· förord detta kompendium bygger i stor utsträckning på tidigare material som be-handlat...

Fourieranalys

Anders Holst

Mars 2014

Förord

Detta kompendium bygger i stor utsträckning på tidigare material som be-handlat motsvarande stoff då kursorganisationen var annorlunda. Kapitelett, om serier, följer i stort sett framställningen i Böiers–Claesson Analys förfunktioner av flera variabler men ett avsnitt om den komplexa exponential-funktionen har lagts till. Kapitlen två och tre är huvudsakligen hämtade urAndersson–Källén–Wanby Lineär analys medan kapitlet om Fouriertransfor-men bygger på Claesson–Wanby Lineär analys med tillämpningar.Förutom att ge en första bekantskap med metoder som är viktiga inom teknikoch fysik är ett av kursens syften att tydliggöra hur enkla fysikaliska modellerpå ett naturligt sätt leder till en utvidgning av metoder från lineär algebratill oändligdimensionella vektorrum. Dessutom ges tillfälle till en grundligrepetition av begrepp och resultat från (endimensionell) differential- och in-tegralkalkyl. Ett mål har också varit att så långt som möjligt ge fullständigabevis, och därvid klargöra betydelsen av de olika, ibland onödigt starka, för-utsättningarna snarare än att ge de mest allmänna resultaten.En preliminär version användes som kursbok under våren 1999. Utgåendefrån erfarenheterna då har jag försökt lägga till lite fler förklaringar och ex-empel. Avsnitt och anmärkningar markerade med stjärna (*) är utvikningaroch kommentarer för den särskilt intresserade, men även tänkta att användassom referens efter genomgången kurs.Jag vill tacka Jan Gustavsson för utmärkt handledning i hur man man ritarfigurer med LaTex, Lena Eriksson för hjälp med omslaget samt SigmundurGudmundsson och Per-Anders Ivert som läst och kommenterat delar av ma-terialet. De skrivfel och andra konstigheter som återstår är naturligtvis mitteget ansvar.Inför denna tryckning har jag rättat ett flertal tryckfel som påtalats av stu-denter under vårterminen 2000. I synnerhet vill jag tacka Ullrika Söderströmsom lämnat in en lista med tjugoen stycken.

ii

Påpekanden om eventuella ytterligare felaktigheter mottages tacksamt.

Lund, den 23 februari 2000.

Författaren.

Inför 2012 års tryckning har ett flertal smärre korrigeringar gjorts. En stordel av dem tack vare påpekanden från Kjell Elfström.

Lund, den 6 oktober 2012.

Författaren.

Fördjupningslitteratur

Andra framställningar om Fourieranalys (serier och transformer) med tillämp-ningar finns t ex i:

1. Serier och transformer, Studentlitteratur 1999, av H. Lennerstad &C. Jogréus. En mer resonerande framställning utan så många bevis,främst avsedd för ingenjörsstuderande.

2. Fourier Analysis, Oxford University Press 1988, av J.S. Walker. Unge-fär på samma nivå som detta kompendium.

3. Fourier Analysis and its applications, Wadsworth & Brooks/Cole 1992,av G.B. Folland. Något mer avancerad än detta kompendium. Främstinriktad på tillämpningar inom teorin för differentialekvationer.

4. Fourier Analysis, Cambridge University Press 1988, av T.W. Körner.En mer avancerad framställning. Underhållande, med många historiskakommentarer.

5. Mathematical Methods for Physicists, fjärde upplagan, Academic Press1995, av G.B Arfken & H.J Weber. Innehåller avsnitt om Fourierserieroch –transformer.

6. Inom civilingenjörsprogrammen vid LTH behandlas motsvarande stoffbl a i Föreläsningar i funktionsteori, Lund 1997, och Lineära system,Lund 1995, båda av Sven Spanne.

Mera om lösning av partiella differentialekvationer med hjälp av egenfunk-tionsutvecklingar kan man läsa bl a i:

1. K. E. Gustafson Introduction to Partial Differential Equations and Hil-bert Space Methods, Dover 1999.

iv

2. I. Stakgold Green’s Functions and Boundary Value Problems, Wiley1998.

3. G. Sparr Kontinuerliga system, Studentlitteratur 1998.

Innehåll

1 Serier 31.1 Inledande definitioner och exempel . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Positiva serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Absolutkonvergenta serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Betingat konvergenta serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Likformig konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Den komplexa exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Fourierserier 492.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Fourierserien för en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Pytagoras’ sats och Bessels olikhet . . . . . . . . . . . . . . . 572.4 Några egenskaper hos Fourierkoefficienterna . . . . . . . . . . 632.5 Fouriers inversionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6 Minstakvadratmetoden och Parsevals formel . . . . . . . . . . 732.7 Cosinus- och sinusserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.8 Gibbs’ fenomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.9 Ytterligare kommentarer och anmärkningar . . . . . . . . . . 98

3 Om värmeledning och musik 1053.1 Värmeledningsekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2 Några klassiska värmeledningsproblem . . . . . . . . . . . . . 1093.3 Den svängande strängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.4 Övertonsserien för en svängande sträng . . . . . . . . . . . . . 1243.5 D’Alemberts formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.6 Tema med variationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2 Innehåll

4 Fouriertransformen 1514.1 Formell härledning genom gränsövergång . . . . . . . . . . . . 1524.2 Definition och inversionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.3 Räkneregler för Fouriertransformen . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4 Faltningssatsen. Plancherels formel . . . . . . . . . . . . . . . 1674.5 Värmeledning på den reella linjen . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.6 *Inversionsformeln och betingad

konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.7 *Poissons summationsformel och värmeledning . . . . . . . . . 1834.8 *Ytterligare anmärkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A Approximation av funktioner 193

B Integraler innehållande en parameter 197B.1 Kompakt integrationsområde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197B.2 Generaliserade integraler på R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

B.2.1 Repetition av grundläggande begrepp . . . . . . . . . . 199B.2.2 Generaliserade integraler som beror på en parameter . 202B.2.3 Omkastning av integrationsordning . . . . . . . . . . . 206

Kapitel 1

Serier

1.1 Inledande definitioner och exempel

I både ren och tillämpad matematik stöter man ofta på storheter som bästrepresenteras som en serie, dvs som summan av oändligt många termer. I dethär kapitlet skall vi diskutera hur man får handskas med sådana summor.Vi påminner om definitionen. En serie

∞∑

k=1

uk,

med termerna uk, kallas konvergent med summan s om följden av delsummor

Sn =n∑

k=1

uk, n = 1, 2, 3, . . . ,

har det ändliga gränsvärdet s då n → ∞. En serie som inte är konvergentkallas divergent. Vi kommer till att börja med att syssla mest med seriervilkas termer uk är (positiva) reella tal, men observera att definitionen ärmeningsfull även om termerna är komplexa tal av formen uk = xk + iyk därxk , yk ∈ R betecknar real- och imaginärdelarna av uk.Eftersom

ReSn = Ren∑

k=1

(xk + iyk) = Re

(n∑

k=1

xk + i

n∑

k=1

yk

)

=

n∑

k=1

xk

4 Kapitel 1. Serier

och (på samma sätt) ImSn =n∑

k=1

yk, ser vi att en serie med komplexa

termer∞∑k=1

uk är konvergent om och endast om de reella serierna∞∑k=1

Reuk

och∞∑k=1

Im uk är konvergenta.

För att avgöra konvergens med utgångspunkt från definitionen behöver manett explicit uttryck för delsumman Sn. Vi ger två exempel.

Exempel 1.1. En serie av formen

1 + x+ x2 + · · · =∞∑

k=0

xk ,

där x är ett givet komplext tal kallas en geometrisk serie .

För att räkna ut den n:te delsumman, Sn =n−1∑k=0

xk, kan man observera att

Sn − xSn = 1− xn. Om x 6= 1 är detta en ekvation för Sn som vi kan lösa. Ifallet x = 1 är Sn summan av n stycken ettor, så sammanfattningvis gäller

Sn = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn−1 =

1−xn

1−xom x 6= 1

n om x = 1.

Om |x| < 1 gäller Sn → 11−x

då n→ ∞, eftersom |x|n → 0 då n→ ∞, så attserien är konvergent med summan 1

1−x. För övriga x saknar Sn gränsvärde.

Den geometriska serien är alltså konvergent då och endast då |x| < 1. Dettaresultat kommer att utnyttjas många gånger i fortsättningen.

Anmärkning. Den geometriska serien kan användas för att belysa den klas-siske grekiske filosofen Zenons paradox om Achilles och sköldpaddan. Zenonförsökte visa att det är omöjligt för den snabbe löparen Achilles (fart va m/s)att hinna ikapp en sköldpadda (fart vs m/s.). Om sköldpaddan får ett för-språng på l meter så måste Achilles för att hinna ikapp först avverka dennasträcka (vilket tar t1 = l

vasekunder). Medan detta sker hinner sköldpaddan

röra sig vst1 = vsval meter till. Under tiden (t2 = vsl

v2as) som det tar för Achilles

att springa denna sträcka hinner sköldpaddan ytterligare(

vsva

)2l m, som det

tar t3 =(

vsva

)2lva

sekunder för Achilles att springa, osv. Zenon argumenterade

1.1. Inledande definitioner och exempel 5

nu att det är omöjligt att springa oändligt många sträckor på ändlig tid, el-ler ekvivalent, att summan av tidsintervallen t1, t2, t3, . . . måste vara oändlig,vilket skulle medföra att Achilles aldrig hinner ikapp. Som vi sett i defini-tionen av konvergent serie är det emellertid möjligt att summan av oändligt

många positiva termer blir ändlig. Det är lätt att se att tk =(

vsva

)k−1lva

såatt ∞∑

k=1

tk =l

va

∞∑

k=1

(vsva

)k−1

är en geometrisk serie med kvot q = vsva> 0. Om va > vs är q < 1, och serien

konvergerar med summan

T =l

va

1

1− vsva

=l

va − vs.

Achilles hinner alltså ifatt på denna tid. (Man kan naturligtvis också erhålladetta resultat genom att notera att Achilles under varje sekund vinner va−vsmeter på sköldpaddan och alltså tjänar in försprånget på l

va−vssekunder.) Om

q ≥ 1 är sköldpaddan minst lika snabb som Achilles och den senare hinnerinte ikapp på ändlig tid.

Exempel 1.2. Antag att seriens termer kan skrivas på formen

uk = tk − tk−1, k = 1, 2, . . . .

för någon följd (tk)∞k=1. Då blir

Sn = (tn − tn−1) + (tn−1 − tn−2) + · · ·+ (t2 − t1) + (t1 − t0) = tn − t0.

(En summa av detta slag brukar kallas en teleskopsumma.) Om tn → t dån→ ∞ är serien konvergent med summa t− t0, annars divergent.En serie av detta slag, med tk = 1/k, är

∞∑

k=1

1

k(k + 1)=

∞∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

).

Här blir Sn = 1− 1n+1

, så att serien är konvergent med summan 1.

Anmärkning. Omskrivningen i exemplet kan alltid åstadkommas som uk =Sk − Sk−1. Detta innebär dock ingen förenkling eftersom vi fortfarande be-höver avgöra om Sk har ett gränsvärde då k → ∞.

6 Kapitel 1. Serier

Det är enbart i undantagsfall som man kan finna explicita formler för del-summorna Sn så att man direkt kan använda definitionen för att avgöra omen serie konvergerar. I de följande avsnitten kommer vi att ge några metoderför att avgöra om en serie konvergerar genom att jämföra med enklare serier.Innan dess bevisar vi emellertid några enkla men viktiga konsekvenser avdefinitionen av konvergens.För det första gäller att termerna i en konvergent serie går mot 0. Dettaföljer från

uk = Sk − Sk−1 → s− s = 0, då k → ∞.

Observera att omvändningen inte är sann, dvs det finns serier∑∞

k=1 uk så-dana att uk → 0 då k → ∞ men serien trots detta divergerar (se exempel1.5 nedan).För det andra får konvergenta serier adderas termvis, dvs om

∑∞1 uk och∑∞

1 vk är konvergenta så är också∑∞

1 (uk + vk) konvergent och∞∑

k=1

(uk + vk) =

∞∑

k=1

uk +

∞∑

k=1

vk.

Detta följer omedelbart från motsvarande formel för de n:te delsummorna(och den räkneregel för gränsvärden som säger om följderna (An) och (Bn)har gränsvärden så gäller att limn→∞(An +Bn) = limn→∞An + limn→∞Bn).Om den ena serien är divergent och den andra konvergent är den summeradeserien divergent, men om båda de givna serierna är divergenta kan man intedra någon slutsats om summan, vilket illustreras av exemplet vk = −uk.För det tredje är

∞∑

k=1

cuk = c

∞∑

k=1

uk

om∑∞

1 uk är konvergent och c en konstant. Omvänt, om∑∞

k=1 cuk är kon-vergent och c 6= 0 är

∑∞k=1 uk konvergent. Detta senare behöver inte vara

sant om c = 0.

1.2 Positiva serier

Vi utgår från att läsaren redan tidigare träffat på positiva serier (dvs seriermed termer ak ≥ 0), och ger bara en kortfattad repetition av jämförelsesatser-na. Därefter visar vi att egenskaperna hos en positiv serie är helt oberoendeav i vilken ordning man väljer att summera termerna.

1.2. Positiva serier 7

Grundläggande egenskaper

Vi börjar med att erinra om en av de fundamentala egenskaperna hos dereella talen, axiomet om övre gräns, som säger:Varje icke tom uppåt begränsad delmängd M av de reella talen R har enminsta majorant s. Denna kallas supremum av M och man skriver

s = supM eller s = supx∈M

x.

OmM inte är uppåt begränsad är det bekvämt att skriva supM = ∞. Dennakonvention används i formuleringen av följande välkända sats.

Sats 1.3. Om (sn)∞1 är en växande följd av reella tal och s är supremum av

sn;n = 1, 2, . . . så gäller att sn → s då n→ ∞.

Bevis: Detta är en direkt konsekvens av axiomet om övre gräns. Definitionenav s innebär för det första att

sn ≤ s för alla n

(s är en majorant). För det andra, om a < s så är sN > a för något Neftersom a inte är en majorant. Som följden är växande, kan vi av dettasluta att

sn > a, för alla n ≥ N.

Detta bevisar satsen, ty om s <∞ kan vi välja a godtyckligt nära s, och oms = ∞ kan vi välja a godtyckligt stort.

För en positiv serie bildar delsummorna

Sn =n∑

k=1

ak

en växande talföljd. Använder vi sats 1.1 på denna får vi direkt följanderesultat.

Följdsats 1.4. Om delsummorna till en positiv serie inte går mot ∞ så ärserien konvergent.

8 Kapitel 1. Serier

Då delsummorna går mot ∞ är serien divergent, men man definierar ändåsumman, i detta fall som ∞. En positiv serie har med denna konvention alltiden väldefinierad (ändlig eller oändlig) summa.Den geometriska serien (se exempel 1.1) är positiv då x ≥ 0. Då 0 ≤ x < 1gäller att sn → 1

1−xdå n→ ∞, medan sn → ∞ om x ≥ 1.

Exempel 1.5. Serien∞∑

k=1

k−a (1.1)

konvergerar om a > 1. För att inse detta räcker det enligt följdsats 1.4 attvisa att delsummorna inte kan gå mot ∞.Betrakta därför den n:te delsumman sn =

∑nk=1 k

−a.Eftersom funktionen f(x) = x−a är avtagande då x > 0 har vi

k−a = f(k) =

∫ k

k−1

f(k) dx ≤∫ k

k−1

f(x) dx,

då k > 1.Följaktligen gäller

sn = 1 +n∑

k=2

f(k) ≤ 1 +

∫ 2

1

f(x) dx+

∫ 3

2

f(x) dx+ · · ·+∫ n

n−1

f(x) dx.

Genom att upprepade gånger använda räkneregeln∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx

på summan i högerledet ser vi att (då a > 1)

sn ≤ 1 +

∫ n

1

x−a dx = 1 +

[− 1

a− 1x1−a

]n

1

= 1− 1

a− 1(n1−a − 1) ≤ 1 +

1

a− 1

för alla n. Alltså är serien konvergent.För a = 1 blir serien i (1.1)

1 +1

2+

1

3+ · · · =

∞∑

k=1

1

k


(den så kallade harmoniska serien). Denna är divergent. För att se det noterarvi att ∫ k+1

k

1

xdx ≤ 1 · 1

k,

och följaktligen

sn =

n∑

1

1

k≥∫ 2

1

1

xdx+

∫ 3

2

1

xdx+· · ·+

∫ n+1

n

1

xdx =

∫ n+1

1

1

xdx = ln(n+1),

där högerledet går mot ∞ då n → ∞. Om a < 1 är den n:te delsummantill (1.1) större än motsvarande delsumma för den harmoniska serien. Alltsådivergerar serien även för a < 1.

Anmärkning. Den harmoniska serien är ett exempel på att en serie kanvara divergent trots att termerna går mot noll.

Anmärkning. Exemplet visar att om vi låter ζ(a) beteckna∞∑k=1

k−a, så får vi

en väldefinierad funktion av a > 1 genom att låta a avbildas på ζ(a). Dennafunktion brukar kallas Riemanns ζ-funktion.

Jämförelsesatser

Det är ofta möjligt att avgöra om en positiv serie är konvergent eller divergentgenom att använda exemplen ovan och följande jämförelsesats.

Sats 1.6. Antag att serien∞∑1

bk är konvergent, och att det finns positiva tal

C och N sådana att

0 ≤ ak ≤ Cbk , då k ≥ N . (1.2)

Då är även∞∑1

ak konvergent.

Bevis: Enligt följdsats 1.4 räcker det att visa att delsummorna är uppåtbegränsade. Detta följer av att för n ≥ N gäller

n∑

k=1

ak =N−1∑

k=1

ak +n∑

k=N

ak ≤N−1∑

k=1

ak + C∞∑

k=N

bk <∞ .

10 Kapitel 1. Serier

Observera att om∞∑1

bk är divergent så räcker inte (1.2) för att vi skall kunna

avgöra om∞∑1

ak konvergerar. Betrakta t ex fallen ak = 1/(2k) och ak = 1/k2

som båda satisfierar (1.2) med C = 1 om bk =1k. I det förra fallet divergerar∑∞

1 ak men inte i det senare.

Följdsats 1.7. Låt∞∑1

ak och∞∑1

bk vara positiva serier med bk > 0 och antag

attakbk

→ A då k → ∞ ,

där 0 < A <∞. Då är∞∑1

ak konvergent om och endast om∞∑1

bk är konver-

gent.

Bevis: Till varje ε > 0 finns ett N så att

A− ε <akbk

< A+ ε då k ≥ N. (1.3)

Välj ε så litet att A− ε > 0.Då gäller

0 ≤ ak ≤ (A+ ε)bk, då k ≥ N

enligt den högra olikheten i (1.3). Det följer alltså från sats 1.6 att om∞∑1

bk

är konvergent så är∞∑1

ak konvergent. Omvändningen följer av den vänstra

olikheten i (1.3), som implicerar att

0 ≤ bk ≤ 1

(A− ε)ak , då k ≥ N.

Exempel 1.8. Sätt

bk =1√k ln k

, k = 2, 3, . . . .

Då är bk ≥ 1k

om k är tillräckligt stort, eftersom√k

lnk→ ∞ då k → ∞. Vi vet

att∞∑1

1k

är divergent. Alltså följer av sats 1.6 att∞∑2

bk är divergent.


Exempel 1.9. Undersök om serien∞∑1

ak, där

ak =1

3k2 − 2,

är konvergent eller divergent.

Lösning: Serien är positiv, och med bk = 1/k2 får vi

akbk

=k2

3k2 − 2→ 1

3då k → ∞.

Eftersom∞∑1

k−2 är konvergent ger följdsats 1.7 att∞∑1

ak är konvergent.

Genom jämförelse med den geometriska serien får vi följande konvergens-kriterium, det så kallade kvotkriteriet.

Sats 1.10. Antag att ak > 0 och att gränsvärdet

limk→∞

ak+1

ak= q

existerar (ändligt eller oändligt). Då är serien∞∑1

ak konvergent om q < 1

och divergent om q > 1.

Anmärkning. Satsen säger ingenting om konvergensen då q = 1. I självaverket visar exemplen ak = 1/k, ak = 1/k2 att man inte kan dra någraslutsatser i detta fall.

Bevis: Antag först att q < 1 och välj r så att q < r < 1. För N tillräckligtstort är då enligt gränsvärdesdefinitionen

ak+1

ak< r, om k ≥ N.

För k > N är alltså

ak ≤ rak−1 ≤ r2ak−2 ≤ · · · ≤ rk−NaN = Crk ,


där C = r−NaN är en konstant. Eftersom r < 1 konvergerar den geometriska

serien∞∑1

rk. Därmed konvergerar∞∑1

ak enligt jämförelsesatsen 1.6.

Om q > 1 väljer vi i stället r så att 1 < r < q. För stora k får vi då påmotsvarande sätt att

ak ≥ Crk .

Eftersom den geometriska serien divergerar då r > 1, är även∞∑1

ak divergent.

Exempel 1.11. Betrakta serien∞∑

k=1

kx3−kxk ,

där x > 0. Vi har attak+1

ak=

(k + 1)x3−(k+1)xk+1

kx3−kxk=

(1 +

1

k

)xx

3→ x

3då k → ∞ .

Serien är alltså konvergent då x3< 1, dvs då x < 3, och divergent då x > 3.

Sats 1.10 ger ingen information i fallet x = 3. I det fallet blir emellertid serien∞∑1

k3, vilken divergerar eftersom termerna ej går mot noll.

Exempel 1.12. Undersök konvergensen av serien∞∑

k=0

xk

k!.

Lösning: Här är

ak+1

ak=

x(k+1)

(k + 1)!· k!xk

=x

k + 1→ 0 då k → ∞.

Serien är följaktligen konvergent för alla positiva x. (Speciellt måste termernagå mot noll, varför vi på ett bekvämt sätt visat att limk→∞ xk/k! = 0.)

Vi vill slutligen erinra om att man ibland kan avgöra konvergens av en positivserie genom att i stället undersöka en generaliserad integral. Vi har nämligen:Om funktionen f(x) är kontinuerlig, positiv och avtagande då x ≥ N så ärserien

∑∞k=1 f(k) konvergent då och endast då den generaliserade integralen∫∞

Nf(x) dx är konvergent. (Cauchys integralkriterium.)

Detta bevisas genom att man uppskattar seriens delsummor med integraler.(Jfr exempel 1.5.)


Olika summationsordning

Vid addition av reella tal är följande räknelagar fundamentala:

a1 + a2 = a2 + a1, (a1 + a2) + a3 = a1 + (a2 + a3).

De innebär bland annat att man i uttryck som

((a1 + (a2 + a3)) + a4)

kan ta bort parenteserna och byta ordning mellan termerna utan risk för attbetydelsen förändras. För varje ändlig mängd F av index är alltså summan

∑

k∈Fak =

∑

F

ak

väldefinierad utan att man behöver ange i vilken ordning summationen skaske.Då man i stället för ändliga summor betraktar serier, för vilka indexmängdenhar oändligt många element, kommer en gränsprocess in i bilden, och det ärinte längre uppenbart att ordningsföljden av termerna är betydelselös. Somvi skall se längre fram är så inte heller alltid fallet då både positiva ochnegativa termer förekommer. Vår definition av konvergens bygger på att vibildar summan av termerna med index 1, 2, . . . , n och därefter låter n gåmot ∞. En annan tänkbar regel vore att först ta två termer med udda index,därefter en med jämnt index, sedan ånyo två med udda index, en med jämntindex, osv.Vi formaliserar beskrivningen av en godtycklig summationsordning genomatt införa en svit (Fn)

∞1 av delmängder till indexmängden I = 1, 2, . . .

med följande egenskaper:

1. Fn är en ändlig mängd för varje n,

2. Fn ⊂ Fn+1 för varje n,

3. ∪∞n=1Fn = I.

En sådan svit av delmängder kallar vi uttömmande för I. Genom att bildasumman

s(Fn) =∑

k∈Fn

ak


och låta n → ∞ beskriver vi ett sätt att summera serien∞∑k=1

ak. Hittills har

vi valt Fn = 1, 2, . . . , n (och ibland har vi inkluderat 0). Vid den ovanantydda alternativa summationsordningen är F1 = 1, 3, F2 = 1, 3, 2,F3 = 1, 3, 2, 5, 7, F4 = 1, 3, 2, 5, 7, 4 osv. Eftersom delsummorna s(Fn)bildar en växande följd är det klart att gränsvärdet limn→∞ s(Fn) existerar(möjligtvis lika med +∞).Vi skall nu visa att för positiva serier är summationsordningen betydelselös.

Sats 1.13. För en positiv serie är

∞∑

k=1

ak = limn→∞

s(Fn) (1.4)

för varje uttömmande svit (Fn)∞1 av I = 1, 2, 3, . . ..

Bevis: Sätt s =∞∑1

ak = limm→∞∑m

1 ak och beteckna gränsvärdet till höger

i (1.4) med s′. Håll först m fixt. Om n är tillräckligt stort innehåller Fn allatalen 1, 2, . . . , m så att

sm =

m∑

k=1

ak ≤∑

k∈Fn

ak = s(Fn) ≤ s′.

Det gäller alltså att sm ≤ s′ för varje m. Härav får vi genom att låta m→ ∞att s ≤ s′. Omvänt, om vi håller n fixt och låter m vara det största talet imängden Fn så är

s(Fn) ≤ sm ≤ s ,

vilket ger att s(Fn) ≤ s.Då n→ ∞ får vi s′ ≤ s, och satsen är visad.

Godtyckliga indexmängder

Hittills har vi använt positiva heltal (ibland även 0) som index. Det förekom-mer emellertid även storheter som lämpligen indiceras på annat sätt. Ettenkelt exempel är om man också vill tillåta negativa heltal som index. Manfår då serier som skrives

∞∑

k=−∞ak eller

∑

k∈Zak .


Elementen i en matris (ajk) beskrivs enklast med två index som båda är(oftast positiva) heltal. Vi kan uppfatta detta som ett index som är ett parav heltal. Indexmängden är då en mängd av talpar.Det finns andra situationer då talpar utgör en naturlig indexmängd. Om man

formellt multiplicerar två serier∞∑j=1

bj och∞∑k=1

ck får man serien

∞∑

j,k=1

bjck . (1.5)

(Jämför med räkningen

(b1 + b2)(c1 + c2) = b1(c1 + c2) + b2(c1 + c2)

= b1c1 + b1c2 + b2c1 + b2c2 =

2∑

j,k=1

bjck .)

Termerna i serien (1.5) kan också uppfattas som indicerade med par (j, k) avheltal.Vi skall nu utsträcka begreppet konvergens till (positiva) serier med en god-tycklig uppräknelig mängd I av index. (Vi påminner om att en mängd Ikallas uppräknelig om det går att numrera alla elementen i I med hjälp avnaturliga tal, eller, annorlunda uttryckt, om det finns en regel som till varjenaturligt tal n ordnar ett element xn ∈ I på ett sådant sätt att varje elementx ∈ I är bilden av något n ∈ N. Den tyske matematikern Georg Cantorvisade 1874 att mängden av de reella talen inte är uppräknelig.)Sats 1.13 antyder hur man kan definiera summan av en sådan serie på ettsätt som överensstämmer med den gamla definitionen då indexmängden ärde positiva heltalen. Vi kallar fortfarande en svit (Fn)

∞1 av delmängder till I

för uttömmande om den uppfyller villkoren 1)– 3) ovan.

Definition. Om I är en uppräknelig indexmängd och ai ≥ 0 då i ∈ I sådefinierar vi summan av serien

∑I

ai som

∑

I

ai = limn→∞

∑

i∈Fn

ai ,

där (Fn)∞1 är en uttömmande svit för I.


Som i beviset för sats 1.13 visar man att summan är oberoende av sviten(Fn)

∞1 . I själva verket kan man undvara kravet att mängderna Fn är ändliga.

Detta visar vi i följande lemma.

Lemma 1.14. Låt I vara en uppräknelig indexmängd och ai ≥ 0, i ∈ I.Antag att (Gj)

∞1 är en svit av delmängder av I sådan att Gj ⊂ Gj+1 för alla

j och ∪∞j=1Gj = I. Då är

∑

i∈Iai = lim

j→∞

∑

i∈Gj

ai .

Bevis: Låt (Fn)∞1 vara en svit som är uttömmande för I. (Speciellt är mäng-

derna Fn ändliga.) Om n är fixt och j är tillräckligt stort är Fn ⊂ Gj ⊂ I.Då är ∑

Fn

ai ≤∑

Gj

ai ≤∑

I

ai .

Eftersom den vänstra summan går mot∑

I ai då n → ∞ är lemmat visat.

Ibland har man anledning att dela upp indexmängden i två (eller flera) delar.Följande lemma visar att detta inte påverkar summan.

Lemma 1.15. Antag att I = I1 ∪ I2, där I1 ∩ I2 = ∅. Om ai ≥ 0, i ∈ I,gäller ∑

I

ai =∑

I1

ai +∑

I2

ai .

Bevis: Låt (Fn)∞1 vara en uttömmande svit för I. Då är sviterna (Fn ∩ I1)∞1

och (Fn ∩ I2)∞1 utömmande för I1 respektive I2. Vidare är uppenbarligen∑

Fn

ai =∑

Fn∩I1

ai +∑

Fn∩I2

ai

för varje fixt n, så påståendet följer om vi låter n→ ∞.

Exempel 1.16. Då indexmängden är de positiva heltalen kan lemma 1.15användas för dela upp i udda och jämna index. Således följer av lemmat att

∞∑

k=1

1

k2=

∞∑

k=1k udda

1

k2+

∞∑

k=1k jämnt

1

k2=

∞∑

p=1

1

(2p− 1)2+

∞∑

p=1

1

(2p)2.


Eftersom ∞∑

p=1

1

(2p)2=

1

4

∞∑

p=1

1

p2=

1

4

∞∑

k=1

1

k2

följer av detta att∞∑

k=1k udda

1

k2=

3

4

∞∑

k=1

1

k2.

Lemma 1.15 kan naturligtvis direkt generaliseras till det fall då indexmäng-den I är en union av ändligt många parvis disjunkta mängder. Att det tilloch med gäller för uppräkneligt många mängder visas i följande sats.

Sats 1.17. Antag att I = ∪∞j=1Ij, där Ij∩Ik = ∅ då j 6= k. Om ai ≥ 0, i ∈ I,

gäller

∑

I

ai =

∞∑

j=1

∑

Ij

ai

.

Bevis: Vi vet redan att satsen gäller för ändligt många mängder Ij . Sättervi Gn = ∪n

j=1Ij har vi alltså

∑

Gn

ai =

n∑

j=1

∑

Ij

ai

.

Mängderna Gn uppfyller förutsättningarna i sats 1.13, och satsen följer nuom vi låter n→ ∞.

Exempel 1.18. Antag att vi har en ”oändlig matris” (ajk)∞j,k=0, med ickene-

gativa element. Indexmängden N×N kan skrivas som unionen av mängdernaj × N, j = 0, 1, 2, . . . , och sats 1.17 ger att

∑

N×N

ajk =∞∑

j=0

( ∞∑

k=0

ajk

).

Här beräknas i högerledet summan av alla radsummor i matrisen.På motsvarande sätt får vi att summan av alla matriselementen är lika medsumman av kolonnsummorna. Alltså är

∞∑

j=0

( ∞∑

k=0

ajk

)=

∞∑

k=0

( ∞∑

j=0

ajk

). (1.6)


Radvis och kolonnvis summation i schemat ger sålunda samma resultat. (Ob-servera att detta inte behöver vara sant om matriselementen tillåts ha god-tyckliga tecken, se exempel 1.19 nedan.)I specialfallet då ajk = bjck, där bj ≥ 0, ck ≥ 0, följer att

∞∑

j,k=0

bjck =

( ∞∑

j=0

bj

)·( ∞∑

k=0

ck

).

(Eventuellt förekommande 0 · ∞ skall här tolkas som 0.)

Exempel 1.19. Låt ajk ges av ajk = 1 då j = k, ajk = −1 då j = k+1 samtajk = 0 annars. Då blir alla kolonnsummor

∑∞j=0 ajk lika med noll, eftersom

en av termerna är +1, en −1, och de övriga noll. På samma sätt inses attradsumman

∑∞k=0 ajk är noll om j > 0. Däremot gäller

∞∑

k=0

a0k = 1 ,

eftersom den första termen är ett och de övriga noll.Detta visar att likheten (1.6) inte behöver gälla om vi släpper på kravetajk ≥ 0.

1.3 Absolutkonvergenta serier

Absolutkonvergens

Definition. Serien∑∞

1 uk kallas absolutkonvergent om serien

∞∑

k=1

|uk| (1.7)

är konvergent.

Eftersom serien (1.7) är positiv, kan absolutkonvergens undersökas med hjälpav jämförelsesatserna i avsnitt 1.2. Till exempel är serien

∑∞1

(−1)k

k2+1absolut-

konvergent.

Sats 1.20. Varje absolutkonvergent serie är konvergent.

1.3. Absolutkonvergenta serier 19

Vi kommer att se i avsnitt 1.4 att det finns serier som är konvergenta utanatt vara absolutkonvergenta. Sådana serier kallas betingat konvergenta.

Bevis: Vi konstaterar först att det räcker att visa satsen i fallet då allatermerna är reella. Ty, som påpekades i början av avsnitt 1.1, så är serien

konvergent om och endast om de reella serierna∞∑1

Reuk och∞∑1

Im uk är

konvergenta. Nu gäller emellertid

|Reuk| ≤√

(Reuk)2 + (Im uk)2 = |uk| ,

så det följer av jämförelsesatsen 1.6 att∑∞

k=1 Reuk är absolutkonvergent. Påsamma sätt ses att

∑∞k=1 Im uk är absolutkonvergent.

Antag alltså att alla uk är reella, och sätt för k = 1, 2, . . .

u+k =

uk om uk > 00 om uk ≤ 0 ,

u−k =

0 om uk > 0−uk om uk ≤ 0 .

Detta kan kortfattat skrivas u+k = max(uk, 0) respektive u−k = max(−uk, 0) .Talen u+k och u−k är positiva och

|uk| = u+k + u−k (1.8)

uk = u+k − u−k . (1.9)

Om serien (1.7) är konvergent följer av (1.8) att de positiva serierna∞∑1

u+k och∞∑1

u−k är konvergenta. Av (1.9) får vi då att serien∞∑1

uk själv är konvergent.

Olika summationsordning

Sats 1.21. Låt (Fn)∞1 vara en uttömmande svit i indexmängden 1, 2, 3, . . ..

Om serien∞∑1

uk är absolutkonvergent gäller

∞∑

k=1

uk = limn→∞

∑

k∈Fn

uk.


Bevis: Av (1.9) och definitionen av summan av en konvergent serie följer att∞∑

k=1

uk =∞∑

k=1

u+k −∞∑

k=1

u−k .

Satsen följer därför av att den är sann för positiva serier (sats 1.13).

Summan av en absolutkonvergent serie är enligt denna sats oberoende avsummationsordningen. Som vi kommer att se gäller detta inte för betingatkonvergenta serier.

Godtyckliga indexmängder

Sats 1.21 gör det naturligt att betrakta absolutkonvergenta serier med god-tycklig indexmängd I. Om ∑

i∈I|ui| <∞

inför vi u+i och u−i som innan. Då är de positiva serierna∑

I u+i och

∑I u

−i

konvergenta och vi definierar∑

I

ui =∑

I

u+i −∑

I

u−i .

Vi kan nu utvidga sats 1.17 till absolutkonvergenta serier.

Sats 1.22. Antag att I = ∪∞j=1Ij, där Ij∩Ik = ∅ då j 6= k. Om serien

∑I |ui|

är konvergent så gäller

∑

i∈Iui =

∞∑

j=1

∑

i∈Ij

ui

.

Bevis: Med ui = u+i − u−i , som ovan, gäller

∞∑

j=1

∑

i∈Ij

ui

=

∞∑

j=1

∑

i∈Ij

u+i −∑

i∈Ij

u−i

=∞∑

j=1

∑

i∈Ij

u+i

−

∞∑

j=1

∑

i∈Ij

u−i

=∑

i∈Iu+i −

∑

i∈Iu−i =

∑

i∈Iui .

1.3. Absolutkonvergenta serier 21

Den första och sista likheten är definitionen ovan. Den andra likheten ärtrivial (eftersom alla serierna är konvergenta) och den tredje utnyttjar att viredan känner satsen för positiva serier.

Exempel 1.23. Betrakta dubbelserien∞∑

j,k=1

ajk där

ajk =1

k + 1

(k

k + 1

)j

− 1

k

(k − 1

k

)j

.

Vi beräknar först∞∑k=1

ajk för fixt j. I de ändliga delsummorna tar de flesta

termerna ut varandra (teleskopsumma), så att

n∑

k=1

ajk =1

n + 1

(n

n+ 1

)j

→ 0 då n→ ∞.

Det gäller alltså∞∑k=1

ajk = 0 för alla j så att

∞∑

j=1

( ∞∑

k=1

ajk

)= 0.

Betrakta nu serien∞∑j=1

ajk för fixt k. Vi får två konvergenta geometriska serier

så att∞∑

j=1

ajk =k

k + 1− k − 1

k.

Detta ger upphov till en ny teleskopsumma:

∞∑

k=1

( ∞∑

j=1

ajk

)= lim

n→∞

n∑

k=1

(k

k + 1− k − 1

k

)= lim

n→∞

n

n+ 1= 1.

De olika sätten att summera dubbelserien ger som synes olika resultat. Serienär alltså ej absolutkonvergent. (Speciellt kan inte alla talen ajk ha sammatecken.)


Anmärkning och Varning. Beträffande den sist beräknade summan kandet vara på sin plats att varna för följande vårdslösa sätt att räkna.

∞∑

k=1

(k

k + 1− k − 1

k

)??=

∞∑

k=1

k

k + 1−

∞∑

k=1

k − 1

k=

∞∑

k=1

k

k + 1−

∞∑

i=0

i

i+ 1

??=

∞∑

k=1

k

k + 1−

∞∑

i=1

i

i+ 1= 0 .

Felet har uppstått redan vid det första likhetstecknet; det är endast kon-vergenta serier som får adderas och subtraheras termvis på detta sätt. (Densista likheten är också fel, emedan ∞−∞ inte blir noll.)

Exempel 1.24. I serien∞∑

n=−∞x|n| är indexmängden alla heltal. Skriv denna

mängd som unionen av n ∈ Z;n ≥ 0 och n ∈ Z;n < 0. Med användningav satsen får vi två geometriska serier. För |x| < 1 är alltså

∞∑

n=−∞x|n| =

∑

n≥0

xn +∑

n<0

x−n =1

1− x+

x

1− x=

1 + x

1− x.

Exempel 1.25. Den geometriska serien∞∑0

xk konvergent om |x| < 1, med

summan 1/(1 − x). Då 0 ≤ x < 1 är termerna icke-negativa, och den sistaformeln i exempel 1.18 ger att

1

(1− x)2=

( ∞∑

k=0

xk

)2

=

∞∑

j,k=0

xj+k =∑

N×N

xj+k . (1.10)

Speciellt betyder detta att

∑

N×N

|x|j+k =1

(1− |x|)2 , |x| < 1.

Följaktligen är den sista serien i (1.10) absolutkonvergent. Genom att reso-nera på samma sätt som i exempel 1.18, men med användning av sats 1.22i stället för sats 1.17, kan vi nu dra slutsatsen att (1.10) gäller för allatal x sådana att |x| < 1. Indexmängden N × N kan skrivas ∪∞

p=0Ip där

1.4. Betingat konvergenta serier 23

Ip = (j, k) ∈ N × N; j + k = p. (Rita en figur!) Ytterligare en använd-ning av sats 1.22 ger

∑

N×N

xj+k =∞∑

p=0

∑

Ip

xj+k

=

∞∑

p=0

xp

∑

Ip

1

=

∞∑

p=0

(p+ 1)xp, |x| < 1,

där den sista likheten är en följd av att Ip innehåller p + 1 element. Vi hardärmed visat att

∞∑

p=0

(p+ 1)xp = (1− x)−2, |x| < 1 .

1.4 Betingat konvergenta serier

Alternerande serier

En serie där varannan term är positiv och varannan är negativ kallas alter-nerande. En sådan serie kan skrivas som plus eller minus

∞∑

k=0

(−1)kak ,

där ak ≥ 0. Serien är absolutkonvergent om∞∑0

ak är konvergent. Oavsett om

detta kan verifieras eller inte så kan man ofta använda följande sats för attvisa att en alternerande serie är konvergent.

Sats 1.26. (Leibniz (1646–1716)) Antag att termerna i den alternerande

serien∞∑0

(−1)kak uppfyller villkoren

1. ak → 0 då k → ∞,

2. följden (ak)∞1 är positiv och avtagande.

Då är serien konvergent.

Bevis: Betrakta först delsummor med jämnt index 2m. Vi har att

s2m = (a0 − a1) + (a2 − a3) + · · ·+ (a2m−2 − a2m−1) + a2m, (1.11)


där vi satt ut parenteser för att klargöra det fortsatta resonemanget. Förut-sättningen att följden (ak)

∞1 är positiv och avtagande visar att alla paren-

teserna är positiva, liksom den sista termen a2m. Alltså är s2m ≥ 0. Vidareär

s2m = s2m−2 − a2m−1 + a2m ≤ s2m−2.

Följden (s2m)∞0 är alltså avtagande och nedåt begränsad, vilket medför att

den har ett gränsvärde s. För en delsumma med udda index 2m + 1 har vinu

s2m+1 = s2m − a2m+1 → s− 0 = s, då m→ ∞ ,

där vi använt det första villkoret i förutsättningen. Det följer att sn → s dån→ ∞, dvs serien är konvergent.

Exempel 1.27. Serien∞∑1

(−1)j−1 1j

uppfyller, som man lätt ser, förutsätt-

ningarna i Leibniz’ sats (med ak = 1/(k+1)). Följaktligen är den konvergent.Att den inte är absolutkonvergent vet vi redan.

I anslutning till beviset för sats 1.26 gör vi några observationer. Samma me-tod som i (1.11) (att sätta in parenteser) visar att (s2m−1)

∞m=1 är en växande

följd. Alltså har vi

s2m−1 ≤ s2m+1 ≤ s ≤ s2m ≤ s2m−2

för alla m. Speciellt gäller

0 ≤ s− s2m−1 ≤ s2m − s2m−1 = a2m

0 ≤ s2m − s ≤ s2m − s2m+1 = a2m+1.

Dessa olikheter kan sammanfattas till |s − sn| ≤ an+1 och visar att för enalternerande serie är felet då dess summa ersätts med den n:te delsummanmindre än beloppet av den första utelämnade termen.Ibland förekommer missuppfattningen att denna regel skulle gälla generelltför alla serier. Så är inte fallet. Detta illustreras till exempel av den geomet-

riska serien∞∑0

( 99100

)k. Här är

s− sn =∞∑

k=n+1

(99

100)k = (

99

100)n+1 · 100 ,

som är 100 gånger större än den första utelämnade termen.

1.4. Betingat konvergenta serier 25

Riemanns omordningssats

Vi skall nu med ett exempel visa att för betingat konvergenta serier kan se-riens summa vara beroende av summationsordningen. Sats 1.29 nedan visaratt man kan få vilken summa som helst om man väljer summationsordning-en lämpligt. Detta betyder att summan av en betingat konvergent serie ärbetingad av summationsordningen, vilket motiverar namnet betingad konver-gens.

Exempel 1.28. Betrakta den betingat konvergenta serien∞∑

k=1

(−1)k−1 1

k= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ . . . .

Beteckna dess n:te delsumma med sn och dess summa med s. Vi summerar nudenna serie enligt regeln en positiv term, två negativa termer, en positiv, tvånegativa etc. Om vi kallar den n:te delsumman vid denna summationsordningför s′n är

s′3p = (1− 1

2− 1

4) + (

1

3− 1

6− 1

8) + · · ·+ (

1

2p− 1− 1

2(2p− 1)− 1

4p) ,

en summa med p positiva termer och 2p negativa termer. För att förtydligade fortsatta räkningarna har vi satt ut parenteser. Slår vi ihop de två förstatermerna i varje parentes får vi

s′3p = (1

2− 1

4) + (

1

6− 1

8) + · · ·+ (

1

2(2p− 1)− 1

4p)

=1

2(1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ 1

2p− 1− 1

2p) =

1

2s2p .

Det följer att s′3p → 12s då p → ∞. Eftersom termerna i serien går mot noll

får vi av detta att s′n → 12s då n → ∞. Med denna summationsordning är

alltså seriens summa 12s.

För en betingat konvergent serie∞∑1

uk kan man i själva verket genom om-

ordning ändra summan till vilket värde som helst. För att inse detta delar viupp serien i positiva och negativa termer som i (1.8) och (1.9). Då är

u+k =1

2(|uk|+ uk)

u−k =1

2(|uk| − uk) .


Om∞∑1

|uk| är divergent och∞∑1

uk är konvergent är följaktligen de positiva

serierna∞∑1

u+k och∞∑1

u−k båda divergenta. För deras delsummor s+n och s−n

gäller alltså att

s+n → ∞, s−n → ∞, då n→ ∞. (1.12)

Antag att vi vill åstadkomma en omordning av serien så att den får sum-man σ. Vi ska då beskriva en uttömmande svit, (Fn)

∞1 , av indexmängder

sådan att s(Fn) =∑i∈Fn

ui → σ då n → ∞. Vi gör detta genom att ange

en uppräkning av termerna uk och låta Fn bestå av index för de första ntermerna i denna uppräkning.Välj först positiva termer (i ordning av växande index k) till dess att derassumma första gången överstiger σ. Tag därefter negativa termer tills denackumulerade summan blir mindre än σ. Välj därefter ånyo positiva termertills dess att summan överstiger σ, sedan negativa termer, osv. Att det gåratt välja termer på detta sätt följer av (1.12). Den på detta sätt omordnadeserien konvergerar mot σ, eftersom uk → 0 då k → ∞, jfr figur 1.1.

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Figur 1.1: Delsummorna vid summering mot summan 7,777

Vi kan också åstadkomma en omordnad serie som divergerar mot ∞. Dåväljer vi först positiva termer tills dess summan överstiger 1, sedan en negativterm, därefter positiva termer tills summan överstiger 2, åter en negativ term,positiva termer tills summan överstiger 3, osv. Detta är möjligt på grund av

1.5. Likformig konvergens 27

(1.12), och det är klart att delsummorna till den på detta sätt omordnadeserien går mot ∞.På motsvarande sätt kan vi omordna serien på så sätt att den divergerar till−∞.Det ovanstående är en del av innehållet i följande sats, som vi inte bevisar.

Sats 1.29. (Riemanns omordningssats) Antag att serien∞∑k=1

uk (med

reella termer) är betingat konvergent och låt a och b vara reella tal sådanaatt −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. Då finns en omordning (uσk

)∞k=1 av termerna så att

lim infN→∞

N∑

k=1

uσk= a och lim sup

N→∞

N∑

k=1

uσk= b .

Anmärkning. Den som tycker att resonemanget ovan är för abstrakt kanfundera på följande recept för hur man kan ”balansera” sin hushållsekonomi.Inkomster och räkningar behandlas som följer: Alla inkomster accepterasomedelbart. En inkommande räkning betalas omedelbart om det återståendekapitalet då räkningen är betald är minst 250 000 kronor, annars ber manen bank att låna en pengar till nästa månad; då krav på återbetalning ochränta anländer behandlas de som övriga räkningar.Om man lyckas hitta en bank som ställer upp på dessa villkor har manganska snart ett sparkapital på 250 000 kronor. På liknande sätt skjuter mani resonemanget ovan upp skulderna (dvs de negativa termerna) tills man kanta med dem utan att summan blir allt för liten.

1.5 Likformig konvergens

Inledning

En serie i vilken termerna är funktioner av en eller flera variabler kallas enfunktionsserie. I allmänhet beror svaret på frågan om serien konvergerar ellerej, liksom i förekommande fall seriens summa, på vilket värde vi ger variabelneller vilka värden vi ger variablerna.

Exempel 1.30. Den geometriska serien∞∑1

xk konvergerar om |x| < 1, med

summan (1− x)−1. Annars divergerar den. Jfr exempel 1.1 på sidan 4.


Derivatan av summan av två deriverbara funktioner är summan av de tvåfunktionernas derivator. Genom att upprepa denna observation ser man lätt

att om sn(x) =n∑1

fk(x) är summan av n deriverbara funktioner så är sn

deriverbar och

s′n(x) =n∑

k=1

f ′k(x).

Det verkar nu naturligt att gissa att om s(x) =∞∑1

fk(x) är en konvergent

serie med deriverbara termer så borde s vara deriverbar med derivata given

av funktionsserien∞∑1

f ′k som fås genom att derivera termerna i s. Tyvärr är

detta förmodande felaktigt som illustreras av följande motexempel. (Det kantill och med inträffa att seriens summa är en diskontinuerlig funktion.)Betrakta identiteten

x =

∞∑

k=1

x3(1 + x2)−k , x ∈ R . (1.13)

Denna är trivial då x = 0 och då x 6= 0 är högra ledet en konvergent geo-metrisk serie. (Kontrollera själv.) Deriverar vi termvis får vi

1 =

∞∑

k=1

(3x2(1 + x2)−k − 2kx4(1 + x2)−k−1) ,

och sätter vi nu x = 0 får vi 1 = 0 !Betrakta nu i stället serien

∞∑1

x2(1+ x2)−k , som, för ögat, endast obetydligt

skiljer sig från den i (1.13); endast ett siffra har ändrats. För x = 0 har seriensumman 0, och då x 6= 0 är den en konvergent geometrisk serie med summan

x2

1 + x2· 1

1− 11+x2

= 1 .

Seriens summa är inte ens kontinuerlig i x = 0 ! I det här avsnittet skall viformulera villkor på funktionsserier som garanterar att sådana här fenomeninte inträffar. För att få en smidigare framställning börjar vi med att betrakta

funktionsföljder i stället för serier. (Till en funktionsserie∞∑1

fk(x) kan vi alltid

associera en funktionsföljd (sn)∞n=1 med sn(x) =

n∑k=1

fk(x).)


Likformig konvergens av funktionsföljder

Definition. Funktionsföljden (fn)∞1 säges konvergera punktvis mot funktio-

nen f på en mängd E om

fn(x) → f(x) då n→ ∞ för varje x ∈ E.

Exempel 1.31. Funktionsföljden (fn)∞1 definieras av

fn(x) =1

1 + nx2, x ∈ R , n = 1, 2, 3, . . . .

Figur 1.2 visar de tre första funktionerna f1, f2, f3 samt f6. Om x = 0 har vifn(x) = 1 → 1 då n → ∞, medan om x 6= 0 så gäller fn(x) → 0 då n → ∞.Följden konvergerar alltså punktvis mot funktionen

f(x) =

0 då x 6= 01 då x = 0

.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1 0 1 2x

Figur 1.2:

Punktvis konvergens kan förefalla vara ett naturligt begrepp. Exempel 1.31visar emellertid att det punktvisa gränsvärdet av en följd av kontinuerligafunktioner kan vara en diskontinuerlig funktion. Vi skall nu införa ett star-kare konvergensbegrepp som utesluter denna möjlighet. För att formuleradefinitionen är det praktiskt att ha beteckningen

||f ||E = supx∈E

|f(x)| ,


1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5x

Figur 1.3: Funktionen g:s graf håller sig mellan graferna för f − ε och f + ε.

där f är en funktion definierad på E. När det är uppenbart från samman-hanget vilken mängd E som avses skriver vi bara ||f || (utläses normen av f)eller ||f ||∞ (supremumnormen av f) .

Definition. Låt f och fn, n = 1, 2, 3, . . . , vara funktioner definierade på enmängd E. Funktionsföljden (fn)

∞1 säges konvergera likformigt mot f på E

om||fn − f ||E → 0, då n→ ∞ .

Olikheten|fn(x)− f(x)| ≤ ||fn − f ||E, för alla x ∈ E,

visar att om fn konvergerar likformigt mot f så konvergerar fn punktvis motf . Omvändningen gäller inte. Detta illustreras av exempel 1.32 nedan.Vi har också att

||fn − f ||E ≤ ε ⇐⇒ |fn(x)− f(x)| ≤ ε för alla x ∈ E.

Att fn konvergerar likformigt mot f betyder alltså att för varje ε > 0 liggerkurvan y = fn(x) i bandet mellan graferna för f − ε och f + ε, bara n ärtillräckligt stort, jämför figur 1.3.

Exempel 1.32. Sätt

fn(x) =n

1 + (x− n)2, x ∈ R .


För fixt x går fn(x) (punktvis) mot 0 då n → ∞, så att gränsfunktionen ärf(x) = 0 . Vi har att

||fn − f || = supR

fn(x) = fn(n) = n .

Konvergensen är inte likformig eftersom ||fn−f || 6→ 0 då n→ ∞ . Betraktarvi däremot dessa funktioner på ett godtyckligt uppåt begränsat intervallEa : x ≤ a så är konvergensen likformig på detta. Om n ≥ a är nämligen fn(positiv och) växande på Ea så att

||fn − f ||Ea = fn(a) =n

1 + (a− n)2→ 0 då n→ ∞ .

0

1

2

3

4

5

6

7

2 4 6 8 10x

Figur 1.4: Funktionerna f1, f2, f3 och f7.

Notera att den likformiga konvergensen beror på vilket intervall som betrak-tas.

Exempel 1.33. Bestäm gränsfunktionen till

fn(x) =nx+ n2x3

1 + n2x2, x ≥ 0, n = 1, 2, 3, . . . ,

och undersök om konvergensen är likformig.


Lösning: Det är klart att

fn(x) = x · n+ n2x2

1 + n2x2→ x , då n→ ∞ .

För att avgöra om konvergensen är likformig behöver vi undersöka huruvida||gn||E → 0 då n→ ∞, där

gn(x) = fn(x) − f(x) =nx+ n2x3

1 + n2x2− x =

(n− 1)x

1 + n2x2,

och E = x ∈ R : x ≥ 0. Det är lätt att se att gn är kontinuerlig och uppfyl-ler gn(x) → 0 då x → ∞. Alltså antas supx∈E |gn(x)|, och eftersom gn(0) = 0måste det ske i en inre punkt där gn(x) har maximum eller minimum, dvs ien stationär punkt (där derivatan är noll).Derivatan är

D(n− 1)x

1 + n2x2=

(n− 1)(1− n2x2)

(1 + n2x2)2,

som är noll precis då x = 1n. Ett teckenstudium visar att det är frågan om

ett maximum. Eftersom differensen fn(x)− f(x) ≥ 0 då x ≥ 0 får vi

||fn − f ||E = supx∈E

(fn(x)− f(x)) = fn(1

n)− f(

1

n) =

1

2

n− 1

n→ 1

2,

då n→ ∞ .Konvergensen är alltså inte likformig.

Omkastning av gränsprocesser

Uttalandet att gränsfunktionen f till följden (fn)∞1 (av kontinuerliga funk-

tioner) är kontinuerlig i en punkt a innebär att limx→a f(x) = f(a), dvsatt

limx→a

( limn→∞

fn(x)) = limn→∞

(limx→a

fn(x)) .

Vi ser att det handlar om att byta ordning mellan två gränsövergångar.Att detta inte är allmänt tillåtet framgår av exempel 1.31 ovan. Vi skallstrax se att det går bra då följden är likformigt konvergent. På liknande sättkan vi formulera påståendena att integralen och derivatan av gränsfunktio-nen är gränsvärdena av följden av integralerna

∫Efn(x) dx respektive följden


(f ′n(x))

∞1 som följande omkastningar av gränsprocesser:

∫

E

limn→∞

fn(x) dx = limn→∞

∫

E

fn(x) dx

D( limn→∞

fn(x)) = limn→∞

(Dfn)(x) .

(Att derivation Df(a) = limx→af(x)−f(a)

x−aär en gränsprocess är uppenbart,

och integralen∫Ef(x) dx kan uppfattas som ett gränsvärde av Riemannsum-

mor.)

Sats 1.34. Låt (fn)∞1 vara en följd av kontinuerliga funktioner på intervallet

E. Om följden konvergerar likformigt mot f på E är också gränsfunktionenf kontinuerlig på E.

Bevis: Låt a ∈ E. Vi ska visa att det till ett givet ε > 0 finns ett δ > 0sådant att

|f(x)− f(a)| < ε om |x− a| < δ, x ∈ E. (1.14)

Enligt triangelolikheten är

|f(x)− f(a)| = |(f(x)− fn(x)) + (fn(x)− fn(a)) + (fn(a)− f(a))|≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(a)|+ |fn(a)− f(a)|≤ ||f − fn||+ |fn(x)− fn(a)|+ ||fn − f || .

På grund av den likformiga konvergensen kan vi välja n så att ||f−fn|| < ε/3.För detta val av n finns, eftersom fn är kontinuerlig, ett tal δ > 0 sådant att

|fn(x)− fn(a)| < ε/3 om |x− a| < δ, x ∈ E .

För detta δ gäller (1.14).

Satsen visar att konvergensen i exempel 1.31 ovan inte kan vara likformig.(Detta kan man naturligtvis också se direkt från definitionen.) Exempel 1.33visar att omvändningen av satsen är falsk. Där är gränsfunktionen kontinu-erlig trots att konvergensen inte är likformig.Praktiskt taget direkt ur definitionen får vi följande sats om gränsövergångunder integraltecken. Med hjälp av den, och analysens huvudsats, kan visedan visa sats 1.36, om gränsövergång och derivation.


Sats 1.35. Antag att (fn)∞1 är en följd av kontinuerliga funktioner på det

kompakta intervallet E, och att följden konvergerar likformigt mot f på E.Då gäller att ∫

E

fn(x) dx→∫

E

f(x) dx då n→ ∞ .

Bevis: Enligt sats 1.34 är f kontinuerlig, och därmed integrerbar på E. Vihar att∣∣∣∣∫

E

fn(x) dx−∫

E

f(x) dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

E

(fn(x)− f(x)) dx

∣∣∣∣

≤∫

E

|fn(x)− f(x)| dx ≤∫

E

||fn − f || dx = ||fn − f || · l(E) ,

där l(E) är längden av intervallet E. Satsen följer därför av definitionen avlikformig konvergens.

Anmärkning. För generaliserade integraler gäller satsen inte utan ytterli-gare villkor (se bilaga B).

Sats 1.36. Låt (fn)∞1 vara en följd av kontinuerligt deriverbara funktioner på

intervallet E. Antag att följden konvergerar punktvis mot funktionen f ochatt den deriverade följden (f ′

n)∞1 konvergerar likformigt mot funktionen g på

E. Då är f kontinuerligt deriverbar på E och f ′ = g.

Anmärkning.Observera att det (bara) är för den deriverade följden som vi fordrar likformigkonvergens.

Bevis: Låt a vara en punkt i E. Vi har att∫ x

a

f ′n(t) dt = fn(x)− fn(a) , x ∈ E ,

för n = 1, 2, . . . . Låter vi nu n→ ∞ (varvid vi använder föregående sats föratt göra gränsövergången under integraltecknet i vänsterledet) så får vi

∫ x

a

g(t) dt = f(x)− f(a) , x ∈ E .

Eftersom g är kontinuerlig enligt sats 1.34 följer härav att funktionen f ärderiverbar i E med f ′(x) = g(x).


Anmärkning. I beviset används den likformiga konvergensen bara på inter-vallet [a, x]. Om man tänker efter innebär det att slutsatsen i satsen är sannäven under den försvagade förutsättningen För varje x ∈ E finns ett öppetintervall Ex ∋ x sådant att (f ′

n)∞1 konvergerar likformigt på Ex.

Vi kommer främst att tillämpa de ovanstående satserna på funktionsserier.Därför väntar vi med att ge exempel tills vi har formulerat om dem för serier.

Likformig konvergens av serier

Då vi har en funktionsserie∞∑

k=1

uk(x) , (1.15)

där termerna beror på x, kan den föregående diskussionen tillämpas på följ-den av delsummor (sn)

∞1 , där

sn(x) =n∑

k=1

uk(x) .

Serien säges alltså vara punktvis konvergent och likformigt konvergent på enmängd E om följden (sn)

∞1 av delsummor är punktvis konvergent respektive

likformigt konvergent på E. (Vi skall snart ge metoder för att undersöka omså är fallet.)

Exempel 1.37. För den geometriska serien∞∑0

xk, som ju konvergerar punkt-

vis då |x| < 1, är

s(x)− sn(x) =

∞∑

k=n+1

xk = xn+1 1

1− x.

I ett intervall Ed : |x| ≤ d, där d < 1, är

||s− sn||Ed≤ dn+1 · 1

1− d→ 0 då n→ ∞ .

Serien är alltså likformigt konvergent på varje sådant intervall Ed . För inter-vallet E : |x| < 1, är däremot ||sn − s||E = ∞, varför serien inte konvergerarlikformigt på E.


Följande motsvarigheter för serier till satserna 1.34, 1.35 och 1.36 bevisasdirekt ur dessa genom att man betraktar följden av delsummor.

Sats 1.38. Låt (uk)∞k=1 vara en följd av kontinuerliga funktioner på ett in-

tervall E. Om serien (1.15) konvergerar likformigt på E, så är dess summaen kontinuerlig funktion på E.

Sats 1.39. Låt (uk)∞k=1 vara en följd av kontinuerliga funktioner på det kom-

pakta intervallet E, sådan att serien (1.15) konvergerar likformigt på E. Dåär ∫

E

( ∞∑

k=1

uk(x)

)dx =

∞∑

k=1

∫

E

uk(x) dx .

Sats 1.40. Låt (uk)∞k=1 vara en följd av kontinuerligt deriverbara funktioner

på intervallet E. Antag att serien (1.15) konvergerar punktvis med summan

s(x) och att den deriverade serien∞∑1

u′k(x) konvergerar likformigt med sum-

man g(x). Då är s(x) kontinuerligt deriverbar på E och s′(x) = g(x).

Den sista satsen innebär att man får derivera en serie termvis om den deri-verade serien är likformigt konvergent.Som tidigare påpekats är det oftast svårt att beräkna delsummorna explicit,varför det ofta är omöjligt att direkt använda definitionen för att avgöra omen funktionsserie är likformigt konvergent.Följande sats (som kan betraktas som en jämförelsesats) kan emellertid oftaanvändas för att verifiera att en given serie är likformigt konvergent.

Sats 1.41. (Weierstrass’ majorantsats). Låt uk, k = 1, 2, . . . , vara funk-tioner definierade på intervallet E.Antag att det finns konstanter Mk, k = 1, 2, . . . , oberoende av x, sådana att

|uk(x)| ≤Mk då x ∈ E, k = 1, 2, . . . , och

∞∑

k=1

Mk <∞ .

Då är funktionsserien∞∑1

uk(x) likformigt konvergent på E.

Bevis: Enligt jämförelsesatsen är serien absolutkonvergent för varje x ∈ E.Beteckna dess summa med s(x) och dess n:te delsumma med sn(x). Då är

|s(x)− sn(x)| =∣∣∣∣∣

∞∑

k=n+1

uk(x)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=n+1

|uk(x)| ≤∞∑

k=n+1

Mk , x ∈ E .


Alltså är

||s− sn|| ≤∞∑

k=n+1

Mk ,

och eftersom∞∑1

Mk är konvergent får vi att ||sn−s|| → 0 då n→ ∞. Därmed

är den likformiga konvergensen bevisad.

Exempel 1.42. Serien∞∑

k=1

sin(k2x)

k2

är likformigt konvergent på hela reella axeln enligt Weierstrass’ majorantsats,ty ∣∣∣∣

sin (k2x)

k2

∣∣∣∣ ≤1

k2, x ∈ R ,

och∞∑1

k−2 är konvergent. Av sats 1.38 följer att seriens summa är en konti-

nuerlig funktion av x.

Exempel 1.43. Sätt

f(x) =

∞∑

k=0

2−k cos (k2x) , x ∈ R.

Denna funktion är kontinuerlig, eftersom konvergensen är likformig (vilketlätt kan verifieras med hjälp av Weierstrass’ majorantsats på samma sättsom i föregående exempel). Betrakta nu den deriverade serien

∞∑

k=0

−2−kk2 sin (k2x) .

För alla k och alla x är∣∣−2−kk2 sin (k2x)

∣∣ ≤ 2−kk2 .

Serien∞∑1

2−kk2 är konvergent enligt kvotkriteriet (sats 1.10), vilket visar att

den deriverade serien är likformigt konvergent (Weierstrass’ majorantsatsigen). Sats 1.40 ger att funktionen f är kontinuerligt deriverbar och att

f ′(x) = −∞∑

k=0

2−kk2 sin (k2x) , x ∈ R. (1.16)


Resonemanget kan upprepas; deriverar vi serien (1.16) termvis får vi serien

−∞∑

k=0

2−kk4 cos (k2x) . (1.17)

Förnyad användning av Weierstrass’ majorantsats visar att (1.17) är likfor-migt konvergent. Följaktligen är f ′ deriverbar med derivatan (1.17). Dettakan upprepas hur många gånger som helst. Funktionen f är alltså obegränsat(många gånger) deriverbar, och

f (n)(x) = ±∞∑

k=0

2−kk2n

sin (k2x)cos (k2x) ,

med sinustermer om n är udda och cosinustermer om n är jämnt.

Anmärkning. Sätter vi x = 0 i den sista formeln finner vi att f (n)(0) = 0

då n är udda, medan f (2p)(0) = ±∞∑k=0

2−kk4p. Termerna i den senare serien

är positiva, och behåller vi bara termen med k = 4p får vi uppskattningen

|f (2p)(0)| ≥ Cp ≡ 2−4p(4p)4p = (2p)4p ≥ (2p)2p · (2p)! .

Av detta följer att potenserien

∞∑

n=0

f (n)(0)

n!xn

divergerar då x 6= 0, ty olikheten ovan ger att absolutbeloppet av termenmed n = 2p uppfyller

∣∣∣∣f (2p)(0)

(2p)!xn∣∣∣∣ ≥ (2p)2p · |x|2p ,

där högerledet inte går mot noll då p→ ∞.Maclaurinserien för funktionen f divergerar alltså utanför trots att f är obe-gränsat deriverbar.

Kontinuitet och deriverbarhet hos en funktion är lokala egenskaper, dvs deberor bara på funktionens uppförande i en (liten) omgivning av varje enskildpunkt. Mer precist: en funktion är kontinuerlig i ett intervall om den är


kontinuerlig i varje punkt i intervallet och för att undersöka kontinuiteteni en punkt behöver vi bara känna funktionens uppförande i en omgivningav denna punkt. För att med hjälp av sats 1.38 verifiera att summan av enfunktionsserie är kontinuerlig räcker det alltså att veta att serien konvergerarlikformigt i en omgivning av varje punkt i intervallet. För ett öppet intervallföljer detta till exempel av att serien konvergerar likformigt i varje kompaktdelintervall.Som antyddes i anmärkningen efter beviset av sats 1.36 gäller motsvarandevid undersökning av deriverbarhet för en series summa. Betrakta till exempelserien (1.13) från inledningen till detta avsnitt. I mängden x; d ≤ |x| ≤ D ,där d > 0, är den deriverade serien

∞∑

k=1

(3x2(1 + x2)− 2kx4)(1 + x2)−k−1

likformigt konvergent enligt Weierstrass’ majorantsats, ty term nummer kkan uppskattas med Mk = (3D2(1 + D2) + 2kD4)(1 + d2)−k−1 och man serlätt (t ex medelst kvotkriteriet) att

∑∞k=1Mk är en konvergent serie. Detta

är tillräckligt för att få derivera (1.13) termvis då x 6= 0.Det är alltså sant att

1 =

∞∑

k=1

(3x2(1 + x2)− 2kx4)(1 + x2)−k−1 då x 6= 0

(men inte då x = 0).Vi ger några fler exempel i vilka ovanstående utnyttjas.

Exempel 1.44. Sätt

s(x) =

∞∑

k=1

xk + (1− x)k

k2, 0 ≤ x ≤ 1 .

Man ser lätt att serien är (likformigt) konvergent så att summan s(x) ärkontinuerlig, ty den k:te termen kan uppskattas med 2/k2. Betrakta denderiverade serien

∞∑

k=1

xk−1 − (1− x)k−1

k.


I varje intervall d ≤ x ≤ 1 − d, där 0 < d < 1/2, är denna likformigtkonvergent, ty där är

∣∣∣∣xk−1 − (1− x)k−1

k

∣∣∣∣ ≤ (1− d)k−1 + (1− d)k−1 = 2(1− d)k−1 ,

och∞∑1

2(1−d)k−1 är en konvergent geometrisk serie. Följaktligen är funktio-

nen s(x) deriverbar i det öppna intervallet (0, 1) , och

s′(x) =∞∑

k=1

xk−1 − (1− x)k−1

k, 0 < x < 1 .

Vi kan uttrycka högersidan med hjälp av potensserieutvecklingen för loga-ritmfunktionen

ln(1 + t) =∞∑

k=1

(−1)k+1tk

k, då |t| < 1 .

Användning av detta med t = −x respektive t = 1− x ger

s′(x) = −1

xln (1− x) +

1

1− xln x , 0 < x < 1 .

Detta kan betraktas som derivatan av en produkt, så att

s(x) = − ln (1− x) · ln x+ C ,

där C är en konstant. Eftersom

− ln (1− x) · ln x =ln (1− x)

−x · x ln x → 1 · 0 = 0 då x → 0 ,

och s(x) är kontinuerlig på 0 ≤ x ≤ 1, är

C = s(+0) = s(0) =

∞∑

k=1

1

k2,

där vi använt definitionen på följande sida.


Definition. Om s är en funktion och om a är ett reellt tal definierar vi

s(a + 0) = limx→a+

s(x) och s(a− 0) = limx→a−

s(x)

då gränsvärdena existerar. För a = 0 skriver vi helt enkelt s(+0) och s(−0).

Anmärkning. Sätter vi x = 12

får vi

∞∑

k=1

2

2kk2= s

(1

2

)= − (ln 2)2 +

∞∑

k=1

1

k2,

vilket också kan skrivas∞∑

k=1

1

k2= (ln 2)2 +

∞∑

k=1

2

2kk2. (1.18)

Den högra sidan konvergerar snabbt, och detta samband kan därför användas

för en noggrann beräkning av∞∑1

1/k2 .

Identiteten (1.18) observerades första gången av Euler år 1731 i samband

med hans försök att finna det exakta värdet av∞∑1

1/k2 . (Detta lyckades han

med tre år senare, se exempel 2.13.)

Exempel 1.45. För att inse att

s(x) =∞∑

k=1

k2x

1 + k4x2

är kontinuerlig då x > 0 räcker det att visa att konvergensen är likformig påd ≤ x ≤ A, där d > 0 och A är godtyckliga. Detta följer direkt av Weierstrass’majorantsats och olikheterna

0 ≤ k2x

1 + k4x2≤ k2A

k4d2=

A

d21

k2.

I själva verket visar en noggrannare undersökning att konvergensen är likfor-mig i varje intervall x ≥ d > 0, ty för sådana x är

0 ≤ k2x

1 + k4x2≤ k2x

k4x2=

1

k2x≤ 1

k2d.


Man kan fråga sig om serien i själva verket är likformigt konvergent i helax ≥ 0. (Serien är uppenbarligen konvergent då x = 0.) Detta kan inte avgörasmed Weierstrass’ majorantsats, ty av den elementära olikheten 2ab ≤ a2+ b2

(med likhet då a = b) följer att

Mk = maxx≥0

k2x

1 + k4x2=

1

2.

På följande sätt kan man emellertid inse att s(x) inte är kontinuerlig i x = 0,och därmed att konvergensen inte är likformig.Vi har att s(0) = 0, men å andra sidan har vi enligt ovan att termen medk = p är lika med 1

2då x = 1/p2. Eftersom alla termerna är icke-negativa

har vi alltså s( 1p2) ≥ 1

2, vilket innebär att s( 1

p2) 6→ s(0) då p → ∞. Alltså är

funktionen inte kontinuerlig i 0.

*Ett exempel på en kontinuerlig funktion som inte är

deriverbar någonstans

Betrakta den kontinuerliga funktionen

f(x) =

∞∑

k=0

sin (k2πx)

k2.

Den termvis deriverade serien∞∑1

π cos k2πx är divergent. Funktionen f gavs

1861 (utan bevis) av Riemann (1826–1866) som exempel på en kontinuerligmen inte deriverbar funktion. Hardy (1877–1947) visade 1916 att f saknarderivata i alla irrationella och en del rationella punkter. Senare har man visatatt det faktiskt finns rationella punkter där f är deriverbar (med derivatan−1/2).Vi går inte vidare in på detta här. I stället ska vi nu ge ett exempel på enfunktion som är kontinuerlig men inte är deriverbar i någon punkt. Exemplethärrör från Takagi 1903.Vi börjar med att sätta

f1(x) =

x då 0 ≤ x < 1/21− x då 1/2 ≤ x < 1 ,


och definierar funktionen f1(x) för övriga x så att den blir periodisk medperiod 1. Se figuren. Därefter sätter vi

f2(x) =1

2f1(2x) .

Detta utgör en skalning av f1; vi får en funktion med halva perioden och halvaamplituden. Funktionskurvorna är likformiga (se figuren). Sätt på samma visf3(x) =

14f1(4x). Allmänt sätter vi

fk+1(x) = 2−kf1(2kx) för alla x ∈ R , k = 1, 2, . . . .

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

Figur 1.5: Funktionerna f1, f2 och f3.

Summera nu alla dessa funktioner genom att sätta

T (x) =

∞∑

k=1

fk(x) .

Eftersom 0 ≤ fk(x) ≤ 2−k är konvergensen likformig enligt Weierstrass’majorantsats, och T (x) är alltså kontinuerlig. Vi skall visa att T (x) inte ärderiverbar i punkten a, där a är ett godtyckligt reellt tal.För varje heltal n låter vi m vara det heltal som uppfyller

m

2n≤ a <

m+ 1

2n,

och låter In beteckna intervallet [m2−n, (m+1)2−n]. Detta intervall har läng-den 2−n som går mot noll då n → ∞, och det innehåller a. Om T (x) ärderiverbar i a är därför differenskvoten

dn ≡ T ((m+ 1)2−n)− T (m2−n)

2−n


lika med T ′(a) + o(2−n) som har gränsvärdet T ′(a) då n → ∞. Vi skall visaatt dn i själva verket saknar gränsvärde.Betrakta motsvarande differenskvot för fk. Om k > n är fk lika med noll ibåda ändpunkterna till In och då är differenskvoten 0. Om k ≤ n kan intedetta inträffa, men då är differenskvoten 1 eller −1, eftersom fk utgöres avräta linjestycken med dessa lutningar. Tecknet beror bara på lutningen av fki punkten a.Differenskvoten dn är summan av dessa tal. Skillnaden dn−dn−1 är en skillnadmellan två summor där termerna är parvis lika bortsett från de n:te termerna.Alltså är

dn − dn−1 = ±1 .

Detta gäller för alla n vilket visar att följden (dn)∞1 saknar gränsvärde. Med

detta har vi visat att funktionen T (x) inte är deriverbar någonstans.En deriverbar funktion kan sägas ha egenskapen att ju mer man förstorardess graf i en omgivning av en viss punkt desto mer liknar den en rät lin-je (tangenten). I motsats till detta har vår funktion T (x) egenskapen attförstoring leder till en kurva med samma utseende som T (x). Vi har ju att

T (x) = f1(x) +∞∑

k=1

fk+1(x) = f1(x) +∞∑

k=1

1

2fk(2x) = f1(x) +

1

2T (2x) .

I en omgivning av en punkt (som inte är en heltalsmultipel av 1/2) betyderhögerledet en rät linje plus en förminskad upplaga av kurvan för T . Allmän-nare har vi

T (x) =

n∑

k=1

fk(x) + 2−nT (2nx),

där den första termen är en styckvis lineär funktion. Detta visar att funktio-nen T ”reproducerar sig själv” vid godtycklig förstoring.Vi illustrerar denna formel genom att för n = 1, 2, 3, 4, 5 och 8 rita upp denn:te delsumman till T (x), 0 ≤ x ≤ 1. I figur 1.6 är den översta kurvan T5,den understa T1. Figur 1.7 visar T8.

1.6 Den komplexa exponentialfunktionen

Vi utgår från att läsaren är bekant med formeln

ex =

∞∑

k=0

xk

k!, x ∈ R . (1.19)

1.6. Den komplexa exponentialfunktionen 45

0

0.5

1

1.5

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Figur 1.6: Funktionerna T1, T2, T3, T4 och T5

Denna följer av att resttermen i Maclaurins formel för ex går mot noll dåantalet termer växer. Det verkar alltså naturligt att definiera

ez =

∞∑

k=0

zk

k!, z ∈ C. (1.20)

Det är uppenbart att denna serie är absolutkonvergent för varje z och att densammanfaller med serien i (1.19) då z är reellt. Vi skall nu verifiera att denpå detta sätt definierade komplexa exponentialfunktionen har de egenskapersom vi förväntar oss.

Lemma 1.46. Den komplexa exponentialfunktionen som definieras av (1.20)satisfierar

1. ez1+z2 = ez1ez2 för alla z1, z2 ∈ C.

2. ex+iy = ex(cos y + i sin y) för alla x, y ∈ R.

Speciellt följer det av 2. att ex+iy är en C∞ funktion av både x och y.

Bevis: Låt först s, t vara positiva tal. Då är det lätt att kontrollera att


0

0.5

1

1.5

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Figur 1.7: Funktionen T8

es+t = eset gäller genom att kasta om summationsordningen :

es+t =∞∑

k=0

(s+ t)k

k!=

∞∑

k=0

1

k!

k∑

j=0

(kj

)sjtk−j

=

∞∑

k=0

∑

l,m≥0l+m=k

(sl

l!

)(tm

m!

)=

∞∑

l,m=0

(sl

l!

)(tm

m!

)

=

( ∞∑

l=0

sl

l!

)( ∞∑

l=0

tm

m!

)= eset .

Omkastningen av summationsordning vid det näst sista likhetstecknet ärtillåten eftersom dubbelserien bara har positiva termer. Dessa räkningar äremellertid giltiga även om vi ersätter s och t med komplexa tal z1 och z2eftersom dubbelserien som uppträder är absolutkonvergent. Detta avslutarbeviset av det första påståendet.Av vad vi redan visat följer speciellt att

ex+iy = ex eiy ,

så det återstår endast att visa att eiy = cos y + i sin y för reella y. Detta

följer direkt om vi observerar att serien eiy =∞∑k=0

(iy)k

k!är absolutkonvergent

1.6. Den komplexa exponentialfunktionen 47

så att vi får summera termer med jämna respektive udda k separat (enligtsats 1.21):

eiy =∞∑

j=0

(iy)2j

(2j)!+

∞∑

j=0

(iy)2j+1

(2j + 1)!

=

∞∑

j=0

(−1)jy2j

(2j)!+ i

∞∑

j=0

(−1)jy2j+1

(2j + 1)!

= cos y + i sin y .

(I det sista steget identifierade vi de bekanta Maclaurinutvecklingarna förcos y och sin y.)

Anmärkning. Om vi använder att cos y och sin y är en jämn respektive enudda funktion, dvs att de satisfierar cos (−y) = cos y och sin (−y) = − sin y,så får vi

eiy + e−iy

2=

cos y + i sin y + cos y − i sin y

2= cos y

eiy − e−iy

2i=

cos y + i sin y − cos y + i sin y

2i= sin y ,

de s k Eulers formler för de trigonometriska funktionerna.

Följdsats 1.47. För x , y ∈ R gäller |ex+iy| = ex.

Bevis: Punkt 2 i lemmat ger

|ex+iy| =√(ex cos y)2 + (ex sin y)2 =

√e2x(cos2 y + sin2 y) = ex .

Exempel 1.48. Funktionsserien s(x) =∞∑

k=−∞ake

ikx är likformigt konvergent

för x ∈ R om∞∑

k=−∞|ak| är konvergent. Detta följer direkt av Weierstrass’

majorantsats, eftersom enligt följdsatsen

|akeikx| = |ak| |eikx| = |ak| , x ∈ R .

Kapitel 2

Fourierserier

2.1 Inledning

I nästa kapitel kommer vi att lösa värmeledningsproblem med en metod somutvecklades av den franske matematikern Joseph Fourier (1768–1830) i börjanav 1800-talet. Liksom han kommer vi att ställas inför följande problem:

Problem 1: Givet en funktion f på intervallet [0, π], finns det tal ak∞k=0

och bk∞k=1, sådana att

f(x) =a02

+

∞∑

k=1

ak cos kx , 0 ≤ x ≤ π , (2.1)

f(x) =

∞∑

k=1

bk sin kx , 0 ≤ x ≤ π ? (2.2)

Om det finns sådana tal, hur beror de på f?

(Vi såg i avsnitt 1.5 att serierna i högerleden kan tänkas konvergera motfunktioner med diskontinuiteter fastän alla deras termer är kontinuerliga.) Idetta kapitel skall vi delvis lösa detta problem.Fourier orsakade en stor kontrovers bland dåtidens matematiker genom atthävda varje funktion f kan skrivas på formerna (2.1) och (2.2) med

ak =2

π

∫ π

0

f(x) cos kx dx , bk =2

π

∫ π

0

f(x) sin kx dx . (2.3)

Om man tolkar hans påstående som att (2.1) och (2.2) skall gälla för varjex ∈ [0, π] så är det uppenbart felaktigt (t ex har högerledet i (2.2) alltidsumman 0 för x = 0 eller π).

50 Kapitel 2. Fourierserier

Däremot visade den tyske matematikern Dirichlet redan 1828 att likhet fak-tiskt gäller om f är t ex kontinuerligt deriverbar och uppfyller villkorenf(0) = f(π) = 0. Det tog mer än hundra år innan problemet hade blivitnågorlunda fullständigt utrett, och under tiden blev matematikerna tvung-na att förändra sina tolkningar av begrepp som funktion, serie och integral.(T ex visade den ryske matematikern Kolmogorov 1926 att det finns funk-tioner sådana att formlerna (2.3) har mening men för vilka serierna (2.1)och (2.2) divergerar för alla x.) Under tiden användes Fouriers formler medstor framgång inom fysik och teknik av naturvetenskapsmän och ingenjö-rer. (Lord Kelvin konstruerade i slutet av 1800-talet en maskin som kundeberäkna delsummor för serierna (2.1) och (2.2).)Den moderna matematikens uppfattning kan lite löst sammanfattas som in-nebärande att det finns flera strikta sätt att tolka likhetstecknen och seriernai formlerna (2.1) och (2.2) så att de gäller i väsentligen varje mening somär praktiskt intressant inom tillämpningarna. Vi kommer i avsnitt 2.6 attdiskutera en svagare tolkning av formlerna så att de gäller för alla Riemann-integrerbara funktioner f .Innan vi ger en kort genomgång av kapitlets innehåll, skriver viom problem 1på en form som kommer att visa sig mer praktisk. Eftersom funktionernasin kx är udda 2π-periodiska funktioner (dvs det gäller sin k(x+ 2π) = sin kxoch sin k(−x) = − sin (−kx) för alla reella x) så ser vi att om högerledet i(2.2) konvergerar så definierar det en udda 2π-periodisk funktion fu(x). Påsamma sätt definierar högerledet i (2.1) en jämn 2π-periodisk funktion fj(x).Varje funktion f(x) på R kan skrivas på formen f(x) = fu(x) + fj(x) där

fu(x) =1

2(f(x)− f(−x))

är udda och

fj(x) =1

2(f(x) + f(−x))

är jämn. Från dessa överläggningar kan man sluta att problem 1 kan formu-leras om som

Problem 2: Givet en 2π-periodisk funktion f på R, finns det tal ak∞k=0 ochbk∞k=1, sådana att

f(x) =a02

+

∞∑

k=1

ak cos kx +

∞∑

k=1

bk sin kx , 0 ≤ x ≤ 2π ? (2.4)

2.2. Fourierserien för en funktion 51


Med användning av Eulers formler skall vi i avsnitt 2.7 visa att detta i sintur kan skrivas

Problem 3: Givet en 2π-periodisk funktion f på R, finns det tal ck∞k=−∞,sådana att

f(x) =

∞∑

k=−∞cke

ikx = limN→∞

N∑

k=−N

ckeikx , 0 ≤ x ≤ 2π ? (2.5)


Det är detta problem vi först kommer att angripa. Vi kommer att se attproblemet blir enklast att behandla om man använder analogier med ändlig-dimensionell lineär algebra. T ex bör vi uppfatta (2.5) som att f kan skrivassom en (oändlig) lineärkombination av basvektorerna (funktionerna) eikx medkoordinaterna ck.

2.2 Fourierserien för en funktion

Vi börjar med att påminna om vad som menas med en periodisk funktion:Att en funktion u av den reella variabeln x har perioden T betyder att

u(x+ T ) = u(x)

för alla x ∈ R. Observera att en funktion som är periodisk med periodenT också är periodisk med perioden 2T , med perioden 3T osv. Vi skall förenkelhets skull begränsa oss till funktioner med perioden 2π. För en givenperiodisk funktion kan man alltid återföra sig på detta fall genom att ändraskalan på x-axeln (om f har perioden T så har f1(x) = f(Tx

2π) period 2π och

f(x) = f1(2πxT)). Viktiga exempel på 2π-periodiska funktioner är cosx och

sin x, eller mera allmänt cosnx och sinnx där n är ett heltal ≥ 0.Teorin för Fourierserier handlar om problemet att representera en ”godtyck-lig” 2π-periodisk funktion u som en (oändlig) summa av multipler av dessafunktioner:

u(x) =

∞∑

n=0

(an cosnx+ bn sinnx) . (2.6)


Med hjälp av Eulers formler

cosnx =1

2(einx + e−inx) , sinnx =

1

2i(einx − e−inx)

kan (2.6) skrivas på formen

u(x) =

∞∑

n=−∞cne

inx , (2.7)

där n nu löper över alla heltal (jfr början avsnitt 2.7). Omvänt kan serierav denna typ skrivas som i (2.6). Till att börja med skall vi mest användaformen (2.7). Den enda (obetydliga) nackdelen med detta är att man måstearbeta med komplexvärda funktioner. Derivation och integration av sådanadefinieras genom att man tillämpar dessa operationer på funktionernas real-och imaginärdelar var för sig.

Exempel 2.1. Vi har enligt avsnitt 1.6 (för γ ∈ R)

d

dxeiγx =

d

dxcos γx+ i

d

dxsin γx = −γ sin γx+ iγ cos γx = iγeiγx. (2.8)

Följaktligen gäller regeln ddxeαx = αeαx som vi känner för reella α även för

rent imaginära α. (Läsaren uppmanas att visa detta resultat för α = β + iγ,med reella β, γ, t.ex. genom att skriva eαx = eβxeiγx.)Av (2.8) följer, då n 6= 0 är ett heltal, att

∫ 2π

0

einx dx =

[einx

in

]2π

0

=1

in(ein2π − 1) = 0 .

För n = 0 har vi ∫ 2π

0

einx dx =

∫ 2π

0

1 dx = 2π .

Som påpekades i avsnitt 1.4 är ett uttryck som∞∑

k=−∞ak, med serien

∞∑k=−∞

|ak|divergent, inte väldefinierat om vi inte anger hur serien skall summeras, dvsanger en uttömmande svit av ändliga mängder (Fn)

∞n=1 i Z och sätter

∞∑

k=−∞ak = lim

n→∞

∑

k∈Fn

ak


om gränsvärdet existerar. I det här kapitlet skall vi alltid göra följande val.

Konvention Att serien i (2.7) är konvergent med summan u(x) betyder att

limN→∞

N∑

−N

cneinx = u(x) , (2.9)

och likformig konvergens definieras på motsvarande sätt.

(Det är naturligt att välja summationsgränserna symmetriskt i (2.9) om manbetänker att detta skall föreställa resultatet av en omskrivning av en parti-alsumma för (2.6) medelst Eulers formler.)Antag nu att vi har likformig konvergens i (2.7). Då är summan u(x) kon-tinuerlig. Multiplicera båda leden med e−imx och integrera från 0 till 2π.Eftersom konvergensen är likformig kan man integrera termvis i högerledet.Detta ger

∫ 2π

0

u(x)e−imx dx =∞∑

−∞cn

∫ 2π

0

ei(n−m)x dx = cm · 2π .

I det sista steget har vi använt exempel 2.1, enligt vilket alla integralerna isumman är noll utom den för vilken n = m, som blir 2π. Om (2.7) gällermed likformig konvergens så gäller alltså

cn =1

2π

∫ 2π

0

u(x)e−inx dx . (2.10)

Vi sammanfattar resultatet av våra överläggningar.

Sats 2.2. Antag att den 2π-periodiska funktionen u(x) kan skrivas på formen(2.7) med likformig konvergens. Då är u kontinuerlig och koefficienterna cnsatisfierar (2.10).

Speciellt är koefficienterna cn entydigt bestämda av u. De kallas Fourier-

koefficienterna för funktionen u och serien∞∑−∞

cneinx kallas u:s Fourierserie.

Integralen i (2.10) är meningsfull inte bara för kontinuerliga funktioner u.Det går lika bra med godtyckliga komplexvärda funktioner u som är Rie-mannintegrerbara på intervallet [0, 2π]. Vi leds till följande definition.


Definition. Om u är en 2π-periodisk funktion som är Riemannintegrerbarpå [0, 2π] så är dess Fourierkoefficienter talen (cn(u))

∞n=−∞ givna av (2.10).

Serien∑∞

−∞ cn(u)einx = limN→∞

N∑−N

cn(u)einx kallas Fourierserien för u.

Sats 2.3. Fourierkoefficienterna cn(u) beror lineärt på u, dvs om u och v ärRiemannintegrerbara på [0, 2π] så gäller för varje heltal n att

cn(λu+ µv) = λcn(u) + µcn(v) , λ, µ ∈ C . (2.11)

Bevis: Detta följer direkt från definitionen och faktum att

∫ 2π

0

(λf1 + µf2) dx = λ

∫ 2π

0

f1 dx + µ

∫ 2π

0

f2 dx ,

om λ, µ ∈ C samt f1 och f2 är Riemannintegrerbara.

I avsnitt 2.5 skall vi visa att om funktionen u är 2π-periodisk, kontinuerlig ochstyckvis C1 (se avsnitt 2.4) så gäller verkligen (2.7) med likformig konvergensom koefficienterna cn definieras av (2.10).För en godtycklig kontinuerlig funktion behöver inte Fourierserien konvergeraöverallt. Man kan t ex konstruera en kontinuerlig, 2π-periodisk funktion varsFourierserie divergerar i alla punkter av formen π ·q, där q är ett rationellt tal,(se t ex appendix A i J.S. Walker Fourier Analysis, Oxford UP 1988). Vidarebehöver inte Fourierserien för en funktion u ha summan u(x) i punkten xäven om serien är konvergent i denna punkt.Om man integrerar en 2π-periodisk funktion över ett intervall av längden 2πså får man samma resultat oberoende av var på den reella axeln intervalletär beläget. Detta illustreras för en reellvärd funktion av figur 2.1. (Komplex-värda funktioner integreras som förut påpekats genom att man integrerar dereellvärda funktioner som real- och imaginärdelarna utgör var för sig.)Fourierkoefficienten cn i (2.10) ges därför också t ex av

cn =1

2π

∫ π

−π

u(x)e−inx dx .

Exempel 2.4. Låt u vara den 2π-periodiska funktion som ges av u(x) = x2

då −π ≤ x ≤ π (se figur 2.2). För n 6= 0 kan Fourierkoefficienten cn beräknas


genom upprepad partialintegration.

2πcn =

∫ π

−π

x2e−inx dx =

[x2e−inx

−in

]π

−π

+2

in

∫ π

−π

xe−inx dx

= 0 +2

in

[xe−inx

−in

]π

−π

− 2

n2

∫ π

−π

e−inx dx

= 0 +2

n2· (πe−inπ + πeinπ) + 0

= (−1)n4π

n2.

Alltså

cn = (−1)n2

n2, n 6= 0 .

x

y

π 2π 3πa 2π + a

Fig. 2.1: De skuggade områdena har samma areaså integralen från a till 2π+a är lika med integralenfrån 0 till 2π.

För n = 0 har man

c0 =1

2π

∫ π

−π

x2 dx =π2

3.

Observera att c0 kan uppfattas som medelvärdet av u över en period.Den som vill undvika komplexvärda funktioner kan alternativt utnyttja atte−inx = cosnx − i sinnx och dela upp i real- och imaginärdel. Eftersomfunktionen u i det här fallet är jämn blir integralen

∫ π

−πu(x) sinnx dx = 0 av


symmetriskäl. Av samma skäl gäller∫ π

−πu(x) cosnx dx = 2

∫ π

0u(x) cosnx dx

och vi får, för n 6= 0,

2πcn = 2

∫ π

0

x2 cosnx dx =

[2x2

sinnx

n

]π

0

− 4

n

∫ π

0

x sinnx dx

= 0 − 4

n

[−xcos nx

n

]π0− 4

n2

∫ π

0

cos nx dx

= (−1)n4π

n2,

vilket (naturligtvis) överensstämmer med vad vi fick ovan. Observera dock attför u som inte är jämna funktioner försvinner inte bidraget från sinustermeni e−ixn och vi måste räkna ut den integralen också.

x

y

−2π −π π 2π

Fig. 2.2

Exempel 2.5. Låt u(x) = cos3 2x. Att bestämma Fourierkoefficienterna medhjälp av (2.10) är ganska omständligt.I stället kan vi använda Eulers formel för cos 2x för att skriva om u(x) påönskad form:

u(x) =

(e2ix + e−2ix

2

)3

=1

8e−6ix +

3

8e−2ix +

3

8e2ix +

1

8e6ix .

Här är högerledet en serie av formen (2.7) med endast ändligt många termer

skilda från noll så att∑N

−N ckeikx =

6∑−6

ckeikx är oberoende av N för N ≥ 6.

2.3. Pytagoras’ sats och Bessels olikhet 57

Serien är alltså trivialt likformigt konvergent så att sats 2.2 kan tillämpas.Alla Fourierkoefficienterna cn är följaktligen noll förutom att c−6 = c6 = 1

8

och c−2 = c2 =38.

2.3 Pytagoras’ sats och Bessels olikhet

Det finns stora likheter mellan räkning med Fourierserier och räkning medvektorer uttryckta med hjälp av en ortonormerad bas. I detta avsnitt, ochsedan utförligare i avsnitt 2.6, skall vi diskutera sådana geometriska analogier.Vi observerar först att om f och g är 2π-periodiska Riemannintegrerbarafunktioner så kan vi för varje par av kompexa tal λ, µ bilda funktionenλf + µg definierad genom

(λf + µg)(x) = λf(x) + µg(x) .

Det är lätt att se att λf + µg också är Riemannintgrerbar och 2π-periodisk.Inspirerade av ändligdimensionell lineär algebra inför vi nu följande språk-bruk.

Definition. En icke-tom mängd V av komplexvärda funktioner, som alla harsamma definitionsområde, säges utgöra ett lineärt rum (eller vektorrum) om

u, v ∈ V ⇒ au+ bv ∈ V för alla a, b ∈ C .

Anmärkning. Vi kunde ha definierat begreppet lineärt rum abstrakt genomett antal axiom som i den lineära algebran, men eftersom vi endast kommeratt betrakta lineära rum vars element är funktioner har vi valt den någotkonkretare definitionen ovan. Trots detta kommer vi ofta att kalla elementeni ett lineärt rum för vektorer.För två Riemannintegrerbara, 2π-periodiska funktioner u och v sätter vi

(u, v) =1

2π

∫ 2π

0

u(x)v(x) dx , (2.12)

där strecket över v som vanligt betecknar komplexkonjugering. Man kallardet komplexa talet (u, v) för skalärprodukten av funktionerna u och v. Kon-jugeringen är till för att säkerställa att (u, u) ≥ 0 ty om u(x) = a + ib meda, b ∈ R så gäller

u(x)u(x) = (a+ ib)(a− ib) = a2 + b2 = |u(x)|2 ≥ 0.


Detta möjliggör följande definition av längden ||u|| av u:

||u|| = (u, u)1/2 =

(1

2π

∫ 2π

0

|u(x)|2 dx)1/2

. (2.13)

Jämför med definitionen av längden av en vektor i RN . Notera också att ||u||i allmänhet skiljer sig från supremumnormen ||u||∞ = supx∈[0,2π] |u(x)| somanvändes i förra kapitlet.

Exempel 2.6. Sätt, för δ ∈ (0, π),

uδ(x) =

1 om 0 ≤ x < δ0 om δ ≤ x < 2π .

Då gäller

||uδ||2 =1

2π

∫ 2π

0

|uδ(x)|2 dx =1

2π

∫ δ

0

dx =δ

2π,

dvs ||uδ|| = ( δ2π)1/2, medan

||uδ||∞ = supx

|uδ(x)| = 1 .

Speciellt har vi limδ→+0 ||uδ|| = 0 medan limδ→+0 ||uδ||∞ = 1 .

Anmärkning. Detta exempel illustrerar en skillnad mellan hur de bådastorleksmåtten ||f ||∞ och ||f || fungerar. Om vi känner ||f ||∞ så vet vi detstörsta värdet av |f(x)| (åtminstone om f är kontinuerlig) men vi får ingeninformation om på hur stor delmängd av [0, 2π] som |f(x)| är av sammastorleksordning som ||f ||∞ medan ||f || ger ett slags medelvärde för |f(x)|.Storleksmåttet ||f || motsvarar vad som inom växelströmsläran kallas effektiv-värdet. Om den momentana strömmen genom ett motstånd med resistansenR är i(t) så är den momenta värmeeffekten R(i(t))2. Det följer att värmensom utvecklas under tidsintervallet [0, 2π] är

∫ 2π

0

R i(t)2 dt = 2πR ||i||2 =

∫ 2π

0

R ||i||2 dt ,

dvs ||i|| är den konstanta ström som ger samma uppvärmningseffekt undertidsintervallet [0, 2π] som i(t). På ||i|| kan vi inte se skillnad på stor strömunder ett kort delintervall och en svagare ström under ett längre delintervall.


Ur definitionen (2.12) av skalärprodukten avläser man lätt följande egenska-per:

(au+ bv, w) = a(u, w) + b(v, w), a, b ∈ C (2.14)

(u, v) = (v, u) (2.15)

(u, u) ≥ 0 . (2.16)

Egenskaperna (2.14)–(2.16) skiljer sig i två avseenden från de vanliga axiomenför skalärprodukt i ett (reellt) lineärt rum. För det första har vi konjugat-tecknet i högerledet av (2.15). Detta är det pris vi får betala för att vi arbetarmed komplexvärda funktioner. Om u och v är reellvärda är också (u, v) re-ellvärd och inget konjugattecken behövs. Den andra skillnaden mot en vanligskalärprodukt är att (u, u) kan vara noll även för vissa u 6= 0. Detta beror påatt vi har definierat (u, u) för godtyckliga Riemannintegrerbara funktioner.För en sådan kan integralen från 0 till 2π av |u(x)|2 vara noll utan att u äridentiskt noll. T ex kan funktionen u vara noll överallt i intervallet [0, 2π]utom i en enda punkt där den är skild från noll. Som vi skall se, så kommerinte dessa avvikelser från de vanliga räknereglerna för skalärprodukt att vållanågra större problem.Mer allmänt menar vi med en (komplex) skalärprodukt i ett lineärt rum V , enregel som till varje par u, v ∈ V ordnar ett komplext tal (u, v) på ett sådantsätt att villkoren (2.14)–(2.16) är uppfyllda. Vi kommer endast att betraktaskalärprodukter som är enkla modifikationer av (2.12).Observera att (2.14) och (2.15) medför att

(u, av + bw) = a(u, v) + b(u, w), a, b ∈ C . (2.17)

Två funktioner u och v kallas ortogonala om (u, v) = 0. För ortogonala funk-tioner gäller Pytagoras’ sats

||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2 , om (u, v) = 0 . (2.18)

Beviset är en direkt räkning med användning av (2.14) och (2.15):

||u+ v||2 = (u+ v, u+ v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v) = ||u||2 + ||v||2 .

Vi kommer också att ha nytta av följande generalisering av välkända resultatför vektorer i Rn.


Sats 2.7. Låt u och v vara vektorer i ett lineärt rum V över C med enskalärprodukt som uppfyller (2.14)–(2.16). Om vi definierar ||w|| = (w,w)1/2

för w ∈ V så gäller Cauchy–Schwarz’ olikhet

|(u, v)| ≤ ||u|| ||v|| , (2.19)

och triangelolikheten||u+ v|| ≤ ||u|| + ||v|| . (2.20)

I synnerhet kan vi tillämpa dessa resultat då V är rummet av komplexvärda2π-periodiska Riemannintegrerbara funktioner försett med skalärprodukten(2.12).

Bevis: Beviset av (2.19) bygger liksom i fallet med den vanliga skalärpro-dukten på Rn på egenskapen (2.16). Eftersom vi inte antagit att ||u|| = 0medför att u = 0 tvingas vi dock till ett extra resonemang för att visa att(u, v) = 0 om ||u|| ||v|| = 0.Vi utvecklar vänsterledet i olikheten (u− zv, u− zv) ≥ 0, z ∈ C, så att vi får

||u||2 − 2Re (z(u, v)) + |z|2 ||v||2 ≥ 0 . (2.21)

Om ||v|| = 0 men (u, v) = w 6= 0 följer det att

||u||2 − 2Re (zw) ≥ 0

för alla z ∈ C. Detta är emellertid omöjligt ty vi får en motsägelse om viväljer z = tw med t > 0 tillräckligt stort.Det återstår att visa (2.19) då ||v|| > 0. Sätt e = v/ ||v||. Då är ||e|| = 1, ochvektorerna u1 = u − (u, e)e och u2 = (u, e)e är ortogonala. Pytagoras satsger alltså

|(u, e)|2 = ||u2||2 ≤ ||u1||2 + ||u2||2 = ||u||2 ,eller, eftersom (u, e) = (u, v)/ ||v||,

|(u, v)|2 ≤ ||u||2 ||v||2 ,

vilket avslutar beviset. Det är också klart att likhet gäller endast om antingen||v|| = 0 eller ||v|| > 0 och ||u− (u, e)e|| = 0. (Om ||·|| är en sk norm på Vså att ||w|| = 0 medför att w = 0 kan detta förkortas till att likheten gällerom och endast om u och v är parallella (lineärt beroende).)


Triangelolikheten följer direkt av (2.19) liksom i det ändligdimensionella fal-let. Vi har nämligen

||u+ v||2 = (u+ v, u+ v) = (u, u) + (v, u) + (u, v) + (v, v) ,

och eftersom (v, u) = (u, v) kan detta skrivas

||u+ v||2 = (u+ v, u+ v) = ||u||2 + ||v||2 + 2Re (u, v) .

Nu medför olikheten (2.19) att 2Re (u, v) ≤ 2 ||u|| ||v|| så att

||u+ v||2 ≤ ||u||2 + ||v||2 + 2 ||u|| ||v|| = (||u||+ ||v||)2 ,

vilket är ekvivalent med (2.20).

Definition. En uppräknelig (eller ändlig) mängd av funktioner en(x) sägesbilda ett ortonormerat system med avseende på en given skalärprodukt om

(em, en) =

0 då n 6= m1 då n = m.

(2.22)

Exempel 2.8. Funktionerna en(x) = einx bildar ett ortonormerat systemmed avseende på skalärprodukten (2.12), ty

(em, en) =1

2π

∫ 2π

0

eimx · einx dx =1

2π

∫ 2π

0

ei(m−n)x dx =

0 då n 6= m1 då n = m,

enligt exempel 2.1.

Med en(x) = einx kan formel (2.10) för Fourierkoefficienterna skrivas

cn = (u, en) . (2.23)

Vi ser att Fourierkoefficienterna bestäms på samma sätt som en vektors ko-ordinater med avseende på en ortonormerad bas. Den väsentliga egenskap,bortsett från likformig konvergens, som användes i räkningen som ledde från(2.7) till (2.10), var att funktionerna einx bildar ett ortonormerat system.Längre fram skall vi betrakta andra ortonormerade system än det i exempel2.8, men tills vidare antar vi att en(x) = einx.Låt nu u vara en godtycklig Riemannintegrerbar, 2π-periodisk funktion ochbetrakta funktionen

u(x)−N∑

−N

cnen(x) ,


där cn = (u, en) är Fourierkoefficienterna för u. Denna funktion är ortogo-nal mot funktionerna e−N , e−N+1, . . . , eN , ty, enligt (2.14), exempel 2.8 och(2.23) gäller

(u−N∑

−N

cnen , em) = (u, em)−N∑

−N

cn(en, em) = (u, em)− cm = 0 , |m| ≤ N.

Följaktligen är u − uN ortogonal mot uN ≡N∑−N

cnen, ty den är ortogonal

mot var och en av termerna, och Pytagoras’ sats implicerar, eftersom u ärsumman av dessa två funktioner, att

||u− uN ||2 + ||uN ||2 = ||u||2 . (2.24)

Genom användning av (2.17) ser vi att

||uN ||2 = (uN , uN) = (uN ,N∑

n=−N

cnen) =N∑

n=−N

cn(uN , en) .

Eftersom (uN , en) är Fourierkoeffienten cn för uN ger detta

||uN ||2 =N∑

−N

cncn =N∑

n=−N

|cn|2 .

Om vi utelämnar den första termen i (2.24) får vi alltså

N∑

−N

|cn|2 = ||uN ||2 ≤ ||u||2 , (2.25)

Låter man N gå mot oändligheten ger detta följande olikhet, som kommeratt användas vid flera tillfällen i de kommande avsnitten.

Sats 2.9. Om u är en 2π-periodisk Riemannintegrerbar funktion och

cn =1

2π

∫ 2π

0

u(x)e−inx dx , n ∈ Z ,

är dess Fourierkoefficienter så gäller

∞∑

−∞|cn|2 ≤ ||u||2 (Bessels olikhet). (2.26)

Speciellt gäller cn → 0 då |n| → ∞, Riemanns lemma.

2.4. Några egenskaper hos Fourierkoefficienterna 63

Bevis: Om vi införbn = |cn|2 + |c−n|2 ≥ 0

kan olikheten (2.25) skrivas

N∑

n=1

bn ≤ ||u||2 − |c0|2 för alla N ,

där högerledet är oberoende av N .

Eftersom serien∞∑n=1

bn är positiv följer det nu från följdsats 1.4 (på sidan 7)

att den är konvergent. Speciellt gäller

|cn|2 + |c−n|2 = bn → 0 då n→ ∞.

Det är uppenbart att

∞∑

−∞|cn|2 = |c0|2 + lim

N→∞

N∑

n=1

bn ≤ ||u||2 .

Anmärkning. I avsnitt 2.6 skall vi visa att man i själva verket alltid harlikhet i (2.26). På vägen till detta resultat kommer vi emellertid att användaBessels olikhet.

2.4 Några egenskaper hos Fourierkoefficienter-na

Låt u vara en 2π-periodisk, Riemannintegrerbar funktion. Beteckna dessFourierkoefficienter med cn(u), alltså

cn(u) =1

2π

∫ 2π

0

u(x)e−inx dx .

Under lämpliga förutsättningar skall vi visa att, om u är deriverbar medderivatan u′, så ges Fourierkoefficienterna för u′ av

cn(u′) = in cn(u) . (2.27)


Formellt överensstämmer detta med vad man får om man deriverar serientermvis i likheten

u(x) =∞∑

−∞cn(u)e

inx .

Vi har emellertid ännu inte visat att serien i högerledet konvergerar mot u,och ännu mindre att man får derivera serien termvis. Vi skall därför i ställetbevisa (2.27) genom att partialintegrera i definitionen av cn(u′). Först måstevi dock precisera förutsättningarna på u.En funktion säges vara C1 på intervallet [a, b] om dess derivata u′ existeraroch är en kontinuerlig funktion på [a, b]. (I ändpunkterna a och b definierasu′(x) som höger- respektive vänsterderivatan.)

Definition. Man säger att u är styckvis C1 på [a, b] om det finns ändligtmånga punkter (brytpunkter) x0 = a < x1 < x2 < · · · < xk = b, och C1

funktioner uj på intervallen [xj−1, xj ], j = 1, . . . , k, sådana att u(x) = uj(x)då xj−1 < x < xj (se figur 2.3).

Observera att detta villkor inte medför att u är kontinuerlig i punkternax0, x1, . . . , xk.

Definition. Med den punktvisa derivatan u′(x) till en styckvis C1 funktionmed brytpunkter xj, 0 ≤ j ≤ k, menar vi en funktion u′ som uppfyller u′(x) =u′j(x) då xj−1 < x < xj. Derivatan är inte entydigt definierad i x1, . . . , xk−1,däremot är den entydigt definierad och kontinuerlig utanför dessa punkter(med ändliga vänster- och högergränsvärdet då man närmar sig dessa).

Notera att u′ kan vara noll i denna mening fastän u inte är konstant. Tillexempel kan vi definiera en styckvis C1 funktion u på [−1, 1] genom sättau(x) = x/|x| då x 6= 0, dvs u = 1 på (0, 1] och u = −1 på [−1, 0). Då bliruppenbarligen derivatan noll där den är definierad, men u är inte konstant.Problemet är att u har en diskontinuitet i brytpunkten x = 0.Vi säger att en 2π-periodisk funktion är styckvis C1 om den är styckvis C1

på [0, 2π] (och därmed på varje begränsat intervall).Speciellt är Fourierkoefficienterna cn(u′) väldefinierade eftersom integralen idefinitionen inte påverkas av värdena av u′ i de ändligt många brytpunkterna.


x

y

321

Fig. 2.3: Den heldragna grafen ger exempel på en styck-vis C1 funktion. Observera att funktionens värde, u(2),i x = 2 inte sammanfaller med något av gränsvärdenau(2±0). Den streckade grafen antyder u′(x) (ej i sammaskala).

x

y

321

Fig. 2.4: Denna funktion ges av u(x) =√x− 1 på [1, 2]

och är inte styckvis C1 eftersom u′(x) = 12√x−1

saknarändligt gränsvärde då x→ 1 + 0.

Sats 2.10. Om u är kontinuerlig, 2π-periodisk och styckvis C1 gäller att

cn(u′) = in cn(u) .

Bevis: Antag först att u är kontinuerligt deriverbar på hela reella axeln. Då


ger partialintegration att

cn(u′) =

1

2π

∫ 2π

0

u′(x)e−inx dx

=1

2π

[u(x)e−inx

]2π0

− 1

2π

∫ 2π

0

u(x)(−in)e−inx dx

=1

2π[u(2π)− u(0)] + (in)

1

2π

∫ 2π

0

u(x)e−inx dx = incn(u) ,

eftersom u(2π)e−in2π − u(0)e0 = u(2π) − u(0) = 0 på grund av att u är2π-periodisk.Om u bara är styckvis C1 så följer resultatet genom att man summerarlikheterna

1

2π

∫ xj

xj−1

u′(x)e−inx dx =1

2π

[u(x)e−inx

]xj−0

xj−1+0+in

2π

∫ xj

xj−1

u(x)e−inx dx ,

för j = 1, . . . , k. Här är 0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xk = 2π brytpunkterna föru. Att bidragen från randtermerna tar ut varandra i punkterna x1, . . . , xk−1

beror på att u är kontinuerlig (dvs

u(xj − 0)ein(xj−0) = u(xj + 0)ein(xj+0))

så att samma term förekommer två gånger med olika tecken.

Anmärkning. Observera att det följer att c0(u′) = 0 under förutsättning-arna i satsen. I fallet då u är C1 kan detta också inses direkt ur

c0(u′) =

1

2π

∫ 2π

0

u′(x) dx =1

2π(u(2π)− u(0)) = 0 .

Följdsats 2.11. Om funktionen u är 2π-periodisk, kontinuerlig och styckvisC1, så gäller att

∞∑

−∞|cn(u)| <∞ .

Bevis: Bessels olikhet (2.26) tillämpad på derivatan u′ ger att

∞∑

−∞|cn(u′)|2 ≤ ||u′||2 =

1

2π

∫ 2π

0

|u′(x)|2 dx .


Enligt sats 2.10 är emellertid |cn(u′)|2 = n2|cn(u)|2 . Om vi sätter cn(u) = cn,

så är alltså serien∞∑−∞

n2|cn|2 konvergent.

Enligt den elementära olikheten ab ≤ 12(a2 + b2) får vi då för n 6= 0

|cn| =1

|n| |ncn| ≤1

2(1

n2+ n2|cn|2) .

Eftersom serien∞∑1

n−2 är konvergent följer det att∞∑−∞

|cn| <∞.

Under förutsättningarna i följdsatsen är Fourierserien∞∑−∞

cn(u)einx likformigt

konvergent.Detta följer direkt av exempel 1.48 på sidan 47. I nästa avsnitt skall vi visa attseriens summa verkligen är u(x). Som en förberedelse nämner vi ytterligaretvå egenskaper hos Fourierkoefficienterna. Först har vi

cn(w) = einacn(u) , om w(x) = u(x+ a) . (2.28)

Detta inses genom följande räkning:

cn(w) =1

2π

∫ 2π

0

u(x+ a)e−inx dx =1

2π

∫ 2π+a

a

u(y)e−in(y−a) dy = einacn(u) .

I den sista likheten har vi utnyttjat att man i definitionen av cn(u) kanintegrera över ett godtyckligt intervall av längd 2π. Slutligen gäller att

cn(eixu) = cn−1(u) , (2.29)

ty

cn(eixu) =

1

2π

∫ 2π

0

eixu(x)e−inx dx =1

2π

∫ 2π

0

u(x)e−i(n−1)x dx = cn−1(u) .

Anmärkning. Relationerna (2.28) och (2.29) är uppenbara för en funktion

uN(x) =N∑−N

cneinx med ändlig Fourierserie. Då gäller nämligen

uN(x+ a) =

N∑

−N

cnein(x+a) =

N∑

−N

(cneina)einx

och

eixuN(x) =

N∑

−N

cnei(n+1)x =

N+1∑

m=−N+1

cm−1eimx .


2.5 Fouriers inversionsformel

Följande sats är vårt huvudresultatet om punktvis konvergens av Fourier-serier.

Sats 2.12. Antag att u är en 2π-periodisk, styckvis C1 funktion med Fourier-koefficienterna cn. Om u är kontinuerlig i punkten x = a så gäller

u(a) =

∞∑

−∞cne

ina . (2.30)

Om u är kontinuerlig på hela reella axeln så är∞∑−∞

|cn| < ∞ och man har

likformig konvergens i (2.30).

Anmärkning 1. Som påpekades i avsnitt 2.2 finns det funktioner som ärkontinuerliga och 2π-periodiska vilkas Fourierserier divergerar för t ex x = 0.Förutsättningen att u skall vara styckvis C1 kan alltså inte strykas. (Däremotkan den försvagas något men vi avstår från att diskutera detta.)

Anmärkning 2. Om vi för något reellt tal a ändrar värdet på funktionen u ipunkterna x = a+2πk, där k är heltal, så ändras inte Fourierkoefficienternasvärden, och därmed inte Fourierseriens summa. Härav inser vi att om viersätter kravet på kontinuitet i x = a med kravet

u(a+ 0) = u(a− 0) = A ,

där u(a+0) = limε→+0 u(a+ ε) och motsvarande för u(a−0), så konvergerarFourierserien för u i punkten x = a med summan A.

Bevis: Beviset sker i tre steg.1. Vi antar först att a = 0 och att u(0) = 0. För att verifiera (2.30) för x = 0

gäller det då att visa att∞∑−∞

cnein0 =

∞∑−∞

cn = 0.

Låt oss införa hjälpfunktionen

v(x) =u(x)

1− eix.

Eftersom funktionen v är kvoten av två kontinuerliga funktioner är den kon-tinuerlig utom möjligen i punkterna x = 2πk, k heltal, där nämnaren blir

2.5. Fouriers inversionsformel 69

noll. Å andra sidan blir också täljaren noll i dessa punkter eftersom u(0) = 0och u är 2π-periodisk.Vi skall se att v har ändliga höger- och vänstergränsvärden för sådana x, såatt v faktiskt är styckvis kontinuerlig (och i synnerhet Riemannintegrerbar).Det räcker att betrakta fallet x = 0 emedan funktionen v är 2π-periodisk.Eftersom u(0) = 0 har vi, för x 6= 0,

v(x) =u(x)− u(0)

x· x

1− eix.

Den första faktorn i högerledet går mot höger- respektive vänsterderivatan iorigo av u då x → 0 från höger och vänster, och den andra faktorn går motdet komplexa talet i då x→ 0. Detta visar att gränsvärdena v(±0) existerar.Eftersom

u(x) = (1− eix)v(x) = v(x)− eixv(x) ,

så ger (2.11) och (2.29) att cn(u) = cn(v)− cn−1(v).Följaktligen är, för varje N ∈ Z+ (de positiva hela talen),

N∑

−N

cn(u) =N∑

−N

(cn(v)− cn−1(v)) = cN(v)− c−N−1(v) .

Enligt Bessels olikhet går cN (v) och c−N−1(v) mot noll då N → ∞. Härmedär (2.30) bevisad i fallet då x = 0 och u är kontinuerlig i origo med u(0) = 0.Härmed är steg 1 avslutat.2. Om a = 0 men u(0) 6= 0 kan vi införa en hjälpfunktion u0(x) ≡ u(x)−u(0).Enligt (2.11) gäller

cn(u0) = cn(u− u(0) · 1) = cn(u) − u(0) cn(1) .

Vi får alltså

cn(u0) = cn(u) då n 6= 0 och c0(u0) = c0(u)− u(0) .

Enligt vad vi redan visat gäller att limN→∞N∑−N

cn(u0) = 0, eftersom u0(0) = 0.

Det betyder att

u(0) = u(0) + limN→∞

N∑

−N

cn(u0) = limN→∞

N∑

−N

cn(u) =∞∑

−∞cn(u) ,


och vi är klara med steg 2.3. Slutligen, om a 6= 0 blir funktionen w(x) = u(x+ a) kontinuerlig i x = 0och vi har, enligt steg 2,

w(0) =∞∑

−∞cn(w) .

Det följer nu med hjälp av (2.28) att

u(a) = w(0) =

∞∑

−∞cn(w) =

∞∑

−∞cn(u)e

ina .

Detta avslutar steg 3, och (2.30) är bevisad i varje kontinuitetspunkt för u.

Att∞∑−∞

|cn(u)| <∞ då u är kontinuerlig på hela reella axeln har vi redan visat

i följdsats 2.11 och enligt exempel 1.48 medför detta att serien konvergerarlikformigt.

Anmärkning*. Formel (2.30) kallas inversionsformeln för Fourierserier. Tillen 2π-periodisk, Riemannintegrerbar funktion u har vi ordnat följden (cn)

∞−∞

av dess Fourierkoefficienter. Sats 2.12 säger att om u är kontinuerlig ochstyckvis C1 så är denna tillordning inverterbar. Utgående från Fourierkoeffi-cienterna kan man alltså rekonstruera funktionen u. I avsnitt 2.6 kommer viatt se att detta gäller även om u bara är kontinuerlig. (Se också övning 223och avsnittet om Féjersummation i sektion 2.9.)

Exempel 2.13. I exempel 2.4 har vi beräknat Fourierkoefficienterna för den2π-periodiska funktion som är lika med x2 för −π ≤ x ≤ π. Vi fick c0 = π2/3och cn = 2(−1)n/n2 för n 6= 0. Denna funktion är kontinuerlig och styckvisC1. Enligt sats 2.12 är alltså

x2 =π2

3+ 2

∑

n 6=0

(−1)n

n2einx , −π ≤ x ≤ π.

Väljer vi nu x = π, så blir einx = (eiπ)n = (−1)n och vi får

π2 =π2

3+ 2

∑

n 6=0

1

n2=

π2

3+ 4

∞∑

n=1

1

n2.

2.5. Fouriers inversionsformel 71

Härav följer att∞∑

n=1

1

n2=

π2

6.

Denna summa beräknades första gången av Euler 1735.

Exempel 2.14. Låt u vara den 2π-periodiska funktion som ges av

u(x) =

−1 då − π ≤ x < 01 då 0 ≤ x < π .

För n 6= 0 har u Fourierkoefficienterna

cn =1

2π

(∫ 0

−π

(−1)e−inx dx+

∫ π

0

e−inx dx

)

=1

2π

([e−inx

in

]0

−π

+

[e−inx

−in

]π

0

)=

1

iπn(1− (−1)n) .

Tolkningen av c0 som medelvärdet av u över en period visar att c0 = 0, så

cn =

0, om n är jämnt,2

iπn, om n är udda.

(Observera att∑ |cn| divergerar, eftersom u inte är kontinuerlig.) Eftersom

c−n = −cn blir u:s Fourierserie

∞∑

−∞cne

inx =

∞∑

1

(cne

inx + c−ne−inx

)=

∞∑

1

2icn sin nx

=

∞∑

0

4

π(2k + 1)sin (2k + 1)x

=4

π

(sin x+

1

3sin 3x+

1

5sin 5x+ · · ·

).

Enligt sats 2.12 konvergerar Fourierserien mot u(x) för alla x 6= 0 i det öppnaintervallet (−π, π), dvs

∞∑

0

4

π(2k + 1)sin (2k + 1)x =

π

4·

−1 då −π < x < 01 då 0 < x < π .


Om vi tar x = π/2 får vi, eftersom sin (2k + 1)π2= (−1)k, att

π

4=

∞∑

0

(−1)k

2k + 1= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · · .

Utseendet av några av de första delsummornaN∑0

4π(2k+1)

sin (2k + 1)x för

∞∑

0

4

π(2k + 1)sin (2k + 1)x

framgår av figurerna 2.5–2.8. Notera särskilt förekomsten av ”horn” näradiskontinuiteterna i fig 2.8 — vi kommer att diskutera dem i avsnitt 2.8.

-1

-0.5

0

0.5

1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Figur 2.5: N = 0

Anmärkning*. Observera i exempel 2.14 att för x = mπ, m heltal, konver-

gerar summanN∑−N

cneinx =

N∑1

2icn sinnx, mot noll, vilket är det aritmetiska

medelvärdet av u:s höger- och vänstergränsvärden i dessa punkter. Dettaär ett generellt fenomen. Antag nämligen att v är en 2π-periodisk, styck-vis C1 funktion som t ex har en diskontinuitet av höjd 2h för x = a, dvsv(a+ 0)− v(a− 0) = 2h. Betrakta funktionen w(x) = v(x)− hu(x− a), däru är funktionen i exempel 2.14. Den uppfyller

w(a+ 0) = w(a− 0) =1

2(v(+0) + v(−0)) .

2.6. Minstakvadratmetoden och Parsevals formel 73

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Figur 2.6: N = 2

Enligt anmärkning 2 efter sats 2.12 konvergerar Fourierserien för w mot w(a+0) då x = 0. Eftersom Fourierserien för u har summan noll då x = 0 följer attFourierserien för v(x) = w(x)+hu(x−a) konvergerar mot summan av w(a+0)och h·0, dvs mot 1

2(v(+0)+v(−0)). I avsnitt 2.8 skall vi närmare diskutera hur

partialsummorna för en Fourierserie uppför sig nära en diskontinuitetspunkt.

2.6 Minstakvadratmetoden och Parsevals for-mel

Låt u vara en 2π-periodisk Riemannintegrerbar funktion. Om u inte är kon-tinuerlig och styckvis C1 behöver dess Fourierserie inte konvergera i varjepunkt. Det är naturligt att fråga sig om likheten

u(x) =∞∑

−∞cne

inx

ändå kan ha något slags mening. Vi skall se att så är fallet. Om vi, som iavsnitt 2.3, sätter

||u|| =(

1

2π

∫ 2π

0

|u(x)|2 dx)1/2


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Figur 2.7: N = 4

och om

uN(x) =N∑

−N

cneinx

är den N :te delsumman i Fourierserien för u, så skall vi visa att

||u− uN || → 0, då N → ∞ (2.31)

för varje 2π-periodisk, Riemannintegrerbar funktion u. Man säger att uN gårmot u i medel. Likformig konvergens medför konvergens i medel ty

||u− uN || =(

1

2π

∫ 2π

0

|u(x)− uN(x)|2 dx)1/2

≤ sup0≤x≤2π

|u(x)− uN(x)| .

Däremot gäller inte omvändningen (jfr exempel 2.6 på sidan 58).I beviset av (2.31) skall vi utnyttja geometriska analogier. För att logikenskall framstå klarare kommer vi att genomföra delar av resonemanget i enallmän ram som anknyter till terminologin som vi införde i avsnitt 2.3.Låt V vara ett lineärt rum försett med en skalärprodukt. Längden (eller nor-men) av u ∈ V definieras då som vanligt genom ||u|| =

√(u, u) och två

vektorer kallas ortogonala om deras skalärprodukt är noll. För ortogonalavektorer gäller Pytagoras’ sats (2.18). En ändlig eller uppräknelig mängd avvektorer bildar ett ortonormerat system om de alla har längden 1 och ärsinsemellan ortogonala. Man säger att u är en lineärkombination av vekto-rerna e1, . . . , ek om u = a1e1 + · · ·+ akek för några komplexa tal a1, . . . , ak.


-1

-0.5

0

0.5

1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Figur 2.8: N = 6

Följande sats uttrycker en allmän princip som vi redan har använt i bevisetav Bessels olikhet.

Sats 2.15. Antag att e1, . . . , ek är ett ändligt ortonormerat system i ett li-neärt rum V med skalärprodukt. Varje vektor u ∈ V kan då på ett entydigtsätt skrivas

u = u′ + u′′,

där u′ är en lineärkombination av e1, . . . , ek och u′′ är ortogonal mot e1, . . . , ek.Vektorn u′ ges av

u′ = (u, e1)e1 + · · ·+ (u, ek)ek .

Bevis: Om u′ = α1e1 + · · · + αkek så är u′′ = u − u′ ortogonal mot em,1 ≤ m ≤ k, om och endast om

0 = (u− u′, em) = (u, em) − (u′, em) = (u, em)−k∑

n=1

αn(en, em)

= (u, em)− αm .

Följdsats 2.16. Om e1, . . . , ek är ett ortonormerat system i ett lineärt rumV med skalärprodukt och u ∈ V , så är

||u−k∑

n=1

anen|| , a1 , a2 , . . . an ∈ C ,


minst då an = (u, en), 1 ≤ n ≤ k.

Bevis: Sätt w = a1e1 + · · ·+ akek. Om u = u′ + u′′ är uppdelningen i sats2.15 så är w och därmed u′ −w ortogonal mot u′′. Pytagoras’ sats ger då att

||u− w||2 = ||(u′ − w) + u′′|| = ||u′ − w||2 + ||u′′||2 .

Högerledet är uppenbarligen som minst då w = u′.

Anmärkning. Vektorn u′ i sats 2.15 kan uppfattas som den ortogonala pro-jektionen av u på rummet bestående av alla lineärkombinationer av e1, . . . , ek.

Exempel 2.17. Om V är Rn med skalärprodukten

(x, y) =

n∑

j=1

xjyj ,

och e1, e2 , . . . , ek är de k första basvektorerna

e1 = (1, 0, 0, 0, . . . , 0)

e2 = (0, 1, 0, 0, . . . , 0)...

...

ek = (0, . . . , 1, . . . , 0)

så innebär följdsatsen att den punkt av formen (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) (dvs iunderrummet som ges av yk+1 = yk+2 = · · · = yn = 0) som ligger närmastx = (x1, x2, . . . , xn) är (x1 , x2 , . . . , xk, 0 , . . . , 0) (vilket kan tolkas som denortogonala projektionen på underrummet).

Antag nu att V är rummet av 2π-periodiska, Riemannintegrerbara funktionermed skalärprodukten

(u, v) =1

2π

∫ 2π

0

u(x)v(x) dx

och att det ortonormerade systemet i följdsats 2.16 består av funktionernaen(x) = einx, −N ≤ n ≤ N . Då följer att, för en fix funktion u, integralen

1

2π

∫ 2π

0

|u(x)−N∑

−N

aneinx|2 dx (2.32)


är minst när talen an är lika med Fourierkoefficienterna

(u, en) =1

2π

∫ 2π

0

u(x)e−inx dx .

Namnet minstakvadratmetoden syftar på att det är kvadratintegralen (2.32)som minimeras.Om cn är Fourierkoefficienterna för u och talen an är godtyckliga har vi alltsåför fixt N1 att ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N1∑

−N1

cneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N1∑

−N1

aneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Observera att det härav också följer att∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N∑

−N

cneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N1∑

−N1

aneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ för N ≥ N1 , (2.33)

eftersom vi kan uppfatta summan innanför normtecknet i högerledet av (2.33)som en summa från −N till N med an = 0 då N1 < |n| ≤ N . Vi kommer attse att påståendet (2.31) blir en konsekvens av följande sats.

Sats 2.18. För varje Riemannintegrerbar funktion u på intervallet [0, 2π]och varje ε > 0, finns ett positivt heltal N1 och komplexa tal an sådana att

1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣∣∣u(x)−N1∑

−N1

aneinx

∣∣∣∣∣

2

dx < ε .

Bevis: Låt ε > 0 och funktionen u vara givna. Vi skall strax se att det följerav appendix A att vi kan finna en 2π-periodisk funktion v som är kontinuerligoch styckvis C1 samt uppfyller

||u− v|| < ε/2 . (2.34)

Av sats 2.12 följer emellertid att Fourierserien∞∑−∞

cn(v)en(x) för v konvergerar

likformigt mot v. Om vN(x) =N∑−N

cn(v)en(x) är en partialsumma för v med

N tillräckligt stort gäller alltså

||v − vN ||∞ = supx∈R

|v(x)− vN (x)| < ε/2 .


Detta medför att ||v − vN || < ε/2 eftersom

||v − vN ||2 =1

2π

∫ 2π

0

|v(x)− vN(x)|2 dx

≤ ||v − vN ||2∞2π

∫ 2π

0

1 dx = ||v − vN ||2∞ .

Det följer nu direkt från triangelolikheten (2.20) att

||u− vN || = ||(u− v) + (v − vN )|| ≤ ||u− v|| + ||v − vN || < ε .

Det återstår endast att verifiera (2.34).Enligt appendix A finns för varje δ > 0 en 2π-periodisk funktion v som ärkontinuerlig, styckvis C1 och sådan att

∫ 2π

0

|u(x)− v(x)| dx < δ . (2.35)

Om ||u||∞ = sup[0,2π] |u(x)| så kan v dessutom väljas så att |v(x)| ≤ ||u||∞√2

för alla x. Speciellt gäller då ||u− v||∞ ≤ 3||u||∞, eftersom

|u(x)− v(x)| ≤ |u(x)|+ | − v(x)| ≤ ||u||∞ +√2||u||∞ ≤ 3||u||∞

för alla reella x.Om v väljs enligt dessa villkor gäller emellertid, eftersom

∫ 2π

0

|f(x)|2 dx ≤ supx∈[a,b]

|f(x)|∫ 2π

0

|f(x)| dx ,

att

||u− v||2 =1

2π

∫ 2π

0

|u(x)− v(x)|2 dx

≤ ||u− v||∞ · 1

2π

∫ 2π

0

|u(x)− v(x)| dx ≤ ||u− v||∞2π

δ

≤ 3||u||∞2π

δ .

Högerledet är uppenbarligen mindre än (ε/2)2 om bara δ > 0 väljs tillräckligtlitet.


Det är nu lätt att visa (2.31) och det tidigare utlovade resultatet att manalltid har likhet i Bessels olikhet.

Sats 2.19. Låt funktionen u vara 2π-periodisk och Riemannintegrerbar med

Fourierkoeffienterna cn, n ∈ Z. Om uN =N∑−N

cneinx gäller

||u− uN || → 0, då N → ∞ , (2.36)

och

∞∑

−∞|cn|2 = ||u||2 =

1

2π

∫ 2π

0

|u(x)|2 dx (Parsevals formel) . (2.37)

Parsevals formel är en motsvarighet för Fourierserier till formeln för längdenav en vektor uttryckt i dess koordinater med avseende på en ortonormeradbas (se också avsnitt 2.9). Observera att eftersom integranden i integralen ihögerledet av (2.37) är 2π-periodisk kan vi byta integrationsintervallet [0, 2π]till ett annat med samma längd, t ex [−π, π].

Bevis: Vi skall först se att det följer av (2.33) och sats 2.18 att uN går motu i medel. Med beteckningarna från sats 2.18 har vi nämligen att för varjeε > 0 finns det tal a−N1 , a−N1+1 , . . . , aN1 , sådana att

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N1∑

−N1

aneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

2

< ε

om N1 = N1(ε) är tillräckligt stort. Men enligt (2.33) gäller

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N∑

−N

cneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

2

≤∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u−N1∑

−N1

aneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

2

,

då N ≥ N1.Vi har därmed visat att för varje ε > 0 finns det ett ett N1 sådant att||u− uN || < ε då N ≥ N1, vilket är innebörden av (2.36).Eftersom uN och u− uN är ortogonala, gäller enligt (2.24) i avsnitt 2.3 att

||u− uN ||2 + ||uN ||2 = ||u||2 , (2.38)


där

||uN ||2 =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣N∑

−N

cneinx

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

2

=

N∑

−N

|cn|2 .

Vi har just visat att ||u− uN || → 0 då N → ∞, så (2.37) följer av (2.38).

Anmärkning*. Observera att Parsevals formel använd på f − g implice-rar att om f och g är Riemannintegrerbara funktioner med samma Fourier-koefficienter, så är ||f − g|| = 0. Det är lätt att visa att om f och g är olikakontinuerliga funktioner på [0, 2π] så gäller ||f − g|| > 0. Det följer att enkontinuerlig funktion är entydigt bestämd av sin Fourierserie.

Exempel 2.20. Använder vi Parsevals formel på funktionen i exempel 2.14får vi

1

2π

∫ π

−π

dx =4

π2

∞∑

−∞

1

(2k + 1)2.

Eftersom

−1∑

−∞

1

(2k + 1)2=

∞∑

1

1

(−2k + 1)2=

∞∑

1

1

(2k − 1)2=

∞∑

0

1

(2k + 1)2

ger detta att

1 =4

π2· 2

∞∑

0

1

(2k + 1)2

ellerπ2

8=

∞∑

0

1

(2k + 1)2= 1 +

1

9+

1

25+ · · · .

Härav följer ånyo Eulers formel

∞∑

1

1

n2=π2

6

ty∞∑

1

1

n2=

∞∑

0

1

(2k + 1)2+

∞∑

1

1

(2k)2=π2

8+

1

4

∞∑

1

1

n2.

2.7. Cosinus- och sinusserier 81

2.7 Cosinus- och sinusserier

Om man ersätter einx med cos nx+ i sin nx i Fourierserien

u(x) =∞∑

−∞cne

inx = limN→∞

N∑

−N

cneinx (2.39)

övergår denna i en serie av formen

u(x) =a02

+

∞∑

1


För varje ändligt N gäller nämligen

uN(x) =N∑

−N

ckeikx =

N∑

−N

ck cos kx +N∑

−N

cki sin kx

= c0 +N∑

k=1

(ck + c−k) cos kx +N∑

k=1

i(ck − c−k) sin kx ,

om vi använder att cos (−kx) = cos kx och sin (−kx) = − sin kx. Detta kanskrivas

uN(x) =a02

+N∑

k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) , (2.41)

om man sätter

an = cn + c−n =1

2π

∫ π

−π

u(x)(e−inx + einx) dx

och

bn = i(cn − c−n) =i

2π

∫ π

−π

u(x)(e−inx − einx) dx .

Då N → ∞ leder (2.41) till (2.40). Lägg märke till att då n = 0 får via0 = 2c0 vilket förklarar nämnaren i termen med a0. Likaså får vi b0 = 0,vilket antyder att (2.40) inte bör innehålla någon term b0 sin 0x. Detta ärdock uppenbart eftersom sin 0 = 0.Enligt Eulers formler kan uttrycken för an och bn också skrivas

an =1

π

∫ π

−π

u(x) cosnx dx , bn =1

π

∫ π

−π

u(x) sinnx dx . (2.42)


Observera att (2.40) bara är ett nytt sätt att skriva serien (2.39), eftersom vianvänder konventionen att de ändliga delsummorna för serien (2.39) skall taspå formen uN , dvs vi summerar symmetriskt från k = −N till k = N . Föratt skilja på de två sätten att skriva serien kommer vi att kalla högerledeti (2.40) den trigonometriska Fourierserien för u vare sig den är konvergenteller ej.Följande är alltså bara en omformulering av Sats 2.12 och innehåller egent-ligen ingen ny information, utom möjligen det sista påståendet.

Sats 2.21. Antag att u är en 2π-periodisk, styckvis C1 funktion och definieratalen an och bn som i (2.42). Om u är kontinuerlig i punkten x så gäller att

u(x) =1

2a0 +

∞∑

1


Om u är kontinuerlig på hela axeln är∞∑1

|an| < ∞,∞∑1

|bn| < ∞ och serien

(2.43) konvergerar likformigt.

Bevis: Det återstår endast att visa att∞∑1

|an| och∞∑1

|bn| konvergerar om∞∑1

|cn| <∞. Detta följer av att

N∑

1

|an| ≤N∑

1

(|cn|+ |c−n|) =N∑

−Nn 6=0

|cn| ≤ limN→∞

N∑

−N

|cn| =∞∑

−∞|cn|

och motsvarande för∞∑1

|bn|.

Låt nu m vara ett positivt heltal och tag u(x) = sinmx i (2.43). Då är allakoefficienterna an och bn noll utom bm som är 1, eftersom de enligt avsnitt2.2 är entydigt bestämda av u. Av (2.42) får vi då

1

π

∫ π

−π

sinmx cosnx dx = 0 ,1

π

∫ π

−π

sinmx sinnx dx =

0 om n 6= m1 om n = m.

Tar man u(x) = cosmx i (2.43), så får man även att

1

π

∫ π

−π

cosmx cosnx dx =

0 om n 6= m1 om n = m > 02 om n = m = 0 .


Dessa formler, som naturligtvis också kan härledas direkt (t ex genom sub-stitution av Eulers formler för de trigonometriska funktionerna), visar attfunktionerna

1√2, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , . . . (2.44)

bildar ett ortonormerat system med avseende på skalärprodukten

(u, v) =1

π

∫ π

−π

u(x)v(x) dx . (2.45)

Att man har√2 i nämnaren på den konstanta funktionen i (2.44) beror på att

för m = 0 har cosmx ≡ 1 ”längden”√2 i skalärprodukten (2.45). Eftersom

u och v är 2π-periodiska funktioner kan man lika gärna integrera från 0 till2π som från −π till π i (2.45), så skillnaden mot vår gamla skalärprodukt(2.12) är endast en faktor 2 i nämnaren. Högerledet i (2.43) kan uppfattassom en koordinatframställning av funktionen u i den ”ortonormerade basen”(2.44). Koordinaterna blir

1√2a0, b1, a1, b2, a2, . . . .

Detta ger följande variant av sats 2.19.

Sats 2.22. För en 2π-periodisk Riemannintegrerbar funktion u, med trigo-nometrisk Fourierserie

1

2a0 +

∞∑

1

(an cosnx+ bn sin nx) ,

gäller1

2|a0|2 +

∞∑

1

|an|2 +∞∑

1

|bn|2 =1

π

∫ π

−π

|u(x)|2 dx . (2.46)

Bevis: Satsen kan bevisas genom att man upprepar beviset för (2.37) meddet ortonormerade systemet einx ersatt av (2.44) . Vi skall i stället härleda(2.46) genom att skriva om (2.37). Vi har ovan sett att an = cn + c−n ochbn = i(cn − c−n), där cn är Fourierkoefficienterna för u. För n > 0 gällerdärför att

|an|2 + |bn|2 = |cn + c−n|2 + |cn − c−n|2 == (cn + c−n)(cn + c−n) + (cn − c−n)(cn − c−n) = 2(|cn|2 + |c−n|2) .


Vidare är a0 = 2c0, så 12|a0|2 = 2|c0|2. Vänsterledet i (2.46) är således två

gånger vänsterledet i (2.37). Eftersom samma förhållande gäller mellan hö-gerleden är det klart att (2.46) följer av (2.37).

Anmärkning*. Vi har funnit två olika ortonormerade system med avse-ende på skalärprodukten (2.12) i vektorrummet V av Riemannintegrerbara2π-periodiska funktioner. Detta är inte konstigare än att vi kan välja mångaolika ortonormerade baser på R

3 försett med den vanliga skalärprodukten.Liksom i det fallet beror valet av ortonormerat system på vilket problem manvill behandla. Jfr diskussionen nedan. Se också avsnittet om andra ortonor-merade system i sektion 2.9.

En fördel med att skriva Fourierserier på formen (2.43) är att om funktionenu är reellvärd så blir koefficienterna an och bn reella tal. Andra situationer då(2.43) kan vara att föredra är när u är en jämn funktion (dvs u(−x) = u(x)för alla x) eller en udda funktion (u(−x) = −u(x) för alla x). Om u är enjämn funktion blir koefficienterna bn lika med noll, ty i (2.42) är integrandensom hör till bn en udda funktion. I detta fall blir (2.43) en ren cosinusserie

u(x) =1

2a0 +

∞∑

1

an cosnx

och eftersom i (2.42) integranden hörande till an är jämn, har man

an =2

π

∫ π

0

u(x) cosnx dx . (2.47)

Om u är en udda funktion försvinner i stället koefficienterna an och (2.43)blir en sinusserie

u(x) =∞∑

1

bn sin nx ,

där

bn =2

π

∫ π

0

u(x) sinnx dx . (2.48)

Eftersom varje funktion u som är given på intervallet [0, π] kan utvidgas tillbåde en jämn funktion uj på intervallet [−π, π] och till en udda funktionuu på samma intervall (se figur) kan vi med hjälp av observationerna ovanbevisa följande sats.


x

y

π−π

Fig. 2.9: Udda och jämna utvidgningar av en funk-tion given på (0, π). I det här fallet är u(+0) 6= 0 såden udda utvidgningen blir diskontinuerlig i x = 0.

Sats 2.23. Låt u vara kontinuerlig och styckvis C1 på intervallet [0, π]. Dåkan u utvecklas i en cosinusserie

u(x) =1

2a0 +

∞∑

1

an cosnx , 0 ≤ x ≤ π , (2.49)

där koefficienterna an ges av (2.47) och∞∑1

|an| <∞. Om det dessutom gäller

att u(0) = u(π) = 0 kan u även utvecklas i en sinusserie

u(x) =

∞∑

1

bn sin nx , 0 ≤ x ≤ π , (2.50)

där koefficienterna bn ges av (2.48) och∞∑1

|bn| <∞.

Bevis: För att härleda (2.49) utvidgar vi först u till en jämn funktion påintervallet [−π, π] (genom att sätta u(−x) = u(x) för x ∈ [0, π]) och däreftertill en 2π-periodisk funktion.Den utvidgade funktionen blir då kontinuerlig och styckvis C1. Vi kan därförtillämpa sats 2.21, och eftersom funktionen är jämn försvinner sinustermernai (2.43).På liknande sätt kan man härleda (2.50). Här börjar man med att utvidgau till en udda funktion på intervallet [−π, π] och sedan till en 2π-periodisk


funktion. Enda skillnaden är att man nu måste kräva att u(0) = u(π) = 0 föratt den utvidgade funktionen skall bli kontinuerlig i punkterna kπ, k heltal.

Anmärkning. En funktion u som uppfyller förutsättningarna i satsen (in-klusive u(0) = u(π) = 0) kan alltså skrivas som såväl en sinusserie som encosinusserie på intervallet [0, π], så att

a02

+∞∑

n=1

an cosnx = u(x) =∞∑

n=1

bn sinnx , 0 ≤ x ≤ π . (2.51)

Se också exemplet nedan. Detta innebär ingen motsägelse mot våra tidigareresultat eftersom de båda serierna i (2.51) har 2π-periodiska summor sombara är lika då x ∈ [0, π]. Summan av serien till vänster är en jämn funktionmedan serien till höger har en summa som är en udda funktion. För varje xi intervallet (−π, 0) kommer alltså serien till höger i (2.51) att ha summan−u(−x) medan serien till vänster att ha summan u(−x), så om u(−x) 6= 0blir summorna olika i punkten x.

Exempel 2.24. Vi skall beräkna cosinus- och sinusserierna för funktionensom ges av sin x då x ∈ [0, π]. Vi börjar med cosinusserien. Enligt (2.47) geskoefficienterna an av

an =2

πIn ,

där In =∫ π

0sin x cosnx dx. För att beräkna In partialintegrerar vi två gånger:

In =

∫ π

0

sin x cosnx dx = [− cos x cosnx]π0 − n

∫ π

0

cos x sinnx dx

= (−1)n + 1− [n sin x sinnx]π0 + n2

∫ π

0

sin x cos nx dx

= (−1)n + 1 + n2In .

Om n 6= 1 kan vi lösa ut In och får

In =

0 om n 6= 1 är udda− 2

n2−1om n är jämnt.

Eftersom I1 =∫ π

0sin 2x

2dx = 0, kan vi nu skriva ned cosinusutvecklingen för

sin x:

sin x =2

π− 4

π

∞∑

m=1

cos 2mx

4m2 − 1. (2.52)


För att plocka fram sinusserien för sin x räcker det egentligen att observeraatt vi uppenbarligen har

sin x =∞∑

n=1

bn sinnx

för alla x ∈ R om vi väljer b1 = 1 och bn = 0, n 6= 1. För säkerhets skullverifierar vi dock att formel (2.48) ger samma resultat. Eftersom sin x sinnxär en jämn funktion får vi

bn =2

π

∫ π

0

sin x sinnx dx =1

π

∫ π

−π

sin x sinnx dx =

1 om n = 1

0 om n > 1,

där vi använt ortogonalitetsrelationerna före (2.44) i sista steget.

Genom att använda Parsevals formel på de 2π-periodiska funktioner somsvarar mot sinus- och cosinusserierna för en given funktion kan vi visa följandesats.

Sats 2.25. Låt u vara en Riemannintegrerbar funktion definierad på inter-vallet [0, π]. Då gäller

2

π

∫ π

0

|u(x)|2 dx =|a0|22

+

∞∑

n=1

|an|2 , (2.53)

där

an =2

π

∫ π

0

u(x) cosnx dx , n ≥ 0 , (2.54)

och2

π

∫ π

0

|u(x)|2 dx =∞∑

n=1

|bn|2 , (2.55)

där

bn =2

π

∫ π

0

u(x) sinnx dx , n ≥ 1 . (2.56)

Speciellt gäller alltså sambandet

|a0|22

+∞∑

n=1

|an|2 =∞∑

n=1

|bn|2

mellan följderna (an)∞n=0 och (bn)

∞n=1.


Bevis: Både (2.53) och (2.55) kan erhållas från sats 2.22. I det första falletgenom att vi fortsätter u som en jämn 2π-periodisk funktion och i det andragenom att vi fortsätter u som en udda 2π-periodisk funktion.Vi börjar med (2.53). Vi låter uj vara den 2π-periodiska funktion som upp-fyller

uj(x) =

u(x), om 0 ≤ x ≤ π,u(−x), om −π ≤ x ≤ 0.

Det är lätt att se att uj är Riemannintegrerbar på [−π, π] (varje trappfunk-tion på [0, π] som approximerar u väl kan utvidgas till en jämn trappfunktionsom approximerar uj väl på [−π, π]). Eftersom uj är jämn innehåller dess tri-gonometriska Fourierserie inga sinustermer (dvs bn(uj) = 0 för alla n ≥ 0).För koefficienterna för cosinustermerna får vi på grund av att uj(x) cos nx ären jämn funktion av x:

an(uj) =1

π

∫ π

−π

uj(x) cosnx dx =2

π

∫ π

0

u(x) cosnx dx = an.

Om vi tillämpar (2.46) på uj får vi alltså

1

π

∫ π

−π

|uj(x)|2 dx =|a0|22

+

∞∑

n=1

|an|2 . (2.57)

Å andra sidan gäller

1

π

∫ π

−π

|uj(x)|2 dx =2

π

∫ π

0

|uj(x)|2 dx =2

π

∫ π

0

|u(x)|2 dx , (2.58)

eftersom |uj(−x)|2 = |uj(x)|2. Om vi kombinerar (2.57) och (2.58) får vi(2.53).För att visa (2.55) inför vi i stället den funktion uu på [−π, π] som uppfyller

uu(x) =

u(x) om 0 < x < π

0 om x ∈ −π, 0, π−u(−x) om −π < x < 0.

Då blir uu en udda Riemannintegrerbar funktion. Speciellt innehåller desstrigonometriska Fourierserie inga cosinustermer och för koefficienterna bn(uu)


gäller

bn(uu) =1

π

∫ π

−π

uu(x) sin nx dx =2

π

∫ π

0

uu(x) sinnx dx

=2

π

∫ π

0

u(x) sinnx dx = bn .

I det sista steget använde vi att integralen inte ändras om vi ändrar integran-dens värde i ändligt många punkter (i det här fallet punkterna x = 0 ochx = π).Om vi nu tillämpar (2.46) på uu får vi alltså

1

π

∫ π

−π

|uu(x)|2 dx =∞∑

n=1

|bn(uu)|2 , (2.59)

och eftersom|uu(−x)|2 = | − uu(x)|2 = |uu(x)|2

gäller

1

π

∫ π

−π

|uu(x)|2 dx =2

π

∫ π

0

|uu(x)|2 dx = 2π

∫ π

0

|u(x)|2 dx . (2.60)

Ekvation (2.55) följer nu om vi kombinerar (2.59) och (2.60).

Exempel 2.26. Vi kan tillämpa sats 2.25 på exempel 2.24.Eftersom sinusutvecklingen av sin x är just 1 · sinx så ger ekvation (2.55) denföga upphetsande identiteten

2

π

∫ π

0

sin2 x dx = |b1|2 = 1 .

Ekvation (2.53) däremot ger

2

π

∫ π

0

sin2 x dx =8

π2+

16

π2

∞∑

m=1

1

(4m2 − 1)2.

Kombinerar vi dessa båda likheter och multiplicerar med π2

16så får vi

π2

16=

1

2+

∞∑

m=1

1

(4m2 − 1)2.


Funktioner på intervallet [0, π] kan alltså utvecklas både i cosinus- och isinusserier (åtminstone om de är noll i ändpunkterna). Båda typerna avutvecklingar kommer att användas i nästa kapitel. Vi avslutar detta avsnittmed ännu en variant som vi kommer att ha bruk för.

Sats 2.27. Om u är en kontinuerlig, styckvis C1 funktion på intervallet[0, π/2] som uppfyller u(0) = 0, så gäller att

u(x) =

∞∑

0

bk sin (2k + 1)x , 0 ≤ x ≤ π

2,

där

bk =4

π

∫ π/2

0

u(x) sin (2k + 1)xdx

och∞∑0

|bk| <∞ .

Bevis: Vi utvidgar först u (se figur 2.10) till en kontinuerlig funktion på [0, π]så att dess graf blir symmetrisk med avseende på linjen x = π/2 (streckad ifiguren), dvs vi sätter u(x) = u(π − x) för x ∈ (π/2, π].Den utvidgade funktionen uppfyller då u(0) = u(π) = 0, så enligt den andradelen av sats 2.23 kan u utvecklas i en sinusserie

u(x) =

∞∑

1

bn sinnx , 0 ≤ x ≤ π ,

där bn ges av (2.48) och∞∑1

|bn| <∞. Eftersom u(π−x) = u(x) då 0 ≤ x ≤ π

har vi att

bn =2

π

(∫ π/2

0

u(x) sinnx dx+

∫ π

π/2

u(x) sinnx dx

)

=2

π

(∫ π/2

0

u(x) sinnx dx +

∫ π/2

0

u(π − x) sinn(π − x) dx

)

=2

π(1− (−1)n)

∫ π/2

0

u(x) sinnx dx .

(I sista steget använde vi att

sin (nπ − nx) = sin nπ cos nx− cosnπ sinnx = 0− (−1)n sin nx .)

2.8. Gibbs’ fenomen 91

Det följer att bn = 0 om n = 2k är jämnt. Om vi slutligen för udda n = 2k+1döper om b2k+1 till bk är det lätt att kontrollera att alla påståenden i satsenär giltiga.

x

y

ππ2−π

Fig. 2.10: Utvidgning av en funktion given på(0, π/2) till en udda funktion vars graf över inter-vallet [0, π] är symmetrisk med avseende på linjenx = π/2.

2.8 Gibbs’ fenomen

I figurerna 2.5–2.8 på sidorna 72–75 visade vi några av partialsummorna,N∑1

bk sin (2k + 1)x, för Fourierserien hörande till en styckvis C1 funktion med

diskontinuiteter. I den sista figuren är partialsummans allmänna form rätt sålik funktionens men vi får rätt så stora fel (i storleksordningen tio till tjugoprocents översläng) vid diskontinuiteterna. Vi skall nu se att detta fel inteblir (väsentligt) mindre hur stort vi än väljer N . Däremot kan man visa att”förbättringen” då N blir stort yttrar sig genom att områdena med stort felkrymper in mot diskontinuitetspunkterna.Vi kommer att betrakta en speciell 2π-periodisk funktion s(x) som bara haren diskontinuitet per period, och för vilken vi kan få explicita uttryck förpartialsummorna sn(x). För allmänna 2π-periodiska, styckvis C1 funktionermed diskontinuiteter kan man sedan uttala sig om partialsummornas upp-förande då n → ∞ genom att kombinera våra observationer för s(x) medsats 2.12. Vi kommer i slutet av det här avsnittet att antyda hur det går till.


Låt s(x) vara den 2π-periodiska funktion som definieras av

s(x) =1

2(π − x) , 0 ≤ x < 2π .

Figur 2.11: Funktionen s(x)

Läsaren kan själv verifiera (jämför övning 201) att s(x) har Fourierserien

∞∑

1

1

ksin kx .

Från sats 2.12 vet vi att denna konvergerar mot s(x) utom i diskontinuitets-punkterna x = 2mπ, m heltal. I dessa punkter är summan av Fourierseriennoll eftersom varje term är noll. Vi skall nu studera delsummorna

sn(x) =

n∑

1

1

ksin kx

närmare. Eftersom sn(x) är en udda, 2π-periodisk funktion, räcker det avsymmetriskäl att betrakta intervallet 0 ≤ x ≤ π.För att finna ett explicit uttryck för sn(x) skall vi utnyttja att s′n(x) =


n∑1

cos kx. Av Eulers formler får vi

n∑

1

cos kx =

n∑

1

eikx + e−ikx

2=

1

2

(n∑

−n

eikx − 1

)

=1

2e−inx e

i(2n+1)x − 1

eix − 1− 1

2för x 6= 0 .

I den sista likheten har vi använt formeln för en geometrisk summa medkvoten eix. Om man förlänger med e−ix/2 i första termen så ser man atthögerledet i uttrycket ovan också kan skrivas

ei(n+1)x − e−inx

2(eix − 1)− 1

2=

ei(n+12)x − e−i(n+ 1

2)x

2(eix/2 − e−ix/2)− 1

2.

Om vi inför funktionerna

Dn(x) =sin (n+ 1

2)x

2 sin x2

så gäller alltså s′n(x) = Dn(x)− 1/2, och eftersom sn(0) = 0 har vi

sn(x) =

∫ x

0

s′n(t) dt =

∫ x

0

Dn(t) dt−x

2för 0 ≤ x ≤ π . (2.61)

För att studera uppförandet av integralen i högerledet då n→ ∞ behöver viföljande hjälpsats.

Lemma 2.28. Med beteckningarna ovan gäller

∫ x

0

Dn(t) dt =

∫ x

0

sinnt

tdt+Rn(x) , (2.62)

där Rn(x) går mot noll likformigt på intervallet 0 ≤ x ≤ π då n→ ∞ .

Bevis: Formeln sin (n+ 12)t = sinnt cos t

2+ cosnt sin t

2ger att

Dn(t) =sin nt

2 tan t2

+1

2cosnt . (2.63)


Eftersom∫ x

0cosnt dt = 1

nsinnx är bara den första termen i högerledet av

(2.63) av intresse då vi skall visa (2.62). Det räcker alltså att visa att

In(x) =

∫ x

0

(sin nt

2 tan t2

− sinnt

t

)dt

går likformigt mot noll på intervallet 0 ≤ x ≤ π då n→ ∞. Sätt

w(t) =1

2 tan t2

− 1

t, 0 < t < π .

Då har funktionen w(t) och dess derivata w′(t) gränsvärden då t→ 0, vilketvi överlåter åt läsaren att verifiera. Om vi integrerar partiellt i In(x) får vi

In(x) =

∫ x

0

w(t) sinnt dt =1

n[−w(t) cosnt]x0 +

1

n

∫ x

0

w′(t) cosnt dt .

Eftersom w och w′ är begränsade på (0, π) följer att In(x) går likformigt motnoll på detta intervall. (Verifiera detta!)

Enligt (2.61) och lemma 2.28 gäller

sn(x) = −x2+

∫ x

0

sinnt

tdt+Rn(x) .

Om vi i integralen gör variabelbytet τ = nt får vi

sn(x) = −x2+G(nx) +Rn(x) , (2.64)

där

G(y) =

∫ y

0

sin τ

τdτ .

Grafen för funktionen G är illustrerad i figur 2.12 (där axlarna är graderadei multipler av π).Funktionen G(y) är noll för y = 0 och växer sedan fram till y = π (eftersomintegranden sin τ

τär positiv då τ ∈ (0, π)). Här byter integranden tecken

och G(y) avtar tills y = 2π osv. Funktionen G(y) har alltså lokala maximaMk = G((2k − 1)π), k = 1, 2, 3, . . . . För att verifiera att M1 = G(π) är ett


Figur 2.12: Funktionen G(y).

globalt maximum räcker det att visa att följden (Mk)∞1 är avtagande dvs att

Mk+1 ≤Mk då k ≥ 1. Vi har

Mk+1 −Mk =

∫ (2k+1)π

(2k−1)π

1

τsin τ dτ =

∫ π

−π

1

s+ 2kπsin s ds

= −∫ π

0

1

(2kπ − t)sin t dt+

∫ π

0

1

2kπ + ssin s ds

=

∫ π

0

(1

2kπ + s− 1

2kπ − s

)sin s ds

= −∫ π

0

2s

(2kπ)2 − s2sin s ds ≤ 0 ,

eftersom integranden i den sista integralen är positiv. På liknande sätt visasatt minimimvärdena G(2πk) bildar en växande sekvens.För växande y blir alltså svängningarna allt mindre. Vidare går G(y) mot π

2

då y → ∞ ty enligt (2.64) gäller om 0 < x < π att

G(nx) =x

2− Rn(x) + sn(x) → x

2+ 0 +

1

2(π − x) ,

då n→ ∞ eftersom sn(x) → s(x) enligt sats 2.12.Vi kan nu beskriva uppförandet av delsummorna sn(x) då n → ∞. I (2.64)går resttermen Rn(x) likformigt mot noll på intervallet [0, π] då n → ∞.


Vidare får man grafen för funktionen G(nx) genom att trycka ihop grafenför G(x) i x-axelns riktning i skalan 1 : n. Detta ger det principella utseendetför sn som illustreras i figur 2.13 i fallet n = 38.

Figur 2.13: Funktionen sn(x) för n = 38.

Tar vi x = πn

ser vi att sn(πn) går mot maximivärdet G(π) för funktionenG då n → ∞. Detta skall jämföras med s(0+) = π

2. Om vi nu inför talet

g = G(π)s(0+)

= 2G(π)π

, dvs

g =2

π

∫ π

0

sin τ

τdτ = 1,179 . . . ,

ser vi att delsummorna nära diskontinuitetspunkten x = 0 skjuter över måletmed faktorn g. Detta kallas Gibbs’ fenomen efter fysikern Gibbs som 1899beskrev fenomenet i ett brev till tidskriften Nature; senare har det uppmärk-sammats att matematikern Wilbraham publicerade samma upptäckt redan1848.

Anmärkning. Tar vi x = 2πn

, så går sn(2πn ) mot minimivärdet G(2π) förfunktionen G, och vi ser att delsummorna även skjuter under s(0+) medfaktorn

2

π

∫ 2π

0

sin τ

τdτ = 0,903 . . . ,

Gibbs’ fenomen är inte begränsat till funktionen s(x). Låt u vara en godtyck-lig 2π-periodisk, styckvis C1 funktion med precis en diskontinuitetspunkt a i


intervallet −π ≤ x < π. Om u(a+0)−u(a−0) = h är diskontinuitetens höjd,och om s(x) är funktionen ovan, så blir funktionen v(x) = u(x)− h

πs(x− a)

styckvis C1 och uppfyller v(a + 0) = v(a − 0), jfr figur 2.14. Om vi sätterv(a) = v(a+ 0) så blir den även kontinuerlig där.

Figur 2.14: Funktionen med den tjocka grafen kan skrivas som summan avC1 funktionen cosx (tunn) och (den streckade) funktionen 1

πs(x− 1).

Enligt sats 2.12 konvergerar Fourierserien för v likformigt mot v. Nära dis-kontinuitetspunkten a måste därför delsummorna Sn(x) för Fourierserien föru uppföra sig på väsentligen samma sätt som delsummorna i Fourierserienför funktionen h

πs(x−a). T ex kommer Sn i vissa punkter nära (och till höger

om) a godtyckligt nära värdet

1

2(u(a+ 0) + u(a− 0)) +

h

2g ,

som skall jämföras med

u(a+ 0) =1

2(u(a+ 0) + u(a− 0)) +

h

2.

Motsvarande resultat gäller om u har mer än en diskontinuitetspunkt i inter-vallet −π ≤ x < π men man får då justera u med flera funktioner av typens(x), en för varje diskontinuitetspunkt, jfr figur 2.15.

Anmärkning*. Det är inte särskilt svårt att visa att Fourierserien för s(x)konvergerar likformigt på [δ, 2π − δ] om δ ∈ (0, π). (Vi har nämligen

supδ≤x≤π

|s(x)− sn(x)| = supδ≤x≤π

|π2−G(nx) +Rn(x)| < ε ,


Figur 2.15: Fyrkantvågen u i exempel 2.14 och funktionen s(x). Man ser lättatt u(x) = s(x)− s(x− π).

om n är så stort att |G(y)− π2| < ε/2 då y ≥ nδ och |Rn(x)| < ε/2.)

Eftersom Fourierserien för funktionen v i diskussionen ovan konvergerar lik-formigt kan vi från detta konkludera att Fourierserien för funktionen u i denförra anmärkningen konvergerar likformigt på ett godtyckligt kompakt inter-vall som inte innehåller någon av diskontinuitspunkterna a+ 2kπ, k heltal.

2.9 Ytterligare kommentarer och anmärkningar

Parsevals formel

Mer allmänt har man en formel motsvarande formeln för skalärprodukten avtvå vektorer uttryckt i deras koordinater:

(u, v) =1

2π

∫ 2π

0

u(x)v(x) dx =∞∑

−∞cn(u)cn(v) (2.65)

om u, v är Riemannintegrerbara.

Låt nämligen vN =N∑−N

cn(v)einx vara N :te partialsumman för v. Då gäller

(u, vN) =1

2π

∫ 2π

0

uN∑

−N

cn(v)e−inx dx =

N∑

−N

cn(u)cn(v) . (2.66)

2.9. Ytterligare kommentarer och anmärkningar 99

Å andra sidan gäller (u, vN) → (u, v) då N → ∞, ty enligt Cauchy–Schwarz’olikhet och (2.36) gäller

|(u, v)− (u, vN)| = |(u, v − vN)| ≤ ||u|| · ||v − vN || → 0 då N → ∞ .

Följaktligen konvergerar∞∑−∞

cn(u)cn(v) med summa (u, v).

Ickefullständighet av rummet av Riemannintegrerbara

funktioner

Vi har sett att för en Riemannintegrerbar periodisk funktion är Fourierkoef-

ficienterna, cn kvadratiskt summerbara, dvs∞∑−∞

|cn|2 <∞ .

Man kan fråga sig om det till varje följd (cn)∞−∞ av tal sådana att

∞∑−∞

|cn|2 <∞finns en periodisk, Riemannintegrerbar funktion som har de givna talen somFourierkoefficienter. Svaret är nej, det finns inte tillräckligt många Riemann-integrerbara funktioner. Man kan emellertid införa ett allmännare integral-begrepp, Lebesgueintegralen, som ger en en fullständig korrespondens mellankvadratiskt integrerbara, periodiska funktioner och kvadratiskt summerbaraföljder av Fourierkoefficienter.

Termvis integration av Fourierserier

Med hjälp av Cauchy–Schwarz’ olikhet är det lätt att visa att Fourierseri-en för en Riemannintegrerbar funktion får integreras termvis. (Den behöver

alltså inte konvergera likformigt.) Låt uN =N∑−N

ckeikx vara den N :te partial-

summan för Fourierserien för u och [a, b] vara ett intervall som är kortare än2π. Då gäller

∫ b

a

u(x) dx =

∫ b

a

(u(x)− uN(x)) dx+

∫ b

a

uN(x) dx. (2.67)

För den första termen i högerledet har vi (om χ[a,b](x) = 1 om x ∈ [a, b] ochnoll annars)∣∣∣∣∫ b

a

(u(x)− uN(x)) dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ a+2π

a

(u(x)− uN(x))χ[a,b](x) dx

∣∣∣∣= |(u− uN , χ[a,b])| ≤ ||u− uN ||

∣∣∣∣χ[a,b]

∣∣∣∣→ 0 ,


då N → ∞ enligt Cauchy–Schwarz’ olikhet och (2.36). Den andra termen ihögerledet av (2.67) är

∫ b

a

uN(x) dx =N∑

k=−N

ck

∫ b

a

eikx dx

som är den N :te partialsumman till serien∞∑

k=−∞ck∫ b

aeikx dx som erhållits

genom termvis integration av Fourierserien till u. Denna är absolutkonvergenteftersom∣∣∣∣ ck∫ b

a

eikx dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ck

eikb − eika

ik

∣∣∣∣ ≤ |ck| ·2

|k| ≤ |ck|2 +1

|k|2 , k 6= 0 .

(Vid integration över en hel period har vi trivialt

∫ a+2π

a

u(x) dx = 2πc0 =∞∑

−∞ck

∫ a+2π

a

eikx dx ,

och med användning av detta är det lätt att reducera integration över ettgodtyckligt kompakt intervall till fallet ovan.)

En kontinuerlig funktion är entydigt bestämd av sina

Fourierkoefficienter

Låt nämligen u och v vara kontinuerliga, 2π-periodiska funktioner med sam-ma Fourierkoefficienter. Då följer av Parsevals formel applicerad på u − vatt

1

2π

∫ 2π

0

|u(x)− v(x)|2 dx

=∞∑

−∞|cn(u− v)|2 =

∞∑

−∞|cn(u)− cn(v)|2 = 0 . (2.68)

Detta medför att u ≡ v, ty om |u(x0)− v(x0)| = ε > 0 för något x0 så finnsdet, eftersom u− v är kontinuerlig, ett δ > 0 så att

|u(x)− v(x)| ≥ ε/2 , då |x− x0| < δ ,


varför ∫ x0+δ

x0−δ

|u(x)− v(x)|2 dx ≥ 2δ · (ε/2)2 > 0 ,

vilket motsäger (2.68). Detta resonemang kan naturligtvis tillämpas även påstyckvis kontinuerliga funktioner.

Féjersummation

Som påpekats i avsnitt 2.2 finns det kontinuerliga, 2π-periodiska funktioner

u för vilka partialsummorna uN(x) =N∑−N

cneinx divergerar t ex för x = 0.

Å andra sidan antyder anmärkningen ovan att man kan rekonstruera u(0)med kännedom om Fourierkoefficienterna. I så kallad Féjersummation er-sätter man partialsummorna uN(x) med deras ackumulerade medelvärdenFN (x, u) =

1N

∑N−1n=0 un(x).

Man kan visa (jfr övning 223) att om u är kontinuerlig, så konvergerar(FN(x, u))

∞N=1 likformigt mot u.

Derivation av trigonometriska serier

Observera att de trigonometriska Fourierkoefficienterna an(u′), bn(u

′) för u′

inte är lika enkelt relaterade till motsvarande koefficienter för u som koef-ficienterna cn(u

′) i sats 2.10. Eftersom derivatorna av sinnx och cos nx ärn cosnx och −n sin nx, har vi under förutsättningarna i sats 2.10

an(u′) = nbn(u) och bn(u

′) = −nan(u) .

Periodiska lösningar till lineära differentialekvationer med

konstanta koefficienter

Vi har tidigare konstaterat att derivatan av funktionen un(x) = einx äru′n(x) = ineinx = inun(x). Genom att upprepa denna räkning ser vi attu(k)n (x) = (in)kun(x).

Speciellt gälleru′n(x) + 2un(x) = (in+ 2)einx ,

så att om det finns en konstant an sådan att anun(x) är en lösning till diffe-rentialekvationen

y′(x) + 2y(x) = cneinx ,


så gäller (in+2)an = cn. Vi ser att y(x) = cnin+2

einx är en lösning. Allmännareföljer det genom linearitet att

yp(x) =

N∑

−N

cnin + 2

einx

är en lösning till

y′(x) + 2y(x) =

N∑

−N

cneinx .

(Visa som övning att yp är den enda periodiska lösningen!)Det är nu uppenbart hur man kan använda utveckling i Fourierserier föratt finna periodiska partikulärlösningar till lineära differentialekvationer medkonstanta koefficienter och periodiskt högerled. Om f är en 2π-periodisk C1

funktion så kan en periodisk lösning till

y′′(t) + by′(t) + ky(t) = f(t) =

∞∑

−∞cn(f)e

int (2.69)

erhållas som

yp(t) =∞∑

−∞

cn(f)

p(in)eint ,

där p(z) = z2 + bz + k är det karakteristiska polynomet som svarar motvänsterledet i (2.69), förutsatt att det inte finns något heltal n med cn(f) 6= 0men p(in) = 0.En allmän lösning till (2.69) har formen

y(t) = yp(t) + yh(t) ,

där yh är en lösning till den homogena ekvationen

y′′ + by′ + ky = 0.

Vi kan bestämma lösningen entydigt genom att specificera begynnelsevärdeny(0) och y′(0). Från teorin för ordinära differentialekvationer följer att ombåda rötterna till den karakteristiska ekvationen p(z) = z2 + bz + k = 0 harnegativ realdel så gäller yh(t) → 0 då t→ +∞. I sådana fall gäller alltså förstora t att y(t) ≈ yp(t) oberoende av begynnelsevillkoren.


Andra ortonormerade system

Precis som i det ändligdimensionella fallet kan man använda Gram–Schmidtortogonalisering för att tillverka ett ortonormerat system utifrån ett givetsystem av lineärt oberoende vektorer.Vi illustrerar metoden genom att åstadkomma ett ortonormalsystem medavseende på skalärprodukten (2.45) som består av polynom. Familjen avmonom qj(x) = xj , j = 0, 1, 2, 3, . . . , är lineärt oberoende, ty om

N∑

j=0

ajqj(x) =N∑

j=0

ajxj = 0

för alla x ∈ [0, 2π] så måste alla koefficienterna aj vara noll eftersom det endapolynom av grad högst N som har mer än N nollställen är nollpolynomet.

Nu definierar vi induktivt pj(x) = bj(qj(x)−j−1∑k=0

ajkpk(x)) för j = 0, 1, 2, . . . ,

där först koefficienterna ajk väljes så att (pj , pr) = 0 för 0 ≤ r < j (dvsajk = (qj, pk)), och sedan bj så att ||pj ||2 = (pj, pj) = 1.Man kan ganska lätt visa att för varje Riemannintegrerbar funktion u på[0, 2π] gäller ||u− uN || → 0 då N → ∞ om

uN(x) =

N∑

k=0

akpk(x) ,

där

ak = (u, pk) =1

2π

∫ π

−π

u(x)pk(x) dx .

Speciellt är uN det polynom av grad högst N som bäst approximerar u iminstakvadratmening. Observera att vi kan bilda sådana approximerandepolynom av godtyckligt hög grad även om u inte är deriverbar, då vi intekan Taylorutveckla u. En annan uppenbar skillnad mot approximation medTaylorpolynom är att alla x ∈ [0, 2π] behandlas i stort sett likvärdigt medanTaylorpolynomet väsentligen bara tar hänsyn till u:s utseende nära en punkt.Det kan kanske tyckas vara en fördel att ha ett ortonormerat system bestå-ende av polynom, men så är i allmänhet inte fallet. Dels blir koefficienterna


i baspolynomen ganska komplicerade, vilket kan misstänkas från

p0(x) = 1

p1(x) =

√3

πx

p2(x) =3√5

2π2(x2 − π2

3) ,

och dels finns det inget enkelt samband mellan koefficienterna ak(u), i ut-vecklingen av en funktion u ∈ C1, och ak(u

′), koefficienterna i utvecklingenav dess derivata.

Kapitel 3

Om värmeledning och musik

Detta kapitel ägnas åt tillämpningar av Fourierserier. Först skall vi, i av-snitten 3.1–3.2, studera värmeledning. I avsnitten 3.3–3.6 studerar vi våg-ekvationen och diskuterar i vad mån den kan användas för att modelleratonbildningen i musikinstrument.

3.1 Värmeledningsekvationen

I en kropp i vilken temperaturen inte är den samma överallt kommer vär-me att ledas från områden med högre temperatur till områden med lägretemperatur. Den förste som gjorde denna process till föremål för matematiskanalys var Fourier i början av 1800-talet. Eftersom ordet Fourierserie härrörfrån dessa studier kan det vara motiverat att inleda kapitlet med en diskus-sion av värmeledning. Vi nöjer oss med att betrakta det enkla specialfall dåtemperaturen antas bero av endast en rumskoordinat, förutom av tiden. Imånga situationer gäller detta antagande med god noggrannhet. Antag t exatt vi har en cylinderformad stav av viss längd som från början har konstanttemperatur. Om staven värms upp i den ena änden kan vi fråga oss när denandra änden får en viss temperatur. För enkelhets skull antas att mantelytanär isolerande så att det inte sker någon värmeförlust över den. Då kommervärmeströmningen att ske i en riktning, från den uppvärmda änden till denouppvärmda. Motsvarande kan sägas om värmeledning i en vägg som skiljertvå rum av olika temperatur. Här försummar vi variationerna i höjd- ochsidled så att temperaturen bara ändras med djupet i väggen.Innan vi börjar härledningen av vår modell så gör vi några allmänna kom-

106 Kapitel 3. Om värmeledning och musik

mentarer baserade på erfarenheten. Eftersom vi är mest vana att tänka i trerumsdimensioner så tänker vi på problemet att bestämma värmefördelningeni en bit paj, säg klockan kvart över tre på torsdag eftermiddag om vi tagitpajen ur ugnen klockan tre. Det är ganska rimligt att en modell för att uttalasig om detta bör innehålla följande:

1. Hur värme omfördelas inom pajen från varma till kalla områden; vikommer att modellera detta med värmeledningsekvationen. (I vår mo-dell kommer ändringar i den lokala värmetätheten (i energi per volym-senhet) att vara proportionella mot ändringar i temperaturen.)

2. Vilken värmefördelningen i biten var då vi tog den ur ugnen; dettakommer vi att modellera genom ett begynnelsevillkor.

3. Hur pajbiten utbyter värme med omgivningen. Det är ganska klart attpajbitens temperatur kommer att utvecklas olika beroende på om visätter in den i frysen, i kylen eller låter den stå i rumstemperatur. Ialla dessa fall kan vi påverka värmeutbytet genom att veckla in pajbiteni isolerande folie eller lägga den i is. Vi antar att all denna inverkan frånomvärlden sker genom pajbitens yta; vi kommer att beskriva den genomrandvillkor.

Det förtjänar också att påpekas att en väl fungerande matematisk modellkan ställas upp utan att man gör några uttalanden om pajbitens ”egentli-ga” egenskaper, t ex om den är uppbyggd av atomer. Om modellen är braeller dålig bedömer vi enbart från dess förmåga att förutsäga olika mätbarakvantiteters värden.Betrakta nu värmeledning längs en linje och låt x vara koordinaten för enpunkt på linjen. Den kropp i vilken vi vill studera värmeledningen antas svaramot intervallet 0 ≤ x ≤ l på linjen.Låt oss förutsätta att kroppen är masshomogen med massan ρ per längden-het. Vidare antar vi att även värmekapacitiviteten c är konstant. Med dettamenas att det åtgår c värmeenheter för att värma upp en viktenhet av krop-pen en grad. Låt [a, b] vara ett godtyckligt delintervall av [0, l] svarande motett segment av kroppen. Vi betecknar med u(x, t) temperaturen i x vid tident och antar i härledningen nedan att u är C2. Den totala värmemängden i[a, b] vid tiden t är lika med

Qab(t) =

∫ b

a

cρu(x, t) dx ,

3.1. Värmeledningsekvationen 107

varför värmetillskottet i segmentet [a, b] per tidsenhet vid tidpunkten t blir

Q′ab(t) =

d

dt

∫ b

a

cρu(x, t) dx .

Värmetillskottet i segmentet per tidsenhet är resultatet av en värmeströmF (x, t) i kroppen till följd av temperaturskillnader mellan olika punkter.(Om vi antar att värme inte kan försvinna, t ex genom kemiska reaktioneri kroppen.) Värmetillskottet i segmentet [a, b] är därför resultatet av värme-strömning över dess ändpunkter x = a och x = b. Om positivt F innebär attflödet sker i riktning av positiva x följer det att

d

dt

∫ b

a

cρu(x, t) dx = F (a, t)− F (b, t) . (3.1)

Experimentellt visar det sig att värmeströmningen i en punkt i en homogenkropp är proportionell mot temperaturgradienten i punkten. Detta kallas förFouriers värmeledningslag. Vi har alltså

F (x, t) = −λ∂xu(x, t) ,

där λ är ett mått på kroppens värmeledningsförmåga. Här antar vi att λär en positiv konstant, alltså även oberoende av u. (I själva verket finns ettsvagt beroende av temperaturen.) Vi får nu att, enligt analysens huvudsats,

F (a, t) − F (b, t) = λ(∂xu(b, t)− ∂xu(a, t)) = λ [∂xu(x, t)]x=bx=a (3.2)

= λ

∫ b

a

∂2xu(x, t) dx .

I (3.1) kan vi ta in tidsderivatan under integraltecknet, jfr avsnitt B.1. Dåföljer, om vi använder uttrycket (3.2) för högerledet och dividerar med kon-stanten cρ, att

∫ b

a

(∂tu(x, t)−

λ

cρ∂2xu(x, t)

)dx = 0 . (3.3)

Konstanten h = λ/cρ kallas värmediffusiviteten eller temperaturlednings-talet. Eftersom (3.3) är sann för alla segment [a, b] och integranden är enkontinuerlig funktion av x, följer av lemma 3.1, på sidan 108 nedan, att umåste uppfylla värmeledningsekvationen

∂tu = h∂2xu . (3.4)


För att bestämma temperaturen u(x, t) för alla x i intervallet 0 ≤ x ≤ l ochför alla t ≥ 0 måste vi vidare känna den ursprungliga temperaturfördelningenu(x, 0) = u0(x) (begynnelsevillkor) samt vad som händer vid ändpunkternax = 0 och x = l. Ett villkor i en ändpunkt x = a kallas ett randvillkor. Ettrandvillkor i x = a är t ex att det inte sker någon värmeströmning över dennarand. Detta kan uttryckas som att F (a, t) = 0, dvs

∂xu(a, t) = 0 , t > 0 .

(Ett sådant villkor på derivatan vid randen kallas ibland ett Neumannvillkor.)Detta är emellertid inte det enda tänkbara randvillkoret. Det kan vara så attvi vill kyla ner eller värma upp kroppen, och det gör vi t ex genom att regleratemperaturen i en ändpunkt. För randpunkten x = a kan vi uttrycka dettasom

u(a, t) = g(t) , t > 0 ,

där g(t) är en given funktion av tiden t. (Dirichletvillkor.) Värmelednings-ekvationen (3.4), tillsammans med en given begynnelsetemperatur samt spe-cificerade randvillkor i bägge ändpunkterna utgör ett klassiskt (endimensio-nellt) värmeledningsproblem. I nästa avsnitt skall vi närmare diskutera någrasådana, och hur de kan lösas med hjälp av Fourierserier.

Anmärkning. En tredje typ av randvillkor fås om man antar att flödet utgenom randen är proportionellt mot temperaturdifferensen mellan randenoch omgivningen (Newtons avsvalningslag). Om omgivningen har tempera-turen noll får vi

∂xu(a, t) = k(u(a, t)− 0) = ku(a, t).

Anmärkning. Ekvationen (3.4) kallas ibland diffusionsekvationen. Då äru(x, t) t ex koncentrationen av någon kemikalie i en vätska. Om denna integenomgår någon reaktion i vätskan kan man resonera på samma sätt somovan för att härleda ekvationen (3.4). I stället för värmemängd talar man omtotal mängd partiklar och i stället för värmeströmning om (partikel-)flöde.Motsvarigheten till Fouriers värmeledningslag blir att flödet är proportionelltmot koncentrationsgradienten, vilket kallas Ficks lag. Konstanten h i (3.4)kallas nu för diffusionskoefficienten.

Lemma 3.1. Antag att funktionen g är reellvärd och kontinuerlig på detslutna intervallet [0, l]. Om

∫ b

ag(x) dx = 0 för varje delintervall [a, b] ⊂ [0, l]

så följer att g(x) ≡ 0.

3.2. Några klassiska värmeledningsproblem 109

Bevis: Antag motsatsen, dvs att det finns någon punkt x0 ∈ [0, l] medg(x0) 6= 0. Vi antar att g(x0) > 0 (annars kan vi betrakta funktionen −g(x)i stället). Eftersom g är kontinuerlig så finns det ett δ > 0 sådant att g(x) >12g(x0) om |x − x0| < δ och x ∈ [0, l]. Om x0 = 0 är intervallets vänstra

ändpunkt får vi

∫ min (δ,l)

0

g(x) dx >

∫ min(δ,l)

0

1

2g(x0) =

min(δ, l)

2g(x0) > 0,

vilket ger en motsägelse. Om x0 = l får vi i stället en motsägelse genom attintegrera över intervallet [max(0, l − δ), l]. Om slutligen x0 ∈ (0, l) kan viintegrera över ett intervall [x0 − δ1, x0 + δ1] där δ1 ∈ (0, δ) valts så litet atthela intervallet är innehållet i [0, l].

3.2 Några klassiska värmeledningsproblem

Fix temperatur i ändarna

Vårt första problem kan matematiskt beskrivas på följande sätt. Vi söker enfunktion u(x, t) som satisfierar

∂tu = h∂2xu , 0 ≤ x ≤ l , t > 0 , (3.5)

u(0, t) = u(l, t) = 0 , t > 0 , (3.6)

u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ l . (3.7)

Här är h en positiv konstant och f en given funktion. Vi kräver att ∂tu och ∂2xuär kontinuerliga för 0 ≤ x ≤ l, t > 0 och att u är kontinuerlig för 0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0. Av det sista villkoret följer att f måste förutsättas kontinuerlig för0 ≤ x ≤ l och att f(0) = f(l) = 0. Villkoren (3.5)–(3.7) utgör en matematiskmodell för värmeledning i en platta med tjockleken l, vilken för t = 0 hartemperaturfördelningen f(x) i x-led och då placeras mellan två isblock. (Omändarna i stället ges temperaturen T0 så kan vi skriva temperaturen somv(x, t) = T0 + u(x, t) där avvikelsen u från T0 satisfierar villkoren (3.5)–(3.7)med f utbytt mot f − T0. Se exempel 3.3 nedan och även övning 304.)Vi skall nu visa att problemet (3.5)–(3.7) har en och endast en lösning, om fär kontinuerlig och styckvis C1. I sådana här sammanhang är det vanligt attman delar upp beviset i två delar; existens och entydighet. Vi skall först visaatt det finns åtminstone en lösning genom att plocka fram en formel (som


innehåller Fourierserier) för den. Sedan skall vi visa att denna lösning är denenda som finns genom att visa att en godtycklig lösning måste ges av formelnvi fick i den första delen av beviset. Vi kommer att sammanfatta resultateni detta avsnitt i sats 3.4.

Existens av lösning:För att lösa problemet (3.5)–(3.7) skall vi använda metoden med separa-tion av variabler. Den går ut på att försöka reducera lösandet av partielladifferentialekvationer (som är nya för oss) till lösandet av ordinära diffe-rentialekvationer. Konkret innebär metoden att vi först söker lösningar tilldifferentialekvationen (3.5) som är produkter av en funktion av x och enfunktion av t:

u(x, t) = v(x)w(t) .

Eftersom u(x, t) ≡ 0 alltid löser (3.5) kallar vi detta den triviala lösningenoch letar efter icke-triviala lösningar, dvs sådana som är skilda från noll iminst en punkt. Vi kan alltså anta att det finns x0 ∈ [0, l] och t0 ≥ 0 sådanaatt v(x0)w(t0) 6= 0.Vi får då av (3.5)

v(x)w′(t) = hv′′(x)w(t) . (3.8)

Härav följer, som vi skall se, att det måste finnas en konstant λ sådan attw(t) och v(x) uppfyller de ordinära differentialekvationerna

w′(t) = hλw(t) , (3.9)

v′′(x) = λv(x) . (3.10)

För att erhålla (3.9) ur (3.8) räcker det att ta ett x0 sådant att v(x0) 6= 0 ochsätta λ = v′′(x0)

v(x0). Man får sedan (3.10) genom att sätta in (3.9) i (3.8) och

dividera med w(t) för något t sådant att w(t) 6= 0. Omvänt är det klart attom ekvationerna (3.9) och (3.10) är uppfyllda med samma λ så gäller (3.8).Anmärkning* Det är ingen inskränkning att anta att u och därmed v ochw är reellvärda ty funktionen f och värmediffusiviteten λ är reella varav detenkelt följer att om u satisfierar (3.5)–(3.7), så gör dess realdel det också (ochimaginärdelen satisfierar motsvarande ekvation med f ≡ 0).

Betrakta nu randvillkoren (3.6). För att u(x, t) = v(x)w(t) skall uppfylladem måste det gälla att

v(0) = v(l) = 0 . (3.11)


Vi skall nu se att detta begränsar de konstanter λ som kan förekomma i(3.10). Av (3.10) och (3.11) följer nämligen t ex att

∫ l

0

(v′(x))2 dx = −∫ l

0

v(x)v′′(x) dx = −λ∫ l

0

(v(x))2 dx .

Här har vi i den första likheten integrerat partiellt och använt (3.11). Vi seratt λ måste vara negativ eftersom integralerna av (v(x))2 och (v′(x))2 måstevara positiva om v är reellvärd och inte försvinner identiskt. (Om v′(x) ≡ 0är v konstant och alltså noll enligt (3.11).)Sätt µ =

√−λ. Då har den allmänna lösningen till (3.10) formen

v(x) = a cosµx+ b sin µx ,

där a och b är konstanter. Villkoret v(0) = 0 medför att a = 0 och kravetv(l) = 0 ger då att sinµl = 0, dvs att µl = nπ, och

λ = −µ2 = −n2π2

l2, n = 1, 2, 3, . . . . (3.12)

Endast för dessa värden på λ finns icke-triviala lösningar till problemet (3.10),(3.11). Lösningarna har formen

vn(x) = bn sin(nπlx), (3.13)

där bn är en konstant.Eftersom (3.9) har den allmänna lösningen w(t) = ceλht får vi, genom attvälja λ som i (3.12), funktioner

un(x, t) = bn e−n2π2ht

l2 sin(nπlx),

en för varje n ∈ Z+, som satisfierar både (3.5) och (3.6).För att även få begynnelsevillkoret (3.7) uppfyllt ansätter vi u(x, t) som en(oändlig) summa av funktioner av detta slag:

u(x, t) =

∞∑

n=1

bne−n2π2ht

l2 sin(nπlx), (3.14)

där bn är konstanter. Villkoret (3.7) blir då (om vi sätter t = 0 i varje termpå höger sida)

f(x) =

∞∑

n=1

bn sin(nπx

l

), 0 ≤ x ≤ π .


Gör vi nu variabelbytet x = ly/π får vi

f

(ly

π

)=

∞∑

n=1

bn sinny , 0 ≤ y ≤ π . (3.15)

Här kan sats 2.23 i föregående kapitel användas. Om vi, förutom att f ärkontinuerlig med f(0) = f(l) = 0, antar att f är styckvis C1 så ger dennasats att f kan skrivas som i (3.15) med

bn =2

π

∫ π

0

f

(ly

π

)sin ny dy . (3.16)

Vidare är, enligt satsen,∞∑1

|bn| <∞, så om u(x, t) definieras av (3.14) blir u

kontinuerlig för t ≥ 0 med u(x, 0) = f(x). (För att inse detta observerar viatt om

E = (x, t) ∈ [0, l]× [0,∞)så gäller

Mn = sup(x,t)∈E

|bne−n2π2ht

l2 sin(nπlx)| ≤ |bn| .

Eftersom∞∑1

|bn| är konvergent, följer det att∞∑1

Mn < ∞, och Weierstrass’

majorantsats implicerar att serien i (3.14) är likformigt konvergent på E.Termerna är kontinuerliga funktioner av (x, t), och följaktligen också summanp g a den likformiga konvergensen. I synnerhet gäller

u(x,+0) = limt→+0

u(x, t) = u(x, 0) = f(x) .)

För t > 0 blir u oändligt deriverbar och kan deriveras termvis. Faktorerna

e−n2π2ht

l2

gör nämligen att de deriverade serierna konvergerar likformigt då t ≥ δ förvarje δ > 0. Eftersom termerna i högerledet av (3.14) uppfyller värmeled-ningsekvationen (3.5) så gäller samma sak för u. Vidare är det klart att usatisfierar (3.6) ty sin

(nπxl

)är noll för x = 0 och x = l.

Anmärkning. För en godtycklig kontinuerlig funktion f som uppfyller vill-koret f(0) = f(l) = 0 är det fortfarande sant att u(x, t), definierat av (3.14),


går mot f(x) då t → 0, likformigt på intervallet 0 ≤ x ≤ l, men vi avstårfrån att bevisa detta här (se dock avsnitt 4.5). Notera dock att det följer frånParsevals formel att

2

l

∫ l

0

|f(x) − u(x, t)|2 dx =

∞∑

n=1

(1− e−

n2π2htl2

)2

|bn|2 ,→ 0 då t→ 0 ,

så att u(x, t) → f(x) i medel då t→ 0. (Vid gränsövergången använde vi attserien är likformig konvergent enligt Weierstrass’ majorantsats eftersom

(1− e−

n2π2htl2

)2

|bn|2 ≤ 4|bn|2

och∞∑1

4|bn|2 = 4∞∑1

|bn|2 är konvergent.)

Innan vi övergår till att visa att det inte finns några andra lösningar användervi lösningsmetoden i ett par exempel.

Exempel 3.2. Betrakta värmeledningsproblemet

∂tu = ∂2xu , 0 ≤ x ≤ 1 , t > 0 ,

u(0, t) = u(1, t) = 0 , t > 0 ,

u(x, 0) = x(1− x) , 0 ≤ x ≤ 1 .

Här är l = 1 och f(lxπ

)= π−2x(π − x). Koefficienterna bn i (3.15) ges av

bn =2

π

∫ π

0

π−2x(π − x) sinnx dx =

8/(πn)3 om n är udda0 om n är jämnt.

(Jämför övning 244b.) Enligt (3.14) har man

u(x, t) =8

π3

∞∑

j=0

(2j + 1)−3e−(2j+1)2π2t sin (2j + 1)πx .

Om tiden t inte är alltför liten blir termerna snabbt mycket små då j växer.Då t ex t ≥ 1 torde approximationen u(x, t) = 8

π3 e−π2t sin πx vara tillräckligt

noggrann för de flesta ändamål. Observera också att u(x, t) → 0 då t → ∞vilket svarar mot att hela staven så småningom antar ändarnas temperatur.


Exempel 3.3. Som en liten variation på föregående exempel, och för attbelysa en kommentar i början på avsnittet, betraktar vi randvärdes- ochbegynnelsevärdesproblemet

∂tv = ∂2xv , 0 ≤ x ≤ 1 , t > 0 ,

v(0, t) = v(1, t) = 1 , t > 0 ,

v(x, 0) = x(1 − x) + 1 , 0 ≤ x ≤ 1 .

Här är randvillkoren v(0, t) = v(1, t) = 1 6= 0. Vi kan emellertid återföraoss på föregående fall genom att införa funktionen u(x, t) = v(x, t)− 1. Detgäller då

∂tu = ∂tv − ∂t1 = ∂tv

∂2xu = ∂2xv − ∂2x1 = ∂2xv = ∂tv = ∂tu

u(0, t) = v(0, t)− 1 = 1− 1 = 0

u(1, t) = v(1, t)− 1 = 1− 1 = 0

u(x, 0) = v(x, 0)− 1 = x(1− x) + 1− 1 = x(1− x) ,

och detta innebär att u löser problemet i föregående exempel.Lösningen till det problemet är (som vi strax skall visa) entydigt bestämd.Alltså har vi

u(x, t) =8

π3

∞∑

j=0

(2j + 1)−3e−(2j+1)2π2t sin (2j + 1)πx .

och

v(x, t) = 1 + u(x, t) = 1 +8

π3

∞∑

j=0

(2j + 1)−3e−(2j+1)2π2t sin (2j + 1)πx .

Speciellt ser vi att v(x, t) → 1 då t → +∞ så att staven återigen antarändarnas temperatur.

Entydighet:Vi skall nu visa att (3.14) är den enda lösningen till problemet (3.5)–(3.7).För enkelhets skull antar vi att l = π. Låt u vara en lösning till problemet.För fixt t > 0 är då x 7→ u(x, t) en C2 funktion av x som är noll för x = 0 och


för x = π. Enligt sats 2.23 kan den därför utvecklas i en likformigt konvergentsinusserie

u(x, t) =

∞∑

1

bn(t) sinnx , (3.17)

där

bn(t) =2

π

∫ π

0

u(x, t) sinnx dx . (3.18)

Integranden u(x, t) sinnx är kontinuerlig även för t ≥ 0 och x ∈ [0, π]. Integ-rationsintervallet är kompakt så vi ser att bn(t) är kontinuerlig för t ≥ 0, jfrsats B.1.För att bestämma koefficienterna bn(t) deriverar vi under integraltecknet i(3.18) (jfr sats B.3) och får, med användning av (3.5),

b′n(t) =2

π

∫ π

0

∂tu(x, t) sinnx dx =2h

π

∫ π

0

∂2xu(x, t) sinnx dx

=2h

π

∫ π

0

u(x, t)∂2x sinnx dx

= −2hn2

π

∫ π

0

u(x, t) sinnx dx = −hn2bn(t) .

I den tredje likheten har vi partialintegrerat två gånger och först använt attsin 0 = sinnπ = 0 och sedan att u(0, t) = u(π, t) = 0, dvs:

∫ π

0

∂2xu(x, t) sinnx dx = [∂xu(x, t) sinnx]πx=0 −

∫ π

0

∂xu(x, t) ∂x sin nx dx

= ∂x(π, t) · 0 − ∂xu(0, t) · 0

− [u(x, t)n cosnx]πx=0 +

∫ π

0

u(x, t) ∂2x sinnx dx

= −(0 · cosnπ − 0 · cos 0) +

∫ π

0

u(x, t) ∂2x sin nx dx .

Vi har således visat att b′n(t) = −hn2bn(t) för t > 0. Löser vi denna differen-tialekvation får vi att

bn(t) = bn(0)e−hn2t ,

där, enligt (3.18),

bn(0) =2

π

∫ π

0

u(x, 0) sinnx dx =2

π

∫ π

0

f(x) sinnx dx .


Vi ser att (3.17) överensstämmer med (3.14) för l = π.Vi sammanfattar resultatet av vår diskussion.

Sats 3.4. Låt f vara en kontinuerlig, styckvis C1 funktion på [0, l] som sa-tisfierar f(0) = f(l) = 0. Då finns det exakt en lösning till värmelednings-problemet (3.5)–(3.7), nämligen

u(x, t) =

∞∑

n=1

bne−n2π2ht

l2 sin(nπlx),

där

bn =2

π

∫ π

0

f

(lx

π

)sinnx dx

är koefficienterna i sinusserien för f .

Vi har också sett att om det finns en lösning i fallet då f bara är kontinuerligså ges den av formeln i satsen då t > 0.

Isolerade ändar

Låt oss nu ändra randvillkoren (3.6) till

∂xu(0, t) = ∂xu(l, t) = 0 , t > 0 , (3.19)

vilket svarar mot att vi har isolerat ändarna så att det inte sker någon vär-meströmning över dem.Detta problem löses på samma sätt som det föregående. Vid separation avvariablerna är det endast villkoren (3.11) som ändras till

v′(0) = v′(l) = 0 . (3.20)

På liknande sätt som förut ser man att differentialekvationen (3.10) har icke-triviala lösningar som uppfyller (3.20) endast då

λ = −n2π2

l2, n = 0, 1, 2, . . . .

Dessa lösningar har nu formen

vn(x) = an cos(nπlx)

(3.21)


och (3.14) motsvaras av

u(x, t) =1

2a0 +

∞∑

1

ane−n2π2ht

l2 cos(nπlx). (3.22)

Genom att sätta t = 0 leds man till att välja konstanterna an som koeffi-cienterna i cosinusserien för f

(lxπ

)och sats 2.23 garanterar att denna funktion

är summan av sin cosinusserie förutsatt att f är styckvis C1. Notera att dåt→ ∞ har vi

u(x, t) → a02

=1

l

∫ l

0

f(x) dx ,

som är medeltemperaturen vid tiden noll. Förklaringen till detta är att efter-som ingen värme kan strömma genom ändarna kan den bara omfördelas inomintervallet. Omfördelningen fortsätter tills temperaturen är densamma över-allt.

Anmärkning. I teorin kommer jämviktstemperaturfördelningen a0/2 aldrig

att uppnås, eftersom ane−n2π2ht

l2 6= 0 för varje ändligt t, om an 6= 0. Redanför tämligen små t blir dock avvikelsen från a0/2 så liten att den i praktikenkan försummas.

På samma sätt som tidigare ser man att (3.22) är den enda lösningen tillproblemet. Sammanfattningsvis:

Sats 3.5. Låt f vara en kontinuerlig, styckvis C1 funktion på [0, l]. Då finnsdet precis en lösning till värmeledningsproblemet (3.5),(3.7),(3.19). Den gesav

u(x, t) =a02

+∞∑

n=1

ane−n2π2ht

l2 cos(nπlx),

där

an =2

π

∫ π

0

f

(lx

π

)cosnx dx , n ∈ N ,

är koefficienterna i cosinusserien för f .

En ände isolerad och en med fix temperatur

Till sist betraktar vi fallet då den ena ändpunkten är nedkyld med is och denandra är isolerad. Detta svarar mot randvillkoren

u(0, t) = ∂xu(l, t) = 0 , t > 0 . (3.23)


Vid separation av variablerna ersätts då (3.11) av

v(0) = v′(l) = 0 . (3.24)

Återigen ser man, med hjälp av partialintegration, att λ måste vara negativi (3.10) för att det skall finnas icke-triviala lösningar som uppfyller (3.24).Om µ =

√−λ, så har lösningarna till (3.10) formen

v(x) = a cosµx + b sinµx

och villkoret v(0) = 0 ger att a = 0. Vidare medför kravet v′(l) = 0 att∂x sinµx = 0 för x = l, dvs cosµl = 0. Detta ger att µl = π

2+ nπ och

λ = −µ2 = −((2n+ 1)π

2l

)2

, n = 0, 1, 2, . . . .

Lösningarna vn(x) blir

vn(x) = bn sin

((2n+ 1)π

2lx

)(3.25)

och (3.14) motsvaras av

u(x, t) =

∞∑

0

bne− (2n+1)2π2ht

4l2 sin

((2n+ 1)π

2lx

). (3.26)

Begynnelsevillkoretu(x, 0) = f(x)

kan nu skrivas

f(x) =∞∑

0

bn sin

((2n+ 1)π

2lx

).

Om funktionen f är kontinuerlig, styckvis C1 och uppfyller f(0) = 0 så gersats 2.27, tillämpad på f

(2lxπ

), att man kan representera f på detta sätt med

koefficienter bn sådana att∞∑0

|bn| <∞ .

Att lösningen (3.26) är entydigt bestämd inses på samma sätt som förut.Märk att även denna gång gäller u(x, t) → 0 då t → ∞ eftersom värme kanlämna staven genom änden x = 0.Vi sammanfattar resultaten för dessa randvillkor:


Sats 3.6. Låt f vara en kontinuerlig, styckvis C1 funktion på [0, l] som upp-fyller f(0) = 0. Då finns det precis en lösning till värmeledningsproblemet(3.5),(3.7),(3.23). Den ges av

u(x, t) =∞∑

n=0

bne− (2n+1)2π2ht

4l2 sin

((2n+ 1)π

2lx

),

där

bn =4

π

∫ π/2

0

f

(2ly

π

)sin (2n+ 1)y dy .

Anmärkning. Den ovan beskrivna metoden med separation av variableranvänds också för att lösa system av ordinära differentialekvationer. Antagnämligen att vi vill finna en vektorvärd funktion u(t) = [u1(t) . . . un(t)]

T

som är deriverbar och satisfierar

u′(t) = Au(t) , (3.27)

u(0) = u0 , (3.28)

där A är en n× n matris och u0 en fix vektor i Rn.Vi söker uj(t), dvs värdet av den j:te koordinaten vid tiden t, för varje t > 0och varje j ∈ 1, . . . , n. För att få ett enklare problem kan vi först separeravariabler, dvs vi söker icke-triviala lösningar till (3.27) på formen φ(t)w, därφ är en skalär funktion av t och w är en konstant vektor, dvs en funktionenbart av j. Om vi ansätter detta i (3.27) får vi

φ′(t)w = Aφ(t)w = φ(t)Aw . (3.29)

Eftersom vi bara är intresserade av icke-triviala lösningar kan vi anta attφ(t0)w 6= 0 för något t0 > 0. Vi ser att (3.29) implicerar att

Aw = λw , w 6= 0 , (3.30)

där λ = φ′(t0)/φ(t0) , vilket i sin tur ger

φ′(t) = λφ(t) . (3.31)

Ekvationen (3.30) är innebörden av att λ är ett egenvärde till A och att wär en egenvektor hörande till detta egenvärde. Det är nu lätt att se att om


vk, 1 ≤ k ≤ m, är lineärt oberoende egenvektorer hörande till egenvärdenaλ1, . . . , λm, som inte nödvändigtvis alla är olika, så är

u(t) =

m∑

k=1

akeλktvk

en lösning till (3.27) för varje uppsättning konstanter a1, . . . , am.Frågan är nu om vi kan välja konstanterna ak så att även (3.28) blir uppfylld,dvs så att

u(0) =

m∑

k=1

akvk = u0 ∈ Rn .

Detta går bra för godtyckligt u0 ∈ Rn om och endast om m = n så att detfinns en bas för Rn bestående av egenvektorer till A, dvs att A är diagonali-serbar. Som bekant är så inte fallet för en godtycklig n× n matris, men omA är reell och symmetrisk, dvs Ajk = Akj, så garanterar spektralsatsen attdet finns en ortonormerad bas för Rn som består av egenvektorer till A. Fören godtycklig kvadratisk matris finns alltid minst ett komplext egenvärde såman kan alltid finna minst en lösning till (3.27) av formen eλtw.Sats 2.23 kan uppfattas som en oändligdimensionell motsvarighet till spek-tralsatsen. T ex säger satsen att varje kontinuerlig, styckvis C1 funktion upå [0, π] kan skrivas

u(x) =

∞∑

k=0

akvk(x) ,

där vk(x) = cos kx satisfierar

v′′k(x) = −k2vk(x)v′k(0) = v′k(π) = 0 ,

dvs de kan uppfattas som egenvektorer till avbildningen v 7→ v′′ definieradpå alla funktioner v ∈ C2[0, π] sådana att v′(0) = v′(π) = 0.

3.3 Den svängande strängen

Musik frambringas ur en gitarr genom att dess strängar försätts i små sväng-ningar. Via gitarrlådan (eller en förstärkare om gitarren är elektrisk) fort-plantas dessa svängningar som tryckvågor genom luften till våra inneröron,

3.3. Den svängande strängen 121

där de slutligen översätts till nervimpulser och ”upplevs” av oss. Ett intres-sant problem är hur strängens längd och spänningsgrad påverkar de tonerden ger ifrån sig vid tillslag. Vi skall i detta och följande avsnitt studera enenkel matematisk modell för den svängande strängen och belysa detta pro-blem. Vi börjar, liksom vid diskussionen av värmeledning, med att härleda enenkel modell för en svängande sträng. Denna modell leder till ett begynnelse-randvärdesproblem för vågekvationen. I nästa avsnitt kommer vi sedan attdiskutera existens och entydighet av lösningar till detta problem.För att modellera strängen förutsätter vi att strängen är fastsatt i ändarnaoch ordentligt sträckt. Vidare antar vi att den svänger transversellt, dvs attvarje punkt på strängen rör sig ortogonalt mot strängens viloriktning. Föratt den skall kunna komma i svängning krävs att den är elastisk, men vikommer trots detta att anta att dess inre spänning har konstant storlek.Denna approximation kräver att utslagen är små. Vi förutsätter också attsträngen inte gör motstånd då man böjer den, så att spänningen alltid harsamma riktning som tangenten till strängen. Detta kräver bl a att strängeninte är alltför tjock.Vi antar att strängen är spänd mellan två punkter med avståndet l ochatt den har masstätheten ρ (massa per längdenhet). Strängens totala massaär alltså ρl. Vidare förutsätter vi att strängen, då den bringas att vibreramed liten amplitud, rör sig i ett plan. I detta plan väljer vi ett ortonormeratkoordinatsystem så att strängens viloläge är det räta linjestycket mellan (0, 0)och (l, 0) på x-axeln. Låt u(x, t) vara avvikelsen (med tecken, vid tiden t) frånjämviktsläget för den punkt på strängen vars viloposition är (x, 0). Kurvany = y(x) = u(x, t), 0 ≤ x ≤ l, beskriver då strängens läge vid tiden t. Viskall bestämma en rörelseekvation för funktionen u(x, t).För att göra detta approximerar vi strängen med en ”diskret” sträng. Dettainnebär att vi delar in intervallet [0, l] i n + 1 lika delar och i varje punktxk = kl

n+1, k = 1, . . . , n, tänker oss en punktmassa av storlek m = ρl

n. Dessa

punktmassor antas förbundna medelst en tunn elastisk sträng med försumbarmassa. Strängen är fixerad i ändpunkterna x = 0 och x = l.Låt S vara storleken av strängens spänning. Man kan visa att om svängning-en har liten amplitud, så är S approximativt konstant. Vi har antagit attamplituden är liten, och betraktar S som konstant. Vi bortser också frångravitationen. Om vi använder beteckningar som i figuren, ser vi att massani punkten xk, där 1 < k < n, påverkas i y-led av kraften

−S sinαk−1 + S sinαk .


x

y

0 x1 xk−1 xk xk+1 xn l

uk−1

S

αk−1

αk

S

uk uk+1

(I figuren har vi för tydlighets skull givit intrycket att amplituden är stor.Det är också möjligt att axlarna är skalade så att det maximala utslageti y-led är en tusendedel av strängens längd.) Vi räknar αk med tecken såatt kraften blir positiv i y-axelns riktning. Eftersom utslagen är små kan viapproximera sinα = α− α3/6 + α5B1(α) med tanα = α + α3/3 + α5B2(α),där B1 och B2 är begränsade då |α| ≤ 1. Då är, om uk = uk(t) = u(xk, t)är utslaget i punkten xk, kraften på massan i xk given av

−S (uk − uk−1)(l

n+1

) + S(uk+1 − uk)(

ln+1

) =n+ 1

lS(uk−1 − 2uk + uk+1) .

Enligt Newtons andra lag, att kraften är massan gånger accelerationen, fårvi

n + 1

lS(uk−1(t)− 2uk(t) + uk+1(t)) = mu′′k(t)

för 1 < k < n. För att få överskådligare formler inför vi beteckningen

q2n =(n + 1)S

lm=

n(n+ 1)S

ρl2,

3.3. Den svängande strängen 123

och får då följande system av differentialekvationer.

u′′1(t)u′′2(t)u′′3(t)

...u′′n(t)

= q2n

−2 1 0 0 . . . 01 −2 1 0 . . . 00 1 −2 1 . . . 0...

...0 0 0 0 . . . −2

u1(t)u2(t)u3(t)

...un(t)

. (3.32)

(Härledningen av den första och sista ekvationen lämnas åt läsaren.)Om vi sätter x0 = 0 och xn+1 = l kan systemet skrivas

∂2t u(xk, t) = q2n (u(xk−1, t)− 2u(xk, t) + u(xk+1, t)) , för k = 1, . . . , n ,

däru(0, t) = u(l, t) = 0 .

Inför vi nu beteckningen h = ln+1

för avståndet mellan två massor som ärgrannar, så gäller xk±1 = xk ± h och vi får ekvationerna

∂2t u(xk, t) = h2q2n[(u(xk − h, t)− 2u(xk, t) + u(xk + h, t))/h2

](3.33)

för k = 1, . . . , n.Om u är C2 i x-variabeln och h är tillräckligt litet kan vi kan använda Taylorsformel för att approximera uttrycket innanför den kantiga parentesen. Vi seratt det går mot ∂2xu(xk, t) då h→ 0, dvs då n→ ∞. Vidare gäller att

h2q2n =

(l

n+ 1

)2n(n+ 1)S

ρl2=

n

n+ 1

S

ρ→ S

ρdå h→ 0 .

Om vi utgår från att den diskreta strängen beter sig allt mer likt den kon-tinuerliga strängen då antalet punktmassor går mot oändligheten, så verkardet alltså rimligt, från (3.33) då h → 0, att anta att utböjningen u(x, t) förden ursprungliga (kontinuerliga) strängen uppfyller vågekvationen

∂2t u = c2∂2xu, 0 ≤ x ≤ l , t > 0 ,

där c =√

Sρ. Eftersom strängens ändar antogs sitta fast, satisfierar u(x, t)

randvillkoren u(0, t) = u(l, t) = 0 för t ≥ 0. För att bestämma u måste videssutom känna till strängens begynnelseläge u(x, 0) och dess begynnelsehas-tighet ∂tu(x, 0).


Anmärkning. Vågekvationen är en matematisk modell för den svängandesträngen. Om modellen är bra eller dålig kan endast avgöras experimentellt.För en gitarrsträng visar sig modellen vara bra, medan den för en piano-sträng inte beskriver verkligheten tillräckligt exakt. Vi återkommer till dettai avsnitt 3.6.

3.4 Övertonsserien för en svängande sträng

Problemet att bestämma den svängande strängens rörelse kan enligt förraavsnittet matematiskt formuleras på följande sätt. Vi söker en funktion u(x, t)som uppfyller

∂2t u = c2∂2xu , 0 ≤ x ≤ l, t > 0 , (3.34)

u(0, t) = u(l, t) = 0 , t > 0 , (3.35)

u(x, 0) = f(x) och ∂tu(x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ l . (3.36)

Här är c =√S/ρ, där S är spänningen i strängen och ρ dess masstäthet.

Vi kräver att u och ∂tu är kontinuerliga i området 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0 och att∂2xu och ∂2t u existerar och är kontinuerliga då 0 ≤ x ≤ l, t > 0. Av villkorenföljer att de givna funktionerna f och g måste förutsättas kontinuerliga för0 ≤ x ≤ l och att

f(0) = f(l) = g(0) = g(l) = 0 , (3.37)

vilket svarar mot att strängen är fastspänd i ändarna.

x

t

0 l

u = 0 u = 0∂2t u = c2∂2xu

u = f∂tu = g

3.4. Övertonsserien för en svängande sträng 125

Det räcker att betrakta problemet (3.34)–(3.36) i specialfallet l = π ochc = 1. Det allmänna fallet kan nämligen återföras på detta genom att maninför hjälpfunktionen

U(x, t) = u

(lx

π,lt

πc

). (3.38)

Funktionen U uppfyller då villkoren

∂2tU = ∂2xU för 0 ≤ x ≤ π, t > 0

U(0, t) = U(π, t) = 0 då t ≥ 0

U(x, 0) = f

(lx

π

)och ∂tU(x, 0) =

l

πcg

(lx

π

)då 0 ≤ x ≤ π

som är villkor av typen (3.34)–(3.36) med l = π och c = 1. Om vi kan finnaen funktion U som uppfyller dessa villkor kan vi sedan använda (3.38) för attbestämma en lösning för andra värden på l och c.Liksom för värmeledningsproblemen skall vi nu visa att problemet (3.34)–(3.36) med l = π och c = 1 har en och endast en lösning genom att studeraexistens och entydighet var för sig.Vi börjar med entydigheten, och antar att u(x, t) är en lösning. Då är, förfixt t > 0, utböjningen u(x, t) en C2 funktion på intervallet 0 ≤ x ≤ π ochden är noll i ändpunkterna. Enligt sats 2.23 kan den därför utvecklas i enlikformigt konvergent sinusserie

u(x, t) =

∞∑

1

bn(t) sinnx , (3.39)

där

bn(t) =2

π

∫ π

0

u(x, t) sinnx dx . (3.40)

Av förutsättningarna på u följer att bn(t), definierad av (3.40), är en C2

funktion för t > 0 och i C1 för t ≥ 0.För att bestämma bn(t) deriverar vi två gånger under integraltecknet och fårdå, om vi utnyttjar (3.34),

b′′n(t) =2

π

∫ π

0

∂2t u(x, t) sinnx dx =2

π

∫ π

0

∂2xu(x, t) sinnx dx .


Vi partialintegrerar två gånger och använder att såväl sin nx som u(x, t) ärnoll i intervallets ändpunkter. Då får vi

b′′n(t) = −2

π

∫ π

0

u(x, t)n2 sinnx dx = −n2bn(t) , t>0 .

Lösningen till denna differentialekvation för bn(t) kan skrivas

bn(t) = bn(0) cosnt+b′n(0)

nsinnt .

Här är

bn(0) =2

π

∫ π

0

u(x, 0) sin nx dx =2

π

∫ π

0

f(x) sin nx dx ,

och

b′n(0) =2

π

∫ π

0

∂tu(x, 0) sinnx dx =2

π

∫ π

0

g(x) sinnx dx .

Vi har alltså visat (jfr med sats 3.8):Om problemet med den svängande strängen har en lösning, så ges denna av

u(x, t) =

∞∑

1

(An cosnt +

Bn

nsin nt

)sin nx , (3.41)

där An och Bn är koefficienterna i sinusserierna för f respektive g i inter-vallet 0 ≤ x ≤ π , dvs

An =2

π

∫ π

0

u(x, 0) sin nx dx =2

π

∫ π

0

f(x) sin nx dx ,

Bn =2

π

∫ π

0

∂tu(x, 0) sin nx dx =2

π

∫ π

0

g(x) sinnx dx .

Anmärkning. Alternativt kan vi skriva (3.41) på formen

u(x, t) =∞∑

1

Cn sin (nt+ δn) sin nx , (3.42)

med C2n = A2

n +(Bn

n

)2och lämpliga vinklar δn.


Vi kan också komma fram till formeln (3.41) genom separation av variablerna.Det går till på samma sätt som för värmeledningsekvationen i avsnitt 3.2.Läsaren uppmanas att själv genomföra detaljerna.

Anmärkning. Från formel (3.41) ser vi att lösningen u(x, t) beror lineärtpå begynnelsedata f, g, t ex ger en tiodubbling av f och g en motsvarandetiodubbling av u(x, t). Denna egenskap finns förmodligen inte hos verkligasträngar eftersom vi vid härledningen av vågekvationen antagit att sväng-ningsamplituden är liten.

Det återstår att lösa existensproblemet, dvs verifiera att (3.41) verkligen ären lösning till problemet (3.34)–(3.36). Än så länge har vi inte ens visatatt serien i högerledet av (3.41) konvergerar mot en kontinuerlig funktionu(x, t), och ännu mindre att summan är C2. För att så skall vara fallet krävsatt funktionerna f och g uppfyller vissa regularitetskrav. I nästa avsnitt skallvi visa att om f ∈ C2 och g ∈ C1 uppfyller villkoren (3.37) och dessutomf ′′(0) = f ′′(π) = 0, så finns en C2 lösning u(x, t) i 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0, somsatisfierar (3.34)–(3.36).Då f och g inte uppfyller dessa förutsättningar så definierar inte serien i(3.41) en två gånger differentierbar funktion ens för t > 0. Det är nämligenlätt att se att högerledet i (3.41) är 2π-periodiskt i t, så om summan u(x, t)konvergerar och uppfyller (3.36), så gäller u(x, 2π) = u(x, 0) = f(x). Dettaillustrerar en väsentlig skillnad mellan vågekvationen och värmeledningsekva-tionen: lösningar till värmeledningsekvationen blir ”mjukare och mjukare” dåt växer, medan lösningar till vågekvationen är periodiska funktioner av t såatt i synnerhet begynnelsesituationen återkommer om och om igen.För verkliga strängar dämpas svängningarna med tiden så att de inte fortsät-ter att svänga i all evighet—detta är en egenskap hos verkliga strängar sominte återges korrekt av vår enkla modell, se dock övning 326. Å andra sidanger modellen ofta en god beskrivning av verkliga svängningsförlopp under såkorta tider att svängningarna inte hinner dämpas väsentligt.Vi har nu sett att f och g måste uppfylla ganska starka villkor för att (3.41)verkligen skall ge en C2 lösning till vårt svängningsproblem. Icke desto mindrekan man med hjälp av resultaten i kapitel 2 visa att om f, g är kontinuerligaoch f dessutom är styckvis C1 med f(0) = f(π) = 0 så är högerledet i (3.41)likformigt konvergent och dess summa u(x, t) är en kontinuerlig funktion somkallas en svag lösning till problemet (3.34)–(3.36). Nästa exempel och dendärpå följande anmärkningen visar att även svaga lösningar till problemetmed den svängande strängen är av intresse.


Exempel 3.7. Vi drar ut en sträng med längden l i dess mittpunkt ett litetstycke h från jämviktsläget, och släpper den sedan. Med beteckningarna ovanhar vi

f(x) =

2hxl, 0 ≤ x ≤ l

22h(l−x)

l, l

2≤ x ≤ l

och g(x) = 0 , 0 ≤ x ≤ l ,

se figuren i exempel 3.11 på sidan 139.Vi antar först att l = π och c = 1. Då är

An =2

π

∫ π

0

f(x) sinnx dx

=2

π

(∫ π/2

0

2hx

πsin nx dx +

∫ π

π/2

2h(π − x)

πsin nx dx

)

=4h

π2

([−x cos nx

n

]π/20

+

∫ π/2

0

cosnx

ndx+

[−(π − x) cosnx

n

]π

π/2

−∫ π

π/2

cosnx

ndx

)=

4h

π2n2

([sinnx]π/20 − [sinnx]ππ/2

)

=8h

π2n2sin

nπ

2

och

Bn =2

π

∫ π

0

g(x) sin nx dx = 0 .

Lösningsformeln (3.41) ger alltså

u(x, t) =8h

π2

∞∑

0

(−1)k

(2k + 1)2cos (2k + 1)t sin (2k + 1)x

för 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0. För allmänna l och c får vi enligt (3.38)

u(x, t) =8h

π2

∞∑

0

(−1)k

(2k + 1)2cos

((2k + 1)

πct

l

)sin((2k + 1)

πx

l

)

för 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0. Detta är emellertid endast en svag lösning, ty f(x) =u(x, 0) är inte C2 och följaktligen inte u(x, 2π) heller, eftersom u är 2π-periodisk i t. Vi kommer att återkomma till u(x, t) i exempel 3.11.


Anmärkning. Exempel 3.7 är en matematisk formulering av vad som händer dåman släpper en gitarrsträng efter att ha dragit den åt sidan i dess mittpunkt.Exemplet skulle vara mer realistiskt om f vore rundare kring x = l

2 , säg oändligtmånga gånger deriverbar. Ersätt t ex f med

fN (x) =

N∑

1

An sinnπx

l, 0 ≤ x ≤ l ,

med koefficienterna An som i exemplet. Då går fN likformigt mot f då N → ∞, ochför varje ändligt N är motsvarande lösning uN en äkta lösning till vågekvationen(eftersom (3.41) i det fallet blir en ändlig summa av C∞ funktioner) och vi har

|u(x, t)− uN (x, t)| =∣∣∣∣∣

∞∑

N+1

An cosnπct

lsin

nπx

l

∣∣∣∣∣ ≤8h

π2

∞∑

2k≥N

1

(2k + 1)2→ 0

då N → ∞. Alltså går uN mot u likformigt då N → ∞, så om N är stort skiljer siguN obetydligt från den svaga lösning vi fick fram i exemplet. Av det sagda framgåratt det är naturligt att betrakta u som en lösning till det fysikaliska problemet. Ipraktiska sammanhang är det dessutom oftast inte önskvärt eller mycket svårt attavgöra exakt hur den ”faktiska”, C2, begynnelseformen f skiljer sig från den ideali-serade triangelformen i exemplet. Man kan hoppas att egenskaper hos lösningarnauN som inte ändras särskilt mycket då man varierar N svarar mot egenskaper somfinns hos alla lösningar som svarar mot begynnelsevillkor som är lika triangelformenf , och alltså inte beror kritiskt på hur ”kröken” ser ut.

Inom ramen för den s. k. distributionsteorin har man på ett matematiskt stringent

sätt generaliserat begreppen funktion och derivata så att varje kontinuerlig funktion

kan ”deriveras” hur många gånger som helst. Speciellt kommer en svag lösning att

satisfiera (3.34)–(3.36) om derivatorna tolkas i distributionsmening.

Låt oss nu titta närmare på lösningsformeln (3.42) på sidan 126. Den innebäratt u kan skrivas som en oändlig summa av vad man kallar egensvängningar.Uttryckta i de ursprungliga variablerna x och t har dessa formen

Cn sin

(nπct

l+ δn

)sin

nπx

l. (3.43)

Fysikaliskt svarar en egensvängning mot en stående våg. En sådan har egen-skapen att alla punkter på strängen rör sig i fas och svänger som sin

(nπctl

+ δn)

men med varierande amplitud Cn sinnπxl

, se också figur 3.1. Motsvarande fre-kvenser, dvs antalet svängningar per tidsenhet är

1

2π

nπc

l=

nc

2l.


5

− 0.5

π4

0

0.5

385π

1

t

x

283π

18π

0

Figur 3.1: Den stående vågen u(x, t) = sin 2x sin (4t+ π2) för 0 ≤ x ≤ π och

0 ≤ t ≤ 5. Tidsaxeln pekar snett åt vänster och x-axeln snett åt höger.

Dessa s k egenfrekvenser svarar mot de rena toner strängen kan ge ifrån sig.För n = 1 får vi grundtonen och för övriga n strängens övertoner. I figurerna3.2–3.5 har vi skisserat utseendet av några av egensvängningarna, för de tidersom gör att faktorn framför sin nπx

li (3.43) blir ±Cn. Vi har för enkelhets

skull antagit Cn = 1.

De punkter x som, förutom ändpunkterna, är i vila för alla t kallas nod-punkter. För den stående våg som hör till den n:te övertonen bestäms dessaav

sinnπx

l= 0 dvs x = k

l

n+ 1, k = 1, 2, . . . , n.

En ton är, till skillnad från buller eller oväsen, en periodisk svängning. Närflera rena toner hörs samtidigt upplevs kombinationen som harmonisk omfrekvenserna är små heltalsmultipler av en lägsta fundamental frekvens. Lös-ningsfunktionen u(x, t) till problemet med den svängande strängen represen-terar en ton eftersom den är periodisk med perioden 2l

c, dvs med frekvensen

c2l

, som alltså är grundtonens frekvens. När vi vill spela ettstrukna a på engitarr skall u ha frekvensen 440 Hz. Eftersom c =

√S/ρ, där S är strängens

3.5. D’Alemberts formel 131

Figur 3.2: Grundtonen för två olika tider (i motfas).

spänning och ρ dess masstäthet, krävs det att

1

2l

√S

ρ= 440 .

Här kan vi variera samtliga parametrar S, ρ och l för att uppnå detta. Vibestämmer ρ genom att välja ut den av sex strängar vi skall spela på. Viväljer l genom att sätta fingret på ett visst ställe på strängen och slutligenkan S varieras genom att vi använder stämskruvarna. Däremot påverkar intebegynnelsevillkoren, dvs funktionerna f och g, grundtonens och övertonernasfrekvenser. De bestämmer i stället koefficienterna Cn och därmed i vilkenutsträckning de olika övertonerna bidrar till det ljud som produceras. Depåverkar alltså klangen. Denna beror bl a på hur vi exciterar strängen, dvsom vi knäpper (gitarr, cembalo), gnider (violin) eller slår (piano) på strängen.

Anmärkning. I vår modell är egensvängningarnas amplitud oberoende avtiden. Som tidigare påpekats är (kanske lyckligtvis) så inte fallet med verkligasträngar vilkas svängningar dämpas ut genom bl a luftmotstånd. Genom luft-motståndet omvandlas strängens svängningsenergi till svängningar i luften,dvs akustiska vågor som gör att tonen hörs.

3.5 D’Alemberts formel

I detta avsnitt skall vi beskriva en alternativ metod för att lösa randvärde-sproblemet (3.34)–(3.36). Speciellt kommer denna nya metod att hjälpa ossatt visa när det finns en lösning.


Figur 3.3: Första övertonen för två olika tider (i motfas).

Vi börjar med att studera lösningarna till vågekvationen

∂2t u = c2∂2xu , x ∈ R, t > 0 , (3.44)

på hela reella axeln. Vi gör variabelbytet

ξ = x+ ct , η = x− ct ,

dvs ansätter att u(x, t) = w(x+ ct, x− ct) för någon funktion, w(ξ, η), av tvåvariabler som är C2 i halvplanet ξ > η. En kort räkning, som vi överlåter åtläsaren, visar att (3.44) är ekvivalent med ekvationen

∂2w

∂ξ∂η= 0 , ξ > η , (3.45)

som är lätt att lösa. (Av ∂∂ξ

(∂w∂η

)= 0 sluter vi nämligen att ∂w

∂η är oberoende av

ξ, dvs att ∂w∂η = g(η) för någon funktion g av en variabel. Om G(η) är en primitiv

funktion till g, dvs G′ = g, följer det att

∂

∂η(w −G(η)) = 0 ,

dvs att w(ξ, η) −G(η) är en funktion F (ξ) som inte beror på η.)

Den allmänna lösningen till (3.45) ges av

w(ξ, η) = F (ξ) +G(η) ,


Figur 3.4: Andra övertonen för två olika tider (i motfas).

där F och G är funktioner av en variabel. Det följer att en lösning till (3.44)måste ha formen

u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct) . (3.46)

Om F och G är i C2 är detta verkligen en lösning eftersom vi då kan utföraderivationerna i (3.44). För t = 0 ger (3.46) att u(x, 0) = F (x) + G(x)och geometriskt betyder lösningen (3.46) att funktionen u(x, 0) splittras itvå vågor som går att var sitt håll med hastigheten c, se figur 3.6. För attbestämma funktionerna F ochG räcker det inte med att ange u(x, 0) eftersom(3.44) innehåller andraderivator med avseende på t. Vanligen föreskriver mans k Cauchy-data (efter Augustin Cauchy (1789–1857)), dvs villkor av formen

u(x, 0) = f(x) , ∂tu(x, 0) = g(x) , x ∈ R . (3.47)

Att anpassa F och G till dessa villkor innebär att jämföra data i (3.47) medvad vi får då vi sätter t = 0 i (3.46) och dess derivata med avseende på t.Det innebär att vi skall lösa

F (s) + G(s) = f(s) , c(F ′(s)−G′(s)) = g(s) , s ∈ R .

Genom att integrera den andra ekvationen från s = 0 till s = x får vi detekvivalenta systemet

F (x) + G(x) = f(x) , F (x)−G(x) =1

c

∫ x

0

g(s) ds + F (0) − G(0) .


Figur 3.5: Tredje övertonen för två olika tider (i motfas).

Härur får vi

F (x) =1

2

(f(x) +

1

c

∫ x

0

g(s) ds+ C

)

G(x) =1

2

(f(x) − 1

c

∫ x

0

g(s) ds− C

)

där C = F (0)−G(0). Vid insättning i formel (3.46) faller konstanten C bortoch vi får

u(x, t) =1

2

(f(x+ ct) +

1

c

∫ x+ct

0

g(s) ds + f(x− ct) − 1

c

∫ x−ct

0

g(s) ds

)

=1

2

(f(x+ ct) + f(x− ct) +

1

c

∫ x+ct

x−ct

g(s) ds

).

Omvänt ser man lätt att denna funktion löser vågekvationen (3.44) och upp-fyller villkoren (3.47) om f är C2 och g är C1. Sammanfattningsvis har vialltså

Sats 3.8. Om vågekvationen ∂2t u(x, t) = c2∂2xu(x, t), för x ∈ R och t > 0,med Cauchydata

u(x,+0) = f(x) , ∂tu(x,+0) = g(x)


0

1

2

3

4

5

6

7

-6 -4 -2 2 4 6x

Figur 3.6: Funktion F +G delar upp sig.

har en lösning, så ges denna av d’Alemberts formel (efter Jean d’Alembert(1717–1783))

u(x, t) =1

2

(f(x+ ct) + f(x− ct) +

1

c

∫ x+ct

x−ct

g(s) ds

). (3.48)

Om f är C2 och g är C1 så är (3.48) verkligen en C2 lösning till problemet.

Ur d’Alemberts formel följer att värdet av u i punkten (x0, t0) bara berorav f :s värden i de två punkterna x0 ± ct0 samt av g:s värden i intervallet(x0 − ct0, x0 + ct0) på x-axeln. Man kan konstruera detta intervall genom attdra linjerna x− x0 = ±c(t− t0) från (x0, t0) tills de skär x-axeln.Linjerna x ± ct = konstant kallas vågekvationens karakteristikor. Genomen given punkt (x0, t0) går precis två karakteristikor (se den vänstra figurennedan). På den ena är termen F (x+ ct) i formel (3.46) konstant och på denandra är termen G(x− ct) konstant.

x

t

x0 − ct0 x0 + ct0

(x0, t0)

x

t

x0


Vi drar de två karakteristikorna genom punkten (x0, 0). Funktionen f :s värdei x0 påverkar lösningen u(x, t) endast i punkter på dessa karakteristikor.Däremot influerar g:s värde i x0 funktionen u i hela det skuggade området ifiguren till höger ovan.Speciellt ser vi att om Cauchydata u(x, 0) och ∂tu(x, 0) är noll då x ≥ 0, såkommer u(5, t) att vara noll åtminstone då t ≤ 5/c, dvs tills någon karakte-ristika som passerar x-axeln i en punkt x0 där Cauchydata inte är noll skärlinjen x = 5.

Ovan diskuterade vi vågekvationen i ett område som var obegränsat i x–led. Låt oss nu återvända till problemet med den svängande strängen med0 ≤ x ≤ l, dvs problemet

∂2t u = c2∂2xu , 0 ≤ x ≤ l , t > 0 (3.49)

u(x, 0) = f(x) , ∂tu(x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ l , (3.50)

u(0, t) = u(l, t) = 0 , t ≥ 0 . (3.51)

För att rand- och begynnelsevillkor skall gå ihop kräver vi att

f(0) = f(l) = g(0) = g(l) = 0 . (3.52)

Vi såg i föregående avsnitt att vi, för att u skall bli C2, måste kräva attf ∈ C2 och g ∈ C1.Vi skall visa hur vi med hjälp av d’Alemberts formel kan besvara existens-frågan för problemet ovan. Dvs vi skall visa att problemet faktiskt har en C2

lösning u om funktionen f utöver villkoren ovan också satisfierar f ′′(0) =f ′′(l) = 0 . (Detta villkor är naturligt för att begynnelsvillkoret skall pas-sa ihop med randvillkoren u(0, t) = u(l, t) = 0. Om t ex f ′′(0) 6= 0 ochvågekvationen gäller även för t = 0 följer det att

∂2t u(0, 0) = c2∂2xu(0, 0) = c2f ′′(0) 6= 0 .)

Under dessa förutsättningar kan f och g utvidgas till udda 2l-periodiskafunktioner f(x) och g(x) definierade på hela reella axeln, som i beviset avsats 2.23. Dessutom blir f en C2 funktion och g en C1 funktion, se exempel3.10 på sidan 138 nedan.Det följer från sats 3.8 att Cauchy-problemet

∂2t u = c2∂2xu , u(x,+0) = f(x) , ∂tu(x,+0) = g(x) , (3.53)


för x ∈ R och t > 0 har entydig lösning u(x, t), given av (3.48) med f = f ochg = g, och denna lösning är C2. Vi skall nu se att restriktionen av u till halv-strimlan 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0 löser problemet (3.49)–(3.51). Speciellt kommerdetta att visa att det finns åtminstone en lösning till problemet (3.49)–(3.51),och vi såg i förra avsnittet att detta problem har högst en lösning.Från konstruktionen av funktionen u är det klart att den satisfierar (3.49) och(3.50). För att verifiera (3.51) får vi arbeta lite mer. Vi börjar med att visa attför fixt t blir funktionen u(x, t) en udda, 2l-periodisk funktion av x. För attinse att den är udda observerar vi att U(x, t) ≡ −u(−x, t) också satisfierar(3.53), eftersom f och g är udda. Men lösningen till detta problem är entydigtbestämd enligt sats 3.8, så det måste gälla −u(−x, t) = U(x, t) = u(x, t).Att u(x, t) är 2l-periodisk som funktion av x följer direkt från formel (3.48)eftersom f = f och g = g är 2l-periodiska.Genom att sätta in x = 0 i identiteten −u(−x, t) = u(x, t) inser vi attu(0, t) = 0. Att även u(l, t) = 0 följer om man sätter x = 0 i identiteterna

u(x+ l, t) = u(x− l, t) = −u(l − x, t) ,

som följer av att u är 2l-periodisk och udda som funktion av x. Därmed harvi visat att u satisfierar (3.51).Vi sammanfattar våra resultat för den svängande strängen:

Sats 3.9. Begynnelse-randvärdesproblemet (3.49)–(3.51) för den svängandesträngen har en entydig C2 lösning u om f ∈ C2[0, l], g ∈ C1[0, l] och

f(0) = f(l) = f ′′(0) = f ′′(l) = g(0) = g(l) = 0 .

Lösningen kan skrivas

u(x, t) =∞∑

n=1

(An cos

nπct

l+lBn

nπcsin

nπct

l

)sin

nπx

l, (3.54)

där

An =2

π

∫ π

0

f

(lx

π

)sinnx dx och Bn =

2

π

∫ π

0

g

(lx

π

)sinnx dx

är koefficienterna i sinusutvecklingarna för f och g. Lösningen kan ocksåskrivas

u(x, t) =1

2f(x+ ct) + f(x− ct) +

1

2c

∫ x+ct

x−ct

g(s) ds , (3.55)


där f ∈ C2(R) och g ∈ C1(R) är de udda, 2l-periodiska utvidgningarna av foch g.

Anmärkning. Eftersom f och g är C1 och är noll då x = 0 eller x = l,så följer det av sats 2.23 att koefficienterna An och Bn i deras sinusserier

är absolutsummerbara, dvs∞∑n=1

|An| < ∞ och∞∑n=1

|Bn| < ∞ . Härav följer

det lätt medelst Weierstrass’ majorantsats att serien i (3.54) är likformigtkonvergent.

Exempel 3.10. Låt f vara en C2 funktion på [0, π] som satisfierar villkorenf(0) = f(π) = 0, och låt f beteckna dess utvidgning till en 2π-periodisk,udda funktion på hela R. Vi skall visa att f är C2 om och endast omf ′′(0) = f ′′(π) = 0. (Om f(0) 6= 0 eller f(π) 6= 0 så blir f diskontinuer-lig i motsvarande punkt.) Det är klart att f är 2π-periodisk, så det räckeratt undersöka om f är C2 på intervallet I = (−π, 2π), som är längre än 2π.På I ges f av

f(x) =

−f(−x) då x ∈ (−π, 0)f(x) då x ∈ [0, π]

f(x− 2π) = −f(2π − x) då x ∈ (π, 2π) .

(I beskrivningen av f(x) för x > π använde vi först att f skall vara 2π-periodisk och sedan att f(x − 2π) = −f(2π − x) då −π < x − 2π < 0.)På (−π, 0) kan f uppfattas som sammansättningen av funktionerna −f(y)och g(x) = −x. Eftersom båda dessa funktioner är C2 följer det att f ärC2 på (−π, 0). På liknande sätt ser man att f är C2 på (π, 2π) och det äruppenbart att f är C2 på [0, π]. Det återstår endast att undersöka när höger-och vänstergränsvärdena av f i punkterna x = 0 och x = π existerar och ärlika.Vi behandlar endast fallet x = π eftersom det andra fallet är i stort settlikadant. Eftersom f(x) = f(2π−x) då x ∈ (π, 2π) så följer det av kedjeregelnatt, då ε → +0,

f(π + ε) = −f(π − ε) → −f(π)f ′(π + ε) = f ′(π − ε) → f ′(π − 0)

f ′′(π + ε) = −f ′′(π − ε) → −f ′′(π − 0) ,


då ε → +0. Gränsvärdena från höger existerar alltså, och eftersom motsva-rande gränsvärden från vänster är f(π), f ′(π− 0) och f ′′(π− 0) så ser vi attlikhet råder om och endast om f(π) = f ′′(π − 0) = 0.

Om f och g bara är kontinuerliga och styckvis C1 och f uppfyller villkoretf(0) = f(l) = 0 så ger uttrycken (3.54) och (3.55), som tidigare påpekats,kontinuerliga funktioner. Man kan lätt visa det rör sig om en och sammafunktion u, som kallas en svag lösning. Den kan uppfattas som det likformigagränsvärdet av en svit (un)

∞1 av äkta lösningar till problem med initialda-

ta fn och gn som uppfyller villkoren i sats 3.9. (Se exemplet nedan samtanmärkningarna efter det och exempel (3.7).)

Exempel 3.11. Betrakta ännu en gång problemet i exempel 3.7, dvs

∂2t u = c2∂2xu

u(0, t) = u(l, t) = 0 ,

u(x, 0) = f(x) , ∂tu(x, 0) = 0 ,

där

f(x) =

2hxl, 0 ≤ x ≤ l

22h(l−x)

l, l

2≤ x ≤ l .

x0 l/2 l

h

Låt f(x) vara den udda, 2l-periodiska funktion som är lika med f(x) då0 ≤ x ≤ l.

x−l 0 l/2 l

h

h

x− ct

x

x+ ct

Enligt diskussionen ovan och d’Alemberts formel ges då lösningen u(x, t) =u(x, t) av

u(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) . (3.56)


(Detta är inte alldeles sant eftersom vi antog att f var C2 medan den härendast är kontinuerlig och styckvis C1. Låt oss bortse från detta för tillfälletoch återkomma till det i en anmärkning efter exemplet.) För att rita grafenför u(x, t) för fixt t observerar vi att ∂xu(x, t) är medelvärdet av riktnings-koefficienterna för f i de två punkter på reella axeln vilkas avstånd till x ärct. Om t ex t < l

2cföljer härav att

∂xu(x, t) =

2hl

om 0 < x < l2− ct

0 om |x− l2| < ct

−2hl

om l2+ ct < x < l .

(Den punkt x som vi markerat i figuren ovan tillhör intervallet (0, l2− ct) så

att x+ct och x−ct ligger på samma linjestycke av grafen för f , där lutningenär 2h

l.) Vi drar slutsatsen att u(x, t) för fixt t < l

2cser ut som i figuren nedan.

x

u

h(1− 2ct

l

)

l2− ct l

2+ ct

Allmänt konstrueras grafen för u(x, t) för fixt t > 0 på följande sätt.Vi utgår från parallellogrammen OABC i den vänstra figuren nedan.

O

A

B

C

O

A

B

C

L

L

l/2 l/2

h

hP Q

P Q

Beteckna med L en linje som är parallell med x-axeln och flyttbar i vertikal-led. Låt först (för t = 0) linjen L gå genom punkten A och förskjut sedan Lnedåt tills den når C. Förflytta sedan L uppåt tills den når A osv. Gör detta


med jämn fart så att ett varv (från A till C och sedan tillbaka till A) tar tidenT = 2l

c. Då t är en heltalsmultipel av T skär linjen parallellogrammen i A och

då t = mT + T/2 för något heltal, m, skär linjen parallellogrammen i C. Förvarje annan tidpunkt skär L parallellogrammen OABC i precis två punkter.Kalla dessa P och Q. Om t inte är lika med ett av undantagsvärdena så ärpolygonen OPQB grafen för u(x, t) vid tiden t. (Vid undantagstidpunkternablir grafen en av trianglarna OAB och OCB.) För t < l

2char vi visat detta

ovan, och för övriga t följer det av att

u(x, t+2l

c) = u(x, t)

och

u(x,l

c− t) = −u(x, t) .

Dessa formler är i sin tur konsekvenser av (3.56) och egenskaperna hos f .Grafen för funktionen u, för l = 2 och h = 1, är skisserad på kompendietsframsida.

Anmärkning*. Vi skall nu övertyga oss om att lösningen u ovan är samma(svaga) lösning u som i exempel 3.7 på sidan 128. I avsnitt 3.4 har vi settatt en C2 lösning till problemet (3.49)–(3.51) är entydigt bestämd av f ochg. Om man nu rundar av funktionen f i exempel 3.11 genom att ersättaden med en funktion av formen fN som i anmärkningen efter exempel 3.7,så ger alltså d’Alemberts metod, (3.55), samma lösning uN som metodenmed Fourierserier, (3.54). I båda fallen kan de svaga lösningarna fås somgränsvärden då N → ∞ av de lösningar uN som svarar mot fN . Det följeratt

u(x, t) = limN→∞

uN(x, t) = u(x, t) ,

så de två svaga lösningarna måste överensstämma. Man kan naturligtvis ock-så övertyga sig om detta genom att Fourierserieutveckla lösningen i exempel3.11.

Anmärkning. De två olika beskrivningarna av samma lösning i exemplen3.7 och 3.11 kan sägas representera vad två olika sinnesorgan (öra respektiveöga) uppfattar då strängen svänger.


3.6 Tema med variationer

För att ytterligare illustrera metoden med separation av variablerna avslutarvi kapitlet med några fler exempel från musikens värld. Vi börjar med attdiskutera luftvågor i en cylindrisk pipa. Sådana vågor spelar en viktig roll iolika slag av blåsinstrument.Betrakta alltså en tunn pipa av längden l och beteckna med x avståndetlängs pipan från ena ändpunkten.Om p är lufttrycket och u luftens strömningshastighet i x-axelns riktning såär det rimligt att anta att inuti pipan beror p och u endast av x och tident. Under förutsättning att variationerna i p och u är små kan man härledaföljande par av differentialekvationer.

∂tp + c2ρ0∂xu = 0 (3.57)

ρ0∂tu + ∂xp = 0 . (3.58)

Här är ρ0 luftens vilodensitet och c ljudhastigheten. (Vid 20oC och normaltatmosfäriskt tryck är denna 344 m/s.) Av dessa ekvationer följer att både poch u uppfyller vågekvationen:

∂2t p = c2∂2xp (3.59)

∂2t u = c2∂2xu . (3.60)

T ex får man (3.59) genom att derivera (3.57) med avseende på t samt (3.58)med avseende på x och sedan eliminera u. Ekvationen (3.60) erhålles påmotsvarande sätt.Det räcker att studera en av ekvationerna (3.59)–(3.60), ty om man t ex harfastlagt u med hjälp av (3.60) så är det lätt att (så när som på en konstant)bestämma p ur (3.57) och (3.58).Var och en av pipans ändar ger upphov till ett randvillkor i x-led. I enklamodeller förekommer bara öppna och/eller slutna ändar. I en sluten ände ärhastigheten u = 0 och alltså ∂xp = 0 enligt (3.58). I en öppen ände brukar mananta att trycket är konstant lika med det omgivande atmosfäriska trycket.Enligt (3.57) blir följaktligen ∂xu = 0 i en öppen ände.

Exempel 3.12. Om pipans båda ändar är öppna (som t ex i en flöjt) så harman för ekvationen (3.60) randvillkoren

∂xu(0, t) = ∂xu(l, t) = 0 .

3.6. Tema med variationer 143

Lösningarna till detta problem är av formen

u(x, t) = A0 +∞∑

1

An sin

(nπct

l+ δn

)cos(nπx

l

)(3.61)

(jämför med (3.22) i avsnitt 3.2).Egenfrekvenserna blir desamma som för en svängande sträng av längd l:

1

2π

nπc

l=

nc

2l, n = 1, 2, 3, . . . . (3.62)

(Egentligen har man också n = 0 i (3.62) men detta svarar mot den konstantatermen i (3.61) och ger alltså ingen svängning.)

Exempel 3.13. En klarinett kan betraktas som en cylindrisk pipa som ärsluten i ena änden (vid munstycket) och öppen i den andra. Om längden är loch den slutna änden är i origo, får man för ekvationen (3.60) randvillkoren

u(0, t) = ∂xu(l, t) = 0 .

Med hjälp av sats 2.27 ser man att lösningarna då kan skrivas

u(x, t) =∞∑

0

Ak sin

((2k + 1)πct

2l

)sin

((2k + 1)πx

2l

). (3.63)

Egenfrekvenserna är

1

2π

nπc

2l=

nc

4l, n = 1, 3, 5, . . . . (3.64)

Jämfört med ovanstående exempel blir grundtonens frekvens halverad (denligger med andra ord en oktav lägre). Vidare förekommer endast udda värdenpå n i (3.64). Detta bidrar till att ge klarinetten en annan klangfärg än t exen flöjt.

Anmärkning. Att grundtonens frekvens halveras om en pipa är sluten i enaänden jämfört med om båda ändarna är öppna är endast approximativt sant.I realiteten sänks tonen inte fullt en oktav. Detta beror på att trycket inteomedelbart utjämnas i en öppen ände och att därför randvillkoret ∂xu = 0inte är exakt uppfyllt.


Exempel 3.14. Vi återvänder nu till den svängande strängen. Som redanpåpekats i avsnitt 3.3 så förslår vågekvationen inte riktigt som modell för attbeskriva svängningarna hos en pianosträng. En sådan är nämligen gjord avmetall och såpass kraftig att den har en viss stelhet. Tar man hänsyn tilldetta får man en ekvation av formen

∂2t u = c2∂2xu − B∂4xu (3.65)

där u och c har samma betydelse som i avsnitt 3.3 och B är en positivkonstant som utgör ett mått på strängens motstånd mot böjning.Att strängen sitter fast i ändpunkterna x = 0 och x = l uttrycks som tidigareav att

u(0, t) = u(l, t) = 0 . (3.66)

Dessa villkor räcker emellertid inte för att fastlägga en entydig lösning medgivna begynnelsevärden. Eftersom man har en fjärdederivata i högerledet av(3.65) behövs, utöver (3.66), ytterligare två randvillkor.Vi antar, förutom (3.66), att

∂2xu(0, t) = ∂2xu(l, t) = 0 . (3.67)

Detta innebär att strängen förutsätts vara fritt vridbar kring ändpunkternaså att den inte böjs där.För att lösa (3.65) med randvillkoren (3.66) och (3.67) använder vi ännu engång metoden med separation av variablerna. En lösning till (3.65) av formenu(x, t) = v(x)w(t) måste uppfylla

w′′(t) = λw(t) (3.68)

c2v′′(x) − Bv(4)(x) = λv(x) (3.69)

för någon konstant λ. Dessutom ger (3.66) och (3.67) att

v(0) = v(l) = v′′(0) = v′′(l) = 0 . (3.70)

Om man tar v(x) = vn(x) = sin(nπxl

)ser man att (3.69) och (3.70) gäller

med

λ = λn = −c2π2n2

l2

(1 +

Bπ2n2

c2l2

), n = 1, 2, 3 , . . . .

Man kan också visa att dessa värden på λ är de enda för vilka det existerarfunktioner v, w, som inte försvinner identiskt och som satisfierar både (3.69)


och (3.70). Eftersom w(t) = sin(√

−λnt+ δn)

uppfyller (3.68) för λ = λn,får vi lösingar till (3.65)–(3.67) på formen

u(x, t) =

∞∑

1

An sin(√

−λnt+ δn

)sin(nπx

l

).

Konstanterna An och δn bestäms t ex genom att man kräver att

u(x, 0) = f(x) , ∂tu(x, 0) = g(x) (3.71)

för givna funktioner f och g. Att det endast kan finnas en lösning till (3.65)–(3.67) som uppfyller (3.71) inses på liknande sätt som för vågekvationen iavsnitt 3.4. Vill man att u skall bli tillräckligt differentierbar för att satisfiera(3.65)–(3.67) i traditionell mening, måste man ställa vissa krav på f och g,men vi går inte in på detta här.Under ovanstående förutsättningar får man egenfrekvenserna

1

2π

√−λn =

cn

2l

(1 +

Bπ2n2

c2l2

)1/2

.

Detta stämmer väl med observationer gjorda på verkliga pianosträngar.

n

f

10 20 30 40 50

800

1600

Figuren visar den uppmätta övertonsserien (hel-dragen) jämförd med den i fallet B = 0 (streckadlinje).

Anmärkning. Då strängens ändar är fastklämda, i stället för att vara frittvridbara, ersätts (3.67) av randvillkoren

∂xu(0, t) = ∂xu(l, t) = 0.


I detta fall blir egenfrekvenserna något annorlunda än i exemplet och dess-utom får motsvarande lösningar till (3.69) inte längre den enkla formenv(x) = A sin

(nπxl

).

Som exempel på ett problem där den obekanta funktionen beror av mer änen rumsvariabel, betraktar vi små transversella svängningar hos ett elastisktmembran. Antag att detta är spänt över ett öppet begränsat område Ω iett plan och sitter fast längs randen ∂Ω. Om x = (x1, x2) är ortonormeradekoordinater i planet och u(x, t) är avvikelsen från jämviktsläget i punkten xvid tiden t, så har man, under lämpliga förutsättningar,

∂2t u = c2(∂2x1u+ ∂2x2

u) då x ∈ Ω . (3.72)

Här är c2 lika med membranets inre spänning dividerad med dess masstäthet.Att membranet är fixerat längs ∂Ω betyder att

u(x, t) = 0 då x ∈ ∂Ω . (3.73)

Om man separerar x- och t-variablerna och sätter u(x, t) = v(x)w(t) så fårman

w′′(t) = c2λw(t) (3.74)

(∂2x1+ ∂2x2

) v(x) = λv(x) , (3.75)

för någon konstant λ. Vidare ger (3.73) att

v(x) = 0 då x ∈ ∂Ω . (3.76)

Problemet (3.75), (3.76) kallas ett egenvärdesproblem. Om både (3.75) och(3.76) är uppfyllda för något tal λ och någon funktion v(x), som inte äridentiskt noll, så säger man att λ är ett egenvärde och v(x) en tillhörandeegenfunktion. Under allmänna förutsättningar på Ω, som vi inte preciserar,kan man bevisa att det finns en oändlig följd λ1, λ2, λ3, . . . av negativaegenvärden och motsvarande egenfunktioner v1, v2, v3, . . . så att varje ”till-räckligt regulär” funktion f , som är noll på ∂Ω, på ett entydigt sätt kanskrivas

f(x) =

∞∑

1

akvk(x) då x ∈ Ω . (3.77)

Egenfunktionerna vk kan väljas så att de bildar ett ortonormerat system medavseende på skalärprodukten

(f, g) =

∫∫

Ω

f(x)g(x) dx


och koefficienterna ak i (3.77) ges då av

ak = (f, vk) .

Analogin med spektralsatsen och satserna 2.23 och 2.27 är uppenbar.Med hjälp av egenfunktionerna vk kan man representera lösningarna till(3.72) och (3.73) på formen

u(x, t) =∞∑

1

Ak sin (c√−λkt+ δk)vk(x) ,

där konstanterna Ak och δk t ex bestäms av att man föreskriver att u(x, 0) =f(x) och ∂tu(x, 0) = g(x) .I allmänhet kan man inte ge explicita formler för membranets egenfrekvenser12πc√−λk utan man är hänvisad till numerisk beräkning av dem och av

motsvarande egenfunktioner vk(x). Undantag från denna regel föreligger förvissa enkla områden som t ex cirkelskivor.

Exempel 3.15. Låt Ω = x ∈ R2; |x| < 1 vara enhetscirkelskivan i R2.Uttryckt i polära koordinater kan egenvärdesproblemet (3.75), (3.76) då skri-vas

∂2v

∂r2+

1

r

∂v

∂r+

1

r2∂2v

∂θ2= λv , v(1, θ) = 0 , (3.78)

där v(r, θ) är en 2π-periodisk funktion av θ som är begränsad då r → 0.Om

v(r, θ) =∞∑

−∞cn(r)e

inθ

är Fourierutvecklingen av v, som en funktion av θ, så innebär differentia-lekvationen i (3.78) att

c′′n(r) +1

rc′n(r) − n2

r2cn(r) = λcn(r) , −∞ < n <∞ .

Eftersom egenvärdena λ skall vara negativa, kan vi sätta λ = −µ2. Om manansätter cn(s) = yn(µs), så ser man att funktionerna yn satisfierar

y′′n(s) +1

sy′n(s) +

(1− n2

s2

)yn(s) = 0 . (3.79)


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5 10 15 20 25x

Figur 3.7: Funktionerna J0 och J1. (J0(0) = 1.)

Denna ekvation kallas Bessels differentialekvation, efter Friedrich WilhelmBessel (1784–1846). Den har för n ≥ 0 en lösning som betecknas Jn(s) ochkallas Besselfunktionen av ordning n. Funktionen Jn(s) har ett ändligt gräns-värde då s→ 0, och varje annan lösning till (3.79) som är begränsad då s→ 0är en konstant multipel av Jn(s).Eftersom

cn(r) =1

2π

∫ 2π

0

v(r, θ) e−inθ dθ

uppenbarligen bör vara begränsad då r → 0, har man alltså

cn(r) = yn(µr) = AnJ|n|(µr) .

Randvillkoret v(1, θ) = 0 i (3.78) innebär att cn(1) = 0 för alla n. Därförmåste antingen An vara noll eller också J|n|(µ) = 0. Nu kan man visa att omm och n är olika icke-negativa heltal och Jn(µ) = 0 så är Jm(µ) 6= 0. Såledeshar varje icke-trivial lösning av formen R(r)O(θ) till (3.78) utseendet

(A−ne

−inθ + Aneinθ)Jn(µr) , (3.80)

där n ≥ 0 är ett heltal och µ är ett nollställe till Jn. Figur 3.7 illustreraruppförandet av J0(x) och J1(x).För varje heltal n ≥ 0 har funktionen Jn oändligt många positiva nollställensom betecknas µpn, p = 1, 2, 3, . . . . Med hjälp av dessa nollställen kan man


numrera egenfunktionerna (3.80). Då n = 0 är de konstanta multipler avfunktionerna

J0(µp0r) , p = 1, 2, 3, . . . ,

så att dessa egenfunktioner är rotationssymmetriska. Om man illustrerarsvängningarna genom att färga de områden i vilken egenfunktionen är negativmörka har de följande utseende:

Figuren skall tolkas som att mörka områden svänger i motsatt riktning motljusa.För n ≥ 1 har funktionerna (3.80) formen

A cos (nθ + δ)Jn(µpnr) , p = 1, 2, 3, . . . ,

där A och δ är konstanter. Egensvängningarna får utseendet

(p,n)=(1,1) (1,2) (1,3) (2,1)

På en puka är det den senare typen av svängningar som dominerar. Det be-ror på att anslaget där inte brukar riktas mot membranets mittpunkt utanmot en punkt ungefär halvvägs ut mot kanten. Detta tillsammans med ver-kan av den i pukan inneslutna luftmassan gör att de rotationssymmetriska


svängningarna, som hör till n = 0, inte aktiveras i nämnvärd grad. I ställetalstras det mesta ljudet av svängningen (1, 1). Man lär även kunna uppfattaövertonerna (1, 2), (1, 3) och (2, 1).

Anmärkning. Bilder av det slag som användes ovan för att illustrera egen-svängningar brukar kallas Chladnifigurer efter tysken Ernst Chladni (1756–1827). Denne studerade egensvängningar hos horisontellt monterade plattorgenom att beströ dem med sand och försätta dem i vibration. Vid egensväng-ning samlas då sanden i nodlinjerna, dvs de punkter som inte rör sig undersvängningen, och man får ett karakteristiskt mönster.

Anmärkning. För ett cirkulärt membran ligger egenfrekvenserna allt tätareju högre man kommer. Dessutom är de tämligen oregelbundet placerade.Detta gör att en trumma inte låter lika ”musikalisk” som t ex en gitarr elleren klarinett.

Kapitel 4

Fouriertransformen

I kapitel 2 såg vi hur funktioner u på ett ändligt intervall, säg [−l, l], undervissa villkor, kan framställas som (oändliga) lineärkombinationer av de 2l-periodiska funktionerna ei

nπlt, n ∈ Z, och i kapitel 3 såg vi hur detta kan

användas för att lösa enkla fysikaliska problem.Speciellt kan vi om u är en 2l-periodisk funktion av tiden t uppfatta dettasom att vi skriver u som en summa av rena svängningar eiωt = cosωt+i sinωtdär ω är en heltalsmultipel av grund(vinkel)frekvensen π/l. De förkommandefrekvenserna bildar ett gitter längs den reella axeln. Ju större l (och perioden2l) är desto tätare hamnar gitterpunkterna.I många sammanhang är det naturligt att betrakta funktioner som är defi-nierade på hela den reella axeln, och inte bara på ett ändligt intervall, ochsom inte är periodiska. Allra vanligast är det kanske då vi betraktar funktio-ner av tiden t, som vi tenderar att uppfatta som obegränsad. Även i mångasammanhang då vi betraktar en rumsvariabel kan det verka onaturligt attsätta övre begränsingar för den, t ex då vi diskuterar hur solljuset sprider sigi universum.I det här avsnittet skall vi visa att även icke-periodiska funktioner u på heladen reella axeln under vissa förutsättningar kan uppfattas som en lineärkom-bination av rena svängningar eiωt där frekvenserna ω får anta godtyckligareella värden och serierna i tidigare kapitel får ersättas med (generaliserade)integraler. Motsvarigheten till följden cn(u), n ∈ Z, av Fourierkoefficienterblir nu den s k Fouriertransformen u(ω) som blir en funktion av den reellavariabeln ω. Denna funktion innehåller, liksom i tidigare fall Fourierkoeffi-cienterna, all väsentlig information om funktionen u.Användning av Fouriertransformen kan liksom användning av Fourierserier

152 Kapitel 4. Fouriertransformen

uppfattas som ett basbyte som gör behandling av en del problem enklare.Till exempel är Fouriertransformen av derivatan u′ av u funktionen iωu(ω).I nästa avsnitt visar vi hur man formellt leds till definitionen av Fourier-transformen och motsvarande inversionsformel genom att betrakta en icke-periodisk funktion som gränsvärdet av periodiska då periodlängden går motoändligheten. I avsnitt 4.2 studerar vi Fouriertransformen mer systematisktoch bevisar inversionsformeln. I avsnitt 4.3 härleder vi några enkla räknereg-ler som vi sedan använder då vi löser värmeledningsekvationen i avsnitt 4.5.I avsnitt 4.4 visar vi motsvarigheten till Parsevals formel. De flesta resulta-ten kan generaliseras med hjälp mer avancerade verktyg — exempelvis teo-rin för Lebesgueintegralen, distributionsteorin eller teorin för lokalkompaktagrupper—men detta ligger utanför denna kurs.

4.1 Formell härledning genom gränsövergång

I kapitel 2 såg vi att en 2π-periodisk C1 funktion f kan framställas somsumman av en absolutkonvergent serie

f(y) =∞∑

−∞cne

iny , y ∈ R ,

där koefficienterna ges av

cn =1

2π

∫ π

−π

f(y)e−iny dy .

Om u ∈ C1 är en T -periodisk funktion kan vi tillämpa detta på den 2π-periodiska funktionen f(x) = u(Tx

2π) varvid vi får

u(x) = f(2πx

T) =

∞∑

−∞cne

in 2πxT , (4.1)

där koefficienterna cn är Fourierkoefficienterna för f . Vi kan emellertid ocksåuppfatta dem som Fourierkoefficienter för u och uttrycka dem direkt i dennafunktion:

cn =1

2π

∫ π

−π

f(y)e−iny dy =1

2π

∫ π

−π

u(Ty

2π)e−iny dy

=1

T

∫ T/2

−T/2

u(x)e−in 2πxT dx . (4.2)

4.1. Formell härledning genom gränsövergång 153

(I det sista steget gjorde vi variabelsubstitutionen y = 2πx/T .)Speciellt kan vi om funktionen u ∈ C1 är noll utanför intervallet [−T/2, T/2],uppfatta den som restriktionen av en T -periodisk C1 funktion till intervallet[−T/2, T/2] och genom Fourierserieutveckling framställa u i detta intervallsom en superposition av exponentialfunktioner eiξkx, där frekvenserna ξk ärheltalsmultipler av grundfrekvensen 2π

T. Om vi gör T större kommer de fö-

rekommande frekvenserna att hamna tätare och tätare på den reella axeln.Detta väcker (måhända) förhoppningen att kunna framställa en godtyckligfunktion i C1(R) som en superposition av exponentialfunktioner eiξx där fre-kvensen ξ får anta vilka reella värden som helst, som i

u(x) =

∫ ∞

−∞cξ e

ixξ dξ , x ∈ R . (4.3)

För att komma fram till en lämplig kandidat till viktfunktionen cξ skall viundersöka vad som händer med (4.1) och (4.2) då vi låter T → ∞. Vi införförst en klass av deriverbara funktion som säkert är integrerbara även eftermultiplikation med en godtycklig funktion.

Definition. En kontinuerligt deriverbar funktion f definierad på R sägestillhöra C1

0(R) om det finns en kompakt mängd K sådan att f(x) = 0 föralla x /∈ K. Det minsta K som duger – snittet av alla möjliga – kallasstödet för av f . Om stödet är innehållet i intervallet [a, b] så skriver vi ocksåf ∈ C1

0 [a, b].

x

y

1

Fig. 4.1: Utvidgning av en funktion i C10 [−1, 1] till

en funktion med period 4. Utvidgningen är likamed den givna funktionen då |x| < 3.


x

y

1

Fig. 4.2: Utvidgning av samma funktion till enfunktion med period 6. Utvidgningen är lika medden givna funktionen då |x| < 5.

Vi låter u vara en C10 funktion definierad på R och väljer talet T0 så stort

att u = 0 utanför intervallet [−T0/2, T0/2]. Låt, för T ≥ T0, uT vara denT -periodiska funktion som sammanfaller med u på intervallet [−T/2, T/2],jämför figurerna 4.1 och 4.2. Funktionen uT är uppenbarligen summan av enFourierserie

uT (x) =

∞∑

n=−∞cTne

2πinx/T ,

där (eftersom u = 0 utanför [−T/2, T/2]) Fourierkoefficienterna kan skrivas

cTn =1

T

∫ T/2

−T/2

u(x)e−2πinx/T dx =1

T

∫ ∞

−∞u(x)e−ix 2πn

T dx .

Om vi inför beteckningen

u(ξ) =

∫ ∞

−∞u(x)e−ixξ dx (4.4)

så ser vi att u är en kontinuerlig funktion av ξ, eftersom integranden är nollutanför [−T0/2, T0/2], och oberoende av T . Med hjälp av denna funktion kanvi skriva Fourierkoefficienterna cTn som cTn = 1

Tu(2πnT

), så att

u(x) = uT (x) =∞∑

n=−∞

1

Tu

(2πn

T

)eix

2πnT , för |x| ≤ T/2 .

4.1. Formell härledning genom gränsövergång 155

Med beteckningarna ξn = 2πnT

och ∆ξn = ξn+1 − ξn kan serien skrivas

u(x) =1

2π

∞∑

−∞u(ξn)e

ixξn∆ξn , |x| < T/2 . (4.5)

Högerledet kan uppfattas som en Riemannsumma för integralen

1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ) eixξ dξ . (4.6)

För stora T hamnar punkterna ξn mycket tätt så vi kan hoppas att Riemann-summan är en god approximation av integralen (4.6). Vidare är för ett fixtx villkoret |x| < T/2 i (4.5) alltid uppfyllt om vi bara väljer T tillräckligtstort. Detta tyder på att (4.3) skulle gälla med cξ = 1

2πu(ξ), dvs

u(x) =1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ) eixξ dξ , (4.7)

men observera att det ännu är oklart huruvida denna integral konvergerar.Funktionen u given av (4.4) kallas Fouriertransformen av u och formel (4.7)kallas Fouriers inversionsformel. Vi skall ägna avsnitt 4.2 åt att bevisa (4.7)under lämpliga förutsättningar. Då dessa är uppfyllda kan vi alltså rekon-struera u om vi känner dess Fouriertransform.Om man i stället för att utgå från inversionsformeln för Fourierserier använ-der Parsevals formel på intervallet [−T/2, T/2] kan man härleda likheten

∫ T/2

−T/2

|u(x)|2 dx =1

2π

∞∑

n=−∞|u(ξn)|2∆ξn ,

som kan få den optimistiskt lagde att hoppas på formeln∫ ∞

−∞|u(x)|2 dx =

1

2π

∫ ∞

−∞|u(ξ)|2 dξ . (4.8)

Detta är Plancherels formel som vi (under vissa förutsättningar på funktio-nen u) kommer att visa i avsnitt 4.4. I avsnitt 4.5 kommer vi att användaFouriertransformen för att studera värmeledningsproblem på hela den reel-la linjen, i analogi med hur vi använde teorin för Fourierserier för att lösavärmeledningsproblem på ett ändligt intervall i avsnitt 3.2.


Läsaren bör observera att det är vanligt med definitioner av Fouriertrans-formen som skiljer sig från den som vi använder. T ex förekommer följandealternativa definitioner av u(ξ):

∫

Ru(x) eixξ dx ,

∫

Ru(x) e−i2πxξ dx och

1√2π

∫

Ru(x) e−ixξ dx .

Teorin för Fouriertransformen är i princip oberoende av vilken av dessa de-finitioner man utgår från, men det precisa utseendet för olika formler kanvariera. (Mot de tre olika definitionerna ovan svarar t ex följande varianterav högerledet i inversionsformeln:

1

2π

∫

Ru(x) e−ixξ dx ,

∫

Ru(x) ei2πxξ dx och

1√2π

∫

Ru(x) eixξ dx .)

4.2 Definition och inversionsformel

Definition. Låt u vara en komplexvärd styckvis kontinuerlig funktion på R

med ändligt många diskontinuiteter och antag att u är integrerbar på R. Dåär dess Fouriertransform, u, funktionen som ges av

u(ξ) =

∫ ∞

−∞u(x)e−ixξ dx , ξ ∈ R .

Det följer direkt av definitionen att Fouriertransformen är lineär, dvs omfunktionerna u och v uppfyller förutsättningarna i definitionen, så gör funk-tionen w(x) = au(x) + bv(x), där a och b är konstanter, det också, och

w(ξ) = au(ξ) + bv(ξ) , ξ ∈ R . (4.9)

Sats 4.1. Låt u vara en komplexvärd funktion på R som uppfyller förutsätt-ningarna i definitionen ovan. Då är dess Fouriertransform u en kontinuerligfunktion som satisfierar

||u||∞ = sup−∞<ξ<∞

|u(ξ)| ≤∫ ∞

−∞|u(x)| dx (4.10)

och

u(ξ) → 0 då |ξ| → ∞. (4.11)

4.2. Definition och inversionsformel 157

Anmärkning. Påståendet (4.11) brukar kallas Riemanns lemma och är mot-svarigheten för Fouriertransformen till det faktum att FourierkoefficienternacN(f) för en periodisk funktion går mot noll då |N | → ∞, se sidan 62.

Bevis av sats 4.1: Eftersom |u(x)e−ixξ| ≤ |u(x)|, då ξ ∈ R, och |u(x)| ärintegrerbar, följer det direkt från sats B.12 på sidan 205 att u(ξ) är väldefinie-rad och kontinuerlig, då u är kontinuerlig. Om u bara är styckvis kontinuerligkan vi dela upp den reella axeln i ändligt många intervall på vilka vi kan an-vända antingen sats B.3 eller sats B.12. Triangelolikheten (sats B.8 på sidan201) implicerar att

|u(ξ)| =∣∣∣∣∫ ∞

−∞u(x)e−ixξ dx

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

−∞|u(x)| dx ,

dvs (4.10).Det återstår att visa (4.11), dvs att till varje ε > 0 finns ett X > 0 sådantatt |u(ξ)| < ε då |ξ| > X. Om u är av formen

χ[a,b](x) =

1 om x ∈ [a, b]

0 om x /∈ [a, b],

är detta omedelbart klart, ty för ξ 6= 0 gäller

χ[a,b](ξ) =

∫ b

a

e−ixξ dx =

[−e

−ixξ

iξ

]b

a

=e−ibξ − e−iaξ

−iξ ,

så att∣∣χ[a,b](ξ)

∣∣ ≤ (|e−iξb|+ |e−iξa|)|ξ| ≤ 2

|ξ| , då ξ 6= 0 , (4.12)

oberoende av a och b.Låt ε > 0. Vi skall strax visa att det finns ett positivt heltal N , reellatal x0 < x1 < · · · < xN och konstanter a1, . . . , aN sådana att det gäller∫R |u(x)− uN(x)| dx < ε/2 om

uN(x) =N∑

k=1

akχ[xk−1,xk](x) .

(Funktionen uN är styckvis konstant och är noll utanför [x0, xN ].)


Av uppskattningen (4.10), använd med u utbytt mot u− uN , följer att

|u(ξ)− uN(ξ)| < ε/2 , (4.13)

och dessutom gäller, enligt triangelolikheten för summor, för varje reellt ξatt

|u(ξ)| ≤ |u(ξ)− uN(ξ)| + |uN(ξ)| . (4.14)

Med användning av lineariteten (4.9), triangelolikheten och (4.12) ser vi att

|uN(ξ)| ≤N∑

k=1

∣∣akχ[xk−1,xk](ξ)∣∣ ≤ 2

|ξ|

N∑

k=1

|ak| . (4.15)

Speciellt är högerledet mindre än ε/2 om |ξ| > X = 4ε

∑Nk=1 |ak|. Genom att

kombinera detta med (4.14) och (4.13) ser vi att vi bevisat (4.11) så när sompå existensen av funktionen uN .Eftersom u är integrerbar på R finns det ett kompakt intervall K = [−M,M ]sådant att

∫

x/∈K|u(x)| dx =

∫

R|u(x)| dx −

∫

K

|u(x)| dx < ε/4 .

Vidare är u Riemannintegrerbar på K så vi kan (enligt definitionen av Rie-mannintegralen) finna en styckvis konstant funktion u på K sådan att

∫

K

|u(x)− u(x)| dx < ε/4 .

Det är nu lätt att se att funktionen uN som är noll utanför K och lika medu på K har de önskade egenskaperna.

Anmärkning. För att tolka (4.12) kan vi erinra oss att om ξ 6= 0 så är funk-tionen x 7→ e−ixξ = cosxξ − i sin xξ periodisk med period 2π

|ξ| och integralenöver en hel period är noll.Följaktligen kan, då |ξ| är stort, intervallet [a, b] skrivas [a, c] ∪ [c, b] därlängden av [a, c] är ett helt antal perioder och 0 ≤ b − c < 2π

|ξ| . Specielltgäller, med användning av triangelolikheten, att

∣∣∣∣∫ b

a

e−ixξ dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ b

c

e−ixξ dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

c

|e−ixξ| dx = b− c <2π

|ξ| ,


vilket är en uppskattning av samma form som i (4.12) (fast med sämre kon-stant). Då |ξ| → ∞ kommer alltså en allt större andel av integrationsområdetatt utgöras av hela perioder som inte ger något nettobidrag till integralen.Påståendet (4.11) kan tolkas som att för stora |ξ| ändrar sig u så litet övervarje period av längd 2π

|ξ| att integralen av u(x)e−ixξ över en period är mycketliten i förhållande till integralen av |u(x)| över samma period.

Exempel 4.2. Vi beräknar Fouriertransformen av u(x) = e−a|x|, där a > 0.(Detta är uppenbarligen en integrerbar kontinuerlig funktion.) Vi har

u(ξ) =

∫ ∞

−∞e−a|x| e−ixξ dx .

Med hjälp av omskrivningen∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫ ∞

0

(f(x) + f(−x)) dx

får vi, med f(x) = e−a|x|e−ixξ,

u(ξ) =

∫ ∞

0

(e−a|x| e−ixξ + e−a|−x| e−i(−x)ξ) dx

=

∫ ∞

0

(e−(a+iξ)x + e−(a−iξ)x) dx

= limX→∞

[e−(a+iξ)x

−(a + iξ)+

e−(a−iξ)x

−(a− iξ)

]X

0

= 0 +1

a+ iξ+

1

a− iξ=

a− iξ + a+ iξ

(a+ iξ)(a− iξ)=

2a

a2 + ξ2.

Här har vi använt att e−(a±iξ)X → 0 då X → ∞, vilket följer av att det gäller|e−(a±iξ)X | = e−aX enligt följdsats 1.47.

Sats 4.3. (Fouriers inversionsformel) Låt u vara en funktion som är 1)kontinuerlig, 2) integrerbar och 3) begränsad på R, och antag att också 4)Fouriertransformen u är integrerbar på R. Då gäller

u(x) =1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ) eixξ dξ , x ∈ R . (4.16)


Notera att (4.16) också kan skrivas på formen

2πu(−x) =

∫ ∞

−∞u(ξ)e−ixξ dξ.

Här är högerledet Fouriertransformen av u beräknad i punkten x. Fouriersinversionsformel innebär alltså att

ˆu(x) = 2πu(−x) . (4.17)

Anmärkning. Speciellt följer det av sats 4.1 att om u är integrerbar ochuppfyller (4.16) så är dess Fouriertransform ˆu kontinuerlig och begränsad, så(4.17) kan bara gälla om u är kontinuerlig och begränsad, vilket gör villkorenpå u i satsen naturliga. Om u inte är integrerbar blir integralen i (4.16) inteabsolutkonvergent. I avsnitt 4.6 kommer vi att diskutera hur man kan ge entolkning åt högerledet i (4.16) så att likheten gäller i alla kontinuitetspunkterför en godtycklig styckvis C1 funktion u som är integrerbar på R, alltså ävendå u inte är integrerbar.

Vid beviset av inversionsformeln kommer vi först att betrakta specialfalletx = 0, varvid (4.16) tar formen

u(0) =1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ) dξ .

Den naturliga bevisansatsen är att sätta in definitionen av u(ξ) i högerledet,vilket ger

1

2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞u(x) e−ixξ dx

)dξ .

Kastar vi om integrationsordningen blir detta

1

2π

∫ ∞

−∞u(x)

(∫ ∞

−∞e−ixξ dξ

)dx .

Den inre integralen är emellertid divergent ty absolutbeloppet av integrandenär 1 för alla ξ ∈ R. Vi skall kringgå detta problem genom att införa en extrafaktor e−s|ξ| med s > 0 och sedan låta s→ 0.

Bevis av sats 4.3. För s ≥ 0 bildar vi

U(s) =1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ)e−s|ξ| dξ . (4.18)


Enligt sats B.12 blir då U kontinuerlig på [0,∞). Ty integranden i högerledetav (4.18) är kontinuerlig som funktion av (s, ξ) och dess absolutbelopp kan,eftersom e−s|ξ| ≤ 1 då s ≥ 0, uppskattas med |u(ξ)|, som enligt förutsättningkan integreras över ξ-axeln.Vidare är U(0) = 1

2π

∫∞−∞ u(ξ) dξ så att kontinuiteten av U i punkten 0 inne-

bär att

U(s) → 1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ) dξ då s→ +0 .

För att visa inversionsformen i fallet x = 0 återstår det alltså bara att visaatt U(s) → u(0) då s→ +0.Enligt definitionen av u(ξ) gäller för fixt s > 0 att

U(s) =1

2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞u(x) e−ixξ dx

)e−s|ξ| dξ . (4.19)

Nu gäller|u(x)e−ixξe−s|ξ|| = |u(x)| · e−s|ξ| ≡ F (x) ·Gs(ξ) ,

där F och Gs kan integreras över x- respektive ξ-axeln, och det följer alltsåav sats B.14 att vi kan kasta om integrationsordningen i högerledet av (4.19).Detta ger

U(s) =1

2π

∫ ∞

−∞u(x)

(∫ ∞

−∞e−s|ξ| e−ixξ dξ

)dx .

Här är den inre integralen Fouriertransformen av funktionen ξ 7→ e−s|ξ| be-räknad i punkten x. Alltså är enligt exempel 4.2, med ombytta roller för xoch ξ,

U(s) =1

2π

∫ ∞

−∞u(x)

2s

s2 + x2dx .

Då s > 0 kan vi göra variabelbytet x = st, vilket ger

U(s) =1

2π

∫ ∞

−∞u(st)

2s2

s2 + (st)2dt =

1

π

∫ ∞

−∞

u(st)

1 + t2dt . (4.20)

Integranden i högerledet är en kontinuerlig funktion av s och t, vars beloppär begränsat av f(t) = ||u||∞

1+t2. Den senare funktionen är integrerbar över hela

t-axeln. Ännu en tillämpning av sats B.12 visar alltså att då s→ +0 gäller

U(s) =1

π

∫ ∞

−∞

u(st)

1 + t2dt → 1

π

∫ ∞

−∞

u(0)

1 + t2dt

=u(0)

π

[arctan t

]∞−∞ =

u(0)

π

(π2−(−π2

))= u(0) .


Därmed är inversionsformeln bevisad då x = 0.För att visa den för godtyckligt x = a observerar vi att Fouriertransformenav f(x) = u(x+ a) är

f(ξ) =

∫ ∞

−∞u(x+ a)e−ixξ dx =

∫ ∞

−∞u(t)e−i(t−a)ξ dt = eiaξu(ξ) .

Uppenbarligen är f kontinuerlig, integrerbar och begränsad om u är det, ochvi kan använda inversionsformeln med x = 0, som vi nyss visat, på f , vilketger

u(a) = f(0) =1

2π

∫ ∞

−∞f(ξ) dξ =

1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ)eiaξ dξ .

Detta avslutar beviset.

Exempel 4.4. Den begränsade funktionen u(x) = e−a|x|, a > 0, har enligtexempel 4.2 Fouriertransformen

u(ξ) =2a

a2 + ξ2,

som är integrerbar över ξ-axeln. Inversionsformeln (4.17) ger alltså att 2aa2+ξ2

har Fouriertransformen

ˆu(x) = 2π u(−x) = 2π e−a|−x| = 2π e−a|x| .

Byter vi ξ mot x och sätter v(x) = 2aa2+x2 får vi alltså

v(ξ) = 2π e−a|ξ| .

Sats 4.3 ger omedelbart följande resultat.

Följdsats 4.5. En integrerbar, kontinuerlig och begränsad funktion är enty-digt bestämd av sin Fouriertransform.

Bevis: Antag att u och v är integrerbara, kontinuerliga och begränsade, ochatt u = v. Då uppfyller w = u− v förutsättningarna i satsen med w(ξ) = 0.Inversionsformeln (4.16) implicerar att w(x) = 0.

En svaghet med sats 4.3 är kravet att u skall vara integrerbar. Då vi villanvända satsen på en given funktion har vi i allmänhet ett uttryck för u påvilket det är lätt att se om så är fallet, men i beviset av sats 4.11 (Plancherelsformel) nedan kommer vi att använda följande observation.

4.3. Räkneregler för Fouriertransformen 163

Lemma 4.6. Låt u vara en kontinuerlig, integrerbar och begränsad funktionpå R med icke-negativ Fouriertransform. Då är u integrerbar.

Bevis: Sätt liksom i beviset av sats 4.3

U(s) =1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ) e−s|ξ| dξ , s > 0 .

Eftersom u(ξ) ≥ 0 är detta en avtagande funktion av s, och dessutom gårbeviset av att U(s) → u(0) då s→ +0 igenom oförändrat. Alltså är

∫ ∞

−∞u(ξ) e−s|ξ| dξ ≤ 2π u(0) för alla s > 0 .

Om vi inskränker integrationen till ett ändligt intervall [−X,X ], på vilkete−sX ≤ e−s|ξ|, får vi att

e−sX

∫ X

−X

u(ξ) dξ ≤∫ X

−X

e−s|ξ|u(ξ) dξ ≤ 2π u(0) för alla s,X > 0 .

Om vi håller X fixt och låter s→ +0 ger detta att

∫ X

−X

u(ξ) dξ ≤ 2π u(0) för alla X > 0 ,

vilket implicerar att den positiva (kontinuerliga) funktionen u är integrerbar.

4.3 Räkneregler för Fouriertransformen

Vi har sett att Fouriertransformen är en lineär operation, dvs om u ochv är integrerbara funktioner på R och a, b ∈ C så är au + bv integrerbaroch har Fouriertransformen au(ξ) + bv(ξ). Beräkning av Fouriertransformenunderlättas dessutom ofta av följande regler.

Sats 4.7. Låt u vara en styckvis kontinuerlig och integrerbar funktion på R

och låt a vara en reell konstant. Då gäller

1. Om u ∈ C1(R) och dess derivata f(x) = u′(x) är integrerbar på R såär Fouriertransformen f(ξ) av f lika med iξu(ξ).


2. Om xu(x) är integrerbar på R så är u kontinuerligt deriverbar ochddξu(ξ) är Fouriertransformen av −ixu(x).

3. Om f(x) = u(x+ a) så är f(ξ) = eiaξu(ξ).

4. Om f(x) = e−iaxu(x) så är f(ξ) = u(ξ + a) .

5. Om f(x) = u(ax), a 6= 0, så f(ξ) = 1|a| u

(ξa

).

Anmärkning. Reglerna 3 och 4 är motsvarigheter till reglerna (2.28) och(2.29) för Fourierkoefficienterna till en periodisk funktion, på sidan 67. Noteraockså symmetrin (så när som på tecken) mellan 1 och 2 respektive 3 och 4.Den återspeglar symmetrin mellan formlerna (4.4) och (4.7). Det är bäst attmemorera hur man får fram räknereglerna 1–4 ur (4.4) och (4.7), snarareän reglerna själva, i synnerhet som reglernas utseende inte är oberoendeav vilken definition av Fouriertransformen som används (jfr sista stycket iintroduktionen till detta kapitel).

Bevis av sats 4.7:1. Vi skall strax visa att förutsättningarna medför att u(x) → 0 då |x| → ∞.Alltså ger en partialintegration

f(ξ) =

∫ ∞

−∞u′(x) e−ixξ dx

=[u(x) e−ixξ

]∞−∞ −

∫ ∞

−∞u(x) e−ixξ(−iξ) dx = iξu(ξ) ,

eftersom |u(x)e−ixξ| = |u(x)| → 0 då |x| → ∞.Det återstår att visa att limx→±∞ u(x) = 0. Vi betraktar fallet x → +∞.Eftersom u′(x) är integrerbar har

u(X) = u(0) +

∫ X

0

u′(t) dt

ett ändligt gränsvärde u∞ då X → ∞. Det är lätt att inse att eftersomintegralen

∫∞0

|u(x)| dx är konvergent så gäller u∞ 6= 0.Fallet x→ −∞ behandlas på samma sätt, t ex utgående från formeln

u(−X) = u(0)−∫ 0

−X

u′(t) dt.

4.3. Räkneregler för Fouriertransformen 165

2. Derivation av u(ξ) =∫∞−∞ u(x) e−ixξ dx ger att

d

dξu(ξ) =

∫ ∞

−∞

∂

∂ξ(u(x)e−ixξ) dx =

∫ ∞

−∞u(x)e−ixξ(−ix) dx = f(ξ) ,

där f(x) = −ixu(x). Att derivation under integraltecknet är tillåten och attderivatan är kontinuerlig följer enkelt av sats B.12, eftersom absolutbeloppetav −ixu(x)e−ixξ är |xu(x)| som kan integreras över x-axeln.3. Se slutet av beviset för inversionsformeln (sats 4.3).4.

f(ξ) =

∫ ∞

−∞e−iaxu(x) e−ixξ dx =

∫ ∞

−∞u(x) e−ix(ξ+a) dx = u(ξ + a) .

5.

f(ξ) =

∫ ∞

−∞u(ax) e−ixξ dx =

∫ ∞

−∞u(x) e−i(x/a)ξ dx/|a| = 1

|a| u(ξ

a

).

Exempel 4.8. Vi skall använda sats 4.7 för att beräkna Fouriertransformenav e−ax2

där a > 0. Denna är ofta viktig att känna till. Vi sätter först a = 12

och observerar att då uppfyller u(x) = e−x2/2 differentialekvationen

u′(x) = −xu(x) .

Om vi multiplicerar med i och sedan tar Fouriertransformen av de bådasidorna så ger 1. och 2. i sats 4.7 att

i(iξ)u(ξ) =du

dξ, dvs

du

dξ= −ξu(ξ) ,

vilket är samma differentialekvation som för u. Alltså är u(ξ) = C e−ξ2/2, där

C = u(0) =

∫ ∞

−∞u(x) dx =

∫ ∞

−∞e−x2/2 dx

enligt definitionen (4.4) av Fouriertransformen. Detta visar att C > 0 ellertill och med att C =

√2π om man vet att

∫∞−∞ e−x2/2 dx =

√2π.


Om man inte redan känner värdet av denna integral, så kan man bestämmaC genom att som ovan observera att u = Cu med C > 0 och att dettamedför att

ˆu = Cu = Cu = C(Cu) = C2u .

Men det gäller att ˆu = 2πu enligt inversionsformeln (4.17) på sidan 160,eftersom u är en jämn funktion. Följaktligen är C2 = 2π och eftersom C > 0måste det gälla att C =

√2π. Vi har alltså visat att

u(ξ) =√2π e−ξ2/2 om u(x) = e−x2/2 . (4.21)

Omskrivningen

e−ax2

= e−2ax2/2 = e−(√2ax)2/2 = u(

√2a x)

och 5. i sats 4.7 ger nu till slut att e−ax2har Fouriertransformen

1√2a

u

(ξ√2a

)=

1√2a

√2π e−

12

ξ2

2a =

√π

ae−

ξ2

4a . (4.22)

Anmärkning*. Vi avslutar detta avsnitt med att kommentera hur 1. i sats4.7 relaterar deriverbarhet hos u med avtagande hos u. Om funktionen uuppfyller förutsättningarna i 1. i sats 4.7 så är iξu(ξ) Fouriertransformenav den kontinuerliga, integrerbara funktionen u′(x). Speciellt gäller enligtsats 4.1 använd på u′ att |ξ u(ξ)| → 0 då |ξ| → ∞. Dvs u(ξ) går mot nollsnabbare än |ξ|−1. Detta är ett exempel på ett allmänt fenomen som innebäratt hög deriverbarhet för u(x) yttrar sig i snabbt avtagande för u då |ξ| → ∞.Regel 2. illustrerar ett omvänt fenomen, snabbt avtagande hos u medför högregularitet för u. Speciellt blir u en C∞ funktion om u har kompakt stöd.(Man kan visa, se avsnitt 4.9, att u inte kan ha kompakt stöd om u hardet.) Vi har inte möjlighet att ge precisa resultat här, utan nöjer oss med ettsmakprov.

Följdsats 4.9. Låt u vara kontinuerlig, begränsad och integrerbar på R.

1. Om funktionen ξ 7→ ξku(ξ) är integrerbar på R för något positivt heltalk så gäller u ∈ Ck, och u(j)(x) → 0 då |x| → ∞ för alla j ≤ k.

2. Om x 7→ xku är integrerbar på R för något positivt heltal k så gälleru ∈ Ck och u(j)(ξ) → 0 då |ξ| → ∞ om j ≤ k.

4.4. Faltningssatsen. Plancherels formel 167

Bevis: 1. Eftersom u är kontinuerlig medför förutsättningen att u är integrer-bar på R så att Fouriers inversionsformel är tillämplig. Det första påståendetföljer nu genom upprepad derivation under integraltecknet i inversionsfor-meln.Speciellt får vi

u(j)(x) =1

2π

∫ ∞

−∞(iξ)ju(ξ) eixξ dξ = vj(−x) ,

med vj(y) = (iy)ju(y)/(2π), om j ≤ k. Det andra påståendet följer alltsåfrån Riemanns lemma (4.11) använt på vj .2. Detta följer på liknande sätt genom derivation under integraltecknet idefinitionen av Fouriertranformen.

4.4 Faltningssatsen. Plancherels formel

Låt u och v vara kontinuerliga, integrerbara och begränsade funktioner påden reella linjen. Faltningen u ∗ v av dem är funktionen som definieras av

(u ∗ v)(x) =

∫ ∞

−∞u(x− y)v(y) dy =

∫ ∞

−∞u(y)v(x− y) dy , x ∈ R . (4.23)

Enligt sats B.16 är funktionen u ∗ v också kontinuerlig, integrerbar och be-gränsad. (Högerleden i (4.23) är väldefinierade (och lika) också under andraförutsättningar på u och v, t ex om u och v är styckvis kontinuerliga och för-svinner på den negativa halvaxeln. Vi nöjer oss emellertid med att behandlaovannämnda fall.)

Anmärkning. Faltningar visar sig vara ymnigt förekommande inom natur-vetenskap och teknik. Det beror på att varje system av en vanlig typ kanrepresenteras med en faltning. Man kan visa att om ett system har egenska-pen att det svarar på en tidsberoende insignal u(t), t ex en styrström, med entidsberoende utsignal y(t) = S(u)(t) på så sätt att utsignalen beror lineärtoch tidsinvariant, se nedan, så gäller

y(t) =

∫ ∞

−∞h(t− s)u(s) ds = (h ∗ u)(t), (4.24)

där h kallas systemets impulssvar. I allmänhet måste man här tillåta h attvara en generaliserad funktion, en s k distribution.


Med att systemet är tidsinvariant menas att om insignalerna uh och u ärlika så när som på att signalen uh(t) = u(t − h) är en försening av u, såkommer utsignalen yh(t) = S(uh)(t) att vara lika med motsvarande förseningy(t− h) av utsignalen y(t) = S(u)(t). De flesta praktiskt intressanta systemär dessutom kausala, dvs utsignalen är noll så länge som insignalen är noll.För kausala system visar det sig att impulssvaret h(t) är noll då t < 0 vilketbetyder att (4.24) tar formen

y(t) = (h ∗ u)(t) =

∫ t

−∞h(t− s)u(s) ds . (4.25)

Av formeln (4.25) framgår att y(t0) inte beror på u:s värden för t > t0.

Sats 4.10. (Faltningssatsen) Om u och v är kontinuerliga, integrerbaraoch begränsade funktioner på R med Fouriertransformerna u och v, så ärprodukten uv Fouriertransformen av faltningen u ∗ v.

Bevis: Vi inför funktionerna uξ(x) = e−ixξu(x) och vξ(x) = e−ixξv(x). Deuppfyller samma förutsättningar som u och v, och dessutom gäller

u(ξ) =

∫

Ruξ(x) dx och v(ξ) =

∫

Rvξ(x) dx .

Vidare gäller

uξ(x− y)vξ(y) = e−i(x−y)ξu(x− y) e−iyξv(y) = e−ixξu(x− y)v(y)

så att Fouriertransformen av u ∗ v i punkten ξ är integralen av uξ ∗ vξ överR. Påståendet i satsen följer alltså direkt från sats B.16 på sidan 209, medv = uξ och w = vξ.

Vi kan nu visa motsvarigheten (4.8) för Fouriertransformen till Parsevalsformel (2.37) för Fourierserier.

Sats 4.11. (Plancherels formel) Låt u vara en funktion som är kontinu-erlig, integrerbar och begränsad på R. Då är |u|2 och |u|2 integrerbara på R

och ∫ ∞

−∞|u(x)|2 dx =

1

2π

∫ ∞

−∞|u(ξ)|2 dξ . (4.26)

4.4. Faltningssatsen. Plancherels formel 169

Bevis: Eftersom u är begränsad har vi |u(x)| ≤ C för någon konstant C ochalla x, och följaktligen |u(x)|2 ≤ C|u(x)|. Alltså är, enligt sats B.6, den konti-nuerliga funktionen |u|2 integrerbar eftersom |u| är det. För att visa att ocksåden icke-negativa funktionen |u|2 är integrerbar räcker det enligt lemma 4.6att visa att |u|2 = uu är Fouriertransformen av en kontinuerlig, integrerbaroch begränsad funktion. Om vi kan finna en kontinuerlig, integrerbar ochbegränsad funktion v sådan att v = u så följer det av sats 4.10 att |u|2 ärFouriertransformen av f = u ∗ v som har de önskade egenskaperna. Det gåratt ta v(x) = u(−x), vilket följer av räkningen

u(ξ) =

∫ ∞

−∞u(x)e−ixξ dx =

∫ ∞

−∞u(x) eixξ dx =

∫ ∞

−∞u(−y)e−iyξ dy .

Fouriers inversionsformel applicerad på funktionen f = u ∗ v ger nu

f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞|u(ξ)|2 eixξ dξ .

Speciellt får vi för x = 0

1

2π

∫ ∞

−∞|u(ξ)|2 dξ = f(0) = (u ∗ v)(0) =

∫ ∞

−∞u(0− y)u(−y)dy

=

∫ ∞

−∞|u(x)|2 dx ,

där vi gjort variabelbytet y = −x i sista steget. Detta avslutar beviset.

Följdsats 4.12. Om u och v är kontinuerliga, integrerbara och begränsadeså gäller

(u ∗ v)(x) =1

2π

∫ ∞

−∞u(ξ)v(ξ) eixξ dξ . (4.27)

Detta är ofta det bekvämaste sättet att beräkna en faltning.

Bevis: Eftersom |u v| ≤ 12(|u|2 + |v|2), där högerledet är integrerbart enligt

sats 4.11, så följer det, av sats B.6, att den kontinuerliga funktionen u vär integrerbar. Formeln (4.27) följer nu direkt från inversionsformeln (sats4.3).


Exempel 4.13. Med u(x) = e−x2/a och v(x) = e−x2/b har vi enligt exem-pel 4.8

u(ξ) · v(ξ) =√πa e−

aξ2

4 ·√πb e−

bξ2

4

=

√πab

a + b·√π(a+ b) e−

(a+b)ξ2

4 .

Följaktligen har vi (u ∗ v)(x) =√

πaba+b

e−x2/(a+b).

Om vi i stället betraktar f(x) = 1π

ss2+x2 och g(x) = 1

πt

t2+x2 så ger exempel 4.4,på sidan 162, att

f(ξ)g(ξ) = e−(s+t)|ξ|,

så att (f ∗ g)(x) = 1π

(s+t)(s+t)2+x2 .

Följande sats är en motsvarighet för Fouriertransformen till följdsats 2.11, påsidan 66. (Notera att varje periodisk och kontinuerlig funktion är begränsadoch integrerbar på en period så i det fallet behövde vi bara kräva kontinuitetoch periodicitet.)

Sats 4.14. Om både u och dess derivata är kontinuerliga, integrerbara ochbegränsade funktioner på R så är Fouriertransformen u integrerbar. (Inver-sionsformeln gäller alltså för u.)

Speciellt är dessa förutsättningar uppfyllda om u ∈ C10(R).

Bevis: Enligt 1. i sats 4.7 har u′(x) Fouriertransformen iξu(ξ). Alltså är|iξu(ξ)|2 = ξ2|u(ξ)|2 integrerbar på R, enligt sats 4.11 använd på u′. Meneftersom ξ−2 är integrerbar över |ξ| > 1 och

|u(ξ)| = |ξu(ξ) · ξ−1| ≤ 1

2(ξ2|u(ξ)|2 + ξ−2)

följer det att u(ξ) är integrerbar över |ξ| > 1. Den kontinuerliga funktionen|u(ξ)| är självklart integrerbar över |ξ| ≤ 1, och följaktligen är u integrerbaröver hela R.

4.5 Värmeledning på den reella linjen

Vi skall nu lösa värmeledningsekvationen

∂tu = h∂2xu , t > 0 , x ∈ R , (4.28)

4.5. Värmeledning på den reella linjen 171

med begynnelsevillkoret u(x, 0) = f(x), där f är en given funktion och h > 0är värmediffusitiviteten. Vi kan tolka detta värmeledningsproblem som att vilåtit längden av intervallet i avsnitt 3.1 gå mot oändligheten.Vi räknar först formellt och antar att begynnelsevärdet f liksom lösningen uär tillräckligt deriverbara och så små i oändligheten att våra räkneregler förFouriertransformen kan tillämpas.Låt U(ξ, t) vara Fouriertransformen av u(x, t) som funktion av x för fixtt ≥ 0, dvs

U(ξ, t) =

∫ ∞

−∞u(x, t) e−ixξ dx .

Om vi antar att vi får flytta in derivation med avseende på t innanför inte-graltecknet så får vi

∂tU =

∫ ∞

−∞∂tu(x, t) e

−ixξ dx .

För fixt t > 0 är högerledet, enligt (4.28), Fouriertransformen med avseendepå x av h∂2xu, alltså, enligt regel 1. i sats 4.7,

∂tU = h(iξ)2U .

Detta är för varje fixt ξ en ordinär differentialekvation för U(ξ, t) som funk-tion av t > 0. Multiplikation med den integrerande faktorn ehξ

2t ger

∂t

(U(ξ, t)ehξ

2t)

=(∂tU + hξ2U

)ehξ

2t = 0

varavU(ξ, t) = C(ξ) e−hξ2t ,

för någon konstant C(ξ) som inte beror på t.Om vi nu sätter t = 0 får vi C(ξ) = U(ξ, 0), som är Fouriertransformen avu(x, 0) = f(x), dvs C(ξ) = f(ξ). Alltså har vi

U(ξ, t) = f(ξ) e−htξ2 .

Men för fixt t > 0 är enligt exempel 4.8, med a = at = 1/(4ht), den andrafaktorn, e−htξ2 , Fouriertransformen av

√aπe−ax2

. Sats 4.10 ger nu att U(ξ, t)är Fouriertransformen av faltningen

(Et ∗ f)(x) =

∫ ∞

−∞Et(x− y)f(y) dy ,


där

Et(x) =

√a

πe−ax2

=1√4πht

e−x2

4ht .

Detta leder till:

Sats 4.15. Låt f vara en kontinuerlig och begränsad funktion på R och h enpositiv konstant. Då har värmeledningsekvationen

∂tu = h∂2xu , t > 0 , x ∈ R , (4.28)

en och endast en lösning som är en begränsad och kontinuerlig funktion av(x, t) för t ≥ 0 och som uppfyller villkoret

u(x, 0) = f(x) , x ∈ R .

Lösningen ges för t > 0 av

u(x, t) =

∫ ∞

−∞E(x− y, t)f(y) dy , (4.29)

där

E(x, t) =1√4πht

e−x2

4ht .

Bevis: Vi visar först att (4.29) definierar en lösning med rätt egenskaper.Den positiva funktionen E(x, t) är för fixt t > 0 integrerbar över x-axeln med

∫ ∞

−∞E(x, t) dx = 1 ,

ty Fouriertransformen av E(x, t) är e−htξ2 som blir 1 för ξ = 0. Eftersom fär kontinuerlig och begränsad existerar alltså faltningen

u(x, t) =

∫ ∞

−∞E(x− y, t) f(y) dy

och om |f | ≤M så blir

|u(x, t)| ≤ M

∫ ∞

−∞E(x− y, t) dy = M

∫ ∞

−∞E(y, t) dy = M ,

vilket visar att u är begränsad.


Dessutom är u oändligt deriverbar då t > 0 och derivatan kan beräknasgenom derivation under integraltecknet i (4.29), ty absolutbeloppet av detuttryck som erhålls efter ett ändligt antal derivationer kan (med litet tåla-mod, se exempel 4.16 nedan) uppskattas med F (y) = Ce−c(y−x0)2 då (x, t)ligger i en omgivning av en punkt (x0, t0) med t0 > 0, och detta är en inte-grerbar funktion av y. Alltså är

∂tu − h∂2xu =

∫ ∞

−∞

(∂tE(x− y, t)− h∂2xE(x− y, t)

)f(y) dy

=

∫ ∞

−∞0 dy = 0 ,

eftersom en direkt räkning, se lösningen till övning 410, visar att funktionen(x, t) 7→ E(x−y, t) är en lösning till värmeledningsekvationen (4.28) för varjefixt y då t > 0.För att slutligen visa att funktionen u(x, t), given av formel (4.29) då t > 0och av u(x, 0) = f(x) då t = 0, är en kontinuerlig funktion av (x, t) då t ≥ 0så skriver vi om (4.29) som

u(x, t) =

∫ ∞

−∞E(y, t)f(x− y) dy =

∫ ∞

−∞

1√4πht

e−y2

4htf(x− y) dy .

Byter vi y mot y√t så får vi

u(x, t) =

∫ ∞

−∞

1√4πht

e−(y

√t)2

4ht f(x− y√t)√t dy

=

∫ ∞

−∞

1√4πh

e−y2

4h f(x− y√t) dy =

∫ ∞

−∞E(y, 1)f(x− y

√t) dy .

Här är den sista integralen en kontinuerlig funktion av x och t ≥ 0 enligt satsB.12, ty eftersom |f | ≤ M kan absolutbeloppet av integranden uppskattasmed ME(y, 1). Vidare blir för t = 0 integralen lika med

∫ ∞

−∞E(y, 1)f(x) dy = f(x) .

Alltså är lösningen u kontinuerlig då t ≥ 0.Det återstår att visa att lösningen är entydigt bestämd. Detta är en direktföljd av maximumprincipen i sats 4.17 nedan. Ty om u1 och u2 är två be-gränsade lösningar till (4.28) svarande mot samma initialdata f , så kommerderas differens u = u1 − u2 att vara en begränsad lösning till (4.28) medinitialdata f ≡ 0. Det följer nu av sats 4.17 att u ≡ 0.


Exempel 4.16. * Låt (x0, t0) vara en punkt med t0 > 0. Vi skall visa att omI = [a, b]× [c, d], där c > 0, är ett kompakt intervall som innehåller (x0, t0) så finnsdet för varje par av naturliga tal j, k en konstant Cjk sådan att

|∂jx∂

kt E(x− y, t)| ≤ Cjke

− (x0−y)2

10hd

för alla y ∈ R och (x, t) ∈ I.

Grundidén är att då vi deriverar E(x− y, t) får vi funktioner av typ

∂jx∂

kt E(x− y, t) = pjk(

1√t, x− y) e−(x−y)2/4ht ,

där pjk är ett polynom i två variabler. Högerledet är alltså en summa av ändligtmånga termer av typen

flm(x− y, t) = almt−l/2(x− y)m e−(x−y)2/4ht ,

där alm är en konstant.

Då c ≤ t ≤ d gäller alltså

|flm(x− y, t)| ≤ |alm|c−l/2|(x− y)m e−(x−y)2/4hd| .

Eftersom eαz2

med α > 0 växer snabbare än varje potens av z då z → ∞ så ärfunktionen z 7→ zme−z2/8hd begränsad för varje m. Det följer att för varje val av m

och hd finns en konstant C(m,hd) sådan att

|(x− y)me−(x−y)2/8hd| ≤ C(m,hd) < ∞ för alla x, y ∈ R.

Sammanfattningsvis har vi visat att, för varje val av j, k gäller

|∂jx∂

kt E(x− y, t)| ≤ Cjk(hd)e

−(x−y)2/8hd , c ≤ t ≤ d ,

för någon konstant Cjk(hd).

Det återstår bara att verifiera att för varje kompakt intervall [a, b] som innehållerx0 så finns det en konstant C som beror på hd sådan att

e−(x−y)2/8hd ≤ Ce−(x0−y)2/10hd .

Vi har

e−(x−y)2/8hd/e−(x0−y)2/10hd = e−(x−y)2/8hd+(x0−y)2/10hd

= eq(x0,x,y)/(80hd) ,


där q(x0, x, y) är ett andragradspolynom i y, i vilket koefficienten för y2 är negativoch de övriga koefficienterna är polynom i x och x0. Som framgår av följanderäkning har q en övre begränsning oberoende av x, y och x0 då x, x0 ∈ [a, b]:

q(x0, x, y) = 8x20 + 2(10x − 8x0)y − 2y2

= 8x20 + 2(5x − 4x0)2 − 2(y − (5x− 4x0))

2 ≤ 8x20 + 2(5x − 4x0)2.

Högerledet är en kontinuerlig funktion av x och x0, och alltså begränsat då x ochx0 tillhör det kompakta intervallet [a, b] .

Sats 4.17. Låt u vara en reellvärd lösning till värmeledningsekvationen (4.28).Antag dessutom att u är begränsad och kontinuerlig som funktion av (x, t)för t ≥ 0. Då gäller för alla x ∈ R och alla t ≥ 0 att

infxu(x, 0) ≤ u(x, t) ≤ sup

xu(x, 0) . (4.30)

Satsen bekräftar den rimliga förmodan att värme inte naturligt kan strömmaså att någon punkt får högre (eller lägre) temperatur än den högsta (lägs-ta) som förekom i initialtillståndet. (Observera dock att vi måste anta atttemperaturen håller sig begränsad.)

Bevis: Betrakta för δ, ε > 0 hjälpfunktionen

v(x, t) = u(x, t) − εx2 − δt , t ≥ 0, x ∈ R .

För den gäller, eftersom u satisfierar (4.28), att

h∂2xv − ∂tv = −2hε+ δ . (4.31)

Välj nu δ > 0 och ε > 0 så att högerledet −2hε + δ blir positivt, dvs såatt δ > 2hε > 0. Då kan inte funktionen v anta sitt maximum i en inrepunkt (x0, t0) (av H ≡ (x, t); x ∈ R, t ≥ 0 ) med t0 > 0. I en sådaninre punkt skulle nämligen v:s gradient vara noll och dess andraderivata varanegativt semidefinit, dvs ∂tv = 0 och ∂2xv ≤ 0 , så att vänsterledet i (4.31)blir icke-positivt. Men detta motsäger valet av δ och ε, så att antagandet attmaximum antas i en inre punkt måste vara felaktigt.Då u är begränsad finns det ett tal M sådant att |u| ≤ M , och eftersom ε, δoch t är positiva, följer det av definitionen av funktionen v att

v(x, t) ≤ M − εx2 och v(x, t) ≤M − δt .


I dessa olikheter går högerleden mot −∞ då |x| respektive t går mot oänd-ligheten. Följaktligen är, för stora tillräckligt stora positiva tal a och b,

v(x, t) < v(0, 0) om |x| ≥ a eller t ≥ b .

Eftersom max v(x, t) ≥ v(0, 0) visar detta att v antar sitt maximum i enpunkt (x0, t0) för vilken

|x0| < a och 0 ≤ t0 < b .

Men enligt ovan kan inte v anta sitt maximum i en inre punkt i H , så punkten(x0, t0) måste ligga på randen, dvs det gäller t0 = 0.För en godtycklig punkt (x, t) med t ≥ 0 är alltså

v(x, t) ≤ v(x0, t0) = v(x0, 0) .

På grund av definitionen av v betyder det att

u(x, t)− εx2 − δt ≤ u(x0, 0)− εx20 ≤ u(x0, 0) ≤ supxu(x, 0) .

Fixera nu x och t och låt δ, ε → 0 på så sätt att δ > 2hε > 0. Då får vi

u(x, t) ≤ supxu(x, 0) ,

dvs den högra olikheten i (4.30). Genom att använda detta på funktionen−u(x, t), som också är en begränsad lösning till (4.28), får vi

−u(x, t) ≤ supz∈R

(−u(z, 0)) = − infzu(z, 0) ,

som är ekvivalent med den vänstra olikheten i (4.30).

Anmärkning. Läsaren kanske frågar sig varför vi inte använde Fouriertrans-formen i beviset för sats 4.15 (såsom vi använde Fourierserier i studiet avvärmeledningsproblemen i avsnitt 3.2). Svaret är att Fouriertransformen oftager en effektiv metod att få fram en kandidat till lösningsformel, men att manofta kan visa denna formel direkt under svagare förutsättningar. I sats 4.15t ex behövde begynnelsevärdesfunktionen f(x) bara vara kontinuerlig ochbegränsad, medan vi bara har definierat Fouriertransformen f för funktionerf som är integrerbara på R .


Exempel 4.18. Vi börjar med att bestämma lösningen till (4.28) då u(x, 0) =f(x) = sinnx. Vi noterar först att om u är kontinuerlig och integrerbar påR så gäller (för ξ ∈ R) att

∫ ∞

−∞u(x− y)eiξy dy =

∫ ∞

−∞u(z)eiξ(x−z) dz = eiξxu(ξ) . (4.32)

Eftersom sinnx = 12i(einx − e−inx) och Fouriertransformen av y → E(y, t) är

e−htξ2 så ger detta∫ ∞

−∞E(x− y, t) sinny dy =

1

2i(e−htn2

einx − eht(−n)2e−inx) = e−htn2

sin nx .

Om, allmännare, f(x) =N∑1

bn sin nx så följer genom linearitet att motsva-

rande lösning är u(x, t) =N∑1

bne−htn2

sinnx, och om f(x) =∞∑1

bn sinnx med

likformig konvergens så är det lätt att visa att

u(x, t) =

∞∑

1

bne−htn2

sinnx .

Detta stämmer väl överens med ett av resultaten i avsnitt 3.2.

Anmärkning*. Låt f(x) vara en udda 2π-periodisk kontinuerlig funktionmed f(π) = 0, och betrakta motsvarande lösning enligt (4.29)

u(x, t) =

∫ ∞

−∞E(x− y, t)f(y) dy =

∫ ∞

−∞E(z, t)f(x− z) dz .

Eftersom f är 2π-periodisk är det klart från högerledet att u(x, t) är en 2π-periodisk funktion av x för fixt t.Vidare är E(z, t) en jämn funktion av z och f(−z) är udda, så det följer avsymmetriskäl att

u(0, t) =

∫ ∞

−∞E(z, t)f(−z) dz = 0.

Vi har också

u(−x, t) =

∫ ∞

−∞E(z, t)f(−x− z) dz = −

∫ ∞

−∞E(z, t)f(x+ z) dz

= −∫ ∞

−∞E(−z, t)f(x− z) dz = −u(x, t)


(i den andra likheten utnyttjade vi att f är udda och i den sista att E(z, t)är en jämn funktion av y), så att u(x, t) är udda som funktion av x för fixtt. Speciellt är

u(π, t) = −u(−π, t) = −u(−π + 2π, t) = −u(π, t) ,

där vi använt periodiciteten i det andra steget. Detta medför att u(π, t) = 0.Restriktionen av u till 0 ≤ x ≤ π är är alltså lösningen till värmelednings-problemet (3.5)–(3.7) med l = π. Funktionen u(x, t) är kontinuerlig för t ≥ 0enligt sats 4.15. Följaktligen är den likformigt kontinuerlig på den kompaktamängden [0, π]× [0, 1], och speciellt kan vi för varje ε > 0 finna δ > 0 så att

|u(x, t)− f(x)| = |u(x, t)− u(x, 0)| < ε , då x ∈ [0, π] och 0 ≤ t < δ .

Vi har alltså verifierat påståendet i anmärkningen före exempel 3.2, attu(x, t) → f(x) likformigt då t→ 0.

4.6 *Inversionsformeln och betingadkonvergens

Vi visade Fouriers inversionsformel, sats 4.3, under förutsättningen att u ärintegrerbar och noterade omvänt att om u är integrerbar så är högerledet12π

∫u(ξ)eixξ dξ i inversionsformeln en kontinuerlig funktion av x ∈ R. Detta

kan jämföras med våra resultat för Fourierserier. I det fallet hade vi

u(x) =

∞∑

−∞cn(u)e

inx ,

med likformig konvergens för u kontinuerlig och 2π-periodisk om Fourierko-

efficienterna är absolutsummerbara, dvs∞∑−∞

|cn(u)| < ∞. Men vi såg också

att för en 2π-periodisk, styckvis C1 funktion u så konvergerar Fourierserienför varje x och dess summa är lika med u(x) i varje kontinuitetspunkt för u(sats 2.12). Om u har diskontinuiteter rör det sig då om betingad konvergens.I det här avsnittet skall vi visa motsvarande resultat för Fouriertransformen.Vi erinrar först om att en generaliserad integral kan ha mening även om deninte är absolutkonvergent. T ex såg vi i avsnitt 2.8 att funktionen G(y) =∫ y

0sin ττdτ har gränsvärdet π

2då y → +∞. Det förefaller alltså naturligt att

4.6. *Inversionsformeln och betingadkonvergens 179

skriva I =∫∞0

sin ττdτ = π

2. Å andra sidan gäller

∫ πk

0| sin τ

τ| dτ → ∞ då

k → ∞, ty∫ jπ

(j−1)π

|sin ττ

| dτ ≥ 1

jπ

∫ jπ

(j−1)π

| sin τ | dτ =2

πj,

och∑∞

j=1 2/(πj) är divergent, så integralen är inte absolutkonvergent. Kon-vergensen av integralen I beror på att sinusfunktionens oscillationer gör attbidraget från ett intervall [2kπ, (2k+1)π] där integranden är positiv i hög gradkompenseras av bidraget från det efterföljande intervallet [(2k+1)π, (2k+2)π]där integranden är negativ (jfr alternerande serier). En integral som konver-gar pga sådana oscillationer hos integranden brukar kallas en oscillerandeintegral. Vi kan i allmänhet inte vänta oss att sådana integraler skall berokontinuerligt på parametrar.

Exempel 4.19. Betrakta integralen I(a) =∫∞0

sinaxx

dx, där a ∈ R. Oma = 0 har vi uppenbarligen I(0) = 0. Om a > 0 har vi (sätt y = ax)

∫ X

0

sin ax

xdx =

∫ aX

0

sin y

ydy → π

2då X → ∞ ,

alltså I(a) = π2. Slutligen, om a = −b < 0 har vi

∫ X

0

sin ax

xdx = −

∫ X

0

sin bx

xdx→ −π

2då X → ∞ .

Sammanfattningsvis:

I(a) =

π2, då a > 0 ,

0, då a = 0 ,−π

2, då a < 0 ,

dvs I(a) är en diskontinuerlig funktion.

När det gäller generaliserade integraler av typen∫∞−∞ f(x) dx som inte är

absolutkonvergenta så finns det två typer av konvergens: om gränsvärdet

limX,Y→∞

∫ Y

−X

f(x) dx ,

där X och Y tillåts att gå mot oändligheten oberoende av varandra, existerarså betecknar vi det med

∫∞−∞ f(x) dx.


Om vi bara kräver att gränsvärdet

limX→∞

∫ X

−X

f(x) dx (4.33)

existerar så får vi uppenbarligen ett svagare villkor. Om gränsvärdet (4.33)existerar (ändligt) så betecknar vi det med PV

∫∞−∞ f(x) dx (principalvärdet

av∫f(x) dx). Uppenbarligen har vi

PV∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫ ∞

−∞f(x) dx ,

om högerledet existerar.

Exempel 4.20. Med f(x) = 2x1+x2 har vi

∫ Y

−X

2x

1 + x2dx = ln (1 + Y 2)− ln (1 +X2) ,

så∫∞−∞ f(x) dx är divergent. Å andra sidan har vi

∫ X

−X

2x

1 + x2dx = ln (1 +X2)− ln (1 +X2) = 0 ,

så PV∫∞−∞ f(x) dx = 0 .

Exempel 4.21. Sätt w(x) = 1 då x ∈ [−1, 1] och w(x) = 0 då |x| > 1. Dågäller

w(ξ) =

∫ 1

−1

e−ixξ dx = 2

∫ 1

0

cos xξ dx = 2sin ξ

ξ, ξ 6= 0 ,

(i andra likheten använde vi att e−ixξ = cosxξ − i sin xξ, där den andratermen är udda) och w(0) =

∫w(x) dx = 2.

Funktionen w(ξ) är som påpekats ovan inte absolutintegrerbar, men vi skallberäkna

W (x) =1

2πPV∫ ∞

−∞w(ξ) eixξ dξ . (4.34)

4.6. *Inversionsformeln och betingadkonvergens 181

Eftersom w(ξ) är jämn har vi

∫ X

−X

w(ξ)eixξ dξ = 2

∫ X

0

2 sin ξ cos ξx

ξdξ

= 2

∫ X

0

sin (x+ 1)ξ − sin (x− 1)ξ

ξdξ

→ 2(I(x+ 1)− I(x− 1)) , då X → ∞ ,

där I(a) är funktionen i exempel 4.19. Om vi använder resultatet från detexemplet får vi

W (x) =

1 då |x| < 1 ,12

då |x| = 1 ,

0 då |x| > 1 ,

(4.35)

vilket kan sammanfattas W (x) = 12(w(x+ 0) + w(x− 0)).

Följande sats visar att resultatet för funktionen w i föregående exempel gällerallmänt för integrerbara, styckvis C1 funktioner.

Sats 4.22. (Fouriers inversionsformel, Dirichlets formulering) Låt uvara en integrerbar funktion som är styckvis C1. Då gäller

1

2(u(x+ 0) + u(x− 0)) =

1

2πPV∫ ∞

−∞u(ξ) eixξ dξ . (4.36)

Speciellt konvergerar principalvärdesintegralen i högerledet.

Bevis: Vi visar först att satsen är sann då x = 0 om u är kontinuerlig i x = 0och u(0) = 0. Vi behöver visa att

PV∫ ∞

−∞u(ξ) dξ = 0.

Eftersom u är styckvis C1, integrerbar och har höger- och vänsterderivator ix = 0 är funktionen

v(x) =u(x)

x=

u(x)− u(0)

x

styckvis kontinuerlig, integrerbar och satisfierar u(x) = xv(x).


Följaktligen gäller u(ξ) = iv′(ξ) enligt 2. i sats 4.7, och

∫ X

−X

u(ξ) dξ = i

∫ X

−X

v′(ξ) dξ = i(v(X)− v(−X)) → 0 då X → ∞

enligt (4.11) i sats 4.1 använd på v.Då vi skall visa (4.36) för x = 0 då u(0) 6= 0 eller u är diskontinuerlig i x = 0kan vi anta att u(0) är definierad och lika med 1

2(u(+0) + u(−0)) eftersom

inget av leden i (4.36) ändras om vi definierar om funktionen u i en punkt.Vi kan nu skriva

u(x) = u1(x) + u2(x)

där u1(x) = u(+0)W (x − 1) + u(−0)W (x + 1), med W som i (4.35), ochu2(x) = u(x)− u1(x). Definitionen av W ger att

u1(x) =

u(+0) då 0 < x < 2,12(u(+0) + u(−0)) då x = 0,

u(−0) då − 2 < x < 0,

0 annars,

så att u1(+0) = u(+0), u1(−0) = u(−0) och u1(0) = u(0). Följaktligen gälleru2(+0) = u2(−0) = u(0) = 0.På grund av linearitet räcker det att visa (4.36) för u1 och u2 var för sig, ochu2 uppfyller villkoren i den första delen av beviset. För u1 har vi på grundav räknereglerna för Fouriertransformen och att W (x) = w(x) då |x| 6= 1 att

u1(ξ) = u(+0)e−iξW (ξ) + u(−0)eiξW (ξ) = u(+0)e−iξw(ξ) + u(−0)eiξw(ξ) .

Det följer av linearitet och av (4.34) att

1

2πPV∫ ∞

−∞u1(ξ) e

i0·ξ dξ = u(+0)W (−1) + u(−0)W (1)

=1

2(u(+0) + u(−0)) =

1

2(u1(+0) + u1(−0)) ,

dvs att u1 uppfyller (4.36) då x = 0.Slutligen kan man överföra fallet x = a på fallet x = 0 genom att sättav(x) = u(x+ a) precis som i slutet av beviset av sats 4.3.

4.7. *Poissons summationsformel och värmeledning 183

4.7 *Poissons summationsformel och värmeled-ning

Sats 4.23. (Poissons summationsformel) Antag att funktionen u är C1

på R och sådan att funktionen (1+x2) (|u(x)|+ |u′(x)|) är begränsad (specielltär u och u′ integrerbara på R). Då gäller

∞∑

k=−∞u(x+ 2πk) =

1

2π

∞∑

n=−∞u(n)einx , x ∈ R , (4.37)

där serien i högerledet är absolutkonvergent och serien i vänsterledet konver-gerar likformigt på varje kompakt mängd.

Observera att om u ∈ C10(−π, π) så är vänsterledet lika med u(x) för varje

x ∈ [−π, π] och för sådana x är högerledet Fourierserien för u.

Bevis: Vi visar först att vänsterledet i (4.37) konvergerar mot en 2π-periodiskC1 funktion g, likformigt på varje kompakt mängd. Sedan visar vi att höger-ledet i (4.37) är Fourierserien för g. Likheten (4.37) och att serien i högerledetär absolutkonvergent följer då från sats 2.12.Det räcker uppenbarligen att visa likformig konvergens och att g är C1 påintervallet Il = [−2πl, 2πl] för godtyckligt l ∈ Z+. Då |k| > 2l gäller

supx∈Il

|u(x+ 2πk)| ≤ C supx∈Ik

1

|x+ 2πk|2 ≤ C

π2

1

|k|2 , (4.38)

eftersom |x|2 |u(x)| ≤ C. Vi har

g(x) =2l∑

−2l

u(x+ 2πk) +∑

|k|>2l

u(x+ 2πk) , (4.39)

där den ändliga summan är en C1 funktion. Uppskattningen (4.38) tillsam-mans med Weierstrass’ majorantsats visar att serien i högerledet av (4.39) ärlikformigt konvergent på Il. Eftersom termerna är kontinuerliga så är alltsåsumman kontinuerlig (sats 1.38). Medelst en uppskattning av samma typ somi (4.38) ser vi att den termvis deriverade serien också är likformigt konvergentpå Il. Alltså är g ∈ C1 enligt sats 1.40.


Att summan g(x) är 2π-periodisk är en konsekvens av att den är summan avalla translat, u(x+2πk), av u(x) med heltalsmultipler av 2π så en translationav g med 2π ändrar bara numreringen av translaten:

g(x+ 2π) =

∞∑

k=−∞u(x+ 2π + 2πk) =

∞∑

k=−∞u(x+ 2π(k + 1))

[k = l − 1] =

∞∑

l=−∞u(x+ 2πl) = g(x) .

Fourierkoeffienterna för g ges av

cn(g) =1

2π

∫ 2π

0

( ∞∑

k=−∞u(x+ 2πk)

)e−inx dx

=1

2π

∞∑

k=−∞

∫ 2π

0

u(x+ 2πk) e−inx dx

=1

2π

∞∑

k=−∞

∫ 2π(k+1)

2πk

u(y) e−in(y−2πk) dy ,

där den termvisa integrationen är tillåten eftersom serien för g konvergerarlikformigt på [0, 2π].Funktionen x 7→ e−inx är 2π-periodisk, och alltså kan detta skrivas

cn(g) =1

2π

∞∑

k=−∞

∫ 2π(k+1)

2πk

u(y) e−iny dy

=1

2π

∫ ∞

−∞u(y)e−iny dy =

1

2πu(n) .

(I den andra likheten använde vi regeln∫ b

a. . . dx+

∫ c

b. . . dx =

∫ c

a. . . dx.)

Detta avslutar beviset.

Exempel 4.24. Sätt för t > 0 fixt Et(x) = (4πht)−1/2e−x2/(4ht) med Fourier-transform Et(ξ) = e−htξ2 och använd satsen på denna funktion. Då får (4.37)formen

∞∑

−∞Et(x+ 2πk) =

1√4πht

∞∑

k=−∞e−(x+2πk)2/(4ht)

=1

2π

∞∑

n=−∞e−htn2

einx .

4.7. *Poissons summationsformel och värmeledning 185

Vi kan nu klargöra sambandet mellan, å ena sidan, lösningen till värme-ledningsekvationen (4.28) med en 2π-periodisk, kontinuerlig funktion f sombegynnelsedata och, å andra sidan, lösningarna till värmeledningsproblemenpå intervallet [0, π] i avsnitt 3.2.Om vi delar upp integrationen i formel (4.29), på sidan 172, för lösningenu(x, t) till (4.28) på intervall [π(2k − 1), π(2k + 1)], k ∈ Z, får vi

u(x, t) =∞∑

k=−∞

∫ π(2k+1)

π(2k−1)

Et(y)f(x− y) dy

=

∞∑

k=−∞

∫ π

−π

Et(z + 2πk)f(x− z − 2πk) dz .

Eftersom f är 2π-periodisk har vi f(x − z − 2πk) = f(x − z) i högerledet.Vidare är, enligt sats 4.23, serien

∞∑

k=−∞Et(z + 2πk)f(x− z)

likformigt konvergent på intervallet [0, 2π] då t > 0 är fixt. Följaktligen fårvi kasta om ordningen mellan summation och integration, vilket ger

u(x, t) =

∫ π

−π

( ∞∑

k=−∞Et(z + 2πk)

)f(x− z) dz .

Om vi använder exempel 4.24 får vi alltså

u(x, t) =1

2π

∫ π

−π

( ∞∑

n=−∞e−hn2teinz

)f(x− z) dz .

Ytterligare en användning av sats 4.23 visar att serien i integranden i hö-gerledet är absolutkonvergent, och följaktligen likformigt konvergent enligtWeierstrass’ majorantsats. Därför kan vi integrera termvis, vilket ger

u(x, t) =

∞∑

n=−∞e−hn2t 1

2π

∫ π

−π

einzf(x− z) dz

=∞∑

n=−∞cn(f)e

−hn2teinx .


Detta är en lösning av den form som vi härledde i avsnitt 3.2.Om speciellt f = f är den udda 2π-periodiska utvidgningen av en C1 funktionf på [0, π] som satisfierar f(0) = f(π) = 0 så vet vi att f kan skrivas

f(x) =∞∑n=1

bn sinnx. Lösningen till värmeledningsproblemet (3.5)–(3.7) (med

l = π och h = 1) kan alltså skrivas på två sätt:

u(x, t) =

∞∑

n=1

bne−n2t sinnx

u(x, t) =1√4πt

∫ ∞

−∞e−

(x−y)2

4t f(y) dy ,

där f är den udda 2π-periodiska fortsättningen av f . Vi har alltså precissom för den svängande strängen i sats 3.9 två olika sätt att uttrycka sammalösning.

4.8 *Ytterligare anmärkningar

Fouriers inversionsformel

Vi visade sats 4.3 för begränsade, kontinuerliga funktioner u med integrerbarFouriertransform u. Man behöver emellertid inte förutsätta att u är begrän-sad. Det enda stället i beviset där vi använde denna förutsättning var då vivisade att högerledet i (4.20) går mot u(0) då s→ +0. Vi skall nu visa dettapå ett sätt som enbart använder att u är kontinuerlig och integrerbar.För varje X > 0 kan högerledet i (4.20) skrivas

1

π

∫ ∞

−∞

u(st)

1 + t2dt =

u(0)

π

∫ X

−X

1

1 + t2dt

+1

π

∫ X

−X

u(st)− u(0)

1 + t2dt +

1

π

∫

|t|>X

u(st)

1 + t2dt . (4.40)

Vi skall visa att om vi väljer X = s−2/3 så går högerledet mot u(0) då s→ 0.Den första termen i högerledet går uppenbarligen mot u(0) då s→ 0+ så attX = s−2/3 → +∞. Absolutbeloppet av den andra termen kan uppskattasmed

sup|t|≤s−2/3

|u(st)− u(0)| 1π

∫ s−2/3

−s−2/3

1

1 + t2dt ≤ sup

|x|≤s1/3|u(x)− u(0)| ,

4.8. *Ytterligare anmärkningar 187

som går mot noll då s→ +0 eftersom u är kontinuerlig.Om vi gör variabelbytet y = st i den sista integralen på höger sida i (4.40)så ser vi att dess belopp kan uppskattas med

1

π

∣∣∣∣∫

|y|≥s1/3

u(y)

1 + (y/s)21

sdy

∣∣∣∣ ≤1

π

1

1 + s−4/3· 1s

∫

R|u(y)| dy .

Här går högerledet mot noll då s→ +0 eftersom

1

1 + s−4/3· 1s

=s1/3

s4/3 + 1→ 0 då s→ +0 .

Fouriertransformen av en produkt

Om u och v är kontinuerliga och integrerbara på R och om u är integrerbar(vilket medför att Fouriers inversionsformel gäller för u och att u är begrän-sad) så är produkten uv kontinuerlig och integrerbar med Fouriertransformen

uv(ξ) =1

2π(u ∗ v)(ξ) . (4.41)

Om vi använder att Fouriers inversionsformel gäller för u får vi nämligen

uv(ξ) =

∫ ∞

−∞u(x)v(x)e−ixξ dx

=

∫ ∞

−∞

(1

2π

∫ ∞

−∞u(η)eixη dη

)v(x)e−ixξ dx .

Här kan beloppet av integranden i högerledet uppskattas med en konstantgånger |v(x)|·|u(η)| där båda faktorerna är integrerbara på R. En användningav följdsats B.14 visar att vi får byta integrationsordning, vilket ger

uv(ξ) =1

2π

∫ ∞

−∞u(η)

∫ ∞

−∞v(x) e−ix(ξ−η) dx dη =

1

2π

∫ ∞

−∞u(η)v(ξ − η) dη ,

dvs (4.41).

Approximation av kontinuerliga funktioner. Weierstrass’

approximationssats

Eftersom u(x, t) i (4.29) är kontinuerlig på t ≥ 0 så är den likformigt konti-nuerlig på den kompakta mängden K × [0, 1] för varje kompakt delmängd K


av R. Speciellt kan vi för varje ε > 0 finna δ > 0 så att

supx∈K

|u(x, t)− f(x)| < ε då 0 ≤ t < δ .

Nu är u(x, t) (som framgår av beviset) en C∞ funktion av x för fixt t > 0, sådet följer att varje kontinuerlig funktion f på ett kompakt intervall K kanapproximeras likformigt med C∞ funktioner.

Sats 4.25. (Weierstrass’ approximationssats) Låt K ⊂ R vara ett kom-pakt intervall och låt f vara en kontinuerlig funktion på K. Då finns för varjeε > 0 ett polynom p så att

supx∈K

|f(x)− p(x)| < ε . (4.42)

Bevis: Om K har längden T så kan vi utvidga f till en 2T -periodisk konti-nuerlig funktion f . Motsvarande lösning ut(x) given av (4.29) med f utbyttmot f går då mot f lokalt likformigt då t→ +0. Vi kan alltså välja t > 0 såatt

supx∈K

∣∣∣f(x)− ut(x)∣∣∣ < ε/3 . (4.43)

Funktionen ut är C∞ och 2T -periodisk så den har en likformigt konvergentFourierserie

∑∞−∞ cne

inπ xT . Vi kan alltså välja N så att

supx

∣∣∣∣∣ut(x)−N∑

−N

cneinπ x

T

∣∣∣∣∣ < ε/3. (4.44)

Slutligen noterar vi att de 2N +1 funktionerna x 7→ en(x) = einπxT , |n| ≤ N ,

har likformigt konvergenta Taylorutvecklingar på K (se lemma 4.26 nedan).

Genom att ersätta dem iN∑−N

cnen(x) med deras Taylorpolynom en(x) av till-

räckligt högt gradtal kan vi alltså uppnå att

supx∈K

∣∣∣∣∣N∑

−N

cnen(x)−N∑

−N

cnen(x)

∣∣∣∣∣ < ε/3 (4.45)

där p(x) =N∑−N

cnen(x) är ett polynom.

Olikheten (4.42) följer nu om vi kombinerar (4.43), (4.44) och (4.45).


Anmärkning. Alternativt kunde vi hoppat över användningen av (4.29) ochi stället använt att f kan approximeras likformigt medelst Féjersummationav sin Fourierserie, se slutet av avsnitt 2.9.

Lemma 4.26. Låt z vara ett komplext tal. Då gäller för varje a ∈ R

ezx = eza∞∑

k=0

zk(x− a)k

k!, x ∈ R , (4.46)

med likformig konvergens då x och z håller sig inom givna kompakta del-mängder av R och C.

Bevis: Det räcker att visa att konvergensen är likformig då |x− a| ≤ L och|z| ≤M för givna L,M > 0. Det följer av lemma 1.46 att

ezx = ezaez(x−a) ,

där

ez(x−a) =

∞∑

k=0

zk(x− a)k

k!.

Då |x− a| ≤ L och |z| ≤M gäller∣∣∣∣zk(x− a)k

k!

∣∣∣∣ ≤(LM)k

k!,

där∞∑k=0

(LM)k

k!= eLM <∞.

Påståendet följer nu av Weierstrass’ majorantsats.

Heisenbergs osäkerhetsrelation

Följande sats som har blivit mest berömd inom kvantmekaniken (se anmärk-ningen nedan) visar bland annat att det finns en begränsning för hur mycketvi samtidigt kan koncentrera stöden av u och u.

Sats 4.27. (Heisenbergs obestämbarhetsrelation) Låt funktionen u påR vara C1. Antag att u′ är begränsad och att u′ och |xu(x)|2 är integrerbarapå R. Då gäller för varje val av a, b ∈ R att

||(x− a)u||2 ||(ξ − b)u||2 ≥ 1

4||u||2 ||u||2 (4.47)


med likhet om och endast om u(x) = Ceibxe−k(x−a)2 för några konstanterk > 0 och C.

Låt oss för enkelhets skull anta att a = b = 0. Då kan olikheten (4.47) skrivas

(∫ ∞

−∞x2|u(x)|2 dx

)·(∫ ∞

−∞ξ2|u(ξ)|2 dξ

)≥ 1

4||u||2 ||u||2 . (4.48)

Om det finns positiva tal A och B så att u(x) = 0 för alla x med |x| > Aoch u(ξ) = 0 för alla ξ med |ξ| > B så är vänsterledet i (4.48) högst lika medA2B2 ||u||2 ||u||2. Om ||u||2 = 2π ||u||2 > 0 kan så kan alltså olikheten (4.48)bara gälla om A2B2 ≥ 1/4, dvs områdena där u och u är skilda från noll kaninte samtidigt vara hur små som helst.

Anmärkning. Olikheten har blivit mest bekant inom kvantmekaniken menbeskriver ett allmänt villkor för hur funktioner kan byggas genom superposi-tion av rena svängningar. T ex kan inte en ton, u(t) =

∫u(ξ)eitξ dξ/2π, som

bara ljuder under ändlig tid göras fullständigt ren, och spridningen i tonhöjdξ för de ingående komponenterna u(ξ) ökar om vi gör tonen kortare.Vi skall här kort beröra tolkningen av Heisenbergs osäkerhetsrelation för enkvantmekanisk partikel på x-axeln. För en utförligare diskussion hänvisar vitill läroböcker i kvantmekanik.Partikelns tillstånd vid en given tidpunkt beskrivs av en ”vågfunktion” φ(x)dvs en komplexvärd funktion med

∫∞−∞ |φ(x)|2 dx = 1. Beloppskvadraten

|φ(x)|2 tolkas som en sannolikhetstäthet, dvs∫ b

a|φ(x)|2 dx är sannolikheten

att partikeln befinner sig i intervallet [a, b].Fouriertransformen av vågfunktionen är nära förknippad med sannolikhets-fördelningen för partikelns rörelsemängd (som i klassisk mekanik är produk-ten av partikelns massa och hastighet); om vi definierar

φ(p) =1√2πh

φ(p/h) =1√2πh

∫ ∞

−∞φ(x)e−ixp/h dx ,

där h > 0 är Plancks konstant så medför Plancherels formel att∫ ∞

−∞|φ(p)|2 dp =

1

2πh|∫ ∞

−∞φ(p/h)|2 dp

=1

2π

∫ ∞

−∞|φ(ξ)| dξ =

∫ ∞

−∞|φ(x)|2 dx = 1 .


Det betyder att |φ(p)|2 också kan tolkas som en sannolikhetsfördelning. Detär sannolikhetsfördelningen för rörelsemängden. Osäkerhetsrelationen ger enbegränsning för hur mycket vi samtidigt kan koncentrera sannolikhetsfördel-ningarna för läge och rörelsemängd.

Bevis: Vi observerar först att vi kan anta att a = b = 0, ty om vi sätterv(x) = e−ixbu(x+ a), med Fouriertransform v(ξ) = eia(ξ+b)u(ξ + b), så gäller

||v||2 =

∫ ∞

−∞|u(x+ a)|2 dx = ||u||2

||v||2 =

∫ ∞

−∞|u(ξ + b)|2 dξ = ||u||2

||xv||2 =

∫ ∞

−∞(x− a)2|u(x)|2 dx = ||(x− a)u||2

||ξv||2 =

∫ ∞

−∞(ξ − b)2|v(ξ)|2 dξ = ||(ξ − b)u||2 ,

så att olikheten (4.47) för u med godtyckliga a och b följer från samma olikhetför v med a = b = 0.Låt oss införa skalärprodukten

(v, w) =

∫ ∞

−∞v(x)w(x) dx , (4.49)

då v och w är kontinuerliga och |v(x)|2 + |w(x)|2 är integrerbar på R. (Ef-tersom 2|v(x)w(x)| ≤ |v(x)|2 + |w(x)|2 medför detta speciellt att integralen(4.49) är absolutkonvergent.) Dessa förutsättningar är uppfyllda för u′ ochxu så Cauchy–Schwarz’ olikhet (se t ex sats 2.7 på sidan 60) ger

|(xu, u′)| = |(u′, xu)| ≤ ||u′|| ||xu|| ,

med likhet om och endast om u′ = −kxu dvs u = Ce−kx2/2 som bara ärintegrerbar om k > 0.Eftersom (xu)′(x)− xu′(x) = u(x) gäller

((xu)′, u)− (u′, xu) = ((xu)′ − xu′ , u) = ||u||2 . (4.50)


Vi skall nu visa att ((xu)′, u) = −(xu, u′). Om xu2(x) → 0 då |x| → ∞ såger partialintegration direkt att

((xu)′, u) =[x|u(x)|2

]∞−∞ − (xu, u′) = −(xu, u′) . (4.51)

Allmännare får vi, om g ∈ C10 uppfyller g(0) = 1, att

((xu)′, g(εx)u) = −ε(xu′, g′(εx)u)− (xu, g(εx)u′)

vilket ger (4.51) då ε→ 0 liksom i beviset av 1. i sats 4.7.Kombinerar vi (4.51) och (4.50) med Cauchy–Schwarz’ olikhet får vi

||u||2 = −(xu, u′) − (u′, xu) = −2Re (xu, u′) ≤ 2 ||xu|| ||u′|| ,

eller

||u||4 = (||u||2)2 = (−2Re (xu, u′))2 ≤ 4 ||xu||2 · ||u′||2 . (4.52)

Det återstår bara att verifiera att Plancherels formel får appliceras på urespektive u′, eftersom vi i så fall kan skriva (4.52) som

1

2π||u||2 ||u||2 ≤ 4 ||xu||2 1

2π||ξu||2 ,

vilket är ekvivalent med (4.47) i fallet a = b = 0.Vår formulering av Plancherels formel (sats 4.11) är bara tillämpbar på funk-tioner som är kontinuerliga, begränsade och integrerbara. Enligt förutsätt-ningarna är detta fallet för u′. Den kontinuerliga funktionen u är trivialtintegrerbar på I = [−1, 1], och eftersom x2|u(x)|2 är integrerbar så följer detav olikheten 2|u(x)| ≤ |xu(x)|2 + |x|−2 att är u(x) integrerbar utanför I.Slutligen följer det från analysens huvudsats att

|u(x)| ≤ |u(0)| +∣∣∣∣∫ x

0

u′(t) dt

∣∣∣∣ ≤ |u(0)| +∫ ∞

−∞|u′(t)| dt ,

vilket visar att u är begränsad.

Bilaga A

Approximation av funktioner

Sats A.1. Låt u vara en 2π-periodisk reellvärd funktion som är Riemann-integrerbar på intervallet [0, 2π]. Då finns för varje ε > 0 en 2π-periodiskfunktion v som är kontinuerlig, styckvis C1 och sådan att

∫ 2π

0

|u(x)− v(x)| dx < ε . (A.1)

Om M = sup[0,2π] |u(x)| så kan v väljas så att också |v(x)| ≤M för alla x.

Bevis: Eftersom u är integrerbar finns för givet ε > 0 trappfunktioner φ ochψ sådana att

φ(x) ≤ u(x) ≤ ψ(x) , då 0 ≤ x ≤ 2π ,

och ∫ 2π

0

(ψ(x)− φ(x)) dx < ε .

Nu är 0 ≤ u(x)− φ(x) ≤ ψ(x)− φ(x), så det följer att

∫ 2π

0

|u(x)− φ(x)| dx < ε . (A.2)

Om |u(x)| ≤M på [0, 2π] kan man ersätta φ med

φ1(x) = min(M,max(φ(x),−M)) ,

som satisfierar |φ1(x)| ≤M , utan att fördärva (A.2).

194 Bilaga A. Approximation av funktioner

Vi approximerar därefter trappfunktionen φ med en funktion v, vars graf ären polygon som i figuren.

x

y

0 2π

Detta kan göras så att |v(x)| ≤M på [0, 2π] och så att∫ 2π

0

|φ(x)− v(x)| dx < ε . (A.3)

Integralen i (A.3) är ju nämligen en summa av ändligt många, k, triangelareorav trianglar med höjd ≤ 2M och godtyckligt liten bas δ. Följaktligen gäller

∫ 2π

0

|φ(x)− v(x)| dx ≤ k · 2M · δ2

=Mkδ < ε, om δ <ε

kM.

Av (A.2) och (A.3) följer att∫ 2π

0

|u(x)− v(x)| dx < 2ε .

Det är ingen inskränkning att anta att vi valt v så att v(0) = v(2π) = 0.(Priset för det är högst två ytterligare trianglar.) Vi kan alltså utvidga v tillen kontinuerlig, 2π-periodisk funktion som är styckvis C1.

Anmärkning. Om u = u1 + iu2 inte är reellvärd kan vi använda satsen påreal- och imaginärdelarna u1 och u2 var för sig. Det finns alltså kontinuerliga,2π-periodiska, styckvis C1 funktioner v1 och v2 sådana att

∫ 2π

0

|uk(x)− vk(x)| dx <ε

2för k = 1, 2 .

195

Funktionen v = v1+iv2 uppfyller då (A.1). Om |u(x)| ≤M så är |uk(x)| ≤Mför k = 1, 2, och följaktligen kan v1, v2 väljas så att |vk(x)| ≤ M . Då gäller|v(x)| ≤M

√2.

Bilaga B

Integraler innehållande en

parameter

För fullständighetens skull presenterar vi här en del resultat som läsarenförmodligen redan stött på i någon analyskurs. Framställningen är ganskakortfattad, men för att kunna läsa kapitel 4 räcker det i princip att accepterade resultat i detta appendix som referas till där. I detta appendix kan läsarendessutom finna en del terminologi som används i kapitel 4.

B.1 Kompakt integrationsområde

Låt K vara ett kompakt intervall, och låt f vara en kontinuerlig funktion påK×E, där E är ett godtyckligt intervall på den reella linjen (begränsat ellerobegränsat, öppet, halvöppet eller slutet). Då definierar

I(s) =

∫

K

f(x, s) dx , (B.1)

en funktion på E. När vi undersöker lokala egenskaper, såsom kontinuitetoch deriverbarhet, är det ingen inskränkning att anta att E är kompakt, förom vi t ex vill visa att I är deriverbar i en inre punkt s0 av E så räcker detatt studera I på ett kompakt delintervall E0 = [s0 − ε0, s0 + ε0] av E sominnehåller s0.

Sats B.1. Antag att funktionen f är kontinuerlig på K × E, där K är ettkompakt intervall och E ett intervall på R. Då är funktionen I(s) i (B.1)kontinuerlig på E.

198 Bilaga B. Integraler innehållande en parameter

Bevis: Som påpekats ovan kan vi anta att E och därmed K × E är kom-pakt. Eftersom f är likformigt kontinuerlig på K × E kan vi för varje ε > 0finna en positiv konstant δ = δ(ε) > 0 sådan att |f(x, s) − f(y, t)| < ε, om(x, s), (y, t) ∈ K × E och |x− y|+ |s− t| < δ.Speciellt har vi

|I(s)− I(s0)| <∫

K

|f(x, s)− f(x, s0)| dx

≤ supx∈K

|f(x, s)− f(x, s0)|∫

K

dx < Cε ,

om |s− s0| < δ(ε) och s, s0 ∈ E. Det följer att I(s) är kontinuerlig.

Exempel B.2. Vi har att

∫ 1

0

cos sx dx =

sin ss

då s 6= 0,

1 då s = 0.

Detta är en kontinuerlig funktion av s, i överensstämmelse med sats B.1.

Sats B.3. Låt K vara ett kompakt intervall och E ett intervall på R. Antagatt funktionen f : K ×E → C är partiellt deriverbar med avseende på s ochatt f och ∂sf är kontinuerliga. Då är I(s) kontinuerligt deriverbar i E och

I ′(s) =

∫

K

∂sf(x, s) dx . (B.2)

Bevis: Beteckna högerledet i (B.2) med h(s). Funktionen E ∋ s 7→ h(s) ärkontinuerlig enligt föregående sats. Om c ∈ E så definierar

H(s) ≡∫ s

t=c

∫

K

∂sf(x, t) dx

dt ,

en primitiv funktion till h. Vi kan skriva H(s) som en dubbelintegral överområdet Q = K× [c, s] i R2, och därefter integrera i t-led först. Detta ger att

H(s) =

∫

K

∫ s

t=c

∂sf(x, t) dt

dx =

∫

K

[f(x, t)]st=c dx

=

∫

K

(f(x, s)− f(x, c)) dx = I(s) −∫

K

f(x, c) dx .

B.2. Generaliserade integraler på R 199

Alltså är I(s) = H(s) + C, där C är en konstant, vilket ger att I ∈ C1 med

I ′(s) = H ′(s) = h(s) =

∫

K

∂sf(x, s) dx ,

och satsen är bevisad.

Exempel B.4. För I(s) =∫ 1

0cos sx dx är förutsättningarna i satsen upp-

fyllda. Alltså gäller

I ′(s) =

∫ 1

0

∂s(cos sx) dx = −∫ 1

0

x sin sx dx .

Genom partialintegration får vi (för s 6= 0)

−∫ 1

0

x sin sx dx =[x · cos sx

s

]10−∫ 1

0

cos sx

sdx

=cos s

s− sin s

s2=

s cos s− sin s

s2

=d

ds(sin s

s) .

B.2 Generaliserade integraler på R

B.2.1 Repetition av grundläggande begrepp

Definition. Låt f vara en kontinuerlig funktion på R. Om gränsvärdet

I+ = limX→+∞

∫ X

0

f(x) dx

existerar ändligt, så säger vi att den generaliserade integralen∫∞0f(x) dx är

konvergent med värde I+. Annars säger vi att integralen är divergent.På liknande sätt säger vi att den generaliserade integralen

∫ 0

−∞ f(x) dx ärkonvergent med värde I− om gränsvärdet

I− = limX→+∞

∫ 0

−X

f(x) dx

existerar (ändligt).Om båda dessa gränsvärden existerar så sägs den generaliserade integralen

∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫ 0

−∞f(x) dx +

∫ ∞

0

f(x) dx .

konvergera.


Positiva integrander

Sats B.5. Om funktionen f är kontinuerlig och icke-negativ på R så är inte-gralen

∫∞0f(x) dx konvergent om och endast om det finns en ändligt konstant

C+ sådan att ∫ X

0

f(x) dx ≤ C+ för alla X > 0.

Motsvarande gäller för integralerna∫ 0

−∞ f(x) dx och∫∞−∞ f(x) dx.

Detta följer direkt av att funktionerna F+(X) =∫ X

0f(x) dx och F−(X) =∫ 0

−Xf(x) dx är växande.

Satsen ger

Sats B.6. (Jämförelsesats 1 för generaliserade integraler) Låt funktionenf vara kontinuerlig och icke-negativ på R och låt I vara ett av intervallen(0,∞), (−∞, 0) och (−∞,∞). Om det finns en kontinuerlig funktion, g, påR, sådan att

1. 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x ∈ I ,

2.∫Ig(x) dx är konvergent ,

s å är∫If(x) dx konvergent.

Följdsats B.7. Om f är kontinuerlig på R och den generaliserade integralen∫∞−∞ |f(x)| dx konvergerar, så gäller detsamma för integralen

∫ ∞

−∞f(x) dx .

Bevis: Antag först att f är en reellvärd funktion. Med f+(x) = max(f(x), 0)och f−(x) = max(−f(x), 0) gäller

0 ≤ f+(x) ≤ |f(x)| , 0 ≤ f−(x) ≤ |f(x)|

och f(x) = f+(x)− f−(x).Det följer av jämförelsesatsen att de generaliserade integralerna

∫∞−∞ f±(x) dx

är konvergenta, så påståendet följer om vi noterar att∫ X

0

f(x) dx =

∫ X

0

f+(x) dx −∫ X

0

f−(x) dx ,


och ∫ 0

−X

f(x) dx =

∫ 0

−X

f+(x) dx −∫ 0

−X

f−(x) dx .

Om f är komplexvärd så uppfyller dess real- och imaginärdelar

|Re f(x)| ≤ |f(x)| och |Im f(x)| ≤ |f(x)| ,

så det följer av jämförelsesatsen att integralerna∫ ∞

−∞|Re f(x)| dx och

∫ ∞

−∞|Im f(x)| dx

är konvergenta, och sedan av den första delen av beviset att∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫ ∞

−∞Re f(x) dx + i lim

∫ ∞

−∞Im f(x) dx

konvergerar.

Definition. En kontinuerlig funktion f på R kallas integrerbar om integralen

∫ ∞

−∞|f(x)| dx

är konvergent.

Det hade varit naturligare att säga att funktionen är absolutintegrerbar.Vi kommer ofta att använda följande viktiga generalisering av triangelolik-heten för summor.

Sats B.8. (Triangelolikheten för integraler) Låt funktionen f vara en(reell- eller komplexvärd) kontinuerlig funktion på R som är integrerbar. Dågäller ∣∣∣∣

∫ ∞

−∞f(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

−∞|f(x)| dx . (B.3)

Bevis: Om f är reellvärd gäller

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|


vilket implicerar att

−∫ X

−X

|f(x)| dx ≤∫ X

−X

f(x) dx ≤∫ X

−X

|f(x)| dx .

Detta ger olikheten (B.3) då X → +∞.Vi betraktar nu fallet då f är komplexvärd. Vi kan anta att

I =

∫

Rf(x) dx =

∫ ∞

−∞f(x) dx 6= 0 ,

för annars är (B.3) trivialt uppfylld. Då kan vi finna θ ∈ R sådant att I =|I|eiθ, dvs så att

∣∣∣∣∫

R

f(x) dx

∣∣∣∣ = e−iθ

∫

Rf(x) dx =

∫

Re−iθf(x) dx > 0.

Detta betyder att integralen av imaginärdelen av e−iθf(x) är noll, så att∣∣∣∣∫

Rf(x) dx

∣∣∣∣ =

∫

Re−iθf(x) dx

=

∫

RRe (e−iθf(x)) dx ≤

∫

R|Re (e−iθf(x))| dx

≤∫

R

∣∣ e−iθf(x)∣∣ dx =

∫

R|f(x)| dx .

B.2.2 Generaliserade integraler som beror på en para-

meter

Vi skall nu studera generaliserade integraler i vilka integranden beror på enparameter utöver integrationsvariabeln. Liksom en konvergent funktionsseriekan ha diskontinuerlig summa fastän termerna är kontinuerliga, så behövervärdet av en generaliserad integral som beror på en parameter s inte vara enkontinuerlig funktion av s även om integranden beror kontinuerligt på s. Ettexempel ges av integralen ∫ ∞

0

sin sx

xdx .


I avsnitt 2.8 visades att den har värdet π2

då s = 1. Genom variabelbytetsx = y ses att den har samma värde för alla s > 0, medan värdet för s = 0uppenbarligen är 0.Liksom för funktionsserier kan vi undvika sådana här fenomen om vi kräverlikformig konvergens.

Definition. Låt J vara ett intervall på den reella axeln och låt x 7→ f(x, s)vara en kontinuerlig funktion på R sådan att den generaliserade integralen

∫ ∞

0

f(x, s) dx

är konvergent för alla s ∈ J . Vi säger integralen är likformigt konvergent påJ om det för varje ε > 0 finns ett X0 > 0 sådant att

∣∣∣∣∫ ∞

X

f(x, s) dx

∣∣∣∣ < ε för alla X ≥ X0 och alla s ∈ J .

Likformig konvergens för∫ 0

−∞ f(x, s) dx definieras analogt. Om både∫ 0

−∞ f(x, s) dx

och∫∞0f(x, s) dx är likformigt konvergenta på J så säger vi att

∫∞−∞ f(x, s) dx

är likformigt konvergent på J .

Vi har följande motsvarighet till Weierstrass’ majorantsats för serier.

Lemma B.9. Låt f(x, y) vara kontinuerlig på R× J . Om det finns en kon-tinuerlig, integrerbar funktion g(x) sådan att

|f(x, y)| ≤ g(x) för alla y ∈ J , (B.4)

så är I(y) =∫∞−∞ f(x, y) dx likformigt konvergent på J .

Bevis: Det följer av jämförelsesatsen att I(y) är absolutkonvergent för varjey ∈ J , och triangelolikheten ger

∣∣∣∣∫ −X

−∞f(x, y) dx

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∫ ∞

X

f(x, y) dx

∣∣∣∣ ≤∫

|x|≥X

|f(x, y)| dx ≤∫

|x|≥X

g(x) dx ,

där högerledet är oberoende av y och går mot noll då X → ∞.


Sats B.10. Låt J = [a, b] vara ett kompakt intervall, och låt f(x, y) vara enkontinuerlig funktion på R× J sådan att integralen

I(y) =

∫ ∞

−∞f(x, y) dx

är likformigt konvergent på J . Då är I(y) kontinuerlig på J och

∫ b

a

I(y) dy =

∫ ∞

−∞

(∫ b

a

f(x, y) dy

)dx .

Speciellt är integralen i högerledet konvergent.

Bevis: Låt y0 tillhöra J . För att visa att I(y) är kontinuerlig i y0 behöver vivisa att det för varje ε > 0 finns δ > 0 så att

|I(y)− I(y0)| < ε om y ∈ J och |y − y0| < δ .

Eftersom I(y) är likformigt konvergent kan vi välja X > 0 så att∣∣∣∣I(y)−

∫ X

−X

f(x, y) dx

∣∣∣∣ <ε

3

för alla y ∈ J . Sätt

IX(y) =

∫ X

−X

f(x, y) dx .

Eftersom

I(y)− I(y0) = I(y)− IX(y) + IX(y)− IX(y0) + IX(y0)− I(y0) ,

ger triangelolikheten och valet av X att

|I(y)− I(y0)| ≤ |I(y)− IX(y)|+ |IX(y)− IX(y0)|+ |IX(y0)− I(y0)|<

ε

3+ |IX(y)− IX(y0)|+

ε

3

så det återstår att visa att IX(y) är kontinuerlig på J . Det följer emellertiddirekt från sats B.1.För att visa påståendet om integralen av I(y) utnyttjar vi att vi redan vet attvi får byta integrationsordning över den kompakta rektangeln [−X,X ] × J ,dvs ∫ X

−X

(∫ b

a

f(x, y) dy

)dx =

∫ b

a

(∫ X

−X

f(x, y) dx

)dy .


Vi får∫ X

−X

(∫ b

a

f(x, y) dy

)dx −

∫ b

a

I(y) dy =

∫ b

a

(IX(y)− I(y)) dy . (B.5)

Absolutbeloppet av högerledet är enligt triangelolikheten (sats B.8) högstlika med ∫ b

a

|I(y)− IX(y)| dy , (B.6)

och eftersom integralen I(y) är likformigt konvergent kan vi för varje ε > 0välja ett X0 > 0 så att integranden i (B.6) är mindre än ε/(b − a) för allay ∈ J då X ≥ X0, dvs så att integralen är mindre än ε. Detta visar attdifferensen i vänsterledet av (B.5) går mot noll då X → ∞.

Följdsats B.11. Låt O = (a, b) vara ett öppet intervall, och låt funktionenf(x, y) vara kontinuerlig på R× O, samt uppfylla följande villkor.

• Integralen I(y) =∫∞−∞ f(x, y) dx konvergerar för varje y ∈ O.

• Den partiella derivatan f ′y(x, y) existerar och är en kontinuerlig funk-

tion på R× O.

• Integralen g(y) =∫∞−∞ f ′

y(x, y) dx konvergerar likformigt på O.

Då är funktionen I(y) kontinuerligt deriverbar på O, och I ′(y) = g(y).

Bevis: Beviset består av att kombinera sats B.10 med analysens huvudsats.Enligt sats B.10 är funktionen g(y) kontinuerlig på O (ty den är det på varjekompakt delintervall), och om y1, y ∈ O gäller∫ y

y1

g(t) dt =

∫ ∞

−∞

(∫ y

y1

f ′y(x, t) dt

)dx =

∫ ∞

−∞(f(x, y)− f(x, y1)) dx

= I(y)− I(y1) .

Detta visar att I(y) är deriverbar med derivatan g(y).

Vi sammanfattar våra resultat.

Sats B.12. Låt J = (a, b) ett intervall i R. Antag att funktionen f : R × Jär kontinuerlig och sätt

I(y) =

∫ ∞

−∞f(x, y) dx , y ∈ J .

Då gäller följande:


1. Om det finns en kontinuerlig funktion g sådan att |f(x, y)| ≤ g(x) gälleroch

∫∞−∞ g dx är konvergent, så är I(y) väldefinierad och en kontinuerlig

funktion av y på J.

2. Antag dessutom att f är deriverbar med avseende på y med kontinu-erlig derivata f ′

y och att det finns en kontinuerlig funktion h sådan att∫∞−∞ h(x) dx är konvergent och

|f ′y(x, y)| ≤ h(x) då x ∈ R , y ∈ J .

Då är I(y) kontinuerligt deriverbar på J och

I ′(y) =

∫ ∞

−∞f ′y(x, y) dx .

B.2.3 Omkastning av integrationsordning

För dubbelintegraler med kontinuerlig integrand över en axelparallell rek-tangel är det inga problem att byta integrationsordning. För generaliseradeintegraler behöver det inte vara så. Tag till exempel

f(x, y) =

sin (x− y) om 0 < x− y < 2π,

0 annars.

Då är f kontinuerlig, och det gäller∫ ∞

0

(∫ ∞

0

f(x, y) dx

)dy =

∫ ∞

0

(∫ y+2π

y

sin (x− y) dx

)dy = 0 ,

medan∫ ∞

0

(∫ ∞

0

f(x, y) dy

)dx =

∫ ∞

0

(∫ x

max (0,x−2π)

sin (x− y)dy

)dx

=

∫ 2π

0

(∫ x

0

sin (x− y) dy

)dx

=

∫ 2π

0

(1− cos x) dx = 2π .


De upprepade integralerna är olika fastän de båda funktionerna

x 7−→∫ ∞

0

f(x, y) dx = 0 och

y 7−→∫ ∞

0

f(x, y) dy =

1− cosx , 0 < x < 2π0 , annars,

är absolutintegrerbara. (Däremot inte om vi byter f(x, y) mot |f(x, y)|.)Efter följande definition, och exempel, kommer vi att vi att diskutera till-räckliga villkor för att det skall vara tillåtet att byta integrationsordning. Vikommer inte att sträva efter bästa möjliga resultat.

Definition. En funktion f på en mängd Ω säges vara begränsad på Ω om

||f ||∞def= sup

x∈Ω|f(x)| <∞ .

Exempel B.13. Om f är kontinuerlig, integrerbar och begränsad på Ω så äräven |f(x)|2 integrerbar på Ω. Det är nämligen klart att |f(x)|2 är kontinuerlig(eftersom den kan uppfattas som sammansättningen av två kontinuerligafunktioner) och för varje x ∈ Ω gäller

|f(x)|2 ≤ ||f ||∞ |f(x)|. (B.7)

Det är lätt att se att C|f(x)| är integrerbar, för varje konstant C, så påstå-endet följer om vi tillämpar sats B.6 med g(x) = ||f ||∞ |f(x)|.

Följdsats B.14. Låt f vara en kontinuerlig funktion på R2, och antag attdet finns kontinuerliga, begränsade och integrerbara funktioner M och P påR sådana att

|f(x, y)| ≤ M(x)P (y) , x ∈ R , y ∈ R . (B.8)

Då gäller∫

R

(∫

Rf(x, y) dy

)dx =

∫

R

(∫

Rf(x, y) dx

)dy . (B.9)

Bevis: Det följer av lemma B.9 att integralerna∫

Rf(x, y) dx och

∫

Rf(x, y) dy


är likformigt konvergenta då y respektive x varierar över R. Alltså är inte-gralerna, enligt sats B.10, kontinuerliga funktioner av y respektive x.Vidare ger triangelolikheten

∫ Y

−Y

∣∣∣∣∫

Rf(x, y) dx

∣∣∣∣ dy ≤∫ Y

−Y

∫

R|f(x, y)| dx dy

≤∫ Y

−Y

(∫

R|M(x)| dx

)|P (y)| dy

≤∫

R|M(x)| dx ·

∫

R|P (y)| dy

så funktionen x 7→∫f(x, y) dy är integrerbar över R, och på liknande sätt

ses att detsamma gäller för funktionen y 7→∫f(x, y) dx.

Det återstår att visa att deras integraler är lika. Enligt sats B.10 gäller förvarje ändligt X > 0 att

∫ X

−X

(∫

Rf(x, y) dy

)dx =

∫

R

(∫ X

−X

f(x, y) dx

)dy .

Det följer att

∣∣∣∣∫ X

−X

(∫

Rf(x, y) dy

)dx −

∫

R

(∫

Rf(x, y) dx

)dy

∣∣∣∣

≤∫

R

∣∣∣∣∫

|x|>X

f(x, y) dx

∣∣∣∣ dy ≤∫

|x|>X

|M(x)| dx ·∫

R|P (y)| dy ,

vilket ger den önskade likheten då X → ∞.

Exempel B.15. Låt u och v vara kontinuerliga funktioner definierade påhela R. Med faltningen u ∗ v av u och v menar man funktionen given av

(u ∗ v)(x) =

∫

Ru(x− y) v(y) dy , x ∈ Du∗v , (B.10)

med definitionsmängd, Du∗v, bestående av de x för vilka integralen konver-gerar.För allmänna funktioner u och v behöver integralen inte konvergera för nå-got x. Det finns dock många olika sorters villkor som garanterar existens.Ett enkelt sådant är att u är begränsad och v integrerbar på R. Då blir


funktionen u ∗ v dessutom kontinuerlig. Detta följer av sats B.12, eftersom|u(x − y)v(y)| ≤ ||u||∞ |v(y)|. (Observera att samma resonemang också geratt |u| ∗ |v| är kontinuerlig.) Vidare gäller enligt triangelolikheten

|(u ∗ v)(x)| ≤∫

R|u(x− y)v(y)| dy ≤ ||u||∞

∫

R|v(y)| dy , (B.11)

så att u ∗ v är begränsad.

Sats B.16. Om både u och v är kontinuerliga, integrerbara och begränsadeså gäller detsamma för faltningen u ∗ v.Det gäller

∫ ∞

−∞(u ∗ v)(x) dx =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞u(x− y)v(y) dx

)dy

=

∫ ∞

−∞u(z) dz ·

∫ ∞

−∞v(y) dy (B.12)

och ∫ ∞

−∞|u ∗ v|(x) dx ≤

∫ ∞

−∞|u(z)| dz ·

∫ ∞

−∞|v(y)| dy . (B.13)

Bevis: Eftersom|u(x− y)v(y)| ≤ ||u||∞ |v(y)| , (B.14)

där högerledet är integrerbart så följer det av lemma B.9 att integralen somdefinierar (u ∗ v)(x) är likformigt konvergent för reella x. Speciellt beror denkontinuerligt på x och är begränsad av ||u||∞

∫∞−∞ |v(y)| dy.

Triangelolikheten för integraler, sats B.8, ger

∫ X

−X

|(u ∗ v)(x)| dx ≤∫ X

−X

(∫ ∞

−∞|u(x− y)| |v(y)| dy

)dx ,

där den inre integralen i högerledet är likformigt konvergent på [−X,X ].Enligt sats B.10 får vi byta integrationsordning i högerledet, vilket ger

∫ X

−X

|(u ∗ v)(x)| dx ≤∫ ∞

−∞

(∫ X

−X

|u(x− y)| dx)

|v(y)| dy

≤∫ ∞

−∞|u(z)| dz ·

∫ ∞

−∞|v(y)| dy ,


där högerledet är oberoende av x. Härav följer att u ∗ v är integrerbar ochatt uppskattningen (B.13) gäller.Eftersom integralen (u ∗ v)(x) konvergerar likformigt följer det av sats B.10att

∫ X

−X

(u ∗ v)(x) dx =

∫ ∞

−∞

(∫ X

−X

u(x− y) dx

)v(y) dy

=

∫ ∞

−∞

(∫ X−y

−X−y

u(z) dz

)v(y) dy .

Alltså gäller∣∣∣∣∫ X

−X

(u ∗ v)(x) dx −∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞u(z) dz

)v(y) dy

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫ ∞

−∞

(∫

|z+y|>X

u(z) dz

)v(y) dy

∣∣∣∣

≤∫ ∞

−∞

(∫

|z+y|>X

|u(z)| dz)

|v(y)| dy ,

där vi använt triangelolikheten i sista steget. Vi vill visa att för ett godtyckligtε > 0 går det att välja X0 så att högerledet är mindre än ε om X > X0.Eftersom den inre integralen kan uppskattas uppåt med

∫∞−∞ |u(z)| dz kan

högerledet för varje Y > 0 uppskattas med∫ Y

−Y

(∫

|z+y|>X

|u(z)| dz)

|v(y)| dy +

∫ ∞

−∞|u(z)| dz ·

∫

|y|>Y

|v(y)| dy .

Nu kan välja Y så att den andra termen blir mindre än ε/2. Den förstatermen kan sedan uppskattas med∫ Y

−Y

(∫ −X−y

−∞|u(z)| dz +

∫ ∞

X−y

|u(z)| dz)

|v(y)| dy

≤∫ Y

−Y

(∫ −X+Y

−∞|u(z)| dz +

∫ ∞

X−Y

|u(z)| dz)

|v(y)| dy

≤(∫ −X+Y

−∞|u(z)| dz +

∫ ∞

X−Y

|u(z)| dz)·∫ Y

−Y

|v(y)| dy ,

där den första faktorn i högerledet går mot noll då X → ∞. Speciellt äralltså högerledet mindre än ε/2 för tillräckligt stora X.

Sakregister

C10 (R), 153

absolutkonvergent, 18Achilles och sköldpaddan, 4alternerande serie, 23axiomet om övre gräns, 7

begränsad funktion, 207begynnelsevillkor, 108Besselfunktion, 148Bessels differentialekvation, 148Bessels olikhet, 62betingad konvergens, 19brytpunkt, 64

Cauchy data, 133Cauchy–Schwarz’ olikhet, 60Cauchys integralkriterium, 12Chladnifigurer, 150cosinusserie, 81

d’Alemberts formel, 135diffusionsekvationen, 108divergent, 3

effektivvärde, 58egenfrekvens, 130egenfunktion, 146egensvängning, 129egenvärde, 146Eulers formler, 47

faltning, 167, 208faltningssatsen, 168Ficks lag, 108Fourierkoeffienter, 53Fouriers inversionsformel, 159Fouriers värmeledningslag, 107Fourierserie, trigonometrisk, 82Fouriertransform, 156Féjersummation, 101

geometrisk serie, 4Gibbs’ fenomen, 96grundton, 130

harmoniska serien, 9

icke-trivial lösning, 110integralkriterium, Cauchys, 12inversionsformeln för Fourierserier, 70

jämförelsesatser, 9

karakteristikor, 135konvergens i medel, 74konvergent, 3kvotkriteriet, 11

Leibniz’ sats, 23likformig konvergens, 27

för generaliserad integral, 203lineärkombination, 74lineärt rum, 57

212 Sakregister

lokala egenskaper, 38

majorant, 7minstakvadratmetoden, 77

nodlinjer, 150

omkastning av gränsprocesser, 32ortogonala funktioner, 59ortonormerat system, 61

Parsevals formel, 79periodisk funktion, 51Plancherels formel, 168punktvis konvergens, 29Pytagoras’ sats, 59

randvillkor, 108Riemanns ζ-funktion, 9Riemanns lemma, 157Riemanns omordningssats, 25räkneregler för Fouriertransformen, 163

separation av variabler, 110serie, 3sinusserie, 81skalärprodukt, 57, 59styckvis C1 funktion, 64stående våg, 129stöd

för en funktion, 153summationsordning, 13, 19supremum, 7supremumnorm, 30svag lösning, 127

teleskopsumma, 5termvis derivation, 36termvis integration, 36triangelolikheten, 60

triangelolikheten för integraler, 201trigonometrisk Fourierserie, 82trivial lösning, 110

uppräknelig, 15uttömmande svit, 13

vektorrum, 57värmediffusiviteten, 107värmeledningsekvationen, 105vågekvationen, 123

Weierstrass’ approximationssats, 188Weierstrass’ majorantsats, 36

överton, 130övre gräns, axiomet om, 7

· förord detta kompendium bygger i stor utsträckning på tidigare material som be-handlat...

Documents