ft laterales

7/14/2019 Ft Laterales

1/8

CAPTULO

3

Lmite de una funcin

1

3.3 Lmites laterales

Supongamos que f .x/est definida en un cierto intervalo .a;x0/. Si para nmeros x del do-minio defsuficientemente prximos a x0y menores quex0, los valores correspondientes de

f.x/estn tan prximos a 1como queramos, decimos que1es el lmite por la izquierda def.x/, cuandoxtiende ax0. Lo anterior se denota mediante

lmx!x

0

f.x/ D 1I

x! x0 se lee: xtiende ax0por la izquierda.

Supongamos que f .x/est definida en un cierto intervalo .x0; b/. Si para nmeros x del do-

minio defsuficientemente prximos a x0y mayores quex0, los valores correspondientes def.x/estn tan prximos a 2como queramos, decimos que 2es el lmite por la derecha def.x/, cuandoxtiende ax0. Lo anterior se denota

lmx!x

C

0

f.x/ D 2I

x! xC0 se lee: x tiende ax0por la derecha.

1canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1


2/8

2 Clculo Diferencial e Integral I

x

y

x0a b

lmx!x

C

0

f.x/D 2

lmx!x

0

f.x/D 1

x ! xC0

x ! x0

A los lmites lmx!x

0

f.x/& lmx!x

C0

f.x/se les conoce como lmites laterales.

Es claro que:

lmx!x0 f.x/ D , lmx!x0 f.x/ D D lmx!xC0

f.x/.

x

y

x0a b

y D f.x/

Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un lmite.

Si no existe alguno de los lmites laterales, el lmite no existe.

Si los lmites laterales existen pero son diferentes, el lmite no existe.Observacin: para los lmites laterales lm

x!x0

f.x/& lmx!x

C0

f.x/hallamos resultados anlogos a los

que hemos enlistado anteriormente para el lmite lmx!x0

f.x/.

Ejemplo 3.3.1 Dada la funcin f.x/ Dj x a jx a , calcular (en caso de existir) cada uno de los lmites siguien-

tes:

1. lmx!a

f.x/. 2. lmx!aC

f.x/. 3. lmx!a

f.x/.

2


3/8

3.3 Lmites laterales 3

H Por definicin de valor absoluto:

j x a j D

x a six a 0

.x

a/ six

a < 0

D

x a six aI

.x

a/ six < a:

Por lo tanto

1. Six! a, entoncesx < a&x a < 0, por lo que

j x a j D .x a/&j x a jx a D

.x a/.x a/ D 1)

) lmx!a

j x a jx a Dlmx!a 1 D 1:

2. Six! aC, entoncesx > a&x a > 0, por lo que

j x a j D x a&j x a jx a D

.x a/.x a/ D 1)

) lmx!aC

j x a jx a Dlmx!a 1 D 1:

3. Ya que lmx!a

f.x/D 1& lmx!aC

f.x/ D 1 entonces lmx!a

f.x/ lmx!aC

f.x/y por lo tanto

lmx!a

f.x/no existe.

Observa quef .x/ Dj x a jx

a

se obtiene de la funcing.x/ Dj x jx

desplazndola aunidades.

Ejemplo 3.3.2 Dada la funcing.x/ D

3x C 5 six < 1Ix2 C 1 si 1 < x < 2I6 x six > 2;

calcular (en caso de existir) cada uno de los lmites siguientes:

1. lmx!1

g.x/.

2. lmx!1C

g.x/.

3. lmx!1

g.x/.

4. lmx!2

g.x/.

5. lmx!2C

g.x/.

6. lmx!2

g.x/.

H

1. lmx!1

g.x/ D lmx!1

.3x C 5/ D 3.1/ C 5 D 3 C 5 D 2.

2. lmx!1C

g.x/ D lmx!1C

.x2 C 1/ D .1/2 C 1 D 1 C 1 D 2.

3. Ya que lmx!1

g.x/ D 2 D lmx!1C

g.x/, entonces lmx!1

g.x/ D 2.

4. lmx!2

g.x/ D lmx!2

.x2 C 1/ D 22 C 1 D 4 C 1 D 5.

5. lmx!2C

g.x/

D lmx!2C

.6

x/

D6

2

D4.

3


4/8


6. Ya que lmx!2

g.x/ D 5 4 D lmx!2C

g.x/, entonces lmx!2

g.x/no existe.

x

y

1 2

2

45

y D g.x/

Ejemplo 3.3.3 Dada la funcinh.x/ D

ax C 5 six < 1Ix2 C 1 si 1 < x < 2Imx C 6 six > 2;

determinar los valores de las constantesa,mque aseguran la existencia de los lmites: lmx!1

h.x/& lmx!2

h.x/.

H

1. lmx!1

h.x/existe si y slo si

lmx!1

h.x/ D lmx!1C

h.x/, lmx!1

.ax C 5/ D lmx!1

.x2 C 1/,, a.1/ C 5 D .1/2 C 1, a C 5 D 1 C 1, aD 2 5 D 3, a D 3:

2. lmx!2

h.x/existe si y slo si

lmx!2

h.x/ D lmx!2C

h.x/, lmx!2

.x2 C 1/ Dlmx!2

.mx C 6/,

, 22 C 1 D m.2/ C 6, 5 D 2m C 6, 2m D 5 6 D 1, m D 12

:

3. Resumiendo:

Cona D 3y conm D 12

sucede que lmx!1

h.x/ D 2& lmx!2

h.x/ D 5I h.x/sera ahora

h.x/ D

3x C 5 six < 1Ix2 C 1 si 1 < x < 2Ix

2C 6 six > 2:

4


5/8


x

y

1 2

2

5

y D h.x/

Ejemplo 3.3.4 Dada la funcin.x/ D

3x C 5 six < 1Imx2 C n si 1 < x < 2I6 x

2six > 2;

determinar los valores de las constantesm,nque aseguran la existencia de los lmites: lmx!1

.x/& lmx!2

.x/.

H

1. lmx!1

.x/existe si y slo si

lmx!1

.x/ D lmx!1C

.x/, lmx!1

.3x C 5/ D lmx!1

.mx2 C n/,, 3.1/ C 5 D m.1/2 C n, 3 C 5 D m.1/ C n, m C n D 2:

2. lmx!2

.x/existe si y slo si

lmx!2

.x/ D lmx!2C

.x/, lmx!2

.mx2 C n/ Dlmx!2

6 x

2

,

, m.2/2

Cn

D6

2

2 , 4m

Cn

D5:

3. Debemos resolver el sistema de ecuaciones

m C n D 2I4m C n D 5:

4m C n D 5Im n D 2:

3m D 3) m D 1&m C n D 2)

)n

D2

m

D2

1

D1:

5


6/8


4. Conm D 1y conn D 1se cumple quelm

x!1.x/ D 2 & lm

x!2.x/ D 5;

donde ahora

.x/ D

3x C 5 six < 1Ix2 C 1 si 1 < x < 2I6 x

2six > 2:

x

y

1 2

2

5

y D .x/

Ejercicios 3.3.1 Soluciones en la pgina8

1. Dadaf .x/ Dj x jx

, calcular:

a. lmx!0

f.x/; b. lmx!0C

f.x/; c. lmx!0

f.x/.

2. Dadaf .x/ D x aj x a j , calcular:

a. lmx!a f.x/; b. lmx!aC f.x/; c. lmx!a f.x/.

3. Dadag.x/ D j x 2 j x C 2, calcular:

a. lmx!2

g.x/; b. lmx!2C

g.x/; c. lmx!2

g.x/.

4. Dadaf .x/ D

2 six < 1Ix2 3 si 1 < x < 2I2 x six > 2:

Calcular:6


7/8


a. lmx!1

f.x/;

b. lmx!1C

f.x/;

c. lmx!1

f.x/;

d. lmx!2

f.x/;

e. lmx!2C

f.x/;

f. lmx!2

f.x/.

5. Dadag.x/ D

ax C 11 six < 3Ix2 8x C 16 six > 3:

Determinar el valor de la constante aque asegura la existencia de lmx!3

g.x/.

6. La expresin LD Lo

1 v2

c2indica la longitud de un objeto en funcin de su velocidad v,

dondeLoes la longitud del objeto en reposo yces la velocidad de la luz.

Qu pasa con la longitud del objeto cuando vse aproxima a la velocidad de la luz?

7. Calcular: lmx!

0

j x j xx

:

8. Calcular: lmx!1

x2 1j x 1 j .

9. Sea la funcin definida por

f.x/ D n; para cada x2 n;n C 1/; donden 2 f : : : ; 3; 2; 1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;: : : g D Z :a. Grafique esa funcinf.

b. Calcular paran 2 f : : : ; 3; 2; 1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;: : : g D Z .lm

x!nf.x/; lm

x!nCf.x/; lm

x!nf.x/& lm

x!af.x/, dondea n.

10. Considerarf .x/ D

x2 C 3 six 1Ix C 1 six > 1I y considerarg.x/ D

x2 six 1I2 six > 1:

Calcular

a. lmx!1

f .x/g.x/; b. lmx!1C

f .x/g.x/; c. lmx!1

f .x/g.x/.

11. Calcular: lmx!1C

p2x C 1

p3

x 1 :

12. Calcular: lmx!0

j x j3x C 1

2

x :

13. Calcular: lmx!1

f.x/, dondef .x/ D

2x2 C 1x4 C 3 six < 1I

x3 C 1x2 C 6x C 5 six > 1:

14. Calcular: lmx!2C

2 xj x 2 j .

15. Calcular: lmx!3

j j 2 C x j 3 j 2x2

9

:

7


8/8


Ejercicios 3.3.1 Lmites laterales, pgina6

1. lmx!0

f.x/ D 1;

lmx!0C

f.x/ D 1;lm

x!0f.x/no existe.

2. lmx!a

f.x/D 1;lm

x!aCf.x/ D 1;

lmx!a

f.x/no existe.

3. lmx!2

g.x/ D 0;

lmx!2C g.x/ D 0;lm

x!2g.x/ D 0 .

4. lmx!1

f.x/D 2;lm

x!1Cf.x/ D 2;

lmx!1

f.x/ D 2;lm

x!2f.x/ D 1;

lmx!2C

f.x/ D 0;

lmx!2

f.x/no existe .

5. a D 103

.

6. lmv!c

Lo

1 v

2

c2D 0 .

7. No existe lmx!0

jx j xx

.

8. No existe lmx!1x2

1

jx 1 j .

9.

a.

x

y

1

2

3

4

1

2

3

321

1 2 3 4

y D f.x/

b. lmx!n f.x/ D n 1;lm

x!nCf.x/ D n;

no existe lmx!n

f.x/;

lmx!a

f.x/ D nsia 2 n;n C 1/ .

10. lmx!1

f .x/g.x/ D 4;lm

x!1Cf .x/g.x/ D 4;

lmx!1

f .x/g.x/ D 4.

11. lmx!1C

p2x C 1 p3x 1 D

1p3

.

12. lmx!0

j x j3x C 1 2

x

D 0 .

13. lmx!1

f.x/D 34

.

14. lmx!2C

2 xjx 2 jD 1 .

15. lmx!3 j j2

Cx

j 3

j 2

x2 9 D 1

6.

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