funciones de varias variables - wordpress.com · máximos mínimos y puntos de silla 9.52 19 28.6...
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Máximos mínimos Juan Manuel Rodríguez Prieto
Máximos Mínimos y puntos de silla
9.52
19
28.6
38.1
47.6
57.1
66.7
76.2
85.7
95.2
105
105
105
105
114
114
114
114
124
124
124
124
133
133
133
133
143
143
143
143
152
152
152
152
162
162
162
162
171
171
171
171
181
181
181
181
190
190
190
190
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Donde tiene un máximo/minimo la función ? 2 2( , )f x y x y
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
100
50
100
150
200
x
x2 + y2
y
Al parecer tiene un minimo en (0,0)
Máximos Mínimos y puntos de silla
F tiene un máximo local en (a,b), si y F tiene un minimo local en (a,b), si y F tiene un punto de silla en (a,b), si
( , ) 0xxf a b2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
( , ) 0xxf a b2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/minimo la función ? 2 2( , )f x y x y
( , )2
f x yx
x
( , )2
f x yy
y
Igualamos las derivadas a cero
( , )2 0
f x yx
x( , )
2 0f x y
yy
Obtenemos que x=0 y y=0
¿Cómo sabemos si (0,0) es un mínimo o un máximo?
Calculamos las segundas derivadas
2
2
( , )2
f x y
x
2
2
( , )2
f x y
y
2 ( , )0
f x y
x y
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/minimo la función ? 2 2( , )f x y x y
2
2
( , )2
f x y
x
2
2
( , )2
f x y
y
2 ( , )0
f x y
x y
La segunda derivada con respecto a x es positiva Tenemos un mínimo
2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/minimo la función ?
2 2( , ) 2 2 4f x y xy x y x y
-268
-268
-241
-241
-213
-213
-185
-185
-158
-158
-130
-130
-130
-103
-103
-103
-74.9
-47.3
-47.3-19.6
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-300
-200
-100
0
100
x
x y - 2 y - 2 x - x2 - y2 + 4
y
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/minimo la función ?
2 2( , ) 2 2 4f x y xy x y x y
tiene un maximo en (-2,-2)
( , )2 2
f x yy x
x
( , )2 2
f x yx y
y
( , )2 2 0
f x yy x
x( , )
2 2 0f x y
x yy
2x y
2
2
( , )2
f x y
x
2
2
( , )2
f x y
y
2 ( , )1
f x y
x y
La segunda derivada con respecto a x es negativa y 2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/minimo la función ? 2 2( , )f x y y x
Tiene un punto de silla
-81.8
-81.8
-63.6
-63.6
-45.5
-45.5
-27.3
-27.3
-9.09
-9.099.09
9.09
27.3
27.3
45.5
45.5
63.6
63.6
81.8
81.8
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10-100
-50
0
50
100
x
y2 - x2
y
Máximos Mínimos y puntos de silla
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-4000
-2000
0
2000
4000
x
3 x y2 - 15 y - 15 x + x3 + y3
y
-4.25e+03-3.8e+03
-3.36e+03
-2.91e+03
-2.91e+03
-2.46e+03
-2.46e+03
-2.01e+03
-2.01e+03
-1.57e+03
-1.57e+03
-1.12e+03
-1.12e+03
-671
-224
224
671
1.12e+03
1.12e+03
1.57e+03
1.57e+03
2.01e+03
2.01e+03
2.46e+03
2.46e+03
2.91e+03
2.91e+03
3.36e+033.8e+03
4.25e+03
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
3 3 2( , ) 15 15 3f x y x y x y xy Usar geogebra
Máximos Mínimos y puntos de silla
F tiene un máximo local en (a,b), si y F tiene un mínimo local en (a,b), si y F tiene un punto de silla en (a,b), si
( , ) 0xxf a b2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
( , ) 0xxf a b2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
2( , ) ( , ) ( , ) 0xx yy xyf a b f a b f a b
Máximos Mínimos y puntos de silla
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? 2 2( , ) 9 2 4 4f x y x y x y
-500 -500-449
-449
-449-398-398
-398
-347
-347
-296
-296
-245
-245
-194
-194
-143
-143-92
-41
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
x
9 - 4 y - x2 - 4 y2 - 2 x
y
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? 2 2( , ) 9 2 4 4f x y x y x y
( , )2 2
f x yx
x( , )
4 8f x y
yy
Igualamos las derivadas a cero
( , )2 2 0
f x yx
x
( , )4 8 0
f x yy
y
Obtenemos que x=-1 y y=-1/2
¿Cómo sabemos si (-1,-1/2) es un mínimo o un máximo?
Calculamos las segundas derivadas
2
2
( , )2
f x y
x
2
2
( , )8
f x y
y
2 ( , )0
f x y
x y
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? ( , ) (1 )( )f x y xy x y
-1.65e+03-1.29e+03
-918
-551
-184
-184
-184
184
184
184
551
918
1.29e+03
1.65e+03
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10-100
-50
0
50
100
150
x
x + y + x y + 1
y
Máximos Mínimos y puntos de silla
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? 2 2 2 2( , )f x y x y x y
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
100
500
1000
1500
x
1/(x2 y2) + x2 + y2
y
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? ( , ) sin( ) sin( ) sin( )f x y x y x y
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10-3
-2
-1
0
1
2
3
x
sin(x + y) + sin(x) + sin(y)
y
-2.13
-2.13
-2.13
-2.13
-2.13
-2.13
-2.13
-2.13
-2.13
-1.65
-1.65
-1.65
-1.65
-1.65
-1.65
-1.65
-1.65
-1.65
-1.18
-1.18
-1.18
-1.18
-1.18
-1.18
-1.18
-1.18
-1.18
-0.709 -0.709 -0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.709
-0.236 -0.236 -0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
-0.236
0.236 0.236 0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.236
0.709 0.709 0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
0.709
1.18
1.18
1.18
1.18
1.18
1.18
1.18
1.18
1.18
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Máximos Mínimos y puntos de silla
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? 2 2( , ) 5 8 2 42 102Q x y x y xy x y
-10-5
0
510
-10
-5
0
5
10
-3000
-2000
-1000
0
1000
x
42 x + 102 y - 2 x y - 5 x2 - 8 y2
y
-3.06e+03-2.71e+03
-2.37e+03
-2.03e+03 -1.69e+03
-1.34e+03
-1e+03
-659
-659
-316
26.5
26.5
x
y
Curvas de nivel
-10 -5 0 5 10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/ mínimo la función ? 2 2( , ) 5 8 2 42 102Q x y x y xy x y
( , )10 2 42
f x yx y
x
Igualamos las derivadas a cero
( , )10 2 42 0
f x yx y
x
Obtenemos que x=3 y y=6
¿Cómo sabemos si (3,6) es un mínimo o un máximo?
Calculamos las segundas derivadas
2
2
( , )10
f x y
x
2
2
( , )10
f x y
y
2 ( , )2
f x y
x yEs un máximo
Máximos Mínimos y puntos de silla
Máximos Mínimos y puntos de silla Donde tiene un máximo/minimo la función ? ( , , ) 2 2 2P p q r pq pr qr
2 2P
q rp
2 2P
p rq
Igualamos las derivadas a cero
2 2P
p qr
2 2 0P
q rp
2 2 0P
p rq
2 2 0P
p qr
Máximos Mínimos y puntos de silla