UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTETODSJEK MATEMATIKA

POPULARNA MATEMATIKA

FRAKTALI(3. ZADAĆA)

DARIJA RAJKOVIĆ U Tuzli, 04.2013.

Trougao Sierpinskog

Trougao Sierpinskog je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Waclaw Franciszek Sierpinski 1915. godine i mnogi ga smatraju jednim od najjednostavnijih primjera fraktala.

Konstrukcija započinje jednakostraničnim trouglom. Odredimo polovišta stranica pa od početnog trougla oduzmemo trougao koji nastaje spajanjem tih polovišta. Ostaju tri jednakostranična trougla kojima su duljine stranica dvostruko manje od duljina stranica početnog trougla. Postupak nastavljamo sa svakim od novih trouglova beskonačno mnogo puta.

Ovako konstruiran trougao je primjer fraktala koji je potpuno samo-sličan, tj. svaki njegov dio je tačna kopija originala.

Fraktalna dimenzija ovog skupa je

d = ln (broj duži nakon 1. iteracije)/ln (faktor multiplikacije)

d = ln 3/ln 2 1.585

Trougao u prvoj iteraciji se sastoji od 3 kopije samog sebe skaliranih

faktorom (tj. faktor multiplikacije je 2 ).

U ovom primjeru posebno je interesantno posmatrati odnos površine koju zauzima prazni dio trougla i obima ispunjenog dijela trougla.

ako pretpostavimo da je površina originalnog trougla 1, onda se u

prvoj iteraciji ukloni te površine, u drugoj iteraciji , u trećoj

itd. Nakon n-te iteracije ukupna površina uklonjena iz početnog

trougla je ( )

ako pretpostavimo da je obim početnog trougla 1, nakon prve

iteracije taj broj se poveća za , nakon druge iteracije obim se

poveća za itd. Nakon n-te iteracije obim iznosi

( )

Dakle, ako posmatramo beskonačan broj iteracija, trougao Sierpinskog bi imao praznu površinu i beskonačnu granicu.

Trodimenzionalni analogon trougla Sierpinskog je fraktal poznat pod nazivom tetraedar Sierpinskog.

Mengerova spužva

Ovo je primjer fraktala kojeg je opisao austrijski matematičar Karl Menger 1926. godine. Mengerova spužva je trodimenzionalni analogon tepihu Sierpinskog, tj. preciznije, svaka strana ove spužve je tepih Sierpinskog, dok je svaka dijagonala Cantorov skup (skup odvojenih tačaka dužine koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata).

tepih Sierpinskog

Konstrukcija Mangerove spužve započinje kockom koja se podijeli

na 27 jednakih kocaka. Duljina stranice svake male kocke je duljine

stranice početne kocke. U prvoj iteraciji se izvadi 7 kocaka – 1 iz sredine početne kocke i po jedna središnja iz svake od 6 strana početne kocke. U drugoj iteraciji postupak se ponavlja sa preostalih 20 kocaka. Na isti način postupak se ponavlja beskonačno mnogo puta.

a - prve tri iteracije u konstrukciji Mangerove spužveb – prve tri iteracije u konstrukciji tepiha Sierpinskog

Fraktalna dimenzija Mangerove spužve je

Posebno interesantna činjenica vezana uz Mangerovu spužvu se skriva u njenom presjeku. Naime, iako je ovaj fraktal poznat još od 1926. godine, tek je dosta kasnije otkriveno da praznine koje su vidljive pri dijagonalnom presjeku spužve nisu kvadrati, nego su oblika šesterokrake zvijezde.

Ova zanimljivost je poznata kao „misterij Mangerove spužve“ (The Mystery of the Menger Sponge).

LITERATURA

[1] http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal

[2] http://hr.wikipedia.org/wiki/Mengerova_spu%C5%BEva

[3]http://en.wikipedia.org/wiki/Menger_sponge

[4]https://simonsfoundation.org/multimedia/mathematical-impressions-the-surprising]menger-sponge-slice/

[5]http://www.think-maths.co.uk/sites/default/files/downloads/think_maths_- _menger_sponge_worksheet.pdf

[6]http://hr.wikipedia.org/wiki/Trokut_Sierpi%C5%84skog

[7]http://www.zeuscat.com/andrew/chaos/sierpinski.html

[8]http://library.thinkquest.org/26242/full/fm/fm31.html