funcion cuadratica pres msp 21
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
Prof. Evelyn Dávila Proyecto MSP21- FASE II
Academia Sabatina
ax
x f )( c
bxaxx
2
l La forma general de una función cuadrática es; , donde a,b y c son números reales.
c bx ax x f ) ( 2
Ejemplos
9 12 4 ) (
2
x x x f l a= 4, b= 12 , c= 9
3 5 2 ) (
2
x x x f l a= 2, b= 5 , c= -3 l a= 1, b= 0 , c= 25
25 ) (
2
x x f
lLa gráfica de una función cuadrática es una parábola; ésta representa el conjunto solución de la función.
l La función cuadrática básica es
. l Su gráfica es la siguiente
) (
xxf
2
x
y 2
4 1
1 0
0 -1
1 -2
4
CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
lDada en la forma estándar
c bx ax x f ) ( 2
l Dominio- los números reales
Concavidad
El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parábola:
l Si a>0 . es cóncava hacia arriba
l Si a<0, es cóncava hacia abajo
a>0 a<0
Vértice
El vértice es el punto mínimoen una parábola cóncava hacia arriba y es el punto máximo en una parábola cóncava hacia abajo.
l La coordenada de el vértice es dada por :
ab ) ( f y b
2 x a 2
Vértice
Punto mínimo
Simetría
lLa parábola es simétrica con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice y cuya ecuación es dada por
b x . a 2
Interceptos en x
lLa parábola puede tener hasta un máximo de dos interceptos en x.
En general podemos encontrar uno de los siguientes casos:
l Tiene dos interceptos en x: la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice se encuentra bajo el eje de x ó es cóncava hacia abajo y su vértice se encuentra sobre el eje de x.
l Tiene un intercepto en x; el vértice se encuentra sobre el eje de x.
l No tiene intercepto en x: esta parábola no intercepta el eje de x y se encuentra en el primer y segundo cuadrante ó se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante.
Procedimiento para hallar el(los) interceptos en el eje de x
1. Igualar la función a cero y hallar las raíces
mediante el método de factorización o la fórmula cuadrática.
2. En esos valores ocurren los interceptos.
Fórmula cuadrática b b x a
ac
2
42
Intercepto en y
l La parábola tiene un intercepto en y y la coordenada de ese punto es (0,c).
Para ;
c bx ax x f ) ( , 2
c f ) 0
(
EJEMPLO 1
3 5 2 ) (
2
x x x f Parámetros a = 2, b = 5, c = -3
DOMINIO Números Reales
Concavidad a = 2 Cóncava hacia arriba
Vertice ( -1.25, -1.31 ) Punto mínimo
45 25 25 . 1 x 2 b x a 2
5 ) 25 . 1 ( 2 ) 25 . 1 (
2
f (a
b ) f y 2
3 6
325.6125.
EJEMPLO 1 (continuación)
5 5
2
x
3
5 2 ) (
2
x x x f 2 ( 2
)(2(4
Eje de simetría x = -1.25
5 25 5 Interceptos en el eje de x ( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )
4
24
1 2 5 x b b x 4 4
7
a
ac
2
42 412 5
2
3 x 4
7
EJEMPLO 1 (continuación)
3 5 2 ) (
2
x x x f Interceptos en el eje de y (0 , -3 )
GRAFICA
EJEMPLO 2
4 ) (
2
x x f
Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4
Dominio Números reales
Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo
Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo
b ) ( f y 2 a 0 ab
0 x 2 2 4 ) 0 ( f y
EJEMPLO 2 (continuación)
4 ) (
2
x x f
Interceptos en x f(x) = 0 4 x 2
) 4 )(1(
4 0 0
2
0
x Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula cuadrática.
4
)1(2
Fórmula cuadrática
2 x 2 4 b b x a
ac
2
42
2 x 2 Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )
EJEMPLO 2 (continuación)
4 ) (
2
x x f
EJEMPLO 3 (continuación)
)(3(
4 7 7
2
x )3
( 2 6 7 3 ) (
2
x x x f
Eje de simetría x = 1.17
72 49 7 Interceptos en el eje de x ( 0.67 , 0 ) y ( -3 , 0 )
2 4 11 7
6
x b b x 6 6 a
ac
2
42 18 11 7
3
x 6 6
EJEMPLO 3 (continuación)
6 7 3 ) (
2
x x x f
Práctica
9 12 4 ) (
2
x x x g Parámetros
Dominio
Concavidad
Vértice
Simetria
Intercepto(s) en x
Intercepto en y
GRAFICA
Práctica
9 12 4 ) (
2
x x x g Parámetros a = 4 , b = 12, c = 9
Dominio Números reales Concavidad a = 4 Cóncava hacia arriba Vértice ( -1.5,-14.9 ) Punto mínimo
) 5 . 1 (
2
g 23 812 212
9 9 . 14 9
)5.1(4
5 . 1 x ) 4 ( ) 9 . 14 ,5
. 1 (
14
Práctica –continuación
9 12 4 ) (
2
x x x g
Aplicaciones
Caida libre de un objeto l El modelo matemático para describir la posición de
un objeto en caída libre es dado por
21 ) (
stvatt
s 2 0 0
Donde a , es la constante de aceleración debido a la gravedad, velocidad inicial y la
posición inicial.0v
La constante de aceleracion es dada por
0 s
segpies 32
go
g 2
9
Un objeto es lanzado hacia arriba desde un edificio, a una altura de 100 pies a una velocidad inicial de 5 millas por hora.
lëCuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?
lëCuánto tiempo le toma al objeto tocar el piso?