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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
Calculo Vectorial
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
Calculo Vectorial
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
1 El nombre de funcion vectorial viene dado porque, f asigna a cadat ∈ I un vector en el espacio R
n.
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
1 El nombre de funcion vectorial viene dado porque, f asigna a cadat ∈ I un vector en el espacio R
n.2 El dominio de la funcion vectorial f es el conjunto
Dom(f) = Dom(f1) ∩ Dom(f2) ∩ . . . ∩ Dom(fn)Calculo Vectorial
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
1 Los puntos(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
, t ∈ R describen una curva C en
Rn.
Calculo Vectorial
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
1 Los puntos(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
, t ∈ R describen una curva C en
Rn.
2 f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)) es una parametrizacion de la curva C(“cada punto de C se asocia un tiempo t”
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
1 A las ecuaciones xi = fi (t) se llaman ecuaciones parametricas deuna curva C .
2 f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)) es una parametrizacion de la curva C(“cada punto de C se asocia un tiempo t”
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Funciones Vectoriales
Definicion
Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es
f(t) =(
f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
se denomina funcion vectorial de una variable real t.
1 A las ecuaciones xi = fi (t) se llaman ecuaciones parametricas deuna curva C .
2 El extremo del vector de posicion f(t) traza la trayectoria de la curvaC e indica su orientacion.
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Funciones Vectoriales
Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por mediode la funcion vectorial
r(t) =(
f (t), g(t), h(t))
= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k
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Funciones Vectoriales
Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por mediode la funcion vectorial
r(t) =(
f (t), g(t), h(t))
= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k
Calculo Vectorial
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Funciones Vectoriales
Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por mediode la funcion vectorial
r(t) =(
f (t), g(t), h(t))
= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k
r(t) representa la posicion de la partıcula en el instante t. De ahı querecibe el nombre de vector posicion
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Funciones Vectoriales
Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por mediode la funcion vectorial
r(t) =(
f (t), g(t), h(t))
= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k
r(t) representa la posicion de la partıcula en el instante t. De ahı querecibe el nombre de vector posicion
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Funciones Vectoriales
Example
Algunos graficos de funciones vectoriales
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Funciones Vectoriales
Example
Grafique la funcion vectorial r(t) = cos ti+ sin tj+ tk
SOL: No es difıcil ver que las ecuaciones de las coordenadas son
x = cos t, y = sint, z = t
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Funciones Vectoriales
Example
Grafique la funcion vectorial r(t) = cos ti+ sin tj+ tk
SOL: No es difıcil ver que las ecuaciones de las coordenadas son
x = cos t, y = sint, z = t
Como x2+y2 = 1 entonces afirmamos que la curva estasobre un cilindro circular, pero la curva “sube” cuandoel componente en k, z = k aumenta. Adicionalmente,Cada vez que t aumenta en 2π, la curva completa unavuelta, “solo” en en el plano xy . De manera que latrayectoria de esta curva es una Helice
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Funciones Vectoriales
Example
Grafique la funcion vectorial r(t) = cos ti+ sin tj+ tk
SOL: No es difıcil ver que las ecuaciones de las coordenadas son
x = cos t, y = sint, z = t
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Example
** Grafique la curva trazada por la funcion vectorialr(t) = 2 cos ti+ 2sintj+ 3k
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Funciones Vectoriales
Example
** Grafique la curva trazada por la funcion vectorialr(t) = 2 cos ti+ 2sintj+ 3k
SOL: Las ecuaciones parametricas de la curva son las componentes de lafuncion vectorial son
x = 2 cos t, y = 2sint, z = 3
.
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Funciones Vectoriales
Example
Determine la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion delplano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2
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Funciones Vectoriales
Example
Determine la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion delplano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2
SOL: Primero parametrizamos la curva C de inter-seccion haciendo, x = t, de donde se deduce quey = 2t y z = 9 − t2 − (2t)2 = 9 − 5t2. Por tantolas ecuaciones parametricas son
x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,
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Funciones Vectoriales
Example
Determine la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion delplano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2
SOL: Primero parametrizamos la curva C de inter-seccion haciendo, x = t, de donde se deduce quey = 2t y z = 9 − t2 − (2t)2 = 9 − 5t2. Por tantolas ecuaciones parametricas son
x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,
y por tanto una funcion vectorial que describe el trazodel paraboloide en el plano y = 2x esta dada por
r(t) = ti+ 2tj+ (9− 5t2)k.
Calculo Vectorial
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Funciones Vectoriales
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Funciones Vectoriales
Si r(t) tiende al vector L cuando t → a, la longitud delvector r(t)− L tiende a 0. Es decir,
‖r(t)− L‖ → 0 Cuando t → a
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Funciones Vectoriales
Example
** Calcule limt→t0
f(t) (en caso exista) de las siguientes funciones
vectoriales
1 f(t) =
(
1−√t + 1
t + 2,
t
t + 1, 2
)
, para t0 = 0 R/ (0, 0, 2)
2 f(t) =
(
et − e
t − 1,ln t
1− t,sin(t − 1)
t − 1
)
, para t0 = 1 R/ (e,−1, 1)
3 f(t) =
(
1− cos(sint)
sin2t,cos t − cos(sint)
t2,
1
t − π
)
, para t0 = 0 R/
( 12 , 0,1π)
( √ √ )
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Funciones Vectoriales
La definicion siguiente extiende la nocion de continuidad a funcionesvectoriales.
Definicion
una funcion vectorial f es continua en el numero a si
f(a) esta definido limt→a
f(t) existe limt→a
f(t) = f(a)
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Funciones Vectoriales
La definicion siguiente extiende la nocion de continuidad a funcionesvectoriales.
Definicion
una funcion vectorial f es continua en el numero a si
f(a) esta definido limt→a
f(t) existe limt→a
f(t) = f(a)
De acuerdo con esta definicion, una funcion vectorial
f(t) =(
f1(t), f2(t)), . . . , fn(t))
es continua en t = a si y solo si las funciones componentes fi , soncontinuas en t = a.
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Funciones Vectoriales
Example
1 Dada la funcion vectorial f(t) =
(
t2 − 1
t + 1,sin(πt)
cos(πt),ln t + 1
t + 2
)
Determine si la funcion vectorial es continua en t = 1. R/: SI
2 Dada la funcion vectorial f(t) =
(
sint
t,ln(1 + t)
1− t,cos t − 1
t
)
Determine si la funcion vectorial es continua en t = 0. R/: NO
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Funciones Vectoriales
La definicion de la derivada de una funcion vectorial es paralela a la dadapara funciones reales.
Definicion
La derivada de una funcion vectorial f es
f ′(t) = limt→a
f(t + h)− f(t)
h
para todo t para el cual existe el lımite.
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Funciones Vectoriales
La definicion de la derivada de una funcion vectorial es paralela a la dadapara funciones reales.
Definicion
La derivada de una funcion vectorial f es
f ′(t) = limt→a
f(t + h)− f(t)
h
para todo t para el cual existe el lımite.
NOTA: Ademas de la notacion f ′(t) otras notaciones para la derivada deuna funcion vectorial son
Dt [f(t)],d
dt[f(t)],
df
dt
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Posicion Velocidad y aceleracion
Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn,
tenemos 3 vectores importantes:
f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
v(t) = f′(t) =(
f ′1 (t), f′
2 (t), . . . , f′
n(t))
a(t) = v′(t) = f′′(t) =(
f ′′1 (t), f ′′2 (t), . . . , f ′′n (t))
Calculo Vectorial
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Posicion Velocidad y aceleracion
Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn,
tenemos 3 vectores importantes:
f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
v(t) = f′(t) =(
f ′1 (t), f′
2 (t), . . . , f′
n(t))
a(t) = v′(t) = f′′(t) =(
f ′′1 (t), f ′′2 (t), . . . , f ′′n (t))
Calculo Vectorial
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Posicion Velocidad y aceleracion
Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn,
tenemos 3 vectores importantes:
f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
v(t) = f′(t) =(
f ′1 (t), f′
2 (t), . . . , f′
n(t))
a(t) = v′(t) = f′′(t) =(
f ′′1 (t), f ′′2 (t), . . . , f ′′n (t))
El vector velocidad v(t) tiene la direccion del vector tangente a la curvaC en el punto f(t) y el vector aceleracion a(t) apunta hacia el ladoconcavo de la curva C (lado hacia donde se doble la curva).
Calculo Vectorial
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Reglas de Derivacion de funciones vectoriales
Sean f, g : I → Rn funciones vectoriales derivables de t, c una constante
real y α : I → R una funcion real derivable de t. Entonces se tiene:
1 [f± g]′(t) = f′(t)± g′(t)
2 [cf(t)]′ = cf′(t)
3 [α(t)f (t)] = α′(t)f(t) + α(t)f′(t)
4 [f(t) · g(t)]′ = f′(t) · g(t) + f(t) · g′(t)
5 [f(t)× g(t)]′ = f′(t)× g(t) + f(t)× g′(t), (valido solo en R3)
6 ‖f (t)‖′ = f(t) · f′(t)‖f(t)‖ si f(t) 6= 0)
Calculo Vectorial
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Reglas de Derivacion de funciones vectoriales
Example
** Si f(t) = (t, t2; 3 + t), g(t) = (cos t, sint, ln(t + 1)) y α(t) = e−4t ,calcule
(αf)′(0) (f+ g)′(0) (f · g)′(0) (f× g)′(0)
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
En el primer curso de calculo se trabajo con funciones
f : I ⊂ R −→ R
x f (x)
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
En el primer curso de calculo se trabajo con funciones
f : I ⊂ R −→ R
x f (x)
notacion en la que se enfatiza que el dominio de la funcion es elconjunto I de R y que su codominio es R (el rango de la funcion noqueda explıcito en esta notacion).
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
En el primer curso de calculo se trabajo con funciones
f : I ⊂ R −→ R
x f (x)
notacion en la que se enfatiza que el dominio de la funcion es elconjunto I de R y que su codominio es R (el rango de la funcion noqueda explıcito en esta notacion).
Decıamos entonces que f es una funcion real porque las imagenesf (x) son numeros reales de una variable real x ∈ I .
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
En el primer curso de calculo se trabajo con funciones
f : I ⊂ R −→ R
x f (x)
Ahora vamos a considerar funciones
f : U ⊂ Rn −→ R f : U ⊂ R
n −→ R
x f (x) (x1, . . . , xn) f (x1, . . . , xn)
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
En el primer curso de calculo se trabajo con funciones
f : I ⊂ R −→ R
x f (x)
Ahora vamos a considerar funciones
f : U ⊂ Rn −→ R f : U ⊂ R
n −→ R
x f (x) (x1, . . . , xn) f (x1, . . . , xn)
cuyas imagenes f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) son tambien numeros reales,pero cuyo dominio sera un subconjunto U del espacio R
n.
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
En el primer curso de calculo se trabajo con funciones
f : I ⊂ R −→ R
x f (x)
Ahora vamos a considerar funciones
f : U ⊂ Rn −→ R f : U ⊂ R
n −→ R
x f (x) (x1, . . . , xn) f (x1, . . . , xn)
cuyas imagenes f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) son tambien numeros reales,pero cuyo dominio sera un subconjunto U del espacio R
n.
Estas funciones son llamadas funciones reales de n variables
x1, x2, . . . , xn reales, o bien, funciones reales de variable vectorial
(viendo a los elementos (x1, x2, . . . , xn) = x como vectores).
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h
3 volumen de un cono circular V (r , h) = 13πr
2h
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h
3 volumen de un cono circular V (r , h) = 13πr
2h
4 perımetro de un rectangulo P(x , y) = 2x + 2y
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h
3 volumen de un cono circular V (r , h) = 13πr
2h
4 perımetro de un rectangulo P(x , y) = 2x + 2y
5 La altura del paraboloide esta dada por z = x2 + y2, es decir,z = f (x , y) = x2 + y2.
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h
3 volumen de un cono circular V (r , h) = 13πr
2h
4 perımetro de un rectangulo P(x , y) = 2x + 2y
5 La altura del paraboloide esta dada por z = x2 + y2, es decir,z = f (x , y) = x2 + y2.
6 La temperatura T de un punto sobre la superficie terrestre dependede su latitud x y su longitud y , lo que se expresa escribiendoT = f (x , y).
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,
1 area de un rectangulo A(x , y) = xy
2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h
3 volumen de un cono circular V (r , h) = 13πr
2h
4 perımetro de un rectangulo P(x , y) = 2x + 2y
5 La altura del paraboloide esta dada por z = x2 + y2, es decir,z = f (x , y) = x2 + y2.
6 La temperatura T de un punto sobre la superficie terrestre dependede su latitud x y su longitud y , lo que se expresa escribiendoT = f (x , y).
7 El volumen V y el area de la superficie S de una caja rectangularson funciones polinomiales de tres variables:
V (x , y , z) = xyz , S(x , y , z) = 2xy + 2xz + 2yz
Nota: Puesto que se requieren cuatro dimensiones, no es posiblegraficar una funcion de tres variables.
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion de dos variables, definida en el dominio D en el plano, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y) en D un numero real unico,denotado por f (x , y).
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y , z) en D un numero real unicof (x , y , z).
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y , z) en D un numero real unicof (x , y , z).
1 En la funcion dada por z = f (x , y), x y y son las variablesindependientes y z es la variable dependiente.
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y , z) en D un numero real unicof (x , y , z).
1 En la funcion dada por z = f (x , y), x y y son las variablesindependientes y z es la variable dependiente.
2 En caso de que el dominio D de f no se especifique en formaexplıcita, se toma como aquel que consiste en todos los puntos paralos que la formula dada es significativa.
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y , z) en D un numero real unicof (x , y , z).
1 En la funcion dada por z = f (x , y), x y y son las variablesindependientes y z es la variable dependiente.
2 En caso de que el dominio D de f no se especifique en formaexplıcita, se toma como aquel que consiste en todos los puntos paralos que la formula dada es significativa.
3 Una funcion de dos variables suele escribirse z = f (x , y) y se lee “fde x , y .”
Calculo Vectorial
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Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y , z) en D un numero real unicof (x , y , z).
1 En la funcion dada por z = f (x , y), x y y son las variablesindependientes y z es la variable dependiente.
2 En caso de que el dominio D de f no se especifique en formaexplıcita, se toma como aquel que consiste en todos los puntos paralos que la formula dada es significativa.
3 Una funcion de dos variables suele escribirse z = f (x , y) y se lee “fde x , y .”
4 Una ecuacion de un plano ax + by + cz = d , c 6= 0, describe unafuncion cuando se escribe como
z =d
c− a
cx − b
cy , f (x , y) =
d
c− a
cx − b
cy
Puesto que z es un polinomio en x y y , el dominio de la funcionconsiste en el plano xy completo.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Para funciones f : U ⊂ R2 −→ R, conviene a veces tener una
representacion geometrica del dominio U de f (el dominio es el mayorsubconjunto U del espacio R
2 para el cual la regla f (x , y) tenga sentidocon (x , y) ∈ U.).
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Para funciones f : U ⊂ R2 −→ R, conviene a veces tener una
representacion geometrica del dominio U de f (el dominio es el mayorsubconjunto U del espacio R
2 para el cual la regla f (x , y) tenga sentidocon (x , y) ∈ U.).
Example
1 * Dado que f (x , y) = 4 +√
x2 − y2) encuentre f (1, 0), f (5, 3) yf (4,−2).
2 Dibuje el dominio de la funcion.
SOL: (a)
f (1, 0) =
f (5, 3) =
f (4,−2) =
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Para funciones f : U ⊂ R2 −→ R, conviene a veces tener una
representacion geometrica del dominio U de f (el dominio es el mayorsubconjunto U del espacio R
2 para el cual la regla f (x , y) tenga sentidocon (x , y) ∈ U.).
Example
1 * Dado que f (x , y) = 4 +√
x2 − y2) encuentre f (1, 0), f (5, 3) yf (4,−2).
2 Dibuje el dominio de la funcion.
SOL: (b) Las coordenadas (x , y) debe cumplir x2 − y2 ≥ 0,
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Para funciones f : U ⊂ R2 −→ R, conviene a veces tener una
representacion geometrica del dominio U de f (el dominio es el mayorsubconjunto U del espacio R
2 para el cual la regla f (x , y) tenga sentidocon (x , y) ∈ U.).
Example
1 * Dado que f (x , y) = 4 +√
x2 − y2) encuentre f (1, 0), f (5, 3) yf (4,−2).
2 Dibuje el dominio de la funcion.
SOL: (b) Las coordenadas (x , y) debe cumplir x2 − y2 ≥ 0, el dominioconsiste en la region sombreada de la figura.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Encuentre el dominio de definicion de la funcion cuya formula esf (x , y) = y√
x−y2y encuentre los puntos (x , y) en los que f (x , y) = ±1.
SOL:
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Encuentre el dominio de definicion de la funcion cuya formula esf (x , y) = y√
x−y2y encuentre los puntos (x , y) en los que f (x , y) = ±1.
SOL: Para que f (x , y) este definida, x − y2 > 0 es decir, x > y2.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Encuentre el dominio de definicion de la funcion cuya formula esf (x , y) = y√
x−y2y encuentre los puntos (x , y) en los que f (x , y) = ±1.
SOL: Para que f (x , y) este definida, x − y2 > 0 es decir, x > y2. Estedominio esta sombreado en la figura. Observe que la parabola en apareceen lınea punteada para indicar que NO esta incluida en el dominio de f .
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Encuentre el dominio de definicion de la funcion cuya formula esf (x , y) = y√
x−y2y encuentre los puntos (x , y) en los que f (x , y) = ±1.
SOL: Para que f (x , y) este definida, x − y2 > 0 es decir, x > y2. Estedominio esta sombreado en la figura. Observe que la parabola en apareceen lınea punteada para indicar que NO esta incluida en el dominio de f .
Por otra parte f (x , y) = ±1 implica que y√x−y2
= ±1, es decir, x = 2y2.
Por lo tanto f (x , y) = ±1 se obtiene en cada punto de la parabolax = 2y2 [(x , y) 6= (0, 0)].
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2
−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2
−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (1) Dominio: las coordenadas (x , y) deben satisfacer9− x2 − y2 ≥ 0. Es decir, el dominio de f consiste en la circunferenciax2 + y2 = 9 y su interior.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2
−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (1) Dominio: las coordenadas (x , y) deben satisfacer9− x2 − y2 ≥ 0. Es decir, el dominio de f consiste en la circunferenciax2 + y2 = 9 y su interior.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2
−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (2) Dominio: las coordenadas (x , y) deben satisfacer xy ≥ 0. Esdecir, el dominio de f es el primer y tercer cuadrante.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2
−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (3) Dominio: las coordenadas (x , y) de esta funcion debensatisfacer x 6= 0 y x2 + y2 ≥ 9. Es decir, el dominio de f son los puntosque estan en el cırculo x2 + y2 = 9 o en su exterior.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2
−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (3) Dominio: las coordenadas (x , y) de esta funcion debensatisfacer x 6= 0 y x2 + y2 ≥ 9. Es decir, el dominio de f son los puntosque estan en el cırculo x2 + y2 = 9 o en su exterior.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2
−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (4) Dominio: las coordenadas (x , y , z) de esta funcion debensatisfacer x2 + y2 + z2 < 9. Es decir, el dominio se encuentran en elinterior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.
Calculo Vectorial
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Dominios e imagenes
Example
Calcule el dominio para las siguientes funciones
1 f (x , y) =√
9− x2 − y2
2 f (x , y) = ln xy
3 f (x , y) =
√x2+y2−9
x
4 g(x , y , z) = x√9−x2
−y2−z2
5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2
SOL: (5) Dominio: las coordenadas (x , y , z) de esta funcion debensatisfacer x2 + y2 + z2 > 0. Es decir, el dominio R
3\(0, 0, 0)
Calculo Vectorial
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Geometrıa de las funciones de varias variables
Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy ,
Calculo Vectorial
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Geometrıa de las funciones de varias variables
Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy , la grafica de una ecuacionF (x , y , z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De maneraque, una funcion F de tres variables asocia un numero real F (x , y , z) concada tercia ordenada (x , y , z) de numeros reales.
Calculo Vectorial
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Geometrıa de las funciones de varias variables
Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy , la grafica de una ecuacionF (x , y , z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De maneraque, una funcion F de tres variables asocia un numero real F (x , y , z) concada tercia ordenada (x , y , z) de numeros reales. La grafica (dibujo) dela ecuacion
F (x , y , z) = 0
es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x , y , z) satisfacenesta ecuacion y recibe el nombre de superficie.
Calculo Vectorial
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Geometrıa de las funciones de varias variables
Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy , la grafica de una ecuacionF (x , y , z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De maneraque, una funcion F de tres variables asocia un numero real F (x , y , z) concada tercia ordenada (x , y , z) de numeros reales. La grafica (dibujo) dela ecuacion
F (x , y , z) = 0
es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x , y , z) satisfacenesta ecuacion y recibe el nombre de superficie. Por ejemplo,
Esferas : (x − x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = r2
Planos : ax + by + cz + d = 0
Calculo Vectorial
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Geometrıa de las funciones de varias variables
Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy , la grafica de una ecuacionF (x , y , z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De maneraque, una funcion F de tres variables asocia un numero real F (x , y , z) concada tercia ordenada (x , y , z) de numeros reales. La grafica (dibujo) dela ecuacion
F (x , y , z) = 0
es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x , y , z) satisfacenesta ecuacion y recibe el nombre de superficie. Por ejemplo,
Esferas : (x − x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = r2
Planos : ax + by + cz + d = 0
Un tercer tipo de superficies que estudiaremos en el espacio son lasllamadas superficies cilındricas, superficies cuadraticas..
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S , en ocasiones es utilexaminar sus intersecciones con varios planos.
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S , en ocasiones es utilexaminar sus intersecciones con varios planos.La traza de la superficie S en el plano P es la interseccion de P y S . Porejemplo, si S es una esfera, se puede ver que la traza de S con un planoP es una circunferencia.
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S , en ocasiones es utilexaminar sus intersecciones con varios planos.La traza de la superficie S en el plano P es la interseccion de P y S . Porejemplo, si S es una esfera, se puede ver que la traza de S con un planoP es una circunferencia.
Cuando queremos visualizar una superficie especıfica en el espacio, sueleser suficiente analizar sus trazas en los planos coordenados yposiblemente unos cuantos planos paralelos a ellos
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Example
Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.
SOL:
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Example
Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.
SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy .
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Example
Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.
SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz .
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Example
Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.
SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz . con x = 0 obtenemos la recta y + z = 3 enel plano yz .
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Example
Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.
SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz . con x = 0 obtenemos la recta y + z = 3 enel plano yz . Todas juntas dan una buena idea de como esta situado elplano 3x + 2y + 2z = 6 en el espacio.
Calculo Vectorial
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Superficies en el espacio
Example
Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.
SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz . con x = 0 obtenemos la recta y + z = 3 enel plano yz . Todas juntas dan una buena idea de como esta situado elplano 3x + 2y + 2z = 6 en el espacio.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
En R2 la grafica de la ecuacion x2 + y2 = 1 es una circunferencia
centrada en el origen del plano xy .
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
En R2 la grafica de la ecuacion x2 + y2 = 1 es una circunferencia
centrada en el origen del plano xy . Sin embargo, en R3 es posible
interpretar la grafica del conjunto
{(x , y , z) : x2 + y2 = 1, z arbitraria}
como una superficie que es el cilindro circular recto ver grafica
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
En R2 la grafica de la ecuacion x2 + y2 = 1 es una circunferencia
centrada en el origen del plano xy . Sin embargo, en R3 es posible
interpretar la grafica del conjunto
{(x , y , z) : x2 + y2 = 1, z arbitraria}
como una superficie que es el cilindro circular recto ver grafica
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
De modo similar, la grafica de una ecuacion tal como y + 2z = 2 es unarecta en el espacio R
2 (el plano yz),
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
De modo similar, la grafica de una ecuacion tal como y + 2z = 2 es unarecta en el espacio R
2 (el plano yz), pero en el espacio tridimensional R3,la grafica
{(x , y , z) : y + 2z = 2, x arbitraria}es el plano perpendicular al plano yz .
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
De modo similar, la grafica de una ecuacion tal como y + 2z = 2 es unarecta en el espacio R
2 (el plano yz), pero en el espacio tridimensional R3,la grafica
{(x , y , z) : y + 2z = 2, x arbitraria}es el plano perpendicular al plano yz .
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
De modo similar, la grafica de una ecuacion tal como y + 2z = 2 es unarecta en el espacio R
2 (el plano yz), pero en el espacio tridimensional R3,la grafica
{(x , y , z) : y + 2z = 2, x arbitraria}es el plano perpendicular al plano yz .
Las superficies de este tipo reciben un nombre especial cilindros. Usamosel termino cilindro en un sentido mas general que el de un cilindrocircular recto. Especıficamente,
Calculo Vectorial
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Superficies Cilindricas
Calculo Vectorial
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Superficies Cilindricas
DEF:si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano,entonces el conjunto de todos los puntos (x , y , z) generado al mover unalınea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilindricas
DEF:si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano,entonces el conjunto de todos los puntos (x , y , z) generado al mover unalınea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro.
En palabras mas coloniales, un cilindro se genera al deslizar la curva Cen la misma direccıon de la recta L, donde la recta L es representada porla variable que falta en su ecuacion.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilindricas
DEF:si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano,entonces el conjunto de todos los puntos (x , y , z) generado al mover unalınea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro.
En palabras mas coloniales, un cilindro se genera al deslizar la curva Cen la misma direccıon de la recta L, donde la recta L es representada porla variable que falta en su ecuacion.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilindricas
DEF:si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano,entonces el conjunto de todos los puntos (x , y , z) generado al mover unalınea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro.
En palabras mas coloniales, un cilindro se genera al deslizar la curva Cen la misma direccıon de la recta L, donde la recta L es representada porla variable que falta en su ecuacion. La curva C recibe el nombre degeneratriz del cilindro.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Como sugiere las graficas anteriores, cualquier curva
f (x , y) = c1, plano xy , g(x , z) = c2, plano xz , h(y , z) = c3, plano
definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Como sugiere las graficas anteriores, cualquier curva
f (x , y) = c1, plano xy , g(x , z) = c2, plano xz , h(y , z) = c3, plano
definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Como sugiere las graficas anteriores, cualquier curva
f (x , y) = c1, plano xy , g(x , z) = c2, plano xz , h(y , z) = c3, plano
definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente cuyaecuacion tambien es f (x , y) = c1, g(x , z) = c2 y h(y , z) = c3.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Como sugiere las graficas anteriores, cualquier curva
f (x , y) = c1, plano xy , g(x , z) = c2, plano xz , h(y , z) = c3, plano
definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente cuyaecuacion tambien es f (x , y) = c1, g(x , z) = c2 y h(y , z) = c3.
Por tanto, concluimos que una curva en un plano, cuando se considerantres dimensiones, es un cilindro perpendicular a ese plano.
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Example
Cilindros
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Example
Cilindros
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Example
Cilindros
Calculo Vectorial
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Superficies Cilındricas
Example
Cilindros
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
La ecuacion de la esfera (x − x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = r2 solo un
caso particular de la ecuacion general de segundo grado en tres variables
Ax2 + By2Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (1)
donde A,B ,C , . . . , J son constantes.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
La ecuacion de la esfera (x − x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = r2 solo un
caso particular de la ecuacion general de segundo grado en tres variables
Ax2 + By2Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (1)
donde A,B ,C , . . . , J son constantes. La grafica de una ecuacion desegundo grado de la forma (??) que describe un conjunto real de puntosse dice que es una superficie cuadrica.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
La ecuacion de la esfera (x − x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = r2 solo un
caso particular de la ecuacion general de segundo grado en tres variables
Ax2 + By2Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (1)
donde A,B ,C , . . . , J son constantes. La grafica de una ecuacion desegundo grado de la forma (??) que describe un conjunto real de puntosse dice que es una superficie cuadrica.
Por ejemplo, el cilindro elıptico y el cilindro parabolico
x2
4+
y2
9= 1, z = y2
son superficies cuadricas.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
La ecuacion de la esfera (x − x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = r2 solo un
caso particular de la ecuacion general de segundo grado en tres variables
Ax2 + By2Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (1)
donde A,B ,C , . . . , J son constantes. La grafica de una ecuacion desegundo grado de la forma (??) que describe un conjunto real de puntosse dice que es una superficie cuadrica.
Por ejemplo, el cilindro elıptico y el cilindro parabolico
x2
4+
y2
9= 1, z = y2
son superficies cuadricas.
Hay seis tipos basicos de superficies cuadricas: elipsoide, hiperboloidede una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elıptico, paraboloide
elıptico y paraboloide hiperbolico.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
*Elipsoide: La grafica de cualquier ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1,
corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c) losnumeros reales positivos a, b y c se llaman semiejes del elipsoide.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
*Elipsoide: La grafica de cualquier ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1,
corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c) losnumeros reales positivos a, b y c se llaman semiejes del elipsoide. Lasuperficie es simetrica con respecto a cada uno de los planoscoordenados, ya que en la ecuacion que la define, cada variable estaelevada al cuadrado.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
*Elipsoide: La grafica de cualquier ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1,
corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c) losnumeros reales positivos a, b y c se llaman semiejes del elipsoide. Lasuperficie es simetrica con respecto a cada uno de los planoscoordenados, ya que en la ecuacion que la define, cada variable estaelevada al cuadrado.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Cono elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2=
z2
c2,
recibe el nombre de cono elıptico (o circular si el cono a = b)
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Cono elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2=
z2
c2,
recibe el nombre de cono elıptico (o circular si el cono a = b)
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Paraboloide elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2=
z
c,
es simetrico con respecto a los planos x = 0 y y = 0.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Paraboloide elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2=
z
c,
es simetrico con respecto a los planos x = 0 y y = 0. La unicainterseccion con los ejes es el origen. Excepto por este punto, lasuperficie esta completamente por arriba (si c > 0) o completamentedebajo (si c < 0 ) del plano xy , segun el signo de c .
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Paraboloide elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2=
z
c,
es simetrico con respecto a los planos x = 0 y y = 0. La unicainterseccion con los ejes es el origen. Excepto por este punto, lasuperficie esta completamente por arriba (si c > 0) o completamentedebajo (si c < 0 ) del plano xy , segun el signo de c .
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Hiperboloide de una hoja La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1,
se llama hiperboloide de una hoja.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Hiperboloide de una hoja La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1,
se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano paralelo alplano xy , corta la superficie en secciones transversales elıpticas (ocirculares si a = b) y es simetrico con respecto a cada uno de los tresplanos coordenados.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Hiperboloide de una hoja La grafica de una ecuacion de la forma
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1,
se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano paralelo alplano xy , corta la superficie en secciones transversales elıpticas (ocirculares si a = b) y es simetrico con respecto a cada uno de los tresplanos coordenados.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Hiperboloide de dos hojas La grafica de una ecuacion de la forma
z2
c2− x2
a2− y2
b2= 1,
se llama apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Hiperboloide de dos hojas La grafica de una ecuacion de la forma
z2
c2− x2
a2− y2
b2= 1,
se llama apropiadamente hiperboloide de dos hojas. Es simetrico conrespecto a los tres planos coordenados. El plano z = 0 no corta a lasuperficie; de hecho, para que un plano horizontal corte a la superficie,debemos tener |z | ≥ c .
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Hiperboloide de dos hojas La grafica de una ecuacion de la forma
z2
c2− x2
a2− y2
b2= 1,
se llama apropiadamente hiperboloide de dos hojas. Es simetrico conrespecto a los tres planos coordenados. El plano z = 0 no corta a lasuperficie; de hecho, para que un plano horizontal corte a la superficie,debemos tener |z | ≥ c .
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Paraboloide hiperbolico: La grafica de una ecuacion de la forma
z
c=
y2
b2− x2
a2,
se conoce como paraboloide hiperbolico y tiene forma de una silla demontar.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Paraboloide hiperbolico: La grafica de una ecuacion de la forma
z
c=
y2
b2− x2
a2,
se conoce como paraboloide hiperbolico y tiene forma de una silla demontar. Su traza en el plano horizontal z = z0 es una hiperbola (o dosrectas que se cruzan si z0 = 0).
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
**Paraboloide hiperbolico: La grafica de una ecuacion de la forma
z
c=
y2
b2− x2
a2,
se conoce como paraboloide hiperbolico y tiene forma de una silla demontar. Su traza en el plano horizontal z = z0 es una hiperbola (o dosrectas que se cruzan si z0 = 0).
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Para clasificar una superficie cuadrica, se empieza por escribir la superficieen la forma canonica o estandar. Despues, se determinan varias trazas enlos planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
SOL:
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
SOL: Se empieza por escribir la ecuacion en forma canonica
4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
y2
4− x2
3− z2
1= 1
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
SOL: Se empieza por escribir la ecuacion en forma canonica
4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
y2
4− x2
3− z2
1= 1
se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas conel eje y como su eje.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
SOL: Se empieza por escribir la ecuacion en forma canonica
4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
y2
4− x2
3− z2
1= 1
se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas conel eje y como su eje. Para esbozar la grafica de esta superficie, convienehallar las trazas en los planos coordenados.
Traza xy (z = 0)y2
4− x2
3= 1 Hiperbola
Traza xz (y = 0)x2
3+
z2
1= −1 No hay traza
Traza yz (x = 0)y2
4− z2
1= 1 Hiperbola
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
SOL: Se empieza por escribir la ecuacion en forma canonica
4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0
y2
4− x2
3− z2
1= 1
se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas conel eje y como su eje.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por x − y2 − 4z2 = 0
SOL:
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por x − y2 − 4z2 = 0
SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende lasuperficie es
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por x − y2 − 4z2 = 0
SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende lasuperficie es un paraboloide que abre en el eje x . Estudiemos algunastrazas,
Traza xy (z = 0) x = y2 Parabola
Traza xz (y = 0) x = 4z2 Parabola
Paralelo al plano yz (x = 4)y2
4+
z2
1= 1 Elipse
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por x − y2 − 4z2 = 0
SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende lasuperficie es un paraboloide que abre en el eje x . La superficie es unparaboloide elıptico.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.
SOL:
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.
SOL: Al escribir la ecuacion como −(z − 4) = x2 + y2. reconocemos laecuacion de un paraboloide.
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.
SOL: Al escribir la ecuacion como −(z − 4) = x2 + y2. reconocemos laecuacion de un paraboloide. El signo menos enfrente del termino en ellado izquierdo de la igualdad indica que la grafica del paraboloide abrehacia abajo a partir de (0, 0, 4).
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
Example
** Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.
SOL: Al escribir la ecuacion como −(z − 4) = x2 + y2. reconocemos laecuacion de un paraboloide. El signo menos enfrente del termino en ellado izquierdo de la igualdad indica que la grafica del paraboloide abrehacia abajo a partir de (0, 0, 4).
Calculo Vectorial
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Superficies Cuadricas
EJERCICIO:Clasificar y dibujar las superficies dadas pora) x2 + 2y2 + z2 − 4x + 4y − 2z + 3 = 0.b) 2x2 − 4y2 + z2 = 0c) −2x2 + 4y2 + z2 = −36
Calculo Vectorial
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Graficas
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica.
Calculo Vectorial
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Graficas
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica. La grafica de una funcion f de dos variables es elconjunto de todos los puntos (x , y , z) para los que z = f (x , y) y (x , y)esta en el dominio de f .
Calculo Vectorial
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Graficas
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica. La grafica de una funcion f de dos variables es elconjunto de todos los puntos (x , y , z) para los que z = f (x , y) y (x , y)esta en el dominio de f .
1 La grafica puede interpretarsegeometricamente como una superficie enel espacio.
Calculo Vectorial
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Graficas
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica. La grafica de una funcion f de dos variables es elconjunto de todos los puntos (x , y , z) para los que z = f (x , y) y (x , y)esta en el dominio de f .
1 La grafica puede interpretarsegeometricamente como una superficie enel espacio.
2 la grafica de z = f (x , y) es una superficiecuya proyeccion sobre el plano xy es D, eldominio de f .
Calculo Vectorial
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Graficas
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica. La grafica de una funcion f de dos variables es elconjunto de todos los puntos (x , y , z) para los que z = f (x , y) y (x , y)esta en el dominio de f .
1 La grafica puede interpretarsegeometricamente como una superficie enel espacio.
2 la grafica de z = f (x , y) es una superficiecuya proyeccion sobre el plano xy es D, eldominio de f .
3 A cada punto (x , y) en D corresponde unpunto (x , y , z) de la superficie y, viceversa,a cada punto (x , y , z) de la superficie lecorresponde un punto (x , y) en D.
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** ¿Cual es el rango de f (x , y) =√
16− 4x2 − y2. Describir la graficade f .
SOL:
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** ¿Cual es el rango de f (x , y) =√
16− 4x2 − y2. Describir la graficade f .
SOL: Para que f (x , y) este definida, 16− 4x2 − y2 ≥ 0. Por tanto, eldominio D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o soninteriores a la elipse dada por
x2
4+
y2
16= 1
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** ¿Cual es el rango de f (x , y) =√
16− 4x2 − y2. Describir la graficade f .
SOL: Para que f (x , y) este definida, 16− 4x2 − y2 ≥ 0. Por tanto, eldominio D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o soninteriores a la elipse dada por
x2
4+
y2
16= 1
El rango de f esta formado por todos los valoresz = f (x , y) tales que 0 ≤ z ≤ 4.
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** ¿Cual es el rango de f (x , y) =√
16− 4x2 − y2. Describir la graficade f .
SOL: Para que f (x , y) este definida, 16− 4x2 − y2 ≥ 0. Por tanto, eldominio D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o soninteriores a la elipse dada por
x2
4+
y2
16= 1
El rango de f esta formado por todos los valoresz = f (x , y) tales que 0 ≤ z ≤ 4. Un punto(x , y , z) esta en la grafica de f si y solo si
z2 = 16−4x2−y2,x2
4+y2
16+z2
16= 1, 0 ≤ z ≤ 4
Por lo tanto, la grafica de f es la mitad superiorde un elipsoide.
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** ¿Cual es el rango de f (x , y) =√
16− 4x2 − y2. Describir la graficade f .
SOL: Para que f (x , y) este definida, 16− 4x2 − y2 ≥ 0. Por tanto, eldominio D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o soninteriores a la elipse dada por
x2
4+
y2
16= 1
El rango de f esta formado por todos los valoresz = f (x , y) tales que 0 ≤ z ≤ 4. Un punto(x , y , z) esta en la grafica de f si y solo si
z2 = 16−4x2−y2,x2
4+y2
16+z2
16= 1, 0 ≤ z ≤ 4
Por lo tanto, la grafica de f es la mitad superiorde un elipsoide. Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** Dibuje la grafica de la funcion f (x , y) = 2− 12x − 1
3y.
SOL: No es difıcil ver que la grafica z = 2− 12x − 1
3y es un plano, y paravisualizarlo usamos las trazas.
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** Dibuje la grafica de la funcion f (x , y) = 2− 12x − 1
3y.
SOL: No es difıcil ver que la grafica z = 2− 12x − 1
3y es un plano, y paravisualizarlo usamos las trazas. Es claro que z = 2 si x = y = 0.Asimismo, y = 6 si x = z = 0 y x = 4 si y = z = 0.
Calculo Vectorial
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Graficas
Example
** Dibuje la grafica de la funcion f (x , y) = 2− 12x − 1
3y.
SOL: No es difıcil ver que la grafica z = 2− 12x − 1
3y es un plano, y paravisualizarlo usamos las trazas. Es claro que z = 2 si x = y = 0.Asimismo, y = 6 si x = z = 0 y x = 4 si y = z = 0.
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
En general, si una funcion de dos variables esta dada por z = f (x , y)entonces el conjunto de puntos (x , y) en el dominio de f dondef (x , y) = c tiene un valor constante es una curva de nivel de f .
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
En general, si una funcion de dos variables esta dada por z = f (x , y)entonces el conjunto de puntos (x , y) en el dominio de f dondef (x , y) = c tiene un valor constante es una curva de nivel de f . Elconjunto de todos los puntos (x , y , f (x , y)) en el espacio, para (x , y) enel dominio de f , se llama la grafica de f o tambien se les llama superficiez = f (x , y).
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
En general, si una funcion de dos variables esta dada por z = f (x , y)entonces el conjunto de puntos (x , y) en el dominio de f dondef (x , y) = c tiene un valor constante es una curva de nivel de f . Elconjunto de todos los puntos (x , y , f (x , y)) en el espacio, para (x , y) enel dominio de f , se llama la grafica de f o tambien se les llama superficiez = f (x , y).
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a unasuperficie z = f (x , y) esta formada por los puntos que representan elvalor de la funcion f (x , y) = c . A esta se le llama curva de contorno paradistinguirla de la curva de nivel f (x , y) = c en el dominio de f .
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a unasuperficie z = f (x , y) esta formada por los puntos que representan elvalor de la funcion f (x , y) = c . A esta se le llama curva de contorno paradistinguirla de la curva de nivel f (x , y) = c en el dominio de f .
Sin embargo, no todo mundo hace esta distincion; por ejemplo en lamayorıa de los mapas, a las curvas que representan una elevacion (alturasobre el nivel del mar) se les llama contornos, no curvas de nivel.
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a unasuperficie z = f (x , y) esta formada por los puntos que representan elvalor de la funcion f (x , y) = c . A esta se le llama curva de contorno paradistinguirla de la curva de nivel f (x , y) = c en el dominio de f .
Sin embargo, no todo mundo hace esta distincion; por ejemplo en lamayorıa de los mapas, a las curvas que representan una elevacion (alturasobre el nivel del mar) se les llama contornos, no curvas de nivel.
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
* Grafique f (x , y) = 100− x2 − y2 y trace las curvas de nivelf (x , y) = 0, f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 en el dominio de f en el plano.
SOL:
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
* Grafique f (x , y) = 100− x2 − y2 y trace las curvas de nivelf (x , y) = 0, f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 en el dominio de f en el plano.
SOL: El dominio de f es , y el rango de f es elconjunto de numeros reales . La grafica es
. La curva de nivel f (x , y) = 0 es claramente, ya que,
las curvas f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 son. Pues,
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
* Grafique f (x , y) = 100− x2 − y2 y trace las curvas de nivelf (x , y) = 0, f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 en el dominio de f en el plano.
SOL: El dominio de f es , y el rango de f es elconjunto de numeros reales . La grafica es
. La curva de nivel f (x , y) = 0 es claramente, ya que,
las curvas f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 son. Pues,
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
** Halle las curvas de nivel de una funcion polinomial f (x , y) = y2 − x2
SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, es unafamilia de curvas dadas por y2 − x2 = c .
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
** Halle las curvas de nivel de una funcion polinomial f (x , y) = y2 − x2
SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, es una familiade curvas dadas por y2 − x2 = c . Observe que si c 6= 0 las curvas sonhiperbolas, pero si c = 0 las curvas son rectas y = x y y = −x .
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
** Halle las curvas de nivel de una funcion polinomial f (x , y) = y2 − x2
SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, es una familiade curvas dadas por y2 − x2 = c . Observe que si c 6= 0 las curvas sonhiperbolas, pero si c = 0 las curvas son rectas y = x y y = −x .
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
* Estudie las curvas de nivel del paraboloide z = 25− x2 − y2
SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, curvas dadaspor x2 + y2 = 25− c .
Calculo Vectorial
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Curvas de nivel
Example
* Estudie las curvas de nivel del paraboloide z = 25− x2 − y2
SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, curvas dadaspor x2 + y2 = 25− c . Por tanto las curvas de nivel son circuferencias.
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f .
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R
4;
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R
4; buscamos lassuperficies de nivel porque muestran en que forma cambian los valores dela funcion al movernos por el dominio.
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R
4; buscamos lassuperficies de nivel porque muestran en que forma cambian los valores dela funcion al movernos por el dominio.
Example
1 * Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x − 2y + 3z sonuna familia de planos paralelos definidos por x − 2y + 3z = c
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R
4; buscamos lassuperficies de nivel porque muestran en que forma cambian los valores dela funcion al movernos por el dominio.
Example
1 * Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x − 2y + 3z sonuna familia de planos paralelos definidos por x − 2y + 3z = c
2 *Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 sonuna familia de esferas concentricas definidas por x2 + y2 + z2 = c.c > 0.
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R
4; buscamos lassuperficies de nivel porque muestran en que forma cambian los valores dela funcion al movernos por el dominio.
Example
1 * Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x − 2y + 3z sonuna familia de planos paralelos definidos por x − 2y + 3z = c
2 *Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 sonuna familia de esferas concentricas definidas por x2 + y2 + z2 = c.c > 0.
3 *Las superficies de nivel de una funcion racional f (x , y , z) = x2+y2
z
estan dadas por x2+y2
z= c o x2 + y2 = cz. Es decir, las superficies
de nivel son paraboloides
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R
4; buscamos lassuperficies de nivel porque muestran en que forma cambian los valores dela funcion al movernos por el dominio.
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Example
* Estudie las superficies de nivel de la funcion f (x , y) = x2 + y2 − z2
SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Example
* Estudie las superficies de nivel de la funcion f (x , y) = x2 + y2 − z2
SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,mientras que si c < 0, entonces es un hiperboloide de dos hojas.
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Example
* Estudie las superficies de nivel de la funcion f (x , y) = x2 + y2 − z2
SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,mientras que si c < 0, entonces es un hiperboloide de dos hojas. El conox2 + y2 − z2 = 0 se encuentra entre estos dos tipos de hiperboloides.
Calculo Vectorial
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Superficies de nivel
Example
* Estudie las superficies de nivel de la funcion f (x , y) = x2 + y2 − z2
SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,mientras que si c < 0, entonces es un hiperboloide de dos hojas. El conox2 + y2 − z2 = 0 se encuentra entre estos dos tipos de hiperboloides.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x).
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x). Tambien se aprovecha que
limx→a
f (x) existe si y solo si limx→a−
f (x), limx→a+
f (x) existe
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x). Tambien se aprovecha que
limx→a
f (x) existe si y solo si limx→a−
f (x), limx→a+
f (x) existe
y si limx→a
f (x) = L.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x). Tambien se aprovecha que
limx→a
f (x) existe si y solo si limx→a−
f (x), limx→a+
f (x) existe
y si limx→a
f (x) = L.
En esta seccion veremos que la situacion es mas DIFICIL en laconsideracion de lımites de funciones de dos variables.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x). Tambien se aprovecha que
limx→a
f (x) existe si y solo si limx→a−
f (x), limx→a+
f (x) existe
y si limx→a
f (x) = L.
En esta seccion veremos que la situacion es mas DIFICIL en laconsideracion de lımites de funciones de dos variables.
Conjuntos abiertos y cerrados Utilizando la formula para la distanciaentre dos puntos (x , y) y (x0, y0) en el plano, se puede definir el entornode (x0, y0) como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0, y0)
D ={
(x , y) :√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x). Tambien se aprovecha que
limx→a
f (x) existe si y solo si limx→a−
f (x), limx→a+
f (x) existe
y si limx→a
f (x) = L.
En esta seccion veremos que la situacion es mas DIFICIL en laconsideracion de lımites de funciones de dos variables.
Conjuntos abiertos y cerrados Utilizando la formula para la distanciaentre dos puntos (x , y) y (x0, y0) en el plano, se puede definir el entornode (x0, y0) como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0, y0)
D ={
(x , y) :√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}
1 Cuando contine el signo es “menor que”, <, al disco se le llamaabierto,
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim
x→af (x) a partir de la grafica
de y = f (x). Tambien se aprovecha que
limx→a
f (x) existe si y solo si limx→a−
f (x), limx→a+
f (x) existe
y si limx→a
f (x) = L.
En esta seccion veremos que la situacion es mas DIFICIL en laconsideracion de lımites de funciones de dos variables.
Conjuntos abiertos y cerrados Utilizando la formula para la distanciaentre dos puntos (x , y) y (x0, y0) en el plano, se puede definir el entornode (x0, y0) como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0, y0)
D ={
(x , y) :√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}
1 Cuando contine el signo es “menor que”, <, al disco se le llamaabierto,
2 Cuando contiene el signo “menor o igual que”, ≤ al disco se lellama cerrado.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .
2 Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region
abierta.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .
2 Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region
abierta.3 Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto
centrado (x0, y0) contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .
2 Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region
abierta.3 Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto
centrado (x0, y0) contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R4 Si una region contiene todos sus puntos frontera, la region es
cerrada.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .
2 Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region
abierta.3 Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto
centrado (x0, y0) contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R4 Si una region contiene todos sus puntos frontera, la region es
cerrada.5 Una region que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera
no es ni abierta ni cerrada.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .
2 Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region
abierta.3 Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto
centrado (x0, y0) contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R4 Si una region contiene todos sus puntos frontera, la region es
cerrada.5 Una region que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera
no es ni abierta ni cerrada.6 La region R esta acotada si puede estar contenida en un rectangulo
o disco suficientemente grande en el plano.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R
2 (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si toda esfera con centro en(x0, y0, z0) contiene puntos que estan fuera de R y puntos que estanen R
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R
2 (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si toda esfera con centro en(x0, y0, z0) contiene puntos que estan fuera de R y puntos que estanen R
3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R
2 (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si toda esfera con centro en(x0, y0, z0) contiene puntos que estan fuera de R y puntos que estanen R
3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .4 La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R .
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R
2 (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si toda esfera con centro en(x0, y0, z0) contiene puntos que estan fuera de R y puntos que estanen R
3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .4 La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R .5 Una region es abierta si consta solo de puntos interiores.
Calculo Vectorial
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Lımites y continuidad
Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.
1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R
2 (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si toda esfera con centro en(x0, y0, z0) contiene puntos que estan fuera de R y puntos que estanen R
3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .4 La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R .5 Una region es abierta si consta solo de puntos interiores.6 Una region es cerrada si contiene a toda su frontera.
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Analizar un lımite dibujando la grafica de z = f (x , y) NO esconveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funcionesde dos variables.
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Analizar un lımite dibujando la grafica de z = f (x , y) NO esconveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funcionesde dos variables. Por intuicion sabemos que f tiene un lımite en un punto(a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = L
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Analizar un lımite dibujando la grafica de z = f (x , y) NO esconveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funcionesde dos variables. Por intuicion sabemos que f tiene un lımite en un punto(a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = L
Para tener un poco mas de precision,los puntos en el espacio (x , y , f (x , y))pueden hacerse arbitrariamente cercanosa (a, b, L) siempre que (x , y) sea suficien-temente cercano a (a, b)
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Analizar un lımite dibujando la grafica de z = f (x , y) NO esconveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funcionesde dos variables. Por intuicion sabemos que f tiene un lımite en un punto(a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = L
Para tener un poco mas de precision,los puntos en el espacio (x , y , f (x , y))pueden hacerse arbitrariamente cercanosa (a, b, L) siempre que (x , y) sea suficien-temente cercano a (a, b)
La nocion de (x , y) “aproximandose” a unpunto (a, b) no es tan simple como parafunciones de una variable donde x → asignifica que x puede acercarse a a solodesde la izquierda y desde la derecha.
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
En el plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse alpunto (a, b) para que
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) exista
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
En el plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse alpunto (a, b) para que
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) exista
requerimos ahora que f se aproxime al mismo numero L a lo largo decualquier trayectoria o curva posible que pase por (a, b).
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
En el plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse alpunto (a, b) para que
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) exista
requerimos ahora que f se aproxime al mismo numero L a lo largo decualquier trayectoria o curva posible que pase por (a, b).
1 Si f (x , y) no se aproxima al mismo numero L por dos trayectoriasdiferentes a (a, b), entonces lim
(x,y)→(a,b)f (x , y) NO existe.
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
En el plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse alpunto (a, b) para que
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) exista
requerimos ahora que f se aproxime al mismo numero L a lo largo decualquier trayectoria o curva posible que pase por (a, b).
1 Si f (x , y) no se aproxima al mismo numero L por dos trayectoriasdiferentes a (a, b), entonces lim
(x,y)→(a,b)f (x , y) NO existe.
2 En la discusion de lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) se supondra que la funcion f
esta definida en todo punto (x , y) en un disco abierto centrado en(a, b) pero no necesariamente en el propio (a, b).
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − 3y2
x2 + 2y2NO existe.
SOL:
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − 3y2
x2 + 2y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0).
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − 3y2
x2 + 2y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − 3y2
x2 + 2y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y . Por tanto,
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x2 − 3y2
x2 + 2y2=
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x2 − 3y2
x2 + 2y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − 3y2
x2 + 2y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y . Por tanto,
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x2 − 3y2
x2 + 2y2= lim
(x,0)→(0,0)
x2
x2= 1
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x2 − 3y2
x2 + 2y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − 3y2
x2 + 2y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y . Por tanto,
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x2 − 3y2
x2 + 2y2= lim
(x,0)→(0,0)
x2
x2= 1
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x2 − 3y2
x2 + 2y2= lim
(0,y)→(0,0)
3y2
2y2= −3
2
Por tanto, el lımite NO existe.
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL:
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2=
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x2= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x2= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x2= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
Sin embargo, esto NOOOOO significa que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2exista, ya
que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0).
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x2= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
Sin embargo, esto NOOOOO significa que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2exista, ya
que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0). Ahora, usemos todaslas rectas que pasan por el origen y = mx .
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x2= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
Sin embargo, esto NOOOOO significa que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2exista, ya
que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0). Ahora, usemos todaslas rectas que pasan por el origen y = mx .
lim(x,y)→(0,0)y=mx
xy
x2 + y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .
lim(x,y)→(0,0)
y=0
xy
x2 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x2= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
xy
x2 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
Sin embargo, esto NOOOOO significa que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2exista, ya
que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0). Ahora, usemos todaslas rectas que pasan por el origen y = mx .
lim(x,y)→(0,0)y=mx
xy
x2 + y2= lim
(x,mx)→(0,0)
mx2
x2 +m2x2=
m
1 +m2
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: Ahora, usemos todas las rectas que pasan por el origen y = mx .
lim(x,y)→(0,0)y=mx
xy
x2 + y2= lim
(x,mx)→(0,0)
mx2
x2 +m2x2=
m
1 +m2
Ahora el limite depende de la pendiente m de la recta, concluimos que ellımite no existe. Por ejemplo, tomando las rectas y = x y en y = 2xtenemos,
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2no existe.
SOL: Ahora, usemos todas las rectas que pasan por el origen y = mx .
lim(x,y)→(0,0)y=mx
xy
x2 + y2= lim
(x,mx)→(0,0)
mx2
x2 +m2x2=
m
1 +m2
Ahora el limite depende de la pendiente m de la recta, concluimos que ellımite no existe. Por ejemplo, tomando las rectas y = x y en y = 2xtenemos,
lim(x,y)→(0,0)
y=x
xy
x2 + y2= lim
(x,x)→(0,0)
x2
x2 + x2=
1
2
lim(x,y)→(0,0)
y=2x
xy
x2 + y2= lim
(x,2x)→(0,0)
2x2
x2 + 4x2=
2
5
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL:
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x3y
x6 + y2=
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x3y
x6 + y2=
lim(x,y)→(0,0)y=mx
x3y
x6 + y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x3y
x6 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x6= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x3y
x6 + y2=
lim(x,y)→(0,0)y=mx
x3y
x6 + y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x3y
x6 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x6= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x3y
x6 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
lim(x,y)→(0,0)y=mx
x3y
x6 + y2=
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x3y
x6 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x6= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x3y
x6 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
lim(x,y)→(0,0)y=mx
x3y
x6 + y2= lim
(x,mx)→(0,0)
mx4
x6 +m2x2= 0
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx
lim(x,y)→(0,0)
y=0
x3y
x6 + y2= lim
(x,0)→(0,0)
0
x6= 0
lim(x,y)→(0,0)
x=0
x3y
x6 + y2= lim
(0,y)→(0,0)
0
y2= 0
lim(x,y)→(0,0)y=mx
x3y
x6 + y2= lim
(x,mx)→(0,0)
mx4
x6 +m2x2= 0
Si bien esto constituye verdaderamente un numero infinito de trayectoriasal origen, el lımite sigue sin existir,
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: ya que tomando la trayectoria dada por y = x3
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: ya que tomando la trayectoria dada por y = x3
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example
** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2NO existe.
SOL: ya que tomando la trayectoria dada por y = x3
lim(x,y)→(0,0)
y=x3
x3y
x6 + y2= lim
(x,x3)→(0,0)
x6
x6 + x6=
1
2
Por tanto, concluimos que el lımite NO existe.
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example (Uso de coordenadas polares)
Evalue lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2.
SOL:
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example (Uso de coordenadas polares)
Evalue lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2.
SOL: Usando las coordenadas polares x = r cos θ y y = rsinθ tenemos
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example (Uso de coordenadas polares)
Evalue lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2.
SOL: Usando las coordenadas polares x = r cos θ y y = rsinθ tenemos
10xy2
x2 + y2=
10r3 cos θsin2θ
r2= 10r cos θ sin2 θ
Calculo Vectorial
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Lımites de funciones de dos variables
Example (Uso de coordenadas polares)
Evalue lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2.
SOL: Usando las coordenadas polares x = r cos θ y y = rsinθ tenemos
10xy2
x2 + y2=
10r3 cos θsin2θ
r2= 10r cos θ sin2 θ
Por tanto,
lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= lim
r→010r cos θ sin2 θ = 0
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Definicion
Suponga que una funcion f de dos variables se define en cualquier puntoen un disco abierto centrado en (a, b) salvo posiblemente en (a, b).Entonces
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = L
significa que para toda ǫ > 0, existe un numero δ > 0 tal que
|f (x , y)− L| < ǫ, siempre que 0 <√
(x − a)2 + (y − a)2 < δ
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL:
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
‖(x , y)− (0, 0)‖ < δǫ ⇒∣
∣
∣f (x , y)− 0
∣
∣
∣< ǫ
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣f (x , y)− 0
∣
∣
∣< ǫ
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣f (x , y)− 0
∣
∣
∣< ǫ
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Observe que∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣= 10|x | y2
x2 + y2
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Observe que∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣= 10|x | y2
x2 + y2
≤ 10|x |y2
y2= 10|x | = 10
√x2
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Observe que∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣= 10|x | y2
x2 + y2
≤ 10|x |y2
y2= 10|x | = 10
√x2 ≤ 10
√
x2 + y2
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Observe que∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣= 10|x | y2
x2 + y2
≤ 10|x |y2
y2= 10|x | = 10
√x2 ≤ 10
√
x2 + y2
< 10δǫ.
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Observe que∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣= 10|x | y2
x2 + y2
≤ 10|x |y2
y2= 10|x | = 10
√x2 ≤ 10
√
x2 + y2
< 10δǫ.
De modo que si se elige δǫ =ǫ
10 , logramos tener∣
∣
∣
10xy2
x2+y2 − 0∣
∣
∣< 10δǫ = ǫ.
Calculo Vectorial
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Definicion formal de un lımite
Example
Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0.
SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si
√
x2 + y2 < δǫ ⇒∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣< ǫ
Observe que∣
∣
∣
10xy2
x2 + y2− 0∣
∣
∣= 10|x | y2
x2 + y2
≤ 10|x |y2
y2= 10|x | = 10
√x2 ≤ 10
√
x2 + y2
< 10δǫ.
De modo que si se elige δǫ =ǫ
10 , logramos tener∣
∣
∣
10xy2
x2+y2 − 0∣
∣
∣< 10δǫ = ǫ.
Esto demuestra que lim(x,y)→(0,0)
10xy2
x2 + y2= 0
Calculo Vectorial
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Continuidad
DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.
Calculo Vectorial
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Continuidad
DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.
1 La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.
Calculo Vectorial
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Continuidad
DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.
1 La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.
2 Una funcion z = f (x , y) es continua sobre un region R del planoxy si f es continua en cualquier punto en R .
Calculo Vectorial
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Continuidad
DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.
1 La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.
2 Una funcion z = f (x , y) es continua sobre un region R del planoxy si f es continua en cualquier punto en R .
3 La suma y el producto de dos funciones continuas tambien soncontinuas.
Calculo Vectorial
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Continuidad
DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.
1 La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.
2 Una funcion z = f (x , y) es continua sobre un region R del planoxy si f es continua en cualquier punto en R .
3 La suma y el producto de dos funciones continuas tambien soncontinuas.
4 El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en elpunto donde el denominador es cero.
Calculo Vectorial
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Continuidad
DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.
1 La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.
2 Una funcion z = f (x , y) es continua sobre un region R del planoxy si f es continua en cualquier punto en R .
3 La suma y el producto de dos funciones continuas tambien soncontinuas.
4 El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en elpunto donde el denominador es cero.
5 Si g es una funcion de dos variables continuas en (a, b) y F es unafuncion de una variable continua en g(a, b) entonces lacomposicion f (x , y) = F ◦ g(x , y) es continua en (a, b).
Calculo Vectorial
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Continuidad
Example
Demuestre que la funcion f (x , y) = x4−y4
x2+y2 es discontinua en (0, 0), pero
F (x , y) =
{
x4−y4
x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
es continua en (0, 0).
SOL:
Calculo Vectorial
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Continuidad
Example
Demuestre que la funcion f (x , y) = x4−y4
x2+y2 es discontinua en (0, 0), pero
F (x , y) =
{
x4−y4
x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
es continua en (0, 0).
SOL: Claramente la funcion f (x , y) es discontinua en (0, 0), ya quef (0, 0) no esta definida.
Calculo Vectorial
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Continuidad
Example
Demuestre que la funcion f (x , y) = x4−y4
x2+y2 es discontinua en (0, 0), pero
F (x , y) =
{
x4−y4
x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
es continua en (0, 0).
SOL: Claramente la funcion f (x , y) es discontinua en (0, 0), ya quef (0, 0) no esta definida.Por otra parte, F (0, 0) = 0 y
lim(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2= lim
(x,y)→(0,0)
(x2 − y2)(x2 + y2)
x2 + y2= 0
Calculo Vectorial
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Continuidad
Example
Demuestre que la funcion f (x , y) = x4−y4
x2+y2 es discontinua en (0, 0), pero
F (x , y) =
{
x4−y4
x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
es continua en (0, 0).
SOL: Claramente la funcion f (x , y) es discontinua en (0, 0), ya quef (0, 0) no esta definida.Por otra parte, F (0, 0) = 0 y
lim(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2= lim
(x,y)→(0,0)
(x2 − y2)(x2 + y2)
x2 + y2= 0
Por consiguiente, advertimos que lim(x,y)→(0,0)
F (x , y) = F (0, 0). Es decir
F es continua
Calculo Vectorial