funciones reales de variable real

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Universidad de Oviedo CÁLCULO

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O)

Alberto Suárez López Página 15

Capítulo 2: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

Capítulo 2.1. NOCIONES PREELIMINARES: Capítulo 2.1.1. FUNCIÓN: Siendo A y B dos conjuntos, se llama función a toda aplicación BAf →: , es decir, a la

correspondencia tal que a todo elemento de A se le asocia un único elemento de B . Si RA∈ y RB ∈ , siendo R el conjunto de números reales, la función recibe el nombre

de función de variable real: RRf →: Capítulo 2.1.1.1. ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN: • Dominio de la función (campo de existencia)

Es el conjunto de elementos de R que tienen imagen en la función y se representa con la letra x . Se le llama variable independiente.

{ }RyxfRxdomf ∈=∃∈∀ )(: • Imagen (recorrido)

Es el conjunto formado por todas las imágenes de elementos del dominio y se representa con la letra y o con )(xf . Se le llama variable dependiente.

{ }yxfdomfxRyimf =∈∃∈∀ )(,: • Regla (ley o procedimiento)

Algoritmo matemático que permite encontrar la imagen )(xf de cada valor de x del dominio. Es el operador de la aplicación y se suele representar por las letras ,...,, hgf

Capítulo 2.1.1.2. TIPOS DE FUNCIONES: Hay dos grandes tipos de funciones: empíricas y analíticas: • empíricas:

Son aquellas en las que la correspondencia viene dada por la experimentación. Es la Estadística quien estudia estas funciones.

• analíticas: Son aquellas en las que la correspondencia viene dada por una fórmula matemática.

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Capítulo 2.1.2. DOMINIO:

Función Dominio )()( xPxf = Rdomf :

senxxf =)( Rdomf :

xxf cos)( = Rdomf :

arcsenxxf =)( { }1: ≤∈∀ xRxdomf

xxf arccos)( = { }1: ≤∈∀ xRxdomf xexf =)( Rdomf : xaxf =)( Rdomf :

xxf ln)( = { }0: >∈∀ xRxdomf

xxf =)( { }0: ≥∈∀ xRxdomf

)()( xFxf = { }0)(: ≥∈∀ xFRxdomf

)(1

)(xF

xf = { }0)(: >∈∀ xFRxdomf

)(log)( xFxf a= { }0)(: >∈∀ xFRxdomf

GFxf ±=)( domGdomFdomf ∩:

GFxf ·)( = domGdomFdomf ∩:

GF

xf =)( { }0)(: =∈∀−∩ xGRxdomGdomFdomf

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Capítulo 2.1.3. FUNCIÓN ACOTADA: Sea una función )(xf , se dice que RM ∈ es cota superior de )(xf si

para domfx ∈∀ se verifica que Mxf ≤)( . Por ejemplo: 2xy −=

Sea una función )(xf , se dice que RM ∈ es cota inferior de )(xf si

para domfx ∈∀ se verifica que mxf ≥)( . Por ejemplo: 2xy =

Se dice que )(xf está acotada cuando lo está superior e inferiormente, es decir:

MxfmdomfxRMm ≤≤∈∀∈∃ )(,, ó domfxKxfRK ∈∀≤∈∃ + ,)(

Por ejemplo: senxy =

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Capítulo 2.1.4. FUNCIÓN PAR: Sea f una función definida en un dominio domf ,

domfxdomfxRRdomff ∈∈−→⊆ y : , se dice que f es par si y sólo

si )()( xfxf =− y presenta simetría respecto al eje OY. Por ejemplo: 2xy =

Capítulo 2.1.5. FUNCIÓN IMPAR: Sea f una función definida en un dominio domf ,

domfxdomfxRRdomff ∈∈−→⊆ y : , se dice que f es impar si y sólo

si )()( xfxf −=− y presenta simetría respecto al origen de coordenadas, (0,0). Por ejemplo: 3xy =

Capítulo 2.1.6. FUNCIÓN PERIÓDICA: Sea f una función definida en un dominio domf , RRdomff →⊆: , se dice que f es

periódica si y sólo si ( ) ( ) domfxxfTxfRT ∈∀=+∈∃ + , . El periodo λ es el valor más pequeño deT que verifica la igualdad anterior. Por ejemplo: senxy = , xy cos= , tgxy = , [ ] xxy −=

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Capítulo 2.1.7. FUNCIÓN PARTE ENTERA:

[ ]xxf =)( Es el mayor entero, n , menor o igual que el número dado, x

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Capítulo 2.2. OPERACIONES CON FUNCIONES: Sean f y g dos funciones tales que domgdomf = . Se definen las operaciones:

• Suma: gf +

( )( ) )()( xgxfxgfx

RRdom

+=+→→⊆

• Producto: gf ·

( )( ) )()·(· xgxfxgfx

RRdom

=→→⊆

• Cociente:gf

( )

{ }0)(

)()(

*

*

=−=

=��

��

→

→⊆

xgxdomdom

xgxf

xgf

x

RRdom

• Producto por un escalar: f·α

( )( ) )(·· xfxfx

RRdom

αα =→→⊆

• Elemento neutro: f0

ff

x

RRdom

f

f

=+→→⊆

00

0

• Función unidad: f1

ff

x

RRdom

f

f

=→→⊆

1·1

1

• Función opuesta: f−

( )( )ff

xfxfx

RRdom

f

f

=+−=−→

→⊆ −

0)(

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• Función recíproca:f1

( )

f

f

ff

xfx

fx

RRdom

11

·

)(11

1

=

=��

��

→

→⊆

Capítulo 2.2.1. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Dados los conjuntos A , B yC en los cuales se han establecido las siguientes

aplicaciones: BAf →: y CBg →: , podemos definir la aplicación CAh →: , en donde el

conjunto B actuará simultáneamente como imagen de la aplicación f y como dominio de la

aplicación g , por lo que la condición necesaria para que pueda existir ))(()( xfogxh = es que

la intersección de la imagen de )(xf con el dominio de )(xf no sea el conjunto vacío, es decir,

∅≠∩ domgimf . Por ejemplo:

{ }{ }

{ }3:

2:2:

73

36212

1

2312

1))(()(

21

)(

312

)(

≠∈∀

∅≠∩��

≠∈∀≠∈∀

−+=

+−−−=

−+−==

��

��

�

−=

+−=

xRxdomh

imfdomgxRximf

xRxdomg

x

xxx

xx

xgofxh

xxg

xx

xf

• Función identidad: Id

ffIdIdf

xx

RRdom Id

==→→⊆

oo

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Capítulo 2.2.2. FUNCIÓN INYECTIVA: Se dice que una función )(xf es inyectiva cuando para cada elemento de la imagen está

asociado a un único elemento del dominio, es decir, si yx !,∃∀

( ) ( )212121, xfxfxxdomfxx ≠�≠∈∀

Por ejemplo: 3xy = , 3xy −=

Toda función estrictamente creciente o decreciente es inyectiva. Capítulo 2.2.3. FUNCIÓN INVERSA: Si f es una función de A en B , es decir, BAf →: , su correspondiente función inversa

( )1−f es una correspondencia de B en A que hace corresponder a cada imagen de B su

original en A .

La condición necesaria para que una función tenga inversa es que ésta sea

necesariamente inyectiva y se verifica: xffff == −− oo 11

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Para calcular la inversa de una función se despejan las x en función de las y , es decir,

)(1 xfx −= , para posteriormente hacer un cambio de variable. Por ejemplo:

( )

xx

xf

yy

yy

x

yyx

yxyx

xyyxxx

y

xx

xf

−+=

−+=

−−−=

−−=−−−=−

−=++−=

+−=

−

235

)(

235

235

352352

325532

532

)(

1

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Capítulo 2.2.4. FUNCIONES ELEMENTALES: • Función potencial entero: nxxf =)(

{ }0∪∈ Nn

{ }

{ }��

��

�

∪

==

=

+ par 0impar

01

nsiR

nsiR

nsi

imf

Rdomf

Si n es impar es estrictamente creciente.

Por ejemplo: xy = , 2xy = , 3xy =

• Función polinómica: nnxaxaxaxaxaxf +++++= ...)( 3

32

21

10

0

{ }0∪∈ Nn

Rdomf =

• Función racional: mm

nn

xbxbxbxbxbxaxaxaxaxa

xf++++++++++=

......

)( 33

22

11

00

33

22

11

00

{ }0. ∪∈ Nmn

{ }0...33

22

11

00 =+++++−= m

mxbxbxbxbxbxRdomf

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• Función exponencial: xaxf =)(

0>a

{ }��

=≠

=

=+

111

asi

asiRimf

Rdomf

Si 1>a la función es creciente. Si 10 << a , es decreciente.

Por ejemplo: xy 2= , xy −= 2

+

• Función logarítmica: ( )xxf alog)( = Se llama función logarítmica de base a a la inversa de la función exponencial.

Rimf

Rdomf

== +

Si 1>a la función es creciente. Si 10 << a , es decreciente. Por ejemplo: ( )xy 2log= , ( )xy

21log=

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Capítulo 2.2.5. LOGARITMOS: Se define logaritmo en base a de un númerob a un determinado valor x tal que

baxb xa =⇔=log .

Por ejemplo:

2222221

421

4log

322828log

22

21

32

−=→=−→=→=→=�

��

→=

=→=→=→=

− xxx

xx

xx

x

xx

Si la base del logaritmo es igual a10 , éste recibe el nombre de logaritmo decimal:

bxbb x =⇔== 10loglog10 . Si la base del logaritmo es igual al número e , éste recibe el nombre de logaritmo

neperiano: bexbb xe =⇔== lnlog .

En cualquier caso, la base del logaritmo debe de ser siempre positiva, no nula y distinta

de la unidad:

• ( ) Rxbaxb xa ∉→=−→=−log

• bxb x ≠=→= 11log1

• bxb x ≠=→= 00log0 Capítulo 2.2.5.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: a. el logaritmo de1en base a vale 0 . 011log 0 =→==→= xaax x

a

b. el logaritmo en base a de a vale la unidad. 1log 1 =→==→= xaaaxa xa

c. si la base es mayor que la unidad ( )1>a , los números mayores que la unidad tienen logaritmo positivo y los menores, negativo

022221

241

241

log

0322828log

222

32

<−=→=→=→=→=

>=→=→=→=

− xx

xx

xxx

xx

d. si la base es menor que la unidad ( )10 << a , los números menores que la unidad tiene logaritmo positivo y los mayores que la unidad, logaritmo negativo

032221

21

81

21

81

log

0322221

821

8log

33

21

33

21

>=→=→=→=�

��

→=

<−=→=→=→=�

��

→= −

xx

xx

xx

x

xx

x

e. el logaritmo de 0 en cualquier base a es siempre ∞−

011

00log =∞

==→=→= ∞∞−

aaax x

a

f. los números negativos no tienen logaritmo ( ) Rxx x ∉→−=→=− 828log 2

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Capítulo 2.2.5.2. OPERACIONES CON LOGARITMOS: • Producto

( ) NMNM aaa loglog·log +=

��

��

=→=

=→=

NayN

MaxMy

a

xa

log

logmultiplicando: yxyx aaaNM +== ··

tomando logaritmos en la expresión anterior: ( ) ( ) ( ) yxNMaNM a

yxaa +=→= + ·loglog·log

sustituyendo los valores de x e y : ( ) NMNM aaa loglog·log +=

• Cociente

NMNM

aaa logloglog −=�

��

��

��

=→=

=→=

NayN

MaxMy

a

xa

log

logdividiendo: yx

y

x

aaa

NM −==

tomando logaritmos en la expresión

anterior: yxNM

aNM

ayx

aa −=�

��

→=�

��

− logloglog

sustituyendo los valores de x e y : NMNM

aaa logloglog −=�

��

• Potencia

MnM an

a ·loglog =

( )

Mn

MMMM

MMMMM

a

naaaa

nan

a

·log

log...logloglog

·...···loglog

321

321

==++++=

==

• Raiz

Mn

M an

a ·log1

log =

Mn

MM an

an

a ·log1

loglog 1 ==

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• Función seno: ( )xsenxf =)(

[ ]1,1−==

imf

Rdomf

Función acotada, impar y periódica ( )π2=T

• Función arcoseno: ( )xarcsenxf =)(

[ ]

��

��

�−=

−=

2,

2

1,1

ππimf

domf

Función acotada, impar y creciente

+

• Función coseno: ( )xxf cos)( =

[ ]1,1−==

imf

Rdomf

Función acotada, par y periódica ( )π2=T

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• Función arcocoseno: ( )xxf arccos)( =

[ ][ ]π,0

1,1=

−=imf

domf

Función acotada, impar y decreciente

• Función tangente: ( ) ( ) ( )( )xxsen

xtgxfcos

==

( )

( )∞∞−=��

�� ∈−−∈∀=

,2

12

imf

ZnnRxdomfπ

Función impar y periódica ( )π=T

• Función arcotangente: ( )xarctgxf =)(

( )

��

��

�−=

∞∞−=

2,

2

,

ππimf

domf

Función acotada, impar y creciente.

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Capítulo 2.3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Consideremos la función f definida en las “proximidades” de un punto c , aunque no

necesariamente en c , es decir. RRDf →⊆: , c , punto de acumulación de D . La función f tiene límite, Rl ∈ , en el punto c , es decir, ( ) lxf

cx=

→lim , si “ )(xf está tan

próximo a l como queramos, siempre que x esté suficientemente próximo a c ”.

Se dice que una función )(xf tiene de límite un número real, l , en el

punto c , lxfcx

=→

)(lim , cuando para cada número real positivoε existe otro número real

positivoδ , tal que la relación δ<− cx implica ε<+ lxf )(

εεεεε

εεεε

δδδδδ

δδδδ

+<<−��

��

−>�−>−�<−−+<�<−�<−

<−

+<<−��

��

−>�−>−�<−−+<�<−�<−

<−

lxfllxflxflxf

lxflxflxflxf

cxccxcxcx

cxcxcxcx

)()()())((

)()()()(

)(

δ−c δ+c c

ε−l

ε+l

l

x

y

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Capítulo 2.3.1. LÍMITES LATERALES: Dada una función )(xf y un número real c , se dice que 1l es el límite cuando x tiende

a c por la derecha, 1)(lim lxfcx

=+→

, si los valores de )(xf se aproximan tanto como se quiera

a 1l sin más que tomar los valores de x , suficientemente próximos a c , pero mayores de c . Dada una función )(xf y un número real c , se dice que 2l es el límite cuando x tiende

a c por la izquierda, 2)(lim lxfcx

=+→

, si los valores de )(xf se aproximan tanto como se quiera

a 2l sin más que tomar los valores de x , suficientemente próximos a c , pero menores de c .

)(lim)(lim)(lim000

xfxfxfxxxxxx →→→

==−+

Capítulo 2.3.2. LÍMITE FINITO EN EL INFINITO: Se dice que una función )(xf tiene el límite l cuando x tiende al ∞ , si fijado un

número 0>ε tan pequeño como se quiera, existe un número real H taI que, para todo Hx > se verifica que:

lxf

lxf

x=<−

∞→)(lim

)( ε

Por ejemplo: ( )x

xf1=

H

∞

x

y

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Capítulo 2.3.3. LÍMITE INFINITO: Se dice que una función )(xf tiende al ∞ , cuando x tiende a un valor c , si fijado un

número K tan grande como se quiera, existe un entorno reducido de c , ),( δδ +− cc , tal que, para todo x se verifica que:

+∞=

>

→)(lim

)(

xf

Kxf

cx

0x

x

y

K

δ−c δ+c

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Capítulo 2.3.4. LÍMITE DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES: Siendo )(xf y )(xg dos funciones definidas en un mismo intervalo [ ]ba, y 0x es un

punto de dicho intervalo en el que se verifica 1)(lim0

lxfxx

=→

, 2)(lim0

lxgxx

=→

.

Operaciones Casos de indeterminación

[ ]

21

)(lim)(lim

)()(lim

00

0

ll

xgxf

xgxf

xxxx

xx

±

=±

=±

→→

→

∞−∞

[ ]

21·

)(lim)·(lim

)()·(lim

00

0

ll

xgxf

xgxf

xxxx

xx

=

=

→→

→

∞·0

2

1

)(lim

)(lim

)()(

lim

0

0

0

ll

xg

xf

xgxf

xx

xx

xx

=

=��

��

�

→

→

→

∞∞

,00

lxf

xf

xxaaa xx == →

→

)(lim)( 0

0

lim 00 ,0,1 ∞∞

[ ] 20

001

)(lim)( )(lim)(lim l

xg

xx

xg

xxlxfxf

xx

=��

��=

→

→→

lxfxf axxaaxxlog)(limlog)(loglim

00

==→→

nn

xxn

xxlxfxf ==

→→)(lim)(lim

00

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Capítulo 2.3.5. TEOREMA DE LA FUNCIÓN INTERMEDIA: Dadas tres funciones ( )xf , ( )xg y ( )xh , tales que: ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤ ,

( ) { }cccx −+−∈∀ δδ , y además: ( ) ( )��

∞±∈

==→→

Rllxhxg

cxcxlimlim . Entonces se verifica que

la función ( )xf tiene límite y es igual a l ( )( )lxfcx

=→

lim .

Hipótesis: a) ( ) ( ) ( )xhxgxf ,,∃

b) ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤

c) ( ) ( )��

∞±∈

==→→

Rllxhxg

cxcxlimlim

Tesis: ( ) lxf

cx=

→lim

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Capítulo 2.4. ASÍNTOTAS: Rectas tangentes a la curva en el infinito. Capítulo 2.4.1. HORIZONTALES, PARALELAS AL EJE OX: Son de la forma ky = , siendo )(lim xfk

x ∞→= .

Capítulo 2.4.1.1. POSICIÓN DELA CURVA RESPECTO A LA ASÍNTOTA: Depende del signo de la diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x

( )[ ] +

+∞→=− 0lim kxf

x

k

y

x

k

y

x

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( )[ ] −

+∞→=− 0lim kxf

x

( )[ ] +

−∞→=− 0lim kxf

x

( )[ ] −

−∞→=− 0lim kxf

x

k

y

k

y

x

k

y

x

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Ejemplo:

( )( )

[ ]

[ ]��

�

��

�

�

��

��

�

>→=∞−

−=−=−

<→=∞−=−=−

−=−−−=

−+−=

=−

+−+−=−−−

−+−=−

−+−=−

=→==�

��

∞∞=

−−=�

��

∞∞=

−+−=→=

−+−=

+

−∞→−∞→

−

+∞→+∞→

∞→∞→

1)(044

lim)(lim

1)(044

lim)(lim41·1·444

45451

45)(

1122

1252

lim45

lim

45

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xfx

kxf

xfx

kxf

xxxx

xxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

kxf

yxx

xxxx

kky

xxxx

y

xx

xx

xx

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Capítulo 2.4.2. VERTICALES, PARALELAS AL EJE OY: Son de la forma hx = , siendo h los valores finitos de x que hacen ∞→)(xf .

si)()(

)(xgxm

xf = , h son los valores de x que hacen 0)( =xg

si )(log)( xgxf a= , h son los valores de x que hacen 0)( =xg ( )∞=0loga Capítulo 2.4.2.1. POSICIÓN DE LA CURVA RESPECTO A LA ASÍNTOTA: Se calculan los límites laterales: )(lim xf

hx +→y )(lim xf

hx −→.

( ) +∞=+→

xfhx

lim

h

y

x x=h

h

y

x x=h

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( ) +∞=−→

xfhx

lim

( ) −∞=+→

xfhx

lim

( ) −∞=−→

xfhx

lim

h

y

x x=h

h

y

x x=h

h

y

x x=h

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Ejemplo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−∞==−+

+=−+=

+∞==−+

+=−+=

��

−==

=−+→=−

−+=

−→→→

+→→→

−−−

+++

2·02

1·11

lim11

lim)(lim

2·02

1·11

lim11

lim)(lim:

11

01·101:

11

2

12

2

11

2

12

2

11

2

2

2

xxx

xx

xf

xxx

xx

xf

ónaproximaci

x

xxxxasíntotas

xx

y

xxx

xxx

Ejemplo:

( )( )

[ ]

[ ]��

�

��

�

�

��

��

�

>→=∞−

−=−=−

<→=∞−=−=−

−=−−−=

−+−=

=−

+−+−=−−−

−+−=−

−+−=−

=→==�

��

∞∞=

−−=�

��

∞∞=

−+−=→=

−+−=

+

−∞→−∞→

−

+∞→+∞→

∞→∞→

1)(044

lim)(lim

1)(044

lim)(lim41·1·444

45451

45)(

1122

1252

lim45

lim

45

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xfx

kxf

xfx

kxf

xxxx

xxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

kxf

yxx

xxxx

kky

xxxx

y

xx

xx

xx

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Capítulo 2.4.3. GENERALES, OBLÍCUAS: Sólo existen si la curva no tiene asíntotas horizontales.

Son de la forma nmxy += , siendoxxf

mx

)(lim

∞→= y [ ]mxxfn

x−=

∞→)(lim

��

��

�

→∞=→=

==

∞→OY dedirección laen parabólica rama una existeOX dedirección laen parabólica rama una existe0

finito)(

limxxf

mx

( )��

=→∞==

−=∞→ mxy

mxxfnx dedirección laen parabólica rama una existe

finito)(lim

y

x

y=mx+n

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Ejemplo:

( )( )

[ ]

[ ]��

�

��

�

�

��

��

�

>→=∞−

−=−=−

<→=∞−=−=−

−=−−−=

−+−=

=−

+−+−=−−−

−+−=−

−+−=−

=→==�

��

∞∞=

−−=�

��

∞∞=

−+−=→=

−+−=

+

−∞→−∞→

−

+∞→+∞→

∞→∞→

1)(044

lim)(lim

1)(044

lim)(lim41·1·444

45451

45)(

1122

1252

lim45

lim

45

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xfx

kxf

xfx

kxf

xxxx

xxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

kxf

yxx

xxxx

kky

xxxx

y

xx

xx

xx

Capítulo 2.4.3.1. POSICIÓN DE LA CURVA RESPECTO A LA ASÍNTOTA: Al igual que en el caso de las asíntotas verticales, depende del signo de la

diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x

( ) ( )[ ] +

+∞→=+− 0lim nmxxf

x

( ) ( )[ ] −

+∞→=+− 0lim nmxxf

x

y

x

y=mx+n

y

x

y=mx+n

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( ) ( )[ ] +

−∞→=+− 0lim nmxxf

x

( ) ( )[ ] −

−∞→=+− 0lim nmxxf

x

Ejemplo:

[ ]

( ) ( )

��

�

��

�

�

<→=∞−

=+

>→=∞+

=+

+=−−

+−−=+−

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−=

−=+

−−��

��

−

+−−=−=

=+

−−==

+=

+−−=

−

−∞→

+

+∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→

asíntotaxfx

asíntotaxfx

xx

xxx

nmxxf

xy

xx

xx

xxmxxfn

xxxx

xxf

m

nmxyasíntota

xxx

xf

x

x

xxx

xx

´)(04

24

lim

)(04

24

lim

24

32

2)(

3

32

23lim

22

lim)(lim

12

2lim

)(lim

:

22

)(

2

2

2

2

2

y

x

y=mx+n

y

x

y=mx+n

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Capítulo 2.5. INFINITÉSIMOS: Una función )(xf se dice que es un infinitésimo en un punto 0x si su límite en ese punto

es cero.

0)(lim0

=→

xfxx

Capítulo 2.5.1. PROPIEDADES DE LOS INFINITÉSIMOS: • La suma de infinitésimos es un infinitésimo • El producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo • El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo

01

·lim

1lim

0

0

=

∞=

→

→

xsenx

senx

sen

x

x, siendo x el infinitésimo y

xsen

1la función acotada.

Capítulo 2.5.2. COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS: Los infinitésimos se comparan por cociente. Sean dos infinitésimos

0)(lim0

=→

xfxx

y 0)(lim0

=→

xgxx

:

• si)()(

lim0 xg

xfxx→

es finito y no nulo, se dice que )(xf y )(xg son del mismo orden.

(tienen la misma “velocidad”)

• si 0)()(

lim0

=→ xg

xfxx

, se dice que )(xf es de orden superior a )(xg .

• si ∞=→ )(

)(lim

0 xgxf

xx, se dice que )(xf es de orden inferior a )(xg .

• si 1)()(

lim0

=→ xg

xfxx

, se dice que )(xf y )(xg son infinitésimos equivalentes.

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Capítulo 2.5.3. TABLA DE INIFINITÉSIMOS EQUIVALENTES:

Límite Función Infinitésimo equivalente senx x tgx x arcsenx x arctgx x

xcos1− 2

2x

1−xe x

1−xa ax·ln

( )x+1ln x

0→x

( ) 11 −+r px xrp

·

1→x xln 1−x Capítulo 2.5.4. TEOREMA: A los efectos del cálculo de un límite, un infinitésimo se puede sustituir por otro

equivalente, siempre que en el contexto del límite esté multiplicando o dividiendo.

)()()·(

lim0 xl

xhxfxx→

y 1)()(

lim)()(

lim00

==→→ xf

xgxgxf

xxxx

es: )(

)()·(lim

)()·()()·()·(

lim)()(

lim·)(

)()·(lim

0000 xlxgxh

xfxlxgxhxf

xfxg

xlxhxf

xxxxxxxx →→→→==

Capítulo 2.5.5. INFINITOS: Una función )(xf se dice que es un infinitésimo en un punto 0x si su límite en ese punto

es infinito.

∞=→

)(lim0

xfxx

Capítulo 2.5.5.1. PROPIEDADES DE LOS INFINITOS: • La suma de infinitos es un infinito • El producto de dos infinitos es otro infinito • La suma de un infinito más una función acotada es un infinito

( ) 0lim

lim

2 =+

∞=

∞→

∞→

senxx

sensenx

x

x, siendo 2x el infinito y senx la función acotada.

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Capítulo 2.5.5.2. COMPARACIÓN DE INIFINITOS: Los infinitos se comparan por cociente. Sean dos infinitésimos

∞=→

)(lim0

xfxx

y ∞=→

)(lim0

xgxx

:

• si)()(

lim0 xg

xfxx→

es finito y no nulo, se dice que )(xf y )(xg son del mismo orden.

(tienen la misma “velocidad”)

• si 0)()(

lim0

=→ xg

xfxx

, se dice que )(xf es de orden inferior a )(xg .

• si ∞=→ )(

)(lim

0 xgxf

xx, se dice que )(xf es de orden superior a )(xg .

• si 1)()(

lim0

=→ xg

xfxx

, se dice que )(xf y )(xg son infinitos equivalentes.

Capítulo 2.5.5.3. TABLA DE INFINITOS EQUIVALENTES:

Límite Función Infinitésimo

fxexdxcxbxa

xP

+++++ ·····

)(2345

5·xa

( )fxexdxcxbxa +++++ ·····ln 2345 ( )

xxa

xaxa

·ln5·ln5lnlnln·ln 55

=+==+=

∞→x

!n Infinito de Stirling nenn ·2·· ππ−

Capítulo 2.5.5.4. ORDEN DE INFINITUD: Indica qué infinito tiene mayor “velocidad”

nn Infinito Potencial – exponencial

!n Infinito Factorial

na Infinito Exponencial

an Infinito Potencial

+ Mayor - Menor

nln Infinito Logartítmico

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Capítulo 2.6. FUNCIONES CONTINUAS: Una función es continua cuando no tiene interrupciones en un determinado punto, es

decir, su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Para que una función sea continua en un punto tiene que verificar tres condiciones:

)(xf es continua en 0xx = , si:

• )( 0xf∃

• llllxf

lxflxf

xx

xx

xx==

��

��

�

��

��

�

=∃

=∃=∃

−

+

→

→

→ 212

1

)(lim

)(lim)(lim

0

0

0

• es )()(lim 00

xfxfxx

=→

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Capítulo 2.7. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: • Las funciones elementales son continuas en su dominio

,...,ln,cos,,,),( xxxsenxaexP xx • La suma, recta, producto y composición de funciones continuas es una función

continua gf ± , gf · , fog

• El cociente de funciones continuas es una función continua excepto en los puntos que anulan al denominador

gf

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Capítulo 2.7.1. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: Cuando alguna de estas condiciones anteriores para la continuidad de una función no se

cumple, se dice que tiene un punto de discontinuidad. Los puntos de discontinuidad se pueden agrupar en tres clases: • Puntos de disconitinuidad evitables

o cuando no existe )( 0xf , pero existe )(lim0

xfxx→

.

24

)(4

−−=

xx

xf en 2=x

00

2244

)2( =−−=f (Indeterminación)

42

)2)(2(lim

24

lim)(lim2

4

22=

−+−=

−−=

→→→ xxx

xx

xfxxx

se evita la discontinuidad haciendo 4)2( =f (verdadero valor de la función)

y entonces 44)2()(lim2

=�=→

fxfx

o cuando existe )( 0xf y existe )(lim0

xfxx→

, pero )()(lim 00

xfxfxx

≠→

��

≠+=

2125

)(xsix

xsixf )2()1(lim3)1(lim

5)2(2

2

fxfxf

f

xx

≠+��

��

=+=

→→

y

x

y=mx+n

x0

y

x

y=mx+n

x0

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• Discontinuidad de 1ª especie o de salto o cuando no existe )(lim

0

xfxx→

, pero existe 1)(lim0

lxfxx

=+→

y 2)(lim0

lxfxx

=−→

y

)(lim)(lim00

xfxfxxxx −+ →→

≠ (salto finito)

)(lim)(limfunción la de salto00

xfxfxxxx −+ →→

−=

��

<−≥+

=2121

)(xsix

xsixxf

en 2=x :

��

��

−=−==+=

=+=

−−

++

→→

→→→ 1)1(lim)(lim

3)1(lim)(lim)(lim

312)2(

22

22

2 xxf

xxfxf

f

xx

xx

x

(No existe)

o cuando no existe )(xf ∞=→

)(lim0

xfxx

pero existe ±∞=+→

)(lim0

xfxx

y

±∞=−→

)(lim0

xfxx

(salto infinito)

{ }

��

�

��

�

�

��

��

�

−∞=−

∞=−=

∞=−

=

≠∈∀−

=

−

+

→

→

→

23

lim

23

lim)(lim

222·3

)2(

2:2

3)(

2

2

2

xx

xx

xf

f

xRxdomfx

xxf

x

x

x

o de ramas divergentes o de ramas convergentes

y

x x0

salto

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• Discontinuidad de 2ª especie cuando no existe )(xf porque:

o no existen )(lim0

xfxx +→

, )(lim0

xfxx −→

o ambos

o lxfxx

=+→

)(lim0

y ∞=−→

)(lim0

xfxx

{ }

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

=∞

====

∞====

∞===

≠∈∀=

∞∞−

→

∞+

→

→

∞

−

−

+

+

011

lim

lim)(lim

)0(

0:)(

0

11

0

0

11

0

0

01

1

eeee

eeexf

eef

xRxdomf

exf

x

x

x

x

x

x

{ }

( )

( )��

�

��

�

�

��

��

�

∞−==

∞+===

∞==

≠∈∀

=

−→

+→

→

−

+

sensenx

sen

sensenx

senxf

sensenf

xRxdomfx

senxf

x

x

x

011

lim

011

lim)(lim

01

)0(

0:

1)(

0

0

0

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Capítulo 2.7.2. CONTINUIDAD LATERAL: Una función )(xf se dice que es continua por la derecha del punto 0x cuando se verifica

que el límite de dicha función por la derecha es igual al valor de la función en dicho punto. )()(lim 0

0

xfxfxx

=+→

.

Por ejemplo:

��

��

==

=

=��

<−≥+

−

+

→

→→ 3)(lim

4)(lim)(lim

4)2(

21222

)(

2

2

2 xf

xfxf

f

xsix

xsixxf

x

x

x

)2()(lim2

fxfx

=+→

De igual forma, se dice que )(xf es continua a la izquieda de 0x cuando se verifica que

el límite de dicha función por la izquierda es igual al valor de la función en dicho punto, es decir, )()(lim 0

0

xfxfxx

=−→

.

Por ejemplo:

��

��

==

=

=��

≤+>−

−

+

→

→→ 5)(lim

2)(lim)(lim

5)1(

132113

)(

1

1

1 xf

xfxf

f

xsix

xsixxf

x

x

x

)1()(lim1

fxfx

=−→

Una función es continua en un intervalo abierto ( )ba, si lo es en todos los puntos del

intervalo y es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, cuando lo es en todos los puntos interiores del intervalo y lo es a la derecha de a y a la izquierda de b.

Capítulo 2.7.3. TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DEL SIGNO: Si una función )(xf es continua en un punto 0x y 0)( 0 ≠xf , entonces existe un entorno

de 0x en el cual la función tiene el mismo signo que en el punto 0x .

x

y

x0

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Capítulo 2.8. TEOREMA DE BOLZANO: Si una función es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, y toma valores de distinto signo

en a y en b, existe almenos un punto 0x interior al intervalo en el cual 0)( 0 =xf .

Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,

• ( ) ( ) 0· <bfaf Tesis:

( ) ( ) 0, =∈∃ cfbac

x

y

a b c’ c’’ c’’’

f(b)

f(a)

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Capítulo 2.9. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO O TEOREMA DE DARBOUX: Si )(xf es continua en [ ]ba, , la función alcanza en ese intervalo todos los valores

comprendidos entre )(af y )(bf .

[ ]Kcf

bac

bfKaf

=∈∃

<<

)(,

)()(


• ( ) ( )( )bfafK ,∈ Tesis:

( ) ( ) Kcfbac =∈∃ ,

x

y

a b c’ c’’ c’’’

f(b)

f(a)

K

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Capítulo 2.10. TEOREMA DE ACOTACIÓN: Toda función continua en [ ]ba, está acotada superior e inferiormente.

Hipótesis: • f es continua en [ ]ba, Tesis:

( ) KxfRK ≤∈∃ *

x

y

a b

f(b)

f(a)

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Capítulo 2.11. TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si )(xf es continua en [ ]ba, , en dicho intervalo tiene un máximo y un mínimo.


• ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]baxxfxfxfbaxx ,,,, 2121 ∈∀≤≤∈∃ Tesis:

( )( ) máximo esy

mínimo esy

2

1

Mxf

mxf

==

x

y

a b

f(b)

f(a)

máximo

mínimo

funciones reales de variable real

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suficientemente

fyxxx xx xk

en el puntoc

xxx xxx xx

es continua

dada una funcin

lim0 00l lx

si para domf