramificação de plantas 2 < d < 2,81• Linhas costeiras 1,2 < d < 1,4• Meandros de rios 1 < d < 1,2• Contornos topográficos de montanhas 1,1 < d < 1,3 • Objetos fragmentados(granito, carvão, basalto, quartzo

etc.) 2,1 < d < 2,6• Distribuição de galáxias no Universo~1,2

Aplicação 1: antenas utilizando a curva fractal de Koch

Referência: Miniaturização de Antenas tipo Patch retangular em Microfita utilizando a curva fractal de Koch

Elder Eldervitch C. de Oliveira, Paulo H. da F. Silva e Sandro G. da Silva

III Congresso de Pesquisa e Inovação de Rede Norte Nordeste de Reducação Tecnológica (2008)

Aplicação 1: antenas utilizando a curva fractal de Koch

Resultados: antenas utilizando a curva fractal de Koch

Aplicação 2: Antenas Monopolo de Sierpinski

Referência: Uma Contribuição ao Estudo de Filtros e Antenas de Microondas Usando os Fractais de Sierpinski

Tarcílio Cavalcanti, Marcelo Ribeiro, Paulo H. da F. Silva

III Congresso de Pesquisa e Inovação de Rede Norte Nordeste de Reducação Tecnológica (2008)

Aplicação 2: Antenas Monopolo de Sierpinski

Resultados: Antenas Monopolo de Sierpinski

Aplicação 3: Auto-similaridade de uma rede Ethernet

Referências:1) On the self similarity nature of EthernetWill E. Leland, Murad S. Taqqu, Walter Willlinger e Daniel V. WilsonIEEE/ACM Transactions on Networking, vol. 2, Feb 1994

2) Predição de Tráfego Auto-Similar em Redes de Faixa LargaMarcelo Menezes de CarvalhoDissertação de Mestrado da Faculdade de Engenharia Elétrica e de

Computação da Universidade Estadual de Campinas (1998) (Capítulo 4)


Análise de um tráfego de rede: dezenas de milhões de pacotes de Ethernet sem perda e capturados com intervalos temporais de 100 μs.

Os dados foram coletados entre Agosto de 1989 e Fevereiro de 1992 na rede do “Bellcore Morristown Research and Engineering Center”.

O comportamento desta rede é bem diferente do tráfego telefônico convencional e dos modelos usualmente considerados para descrever o tráfego: modelo de Poisson e modelos markovianos de modo geral.

Aplicação 3: Auto-similaridade de uma rede EthernetO parâmetro utilizado para caracterizar a auto-similaridade

de uma série temporal é o parâmetro de Hurst (H).

A correta estimação deste parâmetro permite uma melhor caracterização do tráfego, levando a uma alocação mais racional dos recursos da rede e, consequentemente, uma maior garantia de QoS para os usuários.

Existem algumas maneiras de se calcular o parâmetro H. Estaremos vendo duas delas:

1) Método da estatística R/S;2) Método da Variância Amostral.

Método da Estatística R/S


H pode assumir valores entre 0,5 e 1.


Tráfego externo. Valor do parâmetro de Hurst H ≈ 0,8322.


Tráfego interno. Valor do parâmetro de Hurst H ≈ 0,6605.

Método da Variância Amostral

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