funciones de-varias-variables

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD DE ORIENTE

NUCLEO DE BOLIVARMATEMATICAS III

GUÍA DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

1. Halle el Dominio de las siguientes funciones:

( ) ( )4ln, −= xyyxf ( ) 22 44, yxyxf −−=

( )y

yxyxf

1,

22 +−= ( ) ( )221 1, yxsenyxf −−= −

( ) yxyxf +=, ( )

++= −

2

21

1

1tan,

y

xyxf

2. Grafique algunas Curvas de Nivel para cada una de las siguientes funciones.

( ) yxyxf −=, ( ) ( )yxyxf −= ln, ´

( ) 22 925, yxyxf −−= ( )22

2,

yx

xyxf

+=

( ) xyyxf =,22

),( yxeyxf −−=

3. Demuestre usando la definición de Límite

( ) 1042lim 22

)1,3(,=−+−

→yxyx

yx( ) 53lim 2

)2,1(,=+

→yx

yx

( ) 2lim 22

)1,1(,=+

→yx

yx( ) 42lim 2

)4,2(,−=−+

−→yxx

yx

4. Use la definición para hallar las derivadas de primer orden a las siguientes funciones.

( ) 332 3, xyxyxyxf −−= ( )y

xyxf

2

3, =

( ) 222,, zyxzyxf +−= ( ) xzzyyxzyxf 222,, ++=

5. Obtenga las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.

Profesor CRISTIAN CATILLO

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yxxyzxxzyzzy zzyyxxzyxf +++++=,,

• ( )

−

=

y

xArc

x

yArcsenyxf cos,

• ( ) ( ) 4ln2222

ln,, eeezyxf xyzzyx −=

• ( ) 312

,

= −zy

xyzsenyxf

• ( ) ( ) ( )mn nmnmf 11, ++=

• ( )

−

=22

2,

yx

xyArctagyxf

6. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө y = rsenө. Demuestre que:

r

senucos

r

u

x

u θθ

θ∂∂−

∂∂=

∂∂

y r

cosusen

r

u

y

u θθ

θ∂∂+

∂∂=

∂∂

7. Demuestre que si u = ln ( x2 + y2 ) y

= −

x

ytanv 1

y

v2

x

u

∂∂=

∂∂ 2

y

u

x

v

∂∂−=

∂∂

8. Sea z una función de 2 variables tal que 2

1

y

xz

=

. Demuestre que:

0y

fy

x

fx =

∂∂+

∂∂

9. Si

= −

y

xtanz 1 , donde x = u sen v y = u cos v.

Demuestre que u

z

∂∂

= 0 y v

z

∂∂

= 1

10. Sea

+= xy

y

xt Halle

x

t

∂∂

, y

t

∂∂

11. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:

−=

−

y

1ln2

x

1ln2

eey

x)y,x(f

Demuestre que: ( )y,xf4y

fy

x

fx =

∂∂−

∂∂

12. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:

−−

= 2x

1ln

2

1yln2

ey

x)y,x(f


Demuestre que: ( )y,xf4y

fy

x

fx

2

22

2

22 =

∂∂+

∂∂−

13. Sea ( )xy22 e,yxfz −= , Halle x

z

∂∂

, y

z

∂∂

14. Sea yxz = , )x(y ϕ= Halle x

z

∂∂

15. Sea y una función de dos variables tal que: y + z = x + ln(y), Halle 2

2

x

y

∂∂

16. Sea y una función de dos variables de modo que:

=++ −

x

ytankzyxln 1222 , tal

que k = ctte, Halle 2

2

x

y

∂∂

17. Demuestre que la función x

y

xexyz += , satisface la ecuación

xyzy

zy

x

zx +=

∂∂+

∂∂

18. Demuestre que la función zy

yxxu

−++= , satisface la ecuación:

1z

u

y

u

x

u =∂∂+

∂∂+

∂∂

19. Sea ( )

−

= t

r

zettrfln

, , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:

∂∂

∂∂=

∂∂

r

f

ttr

t

f 12

19. Demuestre que la función

+=

x

yfxxyz , satisface la ecuación

xyzy

zy

x

zx +=

∂∂+

∂∂

20. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө, y = rsenө. Demuestre que:

2

2

2

2

2

2

22

2

y

u

x

uu

r

1

r

u

r

1

r

u

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

θ

21. Demuestre que si )y,x(fw = , y que x = rcosө, y = rsenө.


2

2

222w

r

1

r

w

y

w

x

w

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

θ

22. Sea z una función de dos variables tal que, ( ) 4ln2xyzzyx eeeln222

= Halle x

z

∂∂

, y

z

∂∂

23. Sea

+=

x

yhxy)xy(fw Halle

y

w

∂∂

, x

w

∂∂

24. Sea x

y

y

x)y,x(f

= Demuestre que: 0

y

fy

x

fx =

∂∂+

∂∂

25. Sea z una función de dos variables tal que, )e2ln(y

x 4

z

=

Demuestre que: 0y

zy

x

zx =

∂∂+

∂∂

26. Sea ( )xyfy

xw = Demuestre que: w2

y

wy

x

wx =

∂∂−

∂∂

27. Sea

=

x

yfxyw Demuestre que: w2

y

wy

x

wx =

∂∂+

∂∂

28. Sean u y v funciones de “x” e “y” tal que:

=+=yuv

yxu

Halle y

u

∂∂

, x

u

∂∂

, y

v

∂∂

, x

v

∂∂

, 2

2

x

u

∂∂

, 2

2

y

u

∂∂

, xy

u2

∂∂∂

29. Sea ( ) ( )yyx xegey,xf += . Donde g(x,y). Demuestre que: )yx(zy

fy

x

fx −=

∂∂−

∂∂

30. Sea z una función de dos variables tal que: x + y + z = xyz


Demuestre que: ( ) x

z

xy1

y2

x

z2

2

∂∂

−=

∂∂

( ) y

z

xy1

x2

y

z2

2

∂∂

−=

∂∂

31. Demuestre que la función

+=

x

yfxxyz , satisface la ecuación

xyzy

zy

x

zx +=

∂∂+

∂∂

33. Verifique si ( ) )()cos(, kxsenkatAtxf = , cumple con:

2

22

2

2

x

fa

t

f

∂∂=

∂∂

; siendo A,a,k constantes

34. Sea

++++ ztngex

zyxf yln,

111, halle

y

f

∂∂

, x

f

∂∂

35. Sea ( ) t

rzettrf 4

2

,−

= , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:

∂∂

∂∂=

∂∂

r

fr

rrt

f 22

1

32. Halle los extremos relativos e identifíquelos, para cada una de las funciones,

• ( ) 2244 242, yxyxyxyxf −+−+=

• yy

x

xyxf ++= 8),(

• ( ) 22

, yxexyyxf −−=

• )6(),( 23 yxyxyxf −−=

• yxyxyxyxf −−++= 2),( 22

• )2(),( 22 yxeyxf yx −= −

• 22 2)1(),( yxyxf +−=

• 223),( xyyxxyyxf −−=

• ( )1

4,

22 ++−=yx

xyxf


33. Utilice los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos condicionados de las siguientes funciones con sus respectivas restricciones

• f(x,y) = 4x2 + 2y2 + 5, con la restricción x2 + y2 = 24

• f(x,y) = x2y con la restricción x2 + 8y2 - 24

• f(x,y) = 4xy, con la restricción x2 + y2 = 4

• f(x,y) = x + 2y, con la restricción x2 + y2 = 5

• f(x,y,z) = x - 2y + 2z, con la restricción x2 + y2 + z2 = 9

• f(x,y,z) = xyz, con la restricción x + y + z = 5 y xy + yz + zx =8

• f(x,y) = cos 2 x + cos 2 y, con la restricción y - x =4

π

• xyeyxf =),( , con la restricción x2 + y2 = 8

• ,),( 22 yxyxf += con la restricción 2x + 4y = 15

.


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