Relaciones y Funciones

Srta. Yanira Castro Lizana

Relaciones y Funciones

El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemática. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.

CorrespondenciaLa noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de Relación – Función.En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos tenido experiencia con correspondencias o RELACIONES.

Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES

En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.A cada número le corresponde una segunda potencia.A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones

Ejemplos de Correspondencia (Relaciones – Funciones)

Definición de Relación y de Función

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función

Esta afirmación la podemos ilustrar mediante la siguiente animación

¿Por qué se produjo el error?

Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones.

¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano

Con lo expuesto ya podemos saber que es una función y una relación, y diferenciar entre ambas

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y solo un elemento de un conjunto B.

La relación es una función porque a cada elemento de A le corresponde solo uno de B.

fLa relación no es una función porque al elemento 3 de X le corresponde más de una imagen en Y.

g

1

2

3 6

4

2

A Bf

1

3

2

a

m

v

YXg

ACTIVIDAD

Determina cuál de las siguientes correspondencias es una función. Justifica tu respuesta.

a. b.

a

d

c

b 2

1

2

1

3 3 6

2

4

A Bg NM

f

PRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Las funciones se representan mediante la expresión verbal, la expresión algebraica, la tabla de valores, o la representación gráfica. Por ejemplo, la función donde A es el conjunto de los números reales y B es el conjunto cuyos elementos son el doble del cuadrado de cada número de A, se representa así:

• El doble del cuadrado de cada número real (Expresión verbal).• (Expresión algebraica).• (Tabla de valores).

• (Representación gráfica)

f : A B

22 donde f(x)= x x

ACTIVIDAD

Representa la siguiente función mediante la expresión verbal, la expresión algebraica, la tabla de valores y la representación gráfica.

2

1

3

1

…

8

27

…

A Bf

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida. Se simboliza Dom f. Sea se tiene que Dom f = A.

El rango de una función es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio. Se simboliza Ran f. Sea se tiene que .

: f A B

Ran f B: f A B

a

b

c 6

4

2

P Qf

En los diagramas de Venn se representa una función, tal que

y . a,b,cDom f Ran f 2,4

ACTIVIDAD

1. Determinar el dominio y rango de cada función, dado el conjunto

de parejas ordenadas que la conforman. (1, 2),(2, 4),(3, 6),(4, 8),(5, 10)

( , 10),( , 100),( , 1.000),( , 10.000)

a. P=

b. Q a c d f

2. Halla el dominio y el rango de la función cuya representación gráfica se muestra a continuación

TIPOS DE FUNCIÓN

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Según como se relacionen los elementos del dominio con los elementos del rango, una función puede ser: inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Función inyectiva

Una función es inyectiva o uno a uno si para todo par de elementos del dominio sus imágenes son diferentes. Por ejemplo, la función es inyectiva.

a

b6

4

2

A Bf

f : A B

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva cuando el rango de la función es igual al conjunto de llegada. Es decir, cuando todos los elementos del conjunto de llegada son la imagen de algún elemento del dominio.

a

b

cz

y

A Bf

La función es sobreyectiva porque cada elemento de B es la imagen de por lo menos un elemento de A. Sin embargo, no es una función inyectiva porque y es imagen de a y de b.

f : A B

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si cada elemento del conjunto de llegada es imagen a lo sumo de un elemento del conjunto de partida.

1

2

3 6

4

2

A Bf

La función es biyectiva porque cada elemento de B es la imagen a lo sumo de un elemento de A.

f : A B

ACTIVIDAD

Determina si la función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Justifica tu respuesta

1

2

3 6

4

2

A Bf

a. b.

FUNCIÓN INVERSA

Sea una función inyectiva, se define la función inversa cuyo dominio es y cuyo rango es , como si sólo si para todo .

1-ffDom f Ran f -1f (y)= x

y = f(x) y Ran f

1

2

3

3

1

A Bf

5

1f

Se tiene que la función es inyectiva, luego el dominio de la función es el rango de la función y viceversa, el dominio de la función es el rango de .

f

1ff

f1f

LA FUNCIÓN INVERSA

Para hallar la función inversa a partir de la expresión algebraica se realiza:

• Primero, se escribe la función de la forma y = f (x).

• Luego, se expresa x en términos de y.

• Finalmente, se intercambian las variables x y y.

Para hallar la gráfica

de la función a partir

de la gráfica de ,

se refleja la gráfica de

sobre la recta .

1f

3 1f(x)= x -

fy = x

ACTIVIDAD

1. Dada la función , tal que determina:

a. Que la función sea inyectiva.

b. El dominio y el rango de .

2. Traza la gráfica de teniendo en cuenta la gráfica de .

( ) 3 +1f x x x

1f

1f f