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VETORES
Física Geral
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Grandezas
Comprimento (m) Massa (kg) Tempo (s) Corrente elétrica (A) Quantidade da substância (mole) Temperatura (K) Intensidade luminosa (cd)
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Grandezas direcionais
Deslocamento Velocidade (quantidade de movimento) Aceleração (força) Torque Campo Elétrico Campo Magnético
Grandezas Vetoriais ou Vetores
São aquelas que dependem de uma especificação espacial para serem completamente definidas.
a
b
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Grandezas não-direcionais Aquelas que são completamente definidas apenas por um valor numérico.
Grandezas Escalares ou Escalares
p Temperatura p Intensidade luminosa p Massa p Corrente elétrica p Tempo p Energia p Potência p Resistência elétrica p Freqüência
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Direção Orientada
x
a b
Eixo orientado
x
y
Eixos coordenados orientados x
y
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Direção Orientada z
x y
θ
φx θ 0
x 0
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Representação de vetores
cbaCBA !!!!!!
cbaCBA !!!!!! ,,,,,
Modo escrito: Letras maiúsculas ou minúsculas em negrito:
A, B, C, a, b, c
Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido que o vetor considerado e cujo comprimento é proporcional à magnitude do mesmo.
Ou letras em itálico com uma flecha em cima:
Módulo ou magnitude de um vetor é representado por: A, B, C, a, b, c
ou
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Vetores Vetor unitário é o vetor cujo módulo é a unidade.
VVVuV u==!!
ouˆ
1ou 1ˆ que talˆ ou == uu uu
Qualquer vetor pode ser escrito em termos de um vetor unitário:
Logo, se temos dois vetores paralelos podemos representá-los como:
'ˆ'eˆ VuVVuV ==!!
V!
'V!
VV
VV
u'
chamando eˆsendo == λ!
VV!!
λ=⇒ '
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V1
V2
V
Soma de vetores
A
B
21 VVV +=
21 VVV +=≠
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Soma de vetores
V1
V2
V
V = V1+V2 = V2+V1 (Comutativo)
A
B
Método do paralelogramo || a V1
|| a V2
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Soma de vetores
222 )()()( DCADAC +=
θθ sencos 221 VDCVVBDABAD =+=+=
θθθθθ 22222
22121
22
221
2 sencoscos2)sen()cos( VVVVVVVVV +++=++=
θ
θθθ
cos2
)sen(coscos2
2122
21
222221
21
VVVVV
VVVVV
++=
+++=
V = V1+V2
V2cosθ
V2 senθ
θ D A B
V
V1
V2
C
Calculando o módulo da soma de dois vetores
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V = V1+V2 α
β
V2cosθ
V2 senθ
θ D A B
V
V1
V2
C Soma de vetores
θα sensen BCACCD ==αθ
θαsensen
ou sensen 22VVVV ==↔
αββα
sensensensen forma mesma da 2121
VVVV =↔=→
αβθ sensensen:equações as juntando 21 VVV ==
Calculando a direção do vetor resultante V E
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Soma de vetores
θcos2 2122
21 VVVVV ++= αβθ sensensen
21 VVV ==
22
21 VVV +=
1
2tanVV
=α
Logo, para a soma de dois vetores:
Onde no caso particular onde θ = 90°:
A B
V
V1
V2
C
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Diferença entre dois vetores É obtida somando-se o primeiro com o inverso do segundo, isto é:
)(1 212 VVVVD −+=−=
V=V1+V2
V1
V2 D=V1-V2
V1
-V2
D’=V2-V1
-V1
V2
D’ = -D (a diferença é anti-comutativa)
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Diferença entre dois vetores
θ
θπθπ
θπ
cos2
)sensencos(cos2
)cos(2
2122
21
2122
21
2122
21
VVVVD
VVVVD
VVVVD
−+=
−++=
−++=
V=V1+V2
V1
V2
-V2
θ
π-θ
D=V1-V2
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Exemplo
Dado um vetor A de 6 unidades de comprimento e que faz um ângulo de +36º com o eixo X positivo; B com 7 unidades de comprimento e de mesma direção e sentido que o eixo X negativo. Determine: a) A soma dos dois vetores. b) A diferença entre eles
36º
A B
Y
X
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Exemplo 36º
A
B
Y
X 0 C = A + B
com A = 6 e B = 7
C
144º
unidades 128,4144cos2 o22 =++= ABBAC
a)
O ângulo entre B e C pode ser determinado por
oo 69,58sen144sen
≈→= ααAC
Logo, temos que o ângulo β é 85,31º e, portanto, o ângulo de C em relação ao eixo X é de 121,31º.
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b) D= A - B
Exemplo 36º A
-B
Y
X 0
D
unidades 12,31 144cos2
ou 36cos2o22
o22
=−+=
++=
ABBAD
ABBAD
Utilizando a lei do senos,
oo 64,16sen36sen
≈→= ααAD
O vetor diferença D faz um ângulo de 16,64º com o eixo X.
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Componentes de um Vetor Qualquer vetor V pode ser considerado como o resultado da soma de dois ou mais vetores. As suas componentes ortogonais Vx e Vy são mutuamente perpendiculares.
V
Vx
Vy
Y
X 0
B
A
C No plano
z
x y
θ
φ
Segue que
2222zyx VVVV ++=
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Componentes de um Vetor z
x y
θ
φ
β
βα cos , cos VVVV yx ==
Assim, temos também que
cos2α + cos2 β + cos2θ =1
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Vetor posição Um caso particularmente importante é o do vetor-posição r de um ponto de P de coordenadas (x, y, z).
O vetor-posição relativo de dois pontos P1 e P2 é
Ou seja,
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Exemplo Calcule a distância entre os dois pontos (6, 8,10) e (-4, 4, 10). Solução:
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos,
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Aplicações aos Problemas da Cinemática
Um barco a motor desloca-se a 15 km/h com a proa voltada para o norte, num local onde a corrente é de 5 km/h na direção S 70o E. Calcule a velocidade do barco em relação às margens. Solução:
A velocidade resultante será a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água VB com a velocidade da corrente VC.
Como θ = 110o, obtém-se analiticamente
Para obter a direção aplicamos a lei dos senos,
O que resulta em na direção N19,4o E.
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Aplicações aos Problemas da Cinemática Calcule a aceleração de um corpo que desliza sobre um plano inclinado segundo o ângulo θ. Solução: Seja P um corpo que desliza para baixo sem atrito sobre o plano AB, que é inclinado segundo um ângulo θ. Se não existisse, o corpo cairia livremente na vertical com aceleração igual a g = 9,8 m/s2.
As componentes da acelaração perpendicular e paralela ao plano são dadas, respectivamente, por
a ' = gcosθ e a = gsenθ